Một số bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔNG QUÁT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trường trình thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo: Th.S Nguyễn Thị Phương Lan tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn bè để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 5tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình cô giáo: Th.S Nguyễn Thị Phương Lan Công trình không trùng lặp với kết luận văn tác giả khác Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thiết khoa học Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa đề tài Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở ý thuyết 1.1 Đại cương phương trình vật ý toán 1.2 Lập phương trình dao động sợi dây Chương 2: Phân oại giải số toán dao động sợi dây 11 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 11 2.2 Dao động tự sợi dây nửa vô hạn 12 2.3 Dao động tự sọi dây hữu hạn 13 2.3.1 Dao động tự sợi dây hữu hạn với hai đầu mút gắn chặt 13 2.3.2 Dao động tự cua sợi dây hữu hạn với độ lệch hai đầu mút so với vị trí cân số 16 2.3.3 Dao động tự sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển động với quy luật cho trước 22 2.3.4 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn với hai đầu mút gắn chặt 26 2.3.5 Dao động cưỡng sợi dây với độ lệch hai đầu mút so với vị trí cân số 28 2.3.6 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển động theo quy luật cho trước 32 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học ngành triết học tự nhiên khoa học tự nhiên Vật lý học có liên hệ chặt chẽ với môn khoa học khác Từ âu phương pháp toán học sử dụng vật lý Toán học công cụ vật lý phát triển đặc biệt vật lý lý thuyết Các lý thuyết vật ý sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận công thức xác miêu tả đại ượng vật ý thu nghiên cứu xác hay giá trị ước ượng tiên đoán hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật ý biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy toán học vật lý có giao thoa với Những phương pháp toán học dùng vật lý học đại đa dạng bao gồm khối ượng lớn kiến thức thuộc chuyên đề như: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính… Trong phương pháp toán ý ví dụ ta phải dùng đến nhiều công thức toán học để giải tập vật lý Từ sở phương trình Vật ý toán bản, ứng với loại phương trình xây dựng loạt phương trình dao động như: phương trình sóng chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt… Kiến thức toán vô cần thiết cho bạn sinh viên tiếp thu, thực hành nghiên cứu với môn học khác học trường Bên cạnh sở lý thuyết tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm kiến thức Các dạng tập vô phong phú đa dạng Chính vậy, cần phải làm tìm phương pháp tốt nhằm tạo cho niềm say mê yêu thích môn học Việc làm có lợi giúp bạn sinh viên thời gian ngắn nắm dạng tập, nắm phương pháp giải từ phát triển hướng tìm tòi lời giải cho dạng tập tương tự Nên em định chọn đề tài “Một số toán dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát” để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp cho bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên bắt đầu học phương trình sóng chiều bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành vật lý toán Mặc dù có yêu thích, với nỗ lực thân việc tìm kiếm thu thập tài liệu Cùng với giúp đỡ cô hướng dẫn khoảng thời gian ngắn, ượng kiến thức em hạn hẹp nên không tránh khỏi sai xót hạn chế Vì em mong góp ý hội đồng xét duyệt, quý thầy cô ý kiến bạn đọc để luận văn ngày hoàn thiện Những đóng góp quý thầy cô bạn hành trang giúp em phát huy sáng tạo đường nghiệp sau Mục đích nghiên cứu Phân loại phương pháp giải dạng tập phương trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Giả thuyết khoa học Dùng phương pháp toán học để thiết lập giải tập phương trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Đối tượng nghiên cứu Các toán phương trình dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát Phương pháp nghiên cứu  Nghiên cứu lí luận: - Vật lý lý thuyết - Phương pháp giải thích toán học - Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện kiểm tra tính xác lý thuyết  Thực hành Giải tập có liên quan theo dạng chia Ý nghĩa đề tài Nếu mục tiêu thực cách hiệu mang lại ý nghĩa lớn việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng việc giải tập có liên quan tới dao động sợi dây thuộc chuyên ngành vật lý lý thuyết Cấu trúc khóa luận Chương 1: Thiết lặp phương trình dao động sợi dây 1.1 Đại cương phương trình vật ý toán 1.2 Thiết lập phương trình dao động sợi dây Chương 2: Một số toán dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 2.2 Dao động tự sợi dây nửa vô hạn 2.2 Dao động tự sợi dây hữu hạn 2.3.1 Dao động tự sợi dây hữu hạn với hai đầu gắn chặt 2.3.2 Dao động tự sợi dây hữu hạn với độ lệch hai đầu mút với vị trí cân số 2.3.3 Dao động tự sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển động với quy luật cho trước 2.3.4 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn với hai đầu mút gắn chặt 2.3.5 Dao động cưỡng sợi dây với độ lệch hai đầu mút so với vị trí cân số 2.3.6 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn mà đầu mút chuyển động theo quy luật cho trước NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Đại cương phương trình vật lý toán Các phương trình mô tả biến thiên trường theo thời gian thường phương trình vi phân đạo hàm riêng, chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), đạo hàm riêng biến số độc lập Cấp đạo hàm cấp cao hàm chưa biết có mặt phương trình cấp phương trình Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính bậc hàm chưa biết đạo hàm riêng Dạng tổng quát phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập  2u  2u  2u u u A  2B  C  D  E  Fu  Gx, y  x xy y x y (1-1) với ux, t ; A; B; C; D; E; F ; G số hàm x, y  Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta đưa phương trình (1-1) ba dạng sau: 1) Nếu AC  B2  miền đó, ta đưa phương trình (1-1) miền dạng:  2u  2u u u   D1  E1  F1u  G1 ( , )     (1-2) Phương trình gọi phương trình oại eliptic Dạng đơn giản phương trình phýõng trình La apxơ  2u  u  0   (1-3) Ở ta biết cách tìm w, ta tìm hàm v(x,t) có dạng  V(x,t) =  T k(t) sin k 1 kx l (1) Trong chuỗi hàm vế phải hội tụ đều, lấy đạo hàm số hạng lần theo x t, hàm v thỏa mãn điều kiện biên Ta xá định hàm Tk(t) cho hàm (1) thỏa mãn phương trình điều kiện ban đầu Thế chuỗi hàm (1) vào phương trình t    2 a2 kx T ( t )  Tk (t ) sin  g ( x, t )   k '' l l k 1    Giả sử hàm g(x,t), t coi tham số, khai triển thành chuỗi Fourier theo sin khoảng (0,l)  g (x,t)=  gk (t ) sin k 1 kx l (2) Trong đó, kx g ( x, t ) sin dx  l l g k(t)= (3) so sánh (2) (3) ta phương trình vi phân ta thấy Tk(t) : Tk’’(t) + k 2 a2 Tk (t )  g k (t ) l2 (k=1,2,3……) (3) Muốn cho hàm v(x,t) thỏa mãn điều kiện ban đầu, cho Tk(t) thỏa mãn điều kiện Tk(0)= , T’k(0) (k=1,2,3….) (4) Người ta chứng minh hàm g(x,t) có đạo hàm theo x liên tục đến cấp thỏa mãn điều kiện g(0,t)=0 , g(l,t)=0 với t, chuỗi hàm (1) Tk(t) nghiệm phương trình vi phân (3), thỏa mãn điều kiện (4), hội tụ miền {0≤ x ≤ , ≤ t ≤ T} 27 Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi hàm hai ần x hai lần t chuỗi hàm (1) nghiệm toán hỗn hợp 2.3.5 Dao động cưỡng sợi dây với độ lệch hai đầu mút so với vị trí cân số Bài toán 1: Tìm nghiệm ux, t  phương trình 0  x  l  2u  u  a  f x, t  miền D   2 t x 0  t   u t   g ( x) với điều kiện ban đầu:  u  h( x )  t  t 0 u x   A u x l  B điều kiện biên  (trong a; A; B số  ; hàm f x; g x; hx giải tích D) Giải Ta tìm nghiệm ux, t  phương trình dạng: ux, t   vx, t   w1 x1   w2 x2  Thay (2.1) vào phương trình (2.1)  2u  u  a  f x, t  t x 2 2  2v  v d w1 d w2  a  a  a  f x, t  t x dx dx ta Đến đây, ta tìm hàm vx, t ; w1 x; w2 x cho chúng thỏa mãn điều kiện sau: Hàm vx, t  nghiệm phương trình Điều kiện ban đầu  2v  v  a  f  x, t  t x v t   g x   w1 x   w2 x    v  h( x )  t  t 0 v x   v x  l  điều kiện biên  (2.2) (2.3) (2.4) 28 Hàm (2.17) w1 x  nghiệm phương trình Thỏa mãn điều kiện w1 x   A  w1 x  l  Hàm w2 x  nghiệm phương t nh d w1  (2.5) dx (2.6) d w2 a 0 dx 2 w2 x   w2 x  l  B Thỏa mãn điều kiện    a2 (2.7) (2.8) Dạng nghiệm w1 x  phương trình (2.5) w1 x   a1x  a2 (2.9) (trong a1;a2 số tích phân) w1 x   A w1 x  l  Sử dụng điều kiện biên  a2  A  a1l  a2    a2  A   A a1   l (2.10)  w1 x     Ax  x  A  A1   l  l (2.11) Dạng nghiệm w2 x  phương trình (2.7) w2 x  b1x  b2 (2.12) (trong b1;b2 số tích phân) w2 x   w2 x  l  B Sử dụng điều kiện biên  b2   b1l  b2  B  b2    B b1  l (2.13) 29  w2 x   Bx l (2.14)  Nghiệm vx, t  phương trình (2.2) tìm dạng chồng chập sóng đứng:  vx, t    Tk t sin k 0 kx l (2.15) Dễ thấy (2.15) thỏa mãn điều kiện biên (2.4) Thay (2.15) vào phương trình (2.2) ta được: kx  a k 2 kx Tk ' ' t sin  Tk t sin  f x, t   l l l k 0 k 0    a k 2 kx   Tk ' ' t   Tk t  sin  f x, t  l l k 0    (2.16) Do xét x  0, l  nên ta coi hàm f x, t  giả tuần hoàn theo chu kì L  l với t  ta khai triển hàm f x, t  thành chuỗi dạng:  f x, t     k t sin k 0  k t   kx l kx f x, t sin dx  l l l (2.18) Thay (2.17) vào (2.16) ta được:   kx  a k 2 kx  T ' ' t   l Tk t  sin l    k t sin l k 0  k 0   Đồng thức vế đẳng thức ta được: T ' ' t   a k 2 Tk t    k t  l2 (2.19) Phương trình (2.5) cho nghiệm Tk (t ) tổng quát dạng: Tk t   M k sin akt akt  N k cos  Trk t  l l 30 (2.20) (trong M k ; N k hệ số tích phân nhìn chung phụ thuộc k ; Trt t  nghiệm riêng không phương trình (2.19)) Thay (2.20) vào (2.15) ta được:  akt akt   akt v( x, t )   M k sin  N k cos  Trt t  sin l l l  k 0  (2.21) Thay (2.21) (2.14) (2.3) điều kiện ban đầu hàm vx, t  hoàn toàn tường mình:   x  Bx v t   g x   A1    l  G x       v  h( x)  t t  (2.22) Sử dụng điều kiện biên (2.22) từ (2.21) ta có: vt 0    v 0  t  t 0   kx  N k  Trk 0sin l  H x   k 0    M ak  dTrk  sin kx  hx   k   l dt t 0  l k 0  l  kx   N  T  G x sin dx  k rk  l l    l kx M ak  dTrk   hx sin dx  k l dt t 0 l l  l  kx dx  Trk 0  N k   G x sin l l    l M  hx sin kx dx  l dTrk  k ak  l ak dt  (2.23) t 0 Thay (2.23) vào (2.21) nghiệm vx, t  hoàn toàn tường minh: l  kx l dTrk  vx, t     hx sin dx   l ak dt k 1   ak  2 l  kx akt   kx    Gx sin  Trk 0 cos  sin l l  l l   31  akt   sin l t 0  (2.24) Thay (2.11), (2.14) (2.24) vào (2.1) nghiệm ux, t  hoàn toàn tường minh: u  x, t   A  B  Ax  l  l kx l dTrk hx sin dx     ak  l ak  dt k 1      akt   sin l t 0  2 l  kx akt   kx    Gx sin  Trk 0 cos  sin l l  l l   2.3.6 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn mà đầu mút chuyển động theo quy luật cho trước Bài toán 1: Tìm nghiệm phương trình:  2u  u  a  g ( x, t ) t x (2.1) Trong miền {0[...]... ba dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây: 1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn 3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn 2.1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Côsi Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây có chiều dài đến mức các nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét Lúc đó dao động của phần này chỉ ảnh hưởng đến điều kiện ban đầu... như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động 10 Chương 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban đầu dao động của sợi dây Trong khuôn khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập hay gặp trong quá trình nghiên cứu... dây hữu hạn 2.3.1 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với 2 đầu mút được gắn chặt Tìm dao động của sợi dây hữu hạn độ dài l khi biết hình dạng ban đầu của sợi dây là f(x), vận tốc ban đầu là g(x) với 2 dầu mút của sợi dây được gắn chặt Giải Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l , chiếm đoạn 0, l  của trục x khi cân bằng dao động của sợi dây sẽ tuân theo phương trình với điều kiện ban đầu: u t... liên tục và các điều kiện phụ, gọi là bài toán được thiết lập đúng 7 Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phương trình dao động của dây (1-5) hay (1-8) 1.2 Lập phương trình dao động của sợi dây Bài toán: Xét sợi dây căng à T nghĩa à mỗi điểm của sợi dây có lực T tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó Giả thiết sợi dây à đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng... cần các điều kiện, vì vậy bài toán này gọi là bài toán biên Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát do việc đo đạc thực nghiệm trong vật í và kĩ thuật nghĩa à mang tính chất gần đúng Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán. .. at (2-2) Công thức này gọi là nghiệm Đa ambe của bài toán Côsi đối với dao động của sợi dây dài vô hạn 2.2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn Giả sử sợi dây lúc cân bằng nằm trên nửa trục x ≥0, có mút gắn chặt ở gốc tọa độ Ta phải tìm nghiệm của phương trình dao động của sợi dây: 2  2u 2  u  a 0 t 2 x 2 Trong miền {0 ... trình dao động sợi dây Chương 2: Một số toán dao động sợi dây với điều kiện biên tổng quát 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 2.2 Dao động tự sợi dây nửa vô hạn 2.2 Dao động tự sợi dây hữu... sợi dây: Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si Dao động tự sợi dây nửa vô hạn Dao động tự sợi dây hữu hạn 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Côsi Sợi dây vô hạn trừu tượng hóa sợi dây có chiều... trình vật ý toán 1.2 Lập phương trình dao động sợi dây Chương 2: Phân oại giải số toán dao động sợi dây 11 2.1 Dao động sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 11 2.2 Dao động tự sợi dây nửa