Một số bài toán dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TỔNG QUÁT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2015... Dao động tự

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HẰNG

MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY VỚI ĐIỀU

KIỆN BIÊN TỔNG QUÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy dỗ chỉ bảo và truyền đạt kiến thức cho em trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại trường cũng như trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo: Th.S Nguyễn Thị Phương Lan đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực

hiện khóa luận tốt nghiệp này

Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của

em không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài khóa luận này là do sự cố gắng nỗ lực tìm hiểu,

nghiên cứu của bản thân với sự giúp đỡ nhiệt tình của cô giáo: Th.S Nguyễn Thị Phương Lan Công trình này không trùng lặp với các kết quả luận văn

của các tác giả khác

Nếu sai xót em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hằng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Giả thiết khoa học 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa đề tài 3

7 Cấu trúc khóa luận 3

NỘI DUNG 5

Chương 1: Cơ sở ý thuyết 5

1.1 Đại cương về phương trình vật ý toán 5

1.2 Lập phương trình dao động của sợi dây 8

Chương 2: Phân oại và giải một số bài toán dao động của sợi dây 11

2.1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si 11

2.2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn 12

2.3 Dao động tự do của sọi dây hữu hạn 13

2.3.1 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút được gắn chặt 13

2.3.2 Dao động tự do cua sợi dây hữu hạn với độ lệch ở hai đầu mút so với vị trí cân bằng luôn là hằng số 16

2.3.3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển động với quy luật cho trước 22

2.3.4 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút được gắn chặt 26

2.3.5 Dao động cưỡng bức của sợi dây với độ lệch của hai đầu mút so với vị trí cân bằng luôn bằng hằng số 28

2.3.6 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút được chuyển động theo những quy luật cho trước 32

KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên Vật lý học có liên hệ chặt chẽ với các môn khoa học khác Từ rất âu phương pháp toán học được sử dụng trong vật lý Toán học là một công cụ để cho vật

lý phát triển và đặc biệt là vật lý lý thuyết Các lý thuyết vật ý đã sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các đại ượng vật ý thu được những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ước ượng và tiên đoán những hệ quả Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật ý đều biểu hiện bằng các giá trị số Càng đi sâu vào nghiên cứu ta càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa dạng bao gồm một khối ượng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề như: Hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính… Trong đó thì phương pháp toán ý à một ví dụ ta phải dùng đến rất nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý Từ cơ sở

à các phương trình Vật ý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng

ta đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: phương trình sóng một chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyên nhiệt… Kiến thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trường Bên cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm chắc được kiến thức Các dạng bài tập thì vô cùng phong phú và đa dạng Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm tạo cho mình niềm say mê yêu thích môn học này Việc làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được

các dạng bài tập, nắm được phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự Nên em quyết định chọn đề

tài “Một số bài toán về dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát” để nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình Mong rằng đề tài

này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành vật lý toán

Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm

và thu thập tài liệu Cùng với sự giúp đỡ của cô hướng dẫn trong khoảng thời gian ngắn, ượng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những sai xót và hạn chế Vì vậy em rất mong được sự góp ý của hội đồng xét duyệt, của quý thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng hoàn thiện hơn Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang giúp em phát huy và sáng tạo trên con đường sự nghiệp sau này của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

3 Giả thuyết khoa học

Dùng các phương pháp toán học để thiết lập và giải các bài tập về phương trình dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

4 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về phương trình dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

5 Phương pháp nghiên cứu

 Nghiên cứu lí luận:

- Vật lý lý thuyết

- Phương pháp giải thích toán học

- Trao đổi, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn để hoàn thiện và kiểm tra tính chính xác của lý thuyết

 Thực hành

Giải các bài tập có liên quan theo các dạng đã chia

6 Ý nghĩa của đề tài

Nếu những mục tiêu đó được thực hiện một cách hiệu quả thì sẽ mang lại ý nghĩa rất lớn trong việc giúp sinh viên khoa Vật lý dễ dàng hơn trong việc giải bài tập có liên quan tới dao động của sợi dây thuộc chuyên ngành vật

lý lý thuyết

7 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: Thiết lặp phương trình dao động của sợi dây

1.1 Đại cương về phương trình vật ý toán cơ bản

1.2 Thiết lập phương trình dao động cơ bản của sợi dây

Chương 2: Một số bài toán về dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát

2.1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si

2.2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn

2.2 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với hai đầu được gắn chặt 2.3.2 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với độ lệch của hai đầu mút với vị trí cân bằng luôn là hằng số

2.3.3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn mà hai đầu mút chuyển động với quy luật cho trước

2.3.4 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn với hai đầu mút được gắn chặt

2.3.5 Dao động cưỡng bức của sợi dây với độ lệch của hai đầu mút so với vị trí cân bằng luôn là hằng số

2.3.6 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn mà đầu mút chuyển động theo những quy luật cho trước

NỘI DUNG Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1 Đại cương về phương trình vật lý toán

Các phương trình mô tả sự biến thiên của các trường theo thời gian thường à các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa các hàm chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập

Cấp của đạo hàm là cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong phương trình à cấp của phương trình

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập

 x y G Fu y

u E x

u D y

u C y x

u B x

u

2 2

Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp ta có thể đưa phương trình (1-1) về một trong ba dạng sau:

1) Nếu ACB2 0 trong một miền nào đó, thì ta có thể đưa phương trình (1-1) trong miền ấy về dạng:

) , ( 1 1 1

1 2 2 2

u D u

0 2 2 2

(1-3)

Nghĩa à: D1 E1F1 G1 0

2) Nếu ACB2 0 trong một miền nào đó thì có thể đưa ra phương trình (1-1) trong miền ấy về dạng:

) , ( 2 2 2

2 2 2 2

u D u

) , ( 2 2 2 2

3) Nếu ACB2  0 trong một miền nào đó thì phương trình (1-1) có thể đưa về dạng:

) , ( 3 3 3

3 2

u D

) , ( 3 3

Trong các phương trình (1-5) và (1-7) ta thường lấy một biến số là thời gian, còn một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phương trình dao động của dây (hay phương trình sóng một chiều):

2

2 2 2 2

x

u a t

2

2 2

x

u a t

0 2 2 2

u

(1-10) Nhiều bài toán vật í và kĩ thuật dẫn đến các phương trình này người ta gọi chúng là những phương trình vật lí - toán cơ bản

Các phương trình (1-8), (1,9), (1-10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng

Các phương trình (1-8) và (1-9) xuất hiện khi các phương trình không dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng không gianxhữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt trong thanh hữu hạn thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:

1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t0

2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu

và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng

vô hạn   x , thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu Bài toán gọi là bài toán Côsi (Cauchy)

Phương trình (1-10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, yđều là biến

số không gian Nó xuất hiện khi nghiên cứu các phương trình dừng Để xác định nghiệm, ta cần các điều kiện, vì vậy bài toán này gọi là bài toán biên

Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát do việc đo đạc thực nghiệm trong vật í và kĩ thuật nghĩa à mang tính chất gần đúng Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục và các điều kiện phụ, gọi là bài toán được thiết lập đúng

Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phương trình dao động của dây (1-5) hay (1-8)

1.2 Lập phương trình dao động của sợi dây

Bài toán: Xét sợi dây căng à T nghĩa à mỗi điểm của sợi dây có lực T

tác dụng theo phương tiếp tuyến với nó Giả thiết sợi dây à đàn hồi, dao động

là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây và do đó căng T à như nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động

Giả sử trong trạng thái cân bằng, sợi dây nằm dọc theo trục x, còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của sợi dây đều di chuyển vuông góc với trục

x và nằm cùng một mặt phẳng chứa trục x Lấy trên mặt phẳng này hệ tọa độ

Đề các vuông góc x,u, trong đó u là kí hiệu độ lệch của dây khỏi vị trí cân bằng Trong quá trình dao động, ulà hàm của hoành độ x và thời gian t,

Xét đoạn dây từ x1 và x2 Tách đoạn này ra khỏi sợi dây ở thời điểm t và

thay thế ở hai đầu bằng các lực căng T Ta hãy xác định hình chiếu trên trục

ucủa các lực tác dụng lên phần đang xét của sợi dây

Gọi 1là góc giữa tiếp tuyến của sợi dây với trục x tại điểm x1,2là góc tương ứng ở điểm x2 Tổng hình chiếu của lực căng Tsin2Tsin1(*)

Giả sử rằng ngoài tác dụng lên sợi dây song song và ngược chiều với trục u(chẳng hạn trọng ượng của dây) Mật độ phân bố của lực ngoài dọc theo sợi dây kí hiệu là  g ( t x, ) Thành thử họp lực tác dụng lên phần sợi dây đang xét à: g x t dx

dx t x u

x

x x

1

) , ( )

sin (sin

) , (

Ta đã biết:

x u

x u x u x

x x

1 ) ( tan 1

) ( tan )

u x

u T T

x

x x

x x

2

2

2 1

,(')

,(



Hay: u ''tt(x,t)a2u ''xx(x,t)g(x,t) (1-12) Trong đó



T

a2  là một hằng số dương Phương trình dao động của sợi dây (1-12) là một phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai có hệ số là hằng số Nó là một trong các phương trình vật lý – toán đơn giản nhất

Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì g(x,t)  0thì phương trình là thuần nhất, nó mô tả dao động tự do của dây Cňn phương trình (1-12) với g(x,t)  0là không thuần nhất là mô tả dao động cưỡng bức của sợi dây

Kết luận chương 1

Chương 1 đã tìm hiểu một cách khái quát lý thuyết cơ bản về dao động sợi dây như việc xây dựng phương trình, xét các điều kiện dao động

Chương 2 PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY

Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào vào kích thước sợi dây, trạng thái kích thích dao động và các điều kiện ban đầu dao động của sợi dây

Trong khuôn khổ của đề tài khóa luận tốt nghiệp dựa trên các bài tập hay gặp trong quá trình nghiên cứu và ôn luyện thi đầu vào cao học, chia làm

ba dạng lớn bài tập về dao động của sợi dây:

1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Cô-si

2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn

3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn

2.1 Dao động của sợi dây vô hạn Bài toán Côsi

Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây có chiều dài đến mức các nút không ảnh hưởng gì đến dao động của sợi dây đang xét Lúc đó dao động của phần này chỉ ảnh hưởng đến điều kiện ban đầu Tức là:

Tìm nghiệm u ( t x, ) của phương trình 2 0

2 2 2

Với hình dạng ban đầu của sợi dây ( , ) ( , 0 ) ( )

0 u x f x t

x u

Và vận tốc ban đầu của sợi dây '  , '  ,0 ( )

0 u x F x t

       F  d

a at x f at x f t

x u

at x

1

Công thức này gọi là nghiệm Đa ambe của bài toán Côsi đối với dao động của sợi dây dài vô hạn

2.2 Dao động tự do của sợi dây nửa vô hạn

Giả sử sợi dây lúc cân bằng nằm trên nửa trục x ≥0, có mút gắn chặt ở

gốc tọa độ Ta phải tìm nghiệm của phương trình dao động của sợi dây:

f at f

( 2

1 2

) ( ) (

Hàm cho bởi công thức DAlembert:

F at

x f at x f

( 2

1 2

) ( )

Trong đó, f, F à các hàm cho trước trên x≥0 và đã được kéo dài lẻ sang x<0, được xác định với mọi x,t và khi x≥0 nó chính à nghiệm của bài toán đặt ra Nó là nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu

và theo điều vừa chứng minh nó lại thỏa mãn điều kiện biên(*)

Vì hàm f,F là lẻ nên hàm u cho bởi công thức DA embert cũng à hàm

lẻ đối với x u(-x,t)= -u(x,t) với mọi t

Giả sử ở thời điểm t1 sợi dây nửa vô hạn có dạng 1 sóng nào đó truyền sang trái Ta phải kéo dài lẻ dạng của sợi dây sang x<0

Khi t tăng ên sóng úc đầu nằm ở phía x>0 truyền dần sang trái và đến

1 thời điểm t2 nào đó (t2>t1) nó truyền sang phía x<0, còn sóng úc trước ở phía x<0 truyền dần sang phải và đến thời điểm t2 nó truyền sang phía x>0 Vậy trên dây nửa vô hạn x≥0 hiện tưởng xảy ra như sóng ban đầu truyền sang trái tới mút 0, phản xạ tại đó có đổi dấu rồi truyền sang phải

2.3 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với 2 đầu mút được gắn chặt

Tìm dao động của sợi dây hữu hạn độ dài l khi biết hình dạng ban đầu của sợi dây là f(x), vận tốc ban đầu là g(x) với 2 dầu mút của sợi dây được gắn chặt

Giải

Ta hãy xét một sợi dây hữu hạn chiều dài l, chiếm đoạn  0 l của trục

x khi cân bằng dao động của sợi dây sẽ tuân theo phương trình 2 0

2 2 2

với điều kiện ban đầu:

) (

0

0

x g t

u

x f u

x

u u

Ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier ta được phương tình dao động có dạng

 

l

t k l

t ak Q

l

t ak P t

x u

k

k k







sin cos

sin ,

u

x f u

t t

k

k

k k

x g l

x k P l ak

x f l

x k Q

l k

dx l

x k x g ak P

dx l

x k x f l Q

0

0

sin 2

sin 2

2 ,

k

l

l

t ak dx l

x k x g ak t

t ak dx

l

x k x f l

sin cos

sin 2

Bài toán 1: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x 0 và xl, nếu

dạng của sợi dây ban đầu là cung parabol    

M

x l x x

  dx

l

x k x l x lM

l x l

k x l x k

l x l

k x l k

l M

2 sin

l

k M k

cos 1

4 cos

4

3 3 2 0

3 3

l

1 1

4

3 3

at k k

M

l t x u

k

1 1 4

,

1 3 3

at n n

M

l t x u

2 cos 1 2

1 8

,

0

3 3

Ở thời điểm t 0, ta truyền cho các điểm của sợi dây nằm trong khoảng

c  ,c  một vận tốc ban đầu không đổi v0 Hãy xác định dao động của sợi dây, nếu úc đầu nó nằm yên

Ta có các điều kiện ban đầu  

c c x khi v t

u u

t

t

, 0

,

0 0 0 0

Vậy Q k  0

dx l

x k a

k

v P

c k a

Do đó  

l

at k l

x k k

l

c k l

c k a

lv t x

cos cos

x k l

c k l

c k k

a

pl t

x u

k k

1 2

c k l

k l

c k l

c k

sin sin

lim cos

cos

lim

0 0

l

c k l

sin2



Vậy:  

l

at k l

x k l

c k k a

l t x u

Đây à dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền

cho nó một xung ượng p tập trung tại điểm xc

2.3.2 Dao động tự do của sợi dây hữu hạn với độ lệch ở hai đầu mút so với

vị trí cân bằng luôn là hằng số

Bài toán:

Tìm nghiệm u x,t của phương trình 2 0

2 2 2

) ( 0

0

x g t

u

x f u

(trong đó a;A;B là các hằng số 0; các hàm f   x;g x giải tích trên D)

u (2.2)

Ta được: 22 0

2 2 2 1 2 2 2

2 2 2

w d a x

v a t v

Giả sử v     x,t;w1 x1;w2 x2 thỏa mãn các điều kiện

Hàm v x,t là nghiệm của phương trình 2 0

2 2 2

2 1

0

x g t

v

x w x w x f v

l x

x

w

A w

w

l x

l x

x

w

A w

a l

a

A a

A a

Ax x

w

l x

b

2 1

0

0

x g t

v

l

B l

x A x f v

t t

0

x g t

v

A B l

x A x f v

0 ' ' a2TX 

T

T X X