Dao động của màng và giải một số bài toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ VŨ THỊ NGUYỆT DAO ĐỘNG CỦA MÀNG VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: ThS Lê Khắc Quynh HÀ NỘI – 2015 LỜI CẢM ƠN Sau khoảng thời gian cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, khóa luận tốt nghiệp với đề tài “ Dao động màng giải số toán” đƣợc hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Lê Khắc Quynh – ngƣời quan tâm, động viên tận tình hƣớng dẫn em trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa vật lý Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuân lợi cho em suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình bạn bè bên giúp đỡ, động viên em suốt trình học tập vừa qua Mặc dù cố gắng việc hoàn thành khóa luận nhƣng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè! Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Nguyệt LỜI CAM ĐOAN Sau thời gian nghiên cứu tài liệu với hƣớng dẫn thầy giáo ThS Lê Khắc Quynh hoàn thành khóa luận mình.Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng không trùng với nghiên cứu trƣớc Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Vũ Thị Nguyệt MỤC LỤC Contents MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu khóa luận Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 Thiết lập phƣơng trình dao động màng 1.2 Dao động màng chữ nhật 1.3 Dao động cƣỡng màng chữ nhật 1.4 Các đƣờng nút màng chữ nhật 1.5 Phƣơng trình Bessel 11 1.5.1 Phương trình Bessel 11 1.5.2 Hàm Bessel 13 1.6 Dao động màng tròn 17 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 20 2.1 Dạng 1:Dao động màng hình chữ nhật 20 2.2 Dạng 2: Dao động màng tròn 31 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lý học ngành triết học tự nhiên khoa học tự nhiên Vật lý học có liên quan chặt chẽ với môn khoa học khác Từ lâu phƣơng pháp Toán học đƣợc sử dụng Vật lý Toán học công cụ Vật lý phát triển đặc biệt Vật lý lý thuyết Các lý thuyết Vật lý sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận đƣợc công thức xác miêu tả đại lƣợng Vật lý thu đƣợc nghiên cứu xác hay giá trị ƣớc lƣợng tiên đoán hệ Những kết thí nghiệm hay thực nghiệm vật lý biểu giá trị số Càng sâu vào nghiên cứu ta thấy toán học vật lý có giao thoa với Những Phƣơng pháp toán học dùng vật lý học đại đa dạng bao gồm khối lƣợng lớn kiến thức thuộc chuyên đề nhƣ: Hàm thực, hàm biến phức, phƣơng trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Bộ môn Phƣơng pháp toán lý ví dụ ta phải dùng đến nhiều công thức toán học để giải tập vật lý Từ sở phƣơng trình Vật lý toán bản, ứng với loại phƣơng trình xây dựng đƣợc loạt phƣơng trình dao động nhƣ: Phƣơng trình sóng chiều, phƣơng trình dao động màng, phƣơng trình truyền nhiệt Kiến thức toán vô cần thiết cho bạn sinh viên tiếp thu, thực hành nhƣ nghiên cứu với môn học khác học trƣờng Bên cạnh sở lý thuyết tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm đƣợc kiến thức Các dạng tập vô phong phú đa dạng Chính vậy, cần phải làm để tìm phƣơng pháp tốt nhằm tạo cho niềm say mê, yêu thích môn học Việc làm có lợi giúp bạn sinh viên thời gian ngắn nắm đƣợc dạng tập, nắm đƣợc phƣơng pháp giải từ phát triển hƣớng tìm tòi lời giải cho dạng tập tƣơng tự Đƣợc định hƣớng thầy giáo hƣớng dẫn ThS Lê Khắc Quynh nên định chọn đề tài “ Dao động màng giải số toán” để nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mong đề tài tài liệu tham khảo giúp cho bạn sinh viên, đặc biệt sinh viên bắt đầu học phƣơng trình sóng chiều bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành Vật lý toán Mục tiêu khóa luận - Nghiên cứu dao động màng - Giải số toán màng Đối tƣợng nghiên cứu - Dao động màng Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp tổng hợp tài liệu Nội dung khóa luận gồm chƣơng: - Chƣơng 1: Tổng quan dao động màng - Chƣơng 2: Một số tập dao động màng CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 Thiết lập phƣơng trình dao động màng - Giả sử ta có màng đƣợc kéo lực căng T Màng đƣợc giả thiết dao động đàn hồi, dao động nhỏ đến mức độ tăng diện tích màng trình dao động bỏ qua Khi mật độ phân bố lực căng T nhƣ tất tiết diện màng - Giả sử nằm yên, màng mặt phẳng x, y; dao động xảy cho điểm màng lệch theo phƣơng vuông góc với mặt phẳng Kí hiệu độ lệch u; u hàm tọa độ x, y thời gian t: u = u(x, y, t) (1.1) + Phƣơng trình dao động màng phƣơng trình sóng chiều: – a2 ( đó: a2 = + ) = - g(x, y, t) (1.2) số dƣơng T mật độ phân bố mặt căng a vận tốc lan truyền sóng S mật độ khối lƣợng mặt( khối lƣợng đơn vị diện tích) ● Nếu g(x, y, t) = : dao động tự lực ● Nếu g(x, y, t) ≠ : dao động cƣỡng dƣới tác dụng ngoại lực + Điều kiện ban đầu: = f(x; y): độ lệch ban đầu điểm (x, y) màng | | = F(x; y): vận tốc ban đầu + Điều kiện biên: ( có biên gắn chặt) | = 0; | giá trị hàm u điểm chu tuyến L 1.2 Dao động màng chữ nhật - Xét màng hình chữ nhật, lúc cân nằm mặt phẳng xy chiếm miền G {0 ≤ x ≤ l , ≤ y ≤ m}(h.1) Phƣơng trình dao động: – a2 ( + )=0 (1.3) y thỏa mãn điều kiện biên gắn chặt: | = 0; | = 0; =0 | m =0 | Điều kiện ban đầu: = f(x, y) | O l x = F(x, y) | Hình 1: Mô hình màng chữ nhật Ta tìm nghiệm phƣơng trình phƣơng pháp tách biến Fourier Đặt: u (x, y, t) = X(x) Y(y) T(t) Có: = XY = YT =X T Thay vào phƣơng trình dao động tự ta có: – a2 ( XY → = a2 ( YT + X + T) = (1.4) ) Vì vế trái không phụ thuộc vào x y vế phải không phụ thuộc vào t nên chúng phải số = a2 ( Đặt : = - λ2 ; + ) = c = const = - μ2 Vậy : = - a2 (λ2 + μ2) + λ2 X = Từ cách đặt ta có: + μ2 Y = Nghiệm phƣơng trình là: T = A cos √ at + B sin √ at X = C1 cosλx + D1 sinλx Y = C2 cosμy + D2 sinμy +) Tìm số A; B; C1; C2; D1; D2 Áp dụng điều kiện biên đặt: | = | = | = | =0 Suy ra: C1 = 0; C2 = 0; sinλl = sinμm = λl = k1π; μm = k2π ( k1; k2 Z+) tức là: λ= ;μ= Thay vào nghiệm phƣơng trình ta có: T(t) = A cos( √ at ) + B sin( √ X(x)= D1 sin Y(y) = D2 sin Khi phƣơng trình tổng quát là: at ) =∑ cos at√ ( x sin sin at√ + )x sin Từ điều kiện ban đầu ta có: ∑ sin at√ ∑ = U(x, y, 0) =  sin sin ∫ ∫ = √ sin (x, y, 0) sin , = = = (x, y, 0), sin dxdy ) -.[ ( ( √ U(x,y,t)=∑ [ ( ) ][ ( ) ] x √ x sin at√ sin sin Bài 3: Bằng phƣơng pháp tách biến, tìm nghiệm phƣơng trình: + a2 =0 thỏa mãn điều kiện biên điều kiện ban đầu sau: | | ;{ | ( | | { | 25 ) ) ] Giải: Ta tìm nghiệm phƣơng trình: (1) | | thỏa mãn điều kiện biên: { điều kiện ban đầu: { (2) | | ( | ) (3) | dƣới dạng: u(x, t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vào (1): ( ) X(x) + a2 X4(x).T(t) = ()  () =- ( ) ( ) =-  , () ( )  ()  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Từ (2) (4) ta có: { () () (7) Giải (6): Đặt X(x) = erx phƣơng trình (6)  r4 -  =  r4 =  *) Nếu  =  X4(x) =  X(x) = c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Nên từ (7) ta có: ( ) () { ( ) ( ) ()  c1 = c2 = c3 = c4 = *) Nếu  <  r4 =  < 0: phƣơng trình vô nghiệm 26 *) Nếu  >  r4 =  : phƣơng trình có nghiệm: r1 = √  ; r2 = - √  ; r3 = - i√  ; r4 = i√  Đặt √  nghiệm tổng quát phƣơng trình (6): X(x) = c1 + c2 + c3 cos x + c4 sin x  (x) = - c1 (x) = + c2 c1 + c2 - c3 sin x + c4 cos x – c3 cos x + 2c4 sin x Từ (7) ta có hệ phƣơng trình: ( ) () ( ) { () { Để c4  0 sincl =  c =  = / ( k = 1, 2, )  Phƣơng trình (6) có nghiệm: Xk(x) = Ak sin Thay  = / (8) vào phƣơng trình (5): ( )+ T(t) =  Tk (t) = Bk cos + Dk sin (9) Thay (8), (9) vào (4) ta có: u(x, t) = ∑ ( cos + bk sin với ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk 27 ) sin (10) Từ điều kiện ban đầu: ∑ | | = Ax (l – x) sin =∑ (11) =0 sin (12) Nhận thấy ak hệ số khai triển Ax (l – x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin nên: dx = A ∫ ( ak∫ ) dx Ta có: ( I=∫ dx |l0 (lx – x2) cos =- = ) [( I= + ∫( ) cos |l0 ] |l0 ) dx ( cosk – 1) = , (  ak = ( ) (13) ) Từ (10), (12), (13) ta có nghiệm toán: ( u(x, t) = ∑ Bài 4: Chứng minh rằng: J1(x) = ) ( ( ) ) (x) (vi phân số hạng chuỗi lũy thừa J0 (x)) Dựng đồ thị J1(x) Giải: 28 Ta có: J0(x) = ∑ ( ) J1(x) = ∑ ( ) Ta thấy: (x) = ∑ ( ) ( ( ) ( ) ) Đặt m = n +1 ta đƣợc: (x) = ∑ ( ∑ = ( ) ( ( ) 0,6 ) ) ( )( ( ) ) = - J1(x) 0,4 0,2 15 \\ -0,2 10 20 Hình 5: Đồ thị hàm J1(x) Bài 5: Một màng hình vuông đồng chất lúc t = có độ lệch đƣợc xác định = Axy(l – x)(l – y) | x l, l b, dao động với vận tốc ban đầu 0, mép gắn chặt Hãy nghiên cứu dao động tự màng gắn chặt theo chu tuyến Giải: Gọi u(x, y, t) độ lệch màng thời điểm (x, y) thời điểm t thỏa mãn phƣơng trình: - a2 ( thỏa mãn điều kiện ban đầu: + | )=0 = f(x, y) = Axy(l –x)(l-y) 29 (1) = F(x, y) = | { thỏa mãn điều kiện biên: | | | | Ta tìm nghiệm riêng (1) thỏa mãn điều kiện biên có dạng: u(x, y, t) = ∑ ( cos t+ sin =√ t)sin sin √ = Từ điều kiện ban đầu  ∫ = Vì F(x, y) =  d ∫ (l - )sin (l - )sin d =0 Ta tính: ∫ (l - )sin d = = * ( ) |l0 ∫( 0( ) |l0 ∫ = |l0 cos [ = ( ) ] Tƣơng tự ta tính đƣợc: ∫ (l - )sin  = , d = , ( ) 30 ( -, ) ( ) - ) + ( ( Khi , Khi { ) )   = ( ) ( =0 , ( ) -, ( ) - Vậy: u(x, y, t) = ∑ = ) cos√( ) ( ) *) Biện luận: u(x, y, t) chuỗi hội tụ đạo hàm lần theo x, y, t; thấy u(x, y, t) thỏa mãn điều kiện biên Tính: ( ∑ = ( ) cos√( cos√( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ( ) sin sin ) ( ) ( ) sin ) ( ) ) ) ( ( ( sin ) ( ∑ = ) ) ( ( ) cos√( ( ( ∑ = ) ( ) sin ) sin ) Ta thấy u(x, y, t) thỏa mãn phƣơng trình: )=0 - a2 ( Vậy u(x, y, t) tìm đƣợc nhƣ nghiệm mà toán cần tìm 2.2 Dạng 2: Dao động màng tròn Bài 1: Tìm nghiệm phƣơng trình: 31 (r, , t) – a2 u(r, , t) = Thỏa mãn điều kiện biên: Và điều kiện ban đầu: (1) , < r < q, < < , t =0 | (2) = f(x, y), | = F(r, ) | (3) Giải: Dùng phƣơng pháp tách biến; giả sử viết nghiệm riêng phƣơng trình (1) dƣới dạng: u = R(r) () T(t) Thay vào phƣơng trình, ta đƣợc: – a2[ (  )  Từ phƣơng trình này, ta đặt: ]=0 =C Từ tính chất vật lý toán đòi hỏi dao động tự có biên độ không tăng tới vô t  nên C = - 2a2 nghiệm T có dạng: T = A cosat + B sinat với số  R (4) Do đó: ( )  - r2 (  = -  2   Từ ta rút ra:  + )  = - r20 ( )  =c  1=c Do tính chất tuần hoàn với chu kỳ hàm : ( + ) = () nên c nhận giá trị không dƣơng c = - k2 với k nguyên Và hàm  phải có dạng: () = D1 cosk + D2 sink (5) D1 D2 số Vì nghiệm cuối tổng nghiệm riêng, nên chọn , k 32 Thành thử hàm R(r) ta có phƣơng trình: - r20 hay ( ) +  = - k2 + (2 - )R = Trƣờng hợp 1:  = 0, từ điều kiện biên (2), ta tìm đƣợc nghiệm riêng u = Trƣờng hợp 2: > 0, ta đƣa vào biến số mới: x = r đặt: R(r) = R( ) = y  thay vào phƣơng trình, ta đƣợc: + + (1- )y = Phƣơng trình đƣợc gọi phƣơng trình Bessel Nghiệm phƣơng trình có dạng: y(x) = ckJk(x) + bkYk (x) Jk(x) Yk(x) lần lƣợt hàm Bessel loại hạng k hàm Betsen loại hạng k Từ đòi hỏi nghiệm phải hữu hạn miền tròn nên bk = Nhƣ vậy: y(x) = ck Jk(x) với Jk(x) = ∑ ( ) ( ) Trở lại với biến số r, ta có: R(r) = ckJk(r) Từ điều kiện biên (2): R(q) = nên để nghiệm tầm thƣờng thì: Jk(q) = Điều có nghĩa q phải nghiệm hàm Jk(x), nghĩa là: q = (k ) n , n = 1, 2, Vậy số  xuất tách biến tùy ý mà phải lấy giá trị 33  (k ) n , = Do đó: n = 1, 2, ; k = 0, 1, (k ) n R(r) = c1 Jk ( q r) (6) Nghiệm riêng toán có dạng u = R(r) () T(t) (k ) n = ( Ack cos at q (k ) n + Bck sin at q ) ( D1 cosk + D2 sink) Jk ( (k ) n q r) Nghiệm tổng quát toán có dạng: u(r, , t) = ∑ ∑ = ∑ ∑ = (k ) n ,( (k ) n at q (k ) n at q q - Jk ( ) at (k ) n q )  (k ) n ( at q r) Từ điều kiện ban đầu (3) suy ra: f(x) = ∑ ∑ , Jk ( (k ) n q  ) ( (k ) n q - ) F(r,)= ∑ ∑ (k ) n , a ( q (k ) n q  ) (k ) n a q ( (k ) n q ) Đây khai triển Fourier hàm f(x) F(x) với hệ số khai triển chuỗi Fourier – Betsen Các hệ số khai triển tính theo công thức An0 = Ank = Cnk = (0) n / ∫ ∫ (k ) n (k ) n / / ( ) r J0 ( (0) n q ∫ ∫ ( ) r Jn ( ∫ ∫ ( ) r Jn ( 34 r) drd, (0) n q (0) n q r) cosn drd, r) sinn drd, - Bn0 = ( (0) n Bnk = (0) n Dnk = (0) n (k ) n (k ) n ∫ ∫ ) (k ) n / / ( ) r J0 ( (0) n q r) drd, (0) n ∫ ∫ ( ) r Jn ( ∫ ∫ ( ) r Jn ( q (0) n q r) cosn drd, r) sinn drd Thay kết vào (6) ta có nghiệm toán Bài 2: Tìm dao động ngang màng tròn với biên gắn chặt, gây lên độ lệch ban đầu có dạng Parabol tròn xoay vận tốc ban đầu không ( ( { ( ) ) ) ( ) ( ) Giải: = a2 ( Ta tìm nghiệm phƣơng trình: + ) thỏa mãn điều kiện: u(L, t) = u(r, 0) = f(r) = A (1 - ) Nghiệm phƣơng trình có dạng: ( ) U(r, t) = ∑ ( cos () ( ) + B0m sin () ( ) ) J0 ( ) với hệ số có dạng: B0m = A0m = ( ) ( ) ) / ∫ / ∫ ( ) F(r) J0( ) dr = ( ) f(r) J0 ( )dr = 35 ( ) / ∫ ( ) (1 - ) J0 ( )dr = ( ) / 0∫ ( ) / ∫ ( ) / ( ) Để tiện cho tính toán, ta đặt: kr = ∫ Ta cần tính hai tích phân sau: J0 (kr) dr; ∫ J0 (kr) dr Để tính tích phân thứ hai ta chứng minh: ∫ ∫ J0(x) dx = 2x2 J0(x) + (x3 – 4x) J1(x), J0(x) dx = x J1(x) Thật vậy: J1(x)  J0(x) = (x) + J1(x), (x) = - J1(x) (x) = J0(x) I=∫ J0(x) dx = ∫ ∫ (x) dx + ∫ dJ1 (x) = x3 J1(x) – ∫ (x) dx =∫  I = x3 J1(x) – ∫ Mà ∫ J1(x) dx J1(x) dx J1(x) dx = - ∫ (x) dx = - ∫ = - x2 J0(x) + ∫ ∫ J1(x) dx J0(x) dx = ∫ (x) dx + ∫ dJ0(x) J0(x) dx (x) dx = x J1(x) I = x3 J1(x) + 2x2 J0(x) – 4x J1(x) = 2x2 J0(x) + (x3 – 4x) J1(x) Do đó: ∫ J0(kr) dr = ∫ = ∫ J0(x) dx = (kr0) J1(kr0) J0 (kr) dr = = 1= [ () ( ) 36 ∫ ( )] J0(x) dx = [( ( ) ∫ J0( = (kr0) J1(kr0) - = ) dr - J1(kr0) - ) ( J0( ∫ ( ) ) dr = ∫ [( ) J1(kr0) + )] ∫ J0(kr) dr )] ( J1(kr0) Nhƣ vậy: A0m = ( ) J1(kr0) = / ( ) / ( ) ( ) u(r,t) = 8A ∑ Vậy: ( ) ( ( ) / ) ( ) ( ) / cos nghiệm dƣơng phƣơng trình J0( ) = 37 / J0(kr) dr KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu dƣới hƣớng dẫn thầy giáo, ThS Lê Khắc Quynh, hoàn thành đề tài “ Dao động màng giải số toán” Trong đề tài này, nghiên cứu dao động màng hình chữ nhật dao động màng vuông, đồng thời giải tập dao động màng thông qua tập minh họa cho dạng màng Với đề tài này, mong muốn hoàn thiện kiến thức chuyên ngành Vật lý lý thuyết nói chung môn Phƣơng pháp toán lý nói riêng Nó đƣợc sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Sƣ phạm Vật lý thời gian học tập nhƣ chuẩn bị hành trang cho trƣờng làm công tác giảng dạy Mặc dù có nhiều cố gắng, nhƣng thời gian có hạn suy nghĩ chủ quan nghiên cứu đề tài nên không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đƣợc bảo đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Chính Cƣơng (2009), Bài tập Phương pháp Toán Lí, NXB ĐHSP Hà Nội Đặng Đức Dũng, Lê Đức Thông (2007), Phương pháp toán cho vật lí tập 3, NXB Đại học Quốc gia TPHCM Bùi Tuấn Khang (2004), Toán chuyên đề, Hàm biến phức Phương pháp Vật lí toán, NXB Đại học Đà Nẵng Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp toán lí, NXB Giáo dục Nguyễn Đình Chí ( chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2004), Toán học cao cấp, tập 3, Phép tính giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục 39 [...]... < m) sin (0 < x < 1) Thay vào f(x, y) ta có: f(x, y) = ∑  Mặt khác: = | sin ∫∫ sin ( ) sin sin dydx = F(x, y) nên: F(x, y) = ∑ sin với { sin Tƣơng tự đối với f(x, y) có: ∫∫ = ( ) sin sin dydx 1.3 Dao động cƣỡng bức của màng chữ nhật Bài toán về dao động cƣỡng bức của màng chữ nhật đƣợc giải bằng phƣơng pháp tách biến tƣơng tự nhƣ bài toán cƣỡng bức của dây hữu hạn Nghiệm của phƣơng trình: u’’tt –... 0(**)  Từ (2.3) và (2.4) ta có: ( )|( ) (2.5) =0 (2.6) trong đó hàm V(x, y) có dạng: V(x, y) = X(x).Y(y) Từ (2.5**) và (2.7) ta đƣợc: { ( ) ( ) (2.7) ( ) ( ) (2.8) với  = Giải (2.8) và kết hợp điều kiện (2.6) ta tìm đƣợc nghiệm V(x, y) ứng với trị riêng  ta hoàn toàn tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình (2.5*) Sau đây là một số bài toán cụ thể: Bài 1: Giải phƣơng trình dao động của màng bằng phƣơng... đường nút Tất cả các đƣờng nút đều đi qua tâm của màng x = y = Hình 3 biểu diễn các đƣờng nút đó Đối với các tần số riêng cao hơn ( k1 2; k2 2), các đƣờng nút có dạng phức tạp hơn 1.5 Phƣơng trình Bessel 1.5.1 Phương trình Bessel Xét dao động của một màng tròn, giả sử màng chiếm một hình trong D bán kính q trên mặt phẳng xOy Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng u = u(r, , t) Điều kiện biên có dạng:... đầu và điều kiện biên của bài toán đƣợc viết dƣới dạng: u=∑ ∑ (t) sin sin (1.6) Vế phải (1.5) đƣợc khai triển thành chuỗi 2 lớp theo sin - g(x,y, t) = ∑ Đối với hàm ∑ sin (t) ta rút ra đƣợc phƣơng trình thông thƣờng: + với điều kiện ban đầu: Trong đó (t) sin và = (0) = (t) ; (1.7) (0) = đƣợc xác định ở trên Thay (t) vào công thức của u ta sẽ tìm đƣợc nghiệm của bài toán dao động cƣỡng bức của màng. .. trùng với mặt phẳng Oxy, màng dao động với vận tốc ban đầu (x, y, 0) = Bxy (L – x)(M – y) (B = const) Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến Giải: Ta tìm nghiệm của phƣơng trình: - a2 ( thỏa mãn điều kiện biên: Và điều kiện ban đầu: | = | )=0 = 0, | | = = 0, | = 0, | = Bxy.(L – x) (M – y) Giả sử nghiệm của bài toán có dạng: U(x, y, t) = X(x).Y(y).T(t) Thay vào phƣơng trình ta có:... =∑  ( (0) n q  (0) n q ( r) = f(r), (0) n q r) = F(r), 19 0r ... dao động màng - Chƣơng 2: Một số tập dao động màng CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 Thiết lập phƣơng trình dao động màng - Giả sử ta có màng đƣợc kéo lực căng T Màng đƣợc giả thiết dao. .. thành đề tài “ Dao động màng giải số toán Trong đề tài này, nghiên cứu dao động màng hình chữ nhật dao động màng vuông, đồng thời giải tập dao động màng thông qua tập minh họa cho dạng màng Với đề... Bessel 13 1.6 Dao động màng tròn 17 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 20 2.1 Dạng 1 :Dao động màng hình chữ nhật 20 2.2 Dạng 2: Dao động màng tròn 31 KẾT