Dao động của màng và giải một số bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ VŨ THỊ NGUYỆT DAO ĐỘNG CỦA MÀNG VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

VŨ THỊ NGUYỆT

DAO ĐỘNG CỦA MÀNG VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: ThS Lê Khắc Quynh

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Sau một khoảng thời gian cố gắng tìm tòi, nghiên cứu, khóa luận tốt

nghiệp với đề tài “ Dao động của màng và giải một số bài toán” đã được

hoàn thành

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Lê Khắc Quynh – người đã

luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa vật lý của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuân lợi cho

em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè

đã luôn ở bên giúp đỡ, động viên em trong suốt quá trình học tập vừa qua Mặc dù đã hết sức cố gắng trong việc hoàn thành khóa luận nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè!

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Nguyệt

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu tài liệu cùng với sự hướng dẫn của thầy

giáo ThS Lê Khắc Quynh tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình.Tôi xin

cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi và không trùng với bất

kỳ nghiên cứu nào trước đó

Hà Nội, ngày tháng năm 2015

Sinh viên

Vũ Thị Nguyệt

MỤC LỤC

Contents

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu của khóa luận 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 3

1.1 Thiết lập phương trình dao động của màng 3

1.2 Dao động của màng chữ nhật 4

1.3 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật 8

1.4 Các đường nút trên màng chữ nhật 9

1.5 Phương trình Bessel 11

1.5.1 Phương trình Bessel 11

1.5.2 Hàm Bessel 13

1.6 Dao động của màng tròn 17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 20

2.1 Dạng 1:Dao động của màng hình chữ nhật 20

2.2 Dạng 2: Dao động của màng tròn 31

KẾT LUẬN 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lý học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên Vật lý học có liên quan chặt chẽ với các môn khoa học khác Từ rất lâu phương pháp Toán học được sử dụng trong Vật lý Toán học là một công cụ

để cho Vật lý phát triển và đặc biệt là Vật lý lý thuyết Các lý thuyết Vật lý đã

sử dụng ngôn ngữ toán học để nhận được những công thức chính xác miêu tả các đại lượng Vật lý thu được những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ước lượng và tiên đoán những hệ quả Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lý đều biểu hiện bằng các giá trị số Càng đi sâu vào nghiên cứu ta càng thấy toán học và vật lý càng có sự giao thoa với nhau

Những Phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất đa dạng bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề như: Hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Bộ môn Phương pháp toán lý là một ví dụ ta phải dùng đến nhiều công thức toán học để giải về bài tập vật lý Từ cơ sở là các phương trình Vật lý toán cơ bản, ứng với từng loại phương trình chúng ta đã xây dựng được một loạt các phương trình dao động như: Phương trình sóng một chiều, phương trình dao động màng, phương trình truyền nhiệt Kiến thức toán này vô cùng cần thiết cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu với các môn học khác trong khi học tại trường Bên cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm chắc được kiến thức Các dạng bài tập thì vô cùng phong phú và

đa dạng Chính vì vậy, chúng ta cần phải làm thế nào để tìm ra phương pháp tốt nhất nhằm tạo ra cho mình niềm say mê, yêu thích môn học này Việc làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời gian ngắn đã nắm được các dạng bài tập, nắm được các phương pháp giải và từ đó có thể phát triển hướng

tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tương tự Được sự định hướng của

thầy giáo hướng dẫn ThS Lê Khắc Quynh nên tôi quyết định chọn đề tài “

Dao động của màng và giải một số bài toán” để nghiên cứu trong khóa luận

tốt nghiệp của mình Mong rằng đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt đầu khi học về phương trình sóng một chiều và các bạn chuẩn bị thi đầu vào cao học ngành Vật lý toán

2 Mục tiêu của khóa luận

- Nghiên cứu về dao động của màng

- Giải một số bài toán về màng

3 Đối tượng nghiên cứu

- Dao động của màng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tổng hợp tài liệu

5 Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

- Chương 1: Tổng quan về dao động của màng

- Chương 2: Một số bài tập về dao động của màng

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG 1.1 Thiết lập phương trình dao động của màng

- Giả sử ta có một màng được kéo bằng lực căng T Màng được giả thiết

là dao động đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả mọi tiết diện của màng

- Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x, y; còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này Kí hiệu độ lệch này là u; u là hàm của các tọa độ x, y và thời gian t:

u = u(x, y, t) (1.1) + Phương trình dao động của màng là phương trình sóng 2 chiều:

S là mật độ khối lượng mặt( khối lượng của một đơn vị diện tích)

● Nếu g(x, y, t) = 0 : dao động tự do không có lực ngoài

● Nếu g(x, y, t) ≠ 0 : dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực + Điều kiện ban đầu:

| = f(x; y): độ lệch ban đầu của điểm (x, y) trên màng

| = F(x; y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên: ( có biên gắn chặt)

| = 0; | là giá trị của hàm u ở các điểm của chu tuyến L

| = 0; | = 0

| = 0; | = 0 Điều kiện ban đầu:

| = f(x, y) | = F(x, y)

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình trên bằng phương pháp tách biến Fourier Đặt: u (x, y, t) = X(x) Y(y) T(t)

C1 = 0; C2 = 0; sinλl = 0 và sinμm = 0 tức là: λl = k1π; μm = k2π ( k1; k2 Z+)

 λ = ; μ =

Thay vào nghiệm của phương trình ta có:

T(t) = A cos( √ at ) + B sin( √ at ) X(x)= D1 sin

Y(y) = D2 sin

Khi đó phương trình tổng quát là:

u = AD1D2 cos(√ at) + BD1D2 sin(√ at)

Mọi điểm (x, y) của màng đều dao động điều hòa với cùng một tần số

với pha ban đầu Biên độ:

A = √ sin

sin

.Mọi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác định và đồng thời đạt được độ lệch lớn nhất của mình về phía này hay phía kia Nói trên màng có sóng đứng với những điểm cố định không dao động gọi là nút.Tập hợp nút tạo thành đường nút Phương trình đường nút là:

sin

= 0; sin

= 0 Điểm mà màng lệch lớn nhất so với trạng thái đứng yên là bụng

| | = 1; | | = 1 Tần số âm cơ bản của màng ứng với | |

Nghiệm tổng quát của phương trình: u = u (x, y, t) = ∑ (x, y, t) +) Xác định ; từ điều kiện ban đầu

Tại t = 0 thay vào phương trình nghiệm tổng quát:

f(x, y) = ∑ sin

sin (0 x < l, 0 )

Giả sử x không đổi, phân tích f(x, y) như hàm của y thành chuỗi theo sin, ta có:

F(x, y) = ∑ sin

sin

với { Tương tự đối với f(x, y) có:

u’’tt – a2

(u’’xx + u’’yy) = - g(x, y, t) (1.5) với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài toán được viết dưới dạng:

+ = (t) (1.7) với điều kiện ban đầu: (0) = ; (0) =

Trong đó và được xác định ở trên Thay (t) vào công thức của u ta sẽ tìm được nghiệm của bài toán dao động cưỡng bức của màng

1.4 Các đường nút trên màng chữ nhật

Để đơn giản, ta xét trường hợp màng hình vuông Khi đó ta có m = l Tần số dao động của sóng đứng là:

= √ (1.8) giá trị của không thay đổi với các k1, k2 thỏa mãn phương trình:

Chẳng hạn với , ta luôn có một sóng đứng kể cả với màng chữ nhật Ứng với = = (52 + 52 = 12 + 72 = 72 + 12), ta có ba sóng đứng cùng tần số Như vậy sẽ có một vài hàm riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng (bội của các giá trị riêng) Trong dao động của sợi dây không có hiện tượng này

Ta xét trường hợp dao động của màng vuông có tần số = = √ a Dao động tổng hợp có dạng:

u1,2 + u2,1 = ( a1,2 cos √ at + b1,2 sin √ at) sin sin

+ + ( a2,1 cos √ at + b2,1 sin √ at) sin sin

Ta tìm các đường nút trong dao động này nghĩa là các điểm đứng yên đối với mọi t 0 ( u1,2 + u2,1 = 0) Các điểm x, y đó phải thỏa mãn đẳng thức:

=

√ √

√ √

Từ đó ta rút ra: = = const

Vì vế trái chỉ phụ thuộc tọa độ còn vế phải chỉ phụ thuộc vào thời gian, mặt khác vì ở các thời điểm trong màng 0 < x < l; 0 < y < l thì sin

 0 và sin

 0 nên đẳng thức trên có thể viết:

=

=

y = x: ta có đường nút là đường chéo của màng (hình 4.1.a)

b) > 1 thì đường nút nằm trong một dải song song với trục y, trong đó

g) p = 0 thì y = (hình 4.1.g)

h) 0 < < 1, thay y cho x ta dẫn đến trường hợp b) (hình 4.1.h)

Hình 3: Hình biểu diễn các đường nút

Tất cả các đường nút đều đi qua tâm của màng x = y = Hình 3 biểu

Xét dao động của một màng tròn, giả sử màng chiếm một hình trong D

bán kính q trên mặt phẳng xOy Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng

u = u(r, , t)

Điều kiện biên có dạng: | = 0

Phương trình truyền nhiệt theo (r, t) là:

Trong tọa độ cực, toán tử Laplaxo 2 chiều có dạng:

u = + =

( r

) + (  ) ( có thể suy ra toán tử Laplaxo trong tọa độ trụ với = 0)

Thay vào phương trình trên ta có:

- a20

/ .  /1 = 0 (1.11) Hay: - a20 ( ) 1 = 0

Các điều kiện ban đầu trong tọa độ cực có dạng:

| = f(r, ); | = F(r, ) Đặt u = R(r) () T(t) Có: = R ; =  T; = 

Phương trình (1.13) có thể được viết dưới dạng:

Thành thử đối với hàm R(r) ta có phương trình:

= γ

=

= γ . / = γ

= γ

Ta hãy khai triển các nghiệm riêng của phương trình (1.17) thành chuỗi lũy thừa:

y = ∑

Để tìm các hệ số của chuỗi, ta lấy các đạo hàm

=∑

và

= ∑ ( )

Thay vào phương trình (1.17) sau khi nhân với x2

, ta có:

∑ ( ) + ∑ + ( ) ∑ = 0 (1.18) đối với mọi x Vậy tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x phải bằng không Bây giờ ta viết lại chi tiết từng số hạng của vế trái (1.18)

c2m = (-1)m

( ) = ( -1)

m

( ) ,

c2m + 1 = 0 (m = 0, 1, 2 ) Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với k = 0

y = c0∑ ( )

( ) = c0J0(x)(1.20) trong đó

J0(x) = ∑ ( )

( ) = ∑ ( ) . /

( )được gọi là hàm Bessel loại một hạng không

c2m + 1 = (- 1)m

( ) ( ) , ( )- = (- 1)

m

( ) , (m = 0, 1, 2, )

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với k = 1:

y = c1∑ ( )

( ) = 2 c1J1 (x) (1.21) trong đó

J1 (x) =∑ ( )

( ) = ∑ ( ) . /

( )

được gọi là hàm Bessel loại 1 hạng 1

)-ck +2m = ( ) [ ( )][ ( )] [ ( )]

= ( )

( )( ) ( ) =

= ( )

( ) (m = 0, 1, 2, ) Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel khi k = 2, 3,

y = k! ck∑ ( )

( ) = 2k k! ck Jk (x) (1.22) trong đó

Jk (x) = ∑ ( )

( ) = ∑ ( ) . /

được gọi là hàm Bessel loại 1 hạng k

Nếu k = 0, 1, ta lại có các biểu thức (1.21), (1.22) Vậy (1.23) xác định hàm Bessel loại 1 tất cả các hạng k = 0, 1, 2, Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (1.23) là hội tụ và thỏa mãn phương trình Bessel (1.17)

Biểu thức (1.23) của hàm Bessel loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua các hàm Gamma (t)

(t) = ∫ dx ( t > 0) Khi đó hệ thức (1.23) đúng với cả k không nguyên

Đối với các giá trị x lớn, hàm Jk (x) gần với √ cos /

hay chính xác hơn

Jk (x) = √ cos / , ( )- (1.25)

trong đó (x)  0 khi x 

Từ công thức (1.25) ta rút ra là Jk (x) có một tập hợp vô số các nghiệm ( ),

n = 1, 2, 3, trên nửa trục dương x:

Xét dao động của màng tròn bán kính q gắn chặt ở mép Dao động của

nó tuân theo phương trình:

u = R(r) () T(t) (1.27) Suy ra: = R ;  = R T; = T

Thay vào phương trình ta có:

có nghiệm dạng: T = A cosγat + B sinγat

và  + k2 = 0 có nghiệm dạng:  = D1 cosk + D2 sink

Từ đó ta có: R(r) = C1Jk(γr) + C2Nk(γr) (1.29)

+) Tính hệ số: , ( )-= 0

Tại tâm màng, R(r) vẫn phải hữu hạn, cho nên hằng số C2 phải bằng 0, nghĩa là:

R(r) = C1Jk(γr)

Áp dụng điều kiện biên: | = 0 → ( ) = 0

còn nếu không, ngƣợc lại:

q r ) = 0

nghĩa là r = q

( ) 1 ( )

k k n

, r = q

( ) 2 ( )

k

k n

, … r =

( ) 1 ( )

k n k n



Một trường hợp quan trọng của màng tròn là có dạng sóng đứng không phụ thuộc vào  nghĩa là () = hằng số Dao động như vậy gọi là đối xứng trụ Các điều kiện ban đầu bây giờ có dạng:

| = f(r)

| = F(r) trong trường hợp này phải đặt k = 0 và rút ra () = D1

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CỦA MÀNG

2.1 Dạng 1:Dao động của màng hình chữ nhật

Ta tìm nghiệm của phương trình:

= a

2. / (2.1) trong miền *( ) + thỏa mãn các điều kiện ban đầu:

| = ( )

| = (x, y) (2.2) với φ (x,y), (x, y) xác định trong miền G và thỏa mãn các điều kiện biên:

( )|( ) = 0 (2.3) dưới dạng: u (x, y, t) = V(x, y).T(t) (2.4) Khi đó ta có các phương trình:

Từ (2.5**) và (2.7) ta được: { ( ) ( ) ( ) ( ) (2.8)

với  = Giải (2.8) và kết hợp điều kiện (2.6) ta tìm được nghiệm V(x, y) ứng với trị riêng  ta hoàn toàn tìm được nghiệm của phương trình (2.5*)

Sau đây là một số bài toán cụ thể:

Bài 1: Giải phương trình dao động của màng bằng phương pháp tách biến

trên mặt phẳng (x,y) với biên có dạng:0 L1,0 L2

( ) ( ) +

( ) ( ) = -

2

trong đó  là hằng số tách biến

Từ (2) ta suy ra phương trình: T t''( )a22T t( )0 (3) Chọn:

( ) ( ) = - ,

( ) ( ) = -

Giải phương trình (3), ta có các hàm riêng và trị riêng sau:

{

( ) ( ) (4)

2 = mn = √. / . / (5) Phương trình hàm T có dạng: '' 2 2

( ) mn ( )

T t a  T t = 0 (6)

và có nghiệm là:

T(t) = Tmn (t) = Amn cos amn t + Bmn sin amn t (7) trong đó: Amn, Bmn là các hằng số tùy ý

Phương pháp tách biến cho ta tích của 3 phương trình vi phân tương ứng với

3 biến độc lập là một trong các nghiệm riêng sau: