SKKN sáng kiến kinh ngiệm hướng dẫn học sinh phân loại và giải một số bài toán về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC Người thực hiện: Lê Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2015 MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ Lời mở đầu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Đối tượng thời gian nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lí thuyết Các dạng tập C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết Kiến nghị Trang 1 2 3 20 20 20 A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Toán học môn học quan trọng chương trình phổ thông, chiếm vai trò lớn việc hình thành phát triển trí tuệ, nhân cách người; Toán học môn học công cụ em học tốt môn học khác Trang bị kiến thức, phương pháp, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học môn Toán nói chung chương trình lớp 12 phần Số phức nói riêng Số phức phần quan trọng chương trình toán THPT phát triển khả tư Toán học cho học sinh, áp dụng nhiều kì thi Tốt nghiệp THPT Đại họcCao đẳng (nay kì thi THPT quốc gia) thời lượng nội dung nội dung đưa vào chương trình phổ thông từ năm 2008 học sinh lúng túng việc phân dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán số phức Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, Đại họcCao đẳng, lựa chọn phân dạng cho toán Số phức từ đơn giản đến phức tạp có phương pháp giải phù hợp để giúp cho đối tượng học sinh không bị thụ động đa dạng toán Từ đó, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Hướng dẫn học sinh phân loại giải số toán Số phức" với mong muốn giúp học sinh thấy dễ dàng học phần Số phức có thêm tài liệu trình ôn thi kì thi THPT quốc gia Với kinh nghiệm, lực thời gian nghiên cứu có hạn, mong góp ý đồng nghiệp hội đồng khoa học để đề tài hoàn thiện II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực trạng Trên thực tế có nhiều năm kì thi vào đại học cao đẳng, kì thi tốt nghiệp THPT có toán số phức thi Tuy nhiên sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 2, nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ thực hành, phương pháp tư duy, số học sinh toán số phức yếu, số nguyên nhân sau: - Học sinh nắm kiến thức không vững, chưa chủ động học tập cách tích cực, ngại phát giải vấn đề dựa tảng kiến thức cũ - Thời lượng dành cho nội dung số phức lại xếp vào cuối chương trình Giải tích 12 - Số phức mảng kiến thức đưa vào chương trình phổ thông nên tài liệu tham khảo Hiệu vấn đề Các dạng toán áp dụng giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn Tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh em gặp toán dạng em giải nhanh thường đạt kết tốt III ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số toán số phức số tập có liên quan - Đối tượng áp dụng để thực học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn lớp phụ trách Thời gian nghiên cứu: Nghiên cứu năm học 2009-20010, 20102011, 2012-2013, 2014-2015 IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa số sách tham khảo, báo Toán học tuổi trẻ để có hệ thống kiến thức hoàn chỉnh số phức sau xếp kiến thức cần dùng theo trình tự logic môn học Phân chia toán thành dạng để học sinh dễ vận dụng nắm bắt phương pháp - Nghiên cứu thực tế: Sau có nghiên cứu lí thuyết sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào dạy tự chọn nâng cao buổi bồi dưỡng ôn thi đại học Thông qua đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu học sinh kết cho thấy phương pháp hiệu cho em giải toán phần B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa số phức: Một số phức biểu thức dạng a + bi a b số thực số i thỏa mãn i = −1 Kí hiệu: z = a + bi i: đơn vị ảo a: phần thực b: phần ảo Chú ý: - Số phức có phần ảo gọi số thực - Số phức có phần thực gọi số ảo (hay số ảo) - Số vừa số thực vừa số ảo - Tập hợp số phức kí hiệu £ Hai số phức nhau: Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ¡ ) gọi nếu: a = a ', b = b ' Khi ta viết z = z ' Biểu diễn hình học số phức Một số phức z = a + bi biểu diễn hình học điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Ngược lại điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi Gốc toạ độ O: biểu diễn số Trục Ox : Trục thực Trục Oy : Trục ảo uuuur Môđun số phức: Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a − bi Phép cộng số phức: Tổng hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i (a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) số phức z + z ' = a + a '+ (b + b ')i Phép trừ số phức: Hiệu hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i (a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) tổng z với -z', tức z − z ' = a − a '+ (b − b ')i Phép nhân số phức: Tích hai số phức z = a + bi z ' = a '+ b ' i (a, b, a ', b ' ∈ ¡ ) số phức z.z ' = aa '− bb '+ (ab '+ a ' b)i Tổng tích hai số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) Ta có z + z = 2a z z = a + b = z z ' z '.z z ≠ 10 Phép chia hai số phức: Nếu = z z 11 Căn bậc hai số phức: Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi bậc hai w 12 Phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai Az + Bz + C = , A, B, C số phức A ≠ Xét biệt thức ∆ = B − AC * Nếu ∆ ≠ (1) có hai nghiệm phân biệt: z1 = bậc hai ∆ −B + δ −B − δ , z2 = Với δ 2A 2A B 2A 13 Acgumen số phức: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳn phức biểu diễn số phức z Số đo (rad) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z 14 Dạng lượng giác số phức Định nghĩa: Dạng z = r(cos ϕ + i sin ϕ ), r >0 gọi dạng lượng giác số phức z ≠ Còn dạng z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) gọi dạng đại số số phức z n n 15 Công thức Moa-vrơ: [r (cos ϕ + i sin ϕ )] = r (cos nϕ + i sin nϕ ) n Khi r = 1, ta có: (cos ϕ + i sin ϕ ) = cos nϕ + i sin nϕ * Nếu ∆ = (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = − II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Giải phương trình tập số phức 1.1 Phương trình bậc nhất, bậc hai phương trình quy bậc hai Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Giải phương trình sau tập số phức z + 3(1 + i ) z + 5i = (1) Giải: Ta có ∆ = [ 3(1 + i ) ] − 4.5i = −2i = − 2i + i = (1 − i ) −3(1 + i ) − (1 − i )  = −2 − i  z1 = (1) ⇔   z = −3(1 + i) + (1 − i ) = −1 − 2i  2 Đáp số: z1 = -2 - i, z2 = -1 - 2i Bài 2: (Trích đề thi Cao đẳng khối A,B, D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn 2−i = ( − i ) z (1) ( − 2i ) z − 1+ i Tìm toạ độ điểm biểu diễn z mặt phẳng toạ độ Oxy 2−i 2−i ⇔ ( −2 − i ) z = ⇔z= + i Giải: (1) ⇔ ( − 2i ) z − ( − i ) z = 1+ i 1+ i 10 10 Đáp số: Vậy tọa độ điểm biểu diễn z mặt phẳng toạ độ Oxy thỏa mãn 1 7 yêu cầu toán M  ; ÷  10 10  Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Giải phương trình sau z − − 7i = z − 2i tập số phức: (1) z −i Giải: ĐK: z ≠ i (1) ⇒ z − − 7i = ( z − 2i ) ( z − i ) ⇔ z − ( + 3i ) z + + 7i = (2) Phương trình (2) có ∆ = ( + 3i ) − ( + 7i ) = − 4i = − 4i + i = ( − i ) + 3i − (2 − i )  z = = + 2i (t/m)  Do đó: (2) ⇔   z = + 3i + (2 − i ) = + i (t/m)  Đáp số: z = + 2i z = + i 2 Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức ( z + 11) + 16 ( z + ) = 2 Giải: ( z + 11) + 16 ( z + ) = ⇔ ( z + 11) +  ( z + ) i  = ⇔ 9 z + 11 + ( z + ) i  9 z + 11 − ( z + ) i  = 2 2 ⇔ ( z + 12iz + 11 + 8i ) ( z − 12iz + 11 − 8i ) = 1 Đáp số: Vậy phương trình có nghiệm z1 = + 2i; z2 = − − i; 3 1 z3 = − 2i; z4 = − + i 3 2 Chú ý: Khi gặp phương trình dạng [ f ( z ) ] + [ g ( z ) ] = ta đưa phương trình dạng [ f ( z ) ] − [ g ( z ).i ] = ⇔ [ f ( z ) − g ( z ).i ][ f ( z ) + g ( z ).i ] =  f ( z ) − g ( z ).i = ⇔  f ( z ) + g ( z ).i = Bài 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương z z 3+i z − (m + 4i ) z − + 7i = (1) Tìm số phức m cho + = z2 z1 2 Giải: Phương trình (1) có ∆ = ( m + 4i ) − ( −1 + 7i ) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ≠  z1 + z2 = m + 4i Khi theo định lí Vi-et ta có  z z = − + i  2 z1 z2 + i z12 + z22 + i (z +z ) 3+i + = ⇔ = ⇔ −2= Mặt khác: z2 z1 z1 z2 z1 z2 2 ( m + 4i ) ⇔ 7+i 2 ⇔ ( m + 4i ) = −7 + 24i ⇔ ( m + 4i ) = ( + 4i ) − + 7i  m + 4i = + 4i m = ⇔ ⇔ ( t/m ∆ ≠ ) m + i = − − i m = − − i   Vậy m = 3; m = −3 − 8i = trình Chú ý: Bài học sinh thường giải thiếu nghiệm m = −3 − 8i xem m số thực Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức: a) ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = b) ( z + − i) − ( z + − i ) + 13 =  iz +   iz +  c)  ÷ − 3 ÷− =  z − 2i   z − 2i  Hướng dẫn w = 2 a) Đặt w = z + z ta phương trình w + 4w − 12 = ⇔   w = −6 * Với w = ⇔ z + z = ⇔ z = 1, z = −2 −1 ± i 23 * Với w = −6 ⇔ z + z = −6 ⇔ z = −1 ± i 23 Vậy phương trình có nghiệm z = 1, z = −2, z = b) Đặt w = z + − i iz + c) Đặt w = z − 2i Chú ý: Khi gặp phương trình dạng A[ f ( z ) ] + B [ f ( z ) ] + C = ta đặt w = f ( z ) để phương trình Aw2 + Bw + C = , giải phương trình tìm w tìm z z2 Bài 7: Giải phương trình: z − z + + z + = tập số phức Giải: Dễ thấy z = nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho z ta 1 1 1   z − z + + + = ⇔  z − ÷ −  z − ÷+ = z z z z   1 ± 3i Đặt t = z − ta phương trình 2t − 2t + = ⇔ t = z − 3i 1 − 3i 1+ i ⇔z− = ⇔ z − (1 − 3i ) z − = ⇔ z1 = − , z2 = − i * Với t = z 2 + 3i 1 + 3i −1 + i ⇔z− = ⇔ z − (1 + 3i) z − = ⇔ z3 = , z4 = + i * Với t = z 2 1+ i −1 + i , z = − i , z3 = , z4 = + i Đáp số: z1 = − 2 Bài 8: Giải phương trình sau tập số phức z − z + z − z + 16 = Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho z đặt t = z + z 15 15 Đáp số: z1 = − − i; z = − + i; z3 = − 3i; z4 = + 3i 2 2 Bài 9: Giải phương trình sau tập hợp số phức: ( z − z ) ( z + 3) ( z + ) = 10 Hướng dẫn: Chia hai vế phương trình cho z đặt t = z + z 15 15 Đáp số: z1 = − − i; z = − + i; z3 = − 3i; z4 = + 3i 2 2 Bài 10: Giải phương trình sau tập số phức: z − ( − i ) z − ( − i ) z + 16 − 2i = (1) biết phương trình có nghiệm thực Giải: Gọi nghiệm thực phương trình (1) a, ta có a − ( − i ) a − ( − i ) a + 16 − 2i = ⇔ a − 3a − 2a + 16 + ( a + a − )i = a − 3a − 2a + 16 ⇔ ⇔ a = −2 a − a − a + 16   z = −2 ⇔ z + z − − i z + − i = ⇔   ( ) ( ) Do (1)    z − ( − i ) z + − i = (2) Phương trình (2) có ∆ = ( − i ) − 4(8 − i) = −8 − 6i = − 6i + 9i = (1 − 3i ) Do (2) ⇔ z = + i, z = − 2i Đáp số: phương trình (1) có nghiệm z = −2, z = + i, z = − 2i 1.2 Tìm số phức z cách giả sử z = a + bi Bài toán: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình (1) Ta thường thực theo bước: Bước 1: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Bước 2: Thay z = a + bi vào phương trình (1) sử dụng định nghĩa hai số phức để lập hệ phương trình từ tìm a, b Bước 3: Kết luận Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2011) Tìm số phức z , biết z − ( + 3i ) z = − 9i Giải: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Ta có a + bi − ( + 3i ) (a − bi ) = − 9i ⇔ − a − 3b + (−3a + 3b)i = − 9i −a − 3b = a = ⇔ ⇔ −3a + 3b = −9 b = −1 Đáp số: z = - i Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm tất số phức z, biết z2 = z + z Hướng dẫn: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) 1 1 Đáp số: z = 0, z = − + i, z = − − i 2 2 Bài 6: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm số phức z, biết 5+i z− −1 = z Hướng dẫn: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Đáp số: z = − i 3, z = − i Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: z = z số ảo Hướng dẫn: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Đáp số: z = + i; z = − i; z = −1 + i; z = −1 − i 25 = − 6i (1) Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn phương trình: z + z Giải: ĐK: z ≠ Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ , a + b > )  a ( a + b + 25 ) = (2)  a ( a + b + 25 ) b ( a + b + 25 )  a + b2 (1) ⇔ − i = − 6i ⇔  2 a + b2 a + b2  b ( a + b + 25 ) = (3)  a + b2 a 3 = ⇒ a = b Thay vào (2) ta b 4  a = ⇒ b = (l) a ( a − 8a + 16 ) = ⇔   a = ⇒ b = (t/m) Vậy số phức cần tìm là: z = + 3i iz − (1 + 3i) z = z Bài 6: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện 1+ i 45 + i Đáp số: z1 = 0; z2 = 26 26 Bài 7: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2009) Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 Đáp số: z = + 4i , z = Lấy (2) chia cho (3) ta Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức Chú ý: Cho số phức z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Trong a: phần thực số phức z b: phần ảo số phức z z số thực ⇔ b=0 z số ảo ⇔ a=0 Số 0: vừa số thực, số ảo Môđun số phức z: z = a + b , z = z , z z = z z = OM = a + b , với M điểm biểu diễn z O gốc tọa độ Bài 1: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn z − 2(1 + i ) z + 2i = Tìm phần thực phần ảo số phức z 1 Giải: z − 2(1 + i ) z + 2i = ⇔ z = + i Ta có = − i z 2 1 Vậy số phức có phần thực phần ảo − z 2 Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho số phức z thoả mãn ( + 2i ) = + 8i Tìm môđun số phức w = z + + i ( + i) z + 1+ i Đáp số: z = + 2i, w = + 3i, w = Bài 3: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2012) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + + 2i = Tính z1 + z2 z = i Giải: Ta có z − z + + 2i = ⇔  z = − i Vậy z1 + z2 = + Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho số phức z thoả mãn 5( z + i ) = − i Tìm môđun số phức w = + z + z z +1 Đáp số: z = + i, w = + 3i, w = 13 Bài 5: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm môđun số phức z, biết ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i 1 Đáp số: z = − i ⇒ z = 3 Bài 6: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn ( + 2i ) z + z = 4i − 20 Tính môđun số phức z Đáp số: z = + 3i, z = Bài 7: Tìm phần thực số phức: z = ( + i ) , n ∈ ¥ thỏa mãn: log ( n − 3) + log ( n + ) = Đáp số: n = 19, z = −512 + 512i nên phần thực số phức z -512 Bài 8: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Tìm phần ảo số phức z, biết n z= ( +i ) ( − 2i ) Đáp số: z = − 2i nên phần ảo − Bài 9: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho số phức z thoả mãn ( − 3i ) z= Tìm môđun số phức z + iz 1− i Đáp số: z = -4 + 4i, z + iz = −8 − 8i ⇒ z + iz = Bài 10:(Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức 2 phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 2 Đáp số: A = z1 + z2 = 20 Bài 11: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2009) Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) (2 − i) z = + i + (1 + 2i ) z Tìm phần thực phần ảo z Đáp số: z có phần thực phần ảo −3 α Bài 12: Cho α , β hai số phức liên hợp thoả mãn số thực β2 α − β = Tính α Đáp số: Giả sử α = a + bi (a, b∈ ¡ ), β = a − bi Ta có α − β = ⇔ 2bi = ⇔ b = ⇔ b = a − 3ab + 3b ( a − b ) i a + bi ) α α3 ( = = Mặt khác = β ( αβ ) ( αβ ) ( a + b ) ( a + b2 ) a + b ≠ a =  2 ⇒ α =3 Từ giả thiết ta có 3b ( a − b ) = ⇔  b =   b = 3 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Bài toán: Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ Từ điều kiện toán, tìm mối quan hệ x y từ suy tập hợp số phức z thoả mãn điều kiện toán 3.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau z + i = z − Giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ Theo z + i = z − ⇔ x + yi + i = x + yi − ⇔ x + ( y + 1)i = x − + yi x + ( y + 1) = ( x − 2) + y ⇔ x + y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình x + y − = Bài 2: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z z+i = thoả mãn điều kiện z+2 Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường thẳng có phương trình x − y + = Bài 3: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z + z = + i z ( ) Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán phần đường thẳng có phương trình y = − 3x với x ≥ 3.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2010) Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z − i = (1 + i ) z Giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ Theo z − i = (1 + i ) z ⇔ x + yi − i = (1 + i )( x + yi ) ⇔ x + ( y − 1)i = x − y + ( x + y )i x + ( y − 1) = ( x − y) + ( x + y ) ⇔ x + y + y − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường tròn tâm I ( 0; −1) bán kính R = Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Trong mặt phẳng toạ độ phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 − 4i) = Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường tròn tâm I (3; −4) bán kính R=2 Bài 3: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau a) z − + 3i = b) (2 − z )(i + z ) số ảo Đáp số: a) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường tròn tâm I(1; -3) bán kính R = b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán đường  1 tròn tâm I  1; ÷ bán kính R =  2 3.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức hình tròn Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau a) z − + i ≤ b) z + − 2i < Đáp số: a) Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ Theo z − + i ≤ ⇔ x + yi − + i ≤ ⇔ x − + ( y + 1)i ≤ ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) ≤ ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) ≤ Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán hình tròn tâm I ( 1; −1) , bán kính R = (kể biên) b) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán hình tròn tâm I ( −3;2 ) bán kính R = ( không kể biên) 3.4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường cônic Bài 1: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z z − z + 2i = thoả mãn điều kiện z −i Đáp số: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn yêu cầu toán parabol y = x Bài 2: Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z − + z + = 10 Giải: Trong mặt phẳng phức giả sử điểm M, F1 , F2 biểu diễn số uuuur uuuur phức z, -3, Dễ thấy: F1M biểu diễn số phức z − ( −3) = z + , F2 M biểu diễn số phức z − Với F1 , F2 nằm trục thực Ox Khi điều kiện z − + z + = 10 ⇔ MF2 + MF1 = 10 F1F2 = Vậy tập hợp điểm M elip (E) có trục lớn 10 trục bé 8, x2 y + = phương trình elip (E) 25 16 Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ Bài toán: Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải: Bước 1: Tìm tập hợp A điểm biểu diễn z thoả mãn điều kiện cho trước Bước 2: Tìm số phức z tương ứng với điểm M ∈ ( A) cho khoảng cách OM lớn nhỏ (với O gốc tọa độ) 4.1 Tập hợp A đường thẳng Chú ý: Trong trường hợp toán thường yêu cầu tìm số phức có môđun nhỏ ta cần tìm điểm M ∈ ( A) cho đoạn OM ngắn Ta có cách để tìm điểm M: Cách 1: M hình chiếu vuông góc O đường thẳng biểu thị tập A Cách 2: Từ phương trình đường thẳng biểu thị tập A rút y theo x (hoặc rút x theo y) thay vào công thức tính OM tìm giá trị nhỏ hàm số bậc vừa có Bài 1: (Minh họa cho cách 1) Biết số phức z thoả mãn u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực Tìm giá trị nhỏ môđun số phức z Giải: Giả sử z = x + yi , x, y ∈ ¡ Ta có: u = ( z + − i )( z + + 3i ) = ( x + 3)( x + 1) − ( y − 1)(3 − y ) + [( x + 3)(3 − y ) + ( x + 1)( y − 1)]i = x − y + + [( x + 3)(3 − y ) + ( x + 1)( y − 1)]i u số thực ⇔ x − y + = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z để u số thực đường thẳng ∆: x − y + = Gọi M(x; y) điểm biểu diễn số phức z Mà z = OM nên z nhỏ ⇔ M hình chiếu O lên đường thẳng ∆ Gọi d đường thẳng qua O vuông góc với ∆ Ta có d: x + y = Khi M= d ∩∆ ⇒ Toạ độ M nghiệm hệ phương x + y =  x = −2 ⇔ ⇒ M (−2;2) trình:  x − y = y = Vậy z = 2 ⇒ z = −2 + 2i Bài 2: (Minh họa cho cách 2) Biết số phức z thoả mãn z + − 3i = (1) z −4+i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giải: ĐK: z − + i ≠ ⇔ z ≠ − i ⇔ z ≠ + i (*) Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ,( x; y ) ≠ (4;1), i = −1), ⇒ z = x − yi 2 (1) ⇔ z + − 3i = z − + i ⇔ ( x + 2) + ( y − 3)i = ( x − 4) + (1 − y ) ( x + 2) + ( y − 3) = ( x − 4) + (1 − y ) ⇔ ( x + 2) + ( y − 3) = ( x − 4) + (1 − y ) ⇔ x − y − = (t/m (*)) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z để u ∈ ¡ đường thẳng ∆ : x − y − = Gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi Do M ∈ ∆ nên M ( x;3x − 1) Mà 1  z = OM = x + y = x + (3x − 1) = 10 x − x + = 10  x − x + ÷ 10 10   ⇔ 1 1 3 1    = 10  x − x + ÷ = 10  x − x + ÷ = 10  x − ÷ + ≥ , ∀x 10 10  10 10  10  10 10    ⇔ z = − i Vậy z = 10 10 10 Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z −1 = Tìm số phức z biết z + − 5i đạt giá z − 2i trị nhỏ Gợi ý: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi thoả mãn z −1 = z − 2i đường thẳng x − y + = Ta có z + − 5i = ( y − 1) + 20 ≥ Vậy z + − 5i = ⇔ z = + i 2 4.2 Tập hợp A đường tròn Chú ý: Trong trường hợp toán thường yêu cầu tìm số phức có môđun nhỏ số phức có môđun lớn nhất, ta cần tìm điểm M , N ∈ ( A) cho đoạn OM ngắn đoạn ON dài Ta có cách để tìm điểm M, N: Cách 1: M, N giao đường thẳng OI với đường tròn biểu thị tập A (I tâm đường tròn biểu thị tập A) Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki Cách 3: Lượng giác hóa Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + + 2i = (1) Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn Giải Cách 1: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) (1) ⇔ z + + 2i = ⇔ x + yi + + 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) = Vậy tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi thoả mãn điều kiện (1) đường tròn (C) có tâm I (−1; −2) , bán kính R = Điểm M(x; y) biểu diễn số phức z có môđun nhỏ ( môđun lớn nhất) giao điểm đường thẳng OI với đường tròn (C) cho độ dài đoạn OM nhỏ ( lớn nhất) Dễ thấy phương trình đường thẳng OI: y = 2x Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:    M  −1 + ; −2 +  ÷ OM = −  ( x + 1) + ( y + 2) = ( x + 1) = 5   ⇔ ⇒ 5⇔     OM = +  y = 2x  y = x ; −2 −  M  −1 − ÷ 5     +  −2 + Vậy z = − ⇔ z = −1 + ÷i  5   max z = + ⇔ z = −1 − +  −2 − ÷i  5 Cách 2: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) (1) ⇔ z + + 2i = ⇔ x + yi + + 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = 2 ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) = (2) Ta có z = OM = x + y = ( x + − 1) + ( y + − 2) = ( x + 1) + ( y + 2) − 2( x + 1) − 4( y + 2) + = − [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] (2) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki ta có ( x + 1) + 2( y + 2) ≤ ( 12 + 22 ) ( x + 1)2 + ( y + 2)  = (2) ⇔ − ≤ ( x + 1) + 2( y + 2) ≤ ⇔ ≥ −2 [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] ≥ ⇔ + ≥ − [ ( x + 1) + 2( y + 2) ] ≥ − ⇔ ( ) 2 +1 ≥ z ≥ (  x +1 y + =   ⇔ z = −1 + +  −2 + Vậy z = − ⇔   ( x + 1) + 2( y + 2) =   x +1 y + =   max z = + ⇔  ⇔ z = −1 − +  −2 −  ( x + 1) + 2( y + 2) = −  Cách 3: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) (1) ⇔ z + + 2i = ⇔ x + yi + + 2i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2)i = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) = ⇔ ( x + 1) + ( y + 2) =  x + = cos t  x = −1 + cos t ⇔ Đặt  Ta có  y + = sin t  y = −2 + sin t ) −1 2  ÷i 5  ÷i 5 2   z = x + y = ( cos t − 1) + (sin t − 2) = − 2(2sin t + cos t ) = −  sin t + cos t ÷   2 ;sin α = , ta có z = − sin(t + α ) Mà 5 −1 ≤ sin(t + α ) ≤ ⇔ ≥ −2 sin(t + α ) ≥ −2 Đặt cos α = ⇔ + ≥ − sin(t + α ) ≥ − ⇔ Vậy z = − ⇔ sin(t + α ) = ⇔ α = ( ) 2 +1 ≥ z ≥ ( ) −1 π − t + k 2π , k ∈ ¢ 2   sin t = cos α =  x = −1 + ⇒ Khi  cos t = sin α =  y = −2 +   1   ⇒ z = −1 + +  −2 + ÷i  5 π max z = + ⇔ sin(t + α ) = −1 ⇔ α = − − t + k 2π , k ∈ ¢ 2   sin t = − cos α = − x = − −     ⇒ ⇒ z = −1 − +  −2 − Khi  ÷i 5   cos t = − sin α = −  y = −2 −   z + 2−i = Bài 2: Biết số phức z thoả mãn (1) z +1− i Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn môđun số phức z Đáp số: z = 10 − ⇔ z = (−3 + 10)i , z max = 10 + ⇔ z = ( 10 + 3)i z + + 3i số ảo z −i Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức z −2 + 10 −2 + 10 Đáp số: z = − ⇔ z = + i 2 −2 − 10 −2 − 10 max z = + ⇔ z = + i 2 4.3 Dùng phương pháp hàm số Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = + z + − z Giải: Giả sử z = x + yi; x, y ∈ ¡ 2 2 Theo z = ⇔ x + y = ⇔ y = − x , 2 mà y ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Bài 3: Biết số phức z thoả mãn: u = Ta có + z = x + 2, − z = − x Vậy P = x + + − x với x ∈ [ −1;1] liên tục đoạn [ −1;1] 1 − , x ∈ ( −1;1) ⇒ P ' = ⇔ x = − 2x + 2 − 2x  4 Ta có P (−1) = 6, P  − ÷ = 10; P(1) =  5 Vậy: P = ⇔ x = 1, y = ⇔ z = , 4 max P = 10 ⇔ x = − ; b = ± ⇔ z = − ± i 5 5 Bài 2: Cho số phức z thoả mãn z = Tìm giá trị lớn M = z − z + Giải: Giả sử z = x + yi; x, y ∈ ¡ 2 2 Theo z = ⇔ x + y = ⇔ y = − x , 2 mà y ≥ ⇔ − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ P' = Ta có M = z − z + = x − x − x + Dễ thấy hàm số f ( x) = x − x − x + liên tục đoạn [ −1;1] f '( x) = 12 x − x − ⇒ f '( x) = ⇔ x = − , x =   13   Ta có f ( −1) = f ( 1) = 1, f  − ÷ = , f  ÷ = −  2 3 Vậy max M = max f ( x) = 13 ⇔ x = − ⇒ y = ± [ −1;1] 2 Dạng lượng giác số phức Chú ý: Cách tìm dạng lượng giác số phức z ≠ : Tìm r = a + b = OM (M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z) a b Tìm ϕ ( acgumen z); ϕ số thực cho cos ϕ = sin ϕ = r r Và ϕ số đo góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − 3iz − = viết dạng lượng giác z1 z2 π π 2π 2π    + i sin Đáp số: z1 =  cos + i sin ÷, z2 =  cos ÷ 3 3    Bài 2: Cho số phức z = + 3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z Đáp số: π π 5π 5π      π  π  z =  cos + i sin ÷⇒ z = 32  cos + i sin ÷ = 32  cos  − ÷+ i sin  − ÷÷ 3 3     3    Bài 3: Cho số phức z = − i Hãy viết số phức z n dạng lượng giác biết log log n − n + ) n ∈ ¥ thỏa mãn: n − 2n + + ( = ( n − 2n + ) 3   π  π  Đáp số: n = , z = cos  − ÷+ i sin  − ÷ ⇒ z = cos ( −π ) + i sin ( −π )      3 Bài 4: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2011) Tìm phần thực phần ảo 1+ i  số phức z =  ÷ + i   Hướng dẫn: Sử dụng dạng lượng giác số phức ta π π  z = 2  cos + i sin ÷ = + 2i 4  Vậy z có phần thực phần ảo 2 Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức z + z = −106 + 120i (1) Giải: Giả sử z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) (1) ⇔ r (cos ϕ + i sin ϕ ) + r = −106 + 120i ⇔ ( r + r cos 2ϕ ) + ( r sin 2ϕ ) i = −106 + 120i r + 106  cos ϕ = − r + r cos 2ϕ = −106  r ⇔ ⇔ r sin 2ϕ = 120 sin 2ϕ = 120  r2 Lại có 2  r + 106   120  2 sin 2ϕ + cos 2ϕ = ⇔  − ÷ +  ÷ = ⇔ r − r − 212r − 25636 = r    r  ⇔ ( r − 13) ( r + 13r + 168r + 1612 ) = ⇔ r = 13 r > 119 119   2 cos 2ϕ = − 169 cos ϕ − sin ϕ = − 169 ⇔ Suy  120 sin 2ϕ = sin ϕ cos ϕ = 60   169 169 5   cos ϕ = cos ϕ = −   13 13 ⇔  sin ϕ = 12 sin ϕ = − 12   13 13 Vậy z1 = + 12i; z = −5 − 12i Bài 6: Trong số phức z thoả mãn điều kiện z − ( z ) = 3i số phức có π acgument Giải: Giả sử z = a + bi (a, b∈ ¡ ) Ta có z − ( z ) = 3i ⇔ ab = (1) a 1 a  π = cos =   a + b2 a + b2 2 a, b > ⇔ ⇔ Mặt khác  (2) b b b = a sin π =  3=   a + b2 a + b2 Từ (1) (2) suy a = 1, b = ⇒ z = + 3i Bài 7: Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + = 2010 2010 z1 ) + ( z2 ) ( Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2  z1 = + i ⇒ z1 = z2 = Giải: Ta có z − z + = ⇔  z = − i  Mặt khác π π 2010π 2010π 2010   z1 = + i =  cos + i sin ÷⇒ ( z1 ) = 2010  cos + i sin 3 3    2010  π  π  z2 = − i =  cos  − ÷+ i sin  − ÷÷⇒ ( z2 )  3      2010π   2010π   2010 = 22010  cos  − ÷+ i sin  − ÷÷ =      2010 2010 z1 ) + ( z2 ) ( 2.22010 = = 22009 Do A = z1 + z2 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT  2010 ÷=  Kết nghiên cứu Tôi sử dụng kiến thức vào giảng dạy cho lớp 12C9 12C6 năm học 2009-2010, 12A7 12A10 năm học 2010-2011, 12C4 năm học 2012-2013, 12B1 năm học 2014-2015 (Trường THPT Triệu Sơn 2) Đa số em tiếp thu vận dụng tốt việc giải tập Các em cảm thấy tự tin nắm vấn đề chìa khoá để giải vấn đề Kiến nghị, đề xuất Qua trình giảng dạy, có đề nghị với cấp quản lí tạo điều kiện cho giáo viên có buổi hội thảo, sinh hoạt chuyên môn đổi phương pháp, trao đổi chuyên môn kinh nghiệm, thảo luận vấn đề vướng mắc Vì kinh nghiệm, lực có hạn thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên sáng kiến kinh nghiệm chưa thể nêu hết vấn đề, mong đóng góp đồng nghiệp hội đồng khoa học để đề tài hoàn chỉnh áp dụng vào giảng dạy có hiệu cao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 20 tháng 05 năm 2015 CAM KẾT KHÔNG COPY Lê Thị Hiền TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục Bài tập Giải tích 12 - Nhà xuất giáo dục Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất giáo dục Bài tập Giải tích 12 (nâng cao) - Nhà xuất giáo dục Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Bộ đề luyện thi thử đại học môn Toán - Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Văn Thổ - Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012 Đề thi đại học - cao đẳng qua năm [...]... diễn số phức Bài toán: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện cho trước Cách giải: Giả sử z = x + yi, x, y ∈ ¡ Từ điều kiện của bài toán, tìm mối quan hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp các số phức z thoả mãn điều kiện của bài toán 3.1 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức. .. diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là hình tròn tâm I ( −3;2 ) bán kính R = 2 ( không kể biên) 3.4 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một đường cônic Bài 1: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z z − z + 2i = 2 thoả mãn điều kiện z −i Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là 1 parabol y = x 2 4 Bài 2: Trên mặt phẳng phức, ... điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I ( 0; −1) bán kính R = 2 Bài 2: (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Trong mặt phẳng toạ độ phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z − (3 − 4i) = 2 Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I (3; −4) bán kính R=2 Bài 3: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập... diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện sau a) z − 1 + 3i = 5 b) (2 − z )(i + z ) là số ảo Đáp số: a) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường tròn tâm I(1; -3) bán kính R = 5 b) Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường  1 5 tròn tâm I  1; ÷ bán kính R =  2 2 3.3 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là một hình tròn Bài 1: Trên... Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình 4 x − 2 y + 3 = 0 Bài 3: Trên mặt phẳng phức, hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn z + 3 z = 2 + i 3 z ( ) Đáp số: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn yêu cầu bài toán là phần đường thẳng có phương trình y = − 3x với x ≥ 0 3.2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức. .. 2 2 5 Dạng lượng giác của số phức Chú ý: Cách tìm dạng lượng giác của số phức z ≠ 0 : 1 Tìm r = a 2 + b 2 = OM (M là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z) a b 2 Tìm ϕ ( là một acgumen của z); ϕ là số thực sao cho cos ϕ = và sin ϕ = r r Và ϕ là số đo của góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM Bài 1: (Trích đề thi Đại học khối B năm 2012) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 −... LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT  2010 ÷= 2  1 Kết quả nghiên cứu Tôi đã sử dụng những kiến thức trên vào giảng dạy cho các lớp 12C9 và 12C6 năm học 2009-2010, 12A7 và 12A10 năm học 2010-2011, 12C4 năm học 2012-2013, 12B1 năm học 2014-2015 (Trường THPT Triệu Sơn 2) Đa số các em đã tiếp thu và vận dụng tốt trong việc giải các bài tập Các em đã cảm thấy tự tin vì đã nắm được vấn đề và chìa khoá để giải quyết vấn đề 2 Kiến. .. Tìm môđun của số phức w = 1 + z + z 2 z +1 Đáp số: z = 1 + i, w = 2 + 3i, w = 13 Bài 5: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2011) Tìm môđun của số phức z, biết ( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i 1 1 2 Đáp số: z = − i ⇒ z = 3 3 3 Bài 6: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn 2 ( 1 + 2i ) z + z = 4i − 20 Tính môđun của số phức z Đáp số: z = 4 + 3i, z = 5 Bài 7: Tìm phần... Bài 7: Tìm phần thực của số phức: z = ( 1 + i ) , trong đó n ∈ ¥ và thỏa mãn: log 4 ( n − 3) + log 5 ( n + 6 ) = 4 Đáp số: n = 19, z = −512 + 512i nên phần thực của số phức z là -512 Bài 8: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết n z= ( 2 +i ) ( 1 − 2i ) 2 Đáp số: z = 5 − 2i nên phần ảo là − 2 Bài 9: (Trích đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho số phức z thoả mãn ( 1 −... của số phức z: z = a 2 + b 2 , z = z , z z = z 2 z = OM = a 2 + b 2 , với M là điểm biểu diễn z và O là gốc tọa độ Bài 1: (Trích đề thi Cao đẳng năm 2011) Cho số phức z thoả mãn z 2 − 2(1 + i ) z + 2i = 0 1 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z 1 1 1 2 Giải: z − 2(1 + i ) z + 2i = 0 ⇔ z = 1 + i Ta có = − i z 2 2 1 1 1 Vậy số phức có phần thực là và phần ảo là − z 2 2 Bài 2: (Trích đề thi Đại học