Dao động tử có thống kê vô hạn

Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử có thống kê vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN ĐẠI NGHĨA DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết Vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LƢU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Khoa Vật lý Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa học mình. Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể thấy cô giáo nhà trường giảng dạy, hướng dẫn tận tình cho em trình học tập trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo, PGS. TS. Lƣu Thị Kim Thanh, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, động viên em suốt trình học tập nghiên cứu để luận văn hoàn thành. Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Học viên Nguyễn Đại Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi. Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực. Các kết không trùng với kết công bố. Học viên Nguyễn Đại Nghĩa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN . LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG . Chƣơng 1: HÌNH THỨC LUẬN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA . 1.1. Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính . 1.2. Biểu diễn mà trận toán tử sinh, hủy Boson . 17 Chƣơng 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON 21 2.1. Dao động tử boson . 21 2.1.1. Dao động tử boson 21 2.1.2. Phân bố thống kê dao động tử Boson . 26 2.2. Thống kê Bose-Einstein . 28 Chƣơng 3: DAO ĐỘNG TỬ FERMION 32 3.1. Dao động tử Fermion . 32 3.1.1. Dao động tử Fermion 32 3.1.2.Phân bố thống kê dao động tử Fermion 33 3.2. Thống kê Fermi-Dirac 36 Chƣơng 4: DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN 43 4.1. Dao động tử có thống kê vô hạn 43 4.2. Phân bố thống kê vô hạn . 44 4.3. So sánh phân bố thống kê lượng tử . 46 KẾT LUẬN CHUNG 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Các hạt phân loại theo nhiều tiêu chí. Nếu xét vai trò cấu thành liên kết giới vật chất, chúng gồm hai loại: loại cấu thành nên giới vật chất loại truyền tương tác liên kết hệ vật chất. Các hạt cấu thành vật chất có spin s  , tức fermion. Cho đến cho rằng, giới hạt vật chất có bốn loại tương tác bản: Tương tác hấp dẫn liên kết tất hạt có khối lượng vũ trụ. Tương tác điện từ, xẩy hạt mang điện tích, nhờ có cấu tạo nguyên tử phân tử. Tương tác mạnh, liên kết quark để tạo thành hadrron, có proton, neutron hạt tạo nên hạt nhân nguyên tử. Tương tác yếu, gây nên đa số tượng phóng xạ, có phóng xạ  .Trừ tương tác hấp dẫn, tất tương tác khác truyền hạt boson, có spin s=1. Pho ton  truyền tương tác điện từ, hạt gluon g truyền tương tác mạnh, hạt W+ , W- Z truyền tương tác yếu. Do ba tương tác mạnh, yếu, điện từ truyền hạt boson, nên có nhiều thử nghiệm xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương tự ba loại kia. Khi boson truyền tương tác hấp dẫn gọi graviton. Tuy nhiên, tồn graviton phải có spin s=2 [1]. Một điểm khác biệt hạt vi mô hệ nhiều hạt đồng ta phân biệt hạt với hạt khác. Đó thực khách quan giới vi mô lí thuyết hóa dạng nguyên lý gọi nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng nhất. Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng sau: Các trạng thái vật lý hệ nhiều hạt đồng phải trạng thái bất biến phép hoán vị hạt. Từ nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng ta biết hàm sóng diễn tả hệ hạt đồng thuộc hai loại sau: - Là hàm đối xứng với phép hoán vị hai hạt cho hệ boson đồng nhất, hạt có spin nguyên (như photon,   meson , K  meson ,…; - Là hàm phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt cho hệ fermion đồng nhất, hạt có spin bán nguyên (như electron, proton, neutron, neutrino,…). Từ suy nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng có hạt trạng thái hay, nói cách khác, trạng thái hệ bị bỏ trống bị chiếm fermion mà thôi. Nguyên lý cho phép giải thích phân bố điện tử theo trạng thái nguyên tử thiết lập sở lý thuyết xếp nguyên tố bảng phân hạng tuần hoàn Mendeleev. Cần lưu ý thực tế, dựa số liệu thực nghiệm phổ nguyên tử, Pauli phát nguyên lý năm 1925, tức trước Cơ học lượng tử đời, Năm 1945 Wolfgang Pauli nhận giải Nobel Vật lí nguyên lý mình. Điều tuyệt vời nguyên lý loại trừ Pauli lại phù hợp hoàn toàn với Cơ học lượng tử ta thấy trên, hệ nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng nhất. Trong lý thuyết lượng tử vật rắn, nguyên lý loại trừ Pauli đóng vai trò quan trọng phân loại chất rắn thành chất bán dẫn, kim loại điện môi [2]. Trong biểu diễn số hạt, dao động tử Boson đặc trưng  toán tử sinh, hủy hạt Boson a ,a tuân theo hệ thức giao hoán, â,â    ââ   â â  Đối với hệ hạt fermion đồng có spin bán nguyên, tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng có hạt trạng thái lượng tử (n=0,1). Trạng thái hệ mô tả hàm sóng phản đối xứng. Vậy, biểu diễn số hạt, dao động tử fermion đặc trưng  toán tử sinh, hủy hạt fermion a ,a tuân theo hệ thức phản giao hoán, â,â   ââ    â â  Dao động tử có thống kê vô hạn O. W. Greenberg [8] đưa vào lý thuyết sau: Từ hệ thức giao hoán toán tử sinh, hủy boson fermion, dẫn đến ý tưởng tìm hệ thức toán tử có đặc tính trung gian thống kê Bose thống kê Fermi, cách lấy trung bình hai hệ thức ˆ ˆ  ]  1; â,â    1. [a,a Và thu hệ thức toán tử cho dao động tử có thống kê vô hạn aˆ aˆ  1. Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose-Einstein thống kê FermiDirac thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn thống kê biến dạng ,… với tư cách thống kê mở rộng. Cho đến cách mở rộng đáng ý khuôn khổ đại số lượng tử [3,4,5,6,7,9,10,11]. Với mong muốn tiếp cận với vật lí học đại, em chọn đề tài “Dao động tử có thống kê vô hạn” để làm luận văn thạc sĩ hướng dẫn khoa học cô giáo, PGS. TS. Lưu Thị Kim Thanh. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu thống kê vô hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein - Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac - Nghiên cứu dao động tử có thống kê vô hạn, thống kê vô hạn 4. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hệ dao động tử có thống kê vô hạn. 5. Những đóng góp đề tài - Đề tài có ý nghĩa góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học nhà trường sư phạm, nâng cao lực nghiên cứu khoa học học viên cao học. - Nghiên cứu vấn đề theo hướng thống kê lượng tử. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lí thuyết: Phương pháp vật lí thống kê, phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp giải tích khác. NỘI DUNG CHƢƠNG 1: HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÕA 1.1 Biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo đường thẳng đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian toán tử điều hòa chiều [1],  Px2 m ^   x 2m  [2] :  (1.1)  Trong đó: x  q  x toán tử tọa độ,   px  p  i  d toán tử xung lượng. dx  Hệ thức giao hoán p q : d d d d        p , q  p q  q p   i x  x  i   i x  i x     dx dx dx dx d d    p , q    i x   i x   i      dx dx      p, q   i .   (1.2)   Do ta biểu diễn Hamiltonian theo p theo q sau:  p m ^   q 2m  (1.3) Ta đặt:  pi  m    â  â ; â 2m q  +â  .  Khi ta biểu diễn toán tử  theo â â  sau:  p m ^ 2 m  m    q  .i . â-â   . â  â    2m 2m 2 2m  2   . â  â   â - â     2    . â  â   â  â     â - â   â - â     2   . 2ââ   2â â   2    ââ   â â  . (1.4)   Ta biểu diễn toán tử â â  ngược lại qua p q : m   pi â  â   â  â     q â 2m   â  â  â     p  i p ; m  m  i  q  q 2m ; 2m     m  p Từ ta thu được: â  ;  q i 2  m      m   q i p  . â  2  m   (1.5) (1.6) 37 Tác dụng liên tiếp toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  (0) ta     k1 k2 b b  (0)     v  1 Pv k1 ( x1 )k2 ( x2 )   2! v   k ( x1 )k2 ( x2 )  k1 ( x2 )k2 ( x1 ) ; 2!  bk1 bk2 bk3  (0)   v  1 Pv k1 ( x1 )k2 ( x2 )k3 ( x3 )   3! v  k ( x1 )k2 ( x2 )k3 ( x3 )  k1 ( x1 )k2 ( x3 )k3 ( x2 ) 3! k1 ( x2 )k2 ( x1 )k3 ( x3 )  k1 ( x3 )k2 ( x2 )k3 ( x1)  k1 ( x2 )k2 ( x3 )k3 ( x1 )  k1 ( x3 )k2 ( x1)k3 ( x2 ) ;    .bk1 bk2 .bkN  (0)  v  1 Pv k1 ( x1 )k2 ( x2 ) .kN ( xN )  .  N! v (3. 13) Khi hoán vị ki, kj tổng (2.13) đổi dấu, hàm sóng đổi dấu.         k ' k k1 k2   kN         k k ' k1 k2   kN Ta có: b b b b .b  (0)   b b b b .b  (0)      b b  b b  bk , bk '   ; ( tính chất phản giao hoán)       k k'     k k'   k (3.14)  Vì toán tử b liên hiệp với toán tử bk nên:     bk , bk '      k k (3.15)   Khi k = k’ ta thấy: b b  bk bk  . Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n hạt trạng thái k1, n2 hạt trạng thái k2, , ns hạt trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái hệ N hạt Fermion biểu diễn số lấp đầy có dạng: 38 n1 n2 ns            n1 , n2 , ., ns    bk1   bk2  . bks     ;       (3.16) Với N = n1 + n2 + . + ns. Chú ý rằng: nk   nk     ; b  bk   bk n    k 0   k   nk    bk . b  b     n  1, l  k   l  b   l   k Suy ra:   l nl 1 nk nk     b  bk   1  nk   bk        k nl ; nk      n  b  bl   1  bl  bk ; l  k .       k (3.17)  Ta xét tác dụng toán tử bk lên hàm sóng hệ N hạt Fermion   n1, n2 , ., ns  ta có : n1 n2 ns          b   n1 , n2 , ., ns   b  bk1   bk2  . bks             k   k   1 n1  n2  . nk 1   1 n1  n2  . nk 1 n1 n2 nk ns               bk1   bk2  .bk  bk  . bks             n1 n2 1nk          1  nk   bk1   bk2  . bk        ns    . bks         1 k 1  nk    n1, n2 , .1  nk  , .ns  . v (với vk = n1 + n2 + . + nk+1 : tổng số lấp đầy đứng trước k).   k Vậy b   n1 , n2 , ., ns    1 k 1  nk    n1, n2 , ., 1  nk  , ., ns  . v (3.18) 39  Tương tự, cho toán tử bk tác dụng lên hàm sóng   n1, n2 , ., ns  dựa vào định nghĩa sau :   bk   n1, n2 , .,0k , ., ns   bk   n1, n2 , .,1k , ., ns    1k    n1, n2 , .,0k , ., ns  . (3.19) Với  hệ số cần xác định. Ta viết:  bk   n1, n2 , ., nk , ., ns     nk    n1, n2 , .,1  nk , ., ns  . (3.20) Với   nk  thỏa mãn điều kiện   nk  0  . Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng biểu diễn số lấp đầy, ta có :    n1 , n2 , .,(1  nk ), ., ns  bk   n1, n2 , ., nk , ., ns     k  b   n1 , n2 , .,1  nk , ., ns  |   n1 , n2 , ., nk , ., ns    1 k 1  (1  nk )   n1, n2 , .,[1  (1  nk )], ., ns  |   n1, n2 , ., nk , ., ns  v   1 k nk   n1, n2 , ., nk , ., ns  |   n1, n2 , ., nk , ., ns    1 k nk v v Vậy   nk    1 k nk v  Suy ra: bk   n1, n2 , ., nk , ., ns    1 k nk   n1, n2 , .,(1  nk ), ., ns  . v     k k (3.21) Toán tử N k  b b toán tử số hạt nk = ;1 ( nguyên lý loại trừ Pauli).     k k N k   n1 , n2 , ., nk , ., ns   b b   n1, n2 , ., nk , ., ns     1 k nk bk   n1, n2 , .,(1  nk ), ., ns  = v 40   1 k nk  1 k 1  (1  nk )   n1, n2 , .,[1  (1  nk )], ., ns  v v  nk2  n1, n2 , ., nk , ., ns  Vì nk = ;1 nên nk2  nk  Suy : N k   n1, n2 , ., nk , ., ns   nk   n1 , n2 , ., nk , ., ns  . (3.22)   k  Sử dụng công thức (3.20), (3.21) ta dễ dàng thấy toán tử b , bk tuân theo hệ thức giao hoán sau:       bl , bk  bl , bk   0;       bl , bk    l ,k   (3.23) Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac ta sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử sau: Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình đại lượng vật lý F,  tương ứng với toán tử F tập hợp tắc lớn:        Tr  exp    H   N  . F       F         Tr  exp    H   N         Trong  : thể hóa học,  H : toán tử Hamiltonian hệ,  với k: số Boltzmann, kT T: nhiệt độ hệ. (3.24) 41 Chọn gốc tính lượng E0     .  Thì H n  .n, hay H   N (với  lượng lượng tử lượng). Chú ý :   Tr F   n F n ; n  f  N  n  f n n .   Ta tính số hạt trung bình mức lượng là:        Tr exp   H   N    . N            N  b b        Tr  exp    H   N         Ta có:              Tr  exp    H   N  . N   Tr  exp       N . N           ne        N n 0  e      n .n n 0 e                   N    Tr  exp    H   N     Tr  e           ne        N n 0 1 e       . n  .N n (3.25) 42 e   Vậy N  .         1 e   1 e        Đây công thức xác định số hạt trung bình trạng thái lượng tử, nên ta viết: n    f        e kT . (3.26) 1 Đây hàm phân bố Fermi – Dirac. Ý nghĩa phân bố biểu diễn xác suất có điện tử nằm mức lượng  nhiệt độ T. Kết luận chƣơng Trong chương xây dựng dao động tử Fermion, tìm phân bố thống kê dao động tử Fermion thống kê Fermi – Dirac. Ta tính số hạt trung bình mức lượng. 43 CHƢƠNG 4: DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN 4.1. Dao động tử có thống kê vô hạn. [3], [5], [8], [9]. Thống kê Bose thống kê Fermi đặc trưng hệ thức giao hoán phản giao hoán tương ứng: â  k  ,â   l    kl ; (4.1) â  k  ,â l    (4.2)  kl . Từ hệ thức giao hoán dẫn O.W. Greenberg đến ý tưởng tìm hệ thức toán tử mà có đặc tính trung gian thống kê Bose thống kê Fermi, cách lấy trung bình hai hệ thức (4.1) (4.2) thu hệ thức toán tử cho thống kê vô hạn là: â  k  â   l    kl . (4.3) Hệ thức (4.3) trường hợp đặt biệt hệ thức giao hoán biến dạng q q  0: â  k  â   l   qâ   l  â  k    kl . (4.4) Từ hệ thức (4.3) ta có hệ thức toán tử thống kê vô hạn trường hợp hệ dao động tử đơn mode ââ   . (4.5) Toán tử số dao động tử xác định sau:   N  â â  â â ââ+â â â âââ+ .=   â   â r .       r (4.6) r 1 Và thỏa mãn hệ thức:    N ,â   â;      N ,â   â . (4.7) 44 Trong trường hợp đa mode hệ dao động tử có thống kê vô hạn đặc trưng toán tử â i â i thỏa mãn hệ thức sau: â i â j   ij . (4.8) Toán tử số dao động tử mode i là:  Ni  â i â i   â k â i â i â k + â k1 â k2 â iâ i â k2 â k1 k k1k2 + .+  â â .â â i â ks .â k2 â k1  .   k1 k2  ks (4.9) k1 .ks thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:    N i ,â j    ij â j ;      N i ,â j    ij â j . (4.10)   Toán tử tổng số dao động tử N   Ni thỏa mãn hệ thức giao i hoán   N ,â j    â j ;      N ,â j   â j . (4.11) Không gian Hilbert tạo nên véctơ trạng thái sở:    â  . â  ni1 , ni2 , ., nir  â i1 n1  i2 n2  ir nr ; (4.12) Thỏa mãn điều kiện trực chuẩn sau: m j1 , m j2 , .m js ni1 , ni2 , ., nir   rs i1 j1 . ir jr . (4.13) 4.2. Phân bố thống kê vô hạn. [8] Bây giờ, ta tìm phân bố thống kê hệ dao động tử có thống kê vô hạn đơn mode tuân theo hệ thức (4.5). Bằng cách xuất phát từ biểu thức trung 45 bình thống kê theo tập hợp tắc lớn đại lượng vật lý F biểu toán tử F F        H  N  ˆ  Tr  e F , Z   (4.14) ,  hoá học, H Hamiltonian. Thông thường kT chọn gốc lượng giá trị Eo   H   N với    lượng tử lượng, Z tổng trạng thái đặc trưng cho tính chất nhiệt động hệ [8]    H  N        n Z  Tr  e  .   e       n 0 1 e    Thay Fˆ  aˆ  aˆ vào công thức (4.14), (4.15) â â      H  N    Tr  e â â Z   =       Nˆ n e   â â n  z n 0 =       Nˆ n e   n ,  â  â  0  z n1       n e   â â  e  ; z n1 Z  e            thay    H  N        n Z  Tr  e  .   e         n 0 1 e  Chúng ta thu thống kê vô hạn e       â â  1 e         1 e        (4.15) 46 â â  e       ; kể đến suy biến mức lượng  , có dạng đầy đủ thống kê vô hạn â â  g   e      kT . (4.16) Kết (4.16) hoàn toàn trùng với phân bố thống kê Maxwell- Boltzmann. 4.3. So sánh phân bố thống kê lƣợng tử. Đối với hệ lượng tử ta tìm ba hàm phân bố khác theo lượng: - Thống kê Maxwell- Boltzmann    f M     exp   g    kT  hay    exp   kT   f M    g   Z    Z   exp  i g ( i ).  kT  i 1 (4.17)  với (4.18) - Thống kê Bose – Einstein f B    g   .     exp   1  kT  (4.19) g   .     exp   1  kT  (4.20) - Thống kê Fermi-Dirax f F    Ở g    trọng số thống kê (hay độ suy biến) trạng thái lượng tử có lượng khác nhau. Sự khác hàm phân bố 47 chất tính chất đối tượng vi mô diễn tả ba thống kê (xem hình 4.1). f ( ) f ( ) fB Khi fM fF     exp    kT  fM  fB  fF   Hình 4.1 Hình 4.2 Tuy nhiên, từ công thức nêu trên, ta thấy : thỏa mãn điều kiện     exp    kT     hay exp    kT  hay    kT , (4.21) thống kê Bose-Einstein Fermi-Dirac chuyển thành thống kê Maxwell- Boltzmann, nghĩa ta coi thống kê MaxwellBoltzmann trường hợp giới hạn hai thống kê lượng tử (xem hình 4.2). Như thống kê Maxwell- Boltzmann mà ta tìm dựa quan niệm cổ điển lượng tử, coi trường hợp giới hạn hai thống kê lượng tử khác. Nhưng, tìm hàm phân bố Maxwell- Boltzmann ta giả thiết hạt khác phương diện hoán vị tọa độ. Vì vậy, trường hợp tổng quát, phân bố theo mức lượng (4.17) áp dụng cho hạt thực, thực hạt không khác biệt (đồng nhau). Tuy nhiên, có tồn loại hệ lượng tử mà ta gọi hệ lượng tử 48 định xứ, đối tượng vi mô lượng tử xem định xứ điểm không gian xác định. Đối với hệ nguyên lý tính phân biệt hạt vi mô xem hiệu lực, nghĩa hệ định xứ, đòi hỏi tính đối xứng hàm sóng không làm giảm số trạng thái vi mô khả hữu. Thuộc loại hệ hệ cấu tạo từ hạt mà vị trí chúng cố định. Thí dụ, hệ dao động tử điều hòa, mà vị trí không gian chúng cố định, hệ định xứ. Ta xem mạng tinh thể vật rắn hệ định xứ. Hoặc là, khảo sát nhiệt dung bậc tự nội phân tử chất khí, quan tâm tới nội phân tử riêng lẻ không cần quan tâm tới phân bố không gian chúng. Nếu biết số phân tử toàn phần, ta tìm lượng nhiệt dung chất khí. Khi đó, chúng ta, vấn đề : Các phân tử, xem đối tượng lượng tử thể tích, khác biệt (có thể phân biệt với nhau) hay không hoàn toàn ý nghĩa. Với đối tượng lượng tử xem hệ định xứ ta áp dụng phân bố Maxwell- Boltzmann mức lượng rời rạc. Còn trường hợp khác ta phải vận dụng phân bố BoseEinstein hạt hay hệ có spin nguyên, phân bố Fermi– Dirac hạt hay hệ có spin bán nguyên. Ta thấy ba thống kê trùng trường hợp mà điều kiện (4.21) thực hiện. Điều kiện tương đương với điều kiện sau V  2 mkT    N  h2  3/2 (4.22) Nếu bất đẳng thức (4.22) thực hệ lượng tử bất kì, ta vận dụng phân bố Maxwell- Boltzmann. Còn trường hợp 49 ngược lại, xảy suy biến ta áp dụng phân bố Maxwell- Boltzmann. Điều kiện (4.22) gọi tiêu chuẩn suy biến. Tiêu chuẩn suy biến phụ thuộc vào nhiều thông số. Trong tiêu chuẩn N có tham gia mật độ   , Khối lượng m nhiệt độ T. Nếu nhiệt độ cao ta V  dùng phân bố Maxwell- Boltzmann, nhiệt độ hạ xuống điều kiện (4.22) bị vi phạm. Khi hệ bắt đầu thấy biểu hiệu ứng lượng tử, bắt đầu có suy biến. Sự suy biến chất khí bắt đầu sớm khối lượng hạt nhỏ mật độ lớn. Giá trị nhiệt độ, mà nhiệt độ có xảy suy biến, gọi nhiệt độ suy biến. Ta đánh giá nhiệt độ suy biến chất khí khác nhau. Thí dụ, khí electron nhiệt độ suy biến vào khoảng 2000 – 3000K. Đối với hydrô có khối lượng nhỏ gấp nhiều lần so với chất khí khác, nhiệt độ suy biến thấp (ngoài khối lượng, ảnh hưởng mật độ chất khí), vào khoảng 30K. Đối với tất chất khí thông thường, điều kiện chuẩn, khác biệt thống kê lượng tử thống kê cổ điển nhỏ không đáng kể. Với độ xác cao ta thay hai phân bố lượng tử phân bố Maxwell- Boltzmann. Nhận xét : Vì phân bố Maxwell- Boltzmann suy từ phân bố tắc lượng tử trường hợp mà phân bố Maxwell- Boltzmann áp dụng trường hợp mà phân bố tắc lượng tử áp dụng được. 50 Kết luận chƣơng Bằng phương pháp đại số lý thuyết trường lượng tử, xây dựng phân bố thống kê vô hạn nhận thấy phân bố thống kê vô hạn hoàn toàn trùng với phân bố thống kê Maxwell- Boltzmann. V  2 mkT  Ở nhiệt độ cao, tiêu chuẩn suy biến   N  h2  3/2 thỏa mãn hệ lượng tử ta áp dụng phân bố thống kê vô hạn, trường hợp ngược lại nhiệt độ hạ xuống, tiêu chuấn suy biến bị vi phạm, hệ bắt đầu có hiệu ứng lượng tử, phải áp dụng phân bố thống kê Bose-Einsten cho hệ hạt đồng boson, áp dụng phân bố thống kê Fermi-Dirac cho hệ hạt đồng fermion. 51 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn “Dao động tử có thống kê vô hạn” thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách lôgic, đầy đủ hình thức luận dao động tử điều hòa: Tính toán toán tử sinh hạt hủy hạt dao động tử điều hòa tuyến tính, biểu diễn toán tử sinh Boson, hủy Boson, toán tử số hạt dạng ma trận tạo sở tính toán cho chương sau. - Xây đựng phân bố thống kê dao động tử Boson, thống kê Bose - Einstein. Xây dựng phân bố thống kê dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac phân bố thống kê vô hạn phương pháp lý thuyết trường lượng tử. - Từ việc so sánh thống kê lượng tử dẫn đến thống kê vô hạn thống kê Maxwell- Boltzmann. 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân, Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội (2003) [2] Hoàng Ngọc Long, Vật lý hạt bản, NXB KH & KT Hà Nội (2003) [3] A. Khare (2005), Fractional Statistics and Quantum Theory, World Scientific, Singapore. [4] A. Lavagno and P. Narayana Swamy, Generalized thermodynamics of qdeformed bosons and fermions, Phys. Rev. E 65, 036101 -036106 (2002) [5] A. Lavagno, P. Narayana Swamy (2005), q-deformed structures and generalized thermodynamics , Phys. Rev. E 65, 036101 (2005) [6] D. Bonatsos, C. Daskaloyannis , Quantum groups and their applications in nuclear phyics, Progress in Particale and Nuclea Physics, 537-618 (1999) [7] M. Chaichain, R. Gonzalez Felipe and Montonen, Statistics of qoscillators, quons and relations to fractional statistics, J. Phys. A: Math.Gen. 26, 4017-4031(1993) [8] O. W. Greenberg, Exemple of infinite Statistics, Phys. Rev. Lett. 64,705 (1990) [9] P. Bouwknegt, L. H. Chim and D. Ridout, Fractal statistics, fractal index and fractons, Nucl. Phys. B, 572 574 (2000) [10] Dao Vong Duc, Generalized q- deformed oscillator and their statistics, Preprint ENSLAPP-A-494/94, Annecy France (1994) [11]. Lưu Thị Kim Thanh (2007), “Dao động tử fermion biến dạng hai tham số p,q”, Tạp chí khoa học Trường ĐHSP Hà Nội 2, (1), 127 – 130 (2007). [...]... đã xây dựng dao động tử Boson, tìm được phân bố thống kê của dao động tử Boson và thống kê Bose – Einstein của hệ đồng nhất hạt Boson 32 CHƢƠNG 3: DAO ĐỘNG TỬ FERMION 3.1 Dao động tử Fermion [1], [2], [7], [10], [11] 3.1.1 Dao động tử Fermion Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức:     b, b   1   2   b  b   0    2   (3.1)  Toán tử dao động N có dạng : ... và hình thức luận của dao động tử điều hòa: - Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy Boson toán tử số hạt - Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử â,â  - Tìm được biểu diễn ma trận của các toán tử sinh hủy Boson, toán tử số hạt Những kết quả trên sẽ là cơ sở tính toán ở các chương sau 21 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON 2.1 Dao động tử Boson [1], [2], [5],[4],... 21 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ BOSON 2.1 Dao động tử Boson [1], [2], [5],[4], [6], [10] 2.1.1 Dao động tử Boson Hệ thức giao hoán tử Boson thỏa mãn hệ thức: [â,â+] = 1 (2.1)  Toán tử số dao động  có dạng:   = â+ â Trong đó: (2.2) â : là toán tử hủy dao động, â+ : là toán tử sinh dao động tử Kết hợp (2.1) với (2.2) ta có:  [  , â] = [ â+â, â ] = â+ââ – ââ+â (2.3) = (â+â – ââ+) â = - ( ââ+ - â+â) â = -... một hạt thì toán tử  sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt, â  sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng En   sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử â tác dụng lên... có thể thực hiện trong không gian Fock với cơ sở là vector đã  chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N : n    n   b   0 , n = 0, 1   (3.5) (n = 0, 1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli)    Khi ấy tác dụng của toán tử b , b lên trạng thái n :  b 0  0; (3.6)   b 0  1;  b 1  0;   b 1  0 3.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Fermion  Để tính phân bố thống. .. tử Fermion thỏa mãn hệ thức:     b, b   1   2   b  b   0    2   (3.1)  Toán tử dao động N có dạng :     N b b (3.2)  Trong đó : b  là toán tử sinh dao động tử,  b là toán tử hủy dao động tử  Toán tử dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán :         N , b   N b b N         b bb bb b       b 1  bb          b bbb       N ,... n lượng tử 15  Toán tử  có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử â  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng  lượng tử năng... P   2  2 4  2n  1  2 2 4 (2.14) 2.1.2 Phân bố thống kê của dao động tử Boson Phân bố thống kê của toán tử F được định nghĩa qua công thức:  1  H  F  Tr  e F  Z   (2.15) Trong đó Z là tổng trạng thái, xác định tính chất nhiệt động của hệ, phản ánh trạng thái nội tại của hệ, Z còn gọi là hàm trạng thái (hay hàm phân bố) và có dạng: Z  Tr  e  H       Với   (2.16) 1 , k... không gian Fock véc tơ cơ  sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử  n  1 n â 0 n! Tác dụng toán tử â,â  lên các véc tơ trạng thái n ta được: â n  n n 1 ; â n  n 1 n 1  Với toán tử số hạt  được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt:    â â Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không? 18 Để trả... hệ, trường hợp đơn giản nhất ta có:     N với  là năng lượng dao động của một hạt Z  Tr  e  N       Vậy ta có:     n e  N n n 0 (2.17) 27     e  N n | n n 0   e    N n 0  1  e   e2    e n  1  e n  lim   n 1  e  1 1  e   1 1 1 e  e    e 1 (2.18) Tính toán với thống kê của dao động Boson ta có:  1    N   â â  Tr . 3.1.2.Phân bố thống kê của dao động tử Fermion 33 3.2. Thống kê Fermi-Dirac 36 Chƣơng 4: DAO ĐỘNG TỬ CÓ THỐNG KÊ VÔ HẠN 43 4.1. Dao động tử có thống kê vô hạn 43 4.2. Phân bố thống kê vô hạn 44. thống kê vô hạn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử boson, thống kê Boson- Einstein - Nghiên cứu dao động tử fermion, thống kê Fermi-Dirac - Nghiên cứu dao động tử có thống kê. 2.1.1. Dao động tử boson 21 2.1.2. Phân bố thống kê của dao động tử Boson 26 2.2. Thống kê Bose-Einstein 28 Chƣơng 3: DAO ĐỘNG TỬ FERMION 32 3.1. Dao động tử Fermion 32 3.1.1. Dao động tử