Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lí thuyết thống kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGÔ THỊ DƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH BẰNG LÝ THUYẾT THỐNG KÊ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết thống kê” hoàn thành trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Tôi xin trân thành cảm ơn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tận tình suốt trình xây dựng hoàn thiện đề tài Đồng thời trân thành cảm ơn quý thầy cô tổ vật lý lý thuyết, thầy cô khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội bạn sinh viên có đóng góp quý báu giúp cho đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Người thực Ngô Thị Dương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận công trình nghiên cứu khoa học riêng tôi, sức lực thân nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học môn vật lý lý thuyết Đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Trong trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, có tham khảo tài liệu có liên quan ghi mục tài liệu tham khảo Vì xin khẳng định kết đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết thống kê” không trùng lặp với kết đề tài khác Người thực Ngô Thị Dương MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM DOAN MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA 1.1 Không gian pha 1.2 Các yếu tố không gian pha 1.3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái 1.4 Định lí Liouville phương trình Liouville cân thống kê 1.5 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính không gian pha 1.6 Mở rộng 13 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: 14 CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 15 2.1 Phân bố tắc Gipxơ 15 2.2 Định lí phân bố động theo bậc tự 17 2.3 Định lí virian 18 2.4 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê cổ điển 20 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: 23 CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 24 3.1 Dùng phân bố tắc lượng tử để tìm thống kê Mắcxoen Bônxơman lượng tử 24 3.2 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử 30 3.2.1 Phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính 30 3.2.2 Tổng trạng thái nội hệ dao động tử điều hòa tuyến tính 34 3.3 Mở rộng 37 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3: 38 CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI 39 4.1 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính phương pháp lý thuyết trường lượng tử 39 4.2 Các trạng thái kết hợp 45 4.2.1 Định nghĩa thuộc tính trạng thái kết hợp 45 4.2.2 Phép biểu diễn tọa độ trạng thái kết hợp 48 KẾT LUẬN CHƯƠNG 4: 51 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 MỞ ĐẦU Lý chon đề tài Vật lý thống kê ngành vật lý học, áp dụng phương pháp thống kê để giải toán liên quan đến hệ chứa số lớn phần tử, có số bậc tự cao đến mức giải xác cách theo dõi phần tử, mà phải giả thiết phần tử có tính hỗn loạn tuân theo quy luật thống kê Có nhiều vấn đề cần nghiên cứu vật lý thống kê Một số vấn đề có tính chất kinh điển toán khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính Hệ dao động tử điều hòa hệ lí tưởng vật lý, tồn thực tế Nhưng có ứng dụng rộng rãi ngành vật lý đại, nên từ trước đến nay, đề tài mà nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Chính vậy, để hiểu rõ hệ này, chọn đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết thống kê” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa giả thuyết không gian pha, mô tả thống kê hệ nhiều hạt, định lí Liouville, từ khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính không gian pha - Nắm phân bố tắc Gipxơ, xây dựng định lý phân bố động theo bậc tự do, định lý varian Từ dùng kiến thức vật lý thống kê cổ điển để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính - Nghiên cứu cách thiết lập thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử, để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính vật lý đại Biết trạng thái kết hợp dao tử điều hòa tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Hệ dao động tử điều hòa tuyến tính - Nhiệt động lực học - Vật lý thống kê Phương pháp nghiên cứu - Tra cứu, thu thập, phân tích tài liệu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết Tên đề tài kết cấu luận văn Tên đề tài: “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết thống kê” Kết cấu luận văn: Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn kết cấu làm chương: Chương Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính không gian pha Chương Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính thống kê cổ điển Chương Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử Chương Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính vật lý đại CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA 1.1 Không gian pha Để biểu diễn biến đổi trạng thái vi mô hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào không gian quy ước gọi không gian pha, đồng thời tọa độ không gian thông số độc lập xác định trạng thái vi mô hệ tức tọa độ xung lượng suy rộng tất hạt cấu thành hệ Đối với tất hệ vật lí thực, không gian pha không gian nhiều chiều Ví dụ, không gian pha phân tử khí lí tưởng đơn giản không gian chiều, phân tử nguyên tử có bậc tự do, không gian pha 10 chiều Đối với hệ phức tạp nói chung 2fN chiều với f số bậc tự hạt hệ, N số hạt hệ Trong thống kê người ta thường xét loại không gian pha không gian  không gian K: Không gian  không gian hạt Do đó, để khảo sát hành vi phân tử khí lí tưởng có bậc tự ta đưa không gian  chiều có sáu tọa độ Và trạng thái vi mô hệ xác định điểm không gian  Không gian K không gian hệ nhiều hạt Ví dụ, chất khí xét toàn không gian có 2fN chiều Trạng thái vi mô hệ phức tạp xác định, 2fN thông số qk pk “được biểu diễn” điểm không gian K Đối với hệ vĩ mô N lớn không gian K không gian nhiều chiều 1.2 Các yếu tố không gian pha - Điểm pha: Trạng thái hệ xác định giá trị tất tọa độ xung lượng suy rộng hạt cấu thành lên biểu diễn không gian pha điểm, gọi điểm pha - Quỹ đạo pha: trạng thái hệ biến đổi theo thời gian, điểm pha “chuyển động” vạch đường cong gọi quỹ đạo pha Đồng thời điểm quỹ đạo tương ứng với trạng thái tức thời xác định hệ Chú ý:  Quỹ đạo pha quy ước  Đối với điểm không gian pha, có quỹ đạo pha qua - Mặt lượng : Nếu xét hệ cô lập, hệ lượng toàn phần không đổi, nghĩa là: E = E (q1,q2,…p1,p2,…) = const (1.2.1) Điều kiện xem phương trình liên hệ tất thông số vi mô trạng thái, không gian pha phương trình mặt Mặt gọi siêu lượng, hay vắn tắt mặt lượng không gian pha - Thể tích pha: sau ta xét hệ mà tập hợp hệ (tập hợp thống kê) phân bố điểm pha chúng không gian pha Vì vậy, ta có lý để đưa vào quan niệm thể tích pha - Thể tích nguyên tố: Người ta chia không gian pha thành thể tích nguyên tố Thể tích biểu thị: dX  dq1 , dq2 dq fN , dp1 , dp2 dp fN , (1.2.2) dq k dp k biểu thị khoảng đủ nhỏ thông số trạng thái 1.3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái Thay cho việc khảo sát hệ thực người ta khảo sát tập hợp thống kê tức tập hợp hệ tương tự trạng thái vi mô khác Trong không gian K, trạng thái hệ tập hợp thống kê biểu diễn điểm pha, điểm pha gọi điểm biểu diễn pha hệ đó, trạng thái tập hợp thống kê biểu diễn tập hợp điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi tập hợp pha thống kê hay gọi tắt tập hợp pha Bởi hệ tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, điểm biểu diễn pha qua hệ chuyển động không gian pha vạch quỹ đạo pha, đồng thời điểm dịch chuyển cách độc lập tồn điểm khác Ta xét thể tích nguyên tố dX không gian pha bao quanh điểm pha Ở thời điểm t xét, có số hệ tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha nằm thể tích nguyên tố dX thời điểm t Dĩ nhiên là, cách tổng quát, ta coi rằng: số lượng dn hệ tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha nằm thể tích nguyên tố dX không gian pha, tỉ lệ với độ lớn dX thể tích đó, ta viết dn   dX , (1.3.1)  = f (q1, q2… q1, q2… t) = f (X,t) gọi mật độ phân bố hệ, rõ hệ có điểm biểu diễn pha đơn vị thể tích pha Bởi hệ tập hợp thống kê bình đẳng nhau, cho nên, gọi n số hệ tập hợp thống kê theo lý thuyết xác suất, xác suất để có hệ tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào thể tích nguyên tố dX CHƯƠNG KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI Trong chương ta nghiên cứu đặc điểm trường quan trọng vật lý, trường dao động điều hòa chứa Hamiltonian ( )= Có hai cách giải phương trình Schr dinger không phụ thuộc vào thời gian tương ứng, phương pháp trường lượng tử đưa đến khái niệm quan trọng mới, phương pháp phân tích, phương pháp giải đơn giản phương trình vi phân 4.1 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính phương pháp lý thuyết trường lượng tử Ta lại bắt đầu với phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian, ta đưa Hamiltonian có chứa dao động điều hòa: pˆ m 2 Hˆ   xˆ 2m (4.1.1) Chúng ta phân tích Hamiltonian cách định đặt toán tử aˆ aˆ  sau: ∶= √2 ∶= ħ ( √2 ħ + ( − ̂ ) ∶ toán tử hủy ̂ ) ∶ toán tử sinh Mỗi toán tử sinh hủy lượng tử lượng E = ħω, thuộc tính mang lại cho chúng tên tương ứng, mà công nhận chứng minh sau Chú ý toán tử tọa độ toán tử xung lượng biểu diễn qua aˆ aˆ  sau: 39 = ħ ( + ħ ), ̂ = − ( − ) (4.1.2) Ta tính giao hoán tử toán tử sinh toán tử hủy Rõ ràng chúng giao hoán với [ , ] = [ , ] = (4.1.3) Ta biết  pˆ , xˆ   i , dễ dàng thấy [ , ] = (4.1.4) Ta có dạng toán tử Hamiltonian =ħ + (4.1.5) Ta đưa vào toán tử số hạt dao động = thỏa mãn quan hệ giao hoán , = , , = − (4.1.6) Tiếp theo tìm giá trị riêng n hàm riêng | 〉 toán tử số hạt Nˆ , tức ta giải phương trình Nˆ n  n n (4.1.7) Ta tính được: = ħ (4.1.8) Nếu n hàm riêng Nˆ ứng với giá trị riêng  aˆ n hàm riêng Nˆ ứng với giá trị riêng ( + 1) aˆ  n  n  n  (4.1.9) Điều có nghĩa tìm trạng thái kích dao động điều hòa việc tác động liên tiếp lên toán tử sinh 40 Nếu n hàm riêng Nˆ ứng với giá trị riêng n aˆ n hàm riêng Nˆ ứng với giá trị riêng ( - 1) a n  n n  (4.1.10) Tổng quát: Phương trình giá trị riêng cho dao động điều hòa Phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian, phương trình giá trị riêng lượng: Hˆ n n  En n (4.1.11) với Hamiltonian = ħ ( + ) toán tử số hạt Nˆ  aˆ  aˆ cho ta giá trị riêng lượng =ħ + (4.1.12) Các vectơ trạng thái tương đương, hàm riêng lượng, biểu diễn bởi: ( )= √ ! ( ) ( )= √ ! ħ ( ) exp − 2ħ , (4.1.13) với trạng thái ( )= ħ exp − 2ħ (4.1.14) Rõ ràng, dạng hàm sóng trạng thái kích thích tính toán sau ta cho chúng tỷ lệ với tích trạng thái họ hàm, gọi đa thức Hermite Hn Các hàm sóng tạo thành thang trạng thái lượng chẵn lẻ đan xen nhau, quan sát hình 4.1, mà tách lượng tử có lượng ħω, tức khoảng cách mức lượng Toán tử sinh toán tử hủy “tăng” “giảm” bậc thang lượng, lý chúng gọi toán tử hình thang 41 Hình 4.1: Dao động điều hòa Các trạng thái lượng dao động điều hòa V(x) tạo thành thang hàm sóng chẵn lẻ với lượng khác lượng ħω Trạng thái phân bố Gauss với độ rộng = ħ Đặc điểm phổ lượng  Mức lượng nhỏ dao động điều hòa không có, = ħ theo quan niệm cổ điển không, ≠  Năng lượng trung bình dao động điều hòa: =〈 〉= 〈 ̂ 〉 〈 + 2 〉 ≥ 〈 ̂ 〉 ħ + (4.1.15) 2 4〈 ̂ 〉 Để tìm lượng cực tiểu ta tính độ biến thiên phương trình (4.1.15) 〈 ̂ 〉, sau ta cho không để tìm giá trị cực trị ħ − = → 〈 ̂ 〉 2 4〈 ̂ 〉 = ħ (4.1.16) Đưa kết phương trình (4.1.16) vào lượng trung bình (4.1.15) ta ≥ ħ + ħ ħ = ħ ħ ħ + = , (4.1.17) 4 Vậy: ≥ ħ (4.1.18) 42 Phép biểu diễn ma trận dao động điều hòa Bắt đầu từ hàm riêng dao động điều hòa { ( )} tạo thành hệ trực giao hoàn chỉnh không gian Hilbert tương ứng, ta thay đổi ký hiệu cách đánh dấu trạng thái chỉ số n chúng, ta nhận vectơ sau đây: ⋮ ⎛ 0⎞ → ⎜1⎟ = | 〉 , (4.1.19) ⎝⋮⎠ Các vectơ {| 〉} hình thành hệ trực giao hoàn chỉnh, → = |0〉 , ⋮ → = |1〉 , ⋮ gọi không gian Fock hay không gian số hạt Chúng ta không đưa định nghĩa toán học không gian cần lưu ý đây, áp dụng quy tắc tính toán trước không gian Hilbert Tuy nhiên, toán tử hình thang có vai trò đặc biệt không gian chúng cho phép ta để xây dựng vectơ từ trạng thái bản, xem phương trình (4.1.21) Hãy lưu ý mối quan hệ quan trọng đây: ⟨ | ⟩= | 〉= √ ! (4.1.20) , ( ) |0〉 (4.1.21) | 〉 = √ + 1 | + 1〉 (4.1.22) | 〉 = √ | − 1〉 (4.1.23) | 〉= (4.1.24) | 〉=ћ | 〉= | 〉 + | 〉=ћ + | 〉 (4.1.25) Với kiến thức này, viết yếu tố ma trận biên độ trình chuyển đổi Chúng ta lấy ví dụ, xem phương trình (4.1.21) yếu tố ma trận với n hàng m cột: 43 ⋯ (4.1.26) , ↔ ⋮ ⋱ Tương tự ta thu phép biểu diễn ma trận toán tử sinh ⟨ | ⟩= ⟨ | | ⟩ = √ + 1 ⟨ | + 1⟩ ⟷ = , (4.1.27) toán tử hủy, toán tử số hạt Hamiltonian ⟨ | | ⟩ = √ ⟨ | − 1⟩ ⟷ = (4.1.28) , = ⟨ | ⟩ ⟷ = (4.1.29) , =ħ + ⟨ | ⟩⟷ = ħ , (4.1.30) 44 4.2 Các trạng thái kết hợp Các trạng thái kết hợp đóng vai trò quan trọng quang học lượng tử, đặc biệt vật lý laser nhiều công việc thực lĩnh vực Roy J Glauber, người trao giải thưởng Nobel năm 2005 đóng góp cho lý thuyết lượng tử gắn kết quang học Ở cố gắng đưa nhìn tổng quan trạng thái kết hợp chùm laser Trạng thái mô tả chùm tia laser đặc trưng đơn giản có số lượng không xác định photon, pha xác định xác, ngược lại trạng thái với số lượng hạt cố định, pha hoàn toàn ngẫu nhiên 4.2.1 Định nghĩa thuộc tính trạng thái kết hợp Định nghĩa 4.1: Một trạng thái kết hợp | 〉 còn gọi trạng thái Glauber, định nghĩa trạng thái riêng toán tử biên độ toán tử hủy aˆ , với giá trị riêng α ∈ C | 〉 = | 〉 (4.2.1) Khi aˆ toán tử không Hermite pha   aˆ exp(i ) ∈ C số phức tương ứng với biên độ sóng phức quang học cổ điển Vì vậy, trạng thái kết hợp giống trạng thái sóng dao động điện từ Định nghĩa 4.2: ˆ ( ) xác định bởi: Toán tử chuyển vị D ( )= với =| | ∗ (4.2.2) ∈ ℂ số phức, aˆ  aˆ toán tử sinh toán tử hủy Toán tử chuyển vị toán tử đơn vị, tức Dˆ  Dˆ  ta có toán tử chuyển vị đây: 45 ( )= ∗ | | (4.2.3) Các tính chất toán tử chuyển vị: I) ( )= II) ( ) III) ( ) ( ) = (− ) ( )= ( )= (4.2.4) + (4.2.5) + ∗ (4.2.6) ( IV) ( + ) = ( ) ( ) ∗) (4.2.7) Định lý: Trạng thái kết hợp | 〉 được tạo từ chân không |0〉 bởi toán tử chuyển vị ( ) 〉 = ( )|0〉 "Chân không" |0〉 là trạng thái với số hạt n = 0, định nghĩa |0〉 = Các thuộc tính trạng thái kết hợp Chúng ta nghiên cứu tính chất trạng thái kết hợp: (1) Chân không |0〉 là trạng thái kết hợp với α = (2) Năng lượng trung bình: 〈 〉= =ћ + =ћ | | + (4.2.8) Số hạng phía bên tay phải biểu diễn cường độ sóng cổ điển lượng chân không bậc hai (3) Sự mở rộng trạng thái kết hợp không gian Fock: Pha | 〉 mô tả mặt sóng trạng thái kết hợp Tiếp theo muốn nghiên cứu khía cạnh hạt, trạng thái không gian Fock Một trạng thái kết hợp có chứa số lượng không xác định photon, mà tìm thấy từ việc mở rộng trạng thái kết hợp | 〉 vào nhược điểm trạng thái số hạt{| 〉} Chúng ta bắt đầu cách đưa mối quan hệ đầy đủ trạng thái số hạt 46 | 〉 = ∑ | 〉 ⟨ | ⟩ | 〉 = ⟨0| ⟩ ∑∞ Ta có: √ ! (4.2.9) | 〉 (4.2.10) mà biên độ chuyển tiếp cho bởi: | | ⟨0| ⟩ = , (4.2.11) mô tả trạng thái kết hợp số hạng khai triển xác không gian Fock | | | 〉= ∑∞ √ ! | | | 〉= ∑∞ ( ) ! | 〉 (4.2.12) (4) Phân bố xác suất trạng thái kết hợp: Chúng ta phân tích phân bố xác suất photon trạng thái kết hợp, tức xác suất tìm thấy n photon trạng thái kết hợp | 〉, tính bởi: ( ) = |⟨ | ⟩| = | | | | ! (4.2.13) Chú ý số lượng photon trung bình xác định giá trị kỳ vọng toán tử số hạt: =⟨ | = | ⟩=| | (4.2.14) viết lại phân bố xác suất, ta được: ( )= ! , (4.2.15) phân bố Poisson (5) Tích vô hướng hai trạng thái kết hợp: Chúng ta suy số thuộc tính trạng thái số hạt , trạng thái riêng toán tử số hạt Nˆ  aˆ  aˆ Khi toán tử Hermite, giá trị riêng n thực trạng thái riêng | 〉 trực giao Nhưng trạng thái kết hợp trạng thái riêng toán tử hủy aˆ , mà chắn không Hermite biết, giá trị riêng α số phức Vì vậy, 47 tự giả định trạng thái kêt hợp trực giao nhau, phải tính tích vô hướng chúng Bằng cách sử dụng định lý phương trình (4.2.3) 〉= e ∗ ( ) ( )0 = ∗ 2  (    ) * (| | | | ) (4.2.16) xác suất chuyển tiếp cách ngắn gọn: | |⟨ | ⟩| = | (4.2.17) Điều có nghĩa, trạng thái kết hợp thực không trực giao xác suất chuyển tiếp chúng bị triệt tiêu giới hạn khác biệt lớn | − | ≫ (6) Tính đầy đủ trạng thái kết hợp: Mặc dù trạng thái kết hợp không trực giao, khai triển trạng thái kết hợp với số hạng tập hợp đầy đủ trạng thái Mối quan hệ đầy đủ cho trạng thái kết hợp biểu diễn: | 〉 〈 | = (4.2.18) Các trạng thái kết hợp không độc lập tuyến tính | 〉 = | 〉 ⟨ | ⟩ = (| | 〉 | | ) ∗ (4.2.19) 4.2.2 Phép biểu diễn tọa độ trạng thái kết hợp Nhắc lại khai triển trạng thái kết hợp từ biểu thức (4.2.9) ∞ | 〉= ∞ | | √ ! | 〉= | | ( ) √ ! |0〉 , (4.2.20) phép biểu diễn tọa độ trạng thái dao động điều hòa: ( )=⟨ | ⟩= ( )= ( !)√ 48 ( ) (4.2.21) ( ) = ⟨ |0⟩ = ( )= , (4.2.22) √ với = ħ = , ta dễ dàng đưa phép biểu diễn tọa độ trạng thái kết hợp: ⟨ | ⟩= | | ( )= ∑∞ ( )= √ ! | | ( ) ( ) (4.2.23) ∑∞ √ !  Giá trị kỳ vọng x cho trạng thái kết hợp: Rồi sau đó, muốn so sánh chuyển động trạng thái kết hợp dao động điều hòa học lượng tử (và cổ điển), mà ta làm điều cách nghiên cứu giá trị kỳ vọng toán tử tọa độ Đối với trường hợp học lượng tử, tính toán tọa độ trung bình, không dao động: 〈 〉 độ = (4.2.24) Chúng ta dễ dàng tính giá trị kỳ vọng tọa độ cho trạng thái kết hợp 〈 〉 ế ợ = = ( ) √2 ( ) ∗( ( )+ = √2 | | cos( = ( ) ) = √2 Re + ( ) ( ) − ) , (4.2.25) Để tóm tắt tính toán, ta kết luận trạng thái kết hợp không giống dao động điều hòa học lượng tử, không dao động, mà giống mô hình cổ điển 〈 〉 ế ợ = √2 | | ( − ) (4.2.26) 49  Phép biểu diễn tọa độ số hạng toán tử chuyển vị: Trong phần này, biểu diễn nghiên cứu phép biểu diễn tọa độ trạng thái kết hợp theo toán tử chuyển vị Dˆ ( )=⟨ | ⟩= = Đặt + √ ∗ ( )0 = , = − √ (4.2.27) (4.2.28) ta hàm sóng biểu diễn sau: ( ) √ ( )=⟨ | ⟩= ( ) √ ( ) , (4.2.29) trạng thái dao động điều hòa Hàm phụ thuộc vào thời gian biểu diễn cách rõ ràng sau: ( , )= ⟹ = ⟨ | ( )⟩ ( ) ( , ) = √ ( ( )) = ( ( )) √ ( ) √ ( ) = ∗( ) ( ) ( ) √ √ = √ ( ) ( ) ( ) (4.2.30) √ Phân bố xác suất bó sóng: Trong phép tính toán cuối phần này, nghiên cứu mật độ xác suất hàm sóng trạng thái kết hợp, dùng bình phương môđun biểu diễn (4.2.30) Ta tìm mật độ xác suất: | ( , )| = ∗ ( , )= √ exp − − 〈 〉( ) phân bố Gauss với bề rộng không đổi 50 , (4.2.31) Kết luận: Các trạng thái kết hợp bó sóng Gauss dao động với bề rộng không đổi trường dao động điều hòa, tức là, bó sóng trạng thái kết hợp không lan rộng (vì tất số hạng phép biểu diễn pha) Đó bó sóng với độ bất định nhỏ Các đặc tính làm cho trạng thái kết hợp học lượng tử gần tương tự trường thức đơn cổ điển tự Thí dụ minh họa xem hình 4.2: Hình 4.2: Trạng thái kết hợp dao động điều hòa Mật độ xác suất trạng thái kết hợp phân bố Gauss, tâm dao động trường dao động điều hòa Bởi chồng chất trạng thái dao động điều hòa, lượng trạng thái kết hợp không bị hạn chế mức lượng ħ + có giá trị (lớn lượng điểm không) KẾT LUẬN CHƯƠNG 4: Trong chương này, khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết trường lượng tử Định nghĩa trạng thái kết hợp gì, tìm hiểu thuộc tính Nghiên cứu phép biểu diễn tọa độ trạng thái kết hợp Từ giúp hiểu biết dao động tử điều hòa tuyến tính 51 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính lý thuyết thống kê”, nghiên cứu phần chủ yếu sau: - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính không gian pha - Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính thống kê cổ điển - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính vật lý đại Ngoài nỗ lực thân, đề tài hoàn thành nhờ giúp đỡ, hướng dẫn bảo tận tình cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh ý kiến đóng góp thầy cô khoa vật lý bạn sinh viên Khóa luận tốt nghiệp đạt mục đích đề Tuy nhiên thời gian có hạn đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi sai sót Tôi mong bảo, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đề tài hoàn thiện Người thực hiên Ngô Thị Dương 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, (1999), Giáo trình vật lý thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Viết Kính, (1995), Vật lí phân tử nhiệt học [3] Trần Thái Hoa, (2006), Giáo trình học lượng tử, NXB Đại học Sư Phạm [4] Vũ Thanh Khiết, (1996), Giáo trình nhiệt động lực học vật lí thống kê, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Phạm Quý Tư, (1996), Giáo trình nhiệt động lực học vật lí thống kê [6] Davi Halliday - Resbert Resnick – Jearl Wallker, Cơ sở vật lí tập nhiêt học, NXB Giáo dục [7]http://homepage.univie.ac.at/Reinhold.Bertlmann/pdfs/T2Skript_Ch_5.p df 53 [...]... đều động năng theo các bậc tự do, định lý varian Từ đó dùng kiến thức trong vật lý thống kê cổ điển chúng ta đã khảo sát được hệ dao động tử điều hòa tuyến tính đồng thời tìm được các hàm nhiệt động của hệ 23 CHƯƠNG 3 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 3.1 Dùng phân bố chính tắc lượng tử để tìm thống kê Mắcxoen Bônxơman lượng tử Phương pháp Gipxơ mà ta xét trong vật lý thống kê. .. dao động tử tuyến tình một chiều là một hình elip Ngoài ra, chúng ta còn nghiên cứu được sự biến thiên quỹ đạo pha của một dao động tử điều hòa tuyến tính khi có lực ma sát  nhỏ tác dụng CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 14 2.1 Phân bố chính tắc Gipxơ Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt Chia hệ thành hai hệ con C1 và C2 sao cho C1 và C2 vẫn là hệ. .. Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử 3.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính Chúng ta hãy xét bài toán quan trọng có tính chất kinh điển, nghiên cứu chuyển động của hạt quanh vị trí cân bằng dưới tác dụng của lực đàn hồi Fx = -m  2 x Nhiều hệ trong vật lý nguyên tử và hạt nhân được xem như tập hợp các dao động tử điều hòa loại như bài toán ta đang xét Thế... Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa khi có lực ma sát nhỏ tác dụng KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: Trong chương này, chúng ta đã nghiên cứu được khái niệm không gian pha, các yếu tố của không gian pha, cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Tìm được xác suất trạng thái, định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê Sử dụng những kiến thức đó, chúng ta đã khảo sát được hệ dao động tử điều hòa trong không... thứ i bằng:  s s   H ( p , q )  exp dq dq j   dpi   kT  i   j 1 i 1 1 H kT pi  2 pi 2  (tích phân j i kT 2 kT   H ( p , q )  dX  kT 2   exp  (X )   H ( p, q)  dX  1 do điều kiện chuẩn hóa) kT    exp  (X ) 19 2.4 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển Xét dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động. .. toàn bộ hệ Do đó ta chỉ cần chú ý đến năng lượng E của hệ Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng lượng của hệ H(q,p)=E Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ thuộc vào năng lượng của hệ:  ( X )   ( E )   H ( X )  1.5 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha Thông thường, ta khó mà hình... của hệ hạt không tương tác nằm trên mức năng lượng i sẽ bằng:   exp  i  kT  Wi  g   i   Z (3.1.26) Đây là công thức của thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử Nhận xét: Các cặp công thức (3.1.26) và (3.1.24), (3.1.25) và (3.1.17) tuy giống nhau về dạng nhưng là khác nhau, bởi vì i là năng lượng của một hạt của hệ, còn Ek là năng lượng của toàn bộ hệ 3.2 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến. .. Thông thường, ta khó mà hình dung được cũng như khó mà theo dõi được sự chuyển động của điểm pha ngay cả trong trường hợp hệ thực chỉ gồm có vài hạt Bởi vậy, dưới đây ta chỉ xét một thí dụ đơn giản về quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều 9 Dao động tử điều hòa tuyến tính một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi -m  2 x dọc theo một đường thẳng... với fN là số bậc tự do của hệ 1.4 Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê Định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ Chứng minh: Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy... một ô có điện tích bằng  0   q p  2  , chứ không phải bởi một điểm pha như trong cơ học cổ điển 1.6 Mở rộng Sự biến thiên quỹ đạo pha của một dao động tử điều hòa tuyến tính khi có lực ma sát  nhỏ tác dụng Phương trình chuyển động là 1 q  q  0 q  0  (1.6.1) với   m /  Vì ma sát là nhỏ nên 1 0 , dó đó ta dễ dàng tìm được nghiệm của  phương trình vi phân tuyến tính đồng nhất trên ... Chương Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính thống kê cổ điển Chương Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử Chương Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính vật lý... thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử, để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng tử Đã tìm phổ lượng dao động tử điều hòa tuyến tính, tổng trạng thái nội dao động tử điều hòa. .. vật lý thống kê cổ điển để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính - Nghiên cứu cách thiết lập thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử, để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính thống kê lượng