Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lí thuyết thống kê

Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác.. Mục đích và nh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ DƯƠNG

KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH

BẰNG LÝ THUYẾT THỐNG KÊ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH

HÀ NỘI - 2013

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” đã được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Tôi xin trân thành cảm ơn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tôi tận tình trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài này

Đồng thời tôi trân thành cảm ơn các quý thầy cô trong tổ vật lý lý thuyết, cùng các thầy cô trong khoa vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

2 và các bạn sinh viên đã có những đóng góp quý báu giúp cho đề tài của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Người thực hiện

Ngô Thị Dương

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là một công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi,

do chính sức lực của bản thân tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học về môn vật lý lý thuyết Đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành khóa luận này, tôi có tham khảo các tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Khảo sát hệ dao động

tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác

Người thực hiện

Ngô Thị Dương

MỤC LỤC

Trang LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM DOAN

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA 3

1.1 Không gian pha 3

1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha 4

1.3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái 5

1.4 Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê 7

1.5 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha 9

1.6 Mở rộng 13

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: 14

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 15

2.1 Phân bố chính tắc Gipxơ 15

2.2 Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do 17

2.3 Định lí virian 18

2.4 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển 20

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: 23

CHƯƠNG 3 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 24

3.1 Dùng phân bố chính tắc lượng tử để tìm thống kê Mắcxoen Bônxơman lượng tử 24

3.2 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử 30

3.2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính 30

3.2.2 Tổng trạng thái và nội năng của hệ dao động tử điều hòa tuyến tính 34

3.3 Mở rộng 37

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3: 38

CHƯƠNG 4 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN TÍNH TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI 39

4.1 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử 39

4.2 Các trạng thái kết hợp 45

4.2.1 Định nghĩa và các thuộc tính của các trạng thái kết hợp 45

4.2.2 Phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp 48

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4: 51

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

MỞ ĐẦU

1 Lý do chon đề tài

Vật lý thống kê là một ngành trong vật lý học, áp dụng các phương pháp thống kê để giải quyết các bài toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê

Có rất nhiều vấn đề cơ bản cần nghiên cứu trong vật lý thống kê Một trong số vấn đề có tính chất kinh điển là bài toán khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính Hệ dao động tử điều hòa là một hệ lí tưởng trong vật lý, nó tồn tại rất ít trong thực tế Nhưng nó có ứng dụng rất rộng rãi trong ngành vật lý hiện đại, nên từ trước đến nay, nó vẫn luôn là đề tài mà các nhà khoa học rất quan tâm và nghiên cứu

Chính vì vậy, để có thể hiểu rõ hơn về hệ này, tôi đã chọn đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra giả thuyết không gian pha, các mô tả thống kê hệ nhiều hạt, định lí Liouville, từ đó khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha

- Nắm được thế nào là phân bố chính tắc Gipxơ, xây dựng định lý phân

bố đều động năng theo các bậc tự do, định lý varian Từ đó dùng kiến thức trong vật lý thống kê cổ điển để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính

- Nghiên cứu cách thiết lập thống kê Mắcxoen – Bônxơman lượng tử,

để khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử

- Khảo sát được hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý hiện đại Biết được trạng thái kết hợp của dao tử điều hòa tuyến tính

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Hệ dao động tử điều hòa tuyến tính

- Nhiệt động lực học

- Vật lý thống kê

4 Phương pháp nghiên cứu

- Tra cứu, thu thập, phân tích tài liệu

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết

5 Tên đề tài và kết cấu của luận văn

Tên đề tài: “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết thống kê”

Kết cấu của luận văn: Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn được kết cấu làm 4 chương:

Chương 1 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính trong không gian pha

Chương 2 Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê

CHƯƠNG 1 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA TUYẾN

TÍNH TRONG KHÔNG GIAN PHA

1.1 Không gian pha

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian

người ta đưa vào 1 không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các

tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác định trạng thái vi

mô của hệ tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấu thành hệ

Đối với tất cả các hệ vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều

Ví dụ, không gian pha của 1 phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều, đối với phân tử 2 nguyên tử có 5 bậc tự do, không gian

pha là 10 chiều Đối với 1 hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số bậc

tự do của 1 hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ

Trong thống kê người ta thường xét 2 loại không gian pha là không gian  và không gian K:

Không gian  là không gian của 1 hạt Do đó, để khảo sát hành vi của 1 phân tử khí lí tưởng có 3 bậc tự do ta đưa ra không gian  6 chiều có sáu tọa

độ Và khi đó trạng thái vi mô của hệ đó được xác định bằng 1 điểm trong không gian  đó

Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt

Ví dụ, 1 chất khí xét toàn bộ và không gian đó có 2fN chiều Trạng thái

vi mô của một hệ phức tạp được xác định, bởi 2fN thông số q k và p k và do đó

“được biểu diễn” bằng một điểm trong không gian K Đối với các hệ vĩ mô thì

N rất lớn và do đó không gian K là một không gian rất nhiều chiều

1.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

- Điểm pha: Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả

các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành lên và được biểu

diễn trong không gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha

- Quỹ đạo pha: khi trạng thái của hệ biến đổi theo thời gian, điểm pha

sẽ “chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha Đồng thời mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác định nào đó của hệ

Chú ý:

 Quỹ đạo pha là quy ước

 Đối với mỗi điểm của không gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi

qua

- Mặt năng lượng : Nếu xét một hệ cô lập, thì đối với hệ đó năng lượng

toàn phần là không đổi, nghĩa là:

E = E (q 1, q 2 ,…p 1 ,p 2 ,…) = const (1.2.1) Điều kiện đó được xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông

số vi mô của trạng thái, trong đó không gian pha nó là phương trình của một

mặt nào đó Mặt đó được gọi là siêu năng lượng, hay vắn tắt hơn là mặt năng

lượng trong không gian pha

- Thể tích pha: sau này ta sẽ xét không phải là một hệ mà là một tập

hợp hệ (tập hợp thống kê) và sự phân bố các điểm pha của chúng trong không gian pha Vì vậy, ta có lý do để đưa vào quan niệm về thể tích pha

- Thể tích nguyên tố: Người ta chia không gian pha ra thành các thể tích

nguyên tố Thể tích đó được biểu thị:

X , fN, , fN,

(1.2.2)trong đó dq và k dp biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái k

1.3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái

Thay cho việc khảo sát một hệ thực nào đó người ta khảo sát một tập hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương tự như nhau và ở các trạng thái

vi mô khác nhau

Trong không gian K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biểu diễn pha

của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập

hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt

của các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong

thể tích nguyên tố dX của không gian pha, sẽ tỉ lệ với độ lớn dX của thể tích

đó, và ta có thể viết

,

trong đó  = f (q 1 , q 2 … q 1 , q 2 … t) = f (X,t) được gọi là mật độ phân bố các hệ,

nó chỉ rõ các hệ có điểm biểu diễn pha ở trong cùng một đơn vị thể tích pha Bởi vì các hệ trong tập hợp thống kê đều bình đẳng như nhau, cho nên, nếu

gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lý thuyết xác suất, xác suất để có

một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào trong thể

tích nguyên tố dX sẽ là

trong đó hàm ( , ) X t được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống

kê và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

(Tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của dX)

Ta biết rằng trong tập hợp thống kê của một hệ là hệ thực mà ta muốn

khảo sát, nên xác suất dW ở trên là chính xác để hệ thực mà ta khảo sát có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX Mặt khác, bởi vì mỗi

điểm pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực nên ta có thể kết luận rằng:

Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng một tập hợp các giá trị của các biến số X nằm trong khoảng dX sẽ bằng

W ( , )

trong đó ( , )X t là hàm phân bố thống kê thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa (1.3.3)

Như vậy, mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng

bằng một xác suất dW Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên Thực vậy, khi hệ nằm

trong một trạng thái vĩ mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến số thôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong thực nghiệm, chúng là hàm của

Do đó, dù cho biết tất cả các thông số vĩ mô ta cũng không thể xác định

tất cả các biến số X, có nghĩa là từ các phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán

một cách thống kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức là về

các trạng thái vi mô mà thôi

Biết hàm phân bố ( , ),X t ta có thể tìm được trung bình thông kê

(trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lý bất kì F(X) theo công thức:

đó là các tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ

1.4 Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê

Định lí: Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha

của hệ

Chứng minh: Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này Phương trình liên tục có dạng:

i

i i i i s

i

i i i

p q

q p

p

q q

p p

q q

j

div

1 1

1

) ( )

Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các q ivà p i

thỏa mãn phương trình chính tắc Hamilton:

i i

i i

q

H p

p

H q

H p p

H q

p p

2 2

H p

q

H p

p q

q



(1.4.4) Thay (1.4.3) và (1.4.4) vào (1.4.2), rồi thay vào (1.4.1) ta được:

H q

Phương trình (1.4.5) được viết lại là:



 hay = const (1.4.10)

Do đó, theo (1.3.1) ta suy ra:

Như vậy, ta có cách phát biểu khác cho định lý Liouville: Khi các hệ

(tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha các thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ có thể thay đổi

về dạng

Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động

sẽ không phụ thuộc thời gian Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian

cơ thì chỉ có 7 tích phân chuyển động độc lập, đó là: năng lượng E của hệ; 3 thành phần px, py và pz của xung lượng p  ;

3 thành phần Lx, Ly và Lz của mômen động lượng L

Đối với các hệ nhiệt động, ta thường không xét chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ Do đó ta chỉ cần

chú ý đến năng lượng E của hệ Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng lượng của hệ H(q,p)=E

Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ thuộc vào năng lượng của hệ:

 ( ))

( ) (X  E  H X

1.5 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong không gian pha

Thông thường, ta khó mà hình dung được cũng như khó mà theo dõi được sự chuyển động của điểm pha ngay cả trong trường hợp hệ thực chỉ gồm

có vài hạt Bởi vậy, dưới đây ta chỉ xét một thí dụ đơn giản về quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều

Dao động tử điều hòa tuyến tính một chiều là một chất điểm có khối

lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi -m 2

 x dọc theo

một đường thẳng nào đó

Với khái niệm bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của hạt

thì trường hợp đơn giản này là hệ có một bậc tự do Để làm tọa độ suy rộng q

ta có thể lấy khoảng cách từ chất điểm tới vị trí cân bằng dọc theo đường thẳng đó

Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung lượng suy rộng

p=mv như sau:

2

2

p T m

Và thế năng được biểu thị qua tọa độ suy rộng q= x như sau:

2 22

Ta biết rằng trong cơ học cổ điển, trạng thái cơ học của một hạt được

mô tả bởi tọa độ suy rộng q và động lượng suy rộng p, là nghiệm của hệ

phương trình Hamilton:

H q p H p

với H là hàm Hamilton của hệ

Như vậy, ta có thể nói rằng trạng thái cơ học (cổ điển) của hạt tại mỗi

thời điểm t được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (q,p) gọi là điểm pha trong không gian tạo bởi hai trục tọa độ Oq

và Op

đó là không gian pha , là

không gian hai chiều Vì các đại lượng q và p biến thiên theo thời gian nên điểm pha (q,p) vạch thành một đường trong không gian pha: đó là quỹ đạo

pha

Và hệ phương trình chính tắc có dạng sau đây:

2

H p q

p m H

Ta có phương trình vi phân theo q:

20

2 2 04

Vậy quỹ đạo pha là một elip có các bán trục là q 0 và p 0 = mq0

Hình 1.1: Quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa tuyến tính

Để đếm số trạng thái vi mô khả dĩ của hạt khi trạng thái cơ học của gạt được biểu diễn trong không gian pha, ta chia đều các trục O v Oq à p

thành những lượng nhỏ q và p Như vậy, không gian pha trong trường hợp này là

mặt phẳng được phân thành những ô chữ nhật nhỏ, mỗi ô có diện tích bằng

 = qp Một trạng thái cơ học của hạt tương ứng một điểm pha nằm trong ô

này Cách mô tả càng chính xác khi  càng nhỏ: trong cơ học cổ điển,  được chọn nhỏ tùy ý, tức là một ô sẽ trở thành một điểm chính là điểm pha

Chú ý rằng theo cơ học lượng tử, nguyên lí bất định Heisenberg cho hệ

một trạng thái cơ học với các đại lượng q và p cùng được xác định với độ

chính xác tùy ý Vậy mỗi trạng thái vi mô của hạt phải được biểu diễn bởi một ô có điện tích bằng 0  q p2 , chứ không phải bởi một điểm pha như trong cơ học cổ điển

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BẰNG

p

2.1 Phân bố chính tắc Gipxơ

Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt Chia hệ

thành hai hệ con C 1 và C 2 sao cho C 1 và C 2 vẫn là hệ vĩ mô Khi đó năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng thành phần của mỗi hệ với năng lượng tương tác giữa hai hệ:

ln (H) ln (H ) ln (H ) (2.1.4) Lấy vi phân hai vế phương trình (2.1.4) ta được:

Cho dH và 1 dH tiến đến 0 một cách độc lập ta được: 2

dH H



   hay

( )( )

  và   kTln ,Z

trong đó: k là hằng số Bônxơman, T là nhiệt độ tuyệt đối,

 là năng lượng tự do và Z là tích phân trạng thái

Khi đó biểu thức của phân bố chính tắc Gipxơ (2.1.9) được viết lại là:

H X a kT

Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm

thay đổi trạng thái của hệ mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha

khác nhau trong không gian pha Do đó, đối với hệ N hạt đồng nhất ta phải

loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt

Với hệ N hạt đồng nhất ta có N! hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính

tắc được viết lại là:

( , )1

( )

!

H X a kT

2.2 Định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do

Hàm Hamilton của hệ có s bậc tự do biểu thị qua hàm Lagrange như



 được gọi là động năng ứng với bậc tự do thứ i

Định lí: Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i bằng

2

kT

Chứng minh: Giá trị trung bình của động năng ứng với bậc tự do thứ i

có thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gipxơ:



 được gọi là virian ứng với bậc tự do thứ i

Định lí: Nếu khi q  i hàm Hamilton H p q   thì giá trị ( , )

trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i bằng

2

kT

Chứng minh: Giá trị trung bình của virian ứng với bậc tự do thứ i có

thể tính được nhờ phân bố chính tắc Gipxơ:

dX kT

2.4 Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển Xét dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi -m2x dọc theo một đường

thẳng nào đó

Tích phân trạng thái:

( )

( )exp

p x

mkT



22

Với tích phân trạng thái Z 2 kT



 , chúng ta đi tìm các hàm nhiệt động của một dao động tử điều hòa tuyến tính như sau:

1 Năng lượng trung bình

Phân bố chính tắc Gipxơ cho năng lượng được xác định:

/1

2 2

tử điều hòa tuyến tính đồng thời tìm được các hàm nhiệt động của hệ

CHƯƠNG 3 KHẢO SÁT HỆ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

trung bình của một đại lượng vật lý nào đó L (có toán tử tương ứng là L) đo

được ở trạng thái vi mô k là

*

k k