Toán tử chuyển vị là một toán tử đơn vị, tức là ˆ ˆD D 1 và ta có được toán tử chuyển vị dưới đây:
( ) = | | ∗ . (4.2.3) Các tính chất của toán tử chuyển vị:
I) ( ) = ( ) = (− ) (4.2.4) II) ( ) ( ) = + (4.2.5) III) ( ) ( ) = + ∗ (4.2.6)
IV) ( + ) = ( ) ( ) ( ∗) (4.2.7) Định lý:
Trạng thái kết hợp | 〉 được tạo ra từ chân không |0〉 bởi toán tử chuyển vị ( )
〉 = ( )|0〉 .
"Chân không" |0〉 là trạng thái cơ bản với số hạt n = 0, được định nghĩa
bởi |0〉 = 0.
Các thuộc tính của các trạng thái kết hợp
Chúng ta nghiên cứu các tính chất của các trạng thái kết hợp: (1) Chân không |0〉 là một trạng thái kết hợp với α = 0.
(2) Năng lượng trung bình:
〈 〉 = =ћ + =ћ | | + (4.2.8) Số hạng đầu tiên ở phía bên tay phải biểu diễn cường độ sóng cổ điển và năng lượng chân không bậc hai.
(3) Sự mở rộng của trạng thái kết hợp trong không gian Fock:
Pha | 〉 mô tả mặt sóng của trạng thái kết hợp. Tiếp theo chúng ta muốn nghiên cứu các khía cạnh hạt, các trạng thái trong không gian Fock. Một trạng thái kết hợp có chứa một số lượng không xác định các photon, mà sẽ được tìm thấy từ việc mở rộng của trạng thái kết hợp | 〉 vào nhược điểm của các trạng thái số hạt{| 〉}. Chúng ta hãy bắt đầu bằng cách đưa các mối quan hệ đầy đủ của trạng thái số hạt
| 〉 = ∑ | 〉 ⟨ | ⟩ . (4.2.9) Ta có: | 〉 = ⟨0| ⟩ ∑
√ !| 〉
∞ . (4.2.10) mà biên độ chuyển tiếp được cho bởi:
⟨0| ⟩ = | | , (4.2.11) và chúng ta có thể mô tả trạng thái kết hợp về các số hạng của khai triển chính xác trong không gian Fock
| 〉 = | | ∑ √ !| 〉 = ∞ | | ∑ ( ) ! ∞ | 〉 . (4.2.12) (4) Phân bố xác suất của các trạng thái kết hợp:
Chúng ta có thể phân tích phân bố xác suất của các photon trong một
trạng thái kết hợp, tức là xác suất tìm thấy n photon trong một trạng thái kết
hợp | 〉, được tính bởi:
( ) = |⟨ | ⟩| = | | | |
! (4.2.13)
Chú ý rằng số lượng photon trung bình được xác định bằng giá trị kỳ vọng của toán tử số hạt:
= = ⟨ | | ⟩ = | | (4.2.14) có thể viết lại phân bố xác suất, ta được:
( ) =
! , (4.2.15)
đó là một phân bố Poisson.
(5) Tích vô hướng của hai trạng thái kết hợp:
Chúng ta có thể suy ra một số thuộc tính của các trạng thái số hạt , đó là những trạng thái riêng của toán tử số hạt ˆN a aˆ ˆ . Khi các toán tử này là
Hermite, giá trị riêng n là thực và các trạng thái riêng | 〉 trực giao. Nhưng các trạng thái kết hợp là các trạng thái riêng của toán tử hủy aˆ, mà chắc chắn
chúng ta có thể tự giả định các trạng thái kêt hợp trực giao nhau, nhưng phải tính tích vô hướng của chúng. Bằng cách sử dụng định lý và phương trình (4.2.3). 〉 = 0 ( ) ( ) 0 = 0 ∗ ∗ 0 (| | | | ) 2 2 * 1 ( ) 2 e (4.2.16) và xác suất chuyển tiếp một cách ngắn gọn:
|⟨ | ⟩| = | | . (4.2.17) Điều đó có nghĩa, các trạng thái kết hợp thực sự không trực giao và xác suất chuyển tiếp của chúng chỉ bị triệt tiêu trong giới hạn của sự khác biệt lớn | − | ≫ 1.
(6) Tính đầy đủ của các trạng thái kết hợp:
Mặc dù các trạng thái kết hợp không trực giao, nó có thể khai triển các trạng thái kết hợp với các số hạng của tập hợp đầy đủ các trạng thái. Mối quan hệ đầy đủ cho các trạng thái kết hợp được biểu diễn:
1
| 〉 〈 | = 1 . (4.2.18) Các trạng thái kết hợp là không độc lập tuyến tính
| 〉 = 1 | 〉 ⟨ | ⟩ = 1 〉 (| | | | ) ∗. (4.2.19) 4.2.2. Phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp
Nhắc lại sự khai triển trạng thái kết hợp từ biểu thức (4.2.9) | 〉 = | | √ !| 〉 = ∞ | | ( ) √ ! |0〉 ∞ , (4.2.20) và phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái dao động điều hòa:
( ) = ⟨ | ⟩ = ( ) = 1 2 ( !)√
( ) = ⟨ |0⟩ = ( ) = 1 √
, (4.2.22)
với = và = ħ , ta có thể dễ dàng đưa ra phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp: ⟨ | ⟩ = ( ) = | | ∑ √ ! ( ) ∞ = | | ∑ ( √ !) ( ). ∞ (4.2.23)
Giá trị kỳ vọng của x cho các trạng thái kết hợp:
Rồi sau đó, chúng ta muốn so sánh chuyển động của các trạng thái kết hợp của dao động điều hòa trong cơ học lượng tử (và cổ điển), mà ta sẽ làm điều đó bằng cách nghiên cứu giá trị kỳ vọng của toán tử tọa độ. Đối với trường hợp cơ học lượng tử, chúng ta đã tính toán tọa độ trung bình, khi không dao động:
〈 〉 độ = 0. (4.2.24) Chúng ta có thể dễ dàng tính được giá trị kỳ vọng của tọa độ cho các trạng thái kết hợp 〈 〉 ế ợ = ( ) ( ) = 2 ( ) + ( ) = √2 ( ) + ∗( ) = √2 Re ( ) = √2 | | cos( − ) , (4.2.25) Để tóm tắt các tính toán, ta kết luận rằng trạng thái kết hợp không giống như các dao động điều hòa trong cơ học lượng tử, không dao động, mà giống như mô hình cổ điển
Phép biểu diễn tọa độ bằng các số hạng của toán tử chuyển vị: Trong phần này, chúng ta biểu diễn và nghiên cứu phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp theo toán tử chuyển vị ˆD
( ) = ⟨ | ⟩ = ( ) 0 = ∗ 0 . (4.2.27) Đặt =
√ + , =
√ − (4.2.28) và ta được hàm sóng biểu diễn như sau:
( ) = ⟨ | ⟩ = √ ( ) √ ( ) ( ) , (4.2.29) ở đây là trạng thái cơ bản của dao động điều hòa.
Hàm phụ thuộc vào thời gian được biểu diễn một cách rõ ràng như sau: ( , ) = ( ) = ⟨ | ( )⟩ = ( ) ∗( ) 0 ⟹ ( , ) = √ ( ( )) √ ( ( )) ( ). = 1 √ √ ( ) √ ( ) = 1 √ √ ( ) ( ) ( ) . (4.2.30)
Phân bố xác suất của bó sóng:
Trong phép tính toán cuối cùng ở phần này, chúng ta nghiên cứu mật độ xác suất của hàm sóng của trạng thái kết hợp, vì vậy chúng ta dùng bình
phương môđun của biểu diễn (4.2.30). Ta tìm được mật độ xác suất:
| ( , )| = ∗ ( , ) = 1
√ exp −
− 〈 〉( )
, (4.2.31) đây chính là phân bố Gauss với bề rộng không đổi.
Kết luận:
Các trạng thái kết hợp là các bó sóng Gauss dao động với bề rộng không đổi trong một trường thế dao động điều hòa, tức là, bó sóng của trạng thái kết hợp không lan rộng (vì tất cả các số hạng trong phép biểu diễn ở trong các pha). Đó là bó sóng với độ bất định nhỏ nhất. Các đặc tính này làm cho các trạng thái kết hợp trong cơ học lượng tử gần nhất tương tự như trường thức đơn cổ điển tự do. Thí dụ minh họa xem hình 4.2:
Hình 4.2: Trạng thái kết hợp trong dao động điều hòa.
Mật độ xác suất của trạng thái kết hợp là một phân bố Gauss, ở tâm của các dao động trong một trường thế dao động điều hòa. Bởi vì nó là sự chồng chất của các trạng thái dao động điều hòa, năng lượng của trạng thái kết hợp
không bị hạn chế bởi các mức năng lượng ħ + nhưng có thể có mọi giá trị (lớn hơn năng lượng điểm không).
KẾT LUẬN CHƯƠNG 4:
Trong chương này, chúng ta đã khảo sát được hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng lý thuyết trường lượng tử. Định nghĩa được trạng thái kết hợp là gì, tìm hiểu được các thuộc tính của nó. Nghiên cứu được phép biểu diễn tọa độ của các trạng thái kết hợp. Từ đó giúp chúng ta hiểu biết hơn về dao động tử điều hòa tuyến tính.
KẾT LUẬN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Khảo sát hệ dao động tử điều hòa
tuyến tính bằng lý thuyết thống kê”, tôi đã nghiên cứu được các phần chủ yếu sau:
- Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyết tính trong không gian pha. - Khảo sát hệ dao đông tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê cổ điển. - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính bằng thống kê lượng tử. - Khảo sát hệ dao động tử điều hòa tuyến tính trong vật lý hiện đại. Ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài được hoàn thành nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn chỉ bảo tận tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh và ý kiến đóng góp của các thầy cô trong khoa vật lý cùng các bạn sinh viên. Khóa luận tốt nghiệp đã đạt được mục đích đề ra. Tuy nhiên do thời gian có hạn và mới đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài này cũng không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đề tài này được hoàn thiện hơn.
Người thực hiên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng,
(1999), Giáo trình vật lý thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội.
[2] Đàm Trung Đồn, Nguyễn Viết Kính, (1995), Vật lí phân tử và nhiệt học. [3] Trần Thái Hoa, (2006), Giáo trình cơ học lượng tử, NXB Đại học Sư
Phạm.
[4] Vũ Thanh Khiết, (1996), Giáo trình nhiệt động lực học và vật lí thống kê,
NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[5] Phạm Quý Tư, (1996), Giáo trình nhiệt động lực học và vật lí thống kê. [6] Davi Halliday - Resbert Resnick – Jearl Wallker, Cơ sở vật lí tập 3 nhiêt
học, NXB Giáo dục.
[7]http://homepage.univie.ac.at/Reinhold.Bertlmann/pdfs/T2Skript_Ch_5.p df