Một số bài toán dao động tử điều hoà

1 Trờng đại học vinh Khoa vật lý ---------------- Một số bài toán dao động tử điều hoà Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: vật lý lý thuyết Ngời hớng dẫn: GV.TS. Đinh Phan Khôi Sinh viên thực hiện: Lê Thị Liên Lớp: 44A Vật lý Vinh , 2007 Phần Mở đầu Bài toán dao động tử điều hòa có nhiều ứng dụng trong vật lý. Một vi hạt thực hiện dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng là một ví dụ về dao động tử điều hòa lợng tử. Các dao động nhỏ của các nguyên tử trong phân tử là những ví dụ về loại dao động tử đó. Cả chuyển động nhiệt của tinh thể cũng có thể đợc biểu diễn dới dạng tập hợp các dao động tử tuyến tính. Bài toán dao động tử điều hòa cũng đợc gặp trong điện động lực học lợng tử độc lập. Các bài toán về quang học, cơ học đều có thể đợc quy về bài toán dao động tử điều hòa. Những ví dụ nêu trên chứng tỏ lý thuyết về dao động tử điều hòa tuyến tính là một trong những bài toán quan trọng của cơ học lợng tử. Ngay công trình đầu tiên về lợng tử trờng điện từ, Đirắc đã đề nghị đa ra các toán tử sinh và hủy để nghiên cứu nghiệm của dao động tử điều hòa. Sau đó các nhà bác học cùng thời sau Suskin và Giogower đã chứng minh rằng các toán tử sinh và hủy không phải là các toán tử éc-mít và còn không có cả hàm riêng và trị riêng. Tổng quan lý thuyết về dao động tử điều hòa và giải một số dạng bài tập điển hình của dao động tử điều hòa là mục đích của khóa luận tốt nghiệp. Với mục đích trên khoá luận tốt nghiệp ngoài phần mở đầu và kết luận còn đợc chia làm 3 chơng: Chơng I: Giới thiệu một số kiến thức cơ sở nh ký hiệu Đirắc về mặt định nghĩa. Tìm hiểu cụ thể các khái niệm ket và bra, các tính chất của chúng và xem xét tích trong và tích ngoài của ket và bra. Điểm lại một số kiến thức cơ bản về toán tử. Tác dụng của toán tử lên các ket và bra. Chơng II: Trong chơng này các kiến thức cơ bản của dao động tử điều hòa đợc trình bày một cách có hệ thống từ dao động tử điều hòa theo cơ học cổ điển đến cơ học lợng tử. Nghiệm của dao động tử điều hòa giải bằng phơng pháp đại số sử dụng các toán tử sinh, hủy, toán tử số hạt. Giới thiệu dao động tử điều hòa 1 chiều và 2 chiều. Giải bài toán dao động tử điều hòa 2 chiều. 2 Tìm hiểu về đa thức Hermite và các tính chất của đa thức. Chơng III: Giới thiệu và giải một số bài tập điển hình về dao động tử điều hòa bằng việc vận dụng các phơng pháp toán tử. 3 Chơng I: Ký hiệu Đirắc i. Định nghĩa Để mô tả trạng thái thuần khiết của một hệ lợng tử, cho đến nay ta đã dùng hàm sóng a (x,t). Chỉ số a ở hàm sóng ký hiệu một bộ giá trị các đại lợng vật lý hay các số lợng tử tơng ứng xác định trạng thái của hệ. Do đó, chỉ số a đợc gọi là chỉ số trạng thái. Sự mô tả trạng thái dựa vào hàm số phụ thuộc vào tọa độ (hàm sóng) đợc gọi là phép biểu diễn tọa độ. Chữ x ký hiệu cho tập hợp các biến đợc gọi là chỉ số biểu diễn. Ta xét tại một thời điểm xác định, nên hàm sóng trong biểu diễn tọa độ có dạng a (x). Hàm này đợc Đirắc ký hiệu bằng , gọi là ket vectơ, hay bằng a . Chẳng hạn hàm sóng nlmj , mô tả trạng thái với các số lợng tử đã cho nlmj đợc ký hiệu bằng ket vectơ nlmj . Hàm sóng * nlmj liên hợp phức với hàm nlmj đợc ký hiệu bằng bra vectơ hay một cách tơng ứng bằng nlmj . Ket vectơ đợc liên hệ với bra vectơ bằng hệ thức đơn giản. * = Do đó mọi trạng thái bất kỳ của một hệ động lực có thể đợc mô tả bằng ket vectơ hay bra vectơ. II. Ket 1.2.1. Ket Xem xét không gian vectơ phức có số chiều phụ thuộc bản chất hệ vật lý mà ta xét. Khi số chiều vô hạn thì không gian vectơ phức đó đợc gọi là không gian Hilbert. Trạng thái của hệ đợc biểu diễn bởi vectơ trạng thái trong không gian vectơ phức theo ký hiệu Đirắc đợc gọi là ket . Giả thiết rằng trạng thái ket này chứa đựng tất cả các thông tin về hệ vật lý, tất cả các thông tin mà chúng ta có thể biết về trạng thái đó. 1.2.2. Tính chất 4 - Ket có tính cộng đợc =+ : là một ket - Nếu C là một hằng số CC = cũng là một ket khi C = 0 thì có trờng hợp đặc biệt - ket không Trong vật lý thì và C biểu diễn cùng một trạng thái vật lý (chỉ có hớng là quan trọng trong không gian vectơ) Một đại lợng quan sát đợc thì đợc biểu diễn bằng một toán tử A trong không gian vectơ mà ta xét. ( ) AA = Nói chung A không phải là một hằng số nhân với , tuy nhiên trờng hợp đặc biệt có những ket riêng của toán tử A . '''''' ,, aaa Có tính chất ''''''''' , aaaAaaaA == Tập hợp các số này là tập hợp các trị riêng của toán tử A . iii. bra 1.3.1. Bra ứng với mỗi ket tồn tại 1 bra ký hiệu . Trong không gian bra, không gian bra đợc khai triển bởi các bra riêng { } ' a tơng ứng với các ket riêng { } ' a . DC DC: mối quan hệ đối ngẫu Công thức '''''' , ., aaaa DC và +=+ Chúng ta có thể xem không gian bra nh ảnh gơng của không gian ket bra tơng ứng của ket C là * C * CC Có tơng ứng ** CCCC ++ 1.3.2. Định nghĩa tích trong và tích ngoài của bra và ket 5 a. Tích trong Tích vô hớng của bra vectơ và ket vectơ đợc ký hiệu bằng: ( )( ) = đợc gọi là tích trong của bra và ket. Tích này nói chung là một số phức. Các tính chất của tích trong * = và * liên hợp phức với nhau. Trờng hợp là một số thực và dơng 0 Tính chất này đợc gọi là mêtric xác định riêng ket và bra đợc gọi là trực giao nếu: 0 = ~ đợc gọi là ket đã chuẩn hóa nếu: = 1 ~ 1 đợc gọi là hệ số chuẩn hóa của ket 1 ~~ = b. Tích ngoài: Tích ( ) = đợc gọi là tích ngoài và tích này nói chung là một toán tử. iv. toán tử Các đại lợng quan sát đợc, đợc biểu diễn bởi các toán tử, các toán tử này tác động lên các ket từ bên trái. ( ) XX = Và kết quả cho ta một ket khác YXYX == Toán tử X đợc gọi là toán tử 0 nếu đối với mọi ket bất kỳ đều có. 0 = X 6 Các toán tử có tính chất XYYX +=+ Có tính chất giao hoán ( ) ( ) ZYXZYX ++=++ Có tính chất kết hợp Toán tử X đợc gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn: ( ) XCXCCCX +=+ Toán tử luôn tác dụng lên bra từ bên phải ( ) XX = cho ta một bra khác. Ket X và X : nói chung không có mối liên hệ đối ngẫu với nhau. Ngời ta định nghĩa * X sao cho: * XX DC * X đợc gọi là liên hợp éc-mít hay gọi là liên hợp của X Toán tử X đợc gọi là tự liên hợp (toán tử éc-mít) nếu , , XX = Phép nhân: XYYX : không có tính chất giao hoán ( ) ZYXZYX = : có tính chất kết hợp ( ) ++ + = XYYX 7 chơng ii: dao động tử điều hòa i. dao động tử điều hòa 1 chiều 2.1.1. Theo cơ học cổ điển - Cấu hình: - Phơng trình chuyển động kx dt xd m = 2 2 (1) k: là độ cứng của lò xo Nếu đặt m k = 2 0 (2) 0 : gọi là tần số dao động và phơng trình có thể viết dới dạng: (1) 0 2 0 2 2 =+ x dt xd (3) Phơng trình (3) có thể viết lại dới dạng: ( ) 0 2 1 22 0 2 = + xx dt d (4) Biểu thức trong dấu ngoặc của (4) không phụ thuộc thời gian nên ta có thể đặt ( ) 22 0 2 2 1 xx m E += Trong đó: E là năng lợng của dao động tử. Biểu thức trên có thể viết 22 22 1 x k xmE += (5) Số hạng đầu và số hạng thứ hai trong biểu thức là động năng và thế năng của chuyển động. Thế năng 2 2 x k V = (6) 8 x = 0 m x x Khi hạt không chuyển động 2 0 2 x k E = (7) x 0 : là độ lệch cực đại của dao động 0 2 0 2 <> Txx x 2 > 2 0 x : là vùng cấm ( ) 22 0 2 xx k VET == Động năng có giá trị âm T < 0 với 2 0 2 xx > Động năng có giá trị dơng T > 0 với 2 0 2 xx < 2.1.2. Theo cơ học lợng tử Xét hạt chuyển động trong thế dao động tử điều hòa ( ) 2 2 1 kxxV = Phơng trình vi phân tổng quát cho thế dao động tử điều hòa có thể đợc giải bằng cách sử dụng kỹ thuật thông thờng, đợc áp dụng trong việc giải các bài tập cơ học lợng tử. Nhiều bài toán vật lý có thể đợc quy về dao động tử điều hòa với những điều kiện thích hợp. - Hamintơn của hạt khối lợng m trong thế 2 2 x k V = 2 2 22 x k m H += (1) - Phơng trình dingeroSchr đối với dao động tử điều hòa 1 chiều là Ex k xm =+ 2 2 22 22 (2) Giải phơng trình (2) bằng phơng pháp đại số Định nghĩa: += 0 2 m i xa (3) 0 2 0 2 m m i xa = = + + aa a không phải là éc-mít 9 2 2 x k V = V(x) E Vùng -x 0 x 0 Vùng cấm cấm p p p p [ ] ix = , (4) [ ] 1 , = + aa (5) aaaa 1 ++ += Từ (3) = + = ++ 22 0 aa i m aa x (6) +=+= + 2 1 22 0 2 aa xk m H (7) Vậy bài toán tìm giá trị riêng của H trở thành bài toán tìm trị riêng của toán tử aaN + = (8) Giả sử n là hàm riêng của N tơng ứng với trị riêng n nn nN = (9) Tác động N lên ( a n ) ( ) ( ) nnnn aaaaaaaaaaN 1 1 === +++ ( ) ( ) ( ) nnnn annaNaaN 11 1 === (10) n a là hàm riêng của N tơng ứng với trị riêng (n-1) Nghĩa là 1 = nn a (11) bỏ qua hệ số chuẩn hóa Tơng tự 21 = nn a (12) a : toán tử hủy Tơng tự ( ) nn anaN ++ += 1 ( ) ( ) ( ) nnnnn annaaaaaaaaN +++++++ +=+=+== 11 1 Nghĩa là: 1 + + = nn a (14) Tơng tự 21 ++ + = nn a (15) + a : toán tử sinh Vì H là tổng các bình phơng của hai toán tử éc-mít nên 0 H (16) Trong trạng thái riêng n 10 p p . đại số sử dụng các toán tử sinh, hủy, toán tử số hạt. Giới thiệu dao động tử điều hòa 1 chiều và 2 chiều. Giải bài toán dao động tử điều hòa 2 chiều. 2. dạng tập hợp các dao động tử tuyến tính. Bài toán dao động tử điều hòa cũng đợc gặp trong điện động lực học lợng tử độc lập. Các bài toán về quang học,