Một số bài toán trong giải tích điều hòa và phương trình đạo hàm riêng liên kết với toán tử loại schrödinger

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC TRỌNG MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH ĐIỀU HỊA VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIấNG ă LIấN KT VI TON T LOI SCHRODINGER LUN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC TRỌNG MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG GIẢI TÍCH ĐIỀU HỊA VÀ PHƯƠNG TRÌNH O HM RIấNG ă LIấN KT VI TON T LOI SCHRODINGER Ngành: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: TS Nguyễn Minh Quân Phản biện 2: TS Nguyễn Anh Triết Phản biện 3: TS Hồ Ngọc Kỳ Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Đinh Nho Hào Phản biện độc lập 2: TS Phan Thành Việt NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Xuân Trường TS Bùi Lê Trọng Thanh TP Hồ Chí Minh - Năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Nguyễn Ngọc Trọng iii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Xuân Trường, TS Bùi Lê Trọng Thanh TS Bùi Thế Anh, giới thiệu đề tài, gợi ý cho tơi nhiều vấn đề ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án tận tình giúp đỡ tơi học tập nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Đào Nguyên Anh, TS Trần Trí Dũng, TS Hồ Ngọc Kỳ, TS Nguyễn Thành Nhân TS Đỗ Đức Tân đọc, hướng dẫn góp nhiều ý kiến hữu ích giúp tơi hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn nhà khoa học thành viên Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn cấp Cơ sở đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, nhận xét đánh giá bình luận quý báu với đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tơi hồn thành tốt luận án Tơi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ mơn Tốn Giải tích Phịng Sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tơi học tập hồn thành luận án Qua luận án bày tỏ lời cảm ơn đồng nghiệp thân thiết Khoa Giáo dục Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh động viên giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin dành tất tình yêu thương cho gia đình, bạn bè người thân tôi, quan tâm họ góp phần khơng nhỏ vào việc hồn thành luận án ****************************** iv MỤC LỤC DANH SÁCH KÝ HIỆU TỔNG QUAN CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 19 Hàm trọng 19 1.1.1 Lớp trọng Muckenhoupt 19 1.1.2 Lớp Holder ngược 20 ă 1.1.3 Lp doubling 20 1.1.4 Tính chất lớp trọng 20 1.2 Hàm phụ trợ 21 1.3 Toán tử Calderón-Zygmund 22 1.4 Không gian BMO cổ điển 23 1.5 Hoán tử 24 CHƯƠNG Tích phân kì dị khơng gian BMO liên kết với toỏn t loi Schrodinger ă 25 2.1 Giới thiệu 25 2.2 Đặc trưng lớp trọng L-Muckenhoupt 27 2.3 Lớp trọng L-doubling 29 2.4 Không gian BMOL (ω ) 30 β,θ 2.4.1 Bất đẳng thức John-Nirenberg 33 2.4.2 Một số bất đẳng thức khác 42 2.5 Đánh giá nhân liên kết biến đổi L-Riesz 50 2.6 Biến đổi L-Riesz tính quy cho lớp phương trình loại Schrodinger 52 ă 2.7 Hm L-Littlewood-Paley 57 v vi CHƯƠNG Tích phân kì dị khơng gian Morrey liên kết với toán tử loại Schrodinger 72 ¨ 3.1 Giới thiệu 72 3.2 Biến đổi L-Riesz hoán tử 73 3.3 Thế vị L-Riesz hoán tử 83 3.4 Chính quy cho phương trình loại Schrodinger 91 ă CHNG Tớch phõn kỡ d trờn khụng gian Besov-Morrey liên kết với toán tử loại Schrodinger 94 ă 4.1 Giới thiệu 94 4.2 Định nghĩa kết chuẩn bị 95 4.2.1 Hình lập phương nhị phân 95 4.2.2 Không gian Morrey 95 4.2.3 Các tính chất nửa nhóm liên kết 97 4.2.4 Cơng thức Calderón 98 4.3 Không gian BMα,H p,q,r 98 4.4 Chính quy cho phương trình loại Schrodinger 108 ă KT LUN 114 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 DANH SÁCH KÝ HIỆU Ký hiệu tập hợp N = {0, 1, 2, } Tập hợp số tự nhiên N∗ = {1, 2, } Tập hợp số nguyên dương Z Tập hợp số nguyên R Tập hợp số thực Ký hiệu đạo hàm ∇u( x ) n ∂u ( x ) ∂xi i =1 Gradient u( x ) theo biến x = ( x1 , x2 , , xn ) ∇2 u Ma trận Hessian ∂2 u (x) ∂xi2 n hàm u( x ) i =1 Các không gian hàm S, S · X ·, · Cc∞ = Cc∞ (Rn ) Không gian Schwartz không gian đối ngẫu Rn Chuẩn khơng gian X Tích đối ngẫu tích vơ hướng L2 Khơng gian hàm Rn → R khả vi liên tục đến cấp có giá compắc L p ( ω ) = L p (Rn , ω ) Không gian hàm đo Lebesgue u : Rn → R thỏa u L p (ω ) = ✁ Rn |u( x )| p ω ( x )dx 1/p kiện t < 4ν ta suy √ e−tH ( H)2M+k bQ ( x ) | Q|α/n−1/r 2ν(2M−k) + ✂ × Rn | x − xQ | 2ν | x − y |2 exp −c t tn/2 −n− N dy Do đó, ta có e −tH √ ( H) 2M+k bQ ( x ) | Q| α/n−1/r ν(2M−k ) | x − xQ | 1+ 2ν Điều cho ta I1 | Q|α/n−1/r 2ν(2M−k) | x − xQ | 1+ 2ν | Q|(α+2s)/n−1/r 2ν(2M−k) + 111 ν −n− N ✂4 | x − xQ | 2ν ts dt t −n− N −n− N Tiếp theo, ta đánh giá I2 Theo (4.4.19), ta suy √ H M e−tH ( H)k bQ ( x ) √ = t− M (tH) M e−tH ( H)k bQ ( x ) ✂ √ −M Kt,M ( x, y)( H)k bQ (y) dy t Rn ✂ t √ |( H)k bQ (y)|dy | x − y |2 exp −2c t tn/2 −M Rn Theo (4.4.18) ta suy √ H M e−tH ( H)k bQ ( x ) ✂ t −M Rn × | Q| | x − y| √ t 1+ tn/2 −n− N exp −c |y − xQ | 1+ 2ν α/n−1/r ν(4M−k) Sử dụng bất đẳng thức (1 + a + b) | x − y |2 t −n− N dy (1 + a)(1 + b) với a, b > t ≥ 4ν ta thu √ Hm e−tH ( H)k bQ ( x ) t −M ✂ × Rn | Q| α/n−1/r ν(4M−k) | x − xQ | 1+ √ t | x − y |2 exp −c t tn/2 −n− N dy Do t ≥ 4ν ta có √ Hm e−tH ( H)k bQ ( x ) t− M | Q|α/n−1/r 2ν(4M−k) ✂ × Rn t 4ν tn/2 exp −c (n+ N )/2 t −M 2ν √ t | x − y| t | Q| n+ N √ t 2ν + | x − xQ | n+ N 2ν dy α/n−1/r ν(4M −k ) 112 | x − xQ | 1+ 2ν −n− N Nhắc lại M > s + n/2 + N/2 Điều suy I2 | x − xQ | 1+ 2ν | Q|α/n−1/r 2ν(4M−k− N −n) −n− N ✂∞ ts+ n+ N − M dt t 4ν | Q| α/n−1/r ν(4M−k − N −n) ν(2s+n+ N −2M) | Q| (α+2s)/n−1/r ν(2M−k) 2 | x − xQ | 1+ 2ν | x − xQ | 1+ 2ν −n− N −n− N Do đó, H−s (mQ ) (H, 2M, N, α + 2s, r ) phân tử liên kết với hình lập phương Q Áp dụng Định lý 4.3.6, ta suy tính bị chặn H−s từ BMα,H p,q,r đến +2s,H BMαp,q,r Từ ta có điều mong muốn Hồn tồn tương tự, ta thiết lập tính bị chặn vị Bessel α+2s,H ( I + H)−s từ BMα,H Chứng minh hoàn thành p,q,r đến BM p,q,r NHẬN XÉT VÀ BÌNH LUẬN CHƯƠNG • Các kết mở rộng Định lý 3.2, 3.4, 5.1 5.2 [15] trường hợp riêng • Cần nhấn mạnh kỹ thuật chúng tơi áp dụng để nghiên cứu khơng gian Hermite-Besov-Morrey không không gian Hermite-Triebel-Lizorkin-Morrey không Các kết chúng tơi hồn thành gửi đăng ———-oOo———- 113 KẾT LUẬN Trong luận án sử dụng phương pháp giải tích điều hịa để khảo sát tính bị chặn số tích phân kì dị khơng gian hàm liên kết với tốn tử loại Schrodinger Từ đó, luận án nghiên cu cỏc ă kt qu chớnh quy cho mt s lp phng trỡnh loi Schrodinger Ni dung ă ca lun án tập trung vào ba vấn đề Thứ tích phân kì dị khơng gian BMO liên kết với tốn tử loại Schrodinger Thứ hai tích phân kỡ d ă trờn khụng gian Morrey liờn kt vi toỏn t loi Schrodinger V cui cựng, ă lun ỏn nghiên cứu tích phân kì dị khơng gian Besov-Morrey liờn kt vi toỏn t loi Schrodinger ă Nhng kt trình bày luận án bao gồm: β,θ Xây dựng không gian BMOL (ω ) mở rộng lớp khơng gian có Giới thiệu lớp trọng L doubling xây dựng đặc trưng trọng LMuckenhoupt Chứng minh đánh giá nhân liên kết biến đổi LRiesz Từ thiết lập tính bị chặn toán tử T GL lớp khơng gian Một áp dụng cho tính quy ca phng trỡnh loi Schrodinger ă ( + V)u = div f trình bày p,s Giới thiệu không gian Morrey tổng quát Mα,θ (ω, ν) Chứng minh biến đổi L-Riesz, vị L-Riesz hoán tử chúng bị chặn lớp không gian Từ đó, chúng tơi chứng minh kết quy cho lp phng trỡnh loi Schrodinger ă ( + V)u = div f 114 (−∆ + V) β/2 u = g Xây dựng không gian Hermite-Besov-Morrey BMα,H p,q,r Thiết lập đặc trưng phân tử cho lớp không gian Từ chứng minh tính quy BMα,H p,q,r cho lớp phương trình fractional Hermite (−∆ + | x |2 )s u = f (−∆ + | x |2 + I )s u = f Trên sở kết có, để kết thúc, nêu số vấn đề nghiên cứu hay mở rộng: ( ω ) với ω ∈ Biến đổi Riesz bậc hai ∇2 L−1 không gian Hardy HL L,∞ D∞ ∩ AL,∞ ∞ p,s Biến đổi Riesz bậc hai ∇2 L−1 không gian Mα,θ (ω, ν) với trọng L-Muckenhoupt Nghiên cứu không gian BMα,L p,q,r V ∈ RHn ———-oOo———- 115 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [T1] N N Trong (2015), "The Second-Order Riesz Transforms Related to Schrodinger Operators Acting on BMO-Type Spaces", Vietnam J Math, 43 ă (1), 122 [T2] N N Trong, N T Tung (2016), "Weighted BMO type spaces associated to admissible functions and applications", Acta Math Vietnam, 41 (2), 209– 241 [T3] N N Trong (2016), "The weighted L p − Lq boundedness of commutators of Schrodinger operators on the stratified Lie group G", Vietnam J Math, ă 44 (4), 839–856 [T4] N N Trong, L X Truong (2018), "The Second-Order Riesz Transforms Related to Schrodinger Operators Acting on BMO Type Spaces on ă the Stratified Lie Group", Vietnam J Math, 46 (3), 629–651 [T5] N N Trong, L X Truong (2018), "Riesz transforms and LittlewoodPaley G-function associated to Schrodinger operators on new weighted spaces", ă J Aust Math Soc, 105(2), 201–228 [T6] N N Trong, L X Truong (2018), "Generalized Morrey spaces associated to Schrodinger operators and applications", Czech Math J, 143 (4), ă 953986 [T7] N A Dao, N N Trong, L X Truong (2018), "Besov-Morrey Spaces Associated to Hermite Operators and applications to Fractional Hermite Equations", Electron J Differ Equ, 2018 (187), 1–14 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D R Adams (1975), "A note on Riesz potentials", Duke Math J, 42, 765– 778 [2] D R Adams, J Xiao (2004), "Nonlinear potential analysis on Morrey spaces and their capacities", Indiana Univ Math J, 53, 1629–1663 [3] R Adams, J Fournier (2003), Sobolev spaces, 2nd ed, Academic Press [4] J Álvarez, R J Bagby, D S Kurtz, C Pérez (1993),"Weighted estimates for commutators of linear operators", Studia Math, 104 (2), 195–209 [5] P Auscher, B Ben Ali (2007), "Maximal inequalities and Riesz transform estimates on L p spaces for Schrodinger operators with nonă negative potentials", Annales de I’Institut Fourier, 57(6), 1975–2013 [6] A E Baraka, M Toumlilin (2017), "Global Well-Posedness for Fractional Navier-Stokes Equations in critical Fourier-Besov-Morrey Spaces", Moroccan Journal of Pure and Applied Analysis, 3(1), 1–13 [7] O V Besov (1959), "On a family of function spaces, embedding theorems and extensions", Dokl Akad Nauk SSSR, 126, 1163–1165 (in Russian) [8] O.V Besov (1961), "On a family of function spaces in connection with embeddings and extensions", Tr Mat Inst Steklova, 60, 42–81 (in Russian) [9] B Bongioanni, E Harboure, O Salinas (2008), "Weighted inequalities for negative powers of Schrodinger operators", J Math Anal Appl, 348, ă 1227 117 [10] B Bongioanni, E Harboure, O Salinas (2009), "Riesz transform related to Schrodinger operators acting on BMO type spaces", J Math Anal ă Appl, 357, 115131 [11] B Bongioanni, E Harboure, O Salinas (2011), "Classes of weights related to Schrodinger operator", J Math Anal Appl, 373, 563579 ă [12] T A Bui (2010), "The weighted norm inequalities for Riesz transforms of magnetic Schrodinger operators", Differential Integral Equations, 23, ă 811–826 [13] T A Bui (2013), "Musielak-Orlicz-Hardy Spaces Associated with Operators Satisfying Reinforced Off-Diagonal Estimates", Anal Geom Metr Spaces, 1, 69–129 [14] T A Bui (2014), "Weighted estimates for commutators of some singular integrals related to Schrodinger operators", Bulletin des Sciences ă Mathộmatiques, 138, 270 292 [15] T A Bui, X T Duong (2015), "Besov and Triebel-Lizorkin Spaces Associated to Hermite Operators", J Fourier Anal Appl, 21, 405–448 [16] T A Bui, X T Duong, F K Ly (2018), "Maximal function characterizations for new local Hardy-type spaces on spaces of homogeneous type", Trans Am Math Soc, 370(10), 7229–7292 [17] H Q Bui, M Paluszýnski, M.H Taibleson (1995), "A note on the BesovLipschitz and Triebel-Lizorkin spaces", Contemp Math, 189, 95–101 [18] H Q Bui, M Paluszýnski, M.H Taibleson (1996), "A maximal function characterization of weighted Besov-Lipschitz and Triebel-Lizorkin spaces", Studia Math, 119, 219–246 [19] H Q Bui, X T Duong, L X Yan (2012), "Calderón reproducing formulas and new Besov spaces associated with operators", Adv Math, 229(4), 2449—2502 118 [20] M Bramanti, L Brandolini, E Harboure, B Viviani (2012), "Global W 2,p estimates for nondivergence elliptic operators with potentials satisfying a reverse Holder condition", Annali di Matematica, 191, 339362 ă [21] A P Calderon, A Zygmmund (1952), "On the existence of certain singular integrals", Acta Math, 88, 85–139 [22] F Chiarenza, M Frasca, P Longo (1991), "Interior W 2,p -estimates for nondivergence elliptic equations with discontinuous coefficients", Ricerche di Mat, 40(1), 149–168 [23] F Chiarenza, M Frasca, P Longo (1993), "W 2,p -solvability of the Dirichlet problem for non divergence elliptic equations with VMO coefficients", Trans Am Math Soc, 336(1), 841–853 [24] M Christ (1988), "Weak-type (1,1) bounds for rough operators", Ann Math, 128, 19–42 [25] M Christ (1990), Lectures on singular integral operators, Regional conference series in mathematics, no 77, Amer Math Soc [26] M Christ, J L Rubio de Francia (1988), "Weak-type (1, 1) bounds for rough operators II", Invent Math, 93, 225–237 [27] R R Coifman, R Rochberg, G Weiss (1976), "Factorization theorems for Hardy spaces in several variables", Ann of Math, 103 (3), 611–635 [28] T Coulhon, X T Duong (1999),"Riesz transforms for ≤ p ≤ 2", Trans Amer Math Soc, 351(3), 1151–1169 [29] T Coulhon, X T Duong (2000), "Maximal regularity and kernel bounds: observations on a theorem by Hieber and Pruss", Adv Differ ă Equ, 5(1–3), 343–368 [30] D Deng, X T Duong, A Sikora, L Yan (2008), "Comparison of the classical BMO with the BMO spaces associated with operators and applications", Rev Mat Iberoamericana, 24(1), 267–296 119 [31] X T Duong, L Yan, C Zhang (2014), "On characterization of Poisson integrals of Schrodinger operators with BMO trace", J Funct Anal, ă 266(4), 20532085 [32] X T Duong, J Xiao, L Yan (2007), "Old and new Morrey spaces with heat kernel bounds", J Fourier Anal Appl, 13, 87–111 [33] J Dziubanski, G Garrigos, T Martinez, J Torrea, J Zienkiewicz (2005), ´ "BMO spaces related to Schrodinger operators with potentials satisfyă ing reverse Holder inequality", Mat Z, 249(2), 329356 ă [34] J Dziubanski, J Zienkiewicz (2002), "H p spaces for Schrodinger oper ă ators," Fourier Anal Related Top, 56, 45–53 [35] K J Engel, R Nagel (2000), One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, Springer-Verlag, New York [36] G Di Fazio, M A Ragusa (1993), "Interior estimates in Morrey spaces for strong solutions to nondivergence form equations with discontinuous coefficients", J Funct Anal, 112, 241–256 [37] C Fefferman (1970), "Inequality for strongly singular convolution operators", Acta Math, 124, 9–36 [38] C Fefferman (1983), "The uncertainty principle", Bull Amer Math Soc (N.S.), (2), 129–206 [39] J Feuto (2014), "Norm Inequalities in Generalized Morrey Spaces", J Fourier Anal Appl, 20(4), 896–909 [40] J Feuto, I Fofana, K Koua (2003), "Espaces de fonctions moyenne fractionnaire intgrables sur les Groupes localement Compacts", Afrika Mat, (13), 73–91 [41] J Feuto, I Fofana, K Koua (2010), "Integrable fractional mean functions on spaces of homogeneous type," Afr Diaspora J Math, (1), 8–30 120 [42] I Fofana (1988), "Étude d’une classe d’espaces de fonctions contenant les espaces de Lorentz", Afrika Mat, (2), 29–50 [43] M Frazier, B Jawerth (1990), "A discrete transform and decomposition of distribution spaces", J Funct Anal, 93, 34–170 [44] L Grafakos (2014), Classical Fourier Analysis, third ed., Graduate Texts in Mathematics, 250, Springer, New York [45] L Grafakos (2014), Modern Fourier Analysis, third ed., Graduate Texts in Mathematics, 250, Springer, New York [46] C Gegovia, J L Torrea (1991), "Weighted inequalities for commutators of fractional and singular integrals", Publ Mat, 35, 209–235 [47] Z Guo, P Li, L Z Peng (2008), "L p boundedness of commutators of Riesz transforms associated to Schrodinger operator", J Math Anal ă Appl, 341, 421432 [48] S Hofmann, S Mayboroda (2009), "Hardy and BMO spaces associated to divergence form elliptic operators", Math Ann, 344, 37–116 [49] J Houyu, W Hanggeng (2009), "Decomposition of Hardy-Morrey spaces", J Math Anal Appl, 354, 99–110 [50] T Iwaniec (1983), "Projections onto gradient fields and L p - estimates for degenerated elliptic operators", Studia Math, 75, 293–312 [51] T Iida, E Sato, Y Sawano, H Tanaka (2011), "Weighted norm inequalities for multilinear fractional operators on Morrey spaces", Studia Math, 205(2), 139–170 [52] F John, L Nirenberg (1961), "On functions of bounded mean oscillation", Comm Pure Appl Math, 14, 415–426 [53] S Janson (1978), "Mean oscillation and commutators of singular integral operators", Ark Mat,, 16, 263–270 121 [54] R Johnson, C J Neugebauer (1991), "Change of variable results for A p and reverse Holder RHr classes", Trans Amer Math Soc, 328, 639666 ă [55] G Kerkyacharian, P Petrushev (2015), "Heat Kernel based decomposition of spaces of distributions in the framework of Dirichlet spaces", Trans Amer Math Soc., 367 (1), 121–189 [56] H Kozono, M Yamazaki (1994), "Semilinear heat equations and the Navier-Stokes equation with distributions in the new function spaces as initial data", Comm Partial Differential Equations, 19 (5–6), 959–1014 [57] Y Komori, S Shirai (2009), "Weighted Morrey spaces and a singular integral operator", Math Nachr, 282, 219–231 [58] P Li, J Xiao, Q Yang (2014), "Global mild solutions to modified Navier-Stokes equations with small initial data in critical Besov-Q spaces", Electron J Differ Equ, 2014(185), 1–37 [59] C C Lin, Q Yang (2013), "Semigroup characterization of Besov type Morrey spaces and well-posedness of generalized Navier–Stokes equations", J Differential Equations, 254, 804–846 [60] S Lu, Y Ding, D Yan (2007), Singular Integrals and Related Topics, World Scientific Publishing, Hackensack [61] T Ma, P R Stinga, J L Torrea, C Zhang (2014), "Regularity estimates in Holder spaces for Schrodinger operators via a T1 theorem", Ann ă ă Mat Pura Appl (4) 193(2), 561–589 [62] Anna L Mazzucato (2002), "Besov-Morrey spaces: Function space theory and applications to non-linear PDE", Trans Amer Math Soc, 355, 1297–1364 [63] Anna L Mazzucato (2003), "Decomposition of Besov-Morrey spaces", Proceedings of the Conference on Harmonic Analysis, Contemp Math, 320, Amer Math Soc., Providence, RI, 279–294 122 [64] M Morvidone (2003), "Weighted BMOφ spaces and the Hilbert transform," Rev Un Mat Argentina, 44, 1–16 [65] C Morrey (1938), "On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations", Trans Amer Math Soc, 43, 126–166 [66] B Muckenhoupt, R Wheeden (1974), "Weighted norm inequalities for fractional integrals", Trans Amer Math Soc, 176, 227–251 [67] B Muckenhoupt, R Wheeden (1976), "Weighted bounded mean oscilation and the Hilbert transform", Studia Mathematica, 54(3), 221–237 [68] E Nakai (1994), "Hardy-Littlewood Maximal Operator, Singular Integral Operators and the Riesz Potentials on Generalized Morrey Spaces", Math Nachr 166, 95–103 [69] G Pan, L Tang (2016), "Solvability for Schrodinger equations with disă continuous coefficients", J Funct Anal, 270, 88–133 [70] P Petrushev, Y Xu (2008), "Decomposition of spaces of distributions induced by Hermite expansion", J Fourier Anal Appl, 14(3), 372–414 [71] Y Sawano (2008), "Wavelet characterization of Besov-Morrey and Triebel-Lizorkin-Morrey spaces", Funct Approx Comment Math, 38, 93–108 [72] Y Sawano (2010), "Besov-Morrey spaces and Triebel-Lizorkin-Morrey spaces on domains", Math Nachr, 283(10), 1456–1487 [73] Y Sawano, H Tanaka (2007), "Decompositions of Besov-Morrey spaces and Triebel-Lizorkin-Morrey spaces", Math Z, 257 (4), 871—905 [74] Y Sawano, H Tanaka (2009), "Besov-Morrey spaces and TriebelLizorkin-Morrey spaces for nondoubling measures", Math Nachr, 282(12), 1788–1810 [75] A Seeger (1996), "Singular integral operators with rough convolution kernels", J Amer Math Soc, 9, 95–105 123 [76] Z Shen (1995), "L p estimates for Schrodinger operators with certain ă potentials", Ann Inst Fourier (Grenoble), 45, 513–546 [77] L Song, L Yang (2010), "Riesz transforms associated to Schrodinger ă operators on weighted Hardy spaces", J Funct Anal, 259, 1466–1490 [78] E Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ Press, Princeton, NJ [79] E Stein (1993), Harmonic analysis: Real variable methods, orthogonality and oscillatory integrals, Princeton Univ Press, Princeton, NJ ρ,∞ [80] L Tang (2014), "Extrapolation from A∞ vector-valued inequalities and applications in the Schrodinger settings", Ark Mat., 52, 175202 ă [81] L Tang (2015), "Weighted norm inequalities for Schrodinger type opă erators", Forum Mathematicum, 27 (4), 24912532 [82] L Tang, J Xu (2005), "Some properties of Morrey type Besov-Triebel spaces", Math Nachr, 278, 904–917 [83] L Tang, J Dong (2009), "Boundedness for some Schrodinger type opă erators on Morrey spaces related to certain nonnegative potentials", J Math Anal Appl, 355, 101–109 [84] S Thangavelu (1990), "Riesz transforms and the wave equation for the Hermite operator", Comm Partial Differ Equ, 15(8), 1199–1215 [85] H Triebel (1983), Theory of Function Spaces, Monogr Math., vol.78, Birkhăauser, Basel [86] H Triebel (1992), Theory of Function Spaces II, Monogr Math., vol.84, Birkhăauser, Basel [87] H Wang (2013), "Boundedness of fractional integral operators with rough kernels on weighted Morrey spaces", Acta Math Sinica (Chin Ser), 56, 175–186 124 [88] H Wang (2009), "Decomposition for Morrey type Besov-Triebel spaces", Math Nachr, 282 (5), 774–787 [89] A Wong (2014), Modern Harmonic Analysis: Singular Integral Operators, Function Spaces and Applications, Ph.D thesis, Macquarie University [90] J Xiao (2007), "Homothetic variant of fractional Sobolev space with application to Navier–Stokes system", Dyn Partial Differ Equ, 4, 227– 245 [91] D Yang, D Yang and Y Zhou (2010), "Localized Morrey-Campanato Spaces on Metric Measure Spaces and Applications to Schrodinger ă Operators", Nagoya Math J, 198, 77–119 [92] P Zhang (2010), "Weighted endpoint estimates for commutators of Marcinkiewicz integrals", Acta Math Sinica (Engl Ser), 26, 1709–1722 [93] J Zhong (1993), Harmonic analysis for some Schrăodinger type operators, Ph.D thesis, Princeton University 125 ... gian tích phân kì dị liên kết với toán tử Laplace Quan sát đặt nhu cầu nghiên cứu không gian hàm liên kết với tốn tử vi phân L cho tích phân kì dị liên kết với tốn tử L bị chặn không gian Trong. .. nửa nhóm e−tL sinh toán tử L Các kết với đánh giá nghiệm Shen đưa cơng cụ quan trọng hữu ích cho lý thuyết giải tích điều hịa phương trình đạo hàm riêng liên kết với tốn tử loại Schrodinger Từ... HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN NGỌC TRỌNG MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG GIẢI TÍCH ĐIỀU HỊA VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIấNG ă LIấN KT VI TON T LOI SCHRODINGER Ngnh: Tốn Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: