Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI−2016 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi không gian Banach Không gian Sobolev định lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp 1.2.2 Không gian H o¨lder 1.2.3 Không gian Sobolev định lý nhúng 1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu không gian Banach 12 1.4 Tính nửa liên tục yếu phiếm hàm khả vi không 1.2 gian Banach Điều kiện Coercive phiếm hàm 1.5 1.6 Cực trị phiếm hàm Điều kiện tồn cực trị phiếm hàm 16 Điều kiện Palais - Smale định lý qua núi 17 Ứng dụng phương trình vi phân 2.1 14 20 Sự tồn nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân 20 2.2 Bài toán giá trị riêng 30 2.3 Áp dụng định lý qua núi 32 Kết luận Tài liệu tham khảo 40 42 LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta có nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, ứng dụng quan trọng khái niệm đạo hàm khảo sát toán cực trị Mà toán cực trị thường xuất nghiên cứu lớp toán quan trọng khác toán học, bao gồm mô hình toán học toán vật lý học Để thấy mối liên hệ này, ta lấy ví dụ đơn giản sau đây: Ta xét phương trình f (x) = khoảng I ⊂ R, f (x) hàm liên tục I Để giải toán người ta đưa tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn F (x) = f (x), x ∈ I Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x) toán không tầm thường Vì để tìm nghiệm phương trình f (x) = khoảng I người ta tìm điểm tới hạn hàm F (x) I, tức điểm x0 mà F (x0 ) = Đây ý tưởng phương pháp biến phân Trong nhiều phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân không tuyến tính phương pháp biến phân tỏ có hiệu Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân dựa sở lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, mà nội dung đưa toán xét việc nghiên cứu phiếm hàm F khả vi liên tục theo nghĩa không gian Banach chọn thích hợp (gọi phiếm hàm lượng liên kết với toán) cho điểm tới hạn phiếm hàm F nghiệm yếu toán xét Một phương pháp thông thường để tìm điểm tới hạn phiếm hàm tìm điểm cực tiểu phiếm hàm Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu phiếm hàm không đơn giản Vì vậy, nhiều trường hợp người ta quan tâm đến điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) phiếm hàm lượng Việc tìm điểm yên ngựa phiếm hàm dựa vào nguyên lý biến phân Mục đích luận văn làm quen với số vấn đề giải tích phi tuyến, cụ thể phương pháp biến phân ứng dụng để khảo sát tồn nghiệm vài lớp phương trình vi phân thường không tuyến tính Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Dành cho việc trình bày lại số khái niệm, nội dung quan trọng sử dụng luận văn Chương Trình bày ứng dụng phương pháp giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Oanh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trích dẫn khái niệm, định lý số kiến thức bổ trợ sử dụng luận văn 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi không gian Banach Mục tiêu phần trình bày lại khái niệm đạo hàm không gian Banach tính chất quan trọng chúng Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X không gian Banach, x ∈ X, f : X → R (hoặc C) phiếm hàm xác định X Ta nói f khả vi Gâteaux điểm x tồn ánh xạ δf (x) tuyến tính liên tục cho f (x + th) − f (x) = δf (x) h, t→0 t lim ∀h ∈ X Nếu f khả vi Gâteaux điểm x ∈ X ta nói f khả vi Gâteaux tập X Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X không gian Banach, f phiếm hàm xác định X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả vi Fréchet điểm u ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu f (u) ∈ X ∗ (X ∗ không gian đối ngẫu X) gọi đạo hàm Fréchet f u cho |f (u + v) − f (u) − f (u) v| = v X X →0 lim v Nếu ánh xạ u → f (u) liên tục ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C (X, R) Giả sử f phiếm hàm khả vi Fréchet không gian Banach X ánh xạ f : X → X ∗, đạo hàm Fréchet f Nếu f : X → R khả vi Fréchet x f khả vi Gâteaux x Nếu f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục X f khả vi Fréchet f ∈ C (X, R) Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f (u) = gọi điểm tới hạn, ngược lại f (u) = u gọi điểm ( hay điểm quy) f Số β ∈ R gọi giá trị tới hạn f tồn điểm tới hạn u ∈ X cho f (u) = β, f (u) = 1.2 Không gian Sobolev định lý nhúng Trong phần ta nhắc lại số định nghĩa, tính chất quan trọng không gian Lp (Ω), không gian H o¨lder , không gian Sobolev định lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω tập đo Rn , với p ∈ [1, +∞) ta ký hiệu Lp (Ω) =   p f : Ω → R hoặcC , f đo  |f (x)| dx < +∞ Ω    Khi Lp (Ω) không gian Banach với chuẩn 1/ p p |f (x)| dx , f ∈ Lp (Ω)  f p = f Lp (Ω) = Ω Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức H o¨lder)(Xem [3] Bổ đề 1.9) Giả sử f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) với p + q = p, q ∈ [1, +∞) Khi f.g ≤ f p g q Ta nói hàm đo f bị chặn thực Ω tồn số c > cho |f (x)| ≤ c hầu khắp nơi x ∈ Ω Hằng số c nhỏ cho bất đẳng thức thỏa mãn ký hiệu f ∞ Ký hiệu L∞ (Ω) tập hợp hàm bị chặn thực Ω, không gian Banach xác định với chuẩn f f ∞ ∞ = essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} , µ độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa L1loc (Ω) = {f : f ∈ Lp (K) , ∀K ⊂⊂ Ω} Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa K tập compact Ω • Nếu Ω tập hợp mở Rn p ∈ [1, +∞) Nhận xét 1.2.1 C0∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) • Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue Ω) ≤ q < p ≤ ∞ không gian Lp (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), kí hiệu Lp (Ω) → Lq (Ω) ta có f Mệnh đề 1.2.1 q ≤ (meas(Ω)) p − q1 f p , ∀f ∈ Lp (Ω) • Giả sử dãy {fn } hội tụ đến f Lp (Ω) Khi tồn dãy {fnk } hội tụ đến f hầu khắp nơi tồn g(x) ∈ Lp (Ω), g(x) ≥ cho |fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi Ω • (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn } dãy hàm khả tích Ω, fn → f hầu khắp nơi giả sử tồn g(x) ∈ L1 (Ω) , |fn (x)| ≤ g (x) Khi lim fn (x) dx = n→+∞ Ω 1.2.2 f (x) dx Ω Không gian H o¨lder Trước hết, ta có định nghĩa không gian H o¨lder Định nghĩa 1.2.3 (Không gian H o¨lder) Hàm f : Ω → R (hoặc C) gọi liên tục H o¨lder với số γ (0 < γ ≤ 1) tồn số c > cho bất đẳng thức |f (x) − f (y)| ≤ c x − y γ Ω thỏa mãn với x, y ∈ Ω Tập hợp tất hàm liên tục H o¨lder với số γ ký hiệu C 0,γ Ω C 0,γ Ω không gian Banach theo chuẩn f C 0,γ (Ω) = sup |f (x)| + sup x∈Ω 1.2.3 x,y∈Ω x=y |f (x) − f (y)| γ x−y Không gian Sobolev định lý nhúng Định nghĩa 1.2.4 (Không gian Sobolev) Giả sử Ω = (a, b) khoảng mở R cho p ∈ [1, +∞) Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa sau     1,p p p ∞ W (Ω) = u ∈ L (Ω) ; ∃g ∈ L (Ω) : uϕ dx = − gϕdx, ∀ϕ ∈ C0 (Ω)   Ω Ω Trong không gian W 1,p (Ω) ta xác định chuẩn u W1,p = u Lp + u Lp , u đạo hàm yếu u Đôi khi, < p < ∞ không gian trang bị với chuẩn u W1,p = u p Lp + u 1/ p p Lp Không gian W1,2 (Ω) trang bị với chuẩn u W1,2 (Ω) = u L2 + u L2 1/ , tích vô hướng b (u, v)W1,2 (Ω) = (u, v)L2 + (u , v )L2 = (uv + u v )dx a Khi W 1,p không gian Banach W1,2 (Ω) không gian Hilbert Mệnh đề 1.2.2 (Xem [3] Bổ đề 8.1) Giả sử f ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) f ϕ dx = 0, Ω Khi tồn số C cho f = C Ω Mệnh đề 1.2.3 (Xem [3] Mệnh đề 8.3) Giả sử u ∈ Lp , < p < ∞ Khi khẳng định sau tương đương • u ∈ W 1,p , • Tồn số C thỏa mãn uϕ ≤ C ϕ Lp (Ω) , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) , p ∈ (1, +∞) , 1 + = p p Ω Mệnh đề 1.2.4 (Xem [3] Hệ 4.24) Cho Ω ⊂ R tập mở u ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn (uf)dx = 0, ∀f ∈ C0∞ (Ω) Ω Khi u = Ω Ký hiệu không gian Banach W01,p (Ω) bổ sung C0∞ (Ω) theo chuẩn W 1,p (Ω) Chúng ta đặt H = W01,2 (Ω) Khi H không gian Hilbert trang bị với chuẩn W1,2 (Ω) Mệnh đề 1.2.5 (Xem [3], Định lý 8.12) Giả sử u ∈ W1,p (Ω) Khi u ∈ W01,p (Ω) u = ∂Ω Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Poincaré, xem [3] Mệnh đề 8.13) Giả sử Ω khoảng bị chặn Khi tồn số C cho u W1,p (Ω) ≤C u Lp (Ω) , ∀u ∈ W01,p (Ω) Mệnh đề 1.2.6 (Định lý nhúng Sobolev)(Xem [6] Định lý 1.2.26) Cho k ∈ N+ , p ∈ [1, +∞) 10 • Nếu k < n p W k,p (Rn ) → Lp∗ (Rn ) , p∗ = • Nếu k = n p W k,p (Rn ) → Lr (Rn ) • Nếu Nếu k > n p − nk r ∈ [p, ∞) , với W k,p (Rn ) → Lrloc (Rn ) p với r ≥ W k,p (Rn ) → C 0,γ (Rn ) với 0≤γ dãy {xnk } thỏa mãn Axnk − Ax Rõ ràng xn Y ≥ ε x, A compact nên tồn dãy {xnk } xnkj thỏa mãn Axnkj → z Do hội tụ mạnh dẫn đến hội tụ yếu giới hạn yếu nên z = Ax Điều mâu thuẫn với Axn Ax Định nghĩa 1.3.3 Một không gian Banach X gọi lồi ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > : ∀x, y ∈ X, x = y = 1, x − y ≥ ε ta có − x+y ≥ δ Một số tính chất 13 Không gian lồi phản xạ, tức (X ∗ )∗ = X Các không gian Hilbert, không gian Lp (Ω), không gian W1,p (Ω) với < p < +∞ không gian lồi Nếu X không gian Banach lồi đều, xn x xn → x xn → x X 1.4 Tính nửa liên tục yếu phiếm hàm khả vi không gian Banach Điều kiện Coercive phiếm hàm Một công cụ quan trọng để nghiên cứu điểm cực trị toàn cục điều kiện Coercive tính nửa liên tục yếu phiếm hàm Định nghĩa 1.4.1 Ta xét phiếm hàm dạng tích phân F (x, u, ∇u) dx, f (u) = với u ∈ W01,p (Ω) , Ω Ω tập mở RN Giả sử f (u) thỏa mãn điều kiện Coercive (điều kiện bức), tức f (u) → +∞ u → +∞ Ký hiệu m= inf u∈W01,p (Ω) f (u) Chọn dãy {uk } ⊂ W01,p (Ω) cho f (uk ) → m k → +∞ Dãy {uk } gọi dãy cực tiểu phiếm hàm f Vì f thỏa mãn điều kiện bức, ta suy dãy {uk } dãy bị chặn W01,p (Ω) Do < p < +∞ nên W01,p (Ω) không gian phản xạ đối ngẫu W−1,q (Ω), với p + q = 1, từ dãy {uk } ta trích dãy ukj hội tụ yếu tới u W01,p (Ω) Tuy nhiên, ta khẳng định f (u) = lim f ukj , j→∞ 14 suy u điểm cực tiểu, tức suy f (u) = m Như vậy, phiếm hàm f liên tục theo hội tụ yếu f (u) = m Nhưng điều kiện ấn định lên phiếm hàm f điều kiện mạnh mà ta thay điều kiện khác yếu sau Định nghĩa 1.4.2 Cho M ⊂ X := W01,p (Ω) Ta nói phiếm hàm f (u), u ∈ X ∞ nửa liên tục yếu điểm u ∈ M với dãy {uk }k=1 thỏa mãn uk u0 , ta có f (u0 ) ≤ lim inf f (uk ) k→∞ Chúng ta nói f nửa liên tục yếu M ⊂ X nửa liên tục yếu điểm u ∈ M Ta thấy dãy {uk } dãy cực tiểu phiếm hàm f f nửa liên tục yếu f (u) ≤ inf u∈W01,p (Ω) f (u) Vì u ∈ W01,p (Ω) nên f (u) ≥ m, từ suy f (u) = m, tức f đạt cực tiểu W01,p (Ω) Sau ta đưa điều kiện đủ phiếm hàm bị chặn đạt cực tiểu Mệnh đề 1.4.1 (Nguyên lý cực tiểu) Cho M tập compact yếu, khác rỗng, nằm X F phiếm hàm nửa liên tục yếu M Khi F bị chặn M tồn u0 ∈ M thỏa mãn F (u0 ) = F (u) u∈M ∞ Chứng minh Giả sử {un }n=1 ⊂ M F (un ) 15 inf F (u) u∈M ∞ Do M tập compact yếu nên tồn u0 ∈ M dãy {unk }k=1 ⊂ ∞ {un }n=1 thỏa mãn unk u0 Từ giả thiết F ta có inf F (u) ≤ F (u0 ) ≤ lim inf F (unk ) = lim F (un ) = inf F (u) u∈M n→∞ k→∞ u∈M Từ F (u0 ) = inf F (u) > −∞ u∈M Hệ 1.4.1 (Xem [6] Hệ 6.2.5) Cho M ⊂ X, F : X → R u0 điểm thỏa mãn nguyên lý cực tiểu Hơn u0 ∈ intM Nếu δF (u0 ; v) tồn tại, với v ∈ X δF (u0 ; v) = 1.5 Cực trị phiếm hàm Điều kiện tồn cực trị phiếm hàm Một ứng dụng quan trọng đạo hàm khảo sát toán cực trị Mục tiêu phần trình bày diều kiện cần điều kiện đủ cho hàm số thực có cực trị địa phương Một công cụ tiếng điều kiện cần Euler, Lagrange điều kiện đủ Lagrange Định nghĩa 1.5.1 Cho không gian Banach X phiếm hàm f : X → R Ta nói f đạt cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương điểm a ∈ X tồn lân cận U a cho ta có f (x) ≥ f (a) (tương ứng f (x) ≤ f (a)) ∀x ∈ U Nếu f đạt cực tiểu đạt cực đại địa phương a ta nói f đạt cực trị địa phương a 16 Mệnh đề 1.5.1 (Điều kiện cần Euler) Giả sử f : X → R có cực trị địa phương a ∈ R Nếu h ∈ X đạo hàm δf (a, h) tồn δf (a, h) = Mệnh đề 1.5.2 (Định lí Lagrange) Giả sử a ∈ X điểm dừng phiếm hàm f : X → R tồn lân cận U a cho ánh xạ x → δ f (x) liên tục U Nếu tồn α > cho δ f (x) (a, h) ≥ α h (tương ứng δ f (x) (a, h) ≤ −α h ) , ∀h ∈ X f có cực tiểu (tương ứng cực đại) địa phương a Định nghĩa 1.5.2 Giả sử M ⊂ X tập lồi, tức u, v ∈ M tu + (1 − t) v ∈ M với t ∈ [0, 1] Phiếm hàm f : X → R gọi lồi M với u, v ∈ M t ∈ [0, 1], ta có f (tu + (1 − t) v) ≤ tf (u) + (1 − t) f (v) Mệnh đề 1.5.3 Giả sử f : X → R phiếm hàm lồi không gian định chuẩn X Khi điểm dừng f X điểm cực tiểu f X 1.6 Điều kiện Palais - Smale định lý qua núi Định lý qua núi định lý tiếng phương pháp biến phân để khẳng định tồn điểm tới hạn phiếm hàm không gian Banach Định lý qua núi lần đầu R Courant chứng minh vào năm 1950 cho phiếm hàm xác định không gian hữu hạn chiều Sau đó, năm 1973, A Ambrossetti P Rabinowitz (xem [1]) chứng minh định lý qua núi cho phiếm hàm khả vi liên tục Fréchet không gian Banach Trước hết ta tìm hiểu điều kiện Palais - Smale, đảm bảo cho phiếm hàm khả vi không gian Banach X có điểm tới hạn 17 Định nghĩa 1.6.1 (Điều kiện Palais - Smale) Giả sử X không gian Banach, f phiếm hàm xác định X Giả thiết f ∈ C (X, R), ta nói dãy {un } ⊂ X dãy Palais - Smale c f , ký hiệu (P S)c f (un ) → c, f (un ) → n → ∞, f đạo hàm Fréchet f X Ta nói f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale c dãy (P S)c chứa dãy hội tụ Ta nói f thỏa mãn điều kiện Palais - Smale (P S) thỏa mãn điều kiện (P S)c với c Ta thấy định nghĩa dãy (P S) chặt chẽ đòi hỏi dãy {f (un )} hội tụ Trong nhiều trường hợp ta áp dụng định nghĩa tổng quát sau đây: Dãy {un } ⊂ X gọi dãy (P S) f |f (un )| ≤ c, f (un ) → n → ∞ Mệnh đề 1.6.1 (Định lý qua núi, xem [6] Định lý 6.4.24 ) Cho X không gian Banach F ∈ C (X, R), e ∈ X r > thỏa mãn e > r inf F (u) > F (o) ≥ F (e) u =r Đặt c := inf max F (γ (t)) , γ∈Γ t∈[0,1] Γ = {γ ∈ C ([0, 1] , X) : γ (0) = o, γ (1) = e} Hơn nữa, F thỏa mãn điều kiện Plais - Smale c ( viết tắt (P S)c ) Khi c giá trị tới hạn F Định lý qua núi với lý thuyết điểm tới hạn góp phần quan trọng việc nghiên cứu tồn nghiệm yếu cho lớp toán biên 18 ... nhiều phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân không tuyến tính phương pháp biến phân tỏ có hiệu Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân dựa sở lý... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG... cực tiểu) phi m hàm lượng Vi c tìm điểm yên ngựa phi m hàm dựa vào nguyên lý biến phân Mục đích luận văn làm quen với số vấn đề giải tích phi tuyến, cụ thể phương pháp biến phân ứng dụng để khảo