Một số ứng dụng của đa thức

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Thị Hải Yến MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đỗ Thị Hải Yến MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN Ths Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian miệt mài nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình cô giáo Ths Dương Thị Luyến, khóa luận em đến hoàn thành Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Ths Dương Thị Luyến, thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội giúp em hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế thời gian kiến thức nên đề tài không tránh thiếu sót Em mong góp ý thầy cô, bạn sinh viên bạn đọc để đề tài hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hải Yến Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu nỗ lực em với giúp đỡ thầy cô, bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo Dương Thị Luyến Trong trình làm khóa luận em có tham khảo tài liệu có liên quan hệ thống mục tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp "Một số ứng dụng đa thức" trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đỗ Thị Hải Yến i Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.1.2 Bậc đa thức 1.1.3 Phép chia với dư 1.1.4 Nghiệm đa thức 1.1.5 Đa thức đồng dư Vành đa thức nhiều ẩn 10 1.2.1 Vành đa thức nhiều ẩn 10 1.2.2 Bậc đa thức nhiều ẩn 11 1.2.3 Đa thức đối xứng 12 Tổng lũy thừa Ứng dụng đa thức ẩn 2.1 2.2 13 16 Xác định đa thức 16 2.1.1 Một số dạng toán tập minh họa 16 2.1.2 Bài tập áp dụng 24 Chứng minh đẳng thức 25 Footer Page of 161 ii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Đỗ Thị Hải Yến 2.2.1 Bài tập minh họa 26 2.2.2 Bài tập áp dụng 27 Ứng dụng định lí Viéte 28 2.3.1 Dạng Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình cho chúng không phụ thuộc vào tham số 2.3.2 Dạng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm cho 2.3.3 31 Phân tích đa thức thành nhân tử 33 2.4.1 Phương pháp 33 2.4.2 Bài tập minh họa 33 2.4.3 Bài tập áp dụng 36 Ứng dụng đa thức nhiều ẩn 3.1 3.2 3.3 29 Dạng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm 2.4 28 37 Bài toán tổng lũy thừa 37 3.1.1 Bài tập minh họa 37 3.1.2 Bài tập áp dụng 38 Phân tích đa thức thành nhân tử 39 3.2.1 Phương pháp hệ tử bất định 39 3.2.2 Bài tập minh họa 40 3.2.3 Bài tập áp dụng 42 Chứng minh đẳng thức 43 3.3.1 Bài tập minh họa 43 3.3.2 Bài tập áp dụng 43 Footer Page of 161 iii Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Đỗ Thị Hải Yến Chứng minh bất đẳng thức 44 3.4.1 Bài tập minh họa 44 3.4.2 Bài tập áp dụng 45 Giải hệ phương trình 46 3.5.1 Bài tập minh họa 46 3.5.2 Bài tập áp dụng 50 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng 50 3.6.1 Bài tập minh họa 51 3.6.2 Bài tập áp dụng 52 Trục thức mẫu 52 3.7.1 Bài tập minh họa 53 3.7.2 Bài tập áp dụng 53 Giải phương trình chứa thức 54 3.8.1 Bài tập minh họa 54 3.8.2 Bài tập áp dụng 55 KẾT LUẬN 56 Tài liệu tham khảo 56 Footer Page of 161 iv Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng nhiều lĩnh vực Trong đó, Đại số phận lớn Toán học, toán đại số chiếm vị trí quan trọng lí thuyết lẫn thực tế, lĩnh vực mà nhà nghiên cứu tìm hiểu tương đối đầy đủ Đa thức khái niệm quan trọng, đối tượng nghiên cứu trọng tâm đại số Hơn nữa, đa thức công cụ đắc lực lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết tối ưu Ngoài ra, định lý đặc trưng đa thức sử dụng nhiều Toán cao cấp, Toán ứng dụng Các tập đa thức xem dạng toán khó THPT, đề cập nhiều kì thi học sinh giỏi, Olimpic Quốc tế olimpic sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Tuy nhiên, đa thức ứng dụng trình bày sơ lược, chưa phân loại hệ thống cách chi tiết Các tài liệu đa thức ít, phương pháp giải chưa khái quát theo dạng, việc nghiên cứu đa thức gặp nhiều khó khăn Vì lí với lòng say mê nghiên cứu giúp đỡ, bảo tận tình TS.Dương Thị Luyến, e mạnh dạn chọn đề tài "Một số ứng dụng đa thức" để làm khóa luận tốt nghiệp với mong muốn ứng dụng kiến thức học vào chương trình toán THPT Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm mục đích hệ thống lại đầy đủ xác ứng dụng đa thức cách giải số dạng toán đa thức Đồng thời giúp học sinh biết vận dụng kiến thức, nhận xét cách linh hoạt, sáng tạo việc giải toán đa thức từ dễ đến khó Đối tượng nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Đa thức ứng dụng đa thức ẩn, nhiều ẩn - Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế mặt thời gian kiến thức lực nghiên cứu thân, nên đề tài dừng lại việc nghiên cứu số ứng dụng đa thức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số ứng dụng đa thức ẩn đa thức nhiều ẩn Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp sử dụng tài liệu - Sưu tầm, giải toán Cấu trúc luận văn Nội dung khóa luận bao gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Ứng dụng đa thức ẩn Chương Ứng dụng đa thức nhiều ẩn Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu 1) Khi P = (a0 , a1 , , an , ) ; ∈ A; = hầu hết với i ∈ N với hai phép toán -Phép cộng (a0 , a1 , , an , )+(b0 , b1 , , bn , ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an + bn , ) -Phép nhân (a0 , a1 , , an , ) (b0 , b1 , , bn , ) = (c0 , c1 , , cn , ) Footer Page 10 of 161 Header Page 50 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.3 Đỗ Thị Hải Yến Chứng minh đẳng thức 3.3.1 Bài tập minh họa Bài tập 3.3.1 Chứng minh đồng thức (x + y)3 + 3xy(1 − x − y) − = (x + y − 1)(x2 + y − xy + x + y + 1) Lời giải Theo định lí (1.10) ta có (x + y)3 + 3xy(1 − x − y) − =σ13 + 3σ2 (1 − σ1 ) − =σ13 + 3σ2 − 3σ1 σ2 − (1) Mặt khác có (x + y − 1)(x2 + y − xy + x + y + 1) =(σ1 − 1)(σ22 − 3σ2 + σ1 + 1) =σ13 − 3σ1 σ2 + σ12 + σ1 − σ12 + 3σ2 − σ1 − =σ13 + 3σ2 − 3σ1 σ2 − Từ (1) (2) suy đpcm 3.3.2 Bài tập áp dụng Chứng minh x + y + z = = xy + yz + zx 3(x3 y + y z + z x3 ) = (x3 + y + z )2 Footer Page 50 of 161 43 (2) Header Page 51 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Chứng minh (x + y)7 − x7 − y = 7xy(x + y)(x2 + xy + y )2 3.4 Chứng minh bất đẳng thức Nhận xét 3.1 -∀x, y ∈ R thỏa mãn σ1 = x + y; σ2 = xy σ12 − 4σ2 ≥ ⇔ σ12 ≥ 4σ2 - Nếu x ≥ 0, y ≥ σ1 ≥ 0, σ2 ≥ -∀x, y, z ∈ R ta có (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ ⇔2(x2 + y + z ) − 2(xy + yz + zx) ≥ ⇔2(σ12 − 2σ2 ) − 2σ2 ≥ ⇔σ13 ≥ 3σ2 Dựa vào bất đẳng thức biểu diễn đa thức đa thức đối xứng 3.4.1 Bài tập minh họa Bài tập 3.4.1 Chứng minh x4 y + 2x2 (y + 2) + 4xy + y ≥ 4x3 y với ∀x, y ∈ R Footer Page 51 of 161 44 (1) Header Page 52 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Lời giải Ta có (1) ⇔ (x4 + 2x2 + 1)y + 4(x − x3 )y + 4x2 ≥ (2) Xét tam thức bậc hai với ẩn y f (y) = (x4 + 2x2 + 1)y + 4(x − x3 )y + 4x2 Ta có a = x4 + 2x2 + = (x2 + 1)2 ≥ ∀x ∈ R ∆ = 4(x − x3 )2 − 4x2 (x4 + 2x2 + 1) = 4x6 − 8x4 + 4x2 − 4x6 − 8x4 − 4x2 = −16x4 ≤ ∀x ∈ R Khi (x4 + 2x2 + 1)y + 4(x − x3 )y + 4x2 ≥ ∀x Vậy ta có đpcm 3.4.2 Bài tập áp dụng Chứng minh ∀a, b, c ∈ R (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) Với a,b,c độ dài cạnh tam giác, chứng minh 2(ab + bc + ca) ≥ a2 + b2 + c2 Cho a, b, c ∈ [0, 1] Chứng minh (1+a+b+c)2 ≥ 4(a2 +b2 +c2 ) Footer Page 52 of 161 45 Header Page 53 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.5 Đỗ Thị Hải Yến Giải hệ phương trình Nhận xét 3.2 Dựa vào biểu diễn đa thức thành đa thức đối xứng - Bước Biễu diễn vế trái phương trình qua đa thức đối xứng σi , i = 1, n - Bước Giải hệ chứa σi - Bước Sử dụng định lí Viéte tìm nghiệm hệ ban đầu 3.5.1 Bài tập minh họa Giải hệ phương trình đối xứng ẩn Bài tập 3.5.1 Giải hệ phương trình   x y   + =1 a b a b    + =4 x y Lời giải   u + v = x y Đặt = u , = v ta có 1  a b  + =4 u v Đặt u + v  = σ1 , uv = σ ta hệ    σ1 =  σ1 = ⇔ σ1   σ2 =  =4 σ2 Từ ta có    u + v = u = ⇔ 1    uv = v = Footer Page 53 of 161 46 Header Page 54 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Thay vào    x = a b   y = Vậy nghiệm hệ (x, y) = a b , 2 Hệ phương trình đối xứng ẩn Giả sử P (x, y, z), Q(x,  y, z), R(x, y, z) đa thức đối xứng    P (x, y, z) =   Xét hệ phương trình Q(x, y, z) =     R(x, y, z) =     x+y+z = σ1   Đặt xy + yz + zx = σ2 , ta đưa hệ ban đầu dạng      xyz =σ     p(σ1 , σ2 , σ3 ) =    q(σ1 , σ2 , σ3 ) =      r(σ1 , σ2 , σ3 ) = Ta hệ đơn giản hệ ban đầu dễ dàng tìm nghiệm σ1 , σ2 , σ3 Thay trở lại để tìm giá trị x,y,z kết luận Footer Page 54 of 161 47 Header Page 55 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Bài tập 3.5.2 Đỗ Thị Hải Yến Giải hệ phương trình   13   x + y + z =    13 1 + + =  x y z      xyz =1 Lời giải     x+y+z = σ1   Đặt xy + yz + zx = σ2      xyz = σ3 Hệ phương trình cho trở thành    13 13     σ =   σ = 1     3   σ2 13 13 ⇔ σ2 = =   σ 3          σ3 = σ3 = Khi  13   x + y + z =    13 xy + yz + zx =      xyz =1 Theo định lí Viéte đảo cho biến x,y,z nghiệm phương trình 13 13 u3 − u2 + u − = 3 10 ⇔ (u − 1) u2 − u + =    u =1    ⇔ u2 =     u3 = Footer Page 55 of 161 48 Header Page 56 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Vậy nghiệm hệ cho 1, 3, 1 1 1 , 3, 1, , 3, , , 1, , , , 1, , , 3, 3 3 3 Giải hệ phương trình với x, y, z ∈ R Bài tập 3.5.3     x+y+z    x2 + y + z      x3 + y + z =a = b2 a, b, c ∈ R = a3 Lời giải     x+y+z = σ1   Đặt xy + yz + zx = σ2      xyz = σ3 Hệ cho trở thành     σ1    σ12 − 2σ2      σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3     σ1 = a =a    2 ⇔ σ =b = (a − b )      σ3 = a(a2 − b2 ) = a3 Thay trở lại ta có     x+y+z =a    xy + yz + zx = (a − b2 )      xyz = a(a2 − b2 ) Footer Page 56 of 161 49 Header Page 57 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Như vậy, x,y,z nghiệm phương trình u3 − au2 + (a2 − b2 )u − ⇔(u − a) u2 + (a2 − b2 ) - a(a − b2 ) = =0 (*) Nếu |a| > |b| (*) có nghiệm thực u = a Do hệ cho nghiệm thực     u1     - Nếu |a| ≤ |b| (*) có nghiệm thực u2 =       u3 = Vậy nghiệm hệ cho (x, y, z) = a, =a b2 − a2 b2 − a2 b2 − a2 b − a2 , 2 hoán vị 3.5.2 Bài tập áp dụng 19 − x Giải phương trình x x+1     x3 + y + z   Giải hệ xy + yz + zx =      xyz 3.6 x+ 19 − x x+1 = 84 73 x + y + z = =1 Tìm nghiệm nguyên phương trình đối xứng Nhận xét 3.3 Xét phương trình mà biểu thức hai vế có dạng đa thức đối xứng biến Footer Page 57 of 161 50 Header Page 58 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến   x + y = σ - Đặt   xy = σ - Biểu diễn phương trình ban đầu theo σ1 , σ2 - Giải phương trình tìm σ1 , σ2 - Áp dụng định lí Viéte tìm x,y 3.6.1 Bài tập minh họa Bài tập 3.6.1 Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y = x2 − xy + y Lời giải   x + y = σ Đặt   xy = σ2 (σ1 ≥ 4σ2 ), phương trình cho trở thành σ1 = s2 − 2σ2 ⇔ σ1 = σ12 − 3σ2 ⇔ σ12 − σ1 = 3σ2 Lại có σ1 ≥ 4σ2 Từ điều kiện có σ12 − σ1 ≤ σ12 ⇔ σ1 − 4σ1 ≤ ⇔ ≤ σ1 ≤ Mặt khác, từ phương trình σ12 − σ1 = 3σ2 ⇔(2σ1 − 1)2 = 12σ2 + Nếu phương trình có nghiệm nguyên 12σ2 + số phương Footer Page 58 of 161 51 Header Page 59 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học + + Đỗ Thị Hải Yến σ1 = σ2 = 0, phương trình có nghiệm nguyên x = y =   x = ; σ1 = 1, σ2 = 0, phương trình có nghiệm nguyên  y =   x =  y = + σ1 = 4, σ2 = 4, phương trình có nghiệm nguyên   x =  y = Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên (x, y) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2) 3.6.2 Bài tập áp dụng    x+y =z Tìm nghiệm nguyên dương hệ  3 x + y = z Tìm nghiệm nguyên x3 + y + z = 3xyz Tìm nghiệm nguyên phương trình 39(x + y) = 7(x2 + xy + y ) 3.7 Trục thức mẫu Nhận xét 3.4 Muốn trục thức mẫu ta sử dụng đa thức đối xứng bản, biểu thức liên hợp mẫu số theo bước Bước Biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa đa thức đối xứng Bước Sử dụng đa thức đối xứng dạng tổng Footer Page 59 of 161 52 Header Page 60 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến S2 = σ12 − 2σ2 , S3 = σ13 − 3σ1 σ2 , S4 = σ14 − 4σ12 σ2 + 4σ1 σ3 + 2σ22 Biểu diễn biểu thức cho qua σ1 , σ2 , thay vào Bước thức ban đầu 3.7.1 Bài tập minh họa Bài tập 3.7.1 Trục thức mẫu A=√ √ 4+ 33 Lời giải Ta có √ + 3√3 √ √ 7( 16 − 12 + 9) √ √ √ √ = √ ( + 3)( 16 − 12 + 9) √ √ √ 7( 16 − 12 + 9) = 91 √ √ √ 7( 16 − 12 + 9) Vậy A = 91 A=√ 3.7.2 Bài tập áp dụng Trục thức mẫu biểu thức sau √ √ √ a+ b+ c Footer Page 60 of 161 53 Header Page 61 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học √ a+ √ Đỗ Thị Hải Yến √ √ b+ c+ d √ √ a+ b+ 5c √ √ 4 + − 16 √ 3.8 Giải phương trình chứa thức Nhận xét 3.5 Chuyển hệ phương trình đối xứng thông qua việc đặt ẩn phụ Bước Đặt ẩn phụ đưa phương trình thức hệ phương trình đối xứng Bước Giải hệ phương trình đối xứng, tìm giá trị ẩn Bước Thay vào tìm nghiệm ban đầu 3.8.1 Bài tập minh họa Bài tập 3.8.1 Giải phương trình √ √ ( − x)2 + ( x + 27) − (8 − x)(x + 27) = Lời giải Đặt u = Suy √ − x; v = √ x + 27 u3 = − x , v = x + 27 Ta có hệ    u2 + v − uv =7   u3 + v = 35 Footer Page 61 of 161 ⇔    (u + v)2 − 3uv =7   (u + v)3 − 3uv(u + v) = 35 54 Header Page 62 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến Đặt σ1 = u + v, σ2 = uv hệ cho trở thành       σ −7    σ2 σ1 = σ12 − 3σ2 = =7 ⇔ ⇔    3    σ1 − σ1 (σ1 − 7) = 35 σ2 = σ1 − 3σ1 σ2 = 35 Với σ1 = 5, σ2 = u,v nghiệm phương trình t2 − σ1 t + σ2 = hay t2 − 5t  +6=0    u = t = ⇔ ⇔   t=3 v =     u =   v = x=0 Thay trở lại ta có  x = 15 Vậy nghiệm phương trình S = {0, −15} 3.8.2 Bài tập áp dụng Giải phương trình sau Footer Page 62 of 161 x 35 − x3 (x + 35 − x3 ) = 30 −x=1 √ √ 18 + 5x + 64 − 5x = √ √ ( x − 2)3 + ( x − 3)2 = +x+ 3 55 (x − 2)(x − 3) Header Page 63 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đỗ Thị Hải Yến KẾT LUẬN Khóa luận "Một số ứng dụng đa thức" cung cấp cho bạn đọc cách tương đối đầy đủ xác ứng dụng đa thức ẩn, nhiều ẩn, nhận xét phương pháp giải rõ ràng, xác có hệ thống Khóa luận cung cấp số ví dụ cụ thể ứng dụng, lời giải lựa chọn, trình bày cho khoa học, dễ hiểu có tính logic Khóa luận tài liệu hữu ích cho em học sinh, đặc biệt em học sinh giỏi, bạn sinh viên, thầy cô giáo tham khảo Dù cố gắng nhiều xong khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Footer Page 63 of 161 56 Header Page 64 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [2] Hoàng Xuấn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [3] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề đa thức đối xứng ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [4] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Trịnh Đào Chiến, Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [5] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục, 2003 [6] Bộ Giáo dục Đào tạo- Hội toán học Việt Nam, Các toán chọn lọc-45 năm tạp chí Toán học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục, 2009 [7] Nguyễn Văn Mậu, Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình, Nhà xuất Giáo dục, 1993 Footer Page 64 of 161 57 ... cách dạng đa thức ϕ(σ1 , σ2 , , σn ) đa thức đối xứng σ1 , σ2 , , σn với hệ tử A *Phương pháp đưa đa thức đối xứng đa thức đa thức đối xứng - Phương pháp dựa theo hạng tử cao đa thức -Phương... Page 23 of 161 Chương Ứng dụng đa thức ẩn 2.1 2.1.1 Xác định đa thức Một số dạng toán tập minh họa Dạng Xác định đa thức bậc n biết (n+1) giá trị đa thức Bài tập 2.1.1 Tìm đa thức bậc ba P(x) biết... chuẩn bị Chương Ứng dụng đa thức ẩn Chương Ứng dụng đa thức nhiều ẩn Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành đa thức ẩn 1.1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn Cho A