MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNGThs.. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán.. Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng và
Trang 1MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG
Ths Cao Ngọc Châu Phòng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh
Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản
I/ Cơ sở lý thuyết
1/ Định nghĩa: Một đa thức 3 ẩn x,y,z được gọi là đa thức đối xứng nếu
nó không thay đổi giá trị khi ta thay thế một cách tuỳ ý các ẩn x,y,z cho nhau
Ví dụ 1: a, Các đa thức sau là đa thức đối xứng
x+y, x.y, x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,
b, Các đa thức sau không phải là đa thức đối xứng:
x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,
2/ Đa thức đối xứng cơ bản
a, Với đa thức hai ẩn có hai đa thức đối xứng cơ bản:
b, Với đa thức ba ẩn có ba đa thức đối xứng cơ bản
3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng cơ bản
a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản,
Ví dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)= , x2+y2=(x+y)2-2xy = ,
x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) = ,
b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, nhưng ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định
+, Đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đầy đủ
, trong đó hạng tử
có bộ số mũ là với
Ví dụ3:
+, Phương pháp biểu diễn:
Chọn hạng tử cao nhất giả sử là có bộ số mũ là Viết tất cả các bộ số mũ thoã mãn và
- Giả sử có dạng
Cho x,y,z tuỳ ý ta tìm được
Trang 2Ví dụ 4: Biểu diễn đa thức sau: qua các đa thức đối xứng cơ bản
- Hạng tử cao nhất là có bộ số mũ (3,0,0)
- Viết tất cả các bộ số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1)
Giả sử có:
Cho x=1, y=-2, z=1 ta được
Cho x=1, y=1, z=0 ta được
Cho x=1, y=1, z=1 ta được:
Từ đó suy ra:
Vậy
II/ Một số ứng dụng
1 Chứng minh các hằng đẳng thức
Ví dụ 5: Cho
Chứng minh rằng:
Giải: Ta có
Mặt khác
2 Chứng minh các bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức
Từ BĐT trên ta vận dụng chứng minh các BĐT khác
Ví dụ 6: Chứng minh các BĐT
Giải:
a, Từ hay
đặt
Trang 3b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Do dương nên Từ các BĐT và ta có
Suy ra 3.Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức
thành nhân tử Giải: Ta có:
4 Giải phương trình và hệ phương trình
Ví dụ 8: Giải phương trình
Giải: Đặt Ta có:
Khi đó ta có hệ:
Từ đó suy ra: hoặc Vì không xảy ra, nên
Vậy: ta có hoặc
Nếu: thì phương trình có nghiệm
Nếu: thì phương trình có nghiệm
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
Gi¶i hÖ:
Giải:
Ta đặt t1= x + y và t2= x y ta có hệ : thế t1 =
3 ta có :
do đó x; y là các nghiệm của pt: hoặc
từ đó ta có: hoặc
Tài liệu tham khảo [1] Tạp chí toán học và tuổi trẻ Quyển 2, NXB Giáo dục, 2006
Trang 4[2] Đậu Thế Cấp, Đai số sơ cấp, Nhà xuất bản Giáo dục, 2004.
[3] Ron Larson and Robert P.Hosterler, Houghton Mifflin Company Boston New York