Một số ứng dụng của đa thức đối xứng

ĐẠIăH CăĐÀăNẴNG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM H ăTH ăKI UăDI M MỘTăSỐăỨNGăDỤNG CỦAăĐAăTHỨCăĐỐIăXỨNG LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐƠăN ngă- Nĕmă2017 ĐẠIăH CăĐÀăNẴNG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM H ăTH ăKI UăDI M MỘTăSỐăỨNGăDỤNG CỦAăĐAăTHỨCăĐỐIăXỨNG Chuyên ngành: Ph ơngăphápăToánăsơăcấp Mưăs :ă60.46.01.13 LU NăVĔNăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăTR NGăCỌNGăQUỲNH ĐƠăN ngă- Nĕmă2017 L IăCAMăĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi, khơng chép cơng trình khoa học trước Các kết nêu luận văn có nguồn gốc rõ ràng trích dẫn đầy đủ Tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm luận văn H căviên HồăTh ăKi uăDi m Mục lục Mở đầu Chương Một số khái niệm tính chất đa thức đối xứng 1.1 Đa thức đối xứng n biến 1.1.1 Các khái niệm 3 1.1.2 Các định lí đa thức đối xứng nhiều biến 1.2 Đa thức đối xứng hai biến ba biến 5 1.2.1 Một số đa thức đối xứng hai biến ba biến 1.2.2 Tổng lũy thừa công thức Waring 1.2.3 Tổng lũy thừa tổng nghịch đảo, quĩ đạo đơn thức 1.2.4 Đa thức phản đối xứng Chương Đa thức đối xứng, phương trình, hệ phương trình số vấn đề khác 2.1 Giải hệ phương trình 2.1.1 Hệ phương trình đối xứng hai ẩn 9 2.1.2 Hệ phương trình đối xứng ba ẩn 16 2.1.3 Hệ phương trình nhiều biến 21 2.2 Ứng dụng phương trình 23 2.2.1 Phương trình bậc hai bậc ba 23 2.2.2 Phương trình đối xứng phương trình hồi quy 28 2.3 Phân tích đa thức thành nhân tử 33 2.4 Tính chia hết đa thức đối xứng 40 2.5 Giá trị lớn giá trị nhỏ 44 2.6 Một số tập tham khảo 49 Chương Ứng dụng đa thức đối xứng chứng minh hệ thức 52 3.1 Chứng minh đẳng thức 52 3.2 Chứng minh bất đẳng thức 59 3.3 Một số tập tham khảo 72 Tài liệu tham khảo 76 Mở đầu Như ta biết có hệ thống ta thực thao tác khác Ta phân tích trạng thái hệ thống để xác định vị trí cần đạt từ vị trí khác Một cơng cụ thuận tiện cho việc phân tích hệ thống tính chất bất biến số đại lượng hệ thống Những đại lượng không thay đổi thao tác khác hệ thống Tính bất biến thể đa thức đối xứng Một đa thức gọi đối xứng ta đổi chỗ hai biến cho giá trị đa thức không thay đổi Từ định nghĩa đa thức đối xứng ta chứng minh đa thức đối xứng biểu diễn qua đa thức đối xứng sở, mà đa thức đối xứng sở liên quan đến công thức nghiệm Viete Từ áp dụng đa thức đối xứng cho hàng loạt vấn đề đại số sơ cấp giải hệ phương trình với vế phương trình đa thức đối xứng; giải phương trình cách đặt ẩn phụ; phân tích thành nhân tử; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chứng minh hệ thức Do đó, việc phát ứng dụng đa dạng có vai trị quan trọng cần thiết cho bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hơn nữa, đa thức đối xứng mang lại hấp dẫn nhiều giáo viên học sinh quan tâm đến vấn đề Mục tiêu luận văn “Một số ứng dụng đa thức đối xứng” nhằm trình bày ứng dụng đa thức đối xứng đại số sơ cấp, đặt biệt ứng dụng chứng minh bất đẳng thức Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo Chương Một số khái niệm tính chất đa thức đối xứng Trong chương này, tác giả xin trình bày sơ lược khái niệm, tính chất đa thức đối xứng, n biến, hai biến, ba biến, đa thức phản đối xứng Các công thức liên quan đến đa thức đối xứng ứng dụng để giải số toán đại số sơ cấp Chương Đa thức đối xứng, hệ phương trình, phương trình số vấn đề khác Chương tác giả trình bày ứng dụng đa thức đối xứng giải phương trình, hệ phương trình, phân tích đa thức thành nhân tử, tính chia hết đa thức đối xứng, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Cụ thể: Giải hệ phương trình, phương trình cách đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng để giải ví dụ 2.6, 2.7, 2.8 Một số tốn cần phải tính tốn số biểu thức có chứa nghiệm phương trình bậc hai bậc ba Ta giải tốn thơng qua đa thức đối xứng sở định lí Viete Chẳng hạn, ví dụ 2.23 để tính tổng lũy thừa bậc tám nghiệm ta biểu diễn nghiệm qua đa thức đối xứng sở, sau dùng đinh lí Viete kiến thức liên quan đến đa thức đối xứng để giải Phân tích đa thức thành nhân tử cách: biểu diễn đa thức cho theo đa thức đối xứng sở; dùng phương pháp hệ số bất định Để giải tốn tính chia hết đa thức ta sử dụng định lí Beazout kỹ phân tích thành nhân tử Chương Ứng dụng đa thức đối xứng chứng minh hệ thức Chương dựa tính chất đa thức đối xứng kiến thức liên quan tác giả trình bày toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Đặc biệt, từ kết thu liên quan đến đa thức đối xứng sở chứng minh, tác giả làm thành công thức dùng để chứng minh toán bất đẳng thức Chương Một số khái niệm tính chất đa thức đối xứng Tất định nghĩa kết chương tham khảo tài liệu [3],[6].(Các định lí nêu chương chứng minh tài liệu tham khảo [3] [6] nên tác giả khơng chứng minh đây) 1.1 Đa thức đối xứng n biến 1.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Giả sử x = (x1 , x2 , x3 , , xn ) ∈ Rn Đa thức f (x) = f (x1 , x2 , x3 , ., xn ) hiểu hàm số có dạng: m Mk (x) f (x) = k=o đó: Mk (x) = Mk (x1 , x2 , x2 , ., xn ) aj1 j2 jn xj11 xj22 xjnn , = j1 +j2 + +jn =k ji ∈ N, (i = 0, 1, 2, , n) Định nghĩa 1.2 Đa thức f (x1 , x2 , , xn ) theo biến x1 , x2 , , xn gọi đối xứng khơng thay đổi đổi chỗ hai biến Nghĩa là, với hoán vị σ {1, 2, , n} ln ln có f (x1 , x2 , , xn ) = f xσ(1) , xσ(2) , , xσ(n) Định nghĩa 1.3 Đa thức f (x1 , x2 , , xn ) theo biến x1 , x2 , , xn gọi bậc m, f (tx1 , tx2 , .txn ) = tm f (x1 , x2 , , xn ), ∀t = Định nghĩa 1.4 Kí hiệu: sk = xk1 + xk2 + + xkn , k ∈ Z+ n n i,j=1,i sin cos + sin cos = sin 2 2 2 Từ suy sin sin A B C A+B A+B + sin + sin > sin + cos = 2 2 √ √ A+B π π = sin + > sin = 4 Vì π A+B < , 2 nên π A+B π 3π < + < 4 Đặt x = sin B C A , y = sin , z = sin , sk = xk + y k + z k 2 Áp dụng bất đẳng thức Mệnh đề 3.8 bất đẳng thức vừa chứng minh ta có: 1 < s1 s1 ≤ 3s2 ⇒ s2 > , 1 < s1 s2 ≤ 3s3 ⇒ s3 > , 1 < s2 s3 ≤ 3s5 ⇒ s5 > 27 81 Như bất đẳng thức cho chứng minh Nhận xét Bằng cách qui nạp chứng minh rằng, với số nguyên dương n ta có bất đẳng thức: sinn B C A + sinn + sinn ≥ n−1 2 Sau số tập tham khảo để làm rõ nội dung nêu trên, hạn chế luận văn nên tác giả không giải 72 3.3 Một số tập tham khảo Bài Chứng minh a + b + c = 2 a7 + b7 + c7 a5 + b5 + c5 a + b4 + c4 a = b a2 (b + c)2 + b2 (c + a)2 + c2 (a + b)2 + a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) = Bài Với a + b + c = 2p, chứng minh a(p − a)2 + b(p − b)2 + c(p − c)2 + (p − a) (p − b) (p − c) = abc Bài Chứng minh rằng, xy + yz + zx = 1, y z 4xyz x + + = − x2 − y − z (1 − x2 ) (1 − y ) (1 − z ) Bài Chứng minh , 1 1 + + = , a b c a+b+c với số lẻ n, ta có 1 + + a b c n = 1 = an + bn + cn (a + b + c)n Bài Vận dụng tính chất đa thức phản đối xứng chứng minh đẳng thức sau: y3z x3 z x3 y 2 a) x +y +z = x2 y z (x − y) (x − z) (y − x) (y − z) (z − x) (z − y) c−a a−b b−c + + b) (a − b) (a − c) (b − c) (b − a) (c − a) (c − b) 2 + + = (a − b) (b − c) (c − a) (b − x) (b − y) (b − z) (a − x) (a − y) (a − z) + ca c) bc (a − b) (a − c) (b − a) (b − c) (c − x) (c − y) (c − z) +ab = abc − xyz (c − a) (c − b) Bài (Nga, 1995) Với số x, y > 0, chứng minh x y + x4 + y y + x2 xy 73 Bài Chứng minh với số thực dương a, b, c, x, y, z có bất đẳng thức sau: a) x3 + y + z ≥ x2 (y + z) + y (z + x) + z (x + y) b) ab (a + b − 2c) + bc (b + c − 2a) + ac (a + c − 2b) ≥ x3 + y + z x+y+z ≥ c) x + y2 + z2 Bài Chứng minh rằng, a, b, c độ dài cạnh, p nửa chu vi s diện tích tam giác bất đẳng thức sau a) (p − a) (p − b) (p − c) ≤ abc b) (a + b + c)3 ≤ [ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a)] − 3abc c) bc (b + c) + ca (c + a) + ab (a + b) ≥ 48 (s − a) (s − b) (s − c) Bài Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức a2/3 + b2/3 + c2/3 = Chứng minh bất đẳng thức (a + b + c) ≥ a1/3 + b1/3 + c1/3 Bài 10 Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức x3 + y + xyz + y + z + xyz + z + x3 + xyz ≤ xyz Bài 11 Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức 8xyz x2 + y + z + ≥ xy + yz + zx (x + y) (y + z) (z + x) Bài 12 Cho số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức x + y + z = 3a Chứng minh với số tự nhiên n ta có bất đẳng thức x+ x n + y+ y n + z+ x n ≥3 a+ a n Bài 13 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh với số tự nhiên n ta có bất đẳng thức tann A + tann B + tann C ≥ n+2 74 Bài 14 ( Nhật Bản, 1997 ) Cho số dương a, b, c Chứng minh (c + a − b)2 (a + b − c)2 (b + c − a)2 + + ≥ 2 (b + c) + a2 (c + a) + b2 (a + b) + c2 Bài 15 Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức x y z + + ≤ (x + y) (x + z) (y + z) (y + x) (z + x) (z + y) (x + y + z) Bài 16 ( IOM, 1984/1 ) Chứng minh ≤ xy + yz + zx − 2xyz ≤ , 27 x, y, z số không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = 75 Kết luận Luận văn trình bày số kết sau: Trình bày ứng dụng đa thức đối xứng giải hệ phương trình, phương trình, phân tích đa thức thành nhân tử, tính chia hết đa thức đối xứng, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, chứng minh hệ thức, Nghiên cứu kết thu đa thức đối xứng n biến ứng dụng Dựa sở lí thuyết đa thức đối xứng số kiến thức liên quan nêu cách giải toán chứng minh bất đẳng thức theo cách khác Chọn lọc giới thiệu số tốn liên quan đến kì thi học sinh giỏi nước quốc tế liên quan đến đa thức đối xứng Tài liệu tham khảo [1] V.G Boltianski, N Ia Vilenkin, Phép đối xứng đại số, NXB Nauksa, Moscow( Tiếng Nga), 1967 [2] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán phương pháp đại lượng bất biến, NXBGD, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề đa thức đối xứng áp dụng, NXBGD, 2009 [4] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXBGD, 1993 [5] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Trịnh Đào Chiến, Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXBGD, 2008 [6] Phạm Văn Thư(Luận văn thạc sĩ toán học), Một số tính chất đa thức đối xứng ứng dụng đại số, ĐH Thái Nguyên, 2012 [7] Bộ giáo dục đào tạo- Hội toán học Việt Nam, Các tốn chọn lọc-45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục, 2009 ĐẠI H CăĐÀăNẴNG TR NGăĐẠI H CăS ăPHẠM THÔNG TIN K T QU NGHIÊN CỨUăĐ TÀI LU NăVĔNăTHẠC SỸ KHĨA:ăK30ăăăăăNGÀNH:ăPh ơng pháp tốn sơ cấp Mà SỐ: 60 46 01 13 Thông tin chung: - Tên đề tài: Một số ứng dụng đa thức đối xứng - Học viên thực hiện: Hồ Thị Kiều Diễm - Giáo viên hướng dẫn: Ts Trương Công Quỳnh - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm – Đại Học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 05/2016 đến 01/2017 Mục tiêu: Trình bày ứng dụng đa thức đối xứng giải hệ phương trình, phương trình chứng minh hệ thức Tính m i sáng t o: Dựa sở lý thuyết đa thức đối xứng số kiến thức liên quan nêu cách giải toán chứng minh bất đẳng thức theo cách khác Tóm tắt k t qu nghiên c u: Trình bày ứng dụng đa thức đối xứng đại số sơ cấp Tên s n phẩm: Hiệu qu ,ăph ơng th c chuyển giao k t qu nghiên c u kh nĕng áp dụng: Hình nh,ăsơ đồ minh h a chính: Xác nh n c a giáo viên h ng d n Ngày 27 tháng năm 2017 Ng i thực đ tài (Ký, họ tên) INFORMATION ON RESEARCH RESULTS 1.General information: - Project title: Some application of symmetric polynomial - Code number: 60 46 01 13 - Name of student: Ho Thi Kieu Diem - Supervisor: Truong Cong Quynh - Implementing institution: University of Education – The University of Danang Duration: from 05/2016 to 01/2017 Objective(s): App presents symmetric polynomial in the equation, system of equations, prove the inequality Creativeness and innovativeness: Based on the theory of symmetric polynomials and some knowledge concerning how to solve the problem yet prove the inequality in a different way Research results: Applications presented by symmetry polynomial in elementary algebra Products: Effects, transfer alternatives of research results and applicability: , Supervior s confirmation dd 27 mm yy 2017 (date) Student (sign, full name) ... thức gọi đối xứng ta đổi chỗ hai biến cho giá trị đa thức không thay đổi Từ định nghĩa đa thức đối xứng ta chứng minh đa thức đối xứng biểu diễn qua đa thức đối xứng sở, mà đa thức đối xứng sở... quan đến đa thức đối xứng ứng dụng để giải số toán đại số sơ cấp Chương Đa thức đối xứng, hệ phương trình, phương trình số vấn đề khác 2 Chương tác giả trình bày ứng dụng đa thức đối xứng giải... tâm đến vấn đề Mục tiêu luận văn ? ?Một số ứng dụng đa thức đối xứng? ?? nhằm trình bày ứng dụng đa thức đối xứng đại số sơ cấp, đặt biệt ứng dụng chứng minh bất đẳng thức Luận văn gồm có: mở đầu, ba