Một số ứng dụng sơ cấp của vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ NGUYỄN HÒA NGÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA VECTƠ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ NGUYỄN HÒA NGÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA VECTƠ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lê Nguyễn Hịa Ngân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1 Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 2 Giả thuyết khoa học Cấu trúc luận văn 3 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ 1.1 KHÁI NIỆM VECTƠ 4 1.2 PHÉP CỘNG HAI VECTƠ VÀ PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC 1.3 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 15 1.4 GÓC VÀ COSIN CHỈ PHƯƠNG 19 1.5 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 22 1.6 HÌNH CHIẾU VECTƠ, HÌNH CHIẾU VƠ HƯỚNG 25 1.7 TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 27 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ 34 2.1 MỘT SỐ DẠNG TỐN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 34 2.1.1 Dạng toán chứng minh hai điểm trùng 34 2.1.2 Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng chứng minh ba đường thẳng đồng quy 36 2.1.3 Dạng toán chứng minh hai đường thẳng vng góc tốn tính góc hai đường thẳng 42 2.1.4 Dạng tốn tìm điểm quỹ tích điểm 45 2.2 MỘT SỐ DẠNG TỐN TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 50 2.2.1 Dạng tốn chứng minh đồng phẳng 50 2.2.2 Dạng tốn tính diện tích thể tích 53 2.3 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG VẬT LÝ 61 2.3.1 Ứng dụng vectơ khái niệm lực 61 2.3.2 Ứng dụng vectơ khái niệm vận tốc 63 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, vectơ cơng cụ hữu ích Tốn học Vật lý học Nhiều khái niệm vật lý hiểu sâu sắc ta lý giải qua ngơn ngữ vectơ Trong hình học, có khơng tốn khó (hoặc khó) ta nhìn nhận giải chúng phương pháp hình học túy; nhiều trường hợp, tốn dễ (ít qua cách trình bày lời giải) nhìn qua lăng kính vectơ tọa độ Hình học giải tích đời dựa vào phương pháp toạ độ Descartes phát minh Hình học giải tích cho phép nghiên cứu hình học ngơn ngữ đại số giải tích; qua đó, ta đạt tới đỉnh cao khái qt trừu tượng, bỏ xa ta đạt dựa thói quen tư cụ thể, trực quan hình học túy Giải tốn hình học phương pháp tọa độ, học sinh thấy lúng túng việc tìm lối (chỉ dùng hình học túy học sinh thường tỏ lúng túng); nhiên, lời giải tìm phương pháp tọa độ thường dài nặng tính tốn Có thể nói: vectơ cầu nối hình học túy hình học giải tích Dùng vectơ khơn khéo lời giải thường hay khơng dài Trong kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng kỳ thi chọn học sinh giỏi (quốc gia, khu vực quốc tế), tốn có sử dụng phương pháp vectơ thường tốn hay khó Học sinh thường tỏ lúng túng trước toán Hiện nay, tài liệu vectơ – viết dạng tuyển tập chuyên đề chọn lọc, với dung lượng vừa phải – dành cho giáo viên học sinh hệ chun Tốn bậc THPT chưa có nhiều, cịn chưa thể phương pháp điển hình Trong luận văn này, tơi tìm hiểu phương pháp kỹ thuật khác dựa công cụ vectơ với hy vọng mang lại cho học sinh cách nhìn sâu sắc Tơi hy vọng luận văn sau hoàn thành cung cấp thêm tài liệu hữu ích vectơ Với lý trên, chọn “Một số ứng dụng sơ cấp vectơ” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sỹ Mục tiêu nghiên cứu Tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức vectơ, phương pháp kỹ thuật khác dựa vectơ nhằm đưa cách nhìn tồn diện sâu sắc Từ đó, kiến thức trình bày luận văn theo thể khép kín tơi hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên giáo viên Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Công cụ vectơ (các phương pháp kỹ thuật) 3.2 Phạm vi nghiên cứu Tổng hợp phân loại phương pháp; tốn giải cơng cụ vectơ, thường xuất kì thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng kì thi chọn học sinh giỏi Toán nước quốc tế Phương pháp nghiên cứu - Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin nhằm phân loại dạng toán giải hiệu cơng cụ vectơ tập hợp tốn phục vụ cho yêu cầu đề tài - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn khoa học Giả thuyết khoa học Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy với thời lượng chấp nhận cho học sinh chun tốn bậc trung học phổ thơng cho sinh viên toán trường đại học Xây dựng hệ thống toán (cũ mới) với mức độ khó dễ khác Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương Chương 1: trình bày kiến thức vectơ với tính chất, khái niệm, phép tốn có liên quan Chương 2: trình bày số dạng tốn điển hình giải cơng cụ vectơ Tơi cố gắng tuyển chọn tìm hiểu lời giải cho số lượng đáng kể toán (với mức độ khó, dễ khác nhau) thu thập từ nhiều nguồn, đặc biệt từ kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Ngoài ra, chương trình bày số ứng dụng vectơ Vật lý CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ Trong chương này, tơi trình bày kiến thức vectơ với phép toán bản, tính chất liên quan 1.1 KHÁI NIỆM VECTƠ Định nghĩa 1.1.1 Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối Kí hiệu 1.1.2 • Nếu vectơ có điểm đầu A điểm cuối B ta kí hiệu vectơ −→ AB • Để thuận tiện, không cần rõ điểm đầu, điểm cuối, ta kí hiệu vectơ xác định chữ in thường với mũi tên Chẳng hạn a, b, x, y Ghi 1.1.3 Theo định nghĩa, với hai điểm A, B phân biệt ta −→ −→ xác định hai vectơ khác AB BA Trong đó, với hai điểm A, B phân biệt ta xác định đoạn thẳng Quy ước 1.1.4 Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng vectơ khơng Kí hiệu Định nghĩa 1.1.5 Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ Độ dài vectơ a kí hiệu |a| Định nghĩa 1.1.6 −→ −→ • Với vectơ AB , đường thẳng AB gọi giá vectơ AB • Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng • Hai vectơ phương hướng ngược hướng – Hai vectơ u, v hướng – Hai vectơ x, y ngược hướng • Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài Hai vectơ a b ta viết a = b Ví dụ Cho ba điểm phân biệt A, B, C Chứng minh A, B, C thẳng −→ −→ hàng hai vectơ AB AC phương Lời giải −→ −→ Nếu A, B, C thẳng hàng AB AC nằm đường thẳng −→ −→ Do AB AC phương −→ −→ Ngược lại, hai vectơ AB AC phương hai đường thẳng AB AC song song trùng Vì hai đường thẳng có chung điểm A nên chúng trùng Khi đó, ba điểm A, B, C thẳng hàng −→ Vậy ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vectơ AB −→ AC phương * Lưu ý : Nếu bỏ giả thiết "phân biệt" ví dụ 1, tức ba điểm A, B, C hiển nhiên kết luận 1.2 PHÉP CỘNG HAI VECTƠ VÀ PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ THỰC Định nghĩa 1.2.1 (Phép cộng hai vectơ) Cho hai vectơ a b Lấy −→ −−→ điểm A xác định điểm B, C cho AB = a, BC = b −→ Khi đó, vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b Kí hiệu: a + b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ 53 −−→ −−→ −→ Suy GG = AG − AG −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ AB + AC + AC + AD − AA + AD + AM + AN = 4 −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ = AB + AC + AC − AA − AM − AN −→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ AB+ AC + AC − AA − AC + AD − AD+ AD = 2 −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ = AB + AC + AC − AA − AD − AD 2 −→ −−→ −−→ −−→ = AB − AA + D C + DC −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ = AB − AA + D D + DC + DD + D C 2 −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ = AB − AA + A A + AB + AA + AB 2 − − → −→ −−→ −→ = AB − AA = AB − AA 2 8 −−→ −→ −−→ Theo định lý 1.2.15, ba vectơ GG , AB, AA đồng phẳng Do đó, GG song song chứa mặt phẳng ABB A Vì G khơng thuộc mặt phẳng ABB A nên GG song song với mặt phẳng ABB A 2.2.2 Dạng tốn tính diện tích thể tích a Phương pháp chung Sử dụng công thức mệnh đề 1.7.8 Để sử dụng cơng thức việc tính diện tích, thể tích ta cần thực theo bước sau: 54 + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz gắn vào toán phù hợp, + Dựa vào giả thuyết, xác định tọa độ điểm có liên quan, + Thực tính tốn theo u cầu đề *Lưu ý : Phương pháp giải tốn hình học việc gắn vào hệ trục tọa độ Descartes vng góc gọi phương pháp tọa độ b Một số tốn ví dụ Bài tốn 20 Cho hình hộp ABCD.A B C D có đáy ABCD hình thoi 7a Hình chiếu vng góc A lên mặt cạnh a, BCD = 120o , AA = phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A B C D Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Khi đó, theo tính chất hình thoi AC vng góc với BD O theo giả thiết A O vng góc với mặt phẳng (ABCD) O Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sau: gốc tọa độ điểm O; hướng dương trục Ox trùng với tia OC ; hướng dương trục Oy trùng với tia OD, hướng dương trục Oz trùng với tia OA ABCD hình thoi có góc BCD = 120o nên tam giác ABC, ADC AC a cạnh a Do đó, OA = OC = = OB, OD đường cao 2 55 √ a tam giác cạnh a nên OB = OD = Tam giác AOA vuông 2 √ √ √ 7a a 2 O nên OA = AA − OA = − = 12a2 = 2a Từ 2 ta suy tọa độ điểm O, A, B, C, D, A √ hệ trục tọa độ a a a chọn Cụ thể là: O(0, 0, 0), A − , 0, , B 0, − , , C , 0, , 2 √ √ a D 0, , , A (0, 0, 2a 3) Ta có −→ −−→ −−→ VABCD.A B C D = |[AB, AD].AA | √ −→ a a ,− ,0 , AB = √2 −−→ a a AD = , ,0 , 2 √ −→ −−→ a2 [AB, AD] = 0, 0, , √ −−→ a , 0, 2a , AA = −→ −−→ −−→ [AB, AD].AA = 3a3 Vậy VABCD.A B C D = |3a3 | = 3a3 (đvtt) Bài toán 21 (Đại học khối B năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD √ có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BM DN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Lời giải Vẽ đường cao SO tam giác SAB Vì (SAB) vng góc với đáy nên SO vng góc với đáy Từ O kẻ đường thẳng song song với AD cắt DC O Dễ thấy OO vng góc với AB Chọn hệ trục tọa độ sau: gốc tọa độ điểm O, trục Ox với hướng dương trùng với tia OO , trục Oy với hướng dương trùng với tia OB , trục Oz với hướng dương trùng với tia OS 56 Để ý tam giác SAB có SA2 +SB = AB nên tam giác vng S Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông SAB ta OA √= 2 √ a SB 3a a SA = , OB = = Đồng thời SO = SA2 − OA2 = AB AB 2 Từ ta suy tọa độ điểm O, √S, A, B, C, D, O hệ trục a 3a a vừa chọn, cụ thể là: O(0, 0, 0), S 0, 0, , A 0, − , , B 0, , , 2 3a a C 2a, , , D 2a, − , , O (2a, 0, 0) Vì M, N trung điểm 2 a 3a AB, BC nên M 0, , , N a, , 2 Ta có VS.BM DN = VS.BM N + VS.DM N −−→ −→ −→ −−→ −→ −→ Ta lại có VS.BM N = |[SM , SN ].SB|; VS.DM N = |[SM , SN ].SD| √ √ −−→ a a −→ 3a a SM = 0, , − , SN = a, , − , 2 2 √ √ −−→ −→ a2 a2 a2 ,− ,− , [SM , SN ] = 2√ 2 √ −→ 3a a −→ a a SB = 0, , − , SD = 2a, − , − , 2 √ 2 −−→ −→ −→ a3 [SM , SN ].SB = − , √23 −−→ −→ −→ 3a [SM , SN ].SD = √ √ a3 a3 Suy VS.BM N = − = , 12 57 √ √ 3a3 3a3 VS.DM N = = 2√ 12 √ √ a3 a3 3 3a3 + = (đvtt) Vậy VBM DN = 12 12 * Tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Ta có −−→ −−→ −−→ −−→ |SM DN | cos(SM, DN ) = | cos(SM , DN )| = −−→ −−→ |SM ||DN | √ −−→ a a −−→ , DN = (−a, 2a, 0) Mà SM = 0, , − 2 √ a a 0.(−a) + 2a + − 2 Nên cos(SM, DN ) = √ a a 02 + + − (−a)2 + (2a)2 + 02 2√ a2 √ = = a.a Bài toán 22 (Đạị học khối B năm 2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất hình chóp đều, SG vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi O trung điểm AB , 58 tam giác ABC nên O chân đường trung tuyến đồng thời chân đường cao hạ từ C tam giác Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sau: gốc tọa độ điểm O xác định trên, trục Ox trùng với tia OB , trục Oy trùng với tia OC , trục Oz song song hướng với tia GS a Dễ thấy OA = OB = Ta có OC đường cao tam giác cạnh √ √ a a , OG = OC = GC = OC = a nên OC = √ √ a Xét tam giác SGC vng G ta có SG = SC − GC = √ √ a a 33 (2a)2 − = Từ tính tốn ta suy tọa 3 độ điểm O, A, B, C, G, S √ hệ trục tọa 0, 0), √độ chọn là:√O(0,√ a a a a a a 33 A − , 0, , B , 0, , C 0, , , G 0, , , S 0, , 2 6 + Tìm tọa √ độ của√H −→ a a 33 ,− SC = 0, 3−→ −→ Vì H thuộc SC nên SH = k SC Suy tọa độ H có dạng √ √ √ √ a a a 33 a 33 + k, − k H 0, 3 −−→ −→ Theo giả thiết ta có AH ⊥ SC Do AH.SC = −−→ −→ AH.SC = 0√ √ √ √ √ √ a a a a a 33 a 33 a 33 ⇔ + + k + − k − =0 3 3 ⇔k= √ √ 11a a 33 Suy H 0, , 24 24 Bây ta thực yêu cầu đề * Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) √ √ −→ −→ −→ a a 33 Ta có AB = (a, 0, 0) Do đó, SC.AB = 0.a + + − = 3 0, điều suy SC ⊥ AB Đồng thời, theo giả thiết ta có SC ⊥ AH Vì vậy, SC ⊥ (ABH) 59 * Tính thể tích khối chóp S.ABH Ta có −→ −−→ −→ VS.ABH = |[AB, AH].AS| √ √ −→ −−→ a2 33 11a2 , , [AB, AH] = 0, − 24 √ √ 24 −→ a a a 33 AS = , , , √ √ √ −→ −−→ −→ a3 11 11a3 11 7a3 11 + = [AB, AH].AS = − 48 24 √ √ 7a3 11 7a3 11 Vậy VS.ABH = (đvtt) = 6 96 Bài toán 23 (Đại học khối B năm 2014) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng A C mặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C Lời giải Gọi O trung điểm AB Theo giả thiết ta có A O vng góc với mặt phẳng (ABC) Lúc đó, góc đường thẳng A C mặt đáy góc A CO 60o Vì tam giác ABC nên CO đường trung tuyến đồng thời đường cao tam giác, tức CO vng góc với AB tịa O Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sau: gốc tọa độ điểm O xác định 60 trên, trục Ox trùng với tia OB , trục Oy trùng với tia OC , trục Oz trùng với tia OA √ a a Dễ thấy OA = OB = , OC = Xét tam giác vuông A OC ta 2 3a có OA = OC tan 60o = Từ suy tọa độ điểm O, A, B, C, A √ a a a hệ trục tọa độ chọn là: A − , 0, , B , , C 0, ,0 , 2 3a A 0, 0, Ta có −→ −→ −−→ VABC.A B C = |[AB, AC].AA | √ −→ −→ a a AB = (a, 0, 0), AC = , ,0 , 2 √ −→ −→ a2 ⇒ [AB, AC] = 0, 0, −−→ 3a a , 0, , AA = 2 √ −→ −→ −−→ 3a3 ⇒ [AB, AC].AA = 4√ √ 3a3 3a3 Vậy VABC.A B C = (đvtt) = * Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (ACC A ) 3VBACA Để ý d(B, (ACC A )) = d(B, (ACA )) = Do đó, trước hết SACA ta cần tính VBACA SACA Ta có √ √ −→ −→ −−→ 3a3 a3 • VBACA = |[AB, AC].AA | = = 6 −→ −−→ • SACA = |[AC, AA ]| √ √ −→ −−→ 3a2 3a2 a2 mà [AC, AA ] = ,− ,− 4 √ √ √ 3a2 3a2 a2 a2 39 nên SACA = + − + − = 4 61 √ a3 √ 3a 13 Vậy d(B, (ACC A )) = √8 = 13 a 39 2.3 ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG VẬT LÝ Vectơ không cơng cụ hình học mà cịn hữu ích nhiều phương diện Vật lý Kỹ thuật Trong Vật lý, số khái niệm biểu diễn vectơ đem lại cách nhìn nhận xác tồn diện Chẳng hạn lực, vận tốc, gia tốc, cường độ điện trường, động lượng Trong phần này, tơi tập trung trình bày ứng dụng vủa vectơ hai khái niệm xét đến nhiều mơn Vật lý chương trình phổ thơng khái niệm lực khái niệm vận tốc 2.3.1 Ứng dụng vectơ khái niệm lực Lực Vật lý đại lượng vectơ Công cụ vectơ khơng thể lực mạnh hay yếu mà cịn thể chiều hướng tác dụng lực Ví dụ vectơ trọng lực ln có phương thẳng đứng, hướng xuống thể đặc điểm đặc trưng lực hút Trái Đất Khi vật chịu tác dụng đồng thời nhiều lực lực tổng hợp tác dụng lên tổng vectơ lực thành phần Đây thể phép cộng vectơ mà ta định nghĩa chương Xét ví dụ sau: Ví dụ 14 Một khúc gỗ đặt mặt phẳng nằm ngang Người A kéo khúc gỗ phía bên trái với lực F1 50N song song với mặt phẳng ngang Người B kéo khúc gỗ bên phải với lực F2 40N song song với mặt phẳng nằm ngang Hỏi hai người kéo đồng thời khúc gỗ chuyển động hướng nào? Lời giải − → − → → − Khúc gỗ chịu tác dụng đồng thời lực: F1 , F2 , trọng lực P lực → − nâng N mặt phẳng ngang.Do hợp lực tác dụng lên khúc gỗ 62 −→ − → − → → − → − → − → − −→ − → − → Fhl = F1 + F2 + P + N Vì P = − N nên Fhl = F1 + F2 Thực phép −→ − → cộng hai vectơ ta có Fhl hướng với F1 Fhl = 10N Do vật di chuyển trượt theo mặt phẳng ngang phía bên trái Ví dụ 15 Một nặng 10kg treo cân hai sợi dây thép hợp với mặt phẳng ngang góc 60o , 30o Tính độ lớn lực căng dây sợi dây Lời giải → − → − → − Quả nặng chịu tác dụng đồng thời lực: trọng lực P , T1 , T2 −→ Vì nặng cân nên Fhl = → − → − → − ⇔ P + T1 + T2 = → − → − → − ⇔ T1 + T2 = − P → − → − Phép cộng hai vectơ T1 T2 thực theo quy √ tắc hình bình √ → − → − hành Để ý T1 ⊥ T2 , suy T1 = P cos 30o = 100 = 50 3N T2 = P.sin30 = 100 = 50N Lưu ý quy tắc cộng hai vectơ hình học đơi khơng sử dụng để giải thích số tượng vật lý lực Để minh họa, ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 16 Một sắt dài nằm yên Người ta tác dụng đồng thời vào 63 hai đầu sắt hai lực ngược chiều có độ lớn Hãy nêu tượng xảy Ta thấy nhìn nhận hình học vectơ vật chịu tác dụng −→ − → − → hợp lực Fhl = F1 + F2 = 0, sắt đứng yên Tuy nhiên, nhìn nhận góc độ vật lý hai lực sinh momen làm cho sắt xoay ngang, cách nhìn nhận với thực tế Sở dĩ vectơ hình học vectơ tự do, cịn vật lý tùy trường hợp mà hiểu vectơ tự hay vectơ buộc (tức phải quan tâm đến yếu tố điểm đặt) Công lực F làm vật dịch chuyển quãng đường s tính cơng thức A = F s (ở s sử dụng để thể hướng quãng đường vật vật lý thường không xét đại lượng quãng đường s đại lượng vectơ) Như vậy, đại lượng công lực ứng dụng phép tích vơ hướng hai vectơ vật lý 2.3.2 Ứng dụng vectơ khái niệm vận tốc Trong chuyển động thẳng, vectơ vân tốc tức thời v điểm có phương trùng với phương chuyển động , có hướng trùng hướng chuyển động độ lớn thể tốc độ di chuyển vật điểm đó.Trong chuyển 64 động cong chuyển động tròn, vectơ vân tốc tức thời v điểm có phương tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động, hướng theo xu chuyển động vật.Như vậy, việc sử dụng công cụ vectơ để biểu thị đại lượng vận tốc khơng có ý nghĩa biểu tốc độ nhanh chậm vật chuyển động mà cịn có ý nghĩa thể xu hướng chuyển động vật quỹ đạo hướng di chuyển Phép cộng hai vectơ áp dụng quy tắc cộng vận tốc Quy tắc cụ thể sau: Giả sử − v→ 12 vận tốc vật so với hệ quy chiếu chuyển động (vận tốc tương đối), − v→ vận tốc hệ quy chiếu chuyển 23 động so với hệ quy chiếu đứng yên (vận tốc kéo theo), − v→ 13 vận tốc vật so với hệ quy chiếu đứng yên (vận tốc tuyệt đối) Khi ta có − v→ = − v→ + − v→ Xét ví dụ cụ thể sau: 13 12 23 Ví dụ 17 Một người chèo thuyền qua sông với vận tốc 5,4 km/h so với dịng nước theo hướng vng góc với bờ sông Do sông chảy nên thuyền bị đưa xi theo dịng chảy xuống phía hạ lưu đoạn 120m so với vị trí dự định ban đầu Độ rộng dịng sơng 450m Tính vận tốc dịng nước so với bờ sơng thời gian thuyền qua sông Lời giải Gọi − v→ 12 vận tốc thuyền so với dòng nước (v12 = 5, 4km/h = 1, 5m/s) − v→ 23 vận tốc dòng nước so với bờ − v→ 13 vận tốc thuyền so với bờ Khi ta có − − → − → v→ 13 = v12 + v23 65 Theo đó, vận tốc dịng nước so với bờ sơng là: BC = 1, = 0, 4(m/s) AB 15 AC AB 450 Thời gian thyền qua sông là: t = = 300s = phút = = v13 v12 1, Ngoài đại lượng vận tốc, Vật lý Động học có đại lượng vectơ khác đại lượng gia tốc a, đặc trưng cho biến thiên vectơ v − vo vận tốc, a = t − to v23 = v12 tan A = 1, 66 KẾT LUẬN Vectơ công cụ hữu dụng quan trọng hình học, có tính khái quát cao Sử dụng vectơ để giải toán hạn chế sai lầm mặt trực quan Ngồi ra, ứng dụng hiệu vật lý, kỹ thuật Trong luận văn này, trình bày kiến thức số ứng dụng vectơ Đóng góp luận văn bao gồm: Hệ thống trình bày khái niệm, tính chất, phép tốn liên quan đến vectơ Đọc, hiểu, trình bày chứng minh số định lý quan trọng vectơ như: định lý biểu diễn vectơ hình học phẳng, khơng gian; biểu thức tọa độ phép toán vectơ, Tìm hiểu, phân loại, tổng hợp trình bày lại ứng dụng vectơ hình học Sưu tầm hệ thống tốn hình học với mức độ khó dễ khác để làm rõ ứng dụng vectơ hình học Tìm hiểu trình bày cụ thể ứng dụng vectơ vật lý phổ thơng, minh chứng cho khẳng định: Tốn học môn khoa học bản, cung cấp công cụ sở, thiết yếu cho việc nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Thái Sơn, người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Do thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong nhận góp ý xây dựng quý thầy cô bạn Tôi xin chân thành cảm ơn 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Hà - Nguyễn Xuân Bình (2004), Tốn nâng cao Hình học 10, NXB Giáo Dục [2] Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Nguyễn Văn Đồnh - Trần Đức Hun (2007), Hình học 10, NXB Giáo Dục [3] Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh - Nguyễn Hà Thanh - Phan Văn Viện (2007), Hình học 11, NXB Giáo Dục [4] Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh - Trần Đức Huyên (2010), Hình học 12, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [5] James Stewart (2008), Calculus: Early Trancendentals, Thomson Brooks/Cole ... NGUYỄN HÒA NGÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG SƠ CẤP CỦA VECTƠ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng - Năm... chứng minh 34 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ Ở chương này, tơi trình bày số ứng dụng vectơ hình học phẳng, hình học không gian số ứng dụng vật lý Trong đó, trọng tâm chương ứng dụng hình học, trình bày... HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 22 1.6 HÌNH CHIẾU VECTƠ, HÌNH CHIẾU VƠ HƯỚNG 25 1.7 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 27 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ 34 2.1 MỘT SỐ