Ứng dụng phương pháp vectơ để giải toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HOA ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS ĐINH THỊ KIM THÚY HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, nhận đƣợc nhiều quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán - Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô tận tình giúp đỡ năm học vừa qua tạo điều kiện để hoàn thành đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thúy ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, bảo tận tình cho suốt trình thực đề tài Do thời gian tìm hiểu hạn hẹp, trang bị kiến thức toán học hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đƣợc giúp đỡ góp ý thầy cô bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là: Nguyễn Thị Hoa Sinh viên: Lớp K37A – Toán Trƣờng ĐHSP Hà Nội Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận tốt nghiệp kết trình nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi thân dƣới đạo giáo viên hƣớng dẫn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Kết cấu khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Đoạn thẳng định hƣớng 1.2 Vectơ 1.3 Các phép toán vectơ 1.4 Tích vô hƣớng hai vectơ CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN §1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 1.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1.2 Chứng minh hai điểm trùng 11 1.3 Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc 12 1.4 Tính góc hai đƣờng thẳng 15 1.5 Giải toán chứa yếu tố cố định 19 1.6 Giải toán chứa yếu tố song song 22 1.7 Tìm quỹ tích điểm 25 1.8 Giải toán cực trị 28 1.9 Bài tập đề nghị 31 §2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 35 2.1 Các kiến thức cần sử dụng 35 2.2 Một số toán đƣợc giải phƣơng pháp vectơ 35 2.2.1 Bài toán chứng minh bất đẳng thức 35 2.2.2 Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình 38 2.2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 43 2.2.4 Bài tập đề nghị 46 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trƣờng phổ thông, hình học phận cấu thành nên Toán học Đây môn học thú vị nhƣng tƣơng đối khó học sinh hình học môn học chặt chẽ, tính logic trừu tƣợng cao môn học khác Toán học Trong chƣơng trình Toán THCS em đƣợc làm quen với đại lƣợng vô hƣớng, lên bậc THPT khái niệm tiếp tục đƣợc mở rộng, có khái niệm mới, vectơ ví dụ Khái niệm vectơ theo suốt em trình học phổ thông Thông thƣờng mở rộng khái niệm đồng thời cho ta phƣơng pháp mới, công cụ để giải toán Khái niệm vectơ đời cho ta phƣơng pháp mới, để giải toán cách hiệu Nhờ có phƣơng pháp toán nhƣ chứng minh tính song song, vuông góc, thẳng hàng,… nói chung đƣợc giải cách dễ dàng ngắn Với mong muốn trên, đƣợc giúp đỡ cô Đinh Thị Kim Thúy chọn đề tài: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Qua dạng toán, ví dụ tham khảo mẫu cho học sinh thấy đƣợc phần quan trọng việc sử dụng vectơ lời giải tập toán THPT, khiến cho học sinh coi phƣơng pháp để giải toán có hiệu quả, cách tƣ mẻ, sáng tạo toán học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu vectơ ứng dụng để giải toán THPT Do thời gian có hạn, đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải số toán THPT Kết cấu khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm chƣơng: Chƣơng 1: Một số kiến thức liên quan Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng pháp vectơ để giải toán NỘI DUNG CHƢƠNG : MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 Đoạn thẳng định hƣớng Một đoạn thẳng đƣợc gọi định hƣớng hai điểm mút ta chọn điểm làm điểm đầu, điểm làm điểm cuối Chẳng hạn, với đoạn AB ta chọn điếm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối ta có đoạn thẳng định hƣớng kí hiệu (A, B) Hai đoạn thẳng định hƣớng (A, B) (C, D) gọi trung điểm đoạn thẳng AD, BC trùng Khi ta viết (A, B) = (C, D) 1.2 Vectơ 1.2.1 Định nghĩa  Vectơ đoạn thẳng định hƣớng  Một vectơ kí hiệu AB , CD ,… a , b ,…  Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhƣ AA , BB đƣợc gọi vectơ - không Kí hiệu: 1.2.2 Độ dài vectơ Độ dài vectơ AB kí hiệu AB AB (Đối với a độ dài kí hiệu a ) 1.2.3 Hai vectơ phƣơng  Hai vectơ AB , CD khác vectơ - không phƣơng kí hiệu AB // CD AB song song CD A, B, C, D thẳng hàng  Điều kiện để hai vectơ AB , CD phƣơng AB = k CD , k  R 1.2.4 Hai vectơ hƣớng, hai vectơ ngƣợc hƣớng  Hai vectơ AB , CD phƣơng gọi hƣớng AB // CD hai tia AB, CD hƣớng Kí hiệu: AB  CD  Điều kiện để hai vectơ AB , CD hƣớng AB = k CD (k > 0)  Hai vectơ AB , CD phƣơng gọi ngƣợc hƣớng AB // CD hai tia AB, CD ngƣợc hƣớng Kí hiệu: AB  CD  Điều kiện để hai vectơ AB , CD ngƣợc hƣớng AB = k CD (k < 0)  Vectơ - không phƣơng, hƣớng vectơ 1.2.6 Hai vectơ  Hai vectơ AB , CD đƣợc gọi chúng hƣớng độ dài Kí hiệu: AB = CD  Điều kiện để hai vectơ AB , CD AB  CD AB  CD Chú ý: Hai vectơ vectơ thứ ba Nếu cho vectơ a điểm O, ta có điểm A cho: OA  a 1.2.7 Hai vectơ đối  Hai vectơ AB , CD đối AB + CD = Kí hiệu: AB = - CD  Điều kiện để hai vectơ AB , CD đối AB  CD AB  CD 1.2.7 Ba vectơ đồng phẳng không gian  Ba vectơ a, b, c đƣợc gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng nằm mặt phẳng song song  Điều kiện để ba vectơ a, b, c khác đồng phẳng tìm đƣợc cặp số thực m, n cho: c  ma  nb  Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng ma  nb  kc  m = k = n = 1.2.8 Góc hai vectơ Cho hai vectơ a ≠ , b ≠ , góc hai vectơ a, b kí hiệu ( a, b )   0o  a, b  1800 cos ( a, b ) = a.b a.b 1.3 Các phép toán vectơ 1.3.1 Phép cộng vectơ a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a b Lấy điểm A xác định điểm B C cho AB  a, BC  b Khi vectơ AC đƣợc gọi tổng hai vectơ a b Kí hiệu: AC  a  b b) Các tính chất Với vectơ a, b, c ta có: (1) Tính chất vectơ – không: a    a  a abba (2) Tính chất giao hoán: a  b  c  a  b  c (3) Tính chất kết hợp: 1.3.2 Hiệu hai vectơ a) Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a - b tổng   vectơ a vectơ đối vectơ b , tức là: a  b  a   b Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ b) Quy tắc ba điểm phép trừ vectơ Nếu MN vectơ cho với điểm O bất kỳ, ta có: MN  ON  OM 1.3.3 Phép nhân vectơ với số a) Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu k a , đƣợc xác định nhƣ sau: 1) Nếu k  vectơ k a hƣớng vectơ a Nếu k ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗  x   k.0   x3  k  * + Vậy bất phƣơng (5) có tập nghiệm Ví dụ Giải hệ phƣơng trình: √ { √ √ √ √ √ Lời giải Nếu cộng hai phƣơng trình ta đƣợc: (√ Đặt ⃗ Ta có ⃗ √ (√ √ √ ) ) ( (√ √ ) √ 41 ) √ ( ) ) |⃗ | | | √ |⃗ | | |  √ Lại có: ⃗ Tƣơng tự ta có: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Do phƣơng trình ( ) xảy bất đẳng thức đạt dấu “=”  √ √ √ { √  1 1 ,  nghiệm hệ phƣơng trình 2 2 Vậy  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình sau: { √ ( ) Lời giải Giả sử ( ) nghiệm hệ phƣơng trình (I) Khi ta có: { √ ( Trong không gian Oxyz xét vectơ ⃗ Ta có | ⃗ | | | √ ⃗ Lại có: | ⃗ | | | ) ( √ √ √ √ √ ⃗ Điều mâu thuẫn Vậy hệ phƣơng trình vô nghiệm Ví dụ Giải hệ phƣơng trình sau: ( ) { 42 ) Lời giải Giả sử ( ) nghiệm tùy ý hệ (II) (nếu có) Khi ta có: ( ) ( ) ( ) { ( Trong không gian Oxyz xét vectơ ⃗ ) ( ) ( ) Theo (2) ta có ⃗⃗⃗ Theo (1) (2) ta có: |⃗ | | | ( ) ( ) ( ) |⃗ | | | Từ (4) (5) suy ⃗ ⃗ Mà ⃗ ⃗ (do ) nên ⃗   Với thay vào hệ ta thấy thỏa mãn Vậy (3,3,3) nghiệm hệ phƣơng trình Nhận xét: Sử dụng phương pháp sơ cấp phải biến đổi dài dòng 2.2.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn: ( ) ( Tìm x, y, z để | ) ( ) | lớn Lời giải Đặt: ⃗ Ta có | ⃗ ( | |( ) ) ( ( ) ) ( 43 ) | | |⃗ | | | | √ | | √ x 1 y  z 1    | lớn khi:   x  y  3z   14  |   14 14 x    x   14 14     14 14 y   y     7    14 14 z    z   14 14   | Vậy Max|   14 14 x   x   14 14     14 14 y    y   7     14 14 z   z   14 14   √ Ví dụ Cho x > 0, y > thỏa mãn: Lời giải Đặt ( ⃗ ) (√ ) (√ ) 2  2  3      (v)      x y  x  y Ta có ( ⃗ ) |⃗ | | | 44   Tìm giá trị nhỏ x y  (√ √ ( √ √ )  (√ √ )  5 6 ( ) )  5 Vậy Min / Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: √ ( ) Lời giải Đặt ⃗ √ ( )| | Do ⃗ |⃗ | | |  √ ( ) /  |⃗ | ( √( ) ( ) √ √ ) √ √    Max y = Lại có  √ Vậy Max y = Min y =    Min y =  2  Ví dụ Cho √ Tìm giá trị lớn √ 45 Lời giải ( Đặt: ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ √( ( Đặt: ⃗⃗⃗⃗ )( ) ⃗⃗⃗⃗ √( Vậy Max ) (√ √ ) √ |⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗  ) |⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | Ta có: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗  ( )( √ √ ) √ √ √ 2.2.4 Bài tập đề nghị Bài Cho Chứng minh rằng: | √ | Bài Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a - b + c + 1= Chứng minh rằng: √ √ √ Bài Cho a, b, c ba số thực dƣơng thỏa mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: √ √ √ √ Bài Cho x, y, z ba số thực dƣơng thỏa mãn: x+ y + z = Chứng minh rằng: √ √ √ √ Bài Cho ba số thực x, y, z tùy ý Chứng minh rằng: 46 x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z Bài Giải phƣơng trình sau: √ √ √ √ √ √ √ ( √ √ )√ √ Bài Giải bất phƣơng trình sau: √ ( √ √ ) √ Bài Giải hệ phƣơng trình sau: { x  y2   y  x  z    x  x  y  2yz  2 3x  2y  8xy  8yz  2x  4z  √ √ √ √ {√ √ √ √ Bài 9: Cho x, y số thực thay đổi Tìm GTNN biểu thức: A= x  y  x   x  y  x    y  2 Bài 10: Với x, y hai số thực Tìm GTNN biểu thức: S= x   x  xy  y   y  y  10 47 KẾT LUẬN Đề tài cung cấp cho phƣơng pháp giải toán THPT cách hiệu Ngoài cho thấy đƣợc ứng dụng toán học vectơ Khóa luận đƣa hệ thống lý thuyết, số dạng toán thƣờng gặp thông qua phƣơng pháp chung ví dụ minh họa dạng toán nhằm bƣớc đầu giúp học sinh thấy đƣợc tầm quan trọng vectơ giải tập hình học, đại số coi công cụ nhằm giải toán cách có hiệu Bƣớc đầu quen với nghiên cứu khoa học, chắn đề tài không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong muốn thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Phƣớc Chƣơng , Rèn luyện kỹ giải dạng tập hình học 10, NXB Giáo dục Phan Đức Chính, Các luyện thi môn Toán - tập 3, NXB Giáo dục Nguyễn Gia Cốc, Ôn luyện giải Toán Hình Học vectơ, NXB Đà Nẵng Lê Hồng Đức, Học ôn tập Toán Hình Học, NXB ĐHQGHN Nguyễn Mộng Hy, Các toán phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ, NXB Giáo dục Trần Phƣơng, Hình Học Giải Tích, NXB Hà Nội Phan Huy Khải, Toán bồi dƣỡng Hình Học 10, NXB Hà Nội Sách giáo khoa, tập hình học 10 49 [...]... Với ba vectơ a, b, c tùy ý và mọi số thực k, ta có: 1) a.b  b.a 2) a.b  0  a  b       4) a.b  c   a.b  a.c 3) k a b  a k b  k a.b   a b  c  a.b  a.c 6 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN §1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Sử dụng phương pháp vectơ ta sẽ giải quyết được rất nhiều bài toán trong mặt phẳng cũng như trong không gian mà các phương pháp. .. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ / là vectơ hằng nên G’ là điểm cố định Vậy mặt phẳng (MNP) luôn đi qua một điểm cố định Nhận xét: Hệ thức vectơ về trọng tâm của tam giác giúp cho những bài toán sử dụng phương pháp vectơ trở nên đơn giản Việc sử dụng phương pháp vectơ để tìm điểm cố định sẽ dễ dàng hơn rất nhiều so với các phương pháp khác 1.6 Giải bài toán chứa yếu tố song song Phƣơng pháp: Muốn chứng minh hai đƣờng... pháp khác không đạt được tính ưu việt như phương pháp này Nội dung của việc sử dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học được thể hiện qua một số dạng sau 1.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phƣơng pháp: Muốn chứng minh điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh bằng một trong hai cách sau: Cách 1: Ta đi chứng minh AB = k AC Cách 2: Lấy điểm O bất kỳ ta chứng minh OC   OA   OB trong đó   ... xét: Ta sử dụng hướng chứng minh G1  G2  OG1  OG2 1.3 Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc Phƣơng pháp: Muốn chứng minh hai đƣờng thẳng a, b vuông góc với nhau ta đi chứng minh u a u b  0 Trong đó u a , u b lần lƣợt là các vectơ chỉ phƣơng của các đƣờng thẳng a và b Chẳng hạn, muốn chứng minh AB  CD ta đi chứng minh AB.CD = 0 Ví dụ 3.1 Chứng minh ba đƣờng cao trong tam giác đồng quy Lời giải Giả... phƣơng pháp vectơ để chứng minh Chẳng hạn, muốn chứng minh một hình chứa một điểm cố định ta làm nhƣ sau: +) Dự đoán yếu tố cố định +) Dựa vào phƣơng pháp vectơ để chứng minh nó trùng với một điểm cố định hoặc rút ra một đẳng thức vectơ trong đó tất cả các điểm đều cố định trừ điểm đang xét Ví dụ 5.1 Cho góc Oxy và hai số dƣơng a, b Điểm A, B là hai điểm chạy trên Ox, Oy sao cho: a b   1 Chứng minh...  DC'  DA 3 3 3 3 3 10 Vậy A, G, C’ thẳng hàng Với những bài toán liên quan đến trọng tâm tam giác, tứ diện, hay có các yếu tố tỉ lệ ta nên dùng phƣơng pháp vectơ để giải 1.2 Chứng minh hai điểm trùng nhau Phƣơng pháp: Muốn chứng minh hai điểm A, B trùng nhau ta chứng minh bằng một trong hai cách sau: Cách 1: Chứng minh AB  0 Cách 2: Chứng minh OA  OB với O là điểm tùy ý Ví dụ 2.1 Cho tam giác ABC... ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ suy ra O, G, H thẳng hàng Nhận xét: Nhờ hệ thức vectơ về tính chất trọng tâm của tam giác, tính chất trung điểm của đoạn thẳng, tính chất đường chéo của hình bình hành sẽ cho ta lời giải của bài toán Ngoài ra bài toán này có thể giải bằng phương pháp tổng hợp hoặc sử dụng phép vị tự Ví dụ 1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O Các đƣờng thẳng song song... Tính góc giữa hai đƣờng thẳng Phƣơng pháp: Muốn tính góc giữa hai đƣờng thẳng a, b ta đi tìm góc giữa hai vectơ chỉ phƣơng hoặc hai vectơ pháp tuyến pháp tuyến của chúng Gọi là góc giữa hai đƣờng thẳng a, b thì khi đó: 15 | ( với ⃗ (⃗ ⃗ )| |⃗ ⃗ | |⃗ | |⃗ | ⃗ là hai vectơ chỉ phƣơng của hai đƣờng thẳng a, b.) Hoặc | (với ⃗ (⃗ ⃗ )| |⃗ ⃗ | |⃗ | |⃗ | ⃗ là hai vectơ pháp tuyến của hai đƣờng thẳng a, b.)... ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Suy ra A, G, C’ thẳng hàng Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp tổng hợp trong hình không gian lớp 11, nhưng việc thiết lập mối quan hệ giữa A, C’, G là dài dòng Nhờ hệ thức về vectơ về tính chất trọng tâm của tam giác thì việc chứng minh trở nên gọn gàng dễ hiểu Cách 2: Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để ba điểm A, G, C’ thẳng hàng: A, G, C’ thẳng hàng  DG ...2) Độ dài của vectơ k a bằng k a Phép lấy tích của một vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số b) Các tính chất Với hai vectơ bất kỳ a, b và mọi số thực k, l ta có:  1) k l a  k.l a 2) k  l a  k a  l a   3) k a  b  k a  k b 4) 1.a  a 1.4 Tích vô hƣớng của hai vectơ a) Định nghĩa: Tích vô hƣớng của hai vectơ a , b là một số thực, kí hiệu là a ... CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN §1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Sử dụng phương pháp vectơ ta giải nhiều toán mặt phẳng không gian mà phương pháp khác không... 1.2 Vectơ 1.3 Các phép toán vectơ 1.4 Tích vô hƣớng hai vectơ CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN §1: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH... đề tài: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Qua dạng toán, ví dụ tham khảo mẫu cho học sinh thấy đƣợc phần quan trọng việc sử dụng vectơ lời giải tập toán THPT,