Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THCS trong dạy học giải toán đại số 9

Môntoán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phầnxây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể.Môn toán c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TẤN HƯNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN TẤN HƯNG

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

MÃ SỐ: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Giảng viên hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN VĂN THUẬN

Nghệ An, 2013

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn đợc hoàn thành với sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Văn Thuận.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán Trờng

Đại Học Vinh Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán-Tin học Trờng THCS Thị trấn Mỹ An đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này.

Tác giả đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần đợc góp ý, sửa chữa Rất mong nhận đợc những ý kiến

đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.

Vinh, tháng 6 năm 2013

Tác giả

Trần Tấn Hng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 2

RÈN LUYỆN TƯ DUY THUẬT GIẢI CHO HỌC SINH 44

TRUNG HỌC CƠ SỞ TRONG KHI DẠY HỌC GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ 9 44

2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 9 trong Chương trình môn Toán Trung học cơ sở 44

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Với sự phát triển của đất nước trong giai đoạn hiện nay, công cuộc côngnghiệp hóa, hiện đại hóa được đặc biệt quan tâm Để đáp ứng được yêu cầu đặt racần có nguồn nhân lực có đủ khả năng, trình độ làm chủ công cụ lao động trongnền sản xuất tự động hóa Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trungương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: “Mục tiêu giáo dục – đàotạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, cónăng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thểhiện mục tiêu lớn của đất nước” Trước tình hình đó, ngành giáo dục cần thay đổiphương pháp đào tạo để phù hợp trong giai đoạn hiện nay Nghị quyết Hội nghị lầnthứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997):

“Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyệnthành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phương pháptiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện thờigian tự học, tự nghiên cứu…” Kết luận số 51-KL/TW ngày 29/10/2012 của Hộinghị lần thứ 6 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XI về Đề án “Đổi mới cănbản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóatrong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhậpquốc tế”

Luật Giáo dục (sửa đổi bổ sung năm 2010) khẳng định: “Phương pháp giáodục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của họcsinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tựhọc, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Chothấy việc tích cực, chủ động trong học tập là rất cần thiết giúp rèn luyện kỹ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn Muốn chủ động cần phải định hướng, tìm raphương pháp hoạt động thích hợp để giải quyết vấn đề

1.2 Ở trường phổ thông, việc tìm và vận dụng phương pháp để học sinh đơngiản hóa cách nhìn nhận vấn đề là hết sức cần thiết đặc biệt là bộ môn Toán Môntoán là một môn học “công cụ” cung cấp kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phầnxây dựng nền tảng văn hóa phổ thông của con người lao động mới làm chủ tập thể.Môn toán có vai trò rất quan trọng, nó giúp học sinh có được cơ sở cần thiết để học tốtcác môn học khác Vì vậy việc dạy học Toán có hiệu quả sẽ quyết định đến chấtlượng chung của ngành giáo dục Toán học là khoa học suy diễn, mang tính trừutượng cao Do vậy, bên cạnh việc rèn luyện cho học sinh tính tự giác, tích cực, sángtạo cần rèn luyện cho học sinh những thao tác, cách thức giải quyết vấn đề theo quytrình, có tính thuật giải là rất cần thiết.

1.3 Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng Trường phổ thông đặc biệt trongdạy học Toán Trong môn Toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải,tựa thuật giải Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuậtgiải, có qui tắc giải, được phân thành các bước để giải thì học sinh lĩnh hội tri thứcmột cách dễ dàng hơn Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảmdần phù hợp với trình độ của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải quyết bàitoán đó

Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từngdạng Toán, sẽ góp phần thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho họcsinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa,…Hơn nữa,còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết,tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá,…cácphẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp, cẩn thận, tính kỷ luật, ýthức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc… Mặt khác qua đó từng bướcgiúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đất nước đang trên conđường công nghiệp hoá, hiện đại hoá, đáp ứng yêu cầu của con người mới trongnền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ thông tin, tin học đang có ảnhhưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống

Tuy nhiên ở Trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển tưduy thuật giải chưa được quan tâm đúng mức, chỉ diễn ra một cách tự phát, chưacó sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn giáo viên thực hiện Do đó, giáo viên chưathành thạo trong việc khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rènluyện và phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.

Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội dungđó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài tập, các nộidung khác có liên quan

1.4 Số các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật giải còn tươngđối ít, trong các công trình đó có thể kể tới luận án tiến sĩ của Vương Dương Minh:

“Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ơ trường phổ thông”(1998); luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị: “Vận dụng tư duy thuật toán vào việc xác định hình để giải các bài toán hình học không gian ơ trường phổ thông trung học”(1996); luận văn thạc sĩ của Chu Hương Ly: “Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình"(2007); luận văn thạc sĩ của Dương Văn

Kha:“Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học hình học không

gian lớp 11”(2009) Các công trình đã đề cập đến nội dung kiến thức: Hệ thống số,

hình học không gian, phương trình mà chưa đề cập đến nội dung kiến thứcĐại số 9

Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận

văn là: “Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học

giải Toán Đại số 9”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm kiếm giải pháp để rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh khi dạy họcchủ đề Đại Số 9 Trung học cơ sở

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Tư duy thuật giải là gì ? Tại sao cần phải phát triển tư duy thuật giải chohọc sinh ?

3.2 Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần dựa trên những cơ sở lýluận nào ?

3.3 Thực trạng của việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho họcsinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở như thế nào ?

3.4 Có thể xây dựng thuật giải với nội dung kiến thức Đại số 9 cho học sinhhay không ?

3.5 Những quan điểm chủ đạo nào để rèn luyện và phát triển tư duy thuậtgiải cho học sinh trong dạy học giải Toán Đại số 9 ?

3.6 Kết quả thực nghiệm sư phạm là như thế nào ?

4 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

4.1 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán Đại số 9;

- Nghiên cứu hoạt động xây dựng thuật giải trong giải bài tập Toán 9;

4.2 Phạm vi nghiên cứu

Khảo sát thực tế trên địa bàn các trường Trung học cơ sở ở tỉnh Đồng Tháp;

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp giảng dạy môn Toán, cáctài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học, Sách giáo khoa, Sách giáo viên, các tài liệutham khảo có liên quan để làm điểm tựa đề xuất các biện pháp rèn luyện tư duythuật giải cho học sinh

5.2 Phương pháp điều tra quan sát

- Điều tra chất lượng học sinh trước và sau khi thực nghiệm

- Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về việc rèn luyện tư duy thuật giảicủa giáo viên và học sinh

- Trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên về vấn đề phát triển và rènluyện tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quan điểmchủ đạo mà luận văn đề ra về rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc rèn luyện tư duy thuật giải

cho học sinh Trung học cơ sở khi dạy học giải toán Đại số 9 thông qua một số giải

pháp tư duy thuật giải thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ năng, năng

lực giải toán, nâng cao hiệu quả giảng dạy môn Toán ở Trường phổ thông

7 DỰ KIẾN NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

7.1 Hệ thống cơ sở lý luận cho việc phát triển tư duy toán học đối với học sinh 7.2 Xây dựng các quan điểm chủ đạo nhằm phát triển và rèn luyện tư duythuật giải cho học sinh trong việc giải toán Đại số 9

7.3 Kết quả nghiên cứu của luận văn là tài liệu tham khảo cho giáo viêntoán trung học cơ sở

8 DỰ KIẾN CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần Mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.2 Tư duy thuật giải

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Trung học

cơ sở

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong dạy học môn Toán

1.5 Vấn đề rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán ởtrường phổ thông

1.6 Thực trạng của vấn đề phát triển và rèn luyện tư duy thuật giải cho họcsinh trong dạy học môn Toán nói chung và Đại số 9 nói riêng (khảo sát tại một sốtrường Trung học cơ sở ở Đồng Tháp)

1.7 Kết luận chương 1

Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh Trung học cơ sở trong dạy học giải toán Đại số 9

2.1 Phân tích nội dung kiến thức Đại số 9 trong Chương trình môn ToánTrung học cơ sở

2.2 Một số giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy thuật giải cho học

sinh trong dạy học Đại số 9

Giải pháp 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức toán học cần quan tâm xây

dựng các quy trình dạy học.

Giải pháp 2: Chú ý thích đáng việc truyền thụ những tri thức phương pháp

về tư duy thuật giải trong khi tổ chức, điều khiển tập luyện các hoạt động

Giải pháp 3: Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc tập luyện thành thạo các quytắc, thuật giải đã biết và xây dựng quy trình có tính chất thuật giải trong khi dạyhọc Đại số 9

Giải pháp 4: Chú ý sử dụng hợp lí hình thức dạy học phân hóa trong quá

trình rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh

3 4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3 5 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận chung của luận văn.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Một số khái niệm cơ bản liên quan đến việc phát triển và rèn luyện tư duy,

tư duy thuật giải

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm

“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quanhệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết”[48, tr.1]

Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở góc

độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời gian vàtrạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giác quan cáiđang tác động Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lý tính, trên cơ sở của nhậnthức cảm tính Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ cótính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều mà con người chưabiết cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Tư duy thuộc mức độ nhận thức lý tính, nó có những đặc điểm cơ bản sau:

- Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn

cảnh, những tình huống “có vấn đề” Tức là những tình huống chứa đựng một mụcđích một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủsức giải quyết Để đạt được mục đích mới đó con người phải tìm cách thức mới đểgiải quyết nghĩa là phải tư duy Nhưng hoàn cảnh có vấn đề đó phải được cá nhânnhận thức một cách đầy đủ, chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân, tức là cá nhânphải xác định cái gì đã cho, cái gì cần tìm và phải có động cơ tìm kiếm các yếu tốđó

- Tính gián tiếp của tư duy: Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy, nhờ

ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc công thức, quyluật, khái niệm,…) vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,

…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng Nhờ đó mởrộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy:

Tư duy không phản ánh sự vật hiện tượng một cách cụ thể, riêng lẻ mà có khảnăng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt cụthể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng Từđó khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ có những thuộc tính bản chất chungthành một nhóm, một loại, một phạm trù Tính trừu tượng và khái quát của tư duygiúp con người không những giải quyết được nhiệm vụ ở hiện tại mà còn có thểgiải quyết được nhiệm vụ ở tương lai

- Tư duy và ngôn ngữ:

Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau Nếu không có ngônngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra được Ngôn ngữ cố định lạicác kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy Ngược lại nếukhông có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa Muốn pháttriển tư duy phải gắn với trao dồi ngôn ngữ Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tưduy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: X.L.Rubinstein

khẳng định “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồnhư làm thành chỗ dựa cho tư duy” [43, tr 9] Tư duy thường bắt đầu từ nhận thứccảm tính, trên cơ sở đó mà nảy sinh “tình huống có vấn đề” Tư duy và những kếtquả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảmtính, làm cho con người nhạy bén hơn, tri giác mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.Ph.Angghen đã viết: “Nhập vào với con mắt của chúng ta chẳng những có các cảmgiác khác mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa”

- Tư duy là một quá trình: Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy

có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kếtiếp nhau được minh hoạ bởi sơ đồ (do K K Plantônôv đưa ra):

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Sơ đồ 1

[43, tr 10]

- Quá trỡnh tư duy là một hành động trớ tuợ̀: Quỏ trỡnh tư duy được diễn ra

bằng cỏch chủ thể tiến hành những thao tỏc trớ tuợ̀ nhṍt định Có rṍt nhiờ̀u thao tỏctrớ tuợ̀ tham gia vào một quỏ trỡnh tư duy cụ thể với tư cỏch một hành động trớ tuợ̀:phõn tớch, tụ̉ng hợp, so sỏnh, trừu tượng hoỏ, khỏi quỏt hoỏ,

1.1.3 Cỏc thao tỏc tư duy

Vờ̀ bản chṍt, tư duy là một quỏ trỡnh cỏ nhõn thực hiợ̀n cỏc thao tỏc trớ tuợ̀ đểgiải quyết vṍn đờ̀ hay nhiợ̀m vụ đặt ra

1.1.3.1 Phõn tớch – tổng hợp

Phõn tớch là quỏ trỡnh dùng trớ óc để phõn chia đối tượng nhận thức thànhnhững “bộ phận”, những thuộc tớnh, những mối liờn hợ̀ và quan hợ̀ giữa chỳng đểnhận thức đối tượng sõu sắc hơn

Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận” đã đượcphân tích.

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau tạothành sự thống nhất không tách rời được

Ví dụ 1: Để tìm công thức tính diện tích của hình bình hành, ta chia hình

bình hành đó thành hai tam giác rồi tính diện tích hai tam giác đó Tổng diện tíchhai tam giác là diện tích hình bình hành Như vậy việc phân tích hình bình hànhthành hai tam giác sau đó tổng hợp lại đi đến công thức tính diện tích hình bìnhhành là tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng

1.1.3.2 So sánh

So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sựđồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đốitượng nhận thức

Ví dụ 2: So sánh hai khái niệm: Đường tròn và mặt cầu.

Giống nhau: Gồm các điểm M sao cho OM = R

Khác nhau: Đường tròn: Các điểm M cùng thuộc một mặt phẳng

Mặt cầu: Các điểm M thuộc không gian

1.1.3.3 Trừu tượng hóa và khái quát hóa

Trừu tượng hóa là quá trình dùng trí óc để gạt bỏ những mặt, những thuộctính không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để

tư duy

Ví dụ 3: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy là đa giác, đỉnh và

các mặt bên là các tam giác, ta không để ý đến các thuộc tính cụ thể như hình chópđều, hình chóp tam giác, …

Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhauthành một nhóm, một loại theo những thuộc tính chung nhất định

Ví dụ 4: Từ các trường hợp hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông nội

tiếp trong đường tròn, có thể khái quát hóa điều kiện để tứ giác nội tiếp trongđường tròn

Trừu tượng hóa và khái quát hóa có mối quan hệ mật thiết với nhau, chi phốivà bổ sung cho nhau như mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp nhưng ở mức độcao hơn

1.1.4 Một số loại hình tư duy Toán học

Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Trong toán học có một sốloại hình tư duy sau:

- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng;

- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo;

- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp;

- Tư duy thuật giải;

- Tư duy hàm

Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối Hiện naychưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất Mặc dù mỗi loại hình tư duy có nhữngđặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không hoàn toàn độc lập với nhau, giữachúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau Tư duy thuật giải là một trong những thànhphần quan trọng của tư duy toán học Rèn luyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽgóp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh

1.2 Tư duy thuật giải

1.2.1 Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

1.2.1.1 Thuật giải

Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phứctạp Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trìnhgiải Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuậtgiải

“Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉdẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại

kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra(OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [19, tr 376 - 377]

Còn theo [29, tr 12] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quyđịnh một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên nhữngđối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mongmuốn”

Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những tínhchất cơ bản và quan trọng sau:

* Tính đơn trị

Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải đơntrị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùngmột đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này nói lên tính hình thứchoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiệnthuật giải thay thế con người

Ví dụ 1: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất:







= +

= +

' '

a

c by ax

Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’

Bước 2: Tính các định thức:

D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c

Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0

Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5

Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0

Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;

Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm

Bước 5: Kết luận:

Hệ có nghiệm duy nhất: (x; y) = (Dx Dy; )

D D

Trong Ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong mỗi bước nếu ta cholần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của các học sinhlà như nhau

Xét ví dụ sau:

Ví dụ 2: Quy trình 4 bước để giải một bài toán.

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Bước 2 Tìm đường lối giải toán

Bước 3 Thực hiện chương trình giải toán

Bước 4 Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải

Quy trình này không phải là một thuật giải vì tính đơn trị bị vi phạm Chẳnghạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu vàlàm theo nhiều cách khác nhau

Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật giải Bất kể

cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứkhông cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này Tính chất này hết sức quantrọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làmmột số công việc thay thế cho con người

Ví dụ 3: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất của hai số x, y ( ,x y∈ Ν \ 0;1 ){ } .Bước 1: Phân tích x, y ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất (x)

Bước 3: Kiểm tra xem trong số thứ hai (y) thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhấtcủa số thứ nhất (x) không ?

Nếu có thì chuyển sang bước 4

Nếu không thì chuyển sang bước 5.

Bước 4: Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số và chuyển sangbước 6

Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất (x) và chuyển sang bước 6Bước 6: Kiểm tra trong số thứ nhất (x) còn lại thừa số nào chưa xoá không?Nếu còn thì trở lại: Bước 2 bước 3

Nếu không chuyển sang bước 7

Bước 7: Kiểm tra xem có thừa số nào viết riêng không ?

Nếu có thì nhân tất cả các thừa số đã viết riêng Tích của các số đó chính làước chung lớn nhất của hai số x và y

Nếu không thì ước chung lớn nhất của hai số x và y là 1

Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một sốhữu hạn các thừa số nguyên tố

Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một sốhữu hạn bước trong x không còn số nguyên tố nào Khi đó thuật giải thu được kếtquả mong muốn

* Tính đúng đắn

Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt

ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật giải không cho phép kết quả saihoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp

Ví dụ 4: Giải phương trình ax + b = 0.

Bước 1: Xác định các số a, b

Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b

Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a

Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x =

Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải Nó không đầyđủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0 Khi đó, ta không chia hai vế được cho a Ta cần cóbước kiểm tra trường hợp a = 0

* Tính phổ dụng

Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc vớinhững dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuậtgiải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán

Ví dụ 5: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất áp dụng cho mọi cặp số nguyên

(x,y), thuật giải phương trình bậc hai: ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) áp dụng cho mọi

phương trình bậc 2

* Tính hiệu quả

Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là

- Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

- Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian

- Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khimà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải

Các hình thức biểu diễn thuật giải:

Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau Trong môn toán và trongthực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:

Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trìnhvà các ngôn ngữ lập trình

Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax2+ bx +c = 0 (a ≠ 0) để minh hoạcho các hình thức biểu diễn thuật giải

Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Biểu diễn thuật giải theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học người ta sửdụng ngôn ngữ thường ngày và ngôn ngữ toán học để liệt kê các bước của thuậttoán Phương pháp biểu diễn này không yêu cầu người viết thuật giải hay ngườiđọc thuật giải phải nắm các quy tắc Tuy nhiên cách biễu diễn thường dài dòng,

không thể hiện rõ cấu trúc thuật giải, thường gây hiểu nhầm hay khó hiểu chongười đọc

Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c)

+ Nếu ∆ > 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Kết thúc

Dạng 2: Sơ đồ khối

Sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật giải Biểu diễnthuật giải bằng sơ đồ sẽ giúp người đọc theo dõi được sự phân cấp các trường hợpvà quá trình xử lý của thuật giải Phương pháp sơ đồ khối thường được dùng trongnhững thuật giải có tính rắc rối, khó theo dõi được quá trình xử lý

Để biểu diễn thuật giải theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao tác:thao tác lựa chọn và thao tác hành động

* Đường đi.

Trong ngôn ngữ sơ đồ khối, do thể hiện các bước bằng hình vẽ và có thể đặtcác hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phương pháp thể hiện trình tự thựchiện các thao tác

Hai bước kế tiếp nhau được nối bằng một mũi tên chỉ hướng thực hiện.Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hướng đi, một hướng ứng với điều kiệnđúng, một hướng ứng với điều kiện sai

* Điểm cuối

Điểm cuối là điểm bắt đầu và kết thúc của thuật giải, được biểu diễn nhưsau: Hình elip

(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)

* Thao tác nhập xuất dữ liệu được biểu diễn bằng một hình bình hành bêntrong chứa nội dung nhập, xuất

Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật giải có sơ đồkhối lớn

đầu

Sơ đồ thuật giải phương trình bậc hai.

a b x

Pt có 2 nghiệm phân biệt

Sơ đồ mô tả thuật giải một cách trực quan nhưng lại rất cồng kềnh khi phải

mô tả những thuật giải phức tạp Một phương pháp khác để biểu diễn thuật toánkhắc phục nhược điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình

Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình

Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trường hợpcủa thuật giải nhưng lại cồng kềnh Để mô tả thuật giải nhỏ ta phải dùng mộtkhông gian rất lớn Hơn nữa, lưu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa chọncó điều kiện) và xử lý mà trong thực tế các thuật giải còn có các lặp

Biểu diễn thuật giải bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự vaymượn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C++, ) đểthể hiện thuật giải Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi người, dễ học

vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và chưa quá sa đà vào những quy ước chi tiết.Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính điện tử vì đã sửdụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa

Ví dụ 6: Thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình.

* 2

−

=Else (trường hợp Delta < 0)

Inra: phương trình vô nghiệm

End

Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL

Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trìnhnhư trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn nhưPASCAL.

1.2.1.2 Quy tắc tựa thuật giải

Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy định nghiêmngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ Tuy nhiên trong quá trình và thực tiễndạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặctrưng của thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm đó có nhiều tác dụng trongviệc hướng dẫn học sinh giải toán

Khái niệm quy tắc tựa thuật giải

Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa mang đủ đặcđiểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõhiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó chỉ là những quy tắc có thểcoi là tựa thuật giải, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện

được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toánthành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó

Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữuhạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thôngtin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó”[19, tr 377]

Ví dụ 7: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x)

Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là ∆x Tính số gia của hàm số:

Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm

x Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các bước tiếnhành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x Tuy nhiên có những chỉ dẫn chưa mô

tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3 về việc tìm Δx 0lim→

+ Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x).

+ Bước 2: Xét xem D có đối xứng qua 0 hay không (tức x ∈ D ⇒−x∈ D)?Nếu đúng, chuyển sang bước 3

Nếu sai, kết luận hàm số f(x) không chẵn, không lẻ

+ Bước 3: Tính f(−x)

+ Bước 4: Xét xem f(−x) = f(x) với mọi x ∈ D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số chẵn

Nếu sai, chuyển sang bước 5

+ Bước 5: xét xem f(−x) = − f(x) với mọi x ∈ D hay không?

Nếu đúng, kết luận f(x) là hàm số lẻ

Nếu sai, kết luận f(x) là hàm số không chẵn, không lẻ

Rõ ràng, trong các bước 4 và bước 5, không có một chỉ dẫn nào cho biết

cách thức kiểm tra f(−x) = − f(x) hoặc f(-x) = f(x) với mọi x ∈ D được hay không

Vì thế, có nhiều trường hợp các bước này không thực hiện được nên bài toán đặt ra

ta không giải được

Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:

+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;

+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị;

+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.

Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giảicũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động và giảitoán

1.2.2 Tư duy thuật giải

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người phát triểntrong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng: Phươngpháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt độngvà bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt độnggiao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là mộtquá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghinhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiệncác chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy

sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tíchcực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệvới nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một

số trong những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành nhữnghoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với

độ phức hợp vừa sức họ

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệtlà tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạtđộng khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thểlại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạtđộng theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học.Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động.Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểmhoạt động làm nền tảng Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tómtắt qua những Tư tưởng chủ đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tươngthích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phươngtiện và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.[19, tr 124]

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt động sau:

T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuậtgiải

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo mộttrình tự xác định

T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thànhmột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động.

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc

Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải

Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải Cả 5 hoạt

động trên được gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải

Như vậy có thể phát biểu rằng: “Tư duy thuật giải là phương thức tư duybiểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”[29, tr 28]

Khái niệm tư duy thuật giải được xác định như trên là hoàn toàn phù hợp vớinhững kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải Tác giả Monakhôp đãnêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao gồm:

- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất ngônngữ là phương tiện biểu diễn thuật giải

- Nắm vững các phương pháp và các phương tiện biểu diễn thuật giải

- Hiểu tính chất thuật giải của các phương pháp toán học và các ứng dụngcủa chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông

- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử

Như vậy, phát triển tư duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phầnhình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh [29, tr 28 – 29]

Từ khái niệm về tư duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển tư duy thuật giảicho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các hoạt động

tư duy thuật giải Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững, củng cố cácquy tắc đồng thời phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

1.3 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh ở trường phổ thông

Trong điều kiện ngày nay, sự hiểu biết của con người luôn đổi mới để đáp

ứng tốc độ phát triển của xã hội Tăng cường rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo toán học

cần thiết trong thực tiễn, giải quyết vấn đề với phương pháp hợp lý, ngắn gọn, tiếtkiệm thời gian, tư duy Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinhtrong dạy học toán ở học sinh phổ thông là rất quan trọng và cần thiết, góp phầnphát triển các hoạt động khác của toán học Tác giả Nguyễn Bá Kim đã khẳng định

sự cần thiết của việc phát triển tư duy thuật giải như sau:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được tự động hóa trong nhữnglĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cáchgiữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảng củaviệc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc củaquá trình thực hiện thuật toán, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năngcủa con người cho máy thực hiện

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giảibài toán bằng máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bảncủa việc lập trình Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâuđó

- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trườngphổ thông, rõ nét nhất là môn Toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnhhội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tậphợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…

- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển các năng lực trí tuệ chung nhưphân tích, tổng hợp, khái quát hóa,…và hình thành những phẩm chất của người laođộng mới như tính ngăn nắp, kỷ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra …[19, tr 382]

1.4 Một số yếu tố của tư duy thuật giải trong môn Toán

Tư duy thuật giải được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thựchiện, xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải Qua các tình huống điểnhình trong dạy học toán Tư duy thuật giải có mặt ở các cấp học, các môn trong bộmôn toán: Khi học môn số học, học sinh được biết các thuật giải tìm ước chung lớnnhất, bội chung nhỏ nhất… Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh

thường mang tính thuật giải Trong Đại số, học sinh được học các thuật giảiphương trình bậc nhất, phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất…Trong dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức có thể rèn luyện tư duy thuậtgiải cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học sinh phát hiện, xây dựng các thuậtgiải và quy tắc tựa thuật giải để giải một số bài toán, dạng toán (dạng toán này sẽđược trình bày ở Chương 2).

1.4.1 Thực hiện thuật giải

Trong Chương trình toán phổ thông, học sinh được học, thực hiện nhiềuthuật giải như: Thuật giải tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, thuật giảiphương trình, hệ phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậcnhất với sinx và cosx: asinx + bcosx = c,…

Ví dụ 1: Ở chương trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải

phương trình bậc hai: ax2 +bx +c = 0, (a ≠ 0), giáo viên có thể cho học sinh nêucác bước giải phương trình bậc hai như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c

Bước 2: Tính biệt thức ∆ = b2- 4ac

Bước 3: Xét dấu ∆

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1= x2 =

a

b x

2

2

2 1

Bước 4: Trả lời

Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T2) và (T4) của tưduy thuật giải cho học sinh

Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau

Bài tập: áp dụng quy tắc giải phương trình bậc hai, hãy giải các phương trìnhsau:

Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T1) Dođó cần hướng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bước đã nêu trong quytắc Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phương trình, phần bảng cònlại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc Tiến hành nhất quán như vậy trongmột thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải phương trình bậc hai,đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật giải

Ví dụ 2: Dạy học sinh quy tắc giải phương trình: ax + b = 0.

Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu cầuhọc sinh giải bài tập sau:

Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng sẽ gặp lúng túng khigiải câu (b) Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏigợi ý như sau:

+ Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trườnghợp, đó là những trường hợp nào?

(Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm)

+ Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong từngtrường hợp?

(Có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệmkhi a = 0, b ≠ 0)

+ Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?

Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

Dạy học khái quát hóa như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trường hợpriêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm) Một phương án khác để dạyhoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trường hợp riêng Trường hợp riêngnày cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóa từ đó Lúc họcsinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống sưphạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức Theo phương án đó thì có thể hình thànhquy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau:

Ví dụ 3: Khi dạy nội dung phương trình quy về bậc hai, đối với học sinh khá,

giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0; b x4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 = 0;

c x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0

Đứng trước bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học sinhmới chỉ gặp phương trình bậc 4 trùng phương Giáo viên có thể hướng dẫn họcsinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hướng sau đối với phương trình (a).

+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phương trình không?

+ Hãy chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 Nêu đặc điểm của phươngtrình mới nhận được?

Ta mong đợi học sinh trả lời: (a) ⇔ 2 2 +3 −16+ 3 + 22 =0

x x x

+ Để giải phương trình ta làm thế nào?

Ta mong đợi học sinh trả lời: Đặt 1 1 2 2

2

2 + = −

⇒+

x

x x x

Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phương trình và các phươngtrình còn lại khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm giúp họcsinh giải bài toán tổng quát như sau:

+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phương trình?

Ta mong học sinh trả lời: phương trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ số 16), phương trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phương trình (c) các hệ sốđối xứng qua hệ số (- 4)

(-+ Từ đặc điểm đó hãy nêu phương trình dạng tổng quát?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Phương trình dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0, với a ≠ 0

+ Từ cách giải các phương trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giải phươngtrình trên?

Ta mong đợi học sinh trả lời:

Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ≠ 0 và biến đổi phương trìnhvề dạng

01

x x b x

x a x

a x

b c bx

x

x x x

Bước 4: Giải phương trình: at2 + bt - 2a + c = 0, được nghiệm t0

Bước 5: Giải phương trình: 1 0

t x

Bước 6: Trả lời

Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học sinhhoạt động (T2), (T3) và (T4) của tư duy thuật giải Để củng cố các hoạt động này,giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a x4 + 3x3 - 6x2 - 3x + 1 = 0; b 2x4 + x3 + 11x2 - x + 2 = 0

Bài tập 3 Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó

Các Ví dụ trên đã minh họa cho việc tập luyện các hoạt động của tư duy

thuật giải Trong thực tế, việc tập luyện các hoạt động này sẽ không được tách ramột cách rành mạch, khi tập luyện hoạt động này có sự tham gia của các hoạt độngkhác Nói tới tập luyện hoạt động tư duy thuật giải nào đó trong khi giải một bàitoán là để nhấn mạnh đến hoạt động đó mà thôi

Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:

+ Cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giảitạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự các bước của thuậtgiải đó

+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tự xácđịnh, tuy nhiên cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu Nếuhọc sinh không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc các quytắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫn không giảiquyết được yêu cầu của công việc

1.4.2 Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải

Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, học sinh cũng cần đượcrèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải Đặc biệt, trong giảitoán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải sẽ giúphọc sinh sử dụng chúng thực hiện tốt, nhanh gọn, chính xác yêu cầu của bài toán

Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán

Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC

sao cho MN cắt BC Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (BCD)

⇒ K chính là giao điểm của BC và MN.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích quá trình tìm điểm K.

• K được xác định bởi: K = BC ∩MN

• Muốn có K phải tìm BC

• BC là giao tuyến (BCD) và mặt phẳng chứa MN nên muốn có BC phảitìm mặt phẳng chứa MN

* Từ phân tích trong ví dụ trên, giáo viên giúp học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài toán 2: Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)

Quy tắc tựa thuật giải:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a

Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q)

Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b.

Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm

Hình 1

Hình 2

1.4.3 Tư duy thuật giải được rèn luyện, phát triển khi dạy học những tình huống điển hình

- Dạy học khái niệm;

- Dạy học định lý;

- Dạy học quy tắc, phương pháp;

- Dạy học giải bài tập toán học

1.4.3.1 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học khái niệm

Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố vàvận dụng khái niệm Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động cơ bản

để củng cố, vận dụng khái niệm Trong nhiều trường hợp ta có thể xây dựng thuậtgiải để nhận dạng khái niệm

Ví dụ 2: Nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số.

Nội dung của khái niệm hàm số là hội của hai điều kiện như sau:

• Điều kiện P1:

Với mỗi phần tử x ∈ R đều tồn tại một phần tử tương ứng y ∈R

• Điều kiện P2:

Với mỗi phần tử x ∈ R thì phần tử tương ứng y là duy nhất

Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng khái niệmhàm số:

Kết thúc

Sơ đồ 3

Trường hợp tổng quát

Khi tính chất đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện thì định nghĩacó cấu trúc:

x∈A(x) ⇔B1(x)ΛB2(x) Λ…ΛBn(x)

Ta có thể hướng dẫn học sinh dùng thuật giải sau để nhận dạng khái niệm:

Sơ đồ 4

1.4.3.2 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học định lý

Các định lí và các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môntoán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suyluận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩmchất và đạo đức cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp học sinh nắm đượchệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó học sinh có khả năng

+

Kết thúc

Bi(x)

i < nBắt đầu

vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thựctiễn.

Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp học sinh xây dựng được các thuật giải,quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt để học sinhtiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán

Ví dụ 3: Khi dạy học định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể hướng dẫn, giúp

học sinh xây dựng quy tắc thuật giải thể hiện định lí để xét dấu của tam thức bậchai f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) như sau:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và dấu của a

Bước 2: Tính biệt số ∆= b2 – 4ac

Bước 3: Áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai:

−

−

1.4.3.3 Rèn luyện tư duy thuật giải trong dạy học giải bài tập toán

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán Bởi lẽ, nó không chỉyêu cầu học sinh tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện, các hoạt

động trí tuệ phổ biến trong toán, các hoạt động trí tuệ chung,…mà còn trực tiếpliên hệ thuật giải và qui tắc tựa thuật giải Thông qua giải bài tập có thể rèn luyện,phát triển tư duy thuật giải cho học sinh Mặc dù không có thuật giải tổng quát nàocó thể giải được mọi bài toán, tuy nhiên trong quá trình giải toán và tìm tòi, xâydựng những thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cho một số lớp các bài toán sẽ giúphọc sinh dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức, hệ thống kiến thức và giúp học sinhcó những tri thức phương pháp trong giải toán.

Ví dụ 4: Hướng dẫn học sinh xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD từ bài toán cụ thể sau:

Cho hình chóp đều S.ABCD: AB = a, SA = 2a Xác định tâm mặt cầu ngoạitiếp hình chóp

* Phân tích:

Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Do IA = IB = IC = ID nên I ∈ dtrong đó, d là đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại tâm O của đường tròn ngoạitiếp đáy ABCD (d gọi là trục của đường tròn tâm O) Tứ giác ABCD là hình vuôngnên O là giao của AC và BD

Mặt khác: IA = IB = IC = ID = IS nên I ∈ (P) trong đó (P) là mặt phẳngtrung trực của một cạnh bên Từ đó ta có I là giao của (P) và d

Như vậy ta cần:

• Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.

• Tìm d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

• Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên

• Tìm giao điểm I của d và (P)

* Từ bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn xây dựng qui tắc tựa thuật

giải cho bài toán:

Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bước 1: Kiểm tra đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp

Hình 3