Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

Một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo định hướng góp phần rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông”...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Ngọc Sơn

Nghệ An - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Đàng Quang Vinh

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường Đại học học Vinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau đại học trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu, phòng Tổ chức cán bộ trường Đại học Sài Gòn; cùng tất cả quý thầy (cô) giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khóa 19, ngành Toán của trường Đại học Vinh đặt tại trường Đại học Sài Gòn

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT Nguyễn Huệ, tỉnh Ninh Thuận – nơi tôi đang công tác giảng dạy; và Ban Giám hiệu, tổ Toán trường THPT An phước, THPT Phạm Văn Đồng, tỉnh Ninh Thuận đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tiến hành khảo sát thực trạng dạy học

Tác giả

Đàng Quang Vinh

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6

1.1 Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông hiện nay 6

1.1.1 Yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông về đổi mới phương pháp dạy học 6

1.1.2 Thực trạng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông 8

1.1.2.1 Thực trạng chung 8

1.1.2.2 Thực trạng “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” và rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 11

1.2 Một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo định hướng góp phần rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông” 17

1.2.1.Khái niệm về tư duy 17

1.2.2 Các thao tác tư duy……… 21

1.2.3 Đặc điểm tư duy lôgic của học sinh trung học phổ thông 25

1.2.4 Vấn đề rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông hiện nay 27

1.2.4.1 Đặc điểm cấu trúc nội dung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình môn Toán trung học phổ thông ……… 27

1.2.4.2 Vấn đề rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình môn Toán trung học phổ thông 37

1.3 Kết luận chương 1 40

Chương 2: BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN TƯ DUY LÔGIC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 41

2.1 Định hướng đề xuất biện pháp 41 2.2 Một số biện pháp rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy học

giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 42

2.2.1 Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ 42

2.2.1.1 Chuyển đổi từ ngôn ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học 42

2.2.1.2 Chuyển đổi từ ngôn ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ hình học… 45

2.2.1.3 Chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số, lượng giác sang ngôn ngữ vectơ, tọa độ……… 46

2.2.1.4 Chuyển đổi từ ngôn ngữ đại số sang ngôn ngữ lượng giác……… 48

2.2.1.5 Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ đại số, giải tích……… 51

2.2.1.6 Chuyển đổi trong nội tại của một ngôn ngữ……… 54

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng lập luận 56

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng suy luận quy nạp 66

2.2.4 Rèn luyện kĩ năng phán đoán 75

2.2.5 Rèn luyện kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá 84

2.3 Kết luận chương 2 90

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 91

3.1 Mục đích thực nghiệm

91 3.2 Quá trình thực nghiệm 91

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 91

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 91

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 92

3.3.1 Nội dung đề kiểm tra thực nghiệm

92 3.3.2 Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra

93 3.3.3 Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm 97

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 98

KẾT LUẬN 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO 10

0

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học;bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kĩ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú họctập cho học sinh" (Luật Giáo dục 2005, chương II, mục 2, điều 28)

Thực tế cho thấy, việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh biếtcách tự học, góp phần rèn luyện tư duy lôgic, còn chưa đáp ứng yêu cầu phát triển của

xã hội Xác định đúng nguyên nhân, từ đó, tìm kiếm giải pháp khả thi, tạo nên sự thayđổi thực sự trong phương pháp dạy học, góp phần rèn luyện tư duy lôgic cho học sinhTHPT, thông qua dạy học toán nói chung, dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất nói riêng, là một trong những vấn đề cần được nghiên cứu hiện nay của giáodục Toán học phổ thông

Dạy học giải toán nói chung, dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất nói riêng, là một trong những yêu cầu cơ bản của hoạt động dạy toán Thực tiễndạy học giải toán cho thấy, nhiều bài toán, để giúp học sinh tìm lời giải, đòi hỏi giáoviên phải biết cách hướng dẫn học sinh thực hiện quá trình tư duy lôgic, biến đổi bàitoán, phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh Đây là việc làm không dễ dàng đốivới nhiều giáo viên dạy học môn Toán

1.2 Phương pháp tư duy là vừa là “công cụ”, vừa là mục đích của dạy học toán.Trong thư gửi các bạn trẻ yêu Toán ngày 10 tháng 10 năm 1967, cố Thủ tướng PhạmVăn Đồng đã viết “…Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học giữ một vai trònổi bật Nó có tác dụng lớn đối với nhiếu ngành khoa học khác, đối với kỹ thuật, đốivới sản xuất và chiến đấu Nó còn là một môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiềutrong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp họctập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo…” Pháttriển tư duy lôgic cho học sinh trong dạy học toán nói chung, dạy học giải toán tìm giá

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng, có thể rèn luyện thông qua việc sử dụng ngônngữ toán học, suy luận, phán đoán, phân tích, tổng hợp,

Trên thế giới, một số quốc gia, như: Trung Quốc, Malaysia, Singapore, Mexico,

…cho rằng, đổi mới giáo dục cần đổi mới phương pháp tư duy

Thước đo quan trọng cho năng lực sáng tạo của mỗi người trong nền kinh tế tríthức chính là tốc độ tư duy, khả năng chuyển hóa thông tin thành kiến thức và từ kiếnthức tạo ra giá trị, tạo ra sản phẩm Tony Buzan là người đi đầu trong lĩnh vực nghiêncứu tìm ra hoạt động của bộ não và phương pháp ghi nhớ từ một ý tưởng rất đơn giản

mà ông gọi là Mind Maps (bản đồ tư duy) Ở Việt Nam từ năm 2007 đến nay nhiềucuốn sách của ông đã được dịch ra tiếng Việt và thu hút sự quan tâm của rất nhiều độcgiả đó là cuốn: Bản đồ tư duy trong công việc; Bản đồ tư duy quản trị, Lập đồ tư duy,

…các cuốn này nhấn mạnh tầm quan trọng của phương pháp tư duy, cách ghi nhớ vàphát triển ý tưởng

1.3 Vấn đề tư duy lôgic và rèn luyện tư duy lôgic được nhiều nhà khoa học, nhàgiáo dục, quan tâm, nghiên cứu Nhiều luận án, luận văn, khoá luận, các bài báo khoahọc,… bàn về tư duy lôgic và rèn tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy học mônToán ở nhiều khía cạnh khác nhau Tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, PhạmGia Cốc trong cuốn Giáo dục học môn Toán đã khẳng định: “làm cho học sinh nắmđược phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập để từ đấy rènluyện năng lực tư duy lôgic” Tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy trong cuốnPhương pháp dạy học môn Toán đã nhấn mạnh: “Tư duy không thể tách rời ngôn ngữ

Nó phải diễn ra với các kiến thức ngôn ngữ; hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngônngữ Vì vậy việc rèn luyện tư duy lôgic phải gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chínhxác”

1.4 Dạy học giải bài tập toán nói chung, dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất nói riêng, có một vị trí quan trọng trong dạy học môn Toán ở trườngphổ thông, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩxảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn,… Chuyên đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là

một ứng dụng của bất đẳng thức, được sử dụng trong thi tuyển sinh Đại học và caođẳng, thi Học sinh giỏi các cấp, có nhiều ứng dụng vào thực tiễn Đây là một chuyên đềkhó, nhưng phong phú, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức toán học mới giải quyếtđược vấn đề, vì thế, có ưu thế trong việc góp phần phát triền tư duy lôgic cho học sinh.

Với các lý do trên nên chúng tôi đã chọn tên đề tài là:

“Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu đề xuất biện pháp rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạyhọc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất phù hợp với lý luận dạy học toán và thực tiễngiáo dục Toán học ở trường THPT hiện nay, nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường phổ thông

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề tư duy và tư duy lôgic

- Nghiên cứu một số biện pháp rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh phổ thôngthông qua dạy học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhằm nâng cao năng lực giảitoán

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá khả thi của các biện pháp đã đề xuất

4 GIẢ THIẾT KHOA HỌC

Trong dạy học toán nói chung, dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất nói riêng, nếu có biện pháp phù hợp để rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh, thì sẽphát triển được năng lực giải toán cho các em, đồng thời, góp phần nâng cao chất lượngdạy học môn Toán ở trường phổ thông

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu có liên quan trực tiếp đến đề tài

5.2 Điều tra - quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trìnhkhai thác các bài tập liên liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của luận văn

6 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

- Về lý luận: Góp phần làm rõ một số yếu tố có liên quan đến dạy học giải toán

tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo định hướng góp phần rèn luyện tư duy lôgiccho học sinh THPT

- Về thực tiễn: Đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực giải

toán thông qua rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh THPT trong quá trình dạy học giảitoán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằmgóp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3chương

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Vấn đề đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT hiện nay

1.2 Một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc “Dạy học giải toán tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo định hướng góp phần rèn luyện tư duy lôgic cho học sinhtrung học phổ thông”

1.3 Kết luận chương 1

Chương 2: BIỆN PHÁP GÓP PHẦN RÈN LUYỆN TƯ DUY LÔGIC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

2.1 Định hướng đề xuất biện pháp

2.2 Một số biện pháp rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạyhọc giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2.2.1 Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ2.2.2 Rèn luyện kĩ năng lập luận

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng suy luận quy nạp

2.2.4 Rèn luyện kĩ năng phán đoán

2.2.5 Rèn luyện kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá2.3 Kết luận chương 2

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Quá trình thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Chương trình giáo dục cấp THCS, cấp THPT quy định “phương pháp giáo dục

bao gồm các phương pháp phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng môn học, đối tượng học sinh; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh”[Chương trình giáo dục phổ thông cấp THCS, cấp THPT, NXBGD,

2006]

Hiện nay, phương pháp dạy học (PPDH) ở nước ta còn có nhược điểm: tri thứcđược truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; thiếu hoạt động tích cực

và sáng tạo của người học; chưa kiểm soát tốt việc học

Đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT hiện nay, vấn đề đặt ra là:

- Cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành vàphát triển năng lực tự học;

- Có thể chọn lựa và phối hợp một cách linh hoạt các PPDH, đảm bảo nguyên

tắc: “Học sinh tự hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo

viên”;

- Áp dụng hình thức tổ chức dạy học thích hợp nhằm đáp ứng nhu cầu học tập vàphát triển của cá nhân học sinh theo mục đích của mỗi loại bài học và mục đích chungcủa giáo dục;

- Cần khai thác, sử dụng có hiệu quả các thiết bị dạy học, nhất là ứng dụng côngnghệ thông tin trong dạy học

Việc đổi mới PPDH của giáo viên được thể hiện trong các luận điểm cơ bản sau:

1) Dạy học thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập để học sinh tựkhám phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắpđặt sẵn;

2) Chú trọng rèn luyện cho học sinh những tri thức phương pháp để họ biết cáchđọc sách giáo khoa và các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có,biết cách suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức mới;

3) Tăng cường phối hợp cá thể hóa việc học với học tập hợp tác, theo phương

châm “tạo điều kiện cho học sinh nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn và thảo luận nhiều

- Giáo dục không chỉ phục vụ cho số đông mà phục vụ cho nhu cầu của số đông;

- Giáo dục cần và có thể khai thác tối đa tiềm năng vốn có của con người đặc

biệt là tiềm năng sáng tạo Có thể nói: học tập là sáng tạo;

- Giáo dục cần cho người học một môi trường (không gian học tập, không khíđạo đức trong học tập, nội dung học tập phù hợp với mong muốn khả năng học sinh,hình thức tổ chức học tập đa dạng) để người học tự giác, tự do, tự phát hiện và giảiquyết vấn đề;

- Giáo dục vừa chú trọng tới sự phát triển của cá nhân, đồng thời phải đáp ứngyêu cầu phát triển xã hội

Đáp ứng những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ,không chỉ dừng ở việc nêu định hướng đổi mới phương pháp dạy học mà cần phải đisâu vào việc lựa chọn PPDH cho từng loại bài học Việc lựa chọn PPDH cho một bàihọc cụ thể phụ thuộc vào trình độ, năng lực của người giáo viên Tuy nhiên, giáo viêncần phải nắm được nguyên tắc chung để lựa chọn PPDH:

a) Chọn PPDH có khả năng thực hiện mục tiêu dạy học ở mức tốt nhất;

b) Chọn PPDH phải phù hợp với nội dung;

c) Chọn PPDH phải tính đến thói quen của học sinh, kinh nghiệm của giáo viên;d) Chọn PPDH phải phù hợp với điều kiện dạy học

1.1.2 Thực trạng đổi mới PPDH môn Toán ở trường THPT

1.1.2.1 Thực trạng chung

a Một số ưu điểm cơ bản

i) Hầu hết các trường đều quan tâm xây dựng đội ngũ giáo viên cốt cán trongmỗi bộ môn, trong đó đội ngũ giáo viên cốt cán môn Toán thường đóng vai trò tiênphong trong việc nghiên cứu về đổi mới PPDH và phát huy sáng kiến dạy học

ii) Đã chú ý hơn đến dạy học phân hóa thông qua một số hình thức như, tự chọntheo chương trình (chuẩn, nâng cao) hoặc theo chủ đề Vận dụng lý thuyết quản lý chấtlượng trong quá trình dạy học với ba công đoạn chủ yếu là:

- Lập kế hoạch bài học (đầu vào): xác định mục tiêu căn cứ vào Chuẩn kiến thức– kĩ năng, sách giáo khoa, sách giáo viên; chuẩn bị các điều kiện về phương tiện, bảngbiểu, phiếu học tập; thiết kế quy trình hoạt động của giáo viên và học sinh

- Thực hiện dạy học trên lớp: kiểm tra những kiến thức, kĩ năng đã có cần thiếtcho bài học; tổ chức các hoạt động học tập (trả lời câu hỏi, làm bài tập cá nhân hoặcnhóm, thực hành,…) thông qua điều khiển, chỉ dẫn của giáo viên; giám sát tiến trình vàđiều chỉnh hoạt động học tập khi cần

- Đánh giá kết quả học tập (đầu ra) ở từng đơn vị và toàn bộ bài học Rút kinhnghiệm cho việc lập kế hoạch và việc triển kế hoạch cho bài học tiếp theo

Trong quá trình lập kế hoạch bài học, giáo viên thường sử dụng nhiều tài liệu(hướng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức – kĩ năng, sách giáo khoa, sách giáo viên, sáchbài tập,…) và kết hợp chúng tương đối hợp lý với vai trò chủ đạo là sách giáo khoa.Trong quá trình thực hiện kế hoạch ở trên lớp, đã giảm dần tình trạng “đọc – chép”, ghinhớ máy móc, không bản chất Chú trọng nhiều hơn đến việc phát huy tính tích cực,hứng thú học tập Toán của học sinh thông qua hệ thống câu hỏi phát vấn và bài tậptrọng tâm, vừa sức với từng nhóm trình độ nhận thức.

Một bộ phận giáo viên đã tăng dần việc ứng dụng công nghệ thông tin trong cácbài giảng như thiết kế giáo án điện tử, sử dụng một số phần mềm Toán học chuyêndụng (Geometer’s Sketchpad, Cabri, Maple,…) trong từng khâu đặc thù như dự đoánquỹ tích, dựng hình, vẽ đồ thị, tính toán các biểu thức phức tạp, phát hiện kiến thứcmới, giải phương trình,…Rải rác ở các địa phương, đã có những cá nhân điển hình, tiênphong trong việc tự thiết kế các phần mềm phù hợp hơn cho việc giảng dạy Toán theochương trình phổ thông Việt Nam, hoặc thiết kế sẵn thư viện bài giảng điện tử, thư việnhình học phẳng, hình học không gian,…để đồng nghiệp cùng tham khảo sử dụng

iii) Đã có ý thức hình thành tri thức phương pháp cho học sinh như rèn luyệncách đọc sách giáo khoa, cách nhớ lại và liên kết các kiến thức đã có trong một tìnhhuống cụ thể, cách suy luận để tìm tòi lời giải, cách dự đoán để đưa ra các giả định khiphát hiện vấn đề mới,…thông qua việc tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với các tìnhhuống, giải quyết các nhiệm vụ học tập từ đơn giản đến phức tạp, phối hợp nhiều lầncác thao tác phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy lạ vềquen…Trong tiến trình dạy học Toán, hầu hết các giáo viên đều chú ý rèn luyện tư duylôgic và tư duy biện chứng, bước đầu chú ý đến tư duy phê phán và vận dụng kiến thức

đã học vào tình huống Toán học hoặc tình huống thực tiễn cụ thể

iv) Hầu hết các nhiệm vụ học tập được giao cho học sinh theo kiểu chung cả lớphoặc riêng từng nhóm Điều này sẽ giúp mỗi học sinh, vừa tự lực và độc lập, vừa gắnkết và hợp tác với nhau trong môi trường giao tiếp thầy – trò và trò – trò Từ đó các em

dần có các kỹ năng tự học, tự đọc sách giáo khoa và tự làm các bài tập trong tài liệutham khảo.

v) Nhiều giáo viên Toán cũng bắt đầu chú ý đến kiểm soát kết quả đạt mục tiêubài học trong tiến trình dạy học trên lớp thông qua các hình thức trả lời câu hỏi phátvấn, làm bài tập, tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau,…

có quan tâm đến hoạt động nhóm, nhưng nhiệm vụ giao cho mỗi nhóm lại thườnggiống nhau hoặc có độ khó tương đương

Nhìn chung, cách thiết kế giáo án ít phù hợp với mô hình học tập cá nhân cũngnhư không hỗ trợ hoạt động cá nhân (ví dụ, học sinh này phải làm một bài tập, học sinhkia phải làm hai bài tập; học sinh này cùng làm với giáo viên, học sinh khác có thể làmđộc lập) Do đó, việc tổ chức hình thức học tập phù hợp với trình độ nhận thức cá nhânhầu như chưa được chú ý (em này phải kèm cặp, em kia học nhóm, em khác phải đượctheo dõi đặc biệt,…) thì chưa phổ biến và thường xuyên

iii) Vẫn có tình trạng dạy học toán theo kiểu “hàn lâm”, ít gắn với thực tiễn cuộcsống Vì vậy, học sinh có thể giải quyết được bài toán khó (phối hợp nhiều phươngpháp khác nhau, tính toán phức tạp, hình khối dích dắc,…), nhưng lại lúng túng khi gặpcác tình huống thực tiễn mà phương pháp giải quyết chỉ cần những kiến thức Toán học

đơn giản Điều này là một thách thức lớn trong việc hình thành và phát triển năng lựcvận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề cuộc sống cho học sinh.

iv) Một số giáo viên ít quan tâm đến việc gợi ý hoạt động hay quy trình làm việcthích hợp với từng học sinh, nên hạn chế phần nào đến việc hình thành phương pháphọc tập, phát triển các kỹ năng tự học cho các em

v) Còn có giáo viên chưa biết tự đánh giá mức độ đạt mục tiêu bài học, chưa gắnkết chặt chẽ giữa yêu cầu của chương trình (thể hiện qua chuẩn kiến thức, kĩ năng), vớihoạt động dạy học của bản thân và hoạt động học tập của học sinh

1.1.2.2 Thực trạng “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” và rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh THPT trong dạy học giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

a Thực trạng “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất”

Qua tìm hiểu cách dạy, học nội dung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và thamkhảo ý kiến một số giáo viên có kinh nghiệm cho thấy: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất là một dạng toán khó, phức tạp và rất rộng đòi hỏi học sinh phải hiểu sâurộng mới giải được, thường học sinh chỉ biết một cách giải và có thể có những học sinhkhông làm được Dạng toán này thường có trong các kỳ thi Học sinh giỏi, kỳ thi Tốtnghiệp THPT, kỳ thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng chính quy Thực tế ở trường phổthông, giáo viên chỉ dạy các em phương pháp giải gần gũi với chương trình học củahọc sinh nhất, tùy vào đặc điểm của bài toán và đối tượng học sinh mà áp dụng phươngpháp giải phù hợp, chẳng hạn đối với học sinh lớp 10 sử dụng bất đẳng thức Côsi,Bunhiacopski, đồ thị của hàm số bậc hai; lớp 11 sử dụng phương pháp lượng giác hóa;lớp 12 sử dụng công cụ đạo hàm Đa số học sinh chỉ thích giải toán khi có sẵn thuậtgiải và có nhiều phương pháp để lựa chọn

Thực tế cho thấy khi giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, học sinhthường mắc một số sai lầm do vi phạm quy tắc suy luận lôgic, chẳng hạn xét một số ví

dụ sau đây:

Ví dụ 1 Cho phương trình ẩn x: mx2 −2(m−1)x+4m=0 (m≠0) có nghiệm

Lời giải sai lầm của học sinh:

Vì x≥2 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số: 3x và 1

Nguyên nhân sai lầm là khi kết luận giá trị nhỏ nhất của S là 2 3 đạt được khi

Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =2x + 12

x với x >0.Lời giải sai lầm của học sinh:

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau: ( ) (2 sin )(8 sin ) f x = + x − x

Lời giải sai lầm của học sinh:

Vì 2 sin+ x>0và 8 sin− x>0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi:

Nguyên nhân sai lầm ở chỗ không xét điều kiện của bất đẳng thức khi trở thành

(vô lí) Do đó giá trị lớn nhất của ( )f x , nếu có không phải là 25 Cũng là sai lầm nữa,

nếu từ kết quả trên lại kết luận rằng hàm số không có giá trị lớn nhất

Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

=

Phân tích sai lầm:

Sai lầm là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ nhất của (1) không

Chúng tôi đã tiến hành khảo sát, điều tra, thăm dò thực trạng về vấn đề rèn luyện

tư duy lôgic cho học sinh thông qua dạy học nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Qua tìm hiểu tình hình dạy học chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở một số trườngTHPT thuộc huyện Ninh Phước, tỉnh Ninh Thuận (THPT Nguyễn Huệ, THPT AnPhước, THPT Phạm Văn Đồng) chúng tôi có một số nhận xét sau:

• Về phía giáo viên

Chúng tôi tiến hành điều tra bằng phiếu thăm dò (phụ lục 1) Kết quả điều tranhư sau:

+ Đại đa số giáo viên được điều tra, thăm dò đều có nhận thức đúng về sự cầnthiết của việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh THPT trong quá trình dạy và học, tuynhiên việc đó đã làm tốt chưa thì đều khẳng định là chưa tốt

+ Đa số giáo viên cho rằng việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh thông quadạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên lớp thường gặp khó khăn vềthời gian vì thời gian giảng dạy trên lớp rất hạn chế trong khi đó lượng kiến thức cầntruyền đạt cho học sinh lại rất lớn; mặt khác trình độ tiếp thu của học sinh còn thấp,không đồng đều, ngay cả giải toán theo qui tắc, theo thuật toán có sẵn đối với nhiều emnhiều khi còn rất hay nhầm lẫn vì vậy để hình thành ở các em những thao tác tư duylôgic và khả năng suy luận chặt chẽ, khoa học là rất khó khăn

+ Đa số giáo viên được điều tra đều nhận xét rằng SGK Toán THPT hiện hành

có một hệ thống bài tập củng cố kiến thức, ôn tập khá đầy đủ và phong phú Tuy nhiên

về mạch giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, số lượng bài tập chưa phong phú, chưa đadạng, chưa phân hóa được học sinh, đặc biệt chưa có nhiều bài tập đòi hỏi học sinhphải suy luận

+ Một thực tế cho thấy nữa là trong quá trình giảng dạy, đa số giáo viên ít, thậmchí là không quan tâm đến quá trình hướng dẫn học sinh phán đoán để đưa ra phươngpháp giải tối ưu nhất mà chủ yếu là áp đặt học sinh phải trình bày theo phương phápcứng nhắc của mình Hầu hết giáo viên chưa tạo cơ hội tốt để học sinh sáng tạo bàitoán mới

+ Đa số giáo viên có nhận thức tương đối đúng về vấn đề rèn luyện tư duy lôgictrong dạy học Toán nói chung và rèn luyện tư duy lôgic trong dạy học tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất nói riêng đó là rèn luyện kĩ năng lập luận; kĩ năng biến đổi bàitoán; kĩ năng huy động kiến thức; rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo trong giải toán Tuynhiên việc tiến hành các hoạt động để rèn luyện tư duy lôgic cho các em thì còn hạnchế Điều đó thể hiện ở việc lựa chọn phương pháp, cách thức rèn luyện (phần lớn đều

lựa chọn cách động viên, khuyến khích học sinh tranh luận, lập luận lôgic để diễn giải

suy nghĩ của mình) Đây cũng là một cách nhưng nếu chỉ sử dụng cách này để rèn tư

duy lôgic cho học sinh thì chưa thực sự phát huy hiệu quả đến việc tổ chức cho các emtiến hành giải các bài toán Giải toán có vai trò rất to lớn trong quá trình học tập toán.Giải toán để củng cố kiến thức, để luyện tập, để ôn tập, để nâng cao kỹ năng thực hành,tính toán, suy luận, nhưng đối với một nhà sư phạm bên cạnh việc dạy kiến thức còncần phải biết cách khai thác các bài toán cũng như các nội dung toán học khác để hìnhthành cho các em những phẩm chất của con người mới đó là con người có phươngpháp và tư duy Vì vậy qua dự giờ phần lớn giáo viên đều hướng dẫn học sinh làm bàisau đó để các em tự làm và giáo viên chốt lại vấn đề; có cá biệt một vài giáo viên chỉcho học sinh làm bài và chữa đúng sai

Chúng ta đã biết chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường xuyên xuất hiệntrong các đề thi Đại học và cao đẳng, nhưng nhiều giáo viên chưa thực sự đi sâu vàochủ đề này trong quá trình dạy học trên lớp vì lí do thời gian SGK trình bày chủ đề nàycũng rất đơn giản so với tầm quan trọng của nó, các bài tập trong SGK phần lớn đều lànhững bài tập dựa trên quy tắc, thuật toán có sẵn, chưa có nhiều bài tập đòi hỏi họcsinh phải suy luận, lập luận hay những phản ví dụ để học sinh đối chiếu, so sánh từ đóhình thành ở các em thói quen lập luận chặt chẽ và lôgic

Tóm lại qua thực tiễn dự giờ, điều tra, thăm dò có thể thấy những hạn chế, thiếusót trong việc rèn luyện tư duy lôgic thông qua dạy học chủ đề giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất cho học sinh như sau:

- Chưa chú ý đúng mức đến việc khắc sâu nội dung giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất cho học sinh dẫn đến học sinh chưa hiểu được đầy đủ, rõ ràng về nội dung này.

- Chưa có một hệ thống bài tập đầy đủ, chưa thường xuyên để học sinh được rènluyện tư duy lôgic, các thao tác tư duy, vì vậy học sinh còn máy móc trong giải toán

- Giáo viên chỉ đưa ra một số bài tập đòi hỏi áp dụng theo qui tắc, theo thuật toán

có sẵn mà ít khi đưa ra những bài tập đòi hỏi phải suy luận

- Một số giáo viên còn chưa biết khai thác nội dung dạy học giá trị lớn nhất, giátrị nhỏ nhất để có thể rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh

• Về phía học sinh

Chúng tôi tiến hành cho học sinh lớp 12 làm bài kiểm tra (30 phút) trên lớp với

đề kiểm tra như sau:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 6

2

x y

x

−

= + với x >0 Bài 2: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số ( a a>0).

Kết quả:

Bài 1: Đa số học sinh biết hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp chiều

biến thiên hàm số Tuy nhiên, nếu dùng bất đẳng thức Côsi thì bài toán được giải quyếtnhẹ nhàng hơn nhiều Một số ít học sinh vẫn chưa nắm được qui tắc, thuật toán tìm giátrị nhỏ nhất của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên, thậm chí cá biệt có một số họcsinh không biết lấy đạo hàm

Bài 2: Hầu hết học sinh chưa định hướng được hướng giải quyết bài toán, còn

mơ hồ Chỉ có một vài em biết chuyển bài toán trên sang ngôn ngữ giải tích nhưng quátrình giải chưa rõ ràng, khâu lập luận còn lúng túng, chưa chặt chẽ

Qua kết quả trên ta thấy, học sinh chỉ được rèn luyện giải toán theo những quitắc cứng nhắc Đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi gặp các bài toán đòi hỏi phảisuy luận, mà nguyên nhân chủ yếu là phương pháp tư duy của các em còn hạn chế, mặt

khác giáo viên chưa rèn luyện nhiều cho học sinh các kĩ năng suy luận, kĩ năng biếnđổi bài toán.

Xuất phát từ vị trí, vai trò quan trọng của việc rèn luyện tư duy lôgic cho họcsinh THPT; xuất phát từ vị trí, ý nghĩa của chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trongviệc bồi dưỡng, rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh; đồng thời trên cơ sở nghiên cứu,tổng kết những ưu điểm và hạn chế của thực trạng rèn luyện tư duy lôgic cho học sinhhiện nay, chúng tôi đã xây dựng và đề xuất biện pháp nhằm rèn luyện tư duy lôgic chohọc sinh thông qua dạy học chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1.2 Một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc “Dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo định hướng góp phần rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông”

1.2.1 Khái niệm về tư duy

Theo từ điển Tiếng Việt: Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi

sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức, như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lí [15, tr.1724].

Từ điển Triết học (M Rô-den-tan và P I-u-đin): “Tư duy – sản vật cao cấp của

một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán,…”

M.N Sacđacop cho rằng: “Tư duy là quá trình tâm lí mà nhờ đó không những

con người tiếp thu được những tri thức khái quát mà còn tiếp tục nhận thức và sáng tạo”.

Theo Rubistein: “Tư duy – đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách

thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” (dẫn theo Đavưđov V V (2000), Các dạng khái quát hóa trong

dạy học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội)

Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn

Quang Uẩn (1972) (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội) đã định nghĩa: “Tư duy

là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan”.

J Piaget định nghĩa: Tư duy như một dạng trí tuệ nội tâm, với hai dạng trí tuệ, dạng tượng hình và dạng hoạt động Tư duy tượng hình chỉ các chức năng: tri giác, bắt chước, hình ảnh Tư duy hoạt động gắn với sự chuyển hóa liên hệ với các dạng thức

hành động (hay hoạt động), là kiểu tư duy biến đổi đồ vật hay sự kiện bằng tri giácchuyển hóa Theo thuyết hoạt động hóa của J Piaget, sự phát triển tư duy của con

người diễn ra như sau: Hoạt động ban đầu có tính hành vi hơn là tư duy; tư duy đồng

thời với hành vi; tư duy có tính chất hình thức.

Như vậy, trước hết con người nhận thức cảm tính, chỉ phản ánh một cách trựctiếp bằng giác quan những gì tác động vào chủ thể, chẳng hạn: trạng thái vận động của

sự vật hiện tượng, các mối quan hệ về mặt không gian, thời gian Tư duy nảy sinh trên

cơ sở nhận thức cảm tính, phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối liên hệ vàquan hệ có tính quy luật của nhiều sự vật, hiện tượng mà co người chưa biết Tư duykhông chỉ để giải quyết những vấn đề do cuộc sống đặt ra mà còn nhằm lĩnh hội nềnvăn minh của nhân loại, phát triển nhân cách, và con người, bằng tư duy sáng tạo làmphong phú thêm kho tàng tri thức của xã hội

Tư duy là trình độ cao và phức tạp của sự phản ánh, trong đó tạo ra sản phẩmtinh thần một cách gián tiếp bằng những phương thức trừu tượng hóa, khái quát hóatrong phân tích và tổng hợp,…Đó là quá trình vận dụng khái niệm theo quy luật lôgic(hình thức và biện chứng), và cả trực giác để đạt được chân lý Đó là quá trình khôngngừng bổ sung , tìm tòi, “cải tạo” thế giới hiện thực của tư duy trong óc người và sửdụng những kết quả ấy làm cơ sở để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra

Tư duy được xem xét như là một quá trình: Việc điểm qua các cách tiếp cận

nghiên cứu về tư duy ở trên, thì các trường phái tâm lý đều công nhận: Tư duy được

xem xét như là một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc Suy

cho đến cùng, những quy luật của tư duy là sự phản ánh quy luật của thế giới vật chất.Những hình ảnh của sự vật, từ mức độ trực tiếp, nguyên vẹn trên cơ sở các liên tưởng,

Nhận thức vấn đềXuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả

thuyếtKiểm tra giả thuyết

mới

Sơ đồ 1

được tư duy cải biến, sửa chữa, loại bỏ những mặt phụ, ngẫu nhiên, tìm ra những mặtchính, tất yếu và những quan hệ bền vững giữa chúng, từ đó hình thành nên những kháiniệm tương ứng với các mặt, các quan hệ tất yếu đó của chúng, rồi cải tạo, kết hợp đểxây dựng nên hình ảnh mới về sự vật Nhưng, đó không phải là sự phản ánh bị động mà

là sự phản ánh chủ động và sáng tạo của tư duy Như vậy, quá trình tư duy bao gồmnhiều giai đoạn kế tiếp nhau K K P Plantonov đưa ra sơ đồ minh họa:

Ví dụ 6 Khi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x= 2 −4x +5

Sau khi đọc xong đề bài ta thấy xuất hiện các liên tưởng như: nghĩ ngay tới việc

biến đổi A m≥ và tồn tại số x để 0 A x( )0 =m Điều đó làm cho chúng liên tưởng đếnviệc biến đổi biến thức, nhưng việc biến đổi như thế nào để thuận lợi đó là quá trình màchúng ta phải trải qua các hoạt động tư duy để tìm hướng giải quyết vấn đề Vì vậy quá

2

x = Vậy minA=1, đạt được khi x =2

Tư duy – cần phải học, học tư duy là học cách suy nghĩ, học những cấu trúc vànhững quá trình mà thông qua nó, con người nhận biết được thế giới, cải tạo được thếgiới

Stephen Krulik – Resse A Rudnick đưa ra tháp thứ bậc tư duy (hình 1.1), chia tư duy thành 4 cấp độ: tư duy tái hiện, tư duy căn bản, tư duy phê phán và tư duy sáng

Tư duy tái hiện bao gồm những kĩ năng tư duy gần như tự động hoặc tự nảy sinh

trong đời sống tự nhiên con người Những hằng đẳng thức đáng nhớ, những mệnh đúngnhư: (x y− )2 ≥0,(x y+ )2 ≥0,x2 + ≥ ∀y2 0, x y được tạo ra để học sinh trung học tiếp, thu, ghi nhớ Ngân hàng trí nhớ sẽ liên tục được mớ rộng

Tư duy căn bản bao gồm việc hiểu các khái niệm toán học như: Giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất cũng như việc nhận thức được những ứng dụng của nó trong các bài tập

cả ở trường học và trong thực tế cuộc sống hằng ngày

Tư duy phê phán là tư duy xem xét, liên hệ và đánh giá tất cả các khía cạnh của

tình huống hay vấn đề, thu nhập và tổ chức thông tin trong vấn đề một cách hợp lí,phân tích thông tin đó để tỏ thái độ không đồng tình Nhận ra sự khác biệt giữa thôngtin cần thiết và không cần thiết, vấn đề gì đang được hỏi hay yêu cầu cũng là một kỹnăng tư duy phê phán Trong các tình huống có vấn đề, nhận ra rằng, chưa đủ dữ kiệnhoặc thậm chí dữ kiện mâu thuẫn nhau là một ứng dụng trực tiếp của tư duy phê phán.Xác định tính hợp lí của một câu trả lời đã có được cũng thuộc về loại hình tư duy này

Tư duy phê phán mang tính giải thích và xuất phát trong cuộc sống hiện thực

Tư duy sáng tạo là tư duy tạo ra những giá trị mới, sản phẩm mới, tìm ra cách

giải quyết mới mang tính hiệu quả Kiến thức trước được tổng hợp, kết hợp và mở rộng

để phát sinh những ý tưởng mới Những ý tưởng mới này được đánh giá nhờ sự phân

tích phê phán, xem xét sự ảnh hưởng của nó tới việc giải quyết tình huống có vấn đề.

Từ đó, dẫn đến việc “vấn đề” có thể được định nghĩa lại

1.2.2 Các thao tác tư duy

Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể nhận thức tiến hành những thaotác trí tuệ nhất định như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… cụ thểnhư sau:

a) Phân tích và tổng hợp:

Phân tích là quá trình tách đối tượng toán học thành các bộ phận, những dấuhiệu, những thuộc tính; những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất địnhnhằm mục đích nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn để nhận thức một cách trọn vẹn vềđối tượng toán học

Thao tác phân tích được thể hiện dưới nhiều hình thức, phát triển từ thấp đến caonhư: phân tích bằng hành động thực tiễn, phân tích bằng cảm tính, phân tích bằng trítuệ Sự hoàn thiện về tâm sinh lý học sinh là cơ sở để các em tiến hành các thao tácphân tích phù hợp

Tổng hợp là dùng trí óc thống nhất những bộ phận thuộc tính, quan hệ của đốitượng toán học đã được phân chia qua thao tác phân tích thành một chỉnh thể nhằmgiúp nhận thức đối tượng toán học một cách khái quát và đầy đủ hơn Khi tổng hợp thìnhững yếu tố đã được chia cắt của đối tượng toán học được kết hợp lại với nhau, đượcđưa vào một quan hệ Chính vì vậy là đã thu được một sự vật, hiện tượng nguyên vẹnmới Như vậy, tổng hợp không phải là một phép cộng đơn giản thành chỉnh thể mà đó

là một hoạt động tư duy đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mớinào đó về đối tượng toán học

Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau Từ hoạtđộng tổng hợp hành động – thực tiễn được phát triển đến tổng hợp trí tuệ và các hìnhthức này diễn ra trong mối quan hệ chặt chẽ, liên hệ lôgic với nhau trong quá trình dạyhọc

Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, nhưng lại liên hệ chặt chẽvới nhau trong một thể thống nhất

Ví dụ 7 Cho hai số thực x ≠0,y ≠0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

Bước 1: Biến đổi điều kiện

Phân tích điều kiện, ta nhận thấy có thể biến đổi điều kiện đã cho về gần với biểuthức A, bằng cách chia hai vế cho x y 2 2

Sự so sánh có ý nghĩa đặc biệt ở giai đoạn đầu của nhận thức kinh nghiệm Cóthể nói rằng việc nhận thức được tất cả những gì tồn tại đều thông qua việc so sánh cácđối tượng và hiện tượng này với các đối tượng và hiện tượng khác giống chúng hoặckhác chúng Thông qua việc so sánh các đối tượng với nhau, con người có thể địnhhướng đúng đắn sự vật, hiện tượng trong thế giới xung quanh

Ví dụ 8 Để giúp học sinh hiểu rõ về định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

nghĩa này

( )

f x xác định trên D, ∀ ∈ ∃ ∈x D x, 0 D

c) Trừu tượng hóa

Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những thuộc tính, những mốiquan hệ không bản chất của một đối tượng toán học mà chỉ giữ lại những thuộc tính,những dấu hiệu bản chất, đặc trưng của đối tượng toán học Trừu tượng hoá là mộtdạng đặc biệt của phân tích, thể hiện ở chỗ: trừu tượng hóa đề cao cái bản chất và gạt

bỏ đi cái không bản chất Mỗi một sự trừu tượng hoá khoa học, đúng đắn là trừu tượnghoá những dấu hiệu bản chất khỏi những dấu hiệu không bản chất

Ví dụ 9 Từ hệ quả của bất đẳng thức Côsi, ta trừu tượng hóa thành bài toán sau:

+) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớnnhất

+) Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏnhất

d) Khái quát hoá

Là thao tác tư duy nhằm bao quát nhiều đối tượng toán học khác nhau thành mộtnhóm hoặc một lớp trên cơ sở chúng có một thuộc tính chung, bản chất những mối

quan hệ có tính quy luật sau khi gạt bỏ những thành phần khác

* Mối quan hệ giữa khái quát hoá và trừu tượng hoá

Trừu tượng hoá và khái quát hoá là hai thao tác quan trọng của tư duy Đặc trưngcủa tư duy loài người, là một trong các chỉ số cơ bản của sự phát triển tư duy Muốn cóhoạt động trừu tượng hoá thì phải có hoạt động tư duy khái quát hoá Ngược lai, muốn

có khái quát hoá thì thì phải dùa vào kết quả của hoạt động trừu tượng hoá

ra

1.2.3 Đặc điểm tư duy lôgic của học sinh THPT

Vấn đề tư duy lôgic của học sinh được quan tâm rất nhiều từ các cấp học Đốivới học sinh THPT thì tư duy lôgic phát triển ở mức cao hơn so với cấp học dưới.Trong quá trình học tập và tiếp xúc với môi trường xã hội, kĩ năng phán đoán và suyluận của các em dần dần có tính lôgic, khái quát cao hơn

Hoạt động trí tuệ của các em bao gồm các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp,

so sánh, đặt biệt hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa, Tư duy lôgic chỉ phát triển thôngqua khả năng suy luận Học sinh chỉ có thể tiến hành các hoạt động suy luận bằng cách

sử dụng các mệnh đề lôgic Tuy nhiên, toán học do có đặc điểm là tính trừu tượng vàkhái quát cao cho nên việc rèn luyện tư duy lôgic là rất cần thiết, để các em có thể vậndụng giải quyết các vấn đề toán học một cách khoa học, tạo tiền đề để các em học tốtcác môn học khác và vững vàng với các kiến thức toán học ở bậc cao hơn

Thông qua quá trình phán đoán và suy luận, nhờ vào khả năng tổng hợp nên các

em nhận thức được các quan hệ trong suy diễn Tuy nhiên, khi suy luận, luận cứ lôgiccủa các em có thể chưa chặt chẽ do chưa hiểu sâu sắc bản chất vấn đề hay chưa nắmvững các quy tắc lôgic trong toán học dẫn đến sai lầm trong quá trình giải toán Chẳnghạn, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x học sinh thường biến đổi

( )( )

đúng quy tắc Do đó chúng ta cần có biện pháp kịp thời phòng tránh sai lầm như trên

Do khả năng phân tích phát triển cùng với tư duy toán học nên các em thuận lợitrong việc phân tích các thuật ngữ hay các mệnh đề toán học Chẳng hạn, việc phân biệt

định nghĩa “giá trị lớn nhất”,“giá trị nhỏ nhất” đa số các em nhận biết một cách dễ

dàng Vì vậy việc đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ gặp thuận lợi hơn đối với các

1.2.4 Vấn đề rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh trung học phổ thông theo định hướng đổi mới PPDH môn toán ở trường THPT hiện nay

1.2.4.1 Đặc điểm cấu trúc nội dung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình môn toán THPT

Nội dung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Toán THPTđược đề cập trong chương trình Đại số 10, Giải tích 11 và Giải tích 12 hiện hành

Trong chương trình Đại số 10, chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đượcgiới thiệu như là một ứng dụng của bất đẳng thức Côsi Thời lượng dành cho chủ đề

này không nhiều SGK Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục (2006); Hướng dẫn thực

hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, Nxb Giáo dục Việt Nam (2009) có đề

cập đến chủ đề này nhưng chỉ được trình bày ở phần bài tập hay ví dụ với số lượng rất

ít, chưa đa dạng Những ví dụ, bài tập ở đây chủ yếu dùng bất đẳng thức Côsi để giải

Chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 có trình bày một số bài tập về tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác với phương pháp chủ yếu là dựa vàotập giá trị của hàm số y=sin ,x y=cosx là đoạn −1;1

Đối với chương trình Giải tích lớp 12, thì chủ đề này được quan tâm nhiều hơn

SGK Giải tích 12, Nxb Giáo dục (2008); Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 12, Nxb Giáo dục Việt Nam (2009) đã trình bày chủ đề giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất khá chi tiết, thời lượng dành cho chủ đề này tương đối nhiều cả

về lý thuyết và bài tập Tuy nhiên chỉ dừng lại ở phương pháp chiều biến thiên hàm sốvới công cụ đạo hàm mà chưa khám phá các phương pháp khác có thể tối ưu hơn

Nhìn chung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình phổ thônghiện hành tuy chưa chiếm được thời lượng nhiều trong giảng dạy nhưng đây là mộtchuyên đề khó, rất đa dạng, phong phú và đặc biệt có rất nhiều ứng dụng trong các bàitoán thức tiễn hay các bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình Đâycũng là một chủ đề thường có mặt trong các đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng, thiHọc sinh giỏi các cấp Do đó việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh thông qua chủ đềnày là rất cần thiết

Vì tầm quan trọng của nó nên nhiều sách báo, tài liệu, luận văn thạc sĩ, đãnghiên cứu về chủ đề này Sau đây chúng tôi xin nêu lên một số phương pháp tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhằm làm phong phú thêm kiến thức Toán học trongchương trình phổ thông:

m để có bất đẳng thức ( )f x ≤M hoặc ( ) f x ≥m , x D∀ ∈ ; sau đó chỉ ra dấu bằng xảy

ra nếu như chọn được x0∈D để có f x( )0 =M hoặc f x( )0 =m

Vì có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nên cũng có rất nhiềuphương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

+) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển

Có hai loại bất đẳng thức cổ điển mà chúng ta thường dùng để giải bài toán tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki

- Bất đẳng thức Côsi tổng quát cho n số có dạng sau:

Cho n số không âm x x1, , ,2 x Khi đó: n 1 2

Ví dụ 12 Cho x >2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 3

Vậy min ( ) 2 3 2f x = + đạt được khi x = +2 3

- Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2n số có dạng sau: Cho 2n số tùy ý

Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên miền Dcho trước, y là một giá trị tùy ý của hàm số f (x) trên miền D đã cho Điều đó có nghĩa0

α ≤ ≤ β (1), với , α β là những hằng số (dấu “=” xảy ra được)

Vìy là giá trị bất kì của f (x) nên từ (1) ta có: min ( )0 =α; ax ( )=β

D f x m D f x .

Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa một hàm số, thực chất ta đã quy về việc tìm điều kiện để một phương trình (thường

là có thêm điều kiện phụ) có nghiệm

Ví dụ 14 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cos 2

x y