Ngơn ngữ hình học cũng là một cơng cụ tốt để giải quyết các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Trong một số bài tốn nếu cứng nhắc giải quyết theo lơgic thơng thường thì đơi khi chúng ta sẽ gặp chướng ngại lớn và sẽ dẫn đến bế tắc trong quá trình giải. Do vậy chúng ta cần phải rèn luyện cho học sinh những kỹ năng linh hoạt để học sinh thấy được những tìm ẩn của yếu tố hình học trong đại số mà thoạt tiên chưa nhìn ra nĩ. Ngơn ngữ hình học ở đây cĩ thể là: ngơn ngữ hình học tổng hợp, ngơn ngữ vectơ, ngơn ngữ tọa độ,…
Ví dụ 25. Cho 3 số dương x y z, , thỏa mãn hệ thức xyz x y z( + + =) 4. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P= +(x y x z)( + ).
Từ tích xyz x y z( + + ) ta nghĩ đến cơng thức Hêrơng tính diện tích của tam giác
y y x z z x P N M C B A Hình 2.3
( )( )( )
ABC
S = p p a p b p c− − − với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC, với p là nửa chu vi.
Với x y z, , là các số dương nên lấy các đoạn thẳng cĩ độ dài lần lượt là
, ,
x y y z z x+ + + luơn là độ dài ba cạnh của một tam giác ABC (hình 2.3).
Và x AM AN y CN CP z BM BP= = , = = , = = với M, N, P là các tiếp điểm của
AB, AC và BC với đường trịn nội tiếp tam giác ABC.
Khi đĩ p x y z= + + ⇒ p p a p b p c( − )( − )( − = + +) (x y z xyz) =4. Suy ra: 2SABC =2 p p a p b p c( − )( − )( − =) AB AC. .sinA =4.
Hay 4 (= +x y x z)( + ).sinA, mà 0 sin< A≤1 nên P= +(x y x z)( + ≥) 4. µ 0
(x y x z+ )( + = ⇔) 4 sinA= ⇔ =1 A 90
⇔ +(x y)2 + +(x z)2 = +(y z)2 ⇔ x x y z( + + =) yz.
Kết hợp xyz x y z( + + =) 4 cĩ yz=2. Chọn y z= = 2thì x = −2 2. Vậy P đạt nhỏ nhất bằng 4, chẳng hạn khi x = −2 2; y z= = 2.