Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể nhận thức tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái quát hố,… cụ thể như sau:
a) Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là quá trình tách đối tượng tốn học thành các bộ phận, những dấu hiệu, những thuộc tính; những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định nhằm mục đích nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn để nhận thức một cách trọn vẹn về đối tượng tốn học.
Thao tác phân tích được thể hiện dưới nhiều hình thức, phát triển từ thấp đến cao như: phân tích bằng hành động thực tiễn, phân tích bằng cảm tính, phân tích bằng trí tuệ. Sự hồn thiện về tâm sinh lý học sinh là cơ sở để các em tiến hành các thao tác phân tích phù hợp.
Tổng hợp là dùng trí ĩc thống nhất những bộ phận thuộc tính, quan hệ của đối tượng tốn học đã được phân chia qua thao tác phân tích thành một chỉnh thể nhằm giúp nhận thức đối tượng tốn học một cách khái quát và đầy đủ hơn. Khi tổng hợp thì những yếu tố đã được chia cắt của đối tượng tốn học được kết hợp lại với nhau, được đưa vào một quan hệ. Chính vì vậy là đã thu được một sự vật, hiện tượng nguyên vẹn mới. Như vậy, tổng hợp khơng phải là một phép cộng đơn giản thành chỉnh thể mà đĩ là một hoạt động tư duy đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đĩ về đối tượng tốn học.
Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều hình thức và mức độ khác nhau. Từ hoạt động tổng hợp hành động – thực tiễn được phát triển đến tổng hợp trí tuệ và các hình thức này diễn ra trong mối quan hệ chặt chẽ, liên hệ lơgic với nhau trong quá trình dạy học.
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất.
Ví dụ 7. Cho hai số thực x ≠0,y ≠0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
2 2
(x y xy x+ ) = + −y xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 13 13
x y
= + (Đề thi Đại học khối A - 2006).
Bước 1: Biến đổi điều kiện
Phân tích điều kiện, ta nhận thấy cĩ thể biến đổi điều kiện đã cho về gần với biểu thức A, bằng cách chia hai vế cho x y2 2.
2 2 2 2 1 1 1 1 1 (x y xy x) y xy x y x y xy + = + − ⇒ + = + − (1)
Bước 2: Biến đổi biểu thức A cho gần với điều kiện
Phân tích A 13 13 1 1 12 12 1
x y x y x y xy
= + = + ÷ + − ÷
Để cho đơn giản, ta đặt a 1,b 1
x y
= =
Khi đĩ (1) trở thành: a b a+ = + −2 b2 ab= +(a b) 32 − ab (2) A= +(a b a)( 2 + −b2 ab) (= +a b)2
Bước 3: Tiếp tục phân tích (2). Vì
2
2
a b ab≤ + ÷
nên ta tổng hợp lại được:
( )2 3( )2 ( )2 4( ) 0 0 4
4
a b+ ≥ +a b − a b+ ⇒ +a b − a b+ ≤ ⇒ ≤ + ≤a b
Suy ra: A= +(a b) 162 ≤ .
Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 khi 1 2
x y= = .
Cách giải trên đã rèn luyện cho các thao tác thác phân tích, tổng hợp một cách hiệu quả.
b) So sánh
So sánh là một thao tác tư duy nhằm xác định sự giống và khác nhau, sự đồng nhất hoặc khơng đồng nhất…giữa các đối tượng tốn học, giữa các thuộc tính, các quan hệ, các bộ phận của đối tượng tốn học. Thao tác này được tiến hành ở cả 3 giai đoạn trong sự phát triển tư duy: tư duy trực quan hành động, tư duy trực quan hình ảnh và tư duy trừu tượng.
Sự so sánh cĩ ý nghĩa đặc biệt ở giai đoạn đầu của nhận thức kinh nghiệm. Cĩ thể nĩi rằng việc nhận thức được tất cả những gì tồn tại đều thơng qua việc so sánh các đối tượng và hiện tượng này với các đối tượng và hiện tượng khác giống chúng hoặc khác chúng. Thơng qua việc so sánh các đối tượng với nhau, con người cĩ thể định hướng đúng đắn sự vật, hiện tượng trong thế giới xung quanh.
Ví dụ 8. Để giúp học sinh hiểu rõ về định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số y f x= ( )ta cĩ thể tập cho so sánh sự giống và khác nhau giữa hai định
nghĩa này.
( )
f x xác định trên D, ∀ ∈ ∃ ∈x D x, 0 D
c) Trừu tượng hĩa
Trừu tượng hố là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những thuộc tính, những mối quan hệ khơng bản chất của một đối tượng tốn học mà chỉ giữ lại những thuộc tính, những dấu hiệu bản chất, đặc trưng của đối tượng tốn học. Trừu tượng hố là một dạng đặc biệt của phân tích, thể hiện ở chỗ: trừu tượng hĩa đề cao cái bản chất và gạt bỏ đi cái khơng bản chất. Mỗi một sự trừu tượng hố khoa học, đúng đắn là trừu tượng hố những dấu hiệu bản chất khỏi những dấu hiệu khơng bản chất.
Ví dụ 9. Từ hệ quả của bất đẳng thức Cơsi, ta trừu tượng hĩa thành bài tốn sau:
+) Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng chu vi, hình vuơng cĩ diện tích lớn nhất. ≤ ⇒ = = 0 ( ) max ( ) ( ) f x M f x M f x M ≥ ⇒ = = 0 ( ) min ( ) ( ) f x m f x m f x m
+) Trong tất cả các hình chữ nhật cĩ cùng diện tích, hình vuơng cĩ chu vi nhỏ nhất.
d) Khái quát hố
Là thao tác tư duy nhằm bao quát nhiều đối tượng tốn học khác nhau thành một nhĩm hoặc một lớp trên cơ sở chúng cĩ một thuộc tính chung, bản chất những mối quan hệ cĩ tính quy luật sau khi gạt bỏ những thành phần khác.
Ví dụ 10. +) Với mọi a≥0,b≥0 ta cĩ 2 a b+ ≥ ab . Đẳng thức xảy ra ⇔ =a b. +) Với mọi a≥0,b≥0,c≥0 ta cĩ 3 3 a b c+ + ≥ abc. Đẳng thức xảy ra ⇔ = =a b c +) ... ... ...
Từ đĩ ta cĩ thể khái quát hĩa bất đẳng Cơsi cho n số khơng âm như sau: +) Với a1≥0,a2 ≥0,...,an ≥0 ta cĩ 1 2 1 2 ... n n ... n a a a a a a n + + + ≥ . Đẳng thức xảy ra ⇔ = = =a a1 2 ... an.
* Mối quan hệ giữa khái quát hố và trừu tượng hố
Trừu tượng hố và khái quát hố là hai thao tác quan trọng của tư duy. Đặc trưng của tư duy lồi người, là một trong các chỉ số cơ bản của sự phát triển tư duy. Muốn cĩ hoạt động trừu tượng hố thì phải cĩ hoạt động tư duy khái quát hố. Ngược lai, muốn cĩ khái quát hố thì thì phải dùa vào kết quả của hoạt động trừu tượng hố.
e) Đặc biệt hố
Đặc biệt hĩa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho.
Chúng ta thường tiến hành đặc biệt hĩa khi chuyển từ cả một lớp đối tượng đến một đối tượng của lớp đĩ.
f) Phép tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đĩ. Những đối tượng được xem là tương tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đĩ. Cĩ thể nĩi rằng: Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng.
Trên đây là một số các thao tác tư duy cơ bản. Các thao tác tư duy tốn học này thường đan xen, bổ sung, hỗ trợ nhau trong quá trình tư duy chứ khơng theo một chiều hướng nhất định nào và đều do chủ thể tư duy tiến hành nhằm đạt được kết quả đã đề ra.
1.2.3. Đặc điểm tư duy lơgic của học sinh THPT
Vấn đề tư duy lơgic của học sinh được quan tâm rất nhiều từ các cấp học. Đối với học sinh THPT thì tư duy lơgic phát triển ở mức cao hơn so với cấp học dưới. Trong quá trình học tập và tiếp xúc với mơi trường xã hội, kĩ năng phán đốn và suy luận của các em dần dần cĩ tính lơgic, khái quát cao hơn.
Hoạt động trí tuệ của các em bao gồm các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, đặt biệt hĩa, khái quát hĩa, trừu tượng hĩa,... Tư duy lơgic chỉ phát triển thơng qua khả năng suy luận. Học sinh chỉ cĩ thể tiến hành các hoạt động suy luận bằng cách sử dụng các mệnh đề lơgic. Tuy nhiên, tốn học do cĩ đặc điểm là tính trừu tượng và khái quát cao cho nên việc rèn luyện tư duy lơgic là rất cần thiết, để các em cĩ thể vận dụng giải quyết các vấn đề tốn học một cách khoa học, tạo tiền đề để các em học tốt các mơn học khác và vững vàng với các kiến thức tốn học ở bậc cao hơn.
Thơng qua quá trình phán đốn và suy luận, nhờ vào khả năng tổng hợp nên các em nhận thức được các quan hệ trong suy diễn. Tuy nhiên, khi suy luận, luận cứ lơgic của các em cĩ thể chưa chặt chẽ do chưa hiểu sâu sắc bản chất vấn đề hay chưa nắm vững các quy tắc lơgic trong tốn học dẫn đến sai lầm trong quá trình giải tốn. Chẳng hạn, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )học sinh thường biến đổi
về dạng ( ) ( ) f x M f x m ≤ ≥ rồi kết luận max ( ) min ( ) f x M f x m = =
mà khơng cần biết cĩ tồn tại hay
khơng số x0để = = 0 0 ( ) ( ) f x M
f x m . Rõ ràng việc suy luận như trên là khơng hợp lơgic, khơng
đúng quy tắc. Do đĩ chúng ta cần cĩ biện pháp kịp thời phịng tránh sai lầm như trên. Do khả năng phân tích phát triển cùng với tư duy tốn học nên các em thuận lợi trong việc phân tích các thuật ngữ hay các mệnh đề tốn học. Chẳng hạn, việc phân biệt định nghĩa “giá trị lớn nhất”,“giá trị nhỏ nhất” đa số các em nhận biết một cách dễ dàng. Vì vậy việc đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ gặp thuận lợi hơn đối với các em học sinh THPT.
Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đoạn −3;3 f x( ) 2= x3−3x2 −12x+10
Học sinh sử dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn giải quyết bài tốn trên rất dễ dàng như sau:
2 1 '( ) 6 6 12 0 2 x f x x x x = − = − − = ⇔ = Tính f( 3)− = −35; (3) 1; ( 1) 17; (2)f = f − = f = −10.
Với tư duy tốn học của mình về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, học sinh dễ dàng trả lời được: giá trị lớn nhất của f x( )là 17; giá trị nhỏ nhất là −35.
Suy luận xuất hiện và phát triển khi các em cần kiểm tra sự đúng đắn của các động tác tư duy. Sự kiểm tra đĩ thực hiện bằng sự tái hiện trong tư duy những kiến thức Tốn học cĩ liên quan đến bài tốn cần giải quyết. Nĩi cách khác là bằng các thao tác tư duy các em cĩ thể huy động kiến thức để biến đổi đối tượng về dạng quen thuộc hơn, quy lạ về quen nhằm tạo điều kiện thuận lợi trong việc giải quyết vấn đề.
1.2.4. Vấn đề rèn luyện tư duy lơgic cho học sinh trung học phổ thơng theođịnh hướng đổi mới PPDH mơn tốn ở trường THPT hiện nay định hướng đổi mới PPDH mơn tốn ở trường THPT hiện nay
1.2.4.1. Đặc điểm cấu trúc nội dung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấttrong chương trình mơn tốn THPT trong chương trình mơn tốn THPT
Nội dung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình Tốn THPT được đề cập trong chương trình Đại số 10, Giải tích 11 và Giải tích 12 hiện hành.
Trong chương trình Đại số 10, chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được giới thiệu như là một ứng dụng của bất đẳng thức Cơsi. Thời lượng dành cho chủ đề này khơng nhiều. SGK Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục (2006); Hướng dẫn thực
hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn lớp 10, Nxb Giáo dục Việt Nam (2009) cĩ đề
cập đến chủ đề này nhưng chỉ được trình bày ở phần bài tập hay ví dụ với số lượng rất ít, chưa đa dạng. Những ví dụ, bài tập ở đây chủ yếu dùng bất đẳng thức Cơsi để giải.
Chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 cĩ trình bày một số bài tập về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác với phương pháp chủ yếu là dựa vào tập giá trị của hàm số y=sin ,x y=cosx là đoạn −1;1.
Đối với chương trình Giải tích lớp 12, thì chủ đề này được quan tâm nhiều hơn.
SGK Giải tích 12, Nxb Giáo dục (2008); Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn lớp 12, Nxb Giáo dục Việt Nam (2009) đã trình bày chủ đề giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất khá chi tiết, thời lượng dành cho chủ đề này tương đối nhiều cả về lý thuyết và bài tập. Tuy nhiên chỉ dừng lại ở phương pháp chiều biến thiên hàm số với cơng cụ đạo hàm mà chưa khám phá các phương pháp khác cĩ thể tối ưu hơn.
Nhìn chung chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong chương trình phổ thơng hiện hành tuy chưa chiếm được thời lượng nhiều trong giảng dạy nhưng đây là một chuyên đề khĩ, rất đa dạng, phong phú và đặc biệt cĩ rất nhiều ứng dụng trong các bài tốn thức tiễn hay các bài tốn giải và biện luận phương trình, bất phương trình. Đây cũng là một chủ đề thường cĩ mặt trong các đề thi tuyển sinh Đại học và cao đẳng, thi Học sinh giỏi các cấp. Do đĩ việc rèn luyện tư duy lơgic cho học sinh thơng qua chủ đề này là rất cần thiết.
Vì tầm quan trọng của nĩ nên nhiều sách báo, tài liệu, luận văn thạc sĩ,... đã nghiên cứu về chủ đề này. Sau đây chúng tơi xin nêu lên một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhằm làm phong phú thêm kiến thức Tốn học trong chương trình phổ thơng:
a) Định nghĩa
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số được định nghĩa như sau: cho hàm số f(x) xét trên miền D (f cĩ thể là hàm một biến, hai biến hay tổng quát là n biến). Ta nĩi rằng:
+) Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: ( )f x ≤M, x D∀ ∈ và tồn tại x0∈D sao cho f x( )0 =M .
Kí hiệu: = ∈ax ( ) ( = ax ( ))
x D D
M m f x hay M m f x
+) Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện : ( )f x ≥m, x D∀ ∈ và tồn tại x0∈D sao cho f x( )0 =m.
Kí hiệu: = ∈in ( ) ( = in ( ))
x D D
m m f x hay m m f x
Chú ý: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số cũng được định
nghĩa một cách tương tự.
b) Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất * Phương pháp bất đẳng thức
Phương pháp này sử dụng trực tiếp định nghĩa của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Như đã nĩi ở trên để làm được điều này ta cần tìm các giá trị của M, m để cĩ bất đẳng thức ( )f x ≤M hoặc ( )f x ≥m, ∀ ∈x D; sau đĩ chỉ ra dấu bằng xảy ra nếu như chọn được x0∈D để cĩ f x( )0 =M hoặc f x( )0 =m.
Vì cĩ rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nên cũng cĩ rất nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
+) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển
Cĩ hai loại bất đẳng thức cổ điển mà chúng ta thường dùng để giải bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Bất đẳng thức Cơsi và bất đẳng thức Bunhiacopxki.
- Bất đẳng thức Cơsi tổng quát cho n số cĩ dạng sau: Cho n số khơng âm x x1, ,...,2 xn. Khi đĩ: 1 2