SKKNRen luyen cho hoc sinh lop 10 ky nang giai toan vecto va su dung phuong phap vecto de giai toan

Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Lời nói đầu Trong chương trình Tốn học học giảng dạy trường phổ thơng, Hình học mơn học khó khăn học sinh Nắm kiến thức vấn đề khó, vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tốn cịn việc khó khăn nhiều Tìm mối liên quan nội dung để có cách giải toán hay, hiệu việc làm thiết thực Trên sở nội dung, chương trình làm việc cá nhân tổ nhóm chun mơn, thân tơi tìm vài hướng giải số vấn đề giảng nhằm nâng cao chất lượng giảng tạo hứng thú cho học sinh việc học tập nghiên cứu tốn học Những vấn đề nghiên cứu được, tơi tập hợp viết lại báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp cho thân đồng nghiệp học sinh có thêm tài liệu tham khảo trình giảng dạy học tập mơn tốn trường THPT Nội dung sáng kiến chưa thật đầy đủ so với nội dung vấn đề mà tơi lựa chọn thiết nghĩ, bổ sung vào hành trang người giáo viên cơng cụ có hiệu Tơi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Hồng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc Bá – tổ trưởng chuyên mơn thầy giáo, giáo tổ Tốn – Tin học trường THPT Bỉm Sơn đọc trước thảo đóng góp nhiều ý kiến sát thực tiễn để tơi hồn thành đề tài Bỉm sơn, tháng năm 2012 Người thực đề tài Vò Quý Phơng Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần I: giáo viên: Vũ Quý Phương MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài I.1 Tính lịch sử “Cùng với KHCN, giáo dục quốc sách hàng đầu” Chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục phát triển đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trò định việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Ngành Giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi công tác quản lý đạo, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục đào tạo đưa hiệu “Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” nhằm hướng học sinh đến phát triển tồn diện Trong hệ thống mơn học đưa vào đào tạo trường phổ thơng, mơn Tốn đóng vai trò quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển cách tốt tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hoàn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt môn tốn giúp học sinh học tốt nhiều mơn học khác Xưa mơn học mà khơng học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học tốn nhiều học sinh ln điều khó khăn Trong phân mơn tốn học phổ thơng Hình học ln coi mơn học khó khăn Tất đánh giá xuất phát từ lý khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên cịn ơm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học môn v.v Học toán đồng nghĩa với giải toán Muốn làm tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ công thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý cịn cần có phương pháp suy luận đắn I.2 Tính cấp thiết Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệp dạy Hình học thân, tơi nhận thấy chất lượng dạy học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh ngại, sợ học Hình học, khơng biết cách giải tốn Hình học Mà việc giải tập Hình học khơng dựa vào việc có nắm kiến thức hay khơng mà cịn dựa nhiều vào việc nhận mối liên quan kiến thức vận dụng chúng vào toán I.3 Thực trạng Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững vận dụng tốt kiến thức hình học vào việc giải tập Tuy nhiên, cịn có vài lớp s hc Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương sinh rải rác lớp nắm vững vận dụng kiến thức hình học vào việc giải tập - Nhiều học sinh không nắm kiến thức học, học trước quên sau Kỹ vận dụng kiến thức vào hoạt động giải tốn cịn yếu Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ mẻ học sinh lớp 10 Qua khảo sát kiến thức kĩ số học sinh lớp 10 trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau em học kiến thức vec-tơ tơi nhận thấy em cịn bỡ ngỡ gặp nhiều lúng túng Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức vec-tơ lớp 10C4 10C7 có tốn sau: Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD AB'C'D' có chung đỉnh A Chứng minh rằng: uuur uuur uuur a/ CC �  BB�  DD� b/ Hai tam giác BC'D B'CD' có trọng tâm uur r uur r Đề 2: Cho tam giác OAB Đặt OA  a , OB  b gọi C, D, E uuu r uur uuu r uur uuu r uur điểm cho AC  AB, OD  OB, OE  OA uuu r uuu r uuu r r r a/ Hãy biểu thị vec-tơ OC, CD, DE qua vec-tơ a , b b/ Chứng minh ba điểm C, D, E thẳng hàng Qua khảo sát 98 học sinh lớp có kết sau: Số Đề Đề 42 46 Không làm câu 25 (59,52%) 27 (58,70%) Làm câu (21,43%) 11 (23,91%) Chỉ làm câu a (16,67%) (13,04%) Chỉ làm câu b (2,38%) (4,35%) Qua làm học sinh qua thực tế giảng dạy, nhận thấy bộc lộ nhược điểm học sinh sau: - Không nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ không phân uuu r uuu r biệt xác kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB - Không nắm vững quy tắc cộng, trừ vec-tơ, nhân số với vec-tơ, tích vơ hướng hai vec-tơ Khi tính tốn số em tuỳ tiện bỏ kí hiệu vec-tơ, kĩ vận dụng kiến thức vec-tơ để giải tốn cịn yếu, tốn mà chưa viết rõ quan hệ vec-tơ - Thậm chí, với tốn “Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M, N hai điểm nửa đường trịn cho dây cung AM uur uuur uur uur BN cắt I Chứng minh: AI AM  AI AB ”, có học sinh làm uu r uuur uu r uuu r uuur uuu r uu r sau: AI.AM  AI.AB � AM  AB (chia hai vế cho AI ) suy đẳng thức khơng xảy Điều chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm tích vơ hướng vec-tơ S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Trong nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thu tốt kiến thức vec-tơ, có ngun nhân học sinh thực hành toán khái niệm vec-tơ Có lý thời lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh không thực mơn Tốn Chính lý trên, nhằm giúp em lĩnh hội tốt kiến thức vec-tơ, có kĩ giải tập vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ giải toán vec-tơ sử dụng phương pháp vec-tơ để giải tốn.” II Mục đích nghiên cứu Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết cao Biết vận dụng kiến thức cách phù hợp có cách giải tập tốt Đặc biệt lớp 10, học sinh lần va chạm với kiến thức vec-tơ, mục đích đặt thơng qua việc dạy cho học sinh vận dụng kiến thức vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu, chất ký hiệu vec-tơ - Mối quan hệ vec-tơ với kiến thức khác hình học - Chuyển đổi tốn hình học thơng thường với tốn vec-tơ - Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải tốn hình học nhờ phương pháp vec-tơ Từ giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại sợ học hình học, đặc biệt toán vec-tơ III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, áp dụng thực năm học 2011 – 2012, hai lớp 10C4 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có điểm đầu vào bình qn thấp khối 10 Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn mơn Tốn số buổi học bồi dưỡng (ngồi học khóa) S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần II: giáo viên: Vũ Quý Phương NỘI DUNG I- Một số kiến thức cần ý I.1 Các định nghĩa vec-tơ, kí hiệu thường dùng Cho điểm A, B thì: - Ký hiệu AB độ dài đoạn thẳng AB Như ký hiệu AB BA uuu r uuu r uuu r - Ký hiệu AB vec-tơ AB Như ký hiệu AB BA , nói chung, hai vec-tơ khác uuu r uuu r uuu r - Ký hiệu | AB | độ dài vec-tơ AB Như | AB |  AB và, uuu r uuu r đó, | AB |  | BA | - Ký hiệu AB độ dài đại số vec-tơ AB I.2 Các phép toán vec-tơ I.2.1 Phép cộng vec-tơ uuu r uur uuu r - Quy tắc ba điểm: Với điểm A, B, C thì: AB  BC  AC - Quy tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành thì: uuu r uuu r uuu r AB  AD  AC - Tính chất trung điểm: Với I trung điểm đoạn thẳng AB thì: uur uu r r + IA  IB  uuur uuur uur + MA  MB  2MI , với điểm M I.2.2 Phép trừ vec-tơ uuu r uuu r uuu r Với ba điểm O, A, B thì: OA  OB  BA I.2.3 Phép nhân vec-tơ với số r r - Cho vec-tơ u số k   Vec-tơ ku xác định bởi: r r + ku hướng với vec-tơ u k  ngược hướng với r vec-tơ u k < r r + | ku |  | k | | u | r r r r - Cho b �0 a phương với b Khi đó, tồn số r r thực k cho: a  kb uuu r uuu r - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng AB AC vec-tơ phương I.2.4 Tích vơ hướng hai vec-tơ r r - Cho trước hai vec-tơ a, b Từ điểm O cố định, dựng vec-tơ uuu r r uuu r r r r � góc hai vec-tơ a, b Ký hiệu: OA  a, OB  b Khi góc AOB r r r r � (a, b) (a, b) rr r r r r - Tích vơ hướng hai vec-tơ: a.b  | a | | b | cos(a, b) r r rr - a  b � a.b  rr r r - a.a  a  | a |2 Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương I.3 Tọa độ vec-tơ điểm mặt phẳng Xét hệ tọa độ Oxy r r r r r - u(x; y) � u  (x; y) � u  x i  yj uuur uuur r r - M(x; y)  OM  (x; y) � OM  x i  yj r r ; y ) , k  : - Với u(x; y), v(x �� x  x� � r r + uv�� �y  y� r r ; y �y� ) + u �v  (x �x� r + ku  (kx;ky) rr  yy� + u.v  xx� r + | u |  x  y2 rr u.v xx�  yy� r r + cos(u, v)  | ur | | vr |  2 x  y x�  y� I.4 Học sinh cần rèn luyện kĩ tổng hợp nhiều vec-tơ thành vec-tơ ngược lại, cần biết phân tích vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác (thường phân tích vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc khơng phương phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc) Ở tập nên phân tích có cách giải khác giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt vec-tơ I.5 Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thơng thường sang ngơn ngữ vec-tơ ngược lại Ví dụ: TT Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ uuur uuur r 1) MA  MB  uuur uuur M trung điểm đoạn 2) AM  MB thẳng AB uuu r uuu r uuur 3) OA  OB  2OM , với điểm O uuu r uuu r uuu r r 1) GA  GB  GC  uuu r uuu r uuu r uuur G trọng tâm ΔABC 2) OA  OB  OC  3OG , với O uuu r uuu r uuur AM trung tuyến ΔABC AB  AC  2AM uuu r uuu r Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB  kAC (k  0) uuu r uuu r � AB  kCD (k �0) � AB // CD r uuu r �uuu AB �mAC (m ��) � uuu r uuu r AB  CD AB.CD  uuu r uuu r ABCD hình bình hành AB  DC (A  DC) I- Hướng dẫn học sinh giải toán vec-tơ I.1 Các toỏn xỏc nh vec-t Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Làm cho học sinh nắm vững khái niệm vec-tơ hướng, vec-tơ Một nguyên nhân khiến học sinh khơng giải tốn vec-tơ không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, cách xác định vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ nhau, nhầm lần vec-tơ với đoạn thẳng bàng Để giải điều này, tác giả cho học sinh làm lại phân tích kỹ lời giải học sinh qua hoạt r động số (§1, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a điểm O cố định Xác định điểm A uur cho OA  ar Có điểm A uuu r Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ cho AO  ar ): Và yêu cầu học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn tốn khơng Sau phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ uuu r uuu r r OA vec-tơ a có độ dài Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ r phải sang trái vec-tơ a có hướng từ trái sang phải Do hai vec-tơ khơng nên điểm A khơng thỏa mãn tốn Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn toán: Đa số học sinh xác định điểm A hình vẽ sau: r Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: vec-tơ a xác uuu r định điểm đầu M điểm cuổi N OA  ar tứ giác MNAO hình bình hành (cần ý chặt chẽ đến thứ tự đỉnh hình bình hành) Hơn qua việc xác định thế, học sinh nhận ln có điểm A thỏa mãn tốn Ngồi ra, tác giả đưa tình sau để giúp học sinh rèn luyện hiểu rõ khái niệm vec-tơ: Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương - Điểm O trùng với điểm M A điểm nào? (A  N) - Điểm O trùng với điểm N A điểm nào? (A đối xứng với M qua N hay N trung điểm MA) - Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với N qua M hay M trung điểm ON) Làm cho học sinh nắm vững khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ Việc xác định tổng, hiệu vec-tơ nhiều học sinh vấn đề khó khăn Qua giảng dạy vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh không phân biệt rõ dựng tổng vec-tơ với tổng hai cạnh tam giác Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ số tiếp xúc chúng, đặc biệt quy tắc ba điểm cách dựng vec-tơ tổng hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung hoạt động (§2, chương I, SGK Hình học 10 nâng cao) Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau: Yêu cầu học sinh: uuu r r uuu r r uur r - Xác định điểm A, B, C cho: OA  a, AB  b, BC  c r r r r - Dựng vec-tơ a  b, b  c Sau học sinh thực yêu cầu giáo viên chỉnh sửa sai sót, hình vẽ sau: Sau học sinh nắm khái niệm vec-tơ cách tương đối chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả vận dụng kiến thức vec-tơ vào giải toán thơng qua số ví dụ, tốn cụ thể Hơn nữa, với ví dụ, tốn, tác giả ln cố gắng hướng dẫn học sinh tìm S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương nhiều cách giải khác nhau, qua vận dụng nhiều kiến thức hiểu rõ thêm chất loại kiến thức áp dụng * Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng vec-tơ thông qua tốn cụ thể, qua củng cố thêm khái niệm tổng vec-tơ, quy tắc thường dùng tổng vec-tơ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm D E cho uuu r uuu r uuu r uuu r có: BD = DE = EC Hãy dựng vec-tơ ur  AB  AC  AD  AE Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong phép dựng tổng hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành) - Vận dụng quy tắc vào tốn cụ thể sao? (Nhóm vec-tơ xác định hai cạnh hình bình hành lại với nhau) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: Dựng hình bình hành ABIC ADIE hình bình hành Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay: uuu r uuu r uu r uuu r uuu r uu r r uur AB  AC  AI, AD  AE  AI � u  2AI uu r uuur Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: ur  2AI  AK Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác khơng? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Học sinh biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD uuu r uuu r uuur Từ đó, dựng hình bình hành ABME ACND thì: AB  AE  AM , uuu r uuu r uuu r AC  AD  AN uuur uuu r Như vậy: ur  AM  AN uuur Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: ur  AK S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Cách 3: Gợi ý học sinh: - Hãy phân tích đề theo hướng khác: Với giả thiết đề bài, nhận xét điểm D, E cạnh BC? (D trung điểm BE E trung điểm CD) - Với nhận xét đó, nhớ lại xác định xem vận dụng kiến thức để xác định tổng hai vec-tơ? (tính chất trung điểm) Qua hướng dẫn, học sinh thực phép dựng nêu lời giải sau: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD Do D trung điểm AE E trung điểm CD nên ta có: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AB  AE  2AD, AC  AD  2AE Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D N đối xứng với A qua E thì: uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r AB  AE  AM, AC  AD  AN uuur uuu r Như vậy: ur  AM  AN uuur Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: ur  AK * Một loại toán mà học sinh lúng túng tốn biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ khơng cựng phng Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Với loại tốn này, nhiều học sinh lúng túng áp dụng quy tắc phép cộng phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r bất kỳ, ta ln có: AO  OB  AB, OA  OB  BA Cả hai quy tắc đó, mấu chốt quy tắc ba điểm phép cộng vec-tơ Chính điều này, kết hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước cho học sinh làm toán cụ thể, tác giả cho học sinh thực hành nhiều việc lấy tổng, hiệu hai vec-tơ,uphân tích thành uu r u uu r uuu r vec-tơ uur u uur tổng, uuur hiệu uur uurhai uurvec-tơ uuu r uđại ur loại như: AO  OB  AB; MI  KM  KM  MI  KI; EF  EO  OF uuur uuu r uuur uuu r uu r uu r AM  AN  NM; CD  ID  IC uu r uuur uuu r uuur uuu r uu r uuur uur uuu r AI  AM  AN ; EM  EN  2EI; KM  2KI  KN (Với I trung điểm đoạn thẳng MN) Ngoài ra, cần hướng dẫn học sinh xem xét phát vec-tơ phương, hướng toán để sử dụng vào việc biểu diễn Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả cho học sinh thực hành qua toán đơn giản sau   Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E trung điểm BC Đặt uuu r r uuu r r uuu r r r AB  a, AO  b Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo vec-tơ a b Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: uuu r uuu r - Trong tốn này, có vec-tơ với vec-tơ AB, AO uuu r - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn AE qua uuu r uuu r tổng hiệu vec-tơ phương với vec-tơ AB, AO (hoặc vec-tơ đó) Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r 1r 1r r AE  AO  OE  AO  AB  b  a  a  b 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải vận dụng quy tắc ba điểm bước biến đổi Hãy xem xét giả thiết tốn để biến đổi cách khác Chú ý đến yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 10 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r 1r r AE  AB  AC  AB  2AO  (a  2b)  a  b 2 2     Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua vec-tơ khơng phương ví dụ: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có trực tâm H Đặt uuu r r r r uuu r r uuu r r uuu r r HA  a,HB  b,HC  c Chứng minh rằng: HO  (a  b  c) Giải: Cách 1: Gợi ý học sinh: - Trong tốn này, có vec-tơ với vec-tơ uuu r uuu r uuu r HA, HB, HC Nếu chưa có cố gắng để tạo Có thể thơng qua vectơ, điểm có điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết (Lựa chọn trung điểm cạnh) uuu r - Hãy sử dụng quy tắc ba điểm phép cộng để biểu diễn HO qua uuu r tổng hiệu vec-tơ, có vec-tơ phương với HA uuu r uuur uuur uuur uuu r  A� O) HB HC (Biểu diễn HO  HA� - Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ tổng (hoặc uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r hiệu đó) chưa phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC uuu r uuu r uuu r vec-tơ phương với HA, HB, HC r r r r - Chú ý đến tính chất: Nếu b �0 a phương với b ln tồn r r r r r số k   để a  kb Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c khơng r phương cho trước vec-tơ u biểu diễn qua vecr r r tơ a, b, c Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uuu r uuur uuur Gọi A' trung điểm BC thì: HO  HA�  A� O Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 11 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương uuur uuu r uuu r r r  HB  HC  (b  c) Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA� 2 uuur r Hơn OA' // AH nên A� O  ma Do đó, ta có: uuu r uuur uuur r r r r 1r 1r HO  HA�  A� O  (b  c)  ma  ma  b  c (1) 2 Tương tự: Gọi B', C' trung điểm AC, AB thì: uuu r uuur uuur r r 1r HO  HB�  B� O  a  nb  c (2) 2 uuu r uuur uuur r r r HO  HC�  C� O  a  b  pc (3) 2 uuu r r r r Từ (1), (2), (3) suy ra: m  n  p  Vậy HO  (a  b  c) 2 Cách 2: Gợi ý học sinh: - Vì đường trịn có tính đối xứng nên xét điểm O vai trị trung điểm có cách suy nghĩ khác khơng? - Muốn thế, tìm cách tạo O trung điểm đoạn thẳng có uuu r uuu r uuu r gắn với vec-tơ HA, HB, HC Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau:   �  BCD �  90o Kẻ đường kính BD đường trịn Khi đó, ta có: BAD  CD // AH AD // HC uuu r uuu r uuu r Do tứ giác AHCD hình bình hành Vậy HA  HC  HD uuu r uuu r uuu r Mặt khác: HB  HD  2HO uuu r r r r uuu r uuu r uuu r uuu r Suy ra: HA  HB  HC  2HO hay HO  (a  b  c) I.2 Các độ dài vec-tơ Vấn đề mà học sinh lúng túng giải toán vec-tơ không phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài vec-tơ Chính thế, uuu r uur uuu r nhiều học sinh cho AB  BC  AC (với ABC tam giác) Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 12 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh độ dài vec-tơ độ dài đoạn thẳng xác định vec-tơ (khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối vec-tơ) cho học sinh thực hành ví dụ đơn giản sau: uuu r - Cho hai điểm phân biệt A B Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , uuu r r uur uur BA, (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ AB  BA  AB ) uuu r - Cho ba điểm phân biệt A, B, C Hãy xác định độ dài vec-tơ: AB , uuu r uur r uur uuu r AC, BC, u  BC  AB (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r r BC  AB  AB  BC  AC nên | u |  AC  AC Hơn nữa, cần phân tích qua nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ, thẳng hàng cách ) Tiếp theo, học sinh nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả củng cố lại cho học sinh hai vec-tơ chúng có hướng độ dài, hai vec-tơ đối chúng ngược hướng có độ dài Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau: Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O uuu r r uuu r r uuu r r uuu r r Đặt AB  a, BD  b, DC  c,CA  d Chứng minh rằng: r r r r r r r r r r |a  d| | b  d| | c  d|  |a | | b| | c | |d| Giải: Gợi ý học sinh: - Từ giả thiết quy tắc ba điểm phép cộng, đánh giá ba độ dài vế trái (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đánh giá ba độ dài đưa đến kết không mong muốn, giáo viên phải hướng dẫn thêm) r r r r - Hãy xem xét đến đặc biệt vec-tơ xác định nên a, b, c, d để đánh giá tổng hai độ dài lại Chú ý đến tính chất cạnh tam giác Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r r r r AB  BD  DC  CA  � a  b  c  d  � b  d r r r r r r r r (1) a  c vec-tơ đối  | b  d |  | a  c | �| a |  | c | Ta cú: Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 13 Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur Mặt khác: CA  AB  CB, DC  CA  DA uur uuur r r r r  | a  d |  | c  d |  | CB |  | DA |  CB  DA  BC  AD Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC r r r r r r  |a d||c d| |b||d| (2) r r r r r r r r r r Từ (1) (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | * Với kiến thức độ dìa vec-tơ, hướng dẫn để học sinh vận dụng vào giải toán khác Sau cho học sinh rèn luyện thêm tập để khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài vec-tơ vào toán sau học sinh thực hiệu Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng: Nếu AD2 + BC2 =AB2 + DC2 hai đường chéo AC BD vng góc với uuur uuur uuur uuur Nếu MA  MC  MB  MD (với điểm M bất kỳ) tứ giác ABCD hình bình hành Giải: Gợi ý học sinh: - Dựa vào tính chất “Bình phương vơ hướng vec-tơ bình phương độ dài nó” biến đổi tổng bình phương giả thiết thành hiệu bình phương vec-tơ để tạo vec-tơ xác định AC BD r r rr - Lưu ý rằng: a  b � a.b  Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: uur uuu r uuu r uuu r2 Từ giả thiết suy ra: BC2 – BA2 = DC2 – DA2  BC  BA  DC  DA uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r   BC  BA   BC  BA    DC  DA   DC  DA  uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r  AC  BC  BA   AC  DC  DA  uuu r uur uuu r uuu r uuur  AC  BC  BA  DC  DA   uuu r uur uuu r uuu r uuu r  AC  BC  CD  BA  AD   uuu r uuu r uuu r uuu r  AC.2BD  � AC.BD   AC  BD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r Ta có: MA  MC  MB  MD � MA  MB  MD  MC � BA  CD Vậy ABCD hình bình hành II- Vận dụng kiến thức vec-tơ để giải toán Đối với em học sinh giỏi hướng dẫn em khai thác sâu kiến thức vec-tơ, coi cơng cụ hữu hiệu để giải toán khác Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, nhận dạng tam giác … Điều giúp em học sinh học tập hứng thú S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 14 Trửụứng THPT Bổm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Các kiến thức mà em cần nắm vững để vận dụng kể đến gồm: rr r r r r - Tích vơ hướng hai vec-tơ: a.b  | a | | b | cos(a;b) ta suy rr r r điều sau: + a.b �| a | | b | (I) r r r r + | a.b | �| a | | b | (II) r rr r r r r r Từ (I) ta có: 2a.b �2 | a | | b | � (a  b) �(| a |  | b |) r r r r  | a  b | �| a |  | b | (III) r r Dấu (I) (III) xảy  a  kb với k > r r Dấu (II) xảy  a  kb với k  - Học sinh lớp 10 quen cơng thức tính diện tích tam giác sau: 1 S  absin C  bcsin A  acsin B 2 uuu r r 2uuu r r Nếu đặt AB  b, AC  c ta có cơng thức tính diện tích tam giác 1rr ABC sau: S  b.c.tan A �1 r r � � | b | | c | sin A � 2S rr r r � Thật vậy: b.c  | b | | c | cos A  � sin A tan A cos A 1rr  S  b.c.tan A r r ; y ) thì: - Trong hệ trục tọa độ Oxy, u  (x; y), v  (x�� rr  yy� + u.v  xx� r + | u |  x  y2 Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để làm tập sau: Ví dụ 6: Cho a, b, c, d số thực bất kỳ, chứng minh rằng: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy Giải: Gợi ý học sinh: - Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan đến khái niệm vec-tơ khơng? (Có vẻ biểu thức tọa độ tích vơ hướng độ dài vec-tơ) - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 15 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Trong hệ trục tọa độ Oxy, r r | u |  a  b2 , | v |  c2  d rr đặt r r u  (a;b), v  (c;d) Khi đó: rr Hơn nữa: u.v  ac  bd � | u.v |  | ac  bd | rr r r Từ đó, theo (II) ta có: | u.v | �| u | | v | � | ac  bd | � a  b c  d Bình phương vế ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) r r Dấu xảy u  kv hay ad = bc Ví dụ 7: Giải phương trình: x  x   x   x (*) Giải: Gợi ý học sinh: - Nếu xem xét vế trái phương trình biểu thức tọa độ tích vơ hướng hai vec-tơ vec-tơ vó tọa độ nào? - Với nhận xét vế phải biểu diễn qua vec-tơ khơng? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định: D = [–1; 3] r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (x;1), v    x;  x  thì: rr r r | u |   x , | v |  u.v  x  x   x rr r r Khi đó: (*)  u.v  | u | | v | r r 1 x 3 x Điều xảy u  kv với k >  với x >  x x 1 � 2  + x = x (3 – x)  (x – 1)(x – 2x – 1) =  � x 1� � Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = x  � Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn hàm số: y  x   x Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y  x  2  x ) - Với hàm số thế, đưa biểu thức tọa độ tích vô hướng hai vec-tơ nào? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Tập xác định hàm số: D = [0; 2] Ta có: y  x  2  x Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012 Trang 16 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (1;2 2), v   x;  x  rr rr  u.v  x  2  x � y  u.v r r Mặt khác: | u |  3, | v |  r r Áp dụng (I) ta có: y �3 Dấu xảy u  kv với k > � 1 k x � � 2 x   x � x  �D � 2 k 2x � Vậy, giá trị lớn hàm số x  Ví dụ 8: Với a, b số thực dương, tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x  2ax  2a  x  2bx  2b Giải: Gợi ý học sinh: - Trước hết, biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số (Mong muốn phải đưa dạng: y  ( a  x )2  a  ( x  b )2  b ) - Với hàm số thế, thấy chúng liên quan đến khái niệm vec-tơ? - Từ nhận xét đó, tạo điều kiện để sử dụng kết nhận xét Qua hướng dẫn, học sinh thực lời giải sau: Ta có: y  (a  x)  a  (x  b)  b Tập xác định hàm số: D =  r r Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a  x;a), v  (x  b;b) Khi đó: r r y  | u |  | v | r r r Mặt khác, ta có: u  v  (a  b;a  b), | u |  (a  x)  a , r r r | v |  (x  b)  b , | u  v |  2(a  b ) r r r r r r Hơn theo (III): | u |  |v| � | u v | y | u v | 2(a b ) r r Dấu xảy u  kv với k > a 2ab  a  x  (x  b) � x  b ab 2ab Vậy hàm số có giá trị nhỏ 2(a  b ) , đạt x ab Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 17 Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Trong năm học 2011-2012, tác giả giao giảng dạy Toán lớp 10C4, 10C7 lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10, mơn Tốn) thấp so với mặt chung nhà trường Sau học xong phần vec-tơ kết học sinh hai lớp nêu phần đầu Sáng kiến kinh nghiệm Tác giả sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, lớp 10C7 dạy theo giáo án trước Sau thực xong nội dung giáo án, tác gải khảo sát lại chất lượng hai lớp với thời lượng 60 phút đề kiểm tra sau: Câu : Cho hai tam giác ABC A'B'C' có AA', BB', CC' đơi song song Gọi I, K trọng tâm hai tam giác O trung điểm IK uur uur uuu r uuur uuur uuur r 1/ Chứng minh : OA  OB  OC  OA�  OB�  OC � 0 uuur uur 2/ Gọi M trung điểm A'B' G điểm thỏa mãn : C � G  3GI Chứng minh ba điểm O, M, G thẳng hàng r r Câu : Cho a , b hai vec-tơ không phương Chứng minh r r r r vec-tơ xr  ar  b y  2a  3b không phương Khi đó, phân r r r tích vec-tơ a theo hai vec-tơ x , y Câu : Chứng minh với số thực x, y, z ta có : x  xy  y  y  yz  z � z  zx  x Kết thu sau : Lớp Không làm Làm Số câu câu Làm câu Chỉ Điểm câu cao 10C4 45 22 (48,89%) 14 (31,11%) (20,00%) 9,25 10C7 44 19 (43,18%) 17 (38,64%) (18,18%) 9,0 S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 18 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần IV: giáo viên: Vũ Quý Phương KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm suy nghĩ cá nhân tơi q trình giảng dạy cơng tác năm học vừa qua Trong q trình giảng dạy nhận thấy với kinh nghiệm trên, học sinh bước đầu thành thạo giải toán vec-tơ sử dụng vec-tơ công cụ hữu hiệu để giải tốn đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập học sinh Thông qua số tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lơgic, q trình tập dượt sáng tạo tốn học Điều góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tuy nhiên, ý kiến chưa phù hợp với tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Việc áp dụng nội dung sán kiến vào giảng dạy cần bố trí hợp lý mặt thời gian Nếu trường khơng bố trí học tự chọn khó khăn mặt thời gian để áp dụng Hơn nữa, cần đến kiên trì giáo viên đối tượng học sinh áp dụng sáng kiến học sinh có tố chất, tư tốn học chưa thật tốt, ngại học tốn, đặc biệt hình học Với kết thu được, mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để nội dung hoàn thiện ln chnh sa sau Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 19 Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 10 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2011 [2] Nguyễn Văn Lộc - Phương pháp vec-tơ giải tốn hình học phẳng - Nhà xuất Giáo dục - 2007 [3] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [4] Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch (đồng chủ biên) - Kiểm tra đánh giá thường xun định kỳ mơn Tốn lớp 10 - Nhà xuất Giáo dục 2008 S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012 Trang 20 ... học sinh không tiếp thu tốt kiến thức vec-tơ, có nguyên nhân học sinh thực hành tốn khái niệm vec-tơ Có lý thời lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh. .. cách giải tập tốt Đặc biệt lớp 10, học sinh lần va chạm với kiến thức vec-tơ, mục đích đặt thông qua việc dạy cho học sinh vận dụng kiến thức vec-tơ để giúp học sinh thấy được: - Các ký hiệu,... thực năm học 2011 – 2012, hai lớp 10C4 10C7, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có điểm đầu vào bình qn thấp khối 10 Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn môn Tốn số buổi