CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN
1.9. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC. Gọi O là trung điểm của MN, G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng D, O, G thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Đặt: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Biểu diễn:
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗ ).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗ )
Bài 2: Các đường thẳng song song với nhau đi qua ba đỉnh A, B, C và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC’, BCA’, CAB’ thẳng hàng.
Hướng dẫn: dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác làm tương tự ví dụ 1.2.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tâm I của tam giác tiếp xúc với cạnh BC ở D. Gọi J, K tương ứng là trung điểm của BC, AD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 4: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lƣợt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
32
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi K là hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên đường chéo AC và M, N lần lượt là trung điểm của AK, CD.
Chứng minh rằng BMMN.
Hướng dẫn:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )
Bài 6: Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC, AD = DC. Chứng minh rằng hai đường thẳng AC, BD vuông góc với nhau.
Hướng dẫn:
Đặt: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có: AB = BC| | | ⃗ |, AD = DC| ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ |
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 7: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, D’C’. Chứng minh rằng BM AN.
Hướng dẫn: Đặt ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ta có:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ /
⃗
Bài 8: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi AH là đường cao của tứ diện xuất phát từ A và O là trung điểm của AH. Chứng minh rằng OB, OC, OD đôi một vuông góc.
Hướng dẫn:
33
Biểu diễn các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CD = a và
̂ ̂ ̂ . Tính góc giữa AC và BD.
Bài 10: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh AA’ = a và AA’ tạo với AD, AB các góc bằng nhau và bằng . Hãy tính góc giữa BD’ và AC.
Bài 11: Cho hình chóp đều SABC có các góc phẳng ở đỉnh S bằng . Tính góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên của hình chóp.
Bài 12: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA(ABCD) và SA = h. Tính góc tạo bởi mặt phẳng đi qua A vuông góc với SC và mặt phẳng (ABCD).
Bài 13: Cho tam giác ABC và một điểm M thay đổi nhƣng luôn luôn nằm trong tam giác. Gọi A’, B’, C’ là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng khi M thay đổi trọng tâm của tam giác A’B’C’ vẫn cố định.
Hướng dẫn: Chứng minh trọng tâm tam giác A’B’C’ trùng trọng tâm tam giác ABC
Bài 14: Cho tứ diện SABC, các điểm K, T di động trên cạnh AB, AC
sao cho 3
AT AC AK
AB . Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn: dựa vào ví dụ 5.2.
Bài 15: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N di động trên các tia AB và AC sao cho
. Dựng hình bình hành MNCP. Tìm tập hợp những điểm P.
Bài 16: Cho tứ diện ABCD. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho: , với k là số cho trước.
34
Hướng dẫn: Sử dụng tính chất trọng tâm của tứ diện.
Bài 17: Cho điểm A cố định và cố định, k là số cho trước. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bài 18: Cho tam giác ABC, các điểm M, N, P di động trên các cạnh BC, AC và AB sao cho
Bài 19: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. M, N là các điểm lần lƣợt thuộc các cạnh AB, CD sao cho
. Gọi I là điểm chia đoạn MN theo tỉ số k. Tìm tập hợp điểm I khi M, N thay đổi.
Bài 20: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D sao cho MN // BD’.
Bài 21: Cho tứ giác lồi MNPQ. Gọi A là giao điểm của hai đường chéo MN và NQ. CMR nếu A và hai trung điểm B, C của hai cạnh đối diện MN và PQ nằm trên một đường thẳng thì NMPQ là hình thang hoặc hình bình hành.
Bài 22: Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định đi qu a C. Trên d lấy điểm M và lập tổng 3MA2 + 2MB2. Tìm vị trí M để tổng đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc giữa hai trung tuyến BD, CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cos.
35
§2: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ