không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương

Sự hình thành của lớp các không gian vectơ tôpô, đặc biệt là không gian lồi địa phương cùng việc nghiên cứu các tính chất, mối liên hệ của các không gian này đã góp phần giải quyết nhiều

KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Giảng viên hướng dẫn: SVTH : Châu Thị Tuyết Trang

Th.s Lê Hồng Đức MSSV : 1100070 Lớp : Sư Phạm Toán K36

Cần Thơ, tháng 5 năm 2014

LỜI CẢM ƠN

  

   

Trên con đường chinh phục thành công, một phần động lực lớn cho em vượt lên những khó khăn, thử thách chính là sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy, cô - những người trang bị cho em kiến thức, kĩ năng vững vàng trong suốt quá trình học tập, rèn luyện; gieo cho em niềm tin vào tương lai tươi sáng

Qua bốn năm đại học, dưới sự chỉ dạy, động viên của các thầy, cô Bộ môn Toán- Khoa Sư phạm – Trường Đại học Cần Thơ, em càng nhận thức rõ hơn về năng lực bản thân và cố gắng phát huy để tiếp tục hành trình lập nghiệp

Đến đây, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy, cô – đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức – giảng viên hướng dẫn em hoàn thành luận văn này Kính chúc các thầy, cô nhiều sức khỏe, thành công trong cuộc sống!

 

05/2014 Sinh viên

       Châu Thị Tuyết Trang 

MỤC LỤC  

A. PHẦN MỞ ĐẦU   3

B PHẦN NỘI DUNG   6

Chương 1: Không gian vectơ tôpô   6

1.1 Định nghĩa   6 

1.2 Tính chất   6 

1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô   8 

1.4 Cơ sở lân cận   11 

1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô   15 

1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục và phiếm hàm tuyến tính liên tục   20 

1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương   22 

1.8 Một số không gian vectơ tôpô   23 

CHƯƠNG 2: Không gian lồi địa phương   32

2.1 Tập lồi – Tập tuyệt đối lồi   32 

2.2 Định nghĩa không gian lồi địa phương   37 

2.3 Cơ sở lân cận   37 

2.4 Nửa chuẩn liên tục và phiếm hàm Minkowski   39 

2.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn   47 

2.6 Không gian thùng   49 

Chương 3: Bài tập   52

C PHẦN KẾT LUẬN   77

TÀI LIỆU THAM KHẢO   78  

 

A. PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Giải  tích  hàm  là  một ngành  toán  học  đã  được  tìm  hiểu và  phát  triển lâu  đời. Với  những  ứng  dụng  thực  tiễn  quan  trọng,  Giải  tích  hàm  đã  được  đưa  vào  giảng dạy ở bậc Đại học, làm nền tảng cho các nghiên cứu sau này. Qua đó, chúng ta biết được  cách  xây  dựng  các  không  gian  như  không  gian  định  chuẩn,  không  gian Banach,  không  gian  Hilbert Tuy  nhiên,  các  không  gian  kể  trên  chưa  đủ  rộng  để nghiên cứu các vấn đề của Giải tích.  

Sự  hình  thành  của lớp  các  không  gian  vectơ  tôpô,  đặc  biệt  là  không  gian  lồi địa phương cùng việc nghiên cứu các tính chất, mối liên hệ của các không gian này 

đã góp phần giải quyết nhiều vấn đề nảy sinh.  Từ đó, được sự hướng dẫn, gợi ý 

của thầy Lê Hồng Đức, em đã chọn đề tài “Không gian vectơ tôpô – Không gian

lồi địa phương” làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình. 

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu, nâng cao mảng kiến thức Giải tích hàm về các lớp không gian tổng quát như không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương. Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu tạo đà cho các nghiên cứu khoa học sau này Với cách trình bài khá chi tiết, rõ ràng, hi vọng luận văn sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho các bạn đọc đam mê nghiên cứu toán học. III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian vectơ tôpô – Không gian lồi địa phương và các tính chất của các không gian đó. 

IV Phương pháp nghiên cứu

Chương 1: KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

Trong phần này, định nghĩa không  gian vectơ tôpô được trình bày  theo quan điểm  các lân  cận. Qua  đó,  rút ra  được  một  số  tính chất thú  vị  của  nó,  đặc  biệt  là tính bất biến của phép tịnh tiến và phép vị tự. Tiếp theo, luận văn làm nổi bật các tập phổ dụng của không gian vectơ tôpô như tập cân, tâp hút,   Từ đó, các tập này như một công cụ hỗ trợ giúp ta nghiên cứu các đặc điểm cơ sở lân cận của không gian này. Đồng thời, rút ra  một tính chất quan trọng cũng như cách trang bị tôpô 

cho  một  không  gian  vectơ;  đó  là:  Cấu  trúc  tôpô  trong  không  gian  vectơ  tôpô  X  

hoàn toàn xác định nếu biết được một cơ sở lân cận tại 0 của nó. 

Bên cạnh đó, thông qua các định lý, mệnh đề; một số không gian vectơ tôpô được khảo sát như không gian vectơ tôpô Hausdorff, không gian vectơ tôpô mt hóa được, không gian vectơ tôpô hữu hạn chiều  

Chương 2: KHÔNG GIAN LỒI ĐịA PHƯƠNG

Trước khi trình bày khái niệm của không gian lồi địa phương, luận văn đã nêu các tính chất của tập lồi, tập tuyệt đối lồi và mối liên hệ giữa các tập này với tập cân,  tập  hút  trong  không  gian  vectơ  tôpô Việc  nghiên  cứu  các  tập  này  nhằm hướng đến định nghĩa không gian lồi địa phương theo quan điểm cơ sở lân cận lồi tại 0. 

Tiếp đến, ta sẽ thấy được một cách xây dựng không gian lồi địa phương khác thông  qua  nghiên  cứu  họ  các  nửa  chuẩn  liên  tục,  phiếm  hàm  Minkowski  với  các tính chất liên hệ giữa cơ sở lân cận tại 0 và tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn liên tục. Khi đó, dễ dàng cho ta nghiên cứu sâu hơn các thuộc tính của nó như tính chất bị chặn, hoàn toàn bị chặn. 

Luận  văn  cũng  khẳng  định  được  không  gian  định  chuẩn  cũng  là  một  không gian lồi địa phương; đồng thời giới thiệu một số lớp không gian lồi địa phương với tôpô  sinh  bởi  họ  các  nửa chuẩn  Đặc  biệt,  nghiên cứu không  gian thùng cùng  với tính chất chặn đều cho ta thấy được sự đa dạng của không gian lồi địa phương. Chương 3: BÀI TẬP

Bài tập về không gian vectơ tôpô và không gian lồi địa phương trong luận văn được phân thành 5 dạng bao gồm: 

- Bài tập liên quan đến tính chất các tập cân, lồi, hút  

- Bài tập về phép toán trên các nửa chuẩn, chứng minh điều kiện để một nửa chuẩn liên tục. 

- Các bài tập liên quan đến các lớp không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương. 

- Một số bài tập khác. 

 

* Ánh xạ  ( )  liên tục nếu với mỗi ,xKxX  luôn tồn tại Vx sao cho 

1.3 Một số loại tập trong không gian vectơ tôpô

Ta có:   A  AA  nên  A  là tập cân. 

ii) Nếu A  chứa 0 thì   o A  là một tập cân.  o

Lấy bA o   a A o: ba. Mà  a  là một điểm trong của  A  nên tồn tại 

G  mở sao cho  aG A nên aGA. Mặt khác, G là một tập mở trong 

X , vậy  a  là một điểm trong của  A  hay baAo. 

o

bA  Thêm vào đó  0A o nên với  0 thì A  là một tập cân.  o

iii. Tập  A X  là tập hút và dãy  i i N  là dãy số không bị chặn trong  K  thì 

A A



   Khi  đó,  ,  tồn  tại  i 0 sao choxA i,   Kthỏa  0  i i1,n 

x X

   

Chọn umin u i i1,n, ta được 0 sao cho xA i, x X. 

Vậy  x X, tồn tại 0 sao choxA,   K  thỏa 0  . 

iii) Giả sử A X  là tập hút và dãy  i i N  là dãy số không bị chặn trong K  

(+)  Lấy  điểm  xX   Giả  sử  V   là  một  lân  cận  của  x   Khi  đó,  tồn  tại  G   mở  trong  X  sao cho  xGV  Suy ra,  y  y x G y x V hay y x Vy. (+)  Giả sử Bx   là  một  cơ  sở  địa  phương  tại  xX ,  với  yX   và Uy.  Ta được, T x y  U xy U . Hơn nữa,  xy U  là một lân cận của  xX  

(+)  Vậy  tồn  tại  tập  mở  WBx  sao  cho  W xy U  y x WU mà W

y x  là một lân cận của  y  nên y x W: WBx là cơ sở lân cận tại  y   Cho  x  thì y W: WB0 là  một cơ sở lân cận mở của  y  

(+)  Do  hợp  của  các  cơ  sở  lân  cận  mở  trong  X   là  một  cơ  sở  của  X   nên 

Vì   X  là một không gian vectơ tôpô nên  f  liên tục. Mà  (0) f 0 nên     0sao cho f( ) V,    



   

iii)  Xét  ánh  xạ  g X: xX X   với  g x y , x    Ánh  xạ  g   là  liên  tục  trong  y

không gian vectơ tôpô  X  Vậy tồn tại  U U1, 20 sao cho U1U2 V,  V 0. Chọn U U1U2 U U V,  V 0. 

Theo    mệnh  đề  1.4.2  thì  ta  có  J J J nJ U J 1U

n

         với  J   là  một lân cận tại 0 của  X  Suy ra  xJx. 

1.4.5 Định lý

Giả sử  X  là một không gian vectơ tôpô. Khi đó, mỗi lân cận của 0 đều chứa ít 

nhất một lân cận  mở, cân. 

Chứng minh (+) Theo 2.4.2, với mỗi V0 thì tồn tại một lân cận cân U V  

Vì U0 nên tồn tại tập G  mở sao cho  0' G'U. Khi đó, G  và -' G   là 'các lân cận mở, cân của 0. 

(+) Đặt GG'G'.  

Khi đó,  G  là giao của hai tập mở, cân nên là một tập mở, cân. Vậy  G  là một  lân cận mở, cân được chứa trong V  

1.4.6 Mệnh đề

Cho X  là một không gian vectơ tôpô,  F X  Khi đó, F FV V0.  Hơn nữa, với mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng cân của 0. 

(+)  Với xFV V0FV y V y F, V 0.  Do  đó,  tồn  tại 

zF  sao  cho  x z V   z x V x V x.  Vậy  zx V F    nên 

Theo 1.4.6, mỗi lân cận của 0 đều chứa một lân cận đóng.  

Khi đó,  V 0, F F: 0FV vậy F  là một cơ sở lân cận đóng. 

1.5 Tập bị chặn và tập compact trong không gian vectơ tôpô

1.5.1 Tập bị chặn

a) Định nghĩa

Tập bị chặn trong một không gian vectơ tôpô  X  là một tập con của  X  bị hút 

bởi một lân cận bất kì của 0. 

A X  bị chặn   V 0,  0 :AV,   b) Tính chất

i. Trong một không gian vectơ tôpô, mỗi tập một phần tử là tập bị chặn. Hơn nữa, tập chứa hữu hạn các phần tử cũng là một tập bị chặn. 

(+) Tồn tại U  là một lân cận của 0 và U V  sao cho U U V. 

Cho X  là không gian vectơ tôpô,  A X  là một tập con hoàn toàn bị chặn khi 

và  chỉ  khi  tồn  tại  một  tập  hữu  hạn  B X   sao  cho  với  mọi  lân  cận V0  thì 

1.5.3 Tập compact

a) Định nghĩa

Cho X, là không gian vectơ tôpô,  A X  là một tập compact nếu với mọi 

phủ mở của  A trong  X  thì  A  có một phủ con hữu hạn. 

Chứng minh Giả sử A A  là các tập compact trong không gian vectơ tôpô1, 2 X  

Hơn nữa, dễ thấy i A i với iK i 1,n là các tập compact. Khi đó, bằng 

quy nạp, ta suy ra được 

1

n

i i i

Tương  tự  chứng  minh  trên,  để  chứng  minh 

1

n

i i i

A





   là  tập  compact,  ta  dùng quy nạp. 

c) Định lý

Nếu  A  là một tập compact và  B là một tập con đóng trong không gian vectơ  tôpô  X  Khi đó,  AB là một tập đóng. 

Chứng minh (+) Lấy xX \AB x ABxx iB , với mỗi x iA 

(+) Vì  B là một tập con đóng nên theo 1.4.6 thì V i0: xx i V iB .  

Mà V i0 nên U i0:U i U i V i (U  mở) cho nên  i x iU ilà tập mở. (+)  Ta  thấy   i i

(+) Ta có  Z  là một tập đóng và  YZ   nên với xY,  V 0 x V x sao cho x V Z  . 

(+) Mặt khác, do  X  là một không gian vectơ tôpô nên ánh xạ  ( ): X xX xX X  

liên tục. Từ đó, tồn tại một lân cận U  mở, đối xứng của 0 sao cho U U U V. Suy ra, x U U U x V , x  nên Y x U U U Z  , xY. 

iii) Nếu  f : X Y là một toàn ánh tuyến tính liên tục thì ảnh của một tập hút 

là một tập hút. 

Chứng minh

i) Giả sử  A  là một tập cân trong không gian vectơ tôpô  X  và  f : X Y là ánh xạ liên tục. 

Cho  X   là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  f : X K  là  một  phiếm  hàm  tuyến tính. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương 

i)  f  liên tục. 

ii) Ker f  là tập đóng. 

iii) Tồn tại một lân cận của 0 sao cho  f  bị chặn trong lân cận đó. 

Chứng minh i)  ii)  Ta  có  Ker f xX f x:  0.  Khi  đó,     là  lân  cận  của  0  thì V

x V   x

Vậy với mọi xKer f  thì  erK f x V  . 

ii)  iii) Với  erK f  là tập đóng thì  er K f  X hoặc  erK f  không đâu trù mật. 

(+) Nếu  erK f  Xthì  f x 0, x X  Vậy  f  bị chặn bởi 0,  V x. 

(+) Nếu Ker f  không đâu trù mật thì  X K\ er f  là tập mở khác rỗng. 

Lấy xX K\ er f  x Ker f , tồn tại lận cân U0:x U Ker f  . 

Do U  cân nên  f U  cân, suy ra   f U  bị chặn   

iii)  i) Giả sử với V  là một lân cận tại 0, và  kK k,   0 f V  k 

Vậy  f  liên tục tại 0 nên  f  liên tục trên  X  

1.7 Không gian vectơ tôpô con- Không gian vectơ tôpô thương

1.7.1 Không gian vectơ tôpô con

1.7.3 Tích và tổng các không gian vectơ tôpô

a) Tích các không gian vectơ tôpô

b) Tổng các không gian vectơ tôpô

Trong  không  gian  vectơ  tôpô  tích  i

1.8 Một số không gian vectơ tôpô

1.8.1 Không gian vectơ tôpô Hausdorff

a) Định nghĩa

Cho X,  là  các  không  gian  vectơ  tôpô,  X   là  một  không  gian  vectơ  tôpô 

Hausdorff nếu X,là một không gian Hausdorff T 2 không gian. 

Các  định  lý  sau  đây  khẳng  định  các  điều  kiện  để  một  không  gian  vectơ  tôpô  là Hausdorff. 

Lấy  xX \ 0 ,  khi  đó  có  U V, 0  để  x U x,V0  và 

x U V  . Vậy tồn tại lân cận V  của 0 không chứa  X  

   (Phản chứng) Giả sử với mọi phần tử khác 0 thuộc  X  có một lân cận tại 0  không chứa nó thì  X  không là Hausdorff. 

(+) Lấy tùy ý  ,x yX x:  y, suy ra xy  Vậy 0  V 0:x y V. 

(+) Do V0 nên U0:U U V  Như vậy, x U x v y Uà  y. 

Cho nên  y U  là một lân cận của  y  không chứa  x  Suy ra,  y U  X \ x  

(+) Do  y U  là một lân cận của  y  nên tồn tại  G  mở sao cho  yG y U  . 

Ta được, yG X \ x  hay  y  là điểm trong của  X \ x , với mọi  yX \ x  

Suy  ra,  z y U   x U x y U U   x y U U  mà  theo  (*) thì y U U   x   (mâu thuẫn). 

   Giả sử  X  là không gian vectơ tôpô Hausdorff ,  xX \ 0 . 

Vì  X  Hausdorff nên theo 1.8.1b) tồn tại  V0: x V  Mặt khác, do V0 nên tồn tại UB0:U V  và 

Mà  M  X   là  một  tập  đóng  nên   V 0,V đối  xứng  sao  cho 

x V M  .  Suy  ra,  xM V xxMM V.  Vì  phép  tịnh  tiến  là 

Chứng minh (+) Lấy ( )x ( )i i  1, nx  n

   (mâu thuẫn (*)). 

Xét p i: K n K với p x i ( ,x x1 2, ,x n) x i tương ứng với mỗi i1,n. Đặt  g  p i f1: X K  là  một  phiếm  hàm  tuyến  tính.  Hơn  nữa,  với  mọi 

x V  thì  g x   Vậy  g  bị chặn bởi một lân cận  0  1 X. 

Theo định lý 1.6.3 thì  g  liên tục. Cho nên  f1 liên tục. 

Do  M là  một  không  gian  con  hữu  hạn  chiều  của  X   nên  theo  nhận  xét  trên 

M là một không gian con đóng. Mà  Y  đóng nên  X Y  là không gian Hausdorff, /suy ra M Y i M  là không gian hữu hạn chiều trong X Y  Vậy/ M Y là một tập đóng. 

1.8.3 Không gian vectơ tôpô metric

 là mêtric trên  X  nên  X có một cơ sở lân cận đếm được. 

(   Giả  sử ) X   có  một  cơ  sở  lân  cận  đếm  được  tại  0  là  V n (n   )  sao  cho *

(+)  Giả  sử  với  một  họ  x i i ( I)sao  cho  có  n   vectơ  thỏa 

1( ) 2

n

m i

n

m i

Trường hợp 1: 

1

1

1( ) 2

n

m i

n

m i

n

m i

đề trên ta có được p x( )2 m12m  p x( )(!). Vậy v  thỏa. 

Từ  đó,  ta  xác  định  được  một  mêtric  d    thỏa  d x y( , )d x( y),x y, X  sinh ra tôpô  của X  

Nhận xét:

Một không gian vectơ tôpô Hausdorff bị chặn địa phương thì khả mêtric. 

Chứng minh Giả  sử V   là  một  lân  cận  bị  chặn  địa  phương  trong  không  gian  vectơ  tôpô 

Hausdorff X  và  n  là một dãy số khác 0 sao cho nn  0

Lấy U  là một lân cận cân tùy ý trong  X , do tính bị chặn nên tồn tại K để 

V U. 

Chọn  n   sao  cho   n    Khi  đó, 1 n V U   Vậy  X   có  một  cơ  sở  lân  cận 

đếm được là n V. Theo định lý trên thì  X  khả mêtric. 

i) Trong   , một đoạn a b;  a b   là một tập lồi. , 

ii) Hình tròn trong  , hình cầu mở trong 2   cũng là các tập lồi. 3

v) Một tập lồi chứa 0 là một tập cân. 

Chứng minh

Giả sử  X  không gian vectơ tôpô,  A X là một tập lồi. 

i) Ta chứng minh  A ,  A  là các tập lồi. 

Mặt  khác, U V   là  các  tập  mở  nên , x U  , 1y V   là  các  tập  mở. Cho nên x U   1y V  là tập mở.  

Hơn nữa, do  A là một tập lồi nên A1A A. 

Vậy  A  là một lân cận của x1y hay x1y là một điểm trong 

của  A  với mọi  , x y   Ta được A x1y    nên  A  lồi.  A

Nếu  E  là  một  tập  lồi  trong  không  gian  vectơ  tôpô  thì 

   Giả sử  E  là một tập lồi và cân. Với mọi  , K sao cho      1

2.2 Định nghĩa không gian lồi địa phương

Không gian  vectơ tôpô lồi địa phương (không gian lồi  địa phương) là không gian vectơ tôpô mà mọi phần tử của nó đều có cơ sở lân cận lồi. 

Ta  đã  biết,  một  cấu  trúc  tôpô  của  một  không  gian  vectơ  hoàn  toàn  xác  định nếu biết được một cơ sở lân cận tại 0 của nó. Như vậy, một không gian vectơ tôpô trở thành một không gian lồi địa phương nếu phần tử 0 thuộc không gian này có cơ 

Chứng minh

Chứng  minh  tương  tự  ở  mệnh  đề trên  với V  B0  là  các  lân  cận  lồi  cân.  Khi 

đó, tồn tại  G  mở conV  Ta được  C G  là một lân cận mở, cân, lồi của 0.  

2.3.2 Mệnh đề

Cho  X  là một không gian vectơ, họ    gồm các tập cân, lồi, hút. Khi đó,  X  

có một tôpô địa phương duy nhất   sao cho B V V , 0là cơ sở lân cận 

tại 0 của  X  

Chứng minh Đặt 

W  V  V  V

         thỏa  2W W   Hơn  nữa,  do ,

W W  lồi nên theo 2.1.3 thì WW2WW. 

Theo 1.4.4,  là vectơ tôpô trên  X , đặc biệt   là tôpô lồi địa phương vì có cơ 

sở  lân  cận  là  các  tập  lồi.  Vậy  không  gian  có  một  tôpô  duy  nhất   sao  cho