Không gian lồi địa phương và định lý krein milman

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN Sinh viên thực hiện: HỒNG GIA MINH CHÂU Tên đề tài: KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ĐỊNH LÝ KREIN - MILMAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Tốn Người hướng dẫn: TS Lê Hồng Trí Đà Nẵng - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Hồng Trí - người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán trường Đại Học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Gia Minh Châu LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết cơng trình nghiên cứu thân em hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hồng Trí Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận này, em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hoàng Gia Minh Châu Mục lục Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Chương Không gian vectơ topo lồi địa phương 1.1.Những đặc tính sơ cấp ví dụ 1.2.Không gian khả metric khả chuẩn lồi địa phương 20 1.3.Một số hệ hình học định lý Hahn-Banach 23 Chương Định lý Krein - Milman 33 2.1.Tính đối ngẫu 33 2.2.Định lý Krein - Milman 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Lời mở đầu Lý chọn đề tài: Giải tích hàm ngành toán học xây dựng đầu kỷ XX đến xem ngành toán học cổ điển tốn học Trong q trình phát triển mình, giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú; kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú; kết mẫu mực, tổng quát giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan, sử dụng đến cơng cụ giải tích khơng gian vectơ Chính điều mở rộng phạm vi nghiên cứu cho ngành toán học Với mong muốn đưc tìm hiểu sâu mơn với hướng dẫn thầy giáo - TS Lê Hồng Trí, em chọn đề tài:"Khơng gian lồi địa phương định lý Krein - Milman" Mục đích nghiên cứu: Làm quen với nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu khơng gian lồi địa phương, nội dung bao hàm nhiều tính chất đặc trưng, tổng quát giải tích hàm định lý Krein - Milman Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu định nghĩa đặc tính khơng gian lồi địa phương đặc tính sơ cấp, điều kiện khả metric, khả chuẩn khơng gian lồi địa phương, hệ hình học định lý Hahn-Banach Nghiên cứu định lý Krein - Milman, cách chứng minh định lý số vấn đề liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu: Với mục đích trên, nhiệm vu nghiên cứu là: • Nghiên cứu định nghĩa số đặc tính khơng gian lồi địa phương • Nghiên cứu khơng gian đối ngẫu topo yếu khơng gian đối ngẫu • Nghiên cứu cách chứng minh định lý Krein - Milman Phương pháp nghiên cứu: • Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu • Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Cấu trúc khóa luận: Khóa luận bao gồm lời mở đầu, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo • Chương khóa luận trình bày số kết biết khơng gian lồi địa phương, đặc tính sơ cấp, không gian lồi địa phương khả metric khả chuẩn, số hệ hình học định lý Hahn-Banach • Chương khóa luận trình bày số kết tính đối ngẫu định lý Krein - Milman số vấn đề liên quan Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 27 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Hồng Gia Minh Châu Chương Khơng gian vectơ topo lồi địa phương X không gian vectơ topo X vừa không gian vectơ, vừa không gian topo cho phép cộng hai vectơ phép nhân vectơ với số phép tốn liên tục Mỗi khơng gian vectơ topo gọi lồi địa phương lân cận tồn lân cận lồi chứa 1.1 Những đặc tính sơ cấp ví dụ Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian vectơ Khi X khơng gian vectơ topo X với topo mà thỏa mãn: • Ánh xạ ϕ:X ×X →X (x, y) → x + y liờn tc ã nh x :FìX X (, y) → αx liên tục Ví dụ: Khơng gian định chuẩn không gian vectơ topo Chúng minh: Cho (X,||.||) không gian định chuẩn Gọi d metric cảm sinh từ ||.|| (chọn d(x,y)=||x-y||) Khi đó, d metric cảm sinh topo T X Nhận thấy, phép cộng vectơ (+): X ×X →X (x, y) → x + y liên tục với topo T Phép nhân (.): F×X →X (α, y) → αx liên tục với topo T Do X khơng gian vectơ topo Ví dụ: Khơng gian Banach, khơng gian Hilbert không gian vectơ topo Chúng minh: Tương tự chứng minh Mệnh đề 1.1.1 Cho X không gian vectơ topo P họ nửa chuẩn X Cho T topo X có sở topo gồm tập {x ∈ X : p(x − x0 ) < ε} với p ∈ P, x0 ∈ X, ε > Ta có tập U ⊆ X mở ∃p1 , p2 , , pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , , εn > cho n {x ∈ X : pj (x − x0 ) < εj } ⊂ U j=1 Chứng minh: Phải chứng minh X có topo T thỏa mãn hai điều kiện (1) Chứng minh ánh xạ ϕ:X ×X →X (x, y) → x + y liên tục với topo T ∀(x0 ; y0 ) ∈ X × X, V lân cận ϕ(x0 ; y0 ) = x0 + y0 Phải chứng minh ϕ−1 (V ) lân cận (x0 ; y0 ) V tập mở V ⇒ ∀v ∈ V, ∃p1 , p2 , , pn ∈ P, ∃ε1 , ε2 , , εn > cho n {x ∈ X : pj (x − x0 − y0 ) < εj } ⊂ V V0 = j=1 V0 tập mở, x0 + y0 ∈ V0 ⇒ V0 lân cận x0 + y0 Đặt n −1 ϕ−1 ({x ∈ X : pj (x − x0 − y0 ) < εj }) U0 = ϕ (V0 ) = j=1 n W0 = {x ∈ X : pj (x − x0 ) < εj } {y ∈ X : pj (y − y0 ) < εj } j=1 n T0 = j=1 Khi W0 , T0 mở X (x0 ; y0 ) ∈ W0 × T0 ∀(x; T0 , ta có:  y) ∈ W0 ×   x∈W  p (x − x ) < εj , ∀j = 1; n j o ⇒  y∈T  p (y − y ) < εj , ∀j = 1; n j o ⇒ pj (x − xo ) + pj (y − yo ) < εj , ∀j = 1; n ⇒ pj (x + y − xo − yo ) < pj (x − xo ) + pj (y − yo ) < εj , ∀j = 1; n ⇒ x + y ∈ {x ∈ X : pj (x − x0 − y0 )}, ∀j = 1; n ⇒ x + y ∈ V0 ⇒ (x; y) ∈ ϕ−1 (V0 ) = U0 ⇒ W0 × T0 ⊂ U0 Suy U0 mở X, U0 lân cận (x0 ; y0 ) Do (x0 ; y0 ) ∈ X × X, V0 lân cận ϕ(x0 ; y0 ) U0 = ϕ−1 (V0 ) lân cận (x0 , y0 ) Vậy ánh xạ ϕ liên tục (2) Chứng minh ánh xạ ψ: F×X →X (α, y) → α.x liên tục với topo T ∀(α0 , x0 ) ∈ F × X, V lân cận ψ(α0 , x0 ) = α0 x0 Phải chứng minh ψ −1 (V ) lân cận (α0 , x0 ) liên tục f : X → R cho S = {x ∈ X : f (x) > α} với α ∈ R S nửa khơng gian đóng tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → R cho S = {x ∈ X : f (x) ≥ α} với α ∈ R • Hai tập A B gọi tách hoàn toàn chúng chứa hai nửa không gian mở rời • Hai tập A B gọi tách chúng chứa hai nửa không gian đóng mà giao chúng siêu phẳng Affine đóng Mệnh đề 1.3.2 Cho X khơng gian vectơ topo thực.Khi đó: (a) Bao đóng nửa khơng gian mở nửa khơng gian đóng Miền nửa khơng gian đóng nửa khơng gian mở (b) Nếu A, B ⊂ X A B tách hoàn toàn (tách nhau) tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → R α ∈ R cho: f (a) > α, ∀a ∈ A(f (a) ≥ α, ∀a ∈ A) f (b) < β, ∀b ∈ B(f (b) ≤ β, ∀b ∈ B) Chứng minh: Chứng minh (a): Giả sử A nửa không gian mở X Phải chứng minh clA nửa khơng gian đóng Theo định nghĩa, A nửa khơng gian mở nên tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → R cho A = {x ∈ X : f (x) > α} với α ∈ R Đặt U = {x ∈ X : f (x) ≥ α} Khi U nửa khơng gian đóng Ta chứng minh clA = U Ta có U tập đóng chứa A clA ⊆ U ∀x ∈ U ⇒ f (x) ≥ α Nếu f (x) > α x ∈ A ⊆ clA, ta điều cần chứng minh Giả sử f (x) = α Lấy r > thuộc R Do R trù mật nên ∃x0 ∈ X cho α < f (x0 ) < r + α ⇒ f (x0 ) > f (x) f (x0 ) − α > r Ta có α < f (x0 ) ⇒ x0 ∈ A 27 Mặt khác |f (x0 − x)| = f (x0 − x) = f (x0 ) − f (x) = f (x0 ) − α < r ⇒ x0 ∈ B(x, r) ⇒ B(x, r) ∩ A = ∅, ∀r > Chứng minh tương tự B(x, r) ∩ X\A = ∅, ∀r > Do x ∈ clA ⇒ U ⊆ clA ⇒ U = clA Vậy bao đóng nửa không gian mở nửa không gian đóng Giả sử B nửa khơng gian đóng Phải chứng minh intB nửa khơng gian mở Theo định nghĩa, B nửa không gian đóng nên tồn hàm tuyến tính liên tục g : X → R cho B = {x ∈ X : g(x) ≥ α} với α ∈ R Đặt W = {x ∈ X : g(x) > α} Khi W nửa khơng gian mở Ta chứng minh intB = W Do W tập mở chứa B nên W ⊆ intB ∀x ∈ intB, ta có g(x) ≥ α Nếu g(x) = α, tương tự phần chứng minh trước, ta x ∈ clB: mâu thuẫn Do g(x) > α ⇒ x ∈ W ⇒ intB ⊆ W ⇒ intB = W Vậy miền nửa khơng gian đóng nửa khơng gian mở Chứng minh (b): A B hai tập tách hồn tồn, theo định nghĩa, tồn hai nửa không gian mở S, T rời chứa A B Khi tồn hàm tuyến tính liên tục f, g : X → R cho: S = {x ∈ X : f (x) > α},α ∈ R T = {x ∈ X : g(x) > β},β ∈ R Không giảm tổng quát, giả sử α < β Do S ∩ T = ∅ nên α < f (x) < β, ∀x ∈ S Đặt h(x) = g(x) − f (x), ∀x ∈ X Khi h : X → R hàm tuyến tính liên tục ∀a ∈ A ⇒ a ∈ S ⇒ f (a) > α Mặt khác, a ∈ / T ⇒ g(a) ≤ β Do đó, h(a) = g(a) − f (a) < β − α, ∀a ∈ A ∀b ∈ B ⇒ b ∈ T ⇒ g(b) > β 28 Mặt khác, b ∈ / S ⇒ f (x) ≤ α Do đó, h(b) = g(b) − f (b) > β − α Vậy ta điều phải chứng minh Định lý 1.3.3 Cho X không gian vectơ topo, A B hai tập lồi tách với A mở Khi tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → R đại lượng vô hướng th α cho f (a) < α, ∀a ∈ A f (b) ≥ α, ∀b ∈ B Nếu B tập mở A B tách hồn tồn Chứng minh: Đặt G = A − B = {a − b : a ∈ A, b ∈ B} A B tập lồi, ta dễ dàng chứng minh G tập lồi Mặt khác G = {A − b : b ∈ B} mà A tập mở, G mở Lại có A ∩ B = ∅ nên ∈ / G Theo định lý 1.3.2, tồn siêu phẳng đóng µ X: µ ∩ G = ∅ Đặt f : X → R hàm tuyến tính cho µ = Kerf ⇒ f (G) tập lồi R ∈ / f (G) ⇒ f (x) > 0, ∀x ∈ G f (x) < 0, ∀x ∈ G Không giảm tổng quát, giả sử f (x) > 0, ∀x ∈ G Nếu a ∈ A, b ∈ B, < f (a − b) = f (a) − f (b) ⇒ f (a) > f (b) ⇒ ∃α ∈ R : sup{f (b) : b ∈ B} ≤ α ≤ inf {f (a) : a ∈ A} Ta suy điều cần chứng minh Bổ đề 1.3.2 Nếu X không gian vectơ topo, K tập compact X V tập mở X cho K ⊆ V , tồn lân cận mở U cho K +U ⊆V Chứng minh: Đặt U tập gồm tất lân cận mở Chứng minh phản chứng, giả sử ∀U ∈ U, K + U ⊂ V Khi tồn vectơ xu ∈ K yu ∈ U cho xu + yu ∈ X\V Ta định nghĩa quan hệ thứ tự U: U1 ≥ U2 U1 ⊆ U2 29 ⇒ U tập có hướng {xu }, {yu } lưới Cho yu → X Vì K compact nên tồn t x ∈ K cho xu → x (xu tụ lại x) Do đó, xu + yu → x + = x ⇒ x ∈ cl(X\V) = X\V: mâu thuẫn giả thiết x∈K ⊆V Điều kiện K compact bổ đề cần thiết, giả sử K đóng thơi khơng đủ Định lý 1.3.4 Cho X không gian lồi địa phương thực Cho A B hai tập lồi, đóng, tách X Nếu B compact A B tách hoàn toàn Chứng minh: Theo giả thuyết, B tập compact tập mở X\A Theo bổ đề vừa chứng minh, tồn lân cận mở U1 cho B + U1 ⊆ X\V Vì X lồi địa phương nên tồn nửa chuẩn liên tục p X cho {x : p(x) < 1} ⊆ U1 Đặt U = {x : p(x) < 12 } Khi (B + U ) ∩ (A + U ) = ∅ A + U , B + U tập lồi mở X chứa A B Chú ý việc giả sử hai tập lồi đóng compact cần thiết định lý 1.3.4 Vì thực tế, X = R2 , A = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 0} B = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x−1 > 0} A B hai tập lồi đóng rời khơng thể tách hồn tồn Hệ 1.3.2 Nếu X khơng gian lồi địa phương thực, A tập đóng, lồi X x ∈ / A {x} tách biệt hoàn toàn với A Hệ 1.3.3 Nếu X không gian lồi địa phương thực A ⊆ X, co(A) giao nửa khơng gian đóng chứa A Chứng minh: Cho H tập tất nửa khơng gian đóng chứa A Do tập thuộc H đóng lồi nên co(A) ⊆ {H : H ∈ H} Mặt khác, x0 ∈ / co(A), theo hệ 1.3.2, tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → R α ∈ R cho f (x0 ) > α f (x) < α, ∀x ∈ co(A) 30 Do đó, H = {x : f (x) ≤ α} thuộc H x0 ∈ / H Hệ 1.3.4 Nếu X không gian lồi địa phương thực A ⊆ X, bao tuyến tính đóng A giao tất siêu phẳng đóng chứa A Nếu X khơng gian lồi địa phương phức, khơng gian lồi địa phương thực Điều sử dụng để xây dựng chứng minh khác kết có Chẳng hạn như, định lý 1.3.5 phiên phức định lý 1.3.4 Định lý 1.3.5 Cho X không gian lồi địa phương phức Cho A B hai tập lồi, đóng, tách X Nếu B compact, tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → C α ∈ R, ε > cho với a ∈ A, b ∈ B, ta có: Ref (a) ≤ α < α + ε ≤ Ref (b) Hệ 1.3.5 Nếu X không gian lồi địa phương Y đa tạp tuyến tính X, Y trù mật X hàm tuyến tính liên tục X triệt tiêu Y hàm đồng Hệ 1.3.6 Nếu X không gian lồi địa phương, Y khơng gian đóng X x0 ∈ X\Y , tồn hàm tuyến tính liên tục f : X → F cho f (y) = 0, ∀y ∈ Y f (x0 ) = Kết cho thấy khơng gian lồi địa phương, có nhiều hàm tuyến tính liên tục Ví dụ: Với < p < 1, cho Lp (0, 1) họ gồm lớp tương đương hàm đo f : (0, 1) → R cho: |f (x)|p dx < ∞ ((f ))p = d(f, g) = ((f − g))p metric Lp (0, 1), với metric này, Lp (0, 1) không gian Fréchet Lp (0, 1) có tập lồi khác rooxng Do đó, Lp (0, 1) lồi địa phương 31 Chứng minh: Ta kiểm tra: • d metric Lp (0, 1) d bất biến tịnh tiến • Lp (0, 1), < p < đầy đủ • Lp (0, 1) khơng gian vectơ topo • Nếu G tập mở, lồi, khác rỗng Lp (0, 1) G = Lp (0, 1) 32 Chương Định lý Krein - Milman Chương phát biểu số kết tính đối ngẫu, phát biểu chứng minh định lý Krein - Milman 2.1 Tính đối ngẫu Với khơng gian lồi địa phương X, cho X ∗ không gian hàm tuyến tính liên tục X Nếu x∗ , y ∗ ∈ X ∗ α ∈ F, (αx∗ + y ∗ )(x) ≡ αx∗ (x) + y ∗ (x), x ∈ X Do đó, X ∗ có cấu trúc không gian - vecto tự nhiên Ta dùng kí hiệu x, x∗ đại diện cho x∗ (x) với x ∈ X x∗ ∈ X ∗ Định nghĩa 2.1.1 Cho X không gian lồi địa phương, topo yếu X, kí hiệu "wk" hay σ(X, X ∗ ), topo định nghĩa họ nửa chuẩn {px∗ : x∗ ∈ X ∗ }, đó: px∗ (x) = | x, x∗ | Topo sao-yếu X ∗ , kí hiệu wk ∗ hay σ(X ∗ , X), topo định nghĩa họ nửa chuẩn {px : x ∈ X}, đó: px (x∗ ) = | x, x∗ | Do tập U X mở yếu với x0 thuộc U , tồn ε > x∗1 , , x∗n ∈ X ∗ cho: n {x ∈ X : | x − x0 , x∗k | < ε} ⊆ U k=1 33 Một lưới {xi } X hội tụ yếu đến x0 xi , x∗ → x0 , x∗ với x∗ thuộc X ∗ Lưu ý (X, wk) (X ∗ , wk ∗ ) không gian lồi địa phương Cũng X có sẵn topo wk topo thứ hai X Tuy nhiên, X ∗ khơng có sẵn topo ban đầu wk ∗ topo X ∗ Tất nhiên X khơng gian định chuẩn, khẳng định khơng cịn X ∗ khơng gian Banach Ngồi ra, cần lưu ý vị trí X X ∗ kí hiệu σ(X, X ∗ ) = wk σ(X ∗ , X) = wk ∗ Nếu {xi } X xi → X với x∗ thuộc X ∗ , xi , x∗ → Do đó, T topo X wk ⊆ T x∗ thuộcX ∗ liên tục Định lý 2.1.1 Nếu X khơng gian lồi địa phương, (X, wk)∗ = X ∗ Chứng minh: Mỗi tập mở yếu tập mở topo gốc, f (X, wk)∗ thuộc X ∗ ⇒ (X, wk)∗ ⊆ X ∗ Ngược lại, dễ dàng chứng minh X ∗ ⊆ (X, wk)∗ Vậy (X, wk)∗ = X ∗ Mệnh đề 2.1.1 Cho X không gian vecto trường F = R C n Cho f, f1 , , fn hàm tuyến tính X Nếu Kerf ⊇ vô hướng α1 , , αn cho f = n k=1 Kerf tồn k=1 αk y k Chứng minh: Khơng tính tổng qt, ta giả sử với ≤ k ≤ n, n Kerfj = Kerfj j=1 j=k (Ta dễ dàng kiểm tra điều chứng minh phản chứng.) n Như với ≤ k ≤ n, tồn yk ∈ Kerfj cho yk ∈ / j=k ⇒ fj (yk ) = với j = k fk (yk ) = Đặt xk = [fk (yk )]−1 yk Khi đó, fk (xk ) = fj (xk ) = với j = k Đặt αk = f (xk ) 34 Kerfj j=1 Nếu x ∈ X, xét y = x − n k=1 fk (x)xk fj (y) = fj (x) − n k=1 fk (x)fj (xk ) = Theo giả thiết,f (y) = 0, n = f (x) − fk (x)f (xk ) k=1 n = f (x) − αk fk (x) k=1 ⇔f= n k=1 αk yk Định lý 2.1.2 Nếu X không gian lồi địa phương, (X ∗ , wk ∗ )∗ = X Chứng minh: ∀x ∈ X, x∗ → x, x∗ hàm wk ∗ liên tục X ∗ Do đó, X ⊆ (X ∗ , wk ∗ )∗ Ngược lại, ∀f ∈ (X ∗ , wk ∗ )∗ , theo định lý 1.3.1, tồn vecto x1 , , xn ∈ X cho |f (x∗ )| ≤ n | xk , x∗ |, ∀x∗ ∈ X ∗ k=1 Suy ra, ∩{kerxk : ≤ k ≤ n} ⊆ ker f n α k xk Khi theo mệnh đề 2.1.1, tồn vô hướng α1 , , αn cho f = k=1 Do đó, f ∈ X ⇒ (X ∗ , wk ∗ )∗ ⊆ X Vậy (X ∗ , wk ∗ )∗ = X Chú ý: X đối ngẫu không gian lồi địa phương (X ∗ , wk ∗ ), X có topo sao-yếu σ((X, wk ∗ ), X ∗ ) Ta có: σ((X, wk ∗ ), X ∗ ) = σ(X, X ∗ ) Nếu A ⊆ X, ta nói tập A đóng có nghĩa A đóng topo gốc X Nếu A đóng topo yếu X, ta nói tập A đóng yếu wk-đóng Tương tự, clA bao đóng A topo gốc wk − clA bao đóng A topo yếu Định lý 2.1.3 Nếu X không gian lồi địa phương A tập lồi X, clA = wk − clA Chứng minh: Nếu T topo gốc X, wk ⊆ T Do đó, clA ⊆ wk − clA Ngược lại, x ∈ X\clA theo định lý 1.3.5, tồn x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R ε > cho với a ∈ clA: Re a, x∗ ≤ α < α + ε ≤ Re x, x∗ 35 Do đó, clA ⊆ B ≡ {y ∈ X : Re y, x∗ ≤ α} Mà B wk-đóng x∗ wk-liên tục, x ∈ / B, x ∈ / wk − clA Nên suy wk − clA ⊆ B Hệ 2.1.1 Một tập lồi X đóng đóng yếu 2.2 Định lý Krein - Milman Định nghĩa 2.2.1 Nếu K tập lồi khơng gian vectơ X, điểm a ∈ K gọi điểm cực biên K không tồn đoạn thẳng mở thực chứa a nằm hoàn toàn K Ta gọi ext K tập chứa điểm cực biên K Một đoạn thẳng mở tập có dạng {x1 , x2 } ≡ {tx2 + (1 − t)x1 : < t < 1} Và ta nói đoạn thẳng thực x1 = x2 Một số ví dụ: (a) Nếu X = R2 K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y ≤ 1} ext K = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y = 1} (b) Nếu X = R2 K = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0} ext K = ∅ (c) Nếu X = R2 K = {(x, y) ∈ R2 : x < 0} ∪ {(0, 0)} ext K = {(0, 0)} (d) Nếu X không gian định chuẩn K = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1} ext K ⊆ {x ∈ X : ||x|| = 1}, ext K = ∅ Mệnh đề 2.2.1 Nếu K tập lồi không gian vectơ X a ∈ K, khẳng định sau tương đương: (a) a ∈ extK (b) Nếu x1 , x2 ∈ X a = 21 (x1 + x2 ), x1 ∈ / K x2 ∈ / K x1 = x2 = a (c) Nếu x1 , x2 ∈ X, < t < a =tx1 + (1 − t)x2 thì x1 ∈ / K, x2 ∈ / K x1 = x2 = a (d) Nếu x1 , , xn ∈ K a ∈ co{x1 , , xn }, ∃k : a =xk (e) K\{a} tập lồi Định lý 2.2.1 Định lý Krein - Milman Nếu K tập lồi, compact, khác rỗng không gian lồi địa phương X, ext K = ∅ K = co(extK) 36 Chứng minh: (Theo Léger [1968]) Theo mệnh đề 2.2.1, điểm a điểm cực biên K K\{a} tập mở tương đối Vậy nên tìm tập thực sự, lồi, mở tương đối, tối đại K (Ta nhắc lại, U gọi mở tương đối X với x ∈ U , tồn ε > cho B(x, ε) ∩ X ⊆ U ) Gọi U gồm tất tập thực sự, lồi, mở tương đối K Do X không gian lồi địa phương K = ∅ (ta giả sử K tập gồm phần tử) nên U = ∅ Ta định nghĩa quan hệ thứ tự U: U1 ≤ U2 U1 ⊆ U2 Khi đó, U tập thứ tự Cho U0 xích (tập thứ tự toàn phần) U Đặt U0 = ∪{U : U ∈ U0 } ⇒ U0 mở Mặt khác lại có U0 xích nên U0 lồi Nếu U0 = K, K compact ⇒ ∃U ∈ U0 : U = K điều mâu thuẫn với tính thực tập U ⇒ U0 ∈ U Như theo bổ đề Zorn, U có phần tử tối đại Ta đặt phần tử tối đại U Nếu x ∈ K ≤ λ ≤ 1, ta xét: Tx,λ : K → K y → λy + (1 − λ)x Khi đó, Tx,λ liên tục Tx,λ ( n j=1 n j=1 αj y j ) = n j=1 αj Tx,λ (yj ), y1 , , yn ∈ K, α1 , , αn ≥ αj = (như Tx,λ ánh xạ affine từ K vào K) Nếu x ∈ U , Tx,λ (U ) ⊆ U Do U ⊂ Tx,λ −1 (U ) Tx,λ −1 (U ) tập mở, lồi K Nếu y ∈ (clU )\U Lại có x ∈ U = intU (do U mở), theo mệnh đề 1.1.5, ta có Tx,λ (y) ∈ [x, y) ⊆ U −1 ⇒ y ∈ Tx,λ (U ) −1 ⇒ (clU )\U ⊆ Tx,λ (U ), mà U ⊂ Tx,λ −1 (U ) 37 ⇒ clU ⊂ Tx,λ −1 (U ) −1 U = Tx,λ (U ) Mặt khác Tx,λ −1 (U ) tập mở, lồi K, U ⊂ Tx,λ −1 (U ).Do U phần tử tối đại U nên Tx,λ −1 (U ) ∈ /U ⇒ Tx,λ −1 (U ) = K Như ta suy Tx,λ (K) ⊆ U x ∈ U ≤ λ ≤ Nếu V tập lồi, mở K, V ∪ U tập lồi (*) Lại có U phần tử tối đại U nên ta có V ∪ U = U V ∪ U = K (Chứng minh (*): ∀x, y ∈ V ∪ U , ta phải chứng minh λx + (1 − λ)y ∈ V ∪ U với ≤ λ ≤ Nếu x, y ∈ U , λx + (1 − λ)y ∈ U ⊆ V ∪ U Tương tự với x, y ∈ V Nếu x ∈ U y ∈ V theo (7.5), Tx,λ (y) ∈ U ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ U ⊆ V ∪ U Vậy V ∪ U tập lồi.) Bây ta chứng minh K\U tập gồm phần tử Chứng minh phản chứng, giả sử a, b ∈ K\U a = b Khi K Hausdorff (X không gian Hausdorff, K tập compact X nên K Hausdorff), tồn hai tập lồi, mở, rời K Va , Vb cho a ∈ Va b ∈ Vb Do Va tập lồi, mở K nên theo kết trước, ta có Va ∪ U = K (Va ∪ U = U a ∈ Va a ∈ / U ) Mặt khác, lại có b ∈ / Va ∪ U Suy b ∈ / K: mâu thuẫn với giả sử b ∈ K\U Do ta chứng minh K\U tập gồm phần tử ⇒ K\U = {a} ⇒ K\{a} tập lồi Theo mệnh đề 2.2.1,suy a ∈ extK Do extK = ∅ Nếu V tập lồi, mở X extK ⊆ V , K ⊆ V (1) (Chứng minh (1): Chứng minh phản chứng, giả sử tồn V tập lồi, mở X cho extK ⊆ V V ∩ K = K Khi đó, V ∩ K ∈ U ⇒ V ∩ K ⊆ U ⇒ a ∈ extK ⊆ V ⊆ U : mâu thuẫn với giả thiết K\U = {a} ) 38 Ta đặt E = co(extK) Nếu x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R E ⊆ {x ∈ X : Re x, x∗ < α} = V theo (1), K ⊆ V Theo định lý 1.3.5, E = K Như ta chứng minh xong định lý Krein - Milman 39 Kết luận KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày định nghĩa tính chất liên quan đến khơng gian lồi địa phương, tính đối ngẫu định lý Krein - Milman Đóng góp khóa luận bao gồm: Tìm hiểu trình bày lại đặc tính sơ cấp khơng gian lồi địa phương Tìm hiểu trình bày định nghĩa tính chất topo yếu khơng gian đối ngẫu Trình bày chứng minh định lý Krein - Milman Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều nên khơng tránh khỏi khiếm khuyết, em mong nhận góp ý quý thầy cô 40 Tài liệu tham khảo • Campbell, Paul J.,The Origin of Zorn’s Lemma, Historia Mathematics (77-89) • Jame R Munkres, Topology - Second Edition, Prentice Hall, Inc (2000) • John B Conway, A Course in Functional Analysis - Second Edition, Springer (1997) 41 ... ε} tập mở, lồi cân thuộc U Suy điều phải chứng minh 1.2 Không gian khả metric khả chuẩn lồi địa phương Phần làm rõ số vấn đề: Không gian lồi địa phương khả metric? Khơng gian lồi địa phương có... biết không gian lồi địa phương, đặc tính sơ cấp, khơng gian lồi địa phương khả metric khả chuẩn, số hệ hình học định lý Hahn-Banach • Chương khóa luận trình bày số kết tính đối ngẫu định lý Krein. .. hàm định lý Krein - Milman Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu định nghĩa đặc tính khơng gian lồi địa phương đặc tính sơ cấp, điều kiện khả metric, khả chuẩn không gian lồi địa phương,