MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU I
Chuong 1 Anh xa hach 3
1 Một số khái niệm cơ ban 3
2 Ánh xạ hạch giữa các không gian định chuẩn 7
3 Ánh xạ tựa hạch giữa các không gian định chuẩn 15
Chương 2 Không gian lôi địa phương hạch 20
Trang 2MỞ ĐẦU
Không gian lồi địa phương là một trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản của Giải tích hàm Nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong việc
nghiên cứu giải tích phức vô hạn chiều và giúp chúng ta có điều kiện nghiên
cứu sâu hơn về lý thuyết hàm
Để tìm hiểu sâu hơn về không gian lồi địa phương, luận văn sẽ
nghiên cứu một số tính chất của không gian lồi địa phương hạch
Nhiệm vụ của luận văn là dựa vào các khái niệm và tính chất cơ bản của
không gian lồi địa phương hạch đã được nghiên cứu bởi A [IWM[3] để tìm
hiểu kỹ về các đặc trưng của không gian hạch Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương:
Chương I: Trình bày về ánh xạ hạch
Đầu tiên trong mục 1, chúng tôi giới thiệu lại một số kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn Sau đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và các tính chất cơ bản của ánh xạ hạch, tựa hạch và cấu trúc của không gian các ánh xạ hạch giữa hai không gian định chuẩn Đó là những vấn đề đã được
nghiên cứu trong [[I], [3] Ở đây chúng tôi đã trình bày chỉ tiết nghiên cứu
nhiều mệnh đề mà trong các tài liệu chúng chỉ được giới thiệu hoặc chứng
minh ngắn gọn Ngồi ra, chúng tơi đã đưa ra các ví dụ về ánh xạ hạch trong mục 2.8 đó là mệnh đề 2.8.1 chứng minh điều kiện cần và đủ để một
ánh xạ tuyến tính liên tục là ánh xạ hạch Mệnh đề 2.8.2 cho một ví dụ cụ
thể về ánh xạ hạch giữa các không gian Hilbert Trong mục 2.9, chúng tôi đã tìm được một phản ví dụ để chứng tỏ không gian các ánh xạ hạch N(E,F)
là đầy đủ đối với chuẩn v nhưng không day đủ đối với chuẩn của ánh xa
tuyến tính liên tục
Chương 2: Trình bày về không gian lôi địa phương hạch và tính chất cơ bản của nó
Cũng tương tự như ở chương 1, các kết quả ở đây cơ bản đã được giới
Trang 3chúng tôi đã chứng minh điều kiện cần và đủ để không gian các dãy Kothe
A(A) là không gian hạch ở mục 1.6 chương 2
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh Nhân đây tác giả xin được gửi lời biết ơn chân thành tới PGS.TS Đinh Huy Hoàng người đã
dày công hướng dẫn tác giả trong học tập và hoàn thành luận văn Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các học viên trong lớp Cao học 9 - Toán những người đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn
Vĩnh, tháng 2 năm 2004
Trang 4CHUONG 1 ANH XA HACH
1 MOT SO KHAI NIEM CO BAN
Mục này dành cho việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản đã biết cần dùng cho các phần sau
1.1 Không gian tôpô
Cho tập hợp X Họ 7 các tập con của X được gọi là một tôpô trên X
Nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) Ó, và X e 7;
2) Nếu A,B e rthì 42B e7;
3) Nếu A, e7, tị e1 thì Y4, c7, jel
trong đó 7 là tập chỉ số bất kỳ
Cặp (X, 7) được gọi là không gian tôpô 1.2 Lân cận của một điểm
Tập con U của không gian tôpô (X, 7) được gọi là một lân cận của
một điểm x e X khi và chỉ khi trong có một tập mở chứa +x
1.3 Cơ sở lân cận của một điểm
Gia sit B là họ tất cả các lân cận của điểm x e (X, 7) Họ 1 œ #3 được gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mỗi B e #3 đều tồn tại U e
sao cho U cB
1.4 Không gian vectơ tôpô
Giả sử E là không gian vectơ trên trường K Một tôpô trên # gọi là tương thích với cấu trúc đại số của E nếu:
+ Ánh xạ (x,y) œ x + y từ Ex E vào E liên tục, + Ánh xạ (Â,y) œ 2 y từ K x E vào E liên tục
Một không gian vectơ tôpô trên K là một không gian vectơ trên K
Trang 51.5 Tập hợp tuyệt đối lôi
Tập con A cua không gian vectơ # được gọi là ứ„yệt đối lôi nếu A
đồng thời lồi và cân, nghĩa là với moi x, y e A ta đều có Âx + /y e A, với
/Al|+ [w/ ST 1.6 Tap bi chan
Cho E 1a kh6ng gian vectơ tôpô Một tập con A của # gọi là bị chặn
nếu đối với mỗi lân cận U ca O € E tồn tại € > 0 sao cho tA CU, véi moi ¢, mà #/<e
1.7 Khơng gian lôi địa phương
Giả sử E là không gian vectơ tôpô E£ được gọi là không gian lôi địa
phương nếu điểm gốc O e E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi 1.8 Nửa chuẩn Cho E là không gian vectơ trên K Một nửa chuẩn trên E là một ánh xạ p:E>R thoả mãn các điều kiện: a) p(x) >0, Vx e E;
b) p(Âx) = /Ä/p(x) với mọi x e E và mọi  e K;
c) p(x + y) Sp(x) + p(y) v6i moi x, y EE
1.9 Ménh dé (i) Giả sử p là một nửa chuẩn trên E Khi đó với mọi œ > 0, các tập {+x : p(x) < đ} và {x : p(x) < đ} là tuyệt đối lôi và hút
(ii) Với mỗi tập con A E, tuyệt đối lôi và hút đêu tương ưng với nửa chuẩn p, xác định bởi: D(x) = inffA >O0:x EAA} có tính chất {x :p(x) < l1} CA C{x : p(x) <1} 1.10 Phiếm hàm Mincowski
Trang 61.11 Mệnh đề Gi¿ sử dụng 2⁄ là một họ tuỳ ý những tập con tuyệt đối lôi và hút của không gian vectơ E Khi đó tôn tại trên E một tôpô yếu nhất và tương thích với cấu trúc đại số sao cho mỗi tập hợp thuộc !2⁄ là một lân cân của điểm gốc Với tôpô ấy E là một không gian lôi địa phương và một cơ sở lân cận được tạo thành bởi các tập hợp có dạng:
£ I VW;(e>0,V,e 1⁄2)
I<i<n '
1.12 Mệnh đề Cho tập hợp Q những nửa chuẩn trên một không gian vectơ E Tôn tại một tôpô yếu nhất trên E, tương thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi nửa chuẩn của Q là liên tục Với tôpô ấy, E là một không gian lôi địa phương và một cơ sở lân cận được tạo thành bởi các tập hợp :
[esi cele > 0, p; €Q)
l<i<n
1.13 Cơ sở lân cận của không gian lôi địa phương
a Mệnh đề Néu 2 là một cơ sở lân cận của điểm gốc trong không gian
lôi địa phươg thì với môi U e !2⁄ ta có (i) U— hit;
(ii) Tén taiV € saochoV +V CU; (ii) Tôn tại lân cận cân W CU
b Định lý Một không gian lôi địa phương E có một cơ sở !2⁄ những lân
cận của điểm gốc có tính chất:
c1: Nếu U e !2⁄,V e 1⁄ thì tôn tại W e '2⁄, với W =U Z3V;
c2: Nếu U e 12⁄4 œ eK, œơ #0 thì œU e 1⁄
Trang 71.14 Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục
Giả sử E, Ƒ là hai không gian lồi địa phương, ?⁄ là lân cận tuyệt đối lồi và đóng của Ó c F, # là họ tất cả các tập hợp con bị chặn của E Ký hiệu
L(E, F) là không gian tuyến tính các ánh xạ tuyến tính liện tục từ E vào F Nếu Ƒ = K (K là trường cơ sở của # và #) thì ta viết E” thay cho L(E, K)
Với B e CSF(CSF là họ tất cả các nửa chuẩn liên tục trên F) và 8e #3, ta xác định một nửa chuẩn trên L(E, F) bởi công thức
Dạ, g(ƒ) = Sup {8 (f[x)) :x eB} Vƒ eL (E, F)
Với mỗi U c4 và B e 13 ta xác định nửa chuẩn p; g trên L(E, F) bởi công thức
Px, Af) = Sup {/af(x)/: x eB,a e U} ƒ e L(E, F),
trong đó:
U°ˆ={a eF' :a(x) XS] Vx eU)
1.14.1 Ménh dé Cac ho {p, 5: BEB, B eCSF) và [pụp: U e 1⁄B e
3 sinh ra cùng một tôpô lôi địa phương trên L(E, F)
Nên E và F là hai không gian định chuẩn thì L(E, F) là không gian
định chuẩn với chuẩn
/|= Sup = se Pl VO — sup fc9|= Supls) Ix|Kl hel
1.15 Ánh xạ đối ngẫu Với mỗi 7 e L(E,F) ta xác định ánh xạ T’e L(F’, E') bởi công thức:
T’ (b) (x) = D(T (x) Wb EF’, Ux EE
Ánh xạ T” được gọi là ánh xạ đối ngâu của T Nếu E và F là hai không gian Hilbert thì 7” được gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ 7 Khi đó ta viết T* thay cho 7
1.16 Họ các dạng tuyến tính đông liên tục
Giả sử Ớ là họ các dạng tuyến tính trên không gian lồi địa phương E (Các ánh xạ tuyến tính từ # vào K) Ta nói Ở là họ đồng liên tục, nếu tôn tại
Trang 82 ÁNH XẠ HẠCH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
2.1 Định nghĩa Giả sử E va F là các không gian định chuẩn với các hình
cầu đơn vị đóng U và V tương ứng Ta ký hiệu L(E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ £ vào F Ta viét E’ thay cho L(E, K) (K là trường cơ sở của E) Ánh xạ tuyến tính liên tục 7e L(E,F) gọi là ánh xạ
hạch nếu tồn tại day fa n bn en CE’ va iy, } nen CF sao cho Ÿla„ bi Ï<+= Và với mọi x eE T(x)=}) 4,(X)yn - (1) n=l Nếu 7 là ánh xạ hạch thì ta ký hiệu wing S| 4, | be m
ở đây cận dưới được lấy theo mọi biểu diễn của 7 bởi công thức (1)
2.2 Mệnh đề Ta ký hiệu N(E, F) là tập các ánh xạ hạch từ E vào F Với hai phép tốn thơng thường được xác định nhờ các phép toán của E và F;
NE, F) là không gian định chuẩn với chuẩn v(T),T e N(E,F)
Trang 9Giả sử y(7) = 0 Khi đó từ (2) suy ra |7| = 0 va do d6 T = 0.Hién nhiên nếu 7 =0 thì v(7) = 0
Bay gid voi S, T © N(E,F) va 0 > O cho trước Từ định nghĩa
v{(S)và v(T) suy ra tồn tại các dãy {a,}, {b,} CE’; {g,},{z,} CF sao cho:
So) =D ay, + T@)=Šb,G)2,,
Lila | by |< VS) + 65 Dilealilen| < v7) + ð n=l n=l
Khi đó § + 7 có thể biểu diễn :
(T+S)(@)= Ÿ) a,@y,+ÖŠb,G)z,, V eE n=l n=l
V(S+T)< >a, fly, |+ De, ll|z, |< v(S)+v()+2ð
n=l
Điều đó chứng tỏ § + 7 e N(£,F) và v(S+7)<v(S)+v(T)
Dễ thấy nếu 7 e L(E,Ƒ') và œ e k thì œ 7e N(E,F) va v(zr) =|alyŒ) Như vậy v{7) là một chuẩn trên N(E,F) va N(E,F) la khong gian định
chuẩn với chuẩn v(7) H
2.3 Mệnh đề Nếu E là không gian định chuẩn, F là không gian Banach
thì N(E,F) là không gian Banach
Chứng mình Giả sử {7, }_ là một lưới Cauchy trong N(E,F) Từ bất đẳng thức |7, |<v(7,) với mọi œœA suy ra Í7, } aed là lưới Cauchy trong
L(E,F) Bởi L(E,F) là Banach nên có T € L(E,F) sao cho lim Px) =T(x) véi moix €E
Chọn một dãy đơn điệu tăng các chỉ số œ¿ sao cho
Trang 10DoT,,-7,„ làánh xạ hạch nên (7„ -7,)@œ)=` a'°@)y£° với n=l ‘ (k) (k) 1 Sh a? Ww? I< se n=l k+p-l (7, -T = SY a oy h=k n=l Cho p—>œ dẫn đến (T-1,@)=DLY ay =k n=\ Hơn nữa ae 1 vữ=T,„)<33 | 47" ||" |< sa: h=k n=l
Vậy TT e N(E,F) và do đó T e N(E,F')
Cuối cùng v(~—7„)< v( -T„,)+ vŒ,, ~T,)< xảy ra VỚi œ>ơ, nên
f„ } hội tụ tới T trong N(E,F) ũ
Giả sử T' e L(E,F) T được gọi là ánh xạ (toán tử) hữu hạn chiều nên dimT(E) < Ta ký hiệu A(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính, liên tục, hữu hạn chiều từ E vào Ƒ
2.4 Mệnh đề Không gian A( E, F ) là trà mật trong N (E, F`)
Chứng mình Thật vậy, vì mỗi T e A ( E, F) có dimT(E) < œ nên tôn tại đụ, , d, € E” Và yạ, , y„ € F sao cho
T(x) = Ñ z0), , Vx ceE
mì
Từ đó ta có 7 e N(E,F) Hơn nữa tổng của 2 ánh xạ tuyến tính liên tục hữu hạn chiêu và tích vô hướng của œ e K với ánh xạ tuyến tính liên tục
hữu hạn chiều là tuyến tính, liên tục, hữu hạn chiều nên A(E,F) là một
không gian tuyến tính con của M(E,F) Giả sử Se N(E,F) Khi đó có
Trang 113| 4, ll», |< n=l
S(x)=Š a@)y, Vx eE
n=l
Với mỗi £>0 có nọ sao cho
Xa, Ill ise, Va >My n>M k Dat S,(x)=>) a,(x)y,, x € E V6ik > ng thì S,e A(E,F) và mì v(S—S,)<£ Do đó SŠ, nằm trong hình cầu ở tâm s bán kính z.Từ đó ta có A(E,F) = N(E,F) oO 2.5 Hệ quả Nếu F là không gian Banach thi moi dnh xa hachT e N(E,F) đêu là ánh xạ compact
Chứng mình Thật vậy từ chứng minh trên mỗi 7e N(E,F) là giới hạn theo
chuẩn của N(E,F) bởi dãy toán tử hữu hạn chiều Tuy nhiên từ |7 |<v(Œ7)
xảy ra cho mọi 7 eN(E,F) suy ra mọi 7 e N(E,F) là giới hạn theo chuẩn
của L(E, F) bởi dãy toán tử hữu hạn chiều Do đó 7 là toán tử compact 0 2.6 Mệnh dé (/) Néu Te L(E,F), S eN(F,G) thì ST eN(E,G) và
>
v(S7)<v(S)|T
(2) Nếu T e N(E,F) và Se L(F,G) thì STe N(E,G) va v(ST)< |š lu)
Chứng mình Ta chứng mình (1) Vì S e N(F,G) nên với mọi e >0 tồn tại
dãy {bạ }C FÍ và {z„ }CƠ sao cho
YI || z, Í<v(5)+e n=l
va S(y= Yb, (y)z,.¥ €F
n=l
Trang 12Từ đó với mọi x €E (S.7)(+)=3b,(T())z„ = 3;a„(X)Z, n=l n=l ở đây a„=7(b,)eE',, T: F—› E' là ánh xạ tuyến tính liên tục đối ngẫu của T Ta có >|¿| l z, sir Da || = |s@S)+a)7 | n=l n= Từ đây S7 là hạch và v(S7) < v(S)|T||-
Mệnh đề (2) được chứng minh tương tự Oo
2.7 Mệnh dé Anh xa T’, déi ngâu, của ánh xạ hạch T eN(E,F), cũng là ánh xạ hạch và v(T?) <v(T)
Chứng mình Thật vậy, từ T e N(E,F) nên với mỗi &>oắt tồn tại
Trang 132.8 Các ví dụ về ánh xạ hạch Kyhigu: 1 = ffx} CO: |x|" <a} p>, ist 1 25 {hx} CC: Sup fe) < 2] Trén 1,, 1 ,ta xét chuẩn lần lượt là 1 x P\p HỊ,=[Št te = fs} ely, i=l |x|, =suplx| Vx = fxfel a
Giả sửT : 1, -> 1, là ánh xạ tuyến tính liên tục Khi đó tồn tại ma trận
Trang 14Tx= Yamooy Vx = {x} © 1)
n=l
Vì 1", = 1„ nên có thể giả thiết
Trang 15Khi đó với mỗi x = ƒxj} e 1, ta có T(x) = | = šI(Š-s }#)- Yay isl j k=l isl k=l Mat khác, từ || =1 với mọi k ta có k Dla" yp], = Y supfa, :k= 12, }= vp, <ø(Œ)<s k=l k=l Do đó 7 là ánh xạ hạch và v(T) < ø(T) Kết hợp với (1) ta có #7) = p(T) H
2.8.2 Mệnh đề Giả sử E là không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn
fe, :n = 1,2, } va {A,} la day sé sao cho Š n=l A, <œ Khi đó, ánh xạ T1 :E->Exác định bởi công thức T(x) = Ške,)Ã,, ,xeE nl là ánh xạ hạch, trong đó <x|y> được hiểu là tích vô hướng của 2 phần tử x, y trong E
Chứng mình Với mỗi n = 1,2, ta xác định ánh xạ a„, : E -> C bởi công thức a,(x) = <x/e,>, x e E Theo định lý về dạng tổng quát của phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert thì các ánh xạ a„ tuyến tính liên tục và z„||=|e,|E=1 với mọi n Do đó ƒa„} =E”
Dat y, = 4,e,,n = 1,2, Tacd n~n?
>|¿:|lly„l= >.le.ll#,s„[= >]2,|le, lle.|= Đ n=l 1 n= 1 n=l 1 n=l A, <øœ,
Mặt khác, theo công thức xác định ánh xạ 7 ta có T(x) = Sle, 4,2, = Ya,(0y, , VW eE
n=l n=l
Vậy 7 là ánh xạ hạch H
2.9 Nhận xét Ta thấy rằng N(E,F) là không gian tuyến tính con của không
gian L(E,F) Do đó trên N(E,F) có một chuẩn tự nhiên là chuẩn của ánh xạ
Trang 16tuyến tính liên tục mà ta vẫn ký hiệu là |7 , T e N(E,F) Mặt khác, theo
mệnh đề 2.2, với mỗi 7 € N(E,F) ta lại có chuẩn 4⁄{T) Theo mệnh đề 2.3, nếu Ƒ là không gian Banach thì N(E,F) là không gian Banach đối với chuẩn v O day, mot câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là nếu # là không gian Banach thì N(E,F) với chuẩn |s| có là không gian Banach hay không? Ví dụ sau đây trả lời câu hỏi này ở dạng phủ định
Lấy E = F = 1, Ta da biét 1, la khong gian Banach với «|, Giả sử
N(1,, 1,) cũng là không gian Banach đối với chuẩn |s| Khi đó, từ N(1,,
1,) là không gian Banach với chuẩn % và |7|| < 24T) VT eN(1,, 1,) suy ra 2 chuẩn trên N(1,, 1,) là tương đương với nhau Do đó tồn tại hằng số c sao
cho
HT) <c|T|L Vĩ eN(1,, 1,) (*)
Với mỗi mm = 1,2, ta xét ánh xạT : 1, — 1, được xác định bởi công thức T4) = (X,, 1;, , X„,0,0, ), Ve = {x,f © 1)
Vì 7 là ánh xạ hữu hạn chiểu nên nó là ánh xạ hạch, tức là
TeN(1,,1,) Tì mệnh đề 2.8.1 suy ra %(T) = m Mặt khác dễ thấy |7| = 1 Do đó nên lấy m > c thì ta có điều mâu thuẫn với bất đẳng thức (1) Từ đó cho thấy N(1,, 1,) không là không gian Banach đối với chuẩn |7|
3 ÁNH XẠ TỰA HẠCH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Trang 17[L@=if (S|a,l) ở đây cận dưới lấy theo mọi biểu diễn của 7 [ ],Œ) gọi là chuẩn của ánh xạ tựa hạch Mệnh đề sau đây thiết lập mối liên hệ giữa ánh xạ hạch và tựa hạch 3.2 Mệnh đẻ Môi ánh xạ hạch T là tựa hạch và | [,Œ)< vữ') Chứng mình Giả sửT e N (E, F) Khi đó với >0, tôn tại ƒa„} CE’ va {y,} CF véi Yall bl <v@ +e n=l T(x) = Da, (0y, n=l
xảy ra cho mọi x e E Đặt b„ = //y,// a, thi
{b,} CE’ va yp, I<v (1) +e n=l Hon nita Ireol<3 n=l la, COlly.| = Tl, - n=l Do đó T là tựa hạch và IEL@)<vŒ)+s Cho z —> 0 đưa đến ] [,Œ)<vŒ) ũ
3.3 Định lý Ánh xạ tuyến tính liên tục T của không gian định chuẩn E vào
không gian định chuẩn F là tựa hạch khi và chỉ khi nó là ánh xạ hạch từ E vào không gian định chuẩn G nào đó chứa F
Chứng mình Điều kiện đủ suy từ 3.2 Để chứng minh điểu kiện cần ta cần
các kết quả sau
3.4 Bổ đề Mỗi không gian định chuẩn F là không gian con của không gian
Trang 18Chứng minh Thật vậy, giả sử V là hình cầu đóng đơn vị trong Ƒ và V” là
hình cầu đóng đơn vi trong F’ Lay J = V° va xét ánh xạ A:Fom, xa ({<x, b>} 2b EV’) Bởi /<x b>/< || xảy ra cho mọi b e V” nên ([<x, b>}:b eV") om, Hơn nữa bởi định lý Hahn — Banach lx| = Supf/<x, b>/ :b V3, nên ^ là một ánh xạ tuyến tính và đẳng cự Vậy F là không gian con của m, oO
3.5 B6 dé Mdi ánh xạ tuyến tính liên tục S„ từ khéng gian con G, ctia
không gian định chuẩn G vào không gian Banach m, được thác triển tới ánh
xạ tuyến tính liên tục Š từ G vào mị, với |S||=||Sa| -
Chứng minh Thật vậy, ánh xạ tuyến tính liên tục S5; : Ơ, —> m, được cho bởi các dạng tuyến tính liên tục Cý? eG’, với
S,(z) = [<z, CO >:1 ET]
va cs <|S,| với mọi ¡ e 7 Từ định lý Hahn — Banach tồn tại các thác triển tuyến tính liên tục C” của C' lên G voi
|c“I=lc”I<ls.!
Dat S :G —>m, cho bởi
S(z) = [<z, C%> :i El]
ta được thác triển cần tìm đ
3.6 Mệnh đề Mơi ánh xạ tựa hạch T từ không gian định chuẩn E vào
không gian định chuẩn F nếu coi như là ánh xạ từ E vào không gian Banach m, chúa F là ánh xạ hạch Hơn nữa 1(T) = “T)
Chứng mình Do T là tựa hạch nên với mỗi £ > 0 tôn tại day {a,} CE’ sao cho
Trang 19Xla,|<[], +e n=l va Ireo|< SJa,œ)| với mọi x e È n=l Giả sử Gạ là không gian con của /¿ gồm các dãy [<x,a,>:n EN], 6 day <x, a,>=a,(x),x EE, con I ={2=(2,) CON: |z|= Šls,|<+ee] n=l
là không gian Banach các dãy khả tổng
Trang 20xảy ra cho mọi x e E Đồng thời
Trang 21CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN LỔI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH
1 ĐỊNH NGHĨA,VÍ DỤ VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN LỐI ĐỊA PHƯƠNG HẠCH
Để đi đến định nghĩa không gian lồi địa phương hạch, đầu tiên ta mở rộng định nghĩa ánh xạ hạch ở 2.1 cho lớp không gian lồi địa phương
1.1 Dinh nghĩa Giả sử E, là các không lồi địa phương và 7e L(E,F)
T được gọi là ánh xạ hạch nếu T(x)= S)^X„an(X)yn, xe E, n=l ở đó Si, |<+00,{ a n=l n }c' là dãy đồng liên tục, con fy, }cF làdãy bi chan trong F 1.2 Mệnh dé Gid sử E, F và G là các không gian lôi địa phương Khi đó : ¡) Nếu T : E —>F là ánh xạ hạch, Se LỊF, G) thì ST : E—> G là ánh xạ hạch ii)Néu Te L(E,F), con S : F— Gla ánh xạ hạch thì ST : E-> G là ánh xạ hạch Chứng minh Chỉ cần chứng minh (¡), còn (¡) được chứng minh tương tự Vì T là ánh xạ hạch nên có thể viết T(x)= YA,a, (vy, , xe€E, n=l > |2,|<+2,{a,} c Ela day déng lien tục, íy„ }c F là dãy bị chặn n=l A, Khi đó với moi x e È, ta có ST(x) = YA, ()Z„ n=l
Trong d6{ z, }= {S(y,) } là dấy bị chặn trong Œ Vậy ST là ánh xạhạch 0 1.3 Chú ý Khi E và Ƒ là các không gian định chuẩn, có thể thấy định
nghĩa 1.1 chính là định nghĩa ánh xạ hạch ở 2.1 (Chương 1)
Trang 22Trước khi chuyển sang trình bày kết quả về không gian hạch, chúng ta nhắc lại một số kết quả về không gian Banach kết hợp với không gian lồi
địa phương cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa chúng
Giả sử E là không gian lồi địa phương còn V là lân cận lồi, cân của 0 eE Giả sử p, là phiếm hàm Minkowski sinh bởi V Không gian thương Elp;' (0) la khong gian định chuẩn với chuẩn ||=p, (x),xeE, #= x + p'!(0) Không gian Banach nhận được bởi làm đây E/p;'(0) được ký hiệu E,„ Ánh
xạ thương từ E vao E, dugc viét la @, Nhu vay @, (x) = +
Giả sử Ú, V là các lân cận lồi, cân của 0 e E với V cU Khi đó
py (0) =p›(0)
Bởi vậy mỗi lớp tương đương 4 (mod p,'(0)) nằm trong một lớp
tương đương duy nhất j (mod p;}(0)) Do đó xác định được ánh xạ tuyến
tính liên tục œy„:E/p,'(0)—>EIp (0) bởi công thức œø„„(#) =# với chuẩn <1 Từ tính liên tục đều của ø„„ trên E/p;'(0) ta có thể thác triển tới ánh xạ
tuyến tính liên tục
Oy: Ey > Ey Rõ ràng
Oy) = Dy 0 Oy
Trang 23Thật vậy, giả sử ?⁄' là cơ sở của 0 E có tính chất nêu ở 1.4 còn '1⁄2 là cơ sở tuỳ ý của 0 eE Khi đó với U; e'1¿, tồn tại U, e1: Ư,U; Chọn V, £1' sao cho V„ CỮ, và ø„„: Eụ, — Eụ, VU
11
là ánh xạ hạch Chọn V; =2 với V, cY, Khi đó
V, CV, và @ ‘EB, =—>E
Uy Ty Uy
được viết dưới dạng
Oy, = Quy, Ory, Ory, + VV,
Tir ru, là ảnh xạ hạch và mệnh đề 2.6 (chuong 1) suy ra øœ„„ :E„ — Eụ,
là ánh xạ hạch
1.6 Ví dụ về không gian lôi địa phương hạch
Giả sử N = {1,2, } vaA = [a,], , e N” là ma trận thoả mãn i0 <a,, <a,¿.¡ Vj,k 6N”, ii) Vij EN, FkEN: a > 0 Ta ky hiéu A(A) = {fx CC™: Š ly|a,, <s,VkeN" he “
Như đã biết A (A) là không gian lồi địa phương với hệ cơ bản các
nửa chuẩn P,: k N”}, trong đó
P(x) = Ÿx,|a,.vx=k, }£AU90
Bây giờ ta tìm điều kiện để cho 4 (4) trở thành không gian hạch
Điều này được thực hiện bởi định lý sau:
1.6.1 Định lý: Không gian A (A) là hạch khi và chỉ khi với môi k e N” đều
ton tai {bj} e l, vàp e N” sao cho
a,, ba TRE Ip? VjeN'
Chứng minh Với mỗi lân cận U của 0:
Trang 24U=ffx} eA(A): Dhan,
ta dat
R(U) = {j EN" -a,¿ > 0}
và P„ là phiếm hàm Minkowski của U Khi đó (A(A)(U) = A(A)/P;'(0) là không gian định chuẩn với chuẩn |x+”;'(0)|= P,@) Yxe^(0) Để cho đơn giản ký hiệu ta viết A thay cho A (4), A (U) thay cho (^A (A))(U) va [x] thay cho x + Ø;'(0) Đặt "2 “le : Eee jERU) Tương tự như không gian /,, /"“' là khơng gian Banach với chuẩn |x,);.«e›Ì|= >rj: 7eR(U)
Ta xét ánh xạ ƒ: A(U) —> 1*#' được cho bởi công thức
SUR) = (445) j ery VX = (XA
Ánh xạ ƒ xác định như trên là không phụ thuộc vào việc chọn đại diên của
Trang 25lZxBli= DY bs lan=Lis je RW) fan =R Od
Do đó f liên tục Từ đó suy ra ƒ là đẳng cấu giữa ø(U) và SF (NU) = {(X/4z);<eúy : f1; 6 A} Hơn nữa ƒ(A(U)) trù mật trong 7 That
vậy với mọi € > 0 At tồn tại họ các số dương (#, - g„, sao cho Sz,= # /eR(U) Giả sử Z = (Z,);<gu, € 19) Với mỗi j e R(U) ta lay x; sao cho Z é _ử -x |< J 4 ix 4 Khi đó 3 `|Z,—x,a„|< Sie, =e (1) jeR(U) jeR(U) Do đó (z, - xø„) € i Tit tinh tuyén tinh cla 7% suy ra ˆ — ” R(U) (X40); ery = (2); muy” (2 = Äj8j.); er) € - Vi thé Dh len <0 jeRU) Với những j e NˆW(U) ta lấy x, e C một cách tuỳ ý Ta có :
Ll lan ~ Ds lan <8 jal ieR(U)
Nhu vay {x} € A va (x; đz);sg„; € f(A(U)) Từ bất đẳng thức (1) suy ra
|Z,)„-«ø; -~ứ(G, )| <
Trang 26Do đó (AU) = 1% Theo chứng minh trên ƒ là đẳng cấu giữa ø(U) và
ƒ(U) Vì thế có thể giống nhau x(U) với một không gian con trù mật của RO,
Bây giờ, giả sử V là một lân cận của 0 trong 4 có dạng
V= {x EA: dsl, <1,
j=l
sao cho V < U (nghia 1a ton tai so @ > 0 sao cho V c øU) Để chứng minh A là không gian hạch ta cần chứng minh ánh xạ chính tắc
Woy: A(V) > AU) x+P;'(0ơ x+ P;'(0),xe€^ là ánh xạ hạch Nhờ sự đẳng cấu của A(U) với một không gian con trù mật của /#“' ta chỉ cần chứng minh ánh xạ T: LR 1k , với T((XAjp); ery) = (X;4¿)¡ = gu))› {xÿ e A là ánh xạ hạch Ta có = = =I T((X Ap); =Rw)) — (X;4„„); eR(U)) ~ ( Bsn] + j<R) je) Do đó ánh xạ 7 được xác định bởi ma trận [ayð;a„ Ï ¡ =Rwv),j = R(U)" Theo mệnh đề 2.8.1, ánh xạ 7 là hạch khi và chỉ khi
> sup {a735 y4, -jeRV)}= Sapa, <s
¡eR(U} jeR(U)
Điều này tương ứng với tôn tại {bj} € 1, sao cho
a„ Sb,a, VieN
aja jk néu je R(U)
(lay b, = yee JEN *\R(U) )
Trang 271.7 Mệnh đề Nếu E là không gian hạch và !2⁄là cơ sở lân cận của 0 e E,
thì với mọi U e 1 ánh xạ œụ :E->Eụ_ là ánh xạ hạch
Kết quả sau đây giải thích rõ cấu trúc đặc biệt của các không gian hạch
1.8 Định lý Giđ sứ E là không gian hạch, U là lân cận lôi, cân của 0 eE
và I<p <œ Khi đó có lân cận lôi, cân V của 0 e E,V CŨ sao cho Ev đẳng cấu với một không con của % "
Chứng mình Ta chúng tỏ rằng tôn tại ánh xạ tuyến tính liên tục ve/(Z,A„)
sao cho v'(B) CU, 6 đó B là hình cầu đơn vị của ^„.Sau dó chọn V= v”(B) thì V là lân cận cần tìm Đầu tiên bởi mệnh đề 1.7, ánh xạ œ„: E —> E„ là ánh xạ hạch Ta viết @ụu(X)= 3 )Xnf(X)yn,x €E, n=l ở đây có thể coi A,>0vgŠ` 4, =1 y, € Ey, |y,| = 1, víñ và dãy { 7, }đông n=l liên tục trên E Xác định v: £2, cho boi v(x) = (IÍ2, /¡(1).ÁÍ4; /,(x) )
(khi p =œ, dat 4/2, =1 đối với mọi nú > /)
Từ tính đồng liên tục cla day { 7, }suy ra v(x)<2„ đối với mọi x eE
và đồng thời ve 1(E,A„) Hơn nữa chọn g>/ sao cho
tilly
Pq
(q =1 néu p = ø và q = ø nếu p =l )
Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:
lo, œ)|= Sas Cy, |S DA @|= TAO, < <(DAL CO! MLA) S DAL, Co)” = [roo] n=l
Trang 28Từ đó, w(B)cU Dat V=v"(B) Khi đó V là lân cận của 0 e E và từ
cách xác định V suy ra p„(x)=0 khi và chỉ khi v(x)=0
 F -E Vay Pre Aro)"
Đồng thời với mọi x £ E ta có By
= |x + p,'(0)| = Py (x)= ink {A> 0:5 V}=
vị
=inf{ 2>0: = <#)=|(x)||
Vậy HT đẳng cự với /(E) Từ đó E„ đẳng cấu đẳng cự với không
gian con đóng v(8) của^„ ũ
Áp dụng định lý trên cho p = 2 với chú ý ^„ là không gian Hilbert ta được:
1.9 Hệ quả Trong môi không gian hạch E tôn tại cơ sở lân cận !2⁄của 0
€E sao cho méi U e 122, Ey là không gian Hilbert
1.10 Định nghĩa Một nửa chuẩn p trên không gian tuyến tính E gọi là nửa chuẩn Hilbert nếu tôn tại nửa tích vô hướng dạng Hermite không âm
<,>:ExE > K sao cho p(x)=/<x,x>, uw EE
Néu p 1a ntta chudn Hilbert trén E thi khong gian Banach E, 1a
không gian Hilbert
1.11 Mệnh đề Mọi không gian hạch E có tôpô được xác định bởi hệ nửa
chuẩn Hilbert
Chứng minh Thật vậy, theo hệ quả 1.10 ắt tồn tại cơ sở lân cận {V, 30 el } cua
0 cEsao cho mỗi œelIkhông gian £,= Z„ là không gian Hilbert Đối với
mỗi ze / chuẩn trên £„ được xác định bởi tích vô hướng (£,ô) œ < £,ÿ >„ trên
E„x Eụ
Từ đây dạng
(x, y)œ <ø„(),@(y)>ø
Trang 29là nửa tích vô hướng trên £x# sao cho
P,0)=[<ø,09,ø,(9>„Ƒ
là phiếm hàm Minkowski được sinh bởi V„ Vì V„ : @ œ lj là cơ sở lân cận
cua 0 € Enénho {la :a@ € i} xac định tôpô trên E o
2 TINH DI TRUYEN CUA KHONG GIAN LOI DIA PHUONG HACH
Phần nay ta chứng minh tính di truyền của tính hạch qua không gian con, không gian thương và không gian tích
2.1 Mệnh đề Mọi không con của không gian hạch là không gian hạch
Chứng minh Giả sử E là không gian lồi địa phương hạch với cơ sở lân cận
U cha 0 e E Ta sẽ viết, với mỗi U e '2, x(U) là lớp tương đương có đại
diện là x E trong không gian Banach #, Giả sử Ƒ là không gian con của E Họ {U, = F 3U: U e '2⁄} tạo nên cơ sở lân cận của 0 eF Mặt khác với x €F, ta có
Dy, (X) = Py (X),
với Uu=U¬F, ở đây P,.p, là các nửa chuan sinh béi U, va U
Vậy có thể đặt tương ứng mỗi lớp x(U,)e#„„ với mỗi lớp duy nhất
x(U)e E„ chứa x(U,) Đồng thời
p(x(U,))= pụ,(*)= pụ(x) = p(x(U))
Như vậy không gian #„ được coi là không gian con của không gian E„ gồm các phần tử x(U) với x e F
Do £ là hạch nên với mỗi Ue '14có V œ ' sao ø„„ : E„ > E, 1a anh xạ tựa hạch, nghĩa là tồn tại
{a, }=<Œ,) =E (vy?
Trang 30„
DI 2, [<*+2› n=l Py(x)=| xW) |< dla,
Khi đó ánh xạ chính tắc
Oyu, > Fy, > Fu,
là hạn chế của ,,, trén F,, cing 1a anh xạ tựa hạch Do đó # là không gian
hạch Ũ
2.2 Mệnh đề Không gian thương Q= Ef của không gian lôi địa phương hạch E_ theo không gian con đóng F là không gian hạch
Chứng mình Đầu tiên ta có nhận xét sau: Giả sử F là không gian con đóng của không gian lồi địa phương E và p là nửa chuẩn trên E Khi đó không : 2 + 2 -E lan (E/⁄⁄{)_ là đẳng cấu, đẳng cự với `? Ề ⁄1 F’P g ig CU 3 , (F) ở đó ø, : E —>E, là ánh xạ thương, còn Œ⁄2), là không gian Banach với chuẩn ô xác định từ p bởi ơ(§) =inf{p(x~y):yeF }
Thật vậy, giả sử VEE, còn ®œ:Z, —> È Op là các ánh xạ
thương tương ứng Khi đó với mọi x € E
lÐ,(,G)) ||, =inf[lø,)=ø,0) | :y<# }=
=inf|le,(x~y) [,:yeF }=infÍpx~y):yeF }=@(W@)
Do E là không gian hạch nên với U e€ 1%, có thể chọn Ve U(E)VcU sao cho E, và E, la cac khong gian Hilbert và
w„ : #„ > E, là ánh xạ hạch Từ nhận xét trên ta có
KV NT
Trang 31E, _ Eụ pov = 7m: ®,:E, > us ®,:E, > yy là các ánh xạ kết hợp với các ánh xạ thương œự :E—> Eụ, ®œ„:E— E, và W:ES Đệ, Đó là ®ụ(@„(X))=W(X) Tương tự với ®, Mặt khác từ VU suy ra øœ„„ cũng sinh ra ánh xạ Gy Yoy > Poy: Ta có ®ự O0; = 6y, OđĐỤ, nên từ định lý vẻ
Bởi E, là không gian Hilbert và (py = fh Œ) y
phép chiếu trực giao lên không gian đầy đủ, tồn tại toán tử ngược phải
R, :(⁄£)—> E, của ®,, nghĩa là ©, oR, =id
Do đó
Oy = Py OWyy OR,
Do ø„„ là hạch, 2„„ là ánh xạ hạch Vậy EY, 1a hach
Giả sử cho một họ không gian lồi địa phương (Z,),„„ Xét E=] [ E;¡
iel
iel *
mà các phần tử của nó sẽ viết dưới dạng x=[{ x,,! ]
Nhớ lại rằng, nếu 1% (E,) là cơ sở lân cận của 0 e E;, thì họ các tập
V có dạng
Trang 32YV= [[U.x [IE, -
ien(1) jen)
Ở đó m1) chạy qua họ các tập con hữu hạn S(I) của /,„ tạo nên cơ sở lân
cận của 0 eE£=|[E, Các nửa chuẩn tương ứng với họ các tập V như vậy iel xác định tôpô của E cho bởi py (x) =sup\py (x) :7€ n(D) }, °: Qu a x=lx„! ]eE, V=]]U,x []E, ien(1) jen(1) Ta có kết quả sau 2.3 Mệnh đề Tích £=] |E, của một họ tuỳ ý các không gian lôi địa iel
phương hạch E; là không gian hạch
Chứng mình Lấy lân cận V= [[U,x [[E, của 0e E Khi đó với mỗi ¡ €
ien(1) jen(1)
n(I) ton tại lan can W;, e 2E,) và các dạng tuyến tính liên tục
{a„ }#,c E; sao cho Dilan n=l lu » < +00 và | x, |, <Š}kx,„a„> | với mọi x,eE,, "nel ở đó |x lu, = Pu)
còn || a, ||, la chuan cua a,, lay trong (£,,) = E'(W;)
Trang 33và do đó được một họ đếm được {4,, } ien(1),neN các dạng tuyến tính liên tục
trên E
Hơn nữa
3 SA, l„ => 3 4, l.<*<-
ien(1) n=l ien(1) w=I
Đồng thời với mọi x={ x,,!/ ]eE ta có
POS Vay Gs 3; 3 )|<x,a„>|< 3) Ð |<x.4„>
ien(1) ien(1) n=l ien(1) n=l
Điều này chứng tỏ ánh xạ ø„ : E„ —> E„ là tựa hạch Vậy là không
gian lồi địa phương hạch Oo
Trang 34KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được các kết quả sau đây:
- Trình bày lại một cách chỉ tiết các vấn đề về ánh xạ hạch và không
gian lồi địa phương hạch mà chúng đã được giới thiệu trong các tài liệu
tham khảo
- Đưa ra ví dụ về ánh xạ hạch và điều kiện cần và đủ để một ánh xạ
tuyến tính liên tục từ 1, vào 1, là ánh xạ hạch ở mục 2.8 chương |
- Dua ra phản ví dụ chứng tỏ không gian các ánh xạ hạch M(E,F) là
đây đủ đối với chuẩn y nhưng không đầy đủ đối với chuẩn của ánh xạ tuyến
tính liên tục ở mục 2.9 chương 1
- Chứng minh điều kiện cần và đủ để không gian các dãy Kothe A(A) là không gian lồi địa phương hạch ở mục 1.6 chương 2
Trang 35TÀI LIỆU THAM KHẢO
[I] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm Nhà xuất bản Giáo dục
[2] Robertson A P & Robertson W ] (1997), Không gian vectơ tôpô
(Phan Đức Chính dịch) Nhà xuất bản ĐH và THCN
[3].A.IT1WW (1967), AJEPHBIE JIOKAJIHO BbTITVKJIbTE IIPOCTPAHCTBA, U3]IAMeACMBO, "Mup" Moxba