TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN
ĐỖ THỊ HƯỜNG
KHONG GIAN LOI ĐỊA PHƯƠNG
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC Chuyén nganh: GIAI TICH
Người hướng dẫn khoa học
Th.S HOÀNG NGỌC TUẦN
Trang 2LOI CAM ON
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hồn thành tốt bài khố luận này
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của Th.S Hoàng Ngọc Tuấn
Trong khi nghiên cứu hồn thành bản khố luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Không gian lôi địa phương”
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trang 4° ° Mở đầu| - - ch nà 1 Chương 1.|Kiến thức chuẩn bị| -. - - 3
1.1.|Không gian vectơ Toán tử và phiếm hàm tuyến tính| 3
1.1.1.|Không gian veCt0| 22222222222 3 1.1.2.|Toán tử và phiếm hàm tuyến tính| 4
1.2.|Không gian tôpô| cẶcĂcc 5
1.3.|Không gian mêtric Không gian định chuẩn| 7
1.3.1.|Không gian mêtric| ccŸŸŸẶ 7 1.3.2.|Không gian định chuẩn| 9
1.4.|Không gian Hilbert| 13
Chương 2.|Không gian lỗi địa phương| - 15
2.1.|Một số tính chất của không gian lỗi địa phương| 15
Trang 51 Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng đầu thế kỉ XX và đến nay vẫn được xem như là một ngành toán học cổ điển Trong quá trình phát triển, giải tích hàm đã tích lũy được một số nội dung hết sức phong phú,
những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất
cả các ngành toán học có liên quan, sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán học
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo- ThS Hoàng Ngọc Tuấn, em đã chọn đề tài: "Không gian lôi địa phương"
2 Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về không gian lồi địa phương, một nội dung khá quen thuộc, bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của giải tích hàm
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là định nghĩa và các tính chất của không gian lồi địa phương như tập bị chặn, tính khả mêtric và đều, không gian hữu hạn chiều, phân phối ; nghiên cứu phép biểu diễn và tính compact qua các định
lý biểu diễn Choquet, Carathéodory, Banach-Dieudome, Eberlein-Smulian,
Kaplansky, Banach-Stone
Nghiên cứu một số tính chất của không gian lồi địa phương trên trường
Trang 64 Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu là:
e Nghiên cứu một số tính chất của không gian lỗi địa phương
e Nghiên cứu phép biểu diễn và tính compact
5 Phương pháp nghiên cứu
e Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu
e Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu
6 Cầu trúc khóa luận
Khóa luận bao gồm lời mở đầu, hai chương, phần kết luận, và đanh mục tài liệu tham khảo
e Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
e Chương 2: Không gian lỗi địa phương
Trong thời gian học tập, nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích và đặc biệt là ThS Hoàng Ngọc Tuấn, người trực tiếp hướng dẫn em
để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp đại học này
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên
Trang 7CHUONG 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian vectơ Toán tử và phiêm hàm tuyên tính
Trước khi tìm hiểu về không gian lồi địa phương, chúng ta cần nắm được
một số kiến thức cơ bản Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó Các khái niệm, kết quả trình bày ở đây được tham khảo ở các tài liệu [1],
[2], [3]
1.1.1 Không gian vectơ
Cho trường số thực ϧ và X là một tập khác rỗng Trên X ta xác định hai ánh xạ:
1) Phép cộng: xác định trên X, lấy giá trị trên X, (x,y)>x+y;x,y€X;
2) Phép nhân vô hướng xác định trên ïR x X, lấy giá trị trên X,
(A,x) HO AxjxEX, AER
Dinh nghia 1.1 Tap X 4 Ó và hai ánh xạ trên gọi là một không gian vectd (không gian tuyến tính) nêu các điểu kiện sau được thỏa mãn:
Trang 8]1)x+y=y+x;VW%,y€CX;
2)x+(y+z)=(x+y)+z, Vx,y,s€ X;
3) Trong X tôn tại phân tử không, kí hiệu 9, sao cho x+ 8 = x, VxC€ X; 4) Với mọi x C X, tôn tai phân tử (—x) € X (gọi là phần tử đối của x) để
5) (HÄ)x = Ä (H3), VẦ,H€ R; Vx€ X;
6) (A+M)x=Ax+Ay;
7Z)Ä(x+y)= Äx+Ây, VÀ,H€TR; Vx,y€ X;
8)lx—=xV,x€X
Định nghĩa 1.2 (Tập lôi, bao lỗi)
X là một không gian vectơ trên trường số thực Một tập con V của X được gọi là lồi nếu với mỗi x,y € V thì ax+ (1— a)y € V,0< a< 1
Cho S là một tập con tùy ý của không gian vectơ X trên trường số thực Bao lôi của S được định nghĩa là giao của tắt cả các tập lôi chứa S Kí hiệu: S
Dinh nghĩa 1.3 (Điểm cực biên)
Cho C là một tập lôi, x được gọi là điểm cực biên của C nếu không tôn
tại hai điển phân biệt u, v thuộc C sao cho x là điểm trong của đoạn [u,v] Trong đó [u,v] = {au+(1—a)v:0<a<l}
1.1.2 Todn tir va phiém ham tuyén tinh
Trang 9T (xì +32) = T (x1) + T (x2) véi moi x1,x2 € X;
T (Ax) =AT (x) voi moixEX, AER Nếu Y =R thiT duoc goi la phiém ham tuyén tinh
Ki hiéu £* (X,Y) la tap hop tat cd cdc todn tit tuyén tinh từ X vào Y Tức
la £* (X,Y)={T :X > YIT la tuyén tinh}
Trên £Ÿ (X,Y) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng, xác định
nhu sau: véi moi A,B € £* (X,Y), AER,
(A +B) (x) = Ax+ BxVx EX; (AA) x =A (Ax) Vx EX
Khi do £* (X,Y) cung vdi hai phép todn trén la mét khong gian vecto Dac biét, néu Y = R thay cho £* (X,Y) ta viét X* va goi là không gian
liên hợp đại số của không gian X (hay không gian đối ngẫu đại số của X) Mỗi phân tử của X” gọi là phiếm hàm tuyến tính trên X
1.2 Không gian tôpô
Định nghĩa 1.5 (Không gian tôpô)
Cho một tập hợp X bắt kì, X # @ Ta nói một họ + những tập hợp con của X là một tôpô (hay xác định một cầu trúc tôpô) trên X nếu:
(i) Hai tap hop ÿ và X đêu thuộc họ 1
(i1) + kín với phép giao hữu hạn, tức là giao của một họ hữu hạn các tập hợp thuộc họ + thì cũng thuộc họ đó
Trang 10cũng thuộc họ đó
Một tập hợp X, cùng vói một tôpô + trên X, gọi là không gian tôpô (X, +) (gọi đơn giản là không gian tôpô X)
Định nghĩa 1.6 Cho A C X, kí hiệu TẠ = {Af\G:Œ € +}, khi đó TA là một
tôpô trên A và Tạ được gọi là tôpô cảm sinh của tôpô + trên A
Khi đó (A, +) là một không gian tôpô và gọi là không gian tôpô con của
không gian (X, 1)
Định nghĩa 1.7 (Ánh xạ liên tục, không gian đồng phôi)
Cho (X,T), (Y, 4) là hai không gian tôpô, ƒ là ánh xạ từ X vào Y' xạ €X
Ta nói ánh xạ ƒ liên tục tại xạ nêu mọi lân cận Uy, clia diém yo = f (xo) déu có một lân cận Vụy của điểm xọ sao cho ƒ (Vu) CU), nghia la x € Vy, =>
f (x) EU
Ánh xạ ƒ được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x € X
Giả sử ƒ là một song ánh từ X lên Y, nêu ƒ và ƒ~ liên tục thì ƒ được gọi là ánh xạ đồng phôi từ X lên Y hay còn gọi là phép đồng phôi
Không gian tôpô X, và không gian tôpô Y được gọi là hai không gian đông phôi với nhau nếu tôn tại một pháp đồng phôi từ X lên Y
Định nghĩa 1.8 G¡¿ sử (X, r) là không gian tôpô
Một họ Ô những lân cận của điểm x € X được gọi là một cơ sở lân cận cua x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại V € 8 sao choV CU
Nếu tôn tại một cơ sở lân cận của x gồm đếm được các lân cận thì điểm x gọi là có cơ sở lân cận đêm được
Định nghĩa 1.9 (Không gian Hausdorff)
Trang 11nếu với mỗi cặp điểm khác nhau xị,x› € X, tôn tại một lân cận V của xị và lân cận Ù cua x2 sao choU NV = @
Định nghĩa 1.10 (Tập compact)
Cho X là một không gian tôpô Tập con A C X goi la compact (trong X) nếu với mọi phú mỏ của A đêều có một phủ con hữu hạn Điều này có nghĩa là nếu D; là các tập con mỏ của X với mọi ¡ € Ï và A C U Dị có một tập hợp hữu hạn lọ C ï sao cho U D; DA m
iclo
Định nghĩa 1.11 (Không gian compact)
Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact trong X Tức là nêu D; là mở trong X với mọi ¡ € Ï và UP = X thì có một
íc
tập hữu hạn lọ C I sao cho L] Dị = X
i€ly
1.3 Không gian mêtric Không gian định chuẩn
1.3.1 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.12 Không gian mêtric là một tập hợp X # cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực 1 thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (Vx,y€X), đ(zx,y) > 0,d(x,y) =0 © x = y (iiên đề đồng nhất); 2)(Vx,y€X),d(x,y) = d(y,x) (tiên đề đối xứng);
3) (Vx,y,s€ X), đ(x,y) < đ(x,z) +d(y,z) (tiên đề tam giác)
Ánh xạ d được gọi là mêtric trên X, d (x,y) gợi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y, các phân tử của X gọi là các điểm, các tiên đề 1), 2), 3) gọi
Trang 12Định nghĩa 1.13 Cho không gian mêtric M = (X,d) Một tập hợp con bắt
kì Xo # ÿ của tập hợp X cùng với mêtric d trên X gọi là không gian mêtric con của không gian đã cho
Định nghĩa 1.14 Cho không gian mêtric M = (X,d), a € X và số r > 0 Ta gọi:
- Tập hợp B(a,r) = {x € X : Ä(x,a) < r} là hình cầu mỏ tâm a, bán kính - Tap hop B' (a,r) = {x € X :d(x,a) <r} là hình cầu đóng tâm a, bán
kính r
Định nghĩa 1.15 Trong không gian mêtric M — (X,đ) Mọi hình cầu mỏ
tâm x bán kính r > 0 gọi là lân cận của điểm x € X trong không gian M Định nghĩa 1.16 Cho X là một không gian métric, A C X,
Điểm x € A là điểm trong của X nếu: 3e > 0;B(x,£) C A
A được gọi là tập mỏ nếu mọi x € A là điểm trong của A
A được gọi là tập đóng nếu AC = X\A— mở
Định lý 1.1 Trong không gian mêtric bắt kì M = (X,đ) họ tắt cả các tập
mỏ lập thành một tôpô trên X Tôpô đó gọi là tôpô sinh bỏi mêtric d Định lý 1.2 (Định lý Arzela-Ascoli)
Cho X là một không gian mềêtric compact và Y là một không gian mê tric
C(X,Y) là không gian mêtric với phan tử là tat cả các hàm liên tục từ X tới
Y và mêtric được xác định bởi công thức
d(f,g) = maxd (f(x) ,8(x))
Trang 13Tập con F được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi x € X tập hợp
{f (x): f € F} la bị chan trong Y
Tập F được gọi là liên tục đồng bậc trên X nếu:
Vxọ €X,Ve > 0,3ồ >0,Vƒ€ F,Vx€X:d(x,xo) < 6
=> đ(ƒ(x),/ƒ(4o)) <£
Định lý 1.3 Trong không gian mêtric bắt kì, tôpô sinh bởi mêtric là tôpô có cơ sở lân cận đếm được
1.3.2 Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.17 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường TÀ cùng với một ánh xạ từ
X vào tập hợp số thực, kí hiệu ||.|| (đọc là chuẩn) thỏa mãn các tiên để sau: 1) ||x|| = 0,Vx € X;
\|x|| =0 = x = 9 (6 là kí hiệu phân tử không của X)
2) |œx|| = |ø| |x|l, Vx €X,Vœ €R;
3) \lx+yl] < |lxl] + lly], x.y € X (bát đẳng thức tam giác)
Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn
là X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên để chuẩn
Cho X = (X, ||.||) là một không gian định chuẩn
Bx = {xeX; |xll< 1} kí hiệu hình cầu đơn vị đóng của X, và
ấy ={x€X; |lx|| = 1} kí hiệu mặt cầu đơn vị của (X, |.||) Nếu M C X,
thì span (M) là viết tắt của bao tuyến tính (hoặc khoảng) của M, nghĩa là,
Trang 14Tương tự, spam (M) là kí hiệu cho bao lỗi đóng tuyến tính của M; bao lỗi
của M sẽ được kí hiệu bởi com (M), và eøm (M) là kí hiệu bao lỗi đóng của
M
Với các tập hợp con A, 8 của một không gian vectơ X và vô hướng @, ta
viết A + B = {a+b;ac€ A,bc€ B} và œA = {ơa;a€ A}
Định nghĩa 1.18 Dấy điểm (x„) của không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới điểm x € X, néu lim ||x, —x|| = 0 va ki hiéu lim x, = x hay x, >
n—-co đ->œ
x(n — ©)
Định nghia 1.19 Day diém (x,) cua không gian định chuẩn X gọi là dấy cơ bản nếu lim ||x»„T— x„|| = 0
n,m—>oo
Định nghĩa 1.20 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nêu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ
Mệnh đề 1.1 Cho Y là không gian con của một không gian Banach X Y là một không gian Banach nếu và chỉ nếu Y đóng trong X
Định nghĩa 1.21 (Định nghĩa toán tử tuyến tính bị chặn) Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y gọi là bị chặn nếu tôn tại hằng sô C > 0 sao cho:
7x <€Œllxl, VxeX
Định nghĩa 1.22 (Định nghĩa chuẩn của toán tử tuyến tính) Cho hai không gian định chuẩn X và X Toán tử tuyến tính T từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng sô C > 0 nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức
Trang 15gọi là chuẩn của toán tử T và kí hiệu ||T||
Định nghĩa 1.23 (Không gian liên hợp) Cho không gian định chuẩn X trên trường sơ thực IĐ Ta gọi khơng gian I (X,]Đ) các phim hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của
không gian X và kí hiệu X" (thay cho ký hiệu I(X,)
Định nghĩa 1.24 Cho X là một không gian định chuẩn
Tôpô yếu w— trên X là tôpô được tạo ra bởi một cơ sở bao gỗm các tập
O={x€X:|ƒ#(x— xo)| < £ với mọi ¡ = 1, ,n}
với mọi xọ € X: ƒt, , ƒ„€ X” và g>0
Tương tự, tôpô yếu *, kí hiệu w*— trên X* của X được tạo ra bỏi một cơ sở
bao gồm các tập
O* = {f €X*; |(f — fo) (x1)| < € vdi moi i = 1, ,n}
v6i moi fo € X”; x\, ,xu € X với mọi £ > 0
Định lý 1.4 (Nguyên lý bị chặn đều Banach-Steinhaus)
Nếu họ (A:),.+ các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y (trong đó tập hợp chỉ số T có lực lượng nào đáy) bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều
Định lý 1.5 (Nguyên lý thác triển Hahn-Banach)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục ƒ xác định trên không gian tuyến tính con Xọ của không gian tuyến tính định chuẩn X (Xọo # X) đều có thể thác triển lên tồn khơng gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên tục F xác định trên tồn khơng gian Ä sao cho:
Trang 161) F (x) = f (x) Vx € Xo;
2) \|Fllx = Ifllx,-
Bây giờ chúng ta sẽ chuyển qua một số ví dụ về không gian Banach
Định nghĩa 1.25 C |0, 1] là kí hiệu không gian vectơ của tắt cả các hàm giá
trị vô hướng có giá trị liên tục trên |0, l], cho bỏi chuẩn
II = sup {| F(t) >t € [0,1]} = max {\f (t)|; ¢ € [0,1]}
Tương tự, không gian C(K) gồm các hàm vô hướng liên tục trên một
không gian compact K, cho bởi chuẩn supremum, lập thành một không gian Banach
Định nghĩa 1.26 /ÿ !à kí hiệu không gian vecơ n chiễu của tắt cả các n—
tập vô hướng (ở đây là I"), cho bởi chuẩn supremum ||.|„ xác định cho
x=i, ,x„) € bởi
\|x||.0 = max {|x;|;i=1, ,n}
Lưu ý rằng ý" là một trường hợp đặc biệt của không gian C(K) ở đó K={I k}
Định nghĩa 1.27 Cho p € [1,) 07, la ki hiệu không gian vect0 n chiều K", với chuẩn xác định cho x = (x\, ,x„) € f là
n >
Ixll,= (3 bị} : i=1
Dinh nghia 1.28 Cho p € [1,°) Khéng gian ¢, = €, (N) la ki hiéu khong gian vecto cua tat cả các day gid tri v6 huéng x = {x¡}?_¡ thỏa mãn
Trang 17Cho x = {zx;}ƒˆ~¡ là một dãy vô hướng Ta định nghĩa giá của x bằng
supp(x) = {i; x; 4 O}
Định nghĩa 1.29 ¢., = ¢ (N) la kí hiệu không gian vectơ của tắt cả các
đấy có giá trị vô hướng bị chặn với chuẩn xác định cho x = (x¡) € £„ với ; ie N}
lx|l = sup {|x¡
coo la kí hiệu không gian con của ¢ bao gém tat cd x = (x;) sao cho
supp(x) Ia hitu han
c=c(N) la ki hiéu khong gian con của Ê„ bao gôm tắt cả x = (x;) sao cho lim (x;) ton tại và hữu hạn
cọ = cọ (Ñ) là kí hiệu không gian con của f„ bao gôm tắt cả x = (x¡)sao cho lim (x;) = 0 mạ y ` £ Chú ý rằng cọ là bao đóng của cọo trong f„ Cũng lưu ý rằng nêu x = (x¡) >i EN}
thuộc cạo hoặc cọ, khi do \|x\|| = max {|x;
1.4 Khong gian Hilbert
Định nghĩa 1.30 (Định nghĩa tích vô hướng)
Cho không gian tuyến tính X trên trường sô thực T& Ta gọi tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X x X vào trường Ñ, ký
hiệu (.,.), thỏa mãn các tiên đề:
1) (y,x) = (x,y), Vx,y EX;
2) (x+y,z) = (x2) + (y,z), Vx,y,z€X;
3) (ax,y) =a(x,y), Vx,yEX,VaER;
4) (Vx EX) (x,x) > 0, néu x # 6 (6 là kí hiệu của phân tử không), (x,x) =0, nếu x = 9
Trang 18Cac phan tit x,y,z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x,y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng
Định nghĩa 1.31 (Định nghĩa không gian Hilbert)
Ta gọi một tập H # 9 gồm những phân tử x,y,z nào đây là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điểu kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường số thực ]Ñ;
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3) H là không gian Banach với chuẩn ||x||= (.3), x€ H
Định lý 1.6 (Định lý Riesz)
Mọi phiêm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có
Trang 19CHƯƠNG 2
Không gian lôi địa phương
Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra khái niệm, tìm hiểu một số tính chất của không gian lồi địa phương: phép biểu diễn và tính compact trong nó
2.1 Một số tính chất của không gian lồi địa phương
Định nghĩa 2.1 Cho E là một không gian vectơ, và cho + là một không gian top6 Hausdorff trên E được cho bởi phép toán (x,y) GE x Ec>x+y
và (x,0) € E xÑ c> Œx tương ứng liên tục trên tập E x E va E x R Khi do,
(E,+) được gọi là một không gian vectơ tôpô
Bởi vậy, với mỗi xị,xạ € E và mọi lân cận W của xị + xa tồn tại tương ứng các lân cận Vị và VW; của xị và xạ, sao cho Vị + Vạ C W, ở đó
Wị + Vạ = {x+y,x€ Vị,y€ W;} Ngoài ra, với mỗi x € E,œ € JR và mọi
lân cận W của +, tồn tại một lân cận V của x trong E va 6 > 0 sao cho BV CW véi moi |B — a| < 6, khi d6 BV = {Bv;v EV}
Ta có phát biểu sau đây
Mệnh đề 2.1 Cho X là một không gian vectơ tôpô
(¡) Với mỗi a € E, toán tử tịnh tiên Tạ ánh xạ x € E thành T„ (x) =x+a là một phép đồng phôi từ E lên E
Trang 20(ii) Với mỗi œ € ]R,œ # 0 toán tử Mạ của phép nhân ánh xạ x € E thành Mẹ (x) = Œx là một phép đồng phôi từ E lên E
Ta thường xét các cơ sở lân cận tại gốc của không gian vectơ tôpô (E, 2); ở đó, họ các tập $ gồm các tập con của E sao cho mỗi U cS chứa một lân
cận của 0 và đối với mọi V € 7 với 0 € V ta có thể m được tập U €S sao choOEU CV
Bổ đề 2.1 Néu 3 là một cơ sở lân cận của khong gian vecto topo E, thì mọi tập hợp trong S bao gôm những tập đóng trong S
Đặc biệt: E có một cơ sỏ lân cận bao gồm các tập hợp đóng
Chứng minh Lây U € 3 Vi (x,y) => x— y là một hàm liên tục, ta tim
được một lân cận V của không trong E thỏa mãn — V C U; nghĩa là,
Vñn((E\U)+V) = ¿ Từ (E\U) + V là một tập mở, ta có Vñn ((E\U)+V) = 9; dac biét, VO (E\U) = 9 bởi vì 0€ V Vì vậy
VCỮ L1
Định nghĩa 2.2 Một không gian vectơ tôpô E được gọi là một không gian lôi địa phương nếu E có một cơ sở lân cận gỗồm tồn các tập lơi
Một tôpô + trên E được gọi là một tôpô lôi địa phương nếu (E, +) là một
không gian lôi địa phương
Chuẩn, w—tôpô và w*— tôpô là các ví dụ về tôpô lồi địa phương
Một mêtric đ(.,.) trên không gian vectơ E được gọi là bất biến (tịnh
tiến) nếu đ (x+z,y +z) = đ(z,y) với mọi x,y,z € E
Trang 21Một không gian lôi địa phương E được gọi là đủ nêu nó được cảm sinh bỏi một chuẩn trên E
Đặc biệt, nếu X là một không gian Banach, thì khoảng cách
d(z,y) = ||x— y|| tạo thành một không gian Fréchet
Định nghĩa 2.4 Một tập A trong không gian vectơ E được gọi là cân nếu
aA CA với mọi |œ| < 1
Mệnh đề 2.2
1 Mọi không gian vectơ tôpô E đêu có một cơ sổ lân cận bao gồm các tập hợp cân
2 Mọi không gian vectơ lôi địa phương E đều có một cơ sở lân cận bao gôm các tập lôi và cân
Chứng mình (1): Lẫy U là một lân cận của 0 trong E Do tính liên tục của phép nhân vô hướng, ta có ổ > 0 và một lân cận W của 0 trong E sao cho
œV CV với mọi |œ| < 6 Dat W = œV Khi đó W là một lân cận của
O trong EvaW CU ae
(2) Cho U là một lân cận lồi của 0 trong # Trước hết, ta xây dựng W như
trong (1) Vi W 1a tap can, nén V = conv (W) là tập cân và là lân cận lỗi của
0, và V C U bởi vì U là tập lôi Oo
Mệnh đề 2.3 Cho E là một không gian vectơ tôpô Nếu dìm (E) =n, thiE là phép đồng phôi tuyến tính lên f2
Chứng mình Lây {et, ,e„} là một cơ sở của E Chúng ta xác định ánh xạ
n
u từ f2 én E voi x = (x;) bang u(x) = Y x¡iới
i=l
Trang 22Do tính liên tục của các phép toán của vectơ trong #, là một song ánh tuyến tính liên tục của #3 trên £ Để hoàn thành chứng minh chúng ta phải chỉ ra rang u~! là liên tục Lấy B¡ chứa hình cầu đơn vị trong 7: chúng ta sẽ chỉ ra rằng w (B¡) chứa một lân cận của 0 trong E Nhờ sự tuyến tính của u và của các tôpô của E và ý, điều này chứng minh nó liên tục tại mọi điểm
của E
Lấy S¡ là mặt cầu đơn vị trong /7 Bởi vì Š¡ là compact trong /7 và w
là liên tục, (Š¡) compact trong # Ngoài ra, là đơn ánh, vì vậy ta có 0 £ „(S¡) Từ E là không gian Hausdorff, với mọi s € u(S;) c6 U, va V,
tương ứng là các lân cận của s và 0, sao cho U; NV; # ở
P
Do tính compact, C6 51, ,5) € u(S,) sao cho u(S1) C Ủ U,, Đặt
V= ñ Y;, Thế thì V là một lân cận của 0 trong E sao cho V 1u (Š¡) = Ó
Từ mệnh đề 2.2, theo đó có một lân cận cân W của 0 trong E sao cho W C V
và như thế W f(S¡) = @ Ta nhận thấy rằng W C „(B¡) Thật vậy, nếu với một phần tử w € W nào đó chúng ta có w ý #(B¡), thế thì w = u(v) với 0 # /(B\) Khi đó De 51 và "mì “ae” bởi vì W cân,
w€ W và ||o|| > 1 L]
Ta nói rằng một dãy {xz }„.„ trong không gian vectơ tôpô E được gọi là
Cauchy nêu với mọi lân cận U của 0 trong E có ơọ € ï sao cho (xa — xg)€ U với mọi a, B > ơạ E được gọi là đứ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ
Hệ quả 2.1 Cho F la một không gian con của không gian vectơ E Nếu F có hữu hạn chiêu thì F đóng trong E
Trang 23day {x„} C Ƒ sao cho lim (x„) = y Rõ ràng {x„ } là một dãy Cauchy trong
F, vi vậy nó hội tụ tới một phần tử nào đó trong Ƒ Từ đó y € F L] Mệnh đề 2.4 Cho E là một không gian lôi địa phương Nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì tôpô của E được cảm sinh bởi một mêtric bắt biến Chứng minh Lây {U„} là một cơ sở lân cận đếm được trong E Theo mệnh
đề 2.3, ta có thể giả sử rằng mọi „ là những tập lỗi cân Với mỗi ø lấy p„ là
hàm Minkowski của U„ Thế thì p„ là nửa chuẩn; nghĩa là,
Pn(XEy) Š Pn(X) + pn(y) voi x,y € E va pn (ax) = |a| p(x) voi xEEvaaeR 5 ne (x—y) 1 1+ Pa (x—y) Xác định một mêtric đ trên E bởi đ (x,y) = n= 3 : \ f
Dé xac minh rang đ thực sự là một mêtric, chú ý rắng Tar la day tang Vì vậy, với x,y,z € E, Pn (x —2) < Pn (x—y) + Paly—2) 1+ p„(x—z) ~ 1+ pn (x—y) + Pa (y —2) Pa (X— Y) Pa (y—3) 1+ pn(x—y) + Pn (y—-Z) 1+ Pn (x—y) + Pn (y —2) < Pn(x—Y) 4 Pn (y—2) 1+pna(x-y) 1+pa(y—-2z)
Từ đó chuỗi trong định nghĩa của ở là hội tụ đều với x,y € E, ta có các
hình cầu {x€ E; đ(x,0) < r} là mở trong E Mêtric đ là sự chuyển dịch
tích phân bắt biến , vì vậy để chứng minh đ cảm sinh một tôpô của #, nó là
đủ để chứng tỏ rằng mọi tập U„ chứa hình cầu {x € E; d(x,0) < 27>) }
1 t
Nếu đ(x,0) < 2~(*Ð, thì —P*)— _ Ì và viham —— Ja nam tăng, ta I+pa(ø) `2 1+t
C6 pn (x) < 1 vado dé x € Up L]
Trang 24Định nghĩa 2.5 Cho E là một tập hợp con của không gian vectơ tôpô E A được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận gốc U trong E tôn tại œ > 0 sao cho œA C Ũ A được gọi là hoàn toàn bị chặn nếu với mọi lân cận U của 0 trong E có một tập hợp hữu hạn F C E sao cho A C F+U
Chú ý rằng mọi tập hợp A hoàn toàn bị chặn trong không gian vectơ tôpô E thì bị chặn Thật vậy, cho một lân cận W của 0 trong Z, ta áp dụng tính liên tục của phép cộng để có một lân cận V của 0 trong # sao cho V +V C W Từ A là hoàn toàn bị chặn, ta có một tap hdp httu han F C E saochoA CF +V Lay F = {x1, ,x,} Tit tinh liên tục của phép nhân vô hướng, ta tim được 1 > 6; > O sao cho 6,, € V khi0 < 6 < 6,, Dat 6 = min {6;}; thi 6,, € V với
moi i Ti d6 va do V 1a lan can cn, ta duce 6A C OF +6V CV4+V CW
Điều đó chứng tỏ rằng A bi chan trong E
Mệnh đề 2.5 Cho E là một không gian lỗi địa phương E là đủ nếu và chỉ nếu E có một lân cận bị chặn của không
Chứng minh Cố nhiên, nếu E là đủ, thì nó có một lân cận bị chặn của không, là hình cầu đơn vị mở tâm làm gốc Giả sử rằng V là một lân cận gốc lồi cân bị chặn trong E Khi đó hàm Minkowski p của Ù là liên tục trên E nó cảm sinh tôpô của E Thật vậy, nếu V là một lân cận của 0 trong E, thì
aU CU véi moi a > 0, ta thấy rằng các hình cầu có tâm là gốc và được
tạo ra bởi p là một cơ sở lân cận của E Để kiểm tra tính liên tục của p, ta sử dụng |p(x) — p(y)| < p(x—y), nó được suy ra từ bất đẳng thức tam
giác L]
Trang 25Chứng minh Cho U có một lân cận hoàn toàn bị chan của 0 Nó cũng bị chặn, từ đó {2 ”U};—¡ lập thành một cơ sở lân cận trong E Do tính hoàn toàn bị chặn của U, tồn tại một tập hữu hạn A C E sao cho U C A+ 3U
Lay F = span(A) Thé thi U C F + 3U Nhân vào cả hai về với > ta có
Tự CF+ Tự, Kết hợp lại ta có U C F+F+U =F+ 2U Bằng phương 2 4 4 pháp quy nạp ta được U C + 2”U với moi n Vi vậy UC{\(F+2"U) CT 2 \ 3 Cuối cùng ta khẳng định rằng Ƒ (g„) > 7° lập thành một cơ sở lân cận 3 Ặ
trong E Vi F dong trong E theo Hệ qua 2.1, ta có ø„ (4¡) > 4° Lay x€ E,
ta co 0.x € U; vi vay c6 g; sao cho 6x CU C F vahon nita x € F Do d6
F = E, va E là hữu hạn chiều L]
Định nghĩa 2.6 Cho E là một không gian vectơ tôpô Kí hiệu E* là tập tắt cả các hàm tuyến tính liên tục trên E
Bổ đề 2.2 Cho E là một không gian vectơ tôpô và ƒ là một phiếm hàm tuyến tính trên E Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) ƒ liên tục trên E; túc là ƒ €E* (ii) ƒ liên tục tại mọi điểm thuộc E
(iii) Có một lân cận U của điểm xạ € E sao cho ƒ bị chặn trên U
Chứng mình Mỗi quan hé (i) => (ii) = (iii) là hiển nhiên
(iii) + (i): Lay C > 0 sao cho f(x) < C với mọi x € Ũ
D=C—f (x) vaV = 5 (0 ~%0) ; ta có thể giả sử rằng V cân Khi đó
V là một lân cận cân của 0 và ƒ (x) < 1 với mọi x € V Lấy x € V, ta có —x€Y, vì vậy ƒ(x) > —1, nghĩa là |ƒ| < 1 trên V
Trang 26Bây giờ lấy y€ E và e >0, W = y+£V là lân cận mở của y sao cho
|f (x) — f (y)| < € véi x € W; nghia 1a, f liên tục trên E Oo
Ví dụ sau đây cho thấy rằng trừ khi tôpô của E là lồi địa phương, không
gian E có thể suy biến
Ví dụ
Đặt p € (0,1) Cho L„ biểu thị không gian vectơ của các hàm đo được
theo nghĩa Lebesgue trên|0, 1| ở đó 1
47) = Jl/0)JÏ4 <%
Từ a > 0 và b > 0 ta có (a+b)” < aP+b”, thì g(ƒ+ø) < q(ƒ) >+a(e) Vì
vậy, công thức đ (ƒ, g) = q(ƒ — g) xác định một mêtric bắt biến trên „ ở đó Lp là đủ Điều này cũng đúng như đối với Lp,p> 1 Chúng ta khẳng định rằng nếu Ó là một tập lồi mở không rỗng trong Lp, thiO=Ly
Để chứng minh nhận định này, giả sử rằng V # ở là một tập lồi mở trong L, sao cho 0 € V Chon ƒ € L; Chúng ta sẽ chỉ ra ƒ € V Chọn
Trang 27chứng minh
Do đó, chỉ có một lân cận lồi mở của 0 là toàn bộ Lp, Vi vay t6p6 nay khơng lỗi địa phương
Ngồi ra, cho # € L; Vì E~!(~ơ, ) là một lân cận lỗi của 0 trong L, với mọi œ > 0, ta có Ƒ~! ((—ơ, ø)) = Lạ Vì vậy F = 0, và L7 = {0}
Ví dụ
Cho © 1a mot tap mé trong R” Ta sé xây dựng các không gian phân phối
và thiết lập một số thuộc tính của nó
Chọn bất kì chuỗi {K„}„.w của tập hợp compact con của © sao cho
1
Kạ Clm (K,+¡) và) Ky = Ô; ví dụ, K„ = t :d(x, R"\Q) > -, ||x||, < nl, n
Định nghia 2.7 Ki hiéu C (Q) la khong gian vecto ctia tat cd cdc ham thuc
liên tục trên © với tơpơ + xác định bởi cơ sở lân cận {U„}, ở đó
U, = {recta sup |/ (x)| <i} xEKy
Ménh dé 2.7
1 (C(Q),7) la mot khéng gian lôi địa phương mà tôpô của nó không phụ thuộc vào sự lựa chon cua {Ky}
2 Tôpô + là tôpô hội tụ đều trên mỗi tập hợp con compact của ©; ở đó, ƒ„ — ƒ đều trên mỗi tập con compact của ©
3 Đó là một không gian Fréchet nhưng tôpô + là không tầm thường Chứng minh Tính lồi là căn cứ để chứng minh
Cho {K} là họ compact khác với các tính chất cần thiết Vậy thì, với
Trang 28K, C Int (Kn41), ton tai Kp, sao cho K,, C Int (Km) C Km «
Điều này cho thấy sự độc lập của 7 với sự lựa chọn {K„;} và 7 cũng là tôpô hội tụ đều trên mỗi tập compact trong ©
Bởi lập luận thông thường, ta thấy rằng (C (O),, z) là không gian Fréchet Từ đó mọi Ứ„ đều chứa những hàm ƒ mà sup |ƒ| được lấy tùy ý, ta có „
Kast
không bị chặn Vì vậy (C(©), z) là không tầm thường L] Đặc biệt bất kì tập hợp dạng U €C(Q): sup |f (x)| < e} VỚI £ > 0 và
xeK
tập compact K trong © là một lân cận mở của 0 trong C(©)
Ta nói rằng với mỗi chỉ số nhân œ = (0, , œ„), ở đó œ; là những số
nguyên không âm, đạo hàm tương ứng được định nghĩa bằng
v= (5) Ge) ~ \ ax \ OXn
Cấp của đạo hàm được định nghĩa là |œ| = Ð Qj
Định nghĩa 2.8 Bằng C° (O) ta kí hiệu tập tắt cả các hàm giá trị thực ƒ
trên © sao cho D# cC(©) với mọi Œ Tơpơ trên C°(@) được xác định bởi
cơ sở lân cận {U„ œ}
Una = {ie C> (2): sup |D“F(x)] < it xeKn
Lưu ý rằng cơ sở {U„ „} là đêm được
Mệnh đề 2.8
1 C®(Ơ) là không gian Fréchet có tôpô không phụ thuộc vào sự lựa
chon{Kz }-
Trang 293 Cđ(â) cú tớnh cht Heine-Borel
đó một không gian có tính chất Heine-Borel nếu tắt cả các tập hợp con dong bi chan trong dé déu compact
Chitng minh Ta sé chitng minh (3) Cho A 1a m6t tap đóng và bị chặn trong
C* (Q) G d6 véi moi n, tén tai M, > 0 sao cho |D“f (x)| < M„ với mọi lal <n, f CA vax€ K, Vi vay {D%f;f € A} là liên tục đồng bậc trên
Kn_¡ với |œ| <n—1 Theo dinh lý Arzelà-Ascoli và quá trình chéo hóa,
mỗi chuỗi { ƒ;} C A chứa một dãy ƒ;, mà tắt cả D* ƒ;, hội tụ đều trên mỗi tập
hop con compact cua Q
Vi thé fi, hdi tụ trong C° (Ó) Điều đó chứng tỏ rằng A là tập hợp com-
pact O
Ánh xạ phép lấy vi phân D# : C° (@) — C® (Q) 14 lién tuc và tuyến tính
Giả sử ƒ là một hàm giá trị thực trên ©, giá của ƒ được xác định bởi
supp(f) = {x € ©; ƒ(x) # 0}
Định nghĩa 2.9 Cho K là một tập hợp compact trong © sao cho
Int (K) # 6 Ta định nghĩa Dy là một không gian con đóng của C®(Ơ) tạo thành bỏi các hàm f sao cho supp(f) C K Ta định nghĩa D (©) là hợp của tắt cả Dự (©) với K la compact
Lưu ý rằng D(O) không là một không gian con đủ của Cđ(â) Vi
Trang 30Vi mỗi tập compact K C © với phần trong khơng rỗng, lấy 7x biểu thi
tôpô của 2y được lấy từ C® (O) Lấy B biểu thị tập hợp tất cả các tập hợp lồi cân W C D(©) sao cho 2y 1W là 7y-mở trong X với mỗi tập compact
KC O như vậy Khi đó B là một cơ sở lân cận cho một tôpô lồi địa phương
trên D (Q), sẽ được biểu thị bằng Tt Mệnh đề 2.9 1 4 3 Tôpô trên Dy nhận được từ D(©) trùng với t„ với mỗi tập compact KC © tới IniK # ộ
Nếu A là một tập hợp con bị chặn của D(O), khi đó, có một tập
compact K C © sao cho [A C Dự D(©) có tính chất Heine-Borel
Moi day Cauchy trong D(Q) déu hội tụ D(Q) không kha métric
Chứng minh (Tom tat) Dé chitng minh (1), chi can chi ra rằng , cho trước
một tập mở O trong Dy, tồn tại một tập mở V trong D(Q) sao cho
Ø =VfnDy Lấy {U„} là cơ sở lân cận trong D„ như trên và p„ là hàm
Minkowski của {U„} Với mỗi ø € ÓØ, có ø0 và ổ > 0 sao cho {ự€ Dự;p„(T— 0) < 5}
Dit Wy = {y € D(Q): pp (W) < 6} Khi dé Wy € Bva
DeN(@+Wo) = 9+ (DkOWe) CO
LayV= U (9 + Wo) Khi đó V có các tính chất mong muốn
c0
Trang 31đó có Ø„ € A và những điểm phân biệt x„ € O mà không có điểm giới hạn trong © sao cho Ø„ (x„) # 0, € Ñ Cho W là tập tất cả ø € D(©) thỏa man |@ (Xm)| < ~|0n (x„)| với mọi m € Ñ
Chú ý rắng W là lồi và cân Từ mọi tập compact K chứa hữu hạn x„,
dé dang dé nhan thay rang Dg NW là mở trong D(K) Khi đó, W cB Từ
Om £ mW, không có bội số của A được chứa trong W Vì vậy, A không bị
chan trong D (Q)
(3) Theo (2) và sự kiện 2g có tính chất Heine-Borel
(4) Theo sự kiện mọi dãy Cauchy là bị chặn , theo (2) và tính đầy đủ của Dr
(5) : Dé thay Dx khéng c6 diém nam trong thudc D(Q) Gia sit rang
D (Q) kha métric Khi d6 D (Q) là một khơng gian hồn tồn khả mêtric bởi
vì bất ki day Cauchy trong D là hội tụ Chú ý rằng 2 là không gian con
con đóng của D (O) Điều này mâu thuẫn với định lý phạm trù Baire =O
Mệnh đề 2.10 Một hàm tuyến tính ƒ trên D (©) là liên tục khi và chỉ khi ƒ liên tục theo đấy và khi và chỉ khi những hạn chế của ƒ lên Dg là liên tục
Tương tự, ánh xạ tuyến tính T : D(Q) — E, ở đó E là không gian lôi địa phương, là liên tục nếu và chỉ nếu T |p„ là liên tục với mọi Dự
Chứng mình Giả sử rằng các giới hạn của ƒ lên toàn bộ Dg là liên tục Xét
V = f-!((—6,6)) Khi đó V là tập cân và lỗi Theo Mệnh đề 2.9, V là mở
trong 2(O) nếu và chỉ nếu 2 1V là mở trong 2g với mọi K Tuy nhiên đây là trường hợp hạn chế của ƒ lên mỗi D„ là liên tục
Nếu ƒ liên tục trên Ð (©), thì hạn chế của ƒ lên mỗi D„ là liên tục bởi
vi Dy khả mêtric cho mỗi K O
Trang 32Mệnh đề 2.11 D# : D (Q) — D (©) là toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh Tính chất tuyến tính là hiển nhiên
Cho K là tập compact trong ©, và cho F € Ð' (Ó) bị chặn bởi C > 0 trên
một lân cận Ứ„ của cơ sở lân cận trong D„ Lấy p„ là hàm Minkowski của
U„ Thê thì |F (@)| < Cp„ (@) với mọi ø € Dg Vì vậy, |(D“F) (@)| < Cpụ (D“@) < CPatla| (@) Do đó, D#Ƒ là một hàm tuyến tính liên tục khi hạn chế đến một tập 2 tùy ý, theo Mệnh dé 2.10 ta c6 D“F € D' (Q) Oo Bây giờ chúng ta sẽ trở về với lý thuyết của không gian lồi địa phương và bắt đầu với một định lý tách
Định lý 2.1 Cho € là một tập lôi đóng trong một không gian lôi địa phương E Nếu xọ € E\C, thì có hàm ƒ € E* sao cho
f (Xo) > sup {f (x) x € C}
Chứng minh Bằng cách xem xét một sự thay đổi của C, chúng ta có thể
giả sử rằng 0 € C Lấy U là một lân cận lồi đối xứng của 0 sao cho
(xo +2U) NC = ý Khi đó (xo+U)ñn(C+U) = ó và vì vậy đặt
D=C+U, tacé xy ¢ D Cho pt 1a ham Minkowski ciia D Néu pt (xo) < 1, thì
xo € (1++)p với mọi n € N va vi vay (+) vo € D,
1\7! = -
(: + *) xo — xo Từ đó xọ € D là mâu thuẫn Vì vậy ft (xo) > 1
n
Trang 33u (xo) > 0 theo định nghĩa của ti Theo định lý Hahn-Banach, có một hàm
tuyến tính trên E (kí hiệu bằng ƒ một lần nữa) phù hợp với ƒ trên khoảng
{xo} và phụ thuộc vào l trên E
Từ ƒ < k trên E và w < 1 trên D theo định nghĩa, với mỗi x € U C D
ta có ƒ(x) < 1 Từ tính đối xứng của U, ta được |ƒ| < 1 trên U, và vì vậy ƒ là liên tục trên # Từ Œ CD ta cũng có sup{ƒ(x) :x€ C} < 1, và
Ff (x0) = M (x0) > 1 O
Hệ qua 2.2 Cho E là một không gian lỗi địa phương và x,y € E Nếu x # y,
thì có ƒ € E" sao cho ƒ(x) # ƒ (y)
Đặc biệt E* là không tầm thường nếu E là không tầm thường
Định nghĩa 2.10 Cho E là một không gian vectơ Kí hiệu E” là không gian vectơ của tắt cả các hàm tuyến tính trên E
Cho F là một tập hợp con của E* Một G (E,F)-tôpô trên E được xác định như tôpô được tạo ra bởi cơ sở bao gồm các tập hợp
{x€E: |ƒ7(x—xo)| < £ với mọi ¡ = I, ,n}
với tắt cả các lựa chọn xọ € E, ƒq , ƒ„ € F và e > 0
Ta nói rằng một tập hợp F C E* được cho là tách các điểm của E nếu với xz#y€ E có ƒ €F sao cho ƒ (x) # ƒ (y) Chúng ta đã chỉ ra rằng , với một không gian lỗi địa phương E, tap E* là tách các điểm
Lưu ý rằng nếu #Ƒ tách các điểm của E, thì tôpô o(E,F) là
Hausdorff (E,o (E,F)) 1a khong gian lồi địa phương Chú ý rằng x„ — x trong o (E,F) khi va chi khi f (xa) > f (x) véi moi f € F
Mệnh đề 2.12 Cho E là một không gian vecto Véi méi F C E*,
(E,0(E,F))* =span(F)
Trang 34Chứng minh Theo định nghĩa của ø(E,F) -tôpô, F C (E,ø(E,F))”
Chúng ta phải chỉ ra rằng cho ƒ € (E,Ø(E,F))” có fi, , fy sao cho
ƒ=}Gi1:
Vì ƒ liên tục trong ø (E,F) —tôpô, có một lân cận mở V của 0 sao cho
|ƒ(x)|< 1 với mọi x € V Chúng ta có thể giả sử rằng có ƒi, , ƒ„ và e > 0
Si (x)| < €}
Lay z bat ki sao cho f;(z) = 0 véi moi i Khi d6 |f; (nz)| < € v6i moi
sao cho V = {x € E;
ncÑ Theo tính chất tuyến tính, điều này có nghĩa là ƒ (z) = 0 với mọi ncÑ, nghĩa là ƒ(z) = 0 Điều này cho thấy ƒ\Ker(ƒ;)C Ker(f), va c6
i
mệnh đề như trên L]
Lưu ý rằng nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn, khi đó
w-tôpô bằng với ơ(X,X*)-tôpô, và w*-tôpô trên X* bằng với
o (X*,X) — tôpô, trong đó X được coi là một tập hợp con của (X*)” Tương tự, nếu E£ là một không gian lỗi địa phương, ta gọi
Ø(E,E*)— tôpô là tôpô yếu của E, và ø(E*,E)— tôpô được gọi là tôpô
yếu * của E*
Lưu ý rằng mệnh đề ở trên ngụ ý rang (E*,w*)* = E, đặc biệt (X*,w*)” = X đối với không gian Banach X
Định lý 2.2 Mỗi tập lôi đóng trong một không gian lôi địa phương là đóng yêu
Định nghĩa 2.11 Cho E là một không gian vectởơ, và cho F là một không gian con của E" tách những điểm của E Láy A C E, BC F
1a định nghĩa cực của tập A trong F là
Trang 351a định nghĩa cực của tập B trong E là
Bo ={xEE: f(x) <1 véimoi f € B}
Dé thay A° 1a tập lồi và ø (E, F) 1a tap con déng cia F = (E,0 (E,F))*
với mọi A C E Tuong tu, Bo 1a lồi và Ø (E,F) là tập con đóng của E Nếu A
can , thì tập cực tương ứng là cân Khi đó ta có A0 = tứ sup |f (x)| < i}
mà đôi khi được sử dụng như là định nghĩa của một tập cực ms
Chú ý rằng {Mọ; 4 là tập hợp hữu hạn của E* } là một cơ sở lân cận cho
tôpô yếu của E Một khẳng định tương tự về tôpô yếu * cũng đúng
Định lý 2.3 (Alaoglu, Bourbaki)
E là một không gian lôi địa phương Nếu A C E chứa một lân cận của 0, thì A° la tập w*— compact
Chứng minh Trước tiên, giả sử rằng A là tập cân và lồi Chứng minh tương
tự định lý Alaoglu Chúng ta thấy rằng các tập hợp [—1, I] của tắt cả các hàm ƒ từ A tới [— 1, I] là compact theo từng điểm trong tôpô của nó.Chúng ta xác định một ánh xạ Ƒ : A9 — [—1, 1]Ÿ với F (ƒ) = ƒ la Do A chứa một lân
cận của 0, Ƒ là một song ánh, và rất dễ dàng để kiểm tra F đúng là một phép
đồng phôi của (A9,w*) vào Ƒ (4) trong tôpô theo từng điểm của [—1, yf Do vậy, tinh compact 1a dii dé chứng tỏ rằng Ƒ (A9) là đóng theo từng điểm trong {— I, 1]Ÿ, được thực hiện giống như trong định lý Alaoglu
Nói chung với một tập A chứa một lân cận của 0, ta tìm được một lân
cận lồi cân 8 của 0 sao cho 8 C A (Mệnh đề 2.2) Khi đó A2 là một w*— tập
con đóng của một tập w*~compact B0, và định lý được chứng minh L] Đặc biệt, xét một không gian vectơ E và một không gian con F của E#
Trang 36mà tách các điểm của E Nếu A C E chứa một ø (E,#') —lân cận của 0, thì
AP là tập ø (E,F) —compact trong Ƒ
Định lý 2.4 (Định lý lưỡng cực)
Cho E là một không gian vectơ và lấy F là một không gian con của E
tách các điểm của E Kí hiệu G thay cho Ø (E,F`) —tôpô trên E Đối với mỗi tập con A của E, ta có (A5); = conv’ (AU {0}) (cwc trong F)
Đặc biệt, cho E là một không gian lôi địa phương Néu A C E là tập
đóng yếu, lỗi, và 0 € A, thì A = (A°),
Tương tự, nếu B € E* là tập w*— đóng, li, và 0 € B, thé thi B = (Bo)°
Chứng minh Kí hiệu C = conv? (AU {0}) Tw A C (A°)q, 0 € (A°),, va
(A°), la tap ø-đóng và lồi, ta có € C (A®), Gia sit ring có x € (A°),
Theo Dinh lý 2.1, có ƒ € = (E,Ø)” sao cho ƒ(x) > supe (ƒ) Từ 0€C, ta có supe (ƒ) > 0, như vậy bằng cách mở rộng ta có thể giả sử rằng
supe (f) < 1 va f (x) > 1 Thé thi sup, (f) < 1, do dé f € A®, vax (A),
vì vậy ta có ƒ (x) < 1, mâu thuẫn L] Bây giờ chúng ta chỉ ra một vài ứng dụng của định lý lưỡng cực
Cho # là một không gian vectơ, và cho # là một không gian con của
E phân tách điểm của E Một họ / của những tập hợp bị chặn ø (E,F) trong F được gọi là bão hòa nếu ø đóng đối với bội vô hướng và bao đóng
Trang 37ở đó U(G,£)={ y € E; với mọi g € Œ} Nó được gọi là ôpô của sự hội tụ
đêu trên g2 Không khó để kiểm tra rằng 7; là một tôpô lồi địa phương và Hausdorff trên E Luu ý Ù (G,£) = €Go néu G cân
Dinh ly 2.5 (Mackey, Arens,Katetov)
Cho E là một không gian vectơ và cho F là một không gian con của E# tách các điểm của E Một tôpô lôi địa phương + trên E thoa man (E,t)* =F nếu và chỉ nếu + là tôpô của sự hội tụ đều trên một số họ bão hòa gg cia những tập hợp compact lôi cân Ø (E,F`) trong F bao gôm cả F
Chứng minh LÂy £ là một họ bão hòa thỏa mãn giả thiết Nếu ƒ € F , thì
ƒ€G với G € £ø Khi đó ƒ bị chặn trong U (G, 1); do đó , theo Bổ đề 2.2, ƒ€ (E,T„) Ngược lại, nếu ƒ € (E,7„¿ ) thì ta có GE gy va € > 1 sao cho
U(G,£) C ƒ~!(—1,1) Từ /ø là bão hòa, ta có thể giả sử rằng = 1 vaG
cân, vì vậy U = U (0,1) = Gạ và ƒ|u < 1 Do đó ƒ € 9 = (Gạ)? Vì G
là tập ø(E,F)— đóng, nên có GŒU {0}, và do đó theo định lý lưỡng cực, f €conv(GU{0}) CF
Bây giờ giả sử rằng có một tôpô lỗi địa phương z trên E sao cho
(E,2z)` = F Xác định G ={U°,U là một z—lân cận cân của 0} (cực trong
F) Lưu ý rằng U® là một tập Ø(E,F) —compact trong Ƒ theo định lý Alaoglu; nó cũng cân và lồi Sử dụng tính chất A° UB® Cc (AN B)°, chung ta
nhận được £ là một họ bão hòa Cố nhiên, F = U G
GEpg
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng tT = Ty Lay V 1a mot t— lan can cla 0 Theo Bổ
đề 2.1 và Mệnh đề 2.2, chúng ta giả sử rằng V là tập z— đóng, lồi, và cân Vì
vậy VŨ € ø và V = (V°)s là mở trong #@— tôpô Do đó, @—tôpô mạnh hơn Zz—tôpô
Trang 38V =£UŨ (G, 1), ö đó G = U đối với một số z—lân cận cân U của 0 Khi đó
U (G,1) = Gọ = (U°)¿ và V = £U là :—mỏ Oo
Định nghĩa 2.12 Cho E là một không gian lôi địa phương Tôpô lôi địa phương trên E của sự hội tụ đều trên tất cả các tập hợp w*—compaet lôi cân trong E được gọi là tôpô Mackey trên E và được kí hiệu H (E, E`)
Theo Định lý 2.5 và lưu ý sau Định nghĩa 2.10 ta thu được hệ quả sau Hệ quả 2.3 Cho E là một không gian lôi địa phương Khi đó tôpô lôi địa
phương mạnh nhất + trên E đó là (E,1+)” = E" là tôpô Mackey H(E,E*) và
tôpô lồi địa phương yếu nhất G trên E đó là (E,G)” = E* là tôpô yếu trên E
Tương tự, tôpô lỗi địa phương mạnh nhất 1 trên E* ỏ đó (E*,1+)” = E là tôpô Mackey H(E,E*), và tôpô lỗi địa phương yếu nhất G trên E 6 dé
(E,Ø)” là w*—tôpô trên E
Mệnh đề 2.13 Cho X là một không gian Banach Khi đó tôpô theo chuẩn trên X trùng với tôpô Mackey trên X
Chứng minh Theo Định lý 2.5, w(X*,X*) mạnh hơn tôpô chuẩn Ngược
lại, lấy V là một #Ở(X*,X*)—lân cận của không Thế thì có một tập
w*—compact, lồi, và cân Š trong X* sao cho Sy C V Vì § là tập w*—bi chặn, nó cũng là chuẩn bị chặn trong X* và có œ > 0 sao cho § C œBx Khi
dé VD So L]
Trang 39Chứng minh Lấy {U„} là một cơ số lân cận đếm được đối với X Chúng
ta có thể giả sử rằng U„,¡ C „ với mọi ø Phản chứng, giả sử rằng không ton tain € N dé U, C nA Khi đó có x„ € Ứ„ sao cho x, ¢ nA Cố nhiên,
lim (x„) = 0 Vì mỗi chuỗi hội tụ thì bị chặn, tồn tại K > 0 sao cho x„ € KA
Với mọi 7 và vì vậy x„ € nA với n > K Điều này mâu thuẫn với x„ ý nA với
mỌi ñ oO
Mệnh đề 2.14 Cho một không gian Banach X và + là một tôpô lôi địa phương trên X sao cho (X,%)” = X* Nếu + có một cơ sở lân cận đếm được,
thì + trùng với tôpô theo chuẩn của Ä
Chứng minh Theo định lý Banach-Steinhaus, hệ thống tất cả các tập hợp
bị chặn trong (X, ||.||) và (X,w) trùng nhau Theo Hệ quả 2.3 và Mệnh đề
2.13, hệ này trùng với tất cả các tôpô lồi địa phương ø mà (X,Ø)” = X* Áp dụng Bổ đề 2.3 cho tập A = 8x ta hoàn thành chứng minh O
2.2 Phép biéu dién va tinh compact Ménh dé 2.15 (Carathéodory, xem [8])
Cho D là một tập hợp con lôi compact của không gian vectơ n chiêu E Mỗi x€ D là một tổ hợp lôi của nhiều nhất n + 1 điểm cực biên của D
Chứng minh Chúng minh quy nạp theo ø Với „ = 1 ta có D = [a,b], và có
ngay điều phải chứng minh Giả sử rằng kết quả đúng tới n— 1 Xét D C E
với dim(E) = n và Imt(D) # ở Nếu x là một điểm cực biên của D, lấy H
là một siêu phẳng giá của D sao cho x € Hí\D Theo giả thiết quy nạp, x
là một tổ hợp lồi của nhiều nhất n điểm cực biên của #íñ1D nên là điểm
Trang 40cực biên của D Nếu x € 7m (D), chọn một điểm cực biên zọ € D va lay y 1a
một điểm cực biên khác của D nằm trên đường thẳng đi qua x vàzo Với lập
luận tương tự như trên, y là một tổ hợp lỗi của nhiều nhất ø điểm cực biên
z1, „ä; lta D Vi vay, y= ¥ O42; voi a > Ova Ya = 1,
Lúc này x = ay+ ũ- Œ)zạ VỚI Œ E (0, 1) nao d6, vi vay x= » œØ;z¡ + (1— )zo, đó là một tổ hợp lỗi của ø + 1 điểm cực biên
Z0; ấp L]
Định nghĩa 2.13 (Độ đo xác suất)
Một không gian xác suất (O,F,P) là một không gian được trang bị một độ đo với độ đo toàn thé bang 1, tức là P(Q) = 1 Trong đó:
© là không gian mẫu;
F là một tập hợp mà các phân tử của nó được gọi là các sự kiện;
P được gọi là độ đo xác suất (hay xác suất) Nó là một hàm số từ F vào tập sô thực, cho tương ứng mỗi sự kiện với một xác suất có giá trị nằm giữa 0 và 1
Định nghĩa 2.14 (Độ đo Dirac)
Trong toán học, một độ đo Dirac là một độ ão ồ, trên một tập X (với bắt kì øơ— đại số các tập con của X) được xác định với mỗi giá trị x € X và bắt ki tap ACX
I1 nếux€A
6,(A) =
0 nếuxớA