Một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ TRÀ HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thạc sĩ NGUYỄN THỊ TRÀ, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho kiến thức tảng để hoàn thành khóa luận Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô công tác Khoa Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô, bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt cô NGUYỄN THỊ TRÀ Mục lục Mở đầu Nội dung Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị 1.1 1.2 Định lý Pascal 1.1.1 Định lý Pascal 1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Pascal Định lý Brianchon 1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu định lý Pascal) 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Brianchon 4 8 Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon 11 2.1 Ứng dụng định lý Pascal 2.2 Ứng dụng định lý Brianchon Kết luận Tài liệu tham khảo 11 26 35 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học nói chung hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt môn khoa học khác Đồng thời, hình học giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán thuộc chương trình phổ thông Những toán đường tròn sử dụng phương pháp chứng minh Pascal Brianchon hình học sơ cấp toán hay Vì đề tài cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp hai định lý Đồng thời nêu lên cách giải lớp toán đẹp ứng dụng chúng Mục đích - Yêu cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, phân loại đưa tập chi tiết liên quan đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân MỤC LỤC Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Định lý Pascal - Định lý Brianchon ứng dụng có liên quan - Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân Nội dung Tên đề tài Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị - Định lý Pascal - Định lý Brianchon • Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon - Ứng dụng định lý Pascal - Ứng dụng định lý Brianchon Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Nghiên cứu hệ thống kiến thức hình học sơ cấp hình học xạ ảnh • Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm cách giải số vấn đề Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân Chương Lý thuyết chuẩn bị 1.1 Định lý Pascal Xét mặt phẳng, ta có định lý sau: 1.1.1 Định lý Pascal Định lý 1.1.1 Trong lục giác nội tiếp, giao điểm cặp cạnh đối diện (nếu có) nằm đường thẳng Chứng minh Giả sử A, B, C, D, E, F lục giác nội tiếp đường tròn Các cặp cạnh đối diện AB DE; BC EF ; CD F A cắt Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ theo thứ thự α, β, γ Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác P QR tạo ba cạnh không kề lục giác với cát tuyến CβB, DEα, γF A (ba cạnh lại) ta có: CQ βR BP = 1, CR βP BQ DQ ER αP = 1, DR EP αQ và: γQ F R AP = γR F P AQ Nhân AP BP = ngoại tiếp), AQ.BQ = ngoại tiếp), CR.DR = ngoại tiếp), ta được: vế ba đẳng thức sau với để ý rằng: F P EP (phương tích điểm P vòng tròn CQ.DQ (phương tích điểm Q vòng tròn ER.F R (phương tích điểm R vòng tròn βR αR γR =1 βP αQ γR Hệ thức chứng tỏ α, β, γ ba điểm thẳng hàng nằm ba cạnh tam giác RQP (đpcm) Chú ý Định lý áp dụng cho lục giác nội tiếp không cần giả thiết lục giác lồi 1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Pascal • Ngũ giác nội tiếp đường tròn: Giả sử ABCDEF lục giác nội tiếp Ta hình dung Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON cung nhỏ PN (O) Tiếp tuyến (O) S cắt BC, CD H, K Chứng minh rằng: M H//AK Bài giải Xét cực đối cực với (O) SN ∩ AB = I Giả sử SP ∩ M Q = J Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm M, P, S, N, Q ta có: M P ∩ N Q = O; SN ∩ M B = I; QM ∩ P S = J (M B tiếp tuyến M ) Suy điểm I, O, J thẳng hàng Mà I, O, J cực M H, AK nên ⇒ IJ⊥AK IJ⊥M H Suy AK//M H (đpcm) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 22 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.10 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn (O) cho ABCD hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD P, Q; BE cắt AF H; CE cắt DF K Chứng minh rằng: PH // QK Bài giải Xét cực đối cực với (O) I = AE⊥BF Gọi J = DE⊥CF Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, F, E, F ta có: Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 23 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON AC ∩ EF = O; AE ∩ BF = I; AJ ∩ CF = J (AJ tiếp tuyến A (O)) Suy ba điểm O, I, J thẳng hàng Mà I, J cực HP, QK HP ⊥IJ ⇒ HP//QK (đpcm) ⇒ QK⊥IJ Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 24 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF Lấy hai điểm N, P đường thẳng EF cho ON = OP Từ điểm M bên đường tròn mà không thuộc EF , kẻ đường thẳng M N cắt đường tròn A C, đường thẳng M P cắt đường tròn B D cho B O nằm khác phía AC Gọi K giao điểm OB AC, Q giao điểm EF CD Chứng minh rẳng đường thẳng KQ, BD AO đồng quy Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AB, AC M, N Gọi I, J, K trung điểm CM, BN, M N Chứng minh bốn điểm I, J, K, O nằm đường tròn Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm S mặt phẳng AS, BS, CS cắt lại (O) tương ứng D, E, F Một đường thẳng (d) qua S cắt BC, CA, AB M, N, P Chứng minh DM, EN, F P đường tròn (O) đồng quy Bài Một đường tròn cắt cạnh BC, CA, AB tam giác ABC D1 , D2 ; E1 , E2 ; F1 , F2 D1 E1 cắt D2 F2 L; E1 F1 cắt E2 D2 M ; F1 D1 cắt F2 E2 N Chứng minh AL, BM CN đồng quy Bài Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh đường tròn (AOM ), (BON ), (COP ) có hai điểm chung Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 25 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON 2.2 Ứng dụng định lý Brianchon Bài tập 2.2.1 Cho tam giác ABC với (I) đường tròn nội tiếp Tiếp điểm (I) BC, CA, AB D, E, F Gọi M, N, P điểm chung cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA), (DE,AB) Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài giải * Xét cực đối cực (I) Vì AI phân giác góc A, mà ∆AEF cân A ⇒ AI⊥EF Áp dụng định lý Brianchon ta có: AD, BE, CF đồng quy S Dễ thấy đường đối cực M qua D nên suy đường đối cực M AD Hoàn toàn tương tự ta có: đường đối cực N BE đường đối cực P CF Vì ba đường AD, BE, CF đồng quy nên có M, N, P thẳng hàng Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 26 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.2.2 Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC, CA, AB lầ lượt D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE M, P, N Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy Bài giải Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ABC Gọi H, K, L giao điểm cặp đường thẳng (M P, EF ), (M N, F D), (M P, DE) Theo toán [2.2.1] H, K, L thẳng hàng (*) + Áp dụng định Brianchon ∆DEF nội tiếp đường tròn (I) ta có DM, EN, F P đồng quy nên H, M, F, E thẳng hàng Do M thuộc đường đối cực (H) (O) Mặt khác: E, F tiếp điểm đường tiếp tuyến AC AB (O) suy OA⊥EF Do A thuộc đường đối cực H (O) nên ta có AM đường đối cực H (O) (1) Tương tự ta có: • BP đường đối cực K (O) (2) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 27 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON • CN đường đối cực L (O) (3) Từ (1), (2), (3), (*) ta có đpcm Bài tập 2.2.3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) A, B cắt S Một cát tuyến quay quanh S cắt CA, CB M, N cắt (O) P, Q Chứng minh M,N,P,Q thẳng hàng Bài giải Vẽ tiếp tuyến M E, M F (O) cắt SA, SB K, L Gọi I = SM ∩ KL • Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác SKM L ngoại tiếp đường tròn (O), ta có: BE, SM, KL, AD đồng quy I • Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp ADEEBC, ta có: AD ∩ BE = I DE ∩ BC = N thẳng hàng EE ∩ CA = M Suy N ≡ N tức N ∈ ED Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 28 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Do ED đường đối cực M (O) nên M, N, P, Q thẳng hàng Bài tập 2.2.4 Cho đường tròn (S) hai điểm I, J Lấy điểm A, B nằm tiếp tuyến (S) I, J Vẽ AC BD tiếp xúc với (S) C D Kí hiệu P = ID ∩ AC, Q = JC ∩ BD Chứng minh rằng: P Q ∩ AB ∈ IJ Bài giải Ta có bốn điểm C, D, I, J ∈ (S) nên đường AB, CD, P Q đồng quy (1) • Sáu đường thẳng IA, IA, AC, BJ, BJ, BD tiếp xúc với (S) nên áp dụng định lý Brianchon ta có ba đường IJ, AB đường thẳng nối hai điểm IA ∩ BD AC ∩ BJ đồng quy • Sáu đường AC, AC, AI, BD, BD, BJ tiếp xúc với (S) nên áp dụng định lý Brianchon ta có ba đường CD, AB đường thẳng nối hai điểm IA∩BD AC ∩BJ đồng quy Suy ba đường IJ, CD, AB đồng quy (2) Từ (1) (2) suy P Q, AB, IJ đồng quy hay P Q ∩ AB thuộc IJ Bài tập 2.2.5 Hãy dựng thêm tiếp tuyến đường tròn (S) biết năm tiếp tuyến thuộc (S) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 29 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài giải Giả sử (S) có năm tiếp tuyến a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Ta cần dựng thêm tiếp tuyến a6 (S) + Cách dựng: • Bước 1: (d) = ((a1 ∩ a2 ), (a4 ∩ a5 )) • Bước 2: Trên (d) lấy điểm O • Bước 3: Dựng: d1 = (O, a2 ∩ a3 ); d2 = (O, a3 ∩ a4 ) • Bước 4: Khi đường thẳng a6 = (a1 ∩ d2 , a5 ∩ d1 ) đường thẳng cần tìm + Chứng minh: Xét lục giác tạo a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 Vì (d) qua (a1 ∩ a2 , a4 ∩ a5 ); (d1 ) qua (a2 ∩ a3 , a5 ∩ a6 ); (d2 ) qua (a3 ∩ a4 , a6 ∩ a1 ) Do d, d1 , d2 đồng quy nên theo định lý Brianchon giác ngoại tiếp đường tròn (S ) đó; mà sáu đường thẳng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 có đường tròn (S) nên S ≡ S Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 30 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Vậy ta dựng tiếp tuyến a6 ∈ S Bài tập 2.2.6 Hãy dựng thêm tiếp tuyến đường tròn (S) biết bốn tiếp tuyến thuộc (S) Bài giải Giả sử ta dựng bốn tiếp tuyến a, b, c, d M tiếp điểm a Ta cần dựng tiếp tuyến e (S) + Cách dựng: • Bước 1: Dựng p qua (M, c ∩ d) • Bước 2: Trên p lấy O • Bước 3: Dựng q qua (O, a ∩ b), r qua (O, b ∩ c) • Bước 4: Khi đó, e = (a ∩ r, d ∩ q) tiếp tuyến cần dựng +Chứng minh: Xét lục giác tạo sáu cạnh aabcde có:    p qua (M, c ∩ d) (M = a ∩ a); q qua (a ∩ b, e ∩ d);   r qua (b ∩ c, a ∩ e) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 31 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Do p, q, r đồng quy nên theo định lý Brianchon, ngũ giác nội tiếp đường tròn (S ) đó; mà qua bốn đường thẳng a, b, c, d tiếp điểm M a có đường tròn (S) nên S ≡ S Vậy e tiếp tuyến (S) Bài tập 2.2.7 Hãy dựng thêm tiếp tuyến đường tròn (S) biết ba tiếp tuyến (S) hai tiếp điểm a, b (a, b hai tiếp tuyến (S)) Bài giải Giả sử A, B, C ∈ (S), tiếp tuyến a qua A tiếp tuyến b qua B Ta cần dựng d (S) +Cách dựng: • Bước 1: Dựng p qua (A), b ∩ c; • Bước 2: Trên p lấy điểm O bất kỳ; • Bước 3: Dựng q qua B, O, r = (O); • Bước 4: Khi đường thẳng cần dựng d = (a ∩ q, c ∩ r) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 32 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON +Chứng minh: Xét lục giác tạo sáu cạnh aabbqq có:    p qua b ∩ c A = (a ∩ a); q qua a ∩ d B = (b ∩ b);   r qua a ∩ b (c ∩ d) Do p, q, r đồng quy O nên theo định lý Brianchon, lục giác nội tiếp đường tròn (S ) đó; mà qua ba tiếp tuyến a, b, c hai tiếp điểm A, B a, b xác định đường tròn (S) nên S ≡ S Suy D ∈ (S) Vậy ta dựng tiếp tuyến (d) (S) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 33 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N trung điểm AB, CD (ABN ) cắt CD P , (CDM ) cắt AB Q Chứng minh AC, P Q, BD đồng quy Bài Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC cố định Chứng minh rằng: đường thẳng nối hai điểm thuộc hai cạnh cho trước qua điểm cố định, ba đường thẳng nối đỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy điểm E Tìm quỹ tích điểm E Bài Cho elip (G) tam giác ABC có cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với (G) điểm M, N, L Chứng minh [ABM ].[BCN ].[CAL] = −1 Bài Cho parabol (G) tam giác AC có cạnh tiếp xúc với (G).Từ B kẻ đường thẳng b song song với AC Đặt H K hai giao điểm b; với (G) Đặt L giao điểm hai tiếp tuyến H K (G) Chứng minh rằng: LA song song với BC LC song song với AB Bài Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a b Cho bốn điểm A, B, C, D nằm (H) Gọi a đường thẳng qua A song song với a, b đường thẳng qua B song song với b Đường thẳng AC ∩ b = P, BD ∩ a = Q Chứng minhh rằng: P Q//CD Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 34 Kết luận Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Hình học sơ cấp”, nghiên cứu nội dung chủ yếu sau: • Luận văn trình bày số tập hình học phẳng liên quan đến đường tròn giải cách ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon hình học sơ cấp • Ngoài nỗ lực học hỏi tìm tòi thân, đề tài hoàn thành giúp đỡ, hướng dẫn cô NGUYỄN THỊ TRÀ ý kiến đóng góp thầy cô khoa Toán bạn sinh viên Theo tôi, đề tài thực tập đạt mục đích đề ra, mang lại cần thiết lợi ích thực tập chuyên ngành nói chung việc đào tạo Cử nhân ngành Toán nói riêng, góp phần thúc đẩy tìm tòi, nghiên cứu toán học thân Tuy nhiên thời gian có hạn bắt đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót, mong bảo, đóng góp ý kiến thầy, cô bạn để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 35 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Hình học sơ cấp tập 1, Nhà xuất Giáo dục 1993 [2] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất Giáo dục 1998 [3] Văn Như Cương, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất Giáo dục 1998 [4] Phạm Bình Đô, Bài tập Hình học xạ ảnh, Nhà xuất Đại học Sư phạm 2008 [5] Nguyễn Minh Chương, Lê Đình Phi, Nguyễn Công Quý, Hình học sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội 1965 [6] Các tài liệu khác, nguồn internet, Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 36 [...]... 10 Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon 2.1 Ứng dụng của định lý Pascal Bài tập 2.1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp một đường tròn (O) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB không chứa A, B, C của (O) Các cạnh BC, CA, AB cắt các cặp đoạn thẳng C’A’ và A’B’, A’B’ và B’C’, B’C’ và C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M và N; P và Q; R và S Chứng minh rằng:... Anh - Toán K37 - Cử nhân 23 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON AC ∩ EF = O; AE ∩ BF = I; AJ ∩ CF = J (AJ là tiếp tuyến tại A của (O)) Suy ra ba điểm O, I, J thẳng hàng Mà I, J chính là các cực của HP, QK HP ⊥IJ ⇒ HP//QK (đpcm) ⇒ QK⊥IJ Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 24 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho đường... hay M N luôn đi qua một điểm cố định là I Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.5 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Tiếp tuyến của (O) tại A cắt CD ở S BS cắt lại đường tròn ở T Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy Bài giải Gọi I = CT ∩ AD, (d) là tiếp tuyến với đường tròn tại A Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm... ; F1 D1 cắt F2 E2 ở N Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy Bài 5 Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng các đường tròn (AOM ), (BON ), (COP ) có hai điểm chung Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 25 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON 2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon Bài tập 2.2.1... tiếp tuyến tại B, C của (O) đồng quy (Hay T là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O) nên T cố định) Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, C, S, I ta có: AC ∩ BS = M ; BC ∩ AI = N ; SI ∩ CT = T Suy ra 3 điểm M, N, T thẳng hàng (đpcm) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 19 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.7 Cho tam giác ABC và điểm S thuộc cạnh... tròn có một cạnh là bán kính) • Vì N Q⊥CN (giả thiết) Suy ra ba điểm E, N, Q thẳng hàng (**) Từ (*) và (**) ⇒ AD ∩ EN = Q Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, E, N, B, D, A ta có: Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 13 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON CE ∩ BD = O; EN ∩ DA = Q; N B ∩ AC = M Suy ra ba điểm O, M, Q thẳng hàng Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là... Anh - Toán K37 - Cử nhân 22 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.10 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD lần lượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K Chứng minh rằng: PH // QK Bài giải Xét cực và đối cực với (O) I = AE⊥BF Gọi J = DE⊥CF Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, F, E, F... CHUẨN BỊ Định lý 1.1.4 Ba cạnh của một tam giác cắt ba tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng hàng Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 7 CHƯƠNG 1 LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Định lý Brianchon 1.2 1.2.1 Định lý Brianchon Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal) Định lý 1.2.1 Các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một lục giác ngoại tiếp với một vòng... A3 ∩ C3 A1 Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , C1 , C2 , C3 ta có: C1 A3 ∩ C3 A1 = Q; C1 C2 ∩ A1 A2 = N ; A2 A3 ∩ C2 C3 = P Suy ra ba điểm Q, N, P thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1 , A3 , C, C1 , C3 ta có: CC1 ∩ AA1 = M ; C1 A3 ∩ C3 A1 = Q; CC3 ∩ AA3 = S Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 15 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Suy... của các cung BC, AC, AB nên AA , BB , CC theo thứ tự là các đường phân giác của góc BAC, ABC, ACB Suy ra I = AA ∩ BB ∩ CC (do ba đường phân giác đồng quy) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 11 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, C , A , B , B, A ta có: CC ∩ B B = I; C A ∩ BA = S; A B ∩ AC = P Vậy S, I, P thẳng hàng (1) • Áp dụng ... ngẫu định lý Pascal) 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Brianchon 4 8 Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon 11 2.1 Ứng dụng định lý Pascal 2.2 Ứng dụng định lý Brianchon. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người... tài Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị - Định lý Pascal - Định lý Brianchon • Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định