Một vài ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN TRẦN THÀNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG TỐI ƢU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN TRẦN THÀNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG TỐI ƢU HÓA Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: GS TSKH LÊ DŨNG MƢU THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng, nội dung luận văn tổng hợp từ tài liệu nêu phần tài liệu tham khảo Luận văn chép lại tài liệu khác Thái Ngyên, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Trần Thành Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Lê Dũng Mƣu Trước tiên, Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Lê Dũng Mưu, người đặt toán tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu Đồng thời chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho để hoàn thành luận văn Tôi gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Toán K21, chia sẻ động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi vô biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em gia đình cảm thông chia sẻ năm qua để học tập hoàn thành luận văn Do thời gian ngắn khối lượng kiến thức lớn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè, xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii BẢNG KÝ HIỆU iv DANH MỤC CÁC HÌNH v MỞ ĐẦU 1 Lý chọn luận văn Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI 1.1 Tập lồi 1.2 Định lý tách tập lồi 17 1.3 Hàm lồi 22 Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG BÀI TOÁN TỐI ƢU 25 2.1 Bài toán tối ưu 25 2.2 Ứng dụng định lý tách tối ưu hóa 28 KẾT LUẬN 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv BẢNG KÝ HIỆU n Không gian Euclide n - chiều trường số thực;  Trục số thực; xi Tọa độ thứ i x; aT Véc-tơ hàng (chuyển vị a) xT y Tích vô hướng hai véc-tơ x y; x Chuẩn Euclide x; [x,y] Đoạn thẳng đóng nối x y; (x,y) Đoạn thẳng mở nối x y; C coC Bao đóng C; coneC Nón sinh tập C; aff(C) Bao affine tập C; riC Tập hợp điểm tương đối C; V(C) Tập điểm cực biên (đỉnh) C; coC Bao lồi đóng C; reC Nón lùi xa (nón hướng vô hạn) C; intC Tập hợp điểm C; dimC Thứ nguyên (số chiều) tập C; Bao lồi C; f ( x) Dưới vi phân f x; f ( x) Đạo hàm f x; NC ( x* ) Hình nón pháp tuyến C x* ; N C ( x) Nón pháp tuyến C x ; - N C ( x) Nón pháp tuyến C x ; FC ( x) Nón hướng chấp nhận được; TC ( x) Nón tiếp xúc C x; dC ( y ) Là khoảng cách từ y đến C; C ( x* ) Tập hợp hướng chấp nhận C x* Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn v DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1: Hình chiếu vuông góc 13 Hình 1.2: Tách chặt không tách mạnh 18 Hình 1.3: Tách không tách mạnh 21 Hình 1.4: Bổ đề Farkas 22 Hình 1.5: Đồ thị hàm lồi ( C  ) 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn luận văn Tối ưu hóa ngành toán học ứng dụng, nghiên cứu lý thuyết thuật toán giải toán cực trị Ngành toán học nhiều người quan tâm nghiên cứu, tìm hiểu ứng dụng Các toán tối ưu phong phú đa dạng, chúng có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tiễn Trong tối ưu hóa Định lý tách đóng vai trò quan trọng, nhờ Định lý tách mà ta chứng minh định lý Karush-KuhnTucker, định lý Kuhn-Tucker hai định lý quan trọng dùng để giải toán tối ưu Ngoài Định lý tách có nhiều ứng dụng khác Giải tích toán học Chính mà chọn đề tài “ Một vài ứng dụng định lý tách tối ưu hóa” Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày vài ứng dụng Định lý tách tối ưu hóa Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: Tổng hợp lại số kiến thức Giải tích lồi, số tính chất tập lồi, hàm lồi phép toán liên quan Trình bày Định lý tách ứng dụng Định lý tối ưu hóa Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày hai chương Chương 1: Tổng hợp kiến thức tập lồi, hàm lồi, tính chất chúng, phát biểu chứng minh Định lý tách Chương 2: Trình bày vài ứng dụng Định lý tách tối ưu hóa, sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-Kuhn-Tucker, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Định lý Kuhn-Tucker, Định lý đối ngẫu Lagrange Ngoài xét đến áp dụng Định lý tách kỹ thuật vô hướng hóa toán tối ưu đa mục tiêu Chƣơng ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI Định lý tách hai tập lồi định lý trung tâm Giải tích lồi, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhau, đặc biệt tối ưu hóa Trong chương trình bầy số lý thuyết Giải tích lồi, khái niệm tập lồi tính chất chúng, phát biểu chứng minh Định lý tách, Bổ đề Farkas Các kết chương tổng hợp tài liệu [1], [2], [3] 1.1 Tập lồi Một đường thẳng nối hai điểm (hai véc-tơ) a, b  n tập hợp tất véc-tơ x  n có dạng: x n x a , b, , Đoạn thẳng nối hai điểm a b  n tập hợp véc-tơ x có dạng x n x a b, 0, 0, Tập lồi khái niệm Giải tích lồi, định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa Một tập C  n gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi x,y C, 0,1 x (1 )y C ta nói x tổ hợp lồi điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk k k j x j x , j j 1, , k , j j j Tương tự, x tổ hợp a-phin điểm (véc-tơ) x1, x2 , , xk Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn k k j x j x , j j 1 j Tập hợp tổ hợp a-phin x1, x2 , , xk thường gọi bao aphin điểm Ví dụ Trong  đa giác lồi, hình tròn, hình elíp…là tập lồi Trong  đa diện, hình cầu,… tập lồi 1.1.2 Định nghĩa Nửa không gian tập hợp có dạng x aT x , a  Đây nửa không gian đóng Tập x aT x , nửa không gian mở Như siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa không gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa không gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Mệnh đề cho thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian 1.1.3 Mệnh đề M tập a-phin có dạng M L a với L không gian a M , không gian L xác định Chứng minh Giả sử M tập a-phin a M Khi L không gian Vậy L M a Ngược lại, L gian con, với x, y M , Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN M M a a với L không  ta có http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 Chứng minh Đặt C (a) : x C : f ( x) f (a) với a C Rõ ràng, C ( a ) bị chặn đóng Do f có điểm tối thiểu C ( a ) điểm cực tiểu f C  2.2 Ứng dụng định lý tách tối ƣu hóa 2.2.1 Điều kiện tối ưu Câu hỏi Nếu x* nghiệm tối ưu (địa phương hay toàn cục), điều xảy với x* ? 2.2.2 Định lý (cho trường hợp lồi) Giả sử C tập lồi khác rỗng, f hàm lồi, khả vi C Thì x* nghiệm tối ưu (P) f ( x* ) NC ( x* ) (2.3) NC ( x* ) ký hiệu hình nón pháp tuyến C x* Chứng minh Đặt C hàm tiêu C , nghĩa C C x C x C Vậy toán (P) biến đổi tương đương thành ( x) toán không giới hạn f ( x) C ( x), x  (UP) Do x* nghiệm tối ưu (UP) ( f ( x* ) C ( x* )) Sử dụng Định lý Moreau-Rackafellar ta viết f ( x* ) C ( x* ) từ C ( x* ) N C ( x* ) : w : w, x x* 0, x C , ta có f ( x* ) NC ( x* ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN  http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 2.2.3 Hệ Nếu x* int C x* S (C, f ) (các tập nghiệm tối ưu (P)), f ( x* ) Trong trường hợp đặc biệt, f khả vi C toàn không gian, f ( x* ) Hãy xem xét toán (P) định nghĩa là: f ( x) phụ thuộc vào: x D: x X : g j ( x) 0, hi ( x) 0, j 1, , m; i 1, , k  n f , g j , hi :  n X j, i Định nghĩa hàm Lagrange  cách lấy: m L( x, , ) : k f ( x) h ( x) j g j ( x) j i i i Ta gọi (P) toán lồi X lồi tất hàm f , g j lồi, hi affine 2.2.4 Định lý (Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử (P) toán lồi Nếu x* nghiệm tối ưu cho phương trình (P), tồn * j * i ( i 1, , m ) ( j 1, , k ) không đồng thời cho L( x* , * , * ) L( x, x X * , * ) (đạo hàm triệt tiêu) g ( x* ) (i 1, , m) (điều kiện bù) * i i Hơn int X x0 điều kiện Slater D : gi ( x0 ) 0(i 1, , m) thỏa mãn hàm affine hi (i 1, , m) độc lập tuyến tính X , * 0 hai điều kiện đủ cho x* trở thành nghiệm tối ưu (P) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Chứng minh Giả sử x* nghiệm tối ưu (P) Ta đặt C : {( , , , Từ X k )( x , gi ( x) i X ) : f ( x) f ( x* ) , i 1, , m, hj ( x) j , j 1, , k} lồi, f , gi hàm lồi, h j hàm affine X , nên tập C tập lồi, đóng khác rỗng  m k Hơn C , tồn nghiệm chấp nhận x cho f ( x* ) Điều mâu thuẫn với thực tế x* nghiệm tối ưu f ( x) toán (P) Vậy C theo Định lý tách, tồn * i (i 1, , m) , m j ( j 1, , k ) không đồng thời cho k * i i * j i j ( , , Lưu ý ( , , m ),( 1, , x , , X , ta lấy m (2.4) f ( x* ) f ( x) * i , , * m Ngoài gi ( x)( i 1, , m) , ta có được: h ( x) j m k * i i f (x ) , * i i g ( x) * , * x* , ta có k * i i f ( x) i * ) C cách lấy x m h j ( x)( j 1, , k) sử dụng (2.3) cho * k ,0, ,0) C Bằng thực tế ta thấy ra, với j m j * * j j h ( x* ) g (x ) i x X (2.5) j Hoặc L( x* , * , * ) L( x, * , * ) x X Điều kiện đạo hàm triệt tiêu chứng minh Để chứng minh điều kiện bù, ta thấy rằng, từ x* khả thi, g j ( x* ) với j Nếu có i cho gi ( x* ) , với , ta có ( , , , , , ,0, ,0) C ( Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN vị trí thứ i ) http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Thay vào (2.4) cho * i Vậy * i , ta có Nhưng từ * i Bây ta chứng minh điều kiện đủ Trước hết ta có ngược lại Thật vậy, * 0 , theo điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện bù, ta có * m k * i i 0 suy m * g (x ) * i i h ( x) i j Nhưng từ k * j j * j j g ( x) i nên với i phải tồn * với j phải tồn X h ( x) x (2.6) j , * i * i 0, i Ta xét hai trường hợp sau: * j Trường hợp 1: Thay x x vào bất đẳng thức (2.6) ta có: m k m * i i g ( x* ) i k * j j * i i g ( x0 ) h ( x) j i * j j h ( x0 ) , j suy vô lý Trường hợp 2: Ta có Từ int X h j affine với j , dẫn đến k * j j h ( x) , x X j Bây sử dụng giả thiết h j độc lập tuyến tính X , ta kết luận * j với j , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy * i Từ * i * j không đồng thời cách chia hai vế (2.5) cho * i * i ta giả thiết hàm Lagrange có dạng m L( x, , ) f ( x) k i gi ( x) j i h j ( x) j Lại giả sử điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện bù ta có, với nghiệm khả thi x , m * f (x ) * k * i i f0 ( x ) * * j j h ( x* ) g (x ) i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN j http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 m k * i i f ( x) * j j g ( x) h ( x) i f ( x) j Điều dẫn đến x* nghiệm tối ưu (P)  2.2.5 Định lý (Kuhn-Tucker) Cho f , g j , hi khả vi liên tục Gọi x* nghiệm tối ưu (P) thỏa mãn điều kiện bị chặn tồn tích Lagrange * ( 1* , , * m * ) 0, ( 1* , , * k (2.7) ) cho: m k * * j f (x ) * * i g j (x ) j * j hi ( x* ) (2.8) i g ( x* ) j 1, , m (điều kiện bổ xung) (2.9) Nếu (P), g j lồi với j hi affine với i nghĩa (P) qui hoạch lồi, x* thỏa mãn (2.7), (2.8), (2.9) nghiệm tối ưu (P) Chứng minh Sử dụng triển khai Taylor, ta có f ( x* Ta có A( x* ) * i r( d ) với d C ( x* ) Từ C ( x* ) S ( x* ) , ta có f ( x* ), d g j ( x* ), j hàng 0, j f ( x* ), d với d f ( x* ), d * j f ( x* ) d) S ( x* ) Sử dụng bổ đề Farkas với ma trận A có A( x* ), hi ( x* ), 0, * i hi ( x* ), i 1, , k , ta có số 0, i 1, , k cho k f ( x* ) * j g j ( x* ) j A( x* ) Lấy * j với j ( * j * j ) hi ( x* ) i A( x* ) * i * i * i với i ta có (2.8) (2.9) Bây ta giả sử g j lồi hi affine với i, j Ta chứng minh (2.7), (2.8) (2.9) điều kiện đủ để x* C nghiệm tối ưu toán (P) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 Thật vậy, x* không nghiệm tối ưu tồn x C cho f ( x) f ( x* ) Đặt d x x* Thì ta có f ( x* ) f ( x td ) lim t t * f ( x ), d Mặt khác, * j g j ( x* ) với j , ta có * j , j A( x* ) Đồng thời từ x C , ta có g j ( x* ), x x* g j ( x ) g j ( x* ) j A( x* ) Do * j g j ( x* ), d j Với hàm hi theo tính chất affine, với i , ta có hi ( x* ), d vậy, với * j i hi ( x* ), d i, kết hợp lại với ta có m k * * j f ( x ), d * * i g j ( x ), d j hi ( x* ), d i Điều mâu thuẫn với (2.8)  Lƣu ý Ta định nghĩa (hàm Lagrange) Theo điều kiện (2.7) viết dạng m L ( x* , * , * ) f ( x* ) k * j g j ( x* ) j * i hi ( x* ) i Ví dụ Xét toán f (x)= x12 D : x2 , với điều kiện x D , x  x1 x2 1, x1 x2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 2, x1 http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 Đây toán qui hoạch lồi với hàm mục tiêu lồi chặt nên có nghiệm cực tiểu Trong toán này, n , n , g1 (x) x1 x2 , g3 ( x) g ( x) x1 x2 , x1 Giải hệ xL( x, ) 0 g1 ( x ) ' Lx x1 x2 x1 2(1 ' Lx x1 x2 x2 x1 2(1 ( x12 x12 g1 ( x) x22 1) x22 1 1 x2 suy x1 ) x2 x22 1) x22 x2 0 nên từ phương trình thứ ba hệ ta có x12 hợp với kiện x1 x2 Vì điểm ( 1, 1)T điểm x2 chấp nhận toán xét nên kết luận Do ) x1 x12 0 ta có x1 ( x12 Từ hai phương trình hệ suy x1 Nếu x2 x22 Kết 2.2.6 Tính đối ngẫu Lagrange Tính đối ngẫu chủ đề quan trọng tối ưu hóa Có số loại đối ngẫu, tính đối ngẫu Lagrange sử dụng rộng rãi Tính đối ngẫu Lagrange dựa hàm Lagrange Để đơn giản xét toán sau đây: f ( x) : x (P) X , g j ( x) j 1, , m X tập khác rỗng (thông thường, X toàn không gian) Với toán ta định nghĩa toán tối ưu khác có dạng max d ( y) : y Y (D) xác cần viết dạng sup d ( y) : y Y Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN (D) http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 Y tập  m 2.2.7 Định nghĩa Ta nói (D) đối ngẫu (P) với điểm khả thi x (P) y (D) ta có f ( x) d ( y ) Nếu tồn điểm khả thi x* (P) y* (D) cho f ( x* ) d ( y* ) , ta nói (P) (D) cặp đối ngẫu xác (D) toán đối ngẫu xác (P) (và ngược lại) Vậy, làm để định nghĩa toán đối ngẫu xác? Với toán (P) ta định nghĩa hàm Lagrange sau m L ( x, y ) : f ( x ) y j g j ( x) j lấy d ( y) : inf L( x, y) (LD) x X Thì ta định nghĩa toán đối ngẫu sup d ( y ) : supinf L( x, y ) y y x X 2.2.8 Định lý Bài toán (LD) toán đối ngẫu (P) Chứng minh Dễ dàng thấy rằng, nói chung cặp đối ngẫu không xác Ví dụ: Bài toán f ( x) x2 , x X [0,2], x toán đối ngẫu Lagrange nó, không xác 2.2.9 Định lý (đối ngẫu xác) Giả sử (i) (P) có nghiệm tối ưu (ii) X tập lồi, đóng f , g j với j liên tục lồi X Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn  36 (iii) Điều kiện Slater thỏa mãn, nghĩa tồn x cho g j ( x ) với j Thì (P) (D) cặp đối ngẫu xác Chứng minh Đặt g T ( x) : ( g1 ( x), , gm ( x)) xét A: (t , z )   n :t f ( x), z g ( x), x X Từ g j f lồi với j , A lồi Đặt x* nghiệm tối ưu (P) Thì ( f ( x* ),0) A Theo Định lý tách tồn ( , y )  t yT z  n cho: f ( x* ) (t , z) A Vì tính liên tục f g j , bất đẳng thức với (t , z ) (đóng kín A ) Từ ( f ( x), g ( x)) f ( x) y T g ( x) f( * A, ) x X (2.10) Ta thấy ( , y ) Thật vậy, giả sử có giá trị j cho y j (t0 , z ) A Thì (t , x) (t0 , z o e j ) A với j ) Áp dụng (2.10) với (t0 , z ) cho y Bằng cách tương tự ta thấy y A Đặt ( e j véc-tơ đơn vị thứ ta dẫn tới mâu thuẫn Vậy Nhưng Trong trường hợp từ (2.10) ta có yT g ( x) x X Điều mâu thuẫn với điều kiện Slater Sử dụng định nghĩa d ta có d ( y / ) f ( x* ) Như vậy, từ (D) đối ngẫu (P), chúng phải đối ngẫu xác  Ví dụ Trong  cho hàm f ( x1, x2 , x3 , x4 ) : x1 x2 x3 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN x4 http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 g ( x1, x2 , x3 , x4 ) : x12 x22 x32 x42 Xét toán f ( x1, x2 , x3 , x4 ) : g ( x1, x2 , x3 , x4 ) (P) Lập toán đối ngẫu max d ( y) : y d ( y ) min4 L( x1 , x2 , x3 , x4 , y ) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x  min4 x1 x2 x  x3 yx1 x4 yx3 yx4 x22 x32 x42 1) yx2 xL( x, y ) y ( x12 yg ( x1, x2 , x3 , x4 ) 0 x1 Giả sử y hệ phương trình có nghiệm là: x2 x3 x4 2y 2y 2y 2y Khi ta có d ( y) 2y 2y y 2y 2y y[( 1 ) ( )2 ( ) ( )2 ] 2y 2y 2y 2y y Xét max d ( y) y ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 d ' ( y) 1 y2 y y xét y nên ta y* d ( y* ) f ( x* ) Để tính x* ta giải x* arg f ( x1, x2 , x3 , x4 ) y* g ( x1, x2 , x3 , x4 ) x 4 x* arg x1 x 4 x2 x3 x12 x4 x22 x32 x42 cách cho x1 x2 xL( x, y* ) x3 x2 x4 x1 0 2 x3 x4 2.2.10 Tối ưu véc-tơ Trong phần ta nghiên cứu véc-tơ (nhiều mục tiêu) tối ưu hóa Xét toán: V F ( x) : x C F ( f1 , , f p ):  n n  (VP) p (ở có p - mục tiêu) 2.2.11 Định nghĩa Một véc-tơ x* C gọi nghiệm (toàn cục) hiệu (Pareto-nghiệm tối thiểu) (VP) không tồn x C cho F ( x) F ( x* ) F ( x) F ( x* ) Nếu không tồn x C cho F ( x) F ( x* ) x* gọi nghiệm (toàn cục) hiệu yếu nghiệm tối thiểu (VP) Câu hỏi: Làm để giải toán tối ưu hóa véc-tơ? Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 2.2.12 Định lý Cho  n Thì với nghiệm toàn cục tối thiểu toán mục tiêu T ( P ( )) F ( x) : x C nghiệm tối ưu toàn cục Pareto (VP) Chứng minh Giả sử x C nghiệm ( P ( )) Nếu x nghiệm tối ưu Pareto, x C , F ( x ) F ( x* ) f i0 ( x ) Do f ( x) i i fi ( x) fi ( x* ) i f i0 ( x* ) , nên f ( x* ) i i i Cộng lại ta f ( x) i i f ( x* )  i i Ví dụ: Trong  xét F ( x) ( f1 ( x), f ( x), f3 ( x)) (p=3 có ba mục tiêu) biểu thị f1 ( x) : Biểu thị cho học lực học sinh x lớp học, f ( x) : Biểu thị cho đạo đức học sinh x lớp học, f3 ( x) : Biểu thị cho khức khỏe học sinh x lớp học giả sử có trọng số T 1 ( , , )  ta có 3 f1 ( x) 1 F ( x) ( , , ) f ( x) 3 f3 ( x) 1 f1 ( x) f ( x) f ( x) 3 Câu hỏi: Có với nghiệm tối ưu Pareto x (VP) tồn trọng số cho x nghiệm tối ưu ( P ( )) ? Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 2.2.13 Định lý Giả sử (VP) toán tối ưu lồi (có nghĩa F C lồi) Thì với nghiệm Pareto-tối ưu u (VP) tồn T u arg x cho F ( x) : x C Chứng minh Đặt y  p:y K: F ( x) F (u ), x C Đặt D coK (bao lồi) Ta thấy D tồn y1, , y r  (không dương) D p r j j , tj y , tj tj j Từ y j Lấy x D K cho r y , từ K Đặt y j K , tồn x j r C cho y j F ( x j ) F (u) với j t j x j Từ F lồi, ta có j r t j F ( x j ) F (u ) F ( x) F (u ) j r r t j ( F ( x j ) F (u )) tjy j j j Do vậy, từ u hiệu dẫn đến y , y=0 Vậy D Theo Định lý tách có T y y  T y y K  p cho p (2.11) (2.12) p p Bằng cách chia cho j ta giả sử j Từ (2.11) ta thấy j j từ (2.12) định nghĩa K dẫn đến: T ( F ( x) F(u)) x C Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 nghĩa u nghiệm tối ưu ( P ( ))  KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Tổng hợp số kiến thức Giải tích lồi, tính chất tập lồi, hàm lồi; phát biểu chứng minh Định lý tách Sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-KuhnTucker, Định lý Kuhn-Tucker Định lý đối ngẫu Lagrange Cuối luận văn trình bày Định lý vô hướng hóa cho toán tối ưu véc-tơ lồi, cách chứng minh dựa vào Định lý tách Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển, Nhập môn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra) Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh Stephen Boys and Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University press, New York Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... Karush-KuhnTucker, định lý Kuhn-Tucker hai định lý quan trọng dùng để giải toán tối ưu Ngoài Định lý tách có nhiều ứng dụng khác Giải tích toán học Chính mà chọn đề tài “ Một vài ứng dụng định lý tách tối ưu hóa ... chất chúng, phát biểu chứng minh Định lý tách Chương 2: Trình bày vài ứng dụng Định lý tách tối ưu hóa, sử dụng Định lý tách để chứng minh Định lý Karush-Kuhn-Tucker, Số hóa Trung tâm Học liệu... hiểu ứng dụng Các toán tối ưu phong phú đa dạng, chúng có nhiều ứng dụng rộng rãi thực tiễn Trong tối ưu hóa Định lý tách đóng vai trò quan trọng, nhờ Định lý tách mà ta chứng minh định lý Karush-KuhnTucker,