Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải to án

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Một số ứng dụng định lý viét việc giải toán A Đặt vấn đề lý chọn đề tài Trong ch-ơng trình sách giáo khoa Toán lớp THCS, học sinh đ-ợc làm quen với ph-ơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm ph-ơng trình bậc hai, đặc biệt định lý Viét ứng dụng việc giải toán Song qua việc giảng dạy Toán tr-ờng T.H.C.S nhận thấy em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán ch-a thật linh hoạt, ch-a biết khai thác sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại toán, ®ã hƯ thøc ViÐt cã tÝnh øng dơng rộng rÃi việc giải toán Đứng trước vấn đề đó, sâu vo nghiên cứu đề ti: Một số ứng dụng định lý Viét viƯc gi°i to¸n” víi mong mn gióp cho häc sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học toán vµ kÝch thÝch høng thó häc tËp cđa häc sinh đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Trong đề tài này, đ-a nghiên cứu số ứng dụng định lý Viét việc giải số toán th-ờng gặp cấp T.H.C.S Do đề cập đến số loại toán là: a) ứng dụng định lý Viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mÃn yêu cầu đặt b) ứng dụng định lý giải toán lập ph-ơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số ph-ơng trình bậc hai ẩn c) ứng dụng định lý Viét giải toán chứng minh d) áp dụng định lý Viét giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình e) Định lý Viét với toán cực trị -1- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán B nội dung Định lý Viét: Nếu x1, x2 hai nghiệm ph-ơng trình ax2 + bx + c = (a x1 x1 x 0) th×: b x2 a c a * Hệ quả: (tr-ờng hợp đặc biệt) a) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = (a 0) cã a + b + c = th× ph-ơng trình có nghiệm là: x1 = nghiệm là: x2 = b) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = (a c a 0) có a - b + c = ph-ơng trình có nghiệm là: x1 = - nghiƯm lµ: x2 = * NÕu cã hai sè u v thoả mÃn điều kiện: u u v v c a S P u, v hai nghiệm ph-ơng trình: x2 Sx + P = điều kiện để có hai số u, v là: S2 4P Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải số dạng toán -2- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán I ứng dụng định lý viét giải toán tìm điều kiện tham số để toán thoả mÃn yêu cầu đặt Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 ph-ơng trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mÃn điều kiện x 12 x2 Bài giải: Điều kiện để ph-ơng trình có hai nghiệm (phân biệt nghiệm kép): m 0; '0 ' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + ' Víi 0 m m 4, theo định lý Viét, nghiệm x 1; x2 ph-ơng trình có liên hệ: 2(m x1 + x2 = 2) m Do ®ã: = x 12 x2 ; x1.x2 = m m = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m 2) m m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m m2 - 10m + 16 = m = hc m = Giá trị m = không thoả mÃn điều kiện Vậy với m = x 12 x 22 = - m 2(m 3) m Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn 1 x1 x2 x1 x2 Bài giải: Ta phải có: ' x x ( (m 2)) (m 2 1 x1 x2 2m 3) (1) (2) x1 x2 (3) -3- h S¸ng kiÕn kinh nghiệm môn Toán (1) ' = m2 - 4m + - m2 - 2m + = - 6m + > (2) m< (3) m + 2m - x1 x2 x1 x1 x (m - 1)(m + 3) x2 ( x1  Tr-êng hỵp: x1 + x2 = x )( x1 x ) x1 = - x2 m 1; m -3 m = không thoả mÃn điều kiện (1) Tr-ờng hợp: - x1.x2 = Cho ta: m2 + 2m - = x1.x2 = (m - 2)(m + 4) = m m (loại) (thoả mÃn Đ K) Vậy với m = - ph-ơng trình đà cho có nghiệm x1, x2 phân biệt tho¶ m·n x1 x1 x x2 Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m lµ tham số) a) Xác định m để nghiệm x1; x2 ph-ơng trình thoả mÃn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m Bài giải: x1 a) Ta phải cã: 2(m x2 x1 x2 m ' ( (m (2) (3) m (m Tõ (1) vµ (3) tính đ-ợc: Thay vào (2) đ-ợc m m x1 x (1) 1) 1) m x2 m (m 3m )( m 9m (4) 8) 5m ; x1 m 4) 3m 2m2 - 17m + 8=0 m Giải ph-ơng trình 2m2 - 17m + = đ-ợc m = 8; m = thoả mÃn điều kiện (4) -4- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Vậy với m = hc m = m·n x1 + 4x2 = b) Theo hÖ thøc ViÐt: x1 + x2 = + x1 + x2 = Thay m nghiệm ph-ơng trình thoả m (*) m = x1 + x2 - vào (*) đ-ợc x1x2 = - 2(x1 + x2 - 2) VËy x1.x2 = - 2(x1 + x2) Ví dụ 4: Với giá trị m hai ph-ơng trình sau có nghiệm chung: x2 + 2x + m = (1) x2 + mx + = (2) Bài giải: Gọi x0 nghiệm chung ph-ơng trình ®ã ta cã x0 x0 x0 mx m 0 Trõ theo tõng vÕ hai ph-ơng trình ta đ-ợc (m - 2)x0 = m - Nếu m = hai ph-ơng trình x2 + 2x + = v« nghiƯm NÕu m x0 = từ m = - Víi m = - 3: (1) lµ x2 + 2x – = 0; cã nghiÖm x1 = vµ x2 = - Vµ (2) lµ x2 - 3x + = 0; cã nghiÖp x3 = vµ x4 = Râ rµng víi m = - hai ph-ơng trình có nghiệm chung x = Bài tập: Bài 1: Cho ph-ơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = (1) Tìm giá trị tham số m để ph-ơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2 -5- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Bài 2: Cho ph-ơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = a) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để nghiệm x1; x2 ph-ơng trình thoả m·n: x1 + 4x2 = d) T×m mét hƯ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 3: a) Với giá trị m hai ph-ơng trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiƯm chung ®ã? x2 - (m + 4)x + m + = (1) x2 - (m + 2)x + m + = (2) b) Tìm giá trị m để nghiệm ph-ơng trình (1) nghiệm ph-ơng trình (2) ng-ợc lại II ứng dụng định lý viét toán lập ph-ơng trình bậc hai ẩn, tìm hệ số ph-ơng trình bậc hai ẩn số: Các ví dụ: VÝ dô 1: Cho x1 = ; x2 = 1 Lập ph-ơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ: x1; x2 Ta cã: x1 = ; Nªn x1.x2 = 1 x1 + x2 = x2 = = 1 3 3 = 3 VËy ph-ơng trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 x2 Hay 2x2 - 3 + = x+ =0 x+1=0 -6- h S¸ng kiến kinh nghiệm môn Toán Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình: x2 + 5x - = (1) Không giải ph-ơng trình (1), hÃy lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm ph-ơng trình (1) Cách giải: Gọi x1; x2 nghiệm ph-ơng trình đà cho theo hÖ thøc viÐt, ta cã: x1 + x2 = -5; x1.x2 = - Gọi y1; y2 nghiệm ph-ơng trình phải lập, ta có: y1 + y2 = y1 y2 = Ta cã: 4 x2 x x x2 4 x1 x1 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – = 727 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = x x Vậy ph-ơng trình cần lập lµ: y2 - 727y + = VÝ dơ 3: Tìm hệ số p q ph-ơng tr×nh: x2 + px + q = cho x1 hai nghiệm x1; x2 ph-ơng trình thoả mÃn hÖ: x1 x x 35 Các giải: Điều kiện = p2 - 4q (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn: x1 x1 x x x1 x1 x1 35 x x1 4x x x 2 2 x1 x x x 25 2 x1 x1 x p 25 x1 x 2 x2 35 35 p q q 25 Giải hệ tìm đ-ợc: p = 1; q = - vµ p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị thoả mÃn (*) -7- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 2) Bài tập: Bài 1: Lập ph-ơng trình bậc hai cã nghiƯm lµ + vµ Bài 2: Lập ph-ơng trình bậc hai thoả mÃn ®iỊu kiƯn: Cã tÝch hai nghiƯm: x1.x2 = vµ x1 x1 x2 + x2 = k k 2 Bài 3: Xác định có số m, n ph-ơng trình: x2 + mx + n = Sao cho nghiệm ph-ơng trình làm m n Iii ứng dụng định lý viét giải toán chứng minh Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b nghiệm ph-ơng trình: x2 + px + = vµ b, c nghiệm ph-ơng trình x2 + qx + = Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - H-ớng dẫn học sinh giải Đây toán chứng minh đẳng thức thông th-ờng, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm ph-ơng trình hệ số ph-ơng trình Vì đòi hỏi phải nắm vững định lý Viét vận dụng định lý Viét vào trình biến ®ỉi vÕ cđa ®¼ng thøc, ®Ĩ suy hai vÕ Cách giải: a,b nghiệm ph-ơng trình: x2 + px + = b,c lµ nghiƯm ph-ơng trình: x2 + qx + = Theo định lý viét ta có: a a.b b - p vµ b c b.c - q Do ®ã: (b – a)(b – c) = b2 + ac - (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + Suy ra: pq - = b2 + ac +3 – = b2 + ac - (2) Tõ (1) vµ (2) suy (b - a)(b - c) = pq - (đpcm) -8- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Vídụ 2: Cho số a,b,c thoả mÃn điều kiện: a2 + b + c2 = a + b + c = - (1); (2) Chứng số a, b, c thuộc đoạn ;0 biểu diễn trục số: Cách giải: Bình ph-ơng hai vế (1) ®-ỵc: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): = bc = - a(b + c) = - a(- - a) = a2 + 2a + Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), b, c nghiệm ph-ơng trình: X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = (*) Để (*) có nghiệm ta phải cã: = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) a(3a + 4) - a Chøng minh t-¬ng tù ta ®-ỵc: - b 0; - c Bµi tËp: Bµi 1: Gäi a, b lµ hai nghiệm ph-ơng trình bậc hai: x + px + = Gäi c, d lµ hai nghiệm ph-ơng trình: y2 + qy + = Chøng minh hƯ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bµi 2: Chøng minh r»ng viÕt sè x = ( 3, )200 d-ới dạng thập phân, ta đ-ợc chữ số liền tr-ớc dấu phẩy 1, chữ số liền sau dấu phẩy iii áp dụng định lý viét giải ph-ơng trình hệ ph-ơng trình Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: x x x -9- x x x =6 h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán H-ớng dẫn: ĐKXĐ: {x R u Đặt: x x x x x x x - 1} u ? u ? Tính: u, v, từ tính x Bài giải: ĐKXĐ: {x Đặt: u x x R x - 1} u x x x x x (*) u x x x x x x x x x x x u u x2 - 5x + = u, v nghiệm ph-ơng tr×nh: = 25 – 24 = x1 = x2 = =3 =2 2 u = v = u = th× v = NÕu: u th× (*) trë thµnh: x2 - 2x + = '=1–3=-2 Nên ph-ơng trình đà cho có hai nghiệm với m Theo định lý Viét ta cã: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 x1 x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + = (2m - )2 + DÊu “=” x°y m = 11 11 4 VËy Min(x12 + x22) = 11 m = 4 VÝ dụ 2: Gọi x1; x2 nghiệm ph-ơng trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x1x2 - 2x1 - 2x2 Cách giải: Để ph-ơng trình đà cho có nghiệm thì: ' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) -5 m -1 (*) Khi ®ã theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = - m - x1 x2 = Do ®ã: A = m 8m m 4m Ta cã: m2 + 8m + = (m + 1)(m + 7) víi ®iỊu kiƯn (*) th×: (m + 1)(m + 7) -12- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán m Suy ra: A = 8m = (m 4) 2 2 DÊu b»ng x¶y (m + 4)2 = hay m = - VËy A đạt giá trị lớn là: m = - 4, giá trị thoả mÃn điều kiện (*) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y 0; x + y = 10 Cách giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + Ta cã: x + y = 10 x2 + y2 = 10 - 2xy x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do ®ã A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + = t4 + 2t2 40t + 101 a) Tìm giá trÞ nhá nhÊt: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 Min(A) = 45 t = 2, ®ã xy = 2; x + y = ph-ơng trình X2 Tức x = 45 10 nên x y nghiệm 10 X + = 10 ;y= 10 2 hc x = 10 2 ;y= 10 2 b) Tìm giá trị lớn nhất: 2 Ta cã: xy x y = 10 = t (1) ViÕt A d-íi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101 -13- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Do (1) nªn t3 125 ; 2t t3 + 2t - 40 125 nªn A + - 40 < cßn t 101 Max(A) = 101 vµ chØ t = tøc lµ x = 0; y = 10 hc x = 10 ; y=0 Bµi tËp: Bµi 1: Gäi x1, x2 nghiệm ph-ơng trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = T×m m để x x có giá trị nhỏ Bài 2: Cho ph-ơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài 3: Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 ph-ơng trình thoả mÃn 10x1x2 + x x2 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị C Kết luận ứng dụng định lý Viét việc giải toán vấn đề lớn, đòi hỏi ng-ời học phải có tính sáng tạo, có t- tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, trình giảng dạy, ng-ời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần th-ờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác Nghiên cứu đề ti ứng dụng định lý Viét việc gii toán không giúp cho học sinh yêu thích học môn toán, mà sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù đà cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ -14- h Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán kiến thức khoa học Vì vậy, mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Ngµy 25 - - 2006 -15- h ... hai số u, v là: S2 4P Sau số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng định lý Viét giải số dạng to? ?n -2- h Sáng kiến kinh nghiệm môn To? ?n I ứng dụng định lý viét giải to? ?n tìm điều kiện tham số để to? ?n... dẫn học sinh giải Đây to? ?n chứng minh đẳng thức thông th-ờng, mà đẳng thức thể liên quan nghiệm ph-ơng trình hệ số ph-ơng trình Vì đòi hỏi phải nắm vững định lý Viét vận dụng định lý Viét vào trình... vµ x1 x1 x2 + x2 = k k 2 Bài 3: Xác định có số m, n ph-ơng trình: x2 + mx + n = Sao cho nghiệm ph-ơng trình làm m n Iii ứng dụng định lý viét giải to? ?n chứng minh Các ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b