Công thức quy net và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _ Lâm Hữu Phước CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 cho qua cua LỜI CẢM ƠN Tri thức vốn quý loài người Càng lên cao, vai trò cơng sức người thầy quan trọng Luận văn hoàn tất nhờ tổng hợp nhiều kiến thức từ mơn suốt khóa học, mà đó, nhờ q thầy tận tình hướng dẫn em nắm bắt Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy giảng dạy em khóa học Đặc biệt, hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn luận văn giúp đỡ em nhiều việc hoàn thiện kiến thức, hoàn thành luận văn hướng dẫn bước chập chững đường nghiên cứu khoa học Em xin gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy phản biện đọc luận văn em giúp em hiểu sâu sắc vấn đề Xin chân thành cảm ơn cho qua cua MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Chương 1- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 Phức đồng điều 8 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số mệnh đề thường dùng 1.1.3 Phép giải 10 Phức kì dị đồng điều kì dị 11 1.2.1 Các định nghĩa 11 1.2.2 Một số mệnh đề 12 Tích tenxơ mơđun 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Một vài tính chất 14 Hàm tử Tor, mối liên hệ Tor tích tenxơ 15 1.4.1 Tích xoắn môđun 15 1.4.2 Tích xoắn nhóm aben 17 Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG – ZILBER 2.1 2.2 19 Tích tenxơ phức 19 2.1.1 Định nghĩa 19 2.1.2 Một số mệnh đề 22 2.1.3 Áp dụng tích tenxơ phức để tính tích xoắn 26 Định lý Eilenberg – Zilber 29 2.2.1 Các model acyclic 29 2.2.2 Định lý Eilenberg – Zilber 36 Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 3.2 38 Công thức Quy net 38 3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ 39 3.1.2 Công thức Quy net 47 3.1.3 Trường hợp đặc biệt nhóm aben 51 Một vài ứng dụng công thức Quy net 55 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng 55 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor 56 3.2.2 Tính đồng điều kì dị khơng gian tích 62 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 cho qua cua MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như ta biết, Đại Số Đồng Điều phần Tôpô Đại Số, chuyên ngành xuất từ việc đưa cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc khơng gian tơpơ Trong đó, tri thức phức kì dị đóng vai trò quan trọng Việc tính đồng điều kì dị có ứng dụng cụ thể Tơpơ Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính sai đồng phôi đồng luân không gian Tôpô hay làm rõ kết đó, Xuất phát từ tính chất tương đương đồng ln tích tenxơ hai phức kì dị hai khơng gian tơpơ phức kì dị khơng gian tơpơ tích (định lý Eilengberg – Zilber), ta có đẳng cấu đồng điều hai phức Từ đó, tính đồng điều tích tenxơ hai phức thông qua đồng điều phức thành phần ta tính đồng điều kì dị khơng gian tích thơng qua đồng điều kì dị khơng gian thành phần Điều giải định lý công thức Quy net (Kă unneth) Cho nờn, vic hiu rừ v cụng thc Quy net có vai trò hỗ trợ việc tìm hiểu sâu Đại Số Đồng Điều Tôpô Đại Số Đó lý chọn đề tài Mục đích Tìm hiểu rõ cơng thức Quy net cho thấy vài ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phạm trù phức, tích tenxơ phức, phức kì dị vấn đề có liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn Làm rõ số vấn đề cơng thức Quy net, bên cạnh đó, cho thấy vài ứng dụng nó, đặc biệt việc tính đồng điều kì dị Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phức đồng điều Các định nghĩa • Cho R vành tùy ý, phức dây chuyền K R môđun họ {Kn , ∂n } gồm R−môđun Kn R−đồng cấu ∂n : Kn → Kn−1 cho theo tất số nguyên n, −∞ < n < ∞, ∂n ◦ ∂n+1 = Điều kiện sau tương đương với đòi hỏi Ker ∂n ⊃ Im ∂n+1 Như vậy, phức K dãy vô tận hai đầu: K : ···o Kn−1 o ∂n Kn o ∂n+1 Kn+1 o ··· đó, tích hai đồng cấu liên tiếp • Chu trình n chiều phức K phần tử mơđun Cn (K) = Ker ∂n • Phần tử bờ (hay biên) n chiều phức K phần tử thuộc mơđun ∂n+1 Kn+1 • Đồng điều H(K) họ môđun Hn (K) = Ker ∂n Im ∂n+1 Đẳng thức Hn (K) = có nghĩa dãy K khớp Kn • Nếu K K phức biến đổi dây chuyền f : K → K họ đồng cấu môđun {fn : Kn → Kn , n ∈ Z} cho ∂n fn = fn−1 ∂n với n f∗ = Hn (f ) : Hn (K) −→ Hn (K ) c + ∂Kn+1 −→ f (c) + ∂Kn+1 cảm sinh từ f đồng cấu • Đồng luân dây chuyền s hai biến đổi dây chuyền f, g : K → K họ đồng cấu môđun {sn : Kn → Kn+1 , n ∈ Z}, ∂n+1 sn + sn−1 ∂n = fn − gn Khi đó, ta viết s : f g • Ta nói biến đổi dây chuyền f : K → K tương đương dây chuyền tồn biến đổi dây chuyền h : K → K đồng luân s : hf 1.1.2 1K , t : f h 1K Một số mệnh đề thường dùng Định lý 1.1 Nếu s : f g : K → K với n ∈ Z, f∗ = g∗ : Hn (K) −→ Hn (K ) Hệ 1.1 Nếu f : K → K tương đương dây chuyền với n ∈ Z, ánh xạ Hn (f ) : Hn (K) → Hn (K ) đẳng cấu Mệnh đề 1.1 Cho K, K phức phạm trù nhóm aben, Kn nhóm aben tự ∂n = : Kn → Kn−1 Khi đó, f, g : K → K biến đổi dây chuyền với Hn (f ) = Hn (g) : Hn (K) → Hn (K ), ∀n ∈ Z 10 f g Hệ 1.2 Cho K, K phức phạm trù nhóm aben, Kn nhóm aben tự ∂n = : Kn → Kn−1 Khi đó, có f : K → K biến đổi dây chuyền cho Hn (f ) đẳng cấu với n ∈ Z hai phức K K tương đương đồng luân Mệnh đề 1.2 Nếu s : f g : K → K s : f g : K → K đồng luân dây chuyền ánh xạ sau đồng luân dây chuyền: g g : K −→ K f s+sg :f f Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp) Đối với dãy khớp ngắn phức E:0 / K χ / σ / M L / (χ, σ biến đổi dây chuyền, dãy khớp theo nghĩa khớp n), dãy dài nhóm đồng điều sau khớp: · · · Hn+1 (M ) En+1 /H n (K) χ∗ / σ∗ / H Hn (L) n (M ) En / Hn−1 (K) · · · đó, En : Hn (M ) → Hn−1 (K) gọi đồng cấu nối xác định sau: En (clsM m) = clsK (χ−1 ∂ L σ −1 m) 1.1.3 Phép giải Định nghĩa 1.1 Một phép giải môđun C dãy khớp dạng: / Xn ∂ / Xn−1 / / X1 ∂ / Xo ε /C / 11 tức phức (X, ε) với nhóm đồng điều Hn (X) = n > Ho (X) ∼ = C Phép giải tự Xn tự do, phép giải xạ ảnh Xn xạ ảnh Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh) Nếu γ : C → C đồng cấu, ε : X → C phức xạ ảnh C ε : X → C phép giải C , tồn biến đổi dây chuyền f : X → X , ε ◦ fo = γ ◦ ε hai biến đổi dây chuyền đồng luân 1.2 1.2.1 Phức kì dị đồng điều kì dị Các định nghĩa • q−đơn hình chuẩn: Cho q ≥ Một q−đơn hình chuẩn, kí hiệu: ∆q tập Rq+1 , xác định bởi: (xo , x1 , , xq ) ∈ ∆q ⇐⇒    ≤ xi ≤ q   xi = i=0 eo , e1 , , eq sở tắc Rq+1 ej ∈ ∆q gọi đỉnh thứ j ∆q Ánh xạ εjq xác định sau: εjq : ∆q−1 −→ ∆q (j = 0, 1, , q − 1) εjq (xo , , xj−1 , xj , , xq−1 ) = (xo , , xj−1 , 0, xj , , xq−1 ) X khơng gian tơpơ • q−đơn hình kì dị ánh xạ σ : ∆q → X liên tục • Sq X nhón aben tự do, sinh tập tất q−đơn hình kì dị 54 Trường hợp n lẻ – Nếu q2 lẻ, ∂n p1 p2 , q q2 = 0, – Nếu q2 = 2k , với k ∈ N∗ ∂n p2 q2 p1 p2 , q q2 = (0, 0) – Nếu q2 = q2 2k , với k ∈ N∗ (q2 , 2k ) = tồn t, s ∈ Z cho t.q2 + s.2k = 1, từ đó, ta p2 tq2 + p2 s2k = p2 Khi p2 s p1 p2 , = 0, đó, ta đặt ∂n q1 q2 q2 Dễ thấy K phức thỏa yêu cầu giả thiết định lý 3.2 Từ đó, với phức nhóm aben L bất kỳ, ta có dãy khớp chẻ: +∞ / / Hq (Q ⊕ Q) ⊗ Hn−q (L) Hn [(Q ⊕ Q) ⊗ L] q=−∞  +∞ 0o Tor[Hq (Q ⊕ Q), Hn−1−q (L)] q=−∞ Mặt khác, ta đặt H = p : ∃k ∈ N∗ , q = 2k , dễ thấy q Hq (Q ⊕ Q) = H ⊕ H, ∀q Từ đó, ta có đẳng cấu: ∞ Hn [(Q ⊕ Q) ⊗ L] ∼ = ∞ (H ⊕ H) ⊗ Hq (L) q=−∞ Tor(H ⊕ H, Hq (L)) q=−∞ 55 3.2 Một vài ứng dụng công thức Quy net 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng Xét phức nhóm aben K Nếu Kn tự G nhóm aben tùy ý Khi đó, theo định lý hệ tử phổ dụng (Thm III 4.1)[5] ta có dãy khớp / / Ext(Hn−1 (K), G) / H n (K, G) /0 Hom(Hn (K), G) Áp dụng định lý 3.2 cho trường hợp đặc biệt với phức L có A chiều thứ chiều lại (xem nhóm aben A phức tầm thường), ta có kết sau: Định lý 3.3 Nếu K phức nhóm aben khơng xoắn A nhóm aben Khi đó, với chiều thứ n có dãy khớp chẻ sau: / Hn (K) ⊗ A p / Hn (K ⊗ A) / Tor(Hn−1 (K), A) /0 (3.7) Hệ 3.6 Nếu K K phức nhóm aben khơng xoắn f : K → K biến đổi dây chuyền cho f∗ : Hn (K) → Hn (K ) đẳng cấu với n Khi đó, (f ⊗ 1)∗ : Hn (K ⊗ A) −→ Hn (K ⊗ A) đẳng cấu với nhóm aben A n Chứng minh Ta xét biểu đồ giao hoán sau: / 0 / Hn (K) ⊗ A  p f∗ ⊗1 Hn (K ) ⊗ A p / / / Hn (K ⊗ A)  (f ⊗1)∗ Hn (K ⊗ A) / / / Tor(Hn−1 (K), A)  Tor(f∗ ,1) Tor(Hn−1 (K ), A) 56 Theo định lý (3.3) dòng biểu đồ khớp Mặt khác, từ giả thiết f ta suy cột bên đẳng cấu Theo bổ đề ngắn, ta suy cột đẳng cấu 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor Mệnh đề 3.7 Cho A, B, C nhóm aben Khi đó, ta có: Tor(A, Tor(B, C)) ∼ = Tor(Tor(A, B), C) (3.8) Chứng minh Trước hết, ta biết ln tồn nhóm aben tự Ko , Lo , Mo , nhóm tương ứng chúng K1 , L1 , M1 cho: A∼ = Ko /K1 B∼ = Lo /L1 C∼ = Mo /M1 Hiển nhiên, K1 , L1 , M1 nhóm aben tự Khi đó, ta có phức tự sau: K : ···o 0o Ko o ∂1K K1 o ···o 0o Lo o ∂1L L1 o M : ···o 0o Mo o ∂1M L: M1 o 0o 0o 0o số trùng với số chiều hạng tử phức, ∂1K , ∂1L , ∂1M phép nhúng 57 Đối với phức trên, ta dễ nhận thấy điều sau đây:   A n = Hn (K) =  n =   B n = Hn (L) =  n = (3.9)   C n = Hn (M ) =  n = Đương nhiên phức K, L, M thỏa mãn yêu cầu định lý công thức Quy net phức nhóm aben Đầu tiên, ta áp dụng công thức Quy net phức L ⊗ M (trong trường hợp n = 1) Ta có: / [Ho (L) ⊗ H1 (M )] ⊕ [H1 (L) ⊗ Ho (M )] 0o / H1 (L ⊗ M )  Tor(Ho (L), Ho (M )) Từ đó, kết hợp với (3.9) ta được: H1 (L ⊗ M ) ∼ = Tor(B, C) (3.10) H1 (K ⊗ L) ∼ = Tor(A, B) (3.11) Tương tự, ta có: 58 Bây giờ, ta xem xét cụ thể phức L ⊗ M K ⊗ L Ta có: L ⊗ M : ···0o ∂11 Lo ⊗ M o o (Lo ⊗ M1 ) ⊕O (L1 ⊗ Mo ) ∂21 L1 ⊗ M o K ⊗ L : ···0o Ko ⊗ L o o ∂12 0··· (Ko ⊗ L1 ) ⊕O (K1 ⊗ Lo ) ∂22 K1 ⊗ L o 0··· đó, ta nhận thấy: với m ⊗ l ∈ M1 ⊗ L1 ∂21 (m ⊗ l) = m ⊗ l − m ⊗ l = Do đó, ∂21 = 0, tương tự, ∂22 = Từ đó, suy ra: H2 (L ⊗ M ) = H2 (K ⊗ L) = (3.12) Lấy tích tenxơ hai phức K L ⊗ M , ta được: K ⊗ (L ⊗ M ) : .O 0O Ko ⊗ (Lo ⊗ Mo ) O ∂1 [Ko ⊗ (Lo ⊗ M1 )] ⊕ [Ko ⊗ (L1 ⊗ Mo )] ⊕ [K1 ⊗ (Lo ⊗ Mo )] O ∂2 [Ko ⊗ (L1 ⊗ M1 )] ⊕ [K1 ⊗ (LO o ⊗ M1 )] ⊕ [K1 ⊗ (L1 ⊗ Mo )] ∂3 K1 ⊗ (LO ⊗ M1 ) 0O 59 tương tự, ta có phức (K ⊗ L) ⊗ M sau: (K ⊗ L) ⊗ M : .O 0O (Ko ⊗ Lo ) ⊗ Mo O ∂1 [(Ko ⊗ Lo ) ⊗ M1 ] ⊕ [(Ko ⊗ L1 ) ⊗ Mo ] ⊕ [(K1 ⊗ Lo ) ⊗ Mo )] O ∂2 [(Ko ⊗ L1 ) ⊗ M1 ] ⊕ [(K1 ⊗ Lo ) ⊗ M1 ] ⊕ [(K1 ⊗ L1 ) ⊗ Mo ] O ∂3 (K1 ⊗ L1 ) ⊗ M1 O 0O Rõ ràng hạng tử chiều hai phức đẳng cấu Ta gọi fi đẳng cấu chiều thứ i từ hạng tử phức K ⊗ (L ⊗ M ) vào hạng tử phức (K ⊗ L) ⊗ M Khi đó, f = {fi }i lập thành biến đổi dây chuyền hai phức Thật vậy, ta chứng minh thông qua phần tử sinh k ⊗ (l ⊗ m) với k ∈ Ki , l ∈ Lj , ta có trường hợp sau: 60 • i=j=0: f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m + l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m)+ k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m + (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m+ (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l + k ⊗ ∂ L l) ⊗ m + (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] • i = 0, j = : f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m − l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) + k ⊗ (∂ L l ⊗ m)− k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m + (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m− (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l + k ⊗ ∂ L l) ⊗ m − (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] 61 • i = 1, j = : f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m + l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m)− k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m − (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m− (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l − k ⊗ ∂ L l) ⊗ m − (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] • i=j=1: f ∂[k ⊗ (l ⊗ m)] = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m − l ⊗ ∂ M m)) = f (∂ K k ⊗ (l ⊗ m) − k ⊗ (∂ L l ⊗ m)+ k ⊗ (l ⊗ ∂ M m)) = (∂ K k ⊗ l) ⊗ m − (k ⊗ ∂ L l) ⊗ m+ (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = (∂ K k ⊗ l − k ⊗ ∂ L l) ⊗ m + (k ⊗ l) ⊗ ∂ M m = ∂ [(k ⊗ l) ⊗ m] = ∂ f [k ⊗ (l ⊗ m)] Từ đó, suy phức K ⊗ (L ⊗ M ) (K ⊗ L) ⊗ M tương đương đồng luân Bây giờ, ta áp dụng công thức Quy net phức K phức L⊗M ta áp dụng phức K ⊗ L phức M (trường hợp n = 2) 62 Cùng với việc sử dụng (3.10), (3.11) (3.12), ta tính được: H2 (K ⊗ (L ⊗ M )) ∼ = Tor(A, Tor(B, C)) H2 ((K ⊗ L) ⊗ M ) ∼ = Tor(Tor(A, B), C) Nhưng phức K ⊗ (L ⊗ M ) (K ⊗ L) ⊗ M tương đương đồng luân (chứng minh trên) nên ta có kết cần chứng minh 3.2.3 Tính đồng điều kì dị khơng gian tích Như nói đầu chương, ta tính đồng điều tích tenxơ hai phức kì dị tức ta tính đồng điều kì dị khơng gian tích Trong mục nêu lên ứng dụng cơng thức Quy net kết hợp với định lý Eilenberg – Zilber để tính đồng điều kì dị khơng gian tích thơng qua đồng điều kì dị không gian thành phần Mệnh đề 3.8 Cho hai không gian tô pô X, Y Khi đó, ta có đẳng cấu sau: Hn (X × Y ) ∼ = (Hm (X) ⊗ Hq (Y )) m+q=n Tor(Hm (X), Hq (Y )) m+q=n−1 Chứng minh Theo định lý Eilengber – Zilber S(X × Y ) tương đương đồng luân với S(X) ⊗ S(Y ), từ ta có đẳng cấu: Hn (X × Y ) ∼ = Hn (S(X) ⊗ S(Y )), ∀n (3.13) Mặt khác, theo định lý 3.2 công thức Quy net trường hợp 63 phức nhóm aben, ta có dãy khớp chẻ sau: Hm (X) ⊗ Hq (Y ) / m+q=n p  Hn (S(X) ⊗ S(Y )) Tor(Hm (X), Hq (Y )) β/ m+q=n−1 / Nghĩa ta có đẳng cấu: Hn (S(X) ⊗ S(Y )) ∼ = (Hm (X) ⊗ Hq (Y )) m+q=n Tor(Hm (X), Hq (Y )) m+q=n−1 (3.14) Từ (3.13) (3.14) ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 3.2 Tính đồng điều kì dị Hn (S m × S q ), với m, q = Giải Ta biết   k = n n Hk (S ) =  Z k = n Do đó, với trường hợp n = ta có: Hn (S n ) ∼ = Hn (S n ) ∼ =Z Ho (S n ) ∼ = Z ⊕ Ho (S n ) = Z ⊕ ∼ =Z Hk (S n ) = 0, với k = k = n Kết hợp điều mệnh đề 3.8 ta suy ∞ Hn (S × S ) ∼ = m q Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) t=0 Từ đó, để tính Hn (S m × S q ), ta có trường hợp sau: 64 TH1: m = q • Nếu n = đồng điều Hn−t (S q ) = t > nên ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z =Z⊗Z∼ t=0 Tức là, trường hợp Hn (S m × S q ) ∼ = Z • Nếu n = m = q ta có ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Ho (S m ) ⊗ Hn (S q )] ⊕ t=0 [Hn (S m ) ⊗ Ho (S q )] = [Ho (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ [Hm (S m ) ⊗ Ho (S q )] = Z⊕Z =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z⊕Z • Nếu n = m + q ta có: ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ t=0 [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] = Z⊕Z =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z⊕Z • Các trường hợp lại n làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần tích tenxơ khác khơng nên trường hợp lại n Hn (S m × S q ) = TH2: m = q 65 • Nếu n = đồng điều Hn−t (S q ) = t > nên ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z =Z⊗Z∼ t=0 Tức là, trường hợp Hn (S m × S q ) ∼ = Z • Nếu n = m n = q  ∞      Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Ho (S m ) ⊗ Hq (S q ) ∼ =Z t=0 ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = Hm (S m ) ⊗ Ho (S q ) ∼ =Z t=0 =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z • Nếu n = m + q ∞ Ht (S m ) ⊗ Hn−t (S q ) = [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] ⊕ t=0 [Hm (S m ) ⊗ Hq (S q )] = Z⊕Z =⇒ Hn (S m × S q ) ∼ =Z⊕Z • Tương tự trên, trường hợp lại n khơng thể làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần tích tenxơ khác khơng nên trường hợp lại n Hn (S m × S q ) = Từ ví dụ trên, ta áp dụng với trường hợp cụ thể với m = q = ta có mệnh đề sau: ✎☞ Mệnh đề 3.9 Mỗi đường tròn dạng ✍✌ co rút hình xuyến cố thể có 66 Chứng minh Ta biết đường tròn mặt cầu S hình xuyến cố thể S × S Từ ví dụ 3.2, ta có:    Z n =     Z n = 0, Hn (S ) = Hn (S × S ) = Z ⊕ Z n = 1,   lại    lại Do đó, theo hệ 1.2 ta suy S(S ) tương đương dây chuyền với phức: K : o 0o Z o Zo 0o phức S(S × S ) tương đương dây chuyền với phức: L : o Zo 0o 0 Z⊕Zo 0o Z⊕Zo Khi đó, phức S(S × S , S ) ∼ = S(S × S )/i[S(S )] (i phép nhúng) tương đương dây chuyền với phức: L/K : o 0o Zo /K /L 0o Z⊕Zo Rõ ràng dãy phức / L/K / chẻ nên dãy phức sau chẻ ra: / S(S ) i/ S(S × S ) / S(S × S , S ) / đó, i tồn đồng cấu nghịch trái r Từ đó, suy tồn ánh xạ liên tục r (cảm sinh r) từ S × S vào S r|S = 1S Tức S co rút S × S 67 cho qua cua KẾT LUẬN Nội dung luận văn, ngồi kiến thức chuẩn bị ra, có số vấn đề làm sau: • Tìm hiểu thêm tích tenxơ hai phức • Tìm hiểu định lý Eilenberg – Zilber tương đương dây chuyền tích tenxơ hai phức kì dị hai khơng gian tơpơ phức kì dị khơng gian tơpơ tích • Tìm hiểu rõ định lý công thức Quy net phức mơđun phức nhóm aben • Cho thấy vài ứng dụng công thức Quy net, bao gồm – Công thức hệ tử phổ dụng – Chứng minh luật kết hợp hàm tử Tor – Tính đồng điều kì dị tích hai khơng gian tơpơ thơng qua đồng điều kì dị khơng gian thành phần Lấy ví dụ cụ thể áp dụng 68 cho qua cua TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Trần Hun, Nguyễn Trọng Khâm (1993), Giáo trình Mơđun Phạm trù, Đại học quốc gia, Thành phố Hồ Chí Minh S – T Hu (2000), Nhập môn đại số đồ điều (bản dịch), Đại học sư phạm, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh A Dold (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer – Verlag, Berlin – Heidelberg – New York S – T Hu (1970), Homology Theory (a first course in algebraic topology), Holden – Day, Inc, San Francisco, London, Amsterdam S.MacLane (1963), Homology, Academic Press, New York ———— ... 36 Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 3.2 38 Công thức Quy net 38 3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ 39 3.1.2 Công thức Quy net ... 47 3.1.3 Trường hợp đặc biệt nhóm aben 51 Một vài ứng dụng công thức Quy net 55 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng 55 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor ... cụng thc Quy net (Kă unneth) Cho nờn, vic hiểu rõ cơng thức Quy net có vai trò hỗ trợ việc tìm hiểu sâu Đại Số Đồng Điều Tơpơ Đại Số Đó lý chọn đề tài 7 Mục đích Tìm hiểu rõ công thức Quy net cho