Định lý Roth Định lý Bertrand và Một vài ứng dụng Vũ Thị Liễu ĐH Thái Nguyên ĐHKH Ngày 16 tháng 04 năm 2015 Mục lục 1 Định đề Betrand 5 1 1 Số nguyên tố 5 1 2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên 7 1 3[.]
Định lý Roth Định lý Bertrand Một vài ứng dụng Vũ Thị Liễu ĐH Thái Nguyên-ĐHKH Ngày 16 tháng 04 năm 2015 Mục lục Định đề Betrand 1.1 Số nguyên tố 1.2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên 1.3 Định đề Bertrand Số Liouville Định lý Roth 2.1 Số siêu việt Liouviile 2.1.1 Tập đếm được, không đếm 2.1.2 Tập số siêu việt 2.1.3 Xấp xỉ Diophante 2.1.4 Số Liouville 2.2 Số siêu việt không số Liouville 2.2.1 Tính siêu việt số e 2.2.2 Tính siêu việt số π 2.3 Giới thiệu Định lý Roth vận dụng 2.3.1 Giới thiệu Định lý Roth 2.3.2 Vận dụng Định lý Roth vào giải Toán 2.4 Một vài vận dụng vào giải Toán sơ cấp 5 21 26 26 26 29 31 32 37 37 39 40 40 sơ cấp 42 43 Mở đầu Cho đa thức f (x) = ad xd + ad−1 xd−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x] với a ad > (ad , , a1 , a0 ) = Giả sử số hữu tỷ ∈ Q với b > b Khi ta có biểu diễn đây: a a d a d−1 a m f = ad + ad−1 + · · · + a1 + a0 = d , m ∈ Z b b b b b a m a = f = d với |m| > Dễ dàng thấy f b a b b a Như vậy, f 6= ta ln có f > d thỏa mãn cho b b b a số hữu tỷ với b > d = deg f (x) Một câu hỏi b đặt ra: Liệu thay số d số atự nhiên a dương s để với số hữu tỷ với b > f 6= ta b b ln có a c(α) với c(α) < có d < − α Bất đẳng thức đưa rd b b đến kết tiếng Liouville: Giả sử α ∈ R số vô tỷ đại số bậc d Khi có số c(α) a c(α) a để bất đẳng thức − α ≥ d thỏa mãn cho ∈ Q, b > b b b Trong lý thuyết số, số Liouville số vô tỷ α cho a với số nguyên dương n, tồn số hữu tỷ với b > b a cho < |α − | < n Năm 1844, Liouville chứng minh số b b Liouville tồn số siêu việt Kết Liouville xuất phát điểm cho định lý Roth hay định lý Thue-Siegel-Roth Định lý Roth phát biểu với số đại số α ∈ / Q số thực > 0, có hữu hạn cặp số nguyên (a, b) với b > a cho |α − | < 2+ Định lý Roth cho thấy với số đại b b số α cho trước, có nhiều số hữu tỷ xấp xỉ đủ tốt α Định lý Roth kết lý thuyết xấp xỉ Diophante số đại số Định lý Roth cải tiến suốt nửa kỷ, kết Liouville năm 1844, Thue năm 1909, Siegel năm 1921, Dyson năm 1947 Roth năm 1955 Với kết Roth nhận huy chương Feilds Mục đích luận văn trình bày lại số kết số Liouville, định lý Bertrand định lý Roth Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày Định đề Bertrand Chương giới thiệu Định lý Roth số ứng dụng Chương thứ gồm mục Mục 1.1 dành để trình bày số nguyên tố Mục 1.2 trình bày vài cách biểu diễn số tự nhiên Mục 1.3 Chứng minh Định đề Bertrand Chương thứ hai gồm mục Mục 2.1 trình bày số siêu việt Liouville Mục 2.2 trình bày số siêu việt khơng phải số Liouville Mục 2.3 nêu lại nội dung Định lí Roth, gồm Bổ đề Siegel Bổ đề tổ hợp, song việc chứng minh Định lí Roth q phức tạp nên chúng tơi trình bày lại kết mà không chứng minh Mục 2.4 đưa áp dụng vào Toán sơ cấp Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Qua xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy hướng dẫn, người tận tình bảo, quan tâm động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin trân trọng cảm ơn thầy cơ, cán khoa Tốn Tin cán quản lí trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên dạy dỗ hết lịng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục- Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Vũ Văn Hiếu - Thành phố Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh tạo điều kiện cho hồn thành khóa học Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể bạn lớp Cao học Toán K7Q trường ĐHKH- Đại học Thái Nguyên, nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập q trình hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2015 Vũ Thị Liễu Chương Định đề Betrand Trong chương này, giới thiệu vài vấn đề nghiên cứu lý thuyết số Bằng kiến thức toán học sơ cấp, tập số siêu việt khơng đếm được, tìm cơng thức tính số siêu việt vài trường hợp đặc biệt Câu chuyện xây dựng số siêu việt hay vài số đặc biệt khác nhiều vấn đề thú vị cần khám phá 1.1 Số nguyên tố Định nghĩa 1.1.1 Số tự nhiên p > khơng có ước số dương khác gọi số nguyên tố Số tự nhiên q > có ước số dương khác gọi hợp số Nếu có số tự nhiên d để n = d2 n gọi số phương Hiển nhiên ta có định lý sau đây: Định lý 1.1.2 Cho số nguyên tố p số nguyên tuỳ ý m, a, b Khi ( p p | m (i) (m, p) = p - m (ii) Mọi số m > có ước nguyên tố (iii) Nếu p | ab p | a p | b Ta thấy, đoạn [(n + 1)! + 2, (n + 1)! + n + 1] khơng có số ngun tố với số nguyên dương n Định lý sau tập số nguyên tố tập vô hạn Định lý 1.1.3 [Euclid] Tập hợp tất số nguyên tố tập vơ hạn Ví dụ 1.1.4 Tồn nhiều vơ hạn số nguyên tố dạng 4n − với n ∈ N Bài giải: Giả sử có số hữu hạn số nguyên tố p1 , , ps s Q dạng 4n − Đặt q = pi − > Khi q số lẻ Nhận xét i=1 (*) : Sử dụng quy nạp theo r ta dễ dàng tích r Q (4ni + 1) i=1 số nguyên dương dạng 4h + số nguyên dương dạng 4m + Nếu ước nguyên tố q có dạng 4k + q phải có dạng 4m + Vì q có dạng 4m − nên q phải có ước nguyên tố p dạng 4k − Từ điều giả sử ta suy p = pi với i Vậy p|(−1) Điều khơng thể Như có nhiều vô hạn số nguyên tố dạng 4n − Định lý 1.1.5 Với số nguyên dương n tồn số nguyên tố lớn n Chứng minh: Xét số n! + Khi chia số cho số nguyên dương nhỏ n cho số dư Do ước nguyên tố n! + không thuộc tập {1, 2, , n} phải lớn n Định lý 1.1.6 [Định lý số học] Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích hữu hạn thừa số nguyên tố phân tích không kể đến thứ tự thừa số Khi phân tích số tự nhiên q > thành tích thừa số ngun tố, số nguyên tố xuất nhiều lần Nếu số nguyên tố p1 , , ps xuất theo thứ tự α1 , , αs lần, ta viết q = pα1 pα2 pαs s ta gọi tích dạng phân tích tắc q Cho hai số a, b có dạng phân tích tắc a = pα1 pα2 pαs s q1u1 qrur , b = pβ1 pβ2 pβs s tv11 tvhh , thừa số nguyên tố qi a, thừa số nguyên tố tj có b, ta có min(α ,β ) 2 ucln(a, b) = p1 min(α1 ,β1 ) p2 ps min(αs ,βs ) , bcnn(a, b) = p1 max(α1 ,β1 ) p2 max(α2 ,β2 ) ps max(αs ,βs ) q1 u1 th vh 1.2 Một vài cách biểu diễn số tự nhiên Ta biết cách biểu diễn số tự nhiên theo số 10 Định lý sau cho cách biểu diễn số nguyên dương theo số k > tuỳ ý Định lý 1.2.1 Cho số nguyên dương k > Mỗi số nguyên không âm n biểu diễn cách thành tổng n = a0 k m + a1 k m−1 + · · · + am−1 k + am , a0 , , am ∈ {0, 1, , k − 1} Chứng minh: Sự tồn tại: Giả thiết n số nguyên không âm Nếu n k − 1, ta có biểu diễn n = n Nếu n > k ta gọi m số nguyên dương lớn để k m n < k m+1 Gọi a0 ∈ {1, , k − 1} để a0 k m n < (a0 + 1)k m Ta có n1 = n − a0 k m < k m Tương tự trên, có , m − i để k m−i n1 < k m−i+1 Tương tự , sau số hữu hạn bước ta có ∈ {0, 1, , k−1} để n = a0 k m + a1 k m−1 + · · · + am−1 k + am Tính nhất: Giả sử ta có hai biểu diễn cho n theo k ( n = a0 k m + a1 k m−1 + · · · + am−1 k + am , n = b0 k s + b1 k s−1 + · · · + bs−1 k + bs Khi (a0 k m + · · · + am−1 k) − (b0 k s + · · · + bs−1 k) + (am − bs ) = Vì vế phải chia hết cho k nên am − bs chia hết cho k Ta suy am = bs Lập luận tương tự, có m = s, = bi , ∀i, biểu diễn ... việt số π 2.3 Giới thiệu Định lý Roth vận dụng 2.3.1 Giới thiệu Định lý Roth 2.3.2 Vận dụng Định lý Roth vào giải Toán 2.4 Một vài vận dụng vào giải Toán sơ cấp 5 21 26 ... trình bày lại số kết số Liouville, định lý Bertrand định lý Roth Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày Định đề Bertrand Chương giới thiệu Định lý Roth số ứng dụng Chương thứ gồm mục Mục 1.1... phát điểm cho định lý Roth hay định lý Thue-Siegel-Roth Định lý Roth phát biểu với số đại số α ∈ / Q số thực > 0, có hữu hạn cặp số nguyên (a, b) với b > a cho |α − | < 2+ Định lý Roth cho