Một vài ứng dụng của thống kê Bose - Einstein biến dạng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI TRN TH H MT VI NG DNG CA THNG Kấ BOSE EINSTEIN BIN DNG Chuyờn ngnh: Vt lớ lớ thuyt v Vt lớ toỏn Mó s: 60 44 01 03 LUN VN THC S KHOA HC VT CHT Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS LU TH KIM THANH H NI, 2013 LI CM N Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS Lu Th Kim Thanh - ngi ó tn tỡnh hng dn, giỳp tụi sut quỏ trỡnh hon thnh lun Xin trõn trng cm n cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Vt lớ, c bit l cỏc thayfam cụ t Vt lớ lớ thuyt, phũng sau i hc Trng i hc S phm H Ni ó to mi iu kin thun li cho tụi thi gian hc v nghiờn cu Xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố, ng nghip, ó luụn ng viờn, giỳp tụi lun c hon thnh H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi Trn Th H LI CAM OAN Tụi xin cam oan v chu trỏch nhim trc Hi ng khoa hc: Lun ny l kt qu nghiờn cu trung thc ca cỏ nhõn tụi di s hng dn ca PGS.TS Lu Th Kim Thanh Lun khụng chộp kt qu ca bt k cụng trỡnh khoa hc no di bt k hỡnh thc no Mi trớch dn lm cn c khoa hc u ó c ghi chỳ y , trung thc H Ni, thỏng nm 2013 Tỏc gi Trn Th H MC LC LI CM N LI CAM OAN MC LC M U Chng 1: XY DNG PHN B THNG Kấ BOSE-EINSTEIN BNG PHNG PHP L THUYT TRNG LNG T 1.1 Phng phỏp Cỏc ễ Boltzman 1.1.1 Phng phỏp Cỏc ễ Boltzman 1.1.2 Xõy dng phõn b thng kờ Bose Einstein bng phng phỏp Cỏc ụ Boltzmann 1.2 Phng phỏp Gibbs 1.2.1 Phng phỏp Gibbs 1.2.2 Xõy dng phõn b thng kờ Bose Einstein bng phng phỏp Gibbs 10 1.3 Phng phỏp lớ thuyt trng lng t 11 1.3.1 H cỏc dao ng t boson 11 1.3.2 Xõy dng phõn b thng kờ Bose-Einstein bng phng phỏp lớ thuyt trng lng t 14 1.4 Kt lun chng 15 Chng 2: P DNG PHN B THNG Kấ BOSE-EINSTEIN VO H LNG T 16 2.1 Ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh 16 2.2 Lý thuyt Einstein v nhit dung ca vt rn 20 2.3 p dng phõn b thng kờ Bose-Einstein nghiờn cu bc x cõn bng 24 2.4 p dng phõn b thng kờ Bose - Einstein nghiờn cu t-ợng ng-ng tụ Bose - Einstein 25 2.5 Kt lun chng 31 Chng 3: MT VI NG DNG CA THNG Kấ BOSEEINSTEIN BIN DNG 32 3.1 C s toỏn hc ca hỡnh thc lun dao ng t iu hũa bin dng 32 3.2 Dao ng t [q]- boson v thng kờ Bose-Einstein bin dng - q 33 3.3 Dao ng t {q}- Boson 35 3.4 Xỏc nh ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q 36 3.5 Chng minh dao ng t bin dng q mụ t dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh 37 3.6 Tng trng thỏi, ni nng v nhit dung ca h dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh 38 3.7 p dng thng kờ Bose Einstein bin dng q nghiờn cu trng thỏi ngng t Bose Einstein 40 3.8 Kt lun chng 44 KT LUN 46 TI LIU THAM KHO 47 M U Lý chn ti Vt lớ thng kờ l ngnh vt lớ nghiờn cu h nhiu ht Tựy thuc vo loi mụ hỡnh vt cht m ngi ta thng tỏch vt lớ thng kờ lm hai phn: Vt lớ thng kờ c in v vt lớ thng kờ lng t Vt lớ thng kờ lng t tng quỏt v cht ch hn vt lớ thng kờ c in vỡ cỏc kt qu ca vt lớ thng kờ lng t ó bao gm cỏc kt qu ca vt lớ thng kờ c in nh l trng hp riờng Nhim v ca vt lớ thng kờ lng t l nghiờn cu cỏc tớnh cht ca h nhiu ht vi mụ tuõn theo cỏc quy lut ca c hc lng t Vt cht tn ti di hai dng l cht v trng: cỏc cht bao gm mt s rt ln cỏc nguyờn t, phõn t Lng t ca cỏc trng l cỏc ht c bn, chng hn lng t ca trng in t l cỏc photon,T ú cú th thy i tng nghiờn cu ca vt lớ thng kờ l rt rng Nhit ng lc hc cng nghiờn cu cỏc quy lut chuyn ng nhit h nhiu ht, nhit ng lc hc kho sỏt cỏc hin tng theo quan im v s bin i nng lng cỏc hin tng ú C s ca nhit ng hc l nhng nh lut t nhiờn tng quỏt m ngi ta gi l cỏc nguyờn lớ ca nhit ng lc hc Cỏc nguyờn lớ ny l s tng quỏt húa kinh nghim lõu i ca nhõn loi v ú c thc nghim xỏc nhn Vt lớ thng kờ nghiờn cu mi liờn h gia cỏc c tớnh v mụ ca h vi cỏc tớnh cht v cỏc nh lut chuyn ng ca cỏc ht vi mụ to nờn h Vt lớ thng kờ xut phỏt t cỏc tớnh cht v cu trỳc vi mụ ca cỏc ht to nờn h rỳt nhng tớnh cht ca h nhiu ht bng phng phỏp xỏc sut thng kờ Ti li phi dựng phng phỏp xỏc sut thng kờ m khụng th dựng phng phỏp gii cỏc phng trỡnh Lagrange hoc cỏc phng trỡnh chớnh tc Hamilton bi toỏn c in, phng trỡnh Schrodinger i vi h nhiu ht lng t Cõu tr li l bi vỡ cỏc h nhiu ht tn ti mt quy lut khỏch quan l h qu ca tớnh cht s ụng ú l quy lut tớnh thng kờ, ch khụng phi vỡ h nhiu ht cú s bc t rt ln õy cú quy lut lng i - cht i: Khi s bc t tng lờn quỏ ln - lng i, thỡ tớnh cht ca cỏc quy lut cng thay i - cht i Mc dự tớnh cỏch ca mt ht riờng l tuõn theo nh lut ng lc hc ca c hc, nhng h nhiu ht cú biu hin ca quy lut tớnh thng kờ Rừ rng l tớnh cỏch thng kờ mt ht mi ni dung ta xột mt ht riờng l hay mt s ớt ht v ch cỏc h nhiu ht mi cú biu hin ca quy lut tớnh thng kờ Nhng tớnh cỏch ca tng ht riờng l to nờn h nhiu ht quyt nh tớnh cỏch ca ton b h tỡm cỏc nh lut phõn b thng kờ lng t, ngi ta ó dựng cỏc phng phỏp c bn sau: Phng phỏp cỏc ụ Boltzmann, phng phỏp Gibbs, phng phỏp lớ thuyt trng lng t V mt lch s phng phỏp cỏc ụ Boltzmann i sm nht nhng phng phỏp Gibbs cú nhiu u im v c coi l phng phỏp c bn ca vt lớ thng kờ Ngy lớ thuyt trng lng t l c s gii thớch bn cht ca cỏc ht vi mụ v cu trỳc v cỏc tớnh cht ca nú Lớ thuyt trng lng t ó m ng nhn bit cỏc quỏ trỡnh vt lớ xy th gii ht vi mụ, lớ thuyt trng lng t úng vai trũ quan trng nhiu lnh vc ca vt lớ c bit vic nghiờn cu h nhiu ht v xõy dng cỏc nh lut phõn b thng kờ lng t Cỏc phng phỏp ny b sung cho lm rừ c bn cht vt lớ ca cỏc quỏ trỡnh vt lớ h nhiu ht Vic ỏp dng cỏc thng kờ lng t nghiờn cu tớnh cht ca cỏc h lng t ó gii quyt c rt nhiu m cỏc thng kờ c in khụng th gii thớch y c nh nhit dung ca vt rn, cỏc tớnh cht ca khớ electron, nhit dung ca khớ electron kim loi v hin tng ngng t Bose-Eintein, Cỏc tớnh toỏn lớ thuyt c xõy dng i vi mụ hỡnh lý tng, ú cú nhng sai khỏc gia kt qu lớ thuyt v thc nghim thu c Khi ú ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp gn ỳng gii quyt Nhúm lng t m cu trỳc nú l i s bin dng phự hp vi nhiu mụ hỡnh ca vt lớ, l mt phng phỏp gn ỳng ca lớ thuyt trng lng t Nhúm lng t v i s bin dng c kho sỏt thun li hỡnh thc lun dao ng t iu ho bin dng Trong nhng nm gn õy vic nghiờn cu nhúm lng t v i s bin dng c kớch thớch thờm bi s quan tõm ngy cng nhiu n cỏc ht tuõn theo cỏc thng kờ khỏc vi thng kờ Bose - Einstein v thng kờ Fermi - Dirac nh thng kờ para Bose, para Fermi, thng kờ vụ hn, cỏc thng kờ bin dng , vi t cỏch l cỏc thng kờ m rng Cho n cỏch m rng ỏng chỳ ý nht l khuụn kh ca i s bin dng Với mong muốn hiểu biết đầy đủ giới hạt vi mô, hệ hạt đồng boson, em chọn đề tài Mt vi ng dng ca thng kờ Bose Einstein bin dng Mc ớch ca ti l xõy dng cỏc thng kờ lng t bin dng bng phng phỏp lớ thuyt trng lng t v ỏp dng cỏc thng kờ ú vo nghiờn cu mt s hin tng vt lớ Ni dung chớnh ca ti gm ba chng: Chng trỡnh by mt cỏch h thng cỏc phng phỏp xõy dng phõn b thng kờ lng t, chng chỳng tụi ó ỏp dng phõn b thng kờ Bose-Einstein nghiờn cu mt s hin tng vt lớ Vic ỏp dng phng phỏp lớ thuyt trng lng t xõy dng phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng v ỏp dng phõn b thng kờ Bose-Einstein bin dng nghiờn cu mt s hin tng vt lớ nhm m rng phm vi phự hp ca kt qu lý thuyt v thc nghim c trỡnh by chng Mc ớch, nhim v nghiờn cu - Xõy dng thng kờ Bose-Einstein bng cỏc phng phỏp Cac ụ Boltzmann, phng phỏp Gibbs v phng phỏp lớ thuyt trng lng t - p dng thng kờ Bose Einstein vo cỏc h lng t - Xõy dng v ỏp dng thng kờ Bose Einstein bin dng q vo cỏc h lng t i tng nghiờn cu - H cỏc ht ng nht Boson Phng phỏp nghiờn cu - Phng phỏp vt lớ lớ thuyt - Phng phỏp vt lớ thng kờ v cỏc phng phỏp gii tớch khỏc - Phng phỏp lớ thuyt trng lng t, phng phỏp nhúm lng t Chng XY DNG PHN B THNG Kấ BOSE-EINSTEIN BNG PHNG PHP L THUYT TRNG LNG T 1.1 Phng phỏp Cỏc ễ Boltzman 1.1.1 Phng phỏp Cỏc ễ Boltzman Ni dung ca phng phỏp cỏc ụ Boltzmann l: chia khụng gian pha thnh cỏc ụ tng ng vi cỏc giỏ tr khỏc ca nng lng v xột cỏc s phõn b khỏc ca cỏc ht ca h theo cỏc ụ ú, t ú tỡm c s cỏc trng thỏi vi mụ kh hu ca h tng thớch vi nhng iu kin bờn ngoi nht nh tc l tỡm c xỏc sut nhit ng ca h Sau ú da vo nguyờn lý Boltzmann tỡm c entrụpi ca h v da vo iu kin cc i ca entrụpi cõn bng nhit ng, ta tỡm c phõn b thng kờ ca h [1] Theo nguyờn lớ Boltzmann thỡ entrụpi ca trng thỏi v mụ ca h t l vi logarớt nờpe ca xỏc sut nhit ng W, cng chớnh l logarớt nờpe ca s cỏc trng thỏi vi mụ kh hu ca h S = k ln W, ( 1.1 ) vi k l hng s Boltzmann Entropi nh ngha nh vy khụng nhng chng t entrụpi cú bn cht c bit thng kờ, khụng th cú mt dng c o trc tip entrụpi, m cũn phự hp vi nh lý Nerst ( nguyờn lớ th ba ca nhit ng lc hc) cho rng: ng ng nhit T = trựng vi ng on nhit S = Tht vy, nhit h thp dn xung, h s chim cỏc mc nng lng ngy cng thp Khi T=0, h ch nm trng thỏi lng t cú nng lng thp nht ú W=1 v S = k ln W = k ln1 = Theo quan nim lng t, mt trng thỏi vi mụ ca h khụng gian pha tng ng vi khụng phi mt im pha m l mt th tớch cc tiu no ú ca khụng gian pha i vi mt h gm N ht th tớch cc tiu 33 Lý thuyt q s l c s toỏn hc ca lớ thuyt bin dng lng t m sau õy chỳng tụi s dng xõy dng cỏc i s bin dng v cỏc thng kờ lng t bin dng 3.2 Dao ng t [q]- boson v thng kờ Bose-Einstein bin dng - q Cỏc dao ng t iu ho bin dng q c a vo bi s m rng cỏc ma trn ( 1.28) v (1.30) ca cỏc toỏn t sinh, hy dao ng t boson vi s giỳp ca cỏc q s [ n ]q qx - q-x (3.1) : [ x ]q = , v gi l cỏc dao ng q - q -1 t [q] - boson [5], [6], [7], [8] Khi thay cỏc s nguyờn cỏc ma trn (1.28), (1.30) bi [ n ]q s chỳng ta thu c cỏc ma trn biu din ca cỏc toỏn t sinh, hu dao ng [q ] - boson lng t nh sau: a$ + q ổ 0 ỗ ữ ỗ [1]q 0 ữ =ỗ ữ, ỗ0 [ 2]q ữ ỗ ữ ỗ ữứ ố ổ0 ỗ ỗ $a q = ỗ ỗ0 ỗ ỗ ố [1]q 0 [ 2]q ữ ữ ữ ữ ữ ữứ (3.6a) (3.6b) Bng cỏc phộp tớnh ma trn, chỳng ta thu c cỏc h thc cho toỏn t l: sinh, hu [ q ] - Boson v toỏn t s dao ng t N ự = a + a ; ộN q q ỷq + 1ự = a$ q a$ q+ ; ộN ỷq a$ q a$ q+ - qa$ q+ a$ q = q - N ; (3.7) $ q ự = -a$ q ; ộ N,a $ q+ ự = a$ q+ ộa$ q ,a$ q ự = ộa$ q+ ,a$ q+ ự = 0; ộ N,a ỷ ỷ ỷ ỷ 34 i s (3.7) c thc hin khụng gian Fock cú cỏc vộct c s , tho phng l cỏc vộc t trng thỏi riờng ca toỏn t s dao ng t N trỡnh = [ n ]q | n q , |n N q (3.8) ú | n q l trng thỏi c xỏc nh bi s tỏc dng liờn tip ca toỏn t sinh a$ q+ lờn trng thỏi chõn khụng |n q = ( ) a$ q+ n [n ]q ! |0 (3.9) Tỏc dng ca cỏc toỏn t a$ q+ , a$ q lờn cỏc vộc t c s ny l a$ q+ | n q = [ n + 1]q | n +1 q ;a$ q | n q [ n ]q | n -1 q = (3.10) Trờn c s cỏc h thc ó nờu trờn ca [ q ] - boson , chỳng ta tớnh c tng trng thỏi ca h cỏc dao ng t [ q ] - boson l Z = Tr e ( -m N -b H )= Ơ ồe -b( e-m )n n =0 { ( Tr e v = -m N -b H } = , - e -b( e-m ) Ơ ) ộN àự = n | e-b ỷ q e ( -m N -b H ) n =0 àự |n ộN ỷq -b( e-m ) - ( q + q -1 ) e-b( e-m ) + e -2b( e-m ) Kt qu chỳng ta thu c tr trung bỡnh ca s cha y ca dao ng t [q] boson, hay s cỏc [q] boson cựng mt trng thỏi lng t cú nng lng e l eb( e-m ) - àự = ộN , ỷq e2b( e-m ) - ( q + q -1 ) eb ( e-m ) + (3.11) 35 H thc (3.11) gi l phõn b thng kờ Bose Einstein bin dng- q Khi tham s bin dng q = thỡ (3.11) tr v phõn b thng kờ Bose Einstein quen thuc 3.3 Dao ng t {q}- Boson Khi thay cỏc s nguyờn cỏc ma trn (1.28), (1.30) bi cỏc {q} s (3.5), chỳng ta thu c cỏc biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh; hu dao ng {q} - boson lng t nh sau: 0 ổ0 ỗ ữ 1}q 0 ữ { ỗ b$ q+ = ỗ ữ; ỗ0 {2}q ữ ỗỗ ữữ ố ứ ổ0 ỗ ỗ b$ q = ỗ ỗ0 ỗỗ ố {1}q 0 {2}q ữ ữ ữ ữ ữ ữứ (3.12) Cỏc ma trn b$ q+ , b$ q tho cỏc h thc sau: {Nà } q { } + = b$ q b$ q+ ;b$ q b$ q+ + qb$ q+ b$ q = q - Nà , = b$ q+ b$ q , N (3.13) q $ q ự = -b$ q , ộ N,b $ q+ ự = b$ q+ ộ b$ q ,b$ q ự = ộ b$ q+ , b$ q+ ự , ộ N,b ỷ ỷ ỷ ỷ i s (3.13) c thc hin khụng gian Fock cú cỏc vộc t c s |n {q} = ( ) b$ q+ n {n}q ! |0 (3.14) Tỏc dng ca cỏc toỏn t b$ q+ , b$ q khụng gian ú l b$ q+ | n {q} = {n + 1}q | n + {q} ; b$ q | n {q} = {n}q | n - {q} (3.15) Vic tớnh tr trung bỡnh ca s cha y hay s cỏc {q} - boson cựng mt trng thỏi cú nng lng e , c thc hin tng t nh trờn, chỳng ta ó thu c kt qu nh sau: 36 { } N q eb( e-m ) - = 2b( e-m ) b e-m e + ( q - q -1 ) e ( ) - (3.16) Khi q = thỡ h thc (3.16) tr v phõn b thng kờ Fermi Dirac, v (3.16) c gi l phõn b thng kờ Fermi Dirac bin dng q 3.4 Xỏc nh ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q Cỏc toỏn t ta q v toỏn t xung p c biu din theo cỏc toỏn t sinh ht, hy ht cú bin dng q nh sau: q = h a q+ + a q ) , ( 2mw p = mhw + ( a q - a q ) H thc giao hoỏn gia p v q l: ] = ih [ p,q {ộở N ựỷ - ộở N + 1ựỷ } q q Toỏn t Hamiltonian cú dng: p mw2 hw H= + q = a q a q+ + a q+a q ) ( 2m 2 = { } hw + 1ự ộ Nự + ộN ỷq ỷq Ta cú tr riờng ca toỏn t Hamiltonian l: En = { } hw [ n ]q + [ n + 1]q (3.17) Trong trng hp q = chỳng ta cú biu thc thụng thng: 1ử ổ E n = ỗ n + ữ hw 2ứ ố H thc (3.17) cho chỳng ta bit ph nng lng ca q- dao ng vi q l s thc q = et (t l thc) cú cỏc c im l 37 + c im 1: Ph nng lng ca dao ng t bin dng q ch cú th nhn cỏc giỏ tr giỏn on + c im 2: Cỏc mc nng lng khụng cỏch u m c gión rng hn s lng t chớnh n tng lờn + c im 3: Nng lng thp nht ca dao ng t bin dng q ng vi n=0, c gi l nng lng khụng Mc khụng ca nng lng E0 = hw > + c im 4: Cỏc mc nng lng ca dao ng t bin dng q khụng suy bin, hay bc suy bin ca cỏc mc nng lng g=1 + c im 5: Trong gii hn q đ ( t đ 0) , t (3.10) chỳng ta thu li c ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh ó bit 3.5 Chng minh dao ng t bin dng q mụ t dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh chng minh dao ng t bin dng q mụ t dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh, chỳng ta biu din ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q (3.17) theo cụng thc sau õy: ửự ộ ổ sh t ỗ n + ữ ỳ hw ố ứỷ En = t sh (3.18) Vi cỏc giỏ tr nh ca tham s bin dng t , cú th khai trin chui Taylor ca q- s [n]q theo cỏc s hng bc ca t2 , v thu c kt qu nh sau: t2 t4 t2 3 (31n - 49n + 21n - 3n ) + [ n ]q = n + (n - n ) + (7n - 10n + 3n ) + 360 15120 Ph nng lng ca dao ng t iu hũa bin dng q cú th vit l: ộổ ự ửổ t2 ổ t6 E n = hw ờỗ n + ữ ỗ1 + ữ - ỗ n + ữ + ỳ ứ ố 24 ứ ố 2ứ ờởố ỳỷ (3.19) 38 Mt khỏc, chỳng ta quan tõm n dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh vi th nng V(x) = V0 + kx + lx + mx + xx + , (3.20) Trong ú, l, m, x l nhng h s nh hn k, cú th kho sỏt th nng ny nh l th nng ca dao ng t iu hũa cng thờm cỏc s hng nhiu lon v chỳng ta o x n v ca h Tớnh toỏn ph nng lng ca dao 2mw ng t phi iu hũa tuyn tớnh bng lý thuyt nhiu lon, chỳng ta thu c kt qu 1 E n = E + (2k + 25m)(n + ) + (6l + 245x)(n + ) + 2 1 + 20m(n + )3 + 70x(n + ) 2 (3.21) ng nht thc cỏc h s cỏc phng trỡnh (3.19) v (3.21), chỳng ta xỏc nh c th nng ca dao ng t iu hũa bin dng q, din t dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh nh sau ổ t2 t V(x) = ỗ + ữ x x , 120 ố ứ (3.22) s hng tip theo s t l vi t4 x10 Vy, ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh cú cỏc mc nng lng cỏch u cũn cỏc mc nng lng ph nng lng ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh khụng cỏch u m c gión rng hn s lng t chớnh n tng lờn 3.6 Tng trng thỏi, ni nng v nhit dung ca h dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh trờn ta ó thu c ph nng lng ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh 39 ộổ ự ửổ t2 ổ t6 E n = hw ờỗ n + ữ ỗ1 + ữ - ỗ n + ữ + ỳ , ứ ố 24 ứ ố 2ứ ỳỷ ởờố ỡùổ ỹù ửổ t t6 ổ 1ử E n = hw ớỗ n + ữ ỗ1 + ữ ỗ n + ữ + ý ứ ố 24 ứ ố 2ứ ùợố ùỵ T ú, chỳng tụi tớnh c tng thng kờ v nng lng trung bỡnh ca 1ử ổ n + ỗ ữ mt dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh theo bc mt ca s hng ố ứ l ỡù hw ổ t2 ỹù exp ỗỗ1 - ữữ ý ợù 2kT ố 24 ứ ỵù , Z= ỡùổ hw ổ t2 ỹù - exp ớỗ ữ ỗỗ1 - ữữ ý ợùố kT ứ ố 24 ứ ỵù hw ổ t2 E= ỗ1 - ữ + ỗố 24 ữứ (3.23) hw ỡù hw ổ t2 ỹù exp ỗ1 - ữ ý - ỗ ữ (3.24) ùợ kT ố 24 ứ ùỵ V ni nng ca h l ổ t2 U = NE = NkTdd ỗ1 - ữ + ỗ 24 ữ ố ứ NkTdd ỡù T ổ t2 ỹù exp dd ỗ1 - ữ ý - ỗ ữ ợù kT ố 24 ứ ỵù (3.25) + Khi nhit ca h T ? Tdd , t (3.25) chỳng ta cú nhn xột l ni nngca h ph thuc tuyn tớnh vo nhit theo biu thc ổ t2 Nk U = NkTdd ỗ1 - ữ + T ỗ ữ ố 24 ứ ổỗ1 - t ửữ ỗ 24 ữ ố ứ (3.26) ổ ảU Vỡ vy nhit dung mol ng tớch CV = ỗ ữ khụng ph thuc vo nhit ả T ố ứV 40 ổ t ửữ U = N E = N kT ỗỗ1 ữ+ ỗố 24 ứữ 2 A A E N kT ửỹ T ổ ùù ỗỗ1 - t ữ ý- ữ kT ỗố 24 ứữùỵ ù A ỡù exp ùớ ùợù E N0k ổ ảU CV = ỗ = const ữ = ả T ổ ố ứV t ỗỗ1 - ữữ ố 24 ứ (3.27) + Khi nhit ca h T = Tdd , ni nng ph thuc vo nhit theo cụng thc sau: U; ỡù T ổ ổ t2 t2 ỹù NkTdd ỗ - ữ + NkTdd exp - dd ỗ1 - ữ ý ỗ 24 ữ ỗ ữ ùợ T ố 24 ứ ùỵ ố ứ (3.28) Vỡ th, nhit dung mol s ph thuc phc vo nhit theo cụng thc ỡù T ổ t2 ỹù CV ; N kTdd exp ớ- dd ỗ1 - ữ ý ỗ ữ T ợù T ố 24 ứ ỵù (3.29) Cỏc kt qu thu c trờn i vi h dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh (bin dng q) s tr v trng hp h dao ng t iu hũa tuyn tớnh thụng s bin dng q đ 1( t đ 0) 3.7 p dng thng kờ Bose Einstein bin dng q nghiờn cu trng thỏi ngng t Bose Einstein Trong h cỏc ht boson ng nht, s ht cựng trng thỏi lng t l tựy ý, nờn Einstein ó tiờn oỏn rng: Khi nhit ca h h thp xung T = thỡ tt c cỏc ht ca h s dn v trng thỏi c bn cú mc nng lng 41 thp nht, v ú h trng thỏi c bit ca vt cht gi l trng thỏi ngng t Bose Einstein Nm 2001 gii Nobel Vt lớ c trao cho ba nh khoa hc Eric A.Corell, Wolfgang Ketterle v Carl E Wieman vỡ ó to c trng thỏi ngng t Bose-Einstein khớ loóng ca cỏc nguyờn t kim v vỡ nhng nghiờn cu c bn v cỏc tớnh cht ca vt cht trng thỏi ngng t Bose-Einstein to c ngng t Bose-Einstein cn phi chn cỏc nguyờn t cú spin l s nguyờn v phi lm lnh chỳng n nhit c gn bng 00 K Trong thc t khụng cú cỏi bỡnh vt cht no cha chỳng nhit thp nh vy Tuy nhiờn, da vo c tớnh l cỏc nguyờn t cú spin thỡ cng cú mụmen t nờn cú th dựng t trng by gi chỳng li Cỏc nguyờn t trng thỏi ngng t Bose-Einstein thng gi l git BEC (Bose-Einstein Condensate) cú nhng tớnh cht, rt c bit Xột v mt súng, cỏc nguyờn t ca git BEC cú cựng bc súng, cựng pha, khụng phõn bit c vi C git BEC nh l mt nguyờn t khng l vi kớch thc v mụ, cú biờn súng l tng cng biờn súng ca tng nguyờn t Nu git BEC ú chy theo mt ng thỡ ú l mt chựm nguyờn t kt hp tng t nh laser l mt chựm photon kt hp Vỡ vy ngi ta thng núi git BEC cú th to laser nguyờn t vi cỏc c tớnh: - Cú tớnh nh hng cao v cng rt mnh - Cú n sc rt cao - Cú kt hp rt cao: Cựng tn s, cựng pha Laser cú nhiu ng dng khoa hc v k thut: Thụng tin liờn lc, y hc, gia cụng vt liu, quang hc phi tuyn, m nhiu trin vng ln, gii quyt c nhiu khú khn m nn k thut trc cú laser cha khc phc c Ta cng d hỡnh dung git BEC ca nhng nguyờn t kt hp s cú nhng ng dng c bit nh th no vỡ photon l ht cú lng 42 ngh bng khụng, cũn nguyờn t l ht cú lng ngh khỏc khụng v tt nhiờn l chu nh hng ca trng trng Nghiờn cu s ngng t BoseEnstein khụng ch thuc phm vi vt lý c bn na m l c s cho cụng ngh chớp nguyờn t, mt cụng ngh phc v i sng th k XXI Chỳng ta bit rng hin tng ngng t Bose-Einstein xy nhit ca h Ê T Ê TC , vi nhit thp nh vy cỏc dao ng t boson khụng cũn l cỏc dao ng t iu hũa m cú th coi nh cỏc dao ng t phi iu hũa, ú h khớ bose tuõn theo phõn b thng kờ Bose - Einstein bin dng q, v gi l h khớ bose bin dng - q Vi ý tng ú, chỳng tụi ó ỏp dng phõn b Bose-Einstein bin dng q cho h khớ bin dng q, v ó thu c biu thc ca nhit ngng t Bose Einstein S ht trung bỡnh cú nng lng khong t e n e + de l: ủ dr(e), dN = ỏ N (3.30) ủ l s ht trung bỡnh trờn mc nng lng e chớnh l Trong ú ỏ N hm phõn b Bose Einstein bin dng - q ủ= ỏN g.[eb ( e-m ) - 1] , e2b( e-m ) - (q + q -1 ).eb ( e-m ) + (3.31) vi g l bi suy bin, bi vỡ cỏc ht cú th cú cỏc nh hng spin khỏc cho nờn s trng thỏi kh d ng vi cựng mt giỏ tr ca spin ca ht l: g = 2s + Cỏc ht boson cha th tớch V cú th xem nh cỏc súng ng De r Broglie Ta cú s súng ng cú chiu di (modun) ca vộc t súng k t k n k + dk l k 2dk dr(k) = V, 2p (3.32) 43 2m3 V dr(e) = ede 2p2 h (3.33) S ht trung bỡnh cú nng lng khong t e n e + de l: 2m3 Vg eb ( e-m ) - e de 2p h3 e 2b ( e-m ) - (q + q -1 ).eb ( e-m ) + dN(e) = Ly tớch phõn khong nng lng t ti Ơ , ta cú tng s ht l: Ơ g(2m) V eb ( e-m ) - N= e de 4p2 h3 ũ0 e 2b ( e-m ) - (q + q -1 )eb ( e-m ) + (3.34) S ht dN(e) khong nng lng t e n e + de phi l mt s dng, vỡ vy th húa hc m phi tha iu kin m Ê Bi vỡ dN(e) t s eb ( e-m ) - ngha l eb ( e-m ) luụn ln hn vi mi giỏ tr ca e Nu s ht N cho trc thỡ (3.31) s cho phộp ta xỏc nh c m, m Ê v cho bit m l hm nghch bin ca nhit , tc l ảm Ê0 ảT Vy nhit h xung thỡ m cú th tng t mt giỏ tr õm n mt giỏ tr ln hn (nhng l õm) v cui cựng m t ti giỏ tr cc i bng nhit Tc no ú Trong khong nhit Ê T Ê TC h khớ Bose trng thỏi ngng t Bose-Einstein, ta hóy xỏc nh nhit Tc bng cỏch thay m = vo biu thc (3.31) N= t x = Ơ g(2m) V 4p2 h3 ũ0 e e 2e kTc e kTc -1 - (q + q -1 )e e kTc e , ú (3.32) c vit li nh sau: kTc e de +1 (3.35) 44 N= Trong ú I q, g(2mkTc ) V I 1, q, 4p h3 (3.36) l mt tớch phõn ph thuc vo tham s bin dng - q Ơ I q, ex - = ũ 2x x dx -1 x e (q + q )e + (3.37) T biu thc (3.36), ta thu c biu thc xỏc nh nhit ngng t Bose- Einstein Tc = p h2 I mkg q, N ( )3 V (3.38) Vy, nhit ngng t khụng nhng ph thuc vo nng vt cht, m cũn ph thuc vo tham s bin dng q thụng qua tớch phõn I q, Vỡ th chỳng ta cú th bin lun tham s bin dng thu c kt qu phự hp vi thc nghim 3.8 Kt lun chng Cỏc kt qu chớnh ca chng ny l: +Trỡnh by cỏc dng q- s, õy l c s toỏn hc ca lớ thuyt bin dng + Kho sỏt h dao ng t [q] - boson v {q] boson, tỡm c biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh, hy; Xõy dng c cỏc thng kờ bin dng tng ng + Thu c biu thc v ph nng lng ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh bng lớ thuyt bin dng T ú tớnh c tng trng thỏi, ni nng v nhit dung ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh +p dng thng kờ Bose Einstein bin dng q nghiờn cu trng thỏi ngng t Bose Einstein, chỳng tụi tỡm c biu thc gii tớch ca nhit 45 chuyn pha Tc ph thuc vo thụng s bin dng q iu ny giỳp chỳng ta cú th bin lun tham s bin dng thu c kt qu phự hp vi thc nghim Cỏc kt qu thu c trng hp bin dng s tr v cỏc trng hp thụng thng tham s bin dng q đ 46 KT LUN ti Mt vi ng dng ca thng kờ Bose Einstein bin dng ó t c mt s kt qu nh sau: - Trỡnh by mt cỏch cú h thng ba phng phỏp xõy dng phõn b thng kờ Bose - Einstein, ú l phng phỏp cỏc ụ Boltzmann, phng phỏp Gibbs v phng phỏp lớ thuyt trng lng t xõy dng phõn b thng kờ Bose-Einstein - Nghiờn cu mt s kt qu thu c ca vt lớ lng t nh sau: Tỡm c ph nng lng ca dao ng t iu hũa tuyn tớnh v rỳt cỏc c im ca ph nng lng ny.Trỡnh by c s vt lý cng nh kt qu tớnh toỏn nhit dung ca mng tinh th theo lớ thuyt Einstein p dng phõn b thng kờ Bose-Einstein nghiờn cu bc x cõn bng v hin tng ngng t Bose-Einstein - Trỡnh by cỏc dng q- s, õy l c s toỏn hc ca lý thuyt bin dng S dng lý thuyt bin dng chỳng tụi ó kho sỏt h dao ng t [q]boson v {q} boson, tỡm c biu din ma trn ca cỏc toỏn t sinh, hy; Xõy dng c cỏc thng kờ bin dng tng ng Thu c biu thc v cỏc c im v ph nng lng ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh bng lớ thuyt bin dng T ú tớnh c tng trng thỏi, ni nng v nhit dung ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh p dng thng kờ Bose Einstein bin dng q nghiờn cu trng thỏi ngng t Bose Einstein, chỳng tụi tỡm c biu thc gii tớch ca nhit ngng t Tc ph thuc vo thụng s bin dng q iu ny giỳp chỳng ta cú th bin lun tham s bin dng thu c kt qu phự hp vi thc nghim Cỏc kt qu thu c trng hp bin dng s tr v cỏc trng hp thụng thng tham s bin dng q đ Cỏc biu thc gii tớch thu c ca ti s dng lớ thuyt bin dng v ph nng lng, tng trng thỏi, ni nng v nhit dung ca dao ng t phi iu hũa tuyn tớnh, cng nh v nhit ngng t Tc ca h khớ bose cú th c phỏt trin tip tc tớnh s v so sỏnh vi thc nghim 47 TI LIU THAM KHO A Ting Vit [1] Nguyn Vn Hiu, Nguyn Bỏ n (2003), C s lý thuyt ca vt lý lng t, Nxb HQG H Ni [2] Nguyn Xuõn Hón (1998), C s lý thuyt trng lng t, Nxb HQG H Ni B Ting anh B Ting Anh [3] A.J Macfarlane (1989), On q analogues of the quantum harmomic oscillator and the quantum groupe SU q(2), J Phys Agen 22, 4581 [4] D.V Duc, N.H Ha, N.N.L Oanh (1993), Conformal anomaly of q deformed Virasoro algebra, Preprint VITP 93 - 10, Ha Noi [5] D.V Duc (1994), Generalized q - deformed oscillators and their statistics, Preprint ENSLAPP - A - 494/94, Annecy France [6] L.C Biedenhar (1989), The quantum group SUq (2) and a q - analoque of the Boson operators, J Phys A: Math Gen 22, 1873 [7] M Chaichian, R Gonzalez Felipe and C Montonen (2004), Statistics of q - Oscillators, quons and relations to fractional Statistics, J Phys Lett B5,187 - 193 [8] Loan N.T.H (1996), Deformed Oscillators and Their Statistics, Communications in Physics, Volume 6, Number [9] Luu Thi Kim Thanh (2009), The Average Energy for the q-Deformed Harmonic Oscillator, Communications in Physics, Volume 19, Number 2, 124 128 [10] Tran Thai Hoa, Luu Thi Kim Thanh, Mai Thi Linh Chi, Luong Khanh Toan (2010),The Applications of Q-Deformed Statistics in Phonomenon of Bose-Einstein Condensation for the Q-Deformed Gases, The 35th national Conference on Theoretical Physics TP H Chớ Minh, 35