Một vài ứng dụng của véc tơ

MỤC LỤC PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN 1 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN A CƠ SỞ LÝ LUẬN B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU C MỤC ĐÍCH D NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Các kiến thức véc tơ mặt phẳng 2.Các kiến thức véc tơ không gian 3.Bổ sung II.CÁC ỨNG DỤNG 1)CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI 2)CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH,GĨC,CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG 10 3)CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC 12 4)CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ 15 PHẦN 6.THÔNG TIN BẢO MẬT 17 PHẦN VII.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 18 PHẦN VIII ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN Đà THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ (NẾU CÓ) 18 PHẦN IX ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CĨ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ 18 PHẦN X ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN 18 PHẦN XI DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU 18 DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Chữ viết tắt Nội dung GD&ĐT Giáo dục đào tạo GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN PHẦN I LỜI GIỚI THIỆU Véc tơ khái niệm mẻ học sinh lớp 10,các nội dung véc tơ phần lớn học sinh khó,rất trừu tượng phức tạp,nên học sinh ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm này.Tuy nhiên q trình giảng dạy mơn tốn, với tìm tòi thân,tơi lại thấy nội dung hay mà giải nhiều toán mà việc giải phương pháp khác vất vả nhiều.Vì tơi viết chuyên đề với mong muốn bạn học sinh có nhìn thiện cảm khái niệm véc tơ, thấy hay đẹp mơn tốn.Đây coi tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi đại học PHẦN II TÊN SÁNG KIẾN “ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ tên: Đường Thị Yến - Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc - Số điện thoại: 0985568523 - Email: yen0985568@gmail.com CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả sáng kiến đồng thời chủ đầu tư sáng kiến kinh nghiệm PHẦN III LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng dạy học véc tơ lớp 10 THPT PHẦN IV NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ Ngày 10 tháng 10 năm 2019 PHẦN V MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN A CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nội dung chương trình tốn THPT - Một số tài liệu tham khảo B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết thực tiễn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm sư phạm C MỤC ĐÍCH : - Làm tài liệu giảng dạy tham khảo - Phát triển hướng tư : phân tích, tổng hợp, sáng tạo,…cho học sinh - Thấy mối liên hệ mật thiết đại số- giải tích với hình học D NỘI DUNG I Lý thuyết: 1) Các kiến thức véctơ mặt phẳng Oxy (SGK HH – 10) 1 định nghĩa 1.1.1 kiến thức cần nhớ a)vectơ ? Véctơ đoạn thẳng có định hướng: Một đầu xác định gốc, đầu Hướng từ gốc đến gọi hướng véctơ Độ dài đoạn thẳng gọi độ dài véctơ b)Vectơ không Định nghĩa: Vectơ không vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng Như vậy, véctơ không, kí hiệu vectơ có: Điểm gốc trùng Độ dài c)Hai vectơ cïng ph­¬ng  Hai vect¬ AB ,  CD  AB // gọi phương, ký hiệu: CD AB// CD A,B,C,D th ẳng hàng d)Hai vectơ hướng, ngược hướng a AB b   CD gäi lµ cïng h­íng , ký hiƯu: CD CD gọi ngược h­íng, ký hiƯu:   CD  Hai vÐct¬ AB , Hai vÐct¬ AB ,  AB  AB // CD  hai tia AB,CD cïng h ­íng   AB // CD  hai tia AB,CD ng ­ỵc h ­íng  e)Hai vect¬ b»ng Hai vÐct¬   AB , CD  AB = gäi lµ b»ng nhau, ký hiƯu:  CD AB  CD    AB  CD 1.1.2 tỉng cđa hai vectơ a)Định nghĩa: Tổng hai vectơ a b véctơ xác định sau:    Tõ mét ®iĨm tïy ý A mặt phẳng dựng vectơ AB = a Từ điểm B dựng vectơ BC = b Khi véctơ AC gọi vectơ tổng hai vectơ a b , ta viÕt    AC = a + b B b a b a ab A C Tõ định nghĩa ta quy tắc ba điểm: AB +  BC =  AC , víi ba ®iĨm A, B, C bÊt k× b)TÝnh chÊt cđa phÐp céng vÐct¬    Víi mäi vÐct¬ a , b vµ c , ta cã:     TÝnh chÊt 1: (TÝnh chÊt giao ho¸n): a + b = b + a       TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt kÕt hỵp): ( a + b ) + c = a + ( b + c )      TÝnh chÊt 3: (Tính chất vectơ không): a + = + a = a c)Quy tắc hình bình hµnh:  AB +  AD =  AC , với ABCD hình bình hành Ta có "Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA +  MB  = " Ta cã "Gäi G trọng tâm ABC thì: GA + GB + GC = ,     MA  MB  MC  3MG, M +  GB +  GC  = " 1.1.3 hiệu hai vectơ a)Hai vectơ đối Hai véctơ AB , CD AB gọi đối nhau, ký hiÖu:  AB  CD  AB  CD =- CD    b)HiƯu cđa hai vectơ Định nghĩa: Hiệu hai véctơ a b , kí hiệu a - b , tổng vectơ a vectơ đối vectơ b , nghĩa là:   a - b = a + (- b ) Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Để dựng vectơ a - b biết vectơ a b ta lÊy ®iĨm A t ý, tõ ®ã dùng   vectơ AB = a AC = b , ®ã CB = a - b B b ab a a C A b Từ cách dựng ta quy tắc hiệu hai vect¬ cïng gèc:    AB - AC = CB , với ba điểm A, B, C c)TÝnh chÊt cđa phÐp trõ vÐct¬       a-b = c  a = b + c 1.1.4 tÝch cđa mét vect¬ víi mét sè  a)Định nghĩa: Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu k a xác định sau: a Vectơ k a phương với vectơ a : Cïng h­íng víi vect¬ a nÕu k   Ngược hướng với vectơ a k b Có độ dài k. a Phép lấy tích vectơ với số gọi phép nhân vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ) Từ định nghĩa ta có kết qu¶:     a = a , (-1) a = - a b)TÝnh chÊt cña phÐp nhân vectơ với số Với véctơ a , b số thực m, n, ta có:   TÝnh chÊt 1: m(n a ) = (mn) a    TÝnh chÊt 2: (m + n) a = m a + n a     TÝnh chÊt 3: m( a + b ) = m a + n b     TÝnh chÊt 4: m a =  a = m = c)điều kiện để hai vectơ phương Định lí (Quan hệ hai vectơ phương): Vectơ b phương với vectơ a chØ tån t¹i sè k cho b = k a Hệ quả: Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng tån t¹i sè k cho   AB = k AC d)Biểu thị vectơ qua hai vectơ không phương Định lí (Phân tích vectơ thành hai vectơ khác không phương): Cho hai vectơ a b khác không phương Với vectơ c tìm cặp số thực m, n nhÊt, cho:    c = ma + nb 1.1.5 Hệ toạ độ a)Vectơ Cho điểm M1(x1; y1), M1(x2; y2) b)Các phép toán Vectơ Nếu có hai vectơ v1 (x1; y1) (i): v1 =  v2   (ii): v1 // v  v (x2;  M1M = (x2-x1; y2-y1) y2) th×: x  x    y1  y2  x1 y1  x y2   (iii): v1 + v = (x1 + x2; y1 + y2)   (iv): v1 - v = (x1-x2; y1-y2)  (v): k v1 (x1; y1) = (kx1; ky1) , k     (vi):  v1 +  v = (x1 + x2; y1 + y2) c)Khoảng cách Khoảng cách d hai điểm M1(x1; y1) M1(x2; y2) độ dài vectơ cho bởi: d = | M1M | = (x1  x )  (y1  y ) d)Chia mét đoạn thẳng theo tỉ số cho trước Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k (tức xác định công thức: x1 kx   x   k   y  y1  ky  1 k  M1M ,   MM1 = k MM ) Đặc biệt k = -1, M trung điểm đoạn thẳng M1M2 , toạ độ M xác định bởi: x1  x   x    y  y1  y  e)Ba điểm thẳng hàng Ba điểm A(x1; y1) , B(x2; y2) C(x3; y3) thẳng hàng khi:   AC // AB x  x1 x  x1  y  y1 y  y1 = 2) Các kiến thức véctơ khơng gian Oxyz.(SGK HH – 12) 2.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT: Trong không gian Oxyz cho:   A  x A ; y A ; z A  , B  x B ; y B ; z B  a   a1;a ;a  , b   b1; b ;b3  Khi đó:  AB   x B  x A ; y B  y A ;z B  z A  AB   xB  xA  2   yB  yA    zB  z A    3) a  b   a1  b1 ;a  b ;a  b3   k.a   ka1;ka ; ka   a  a12  a 22  a 32   a  b  a1  b1 ;a  b ;a  b  a.b  a1.b1  a b  a b        a a a a / /b  a  k.b   a, b      b1 b b    a  b  a.b   a1.b1  a b  a b3     a a a a1 a1 a  10 a, b    ; ;   b b3 b3 b1 b1 b           11) a, b,c đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc hay a, b  c           12) a, b,c không đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc hay a,b  c  13 M chia đoạn AB theo tỉ số    x  kx B y A  ky B z A  kz B  k   MA  kMB  M  A ; ;  1 k 1 k   1 k x A  x B yA  yB zA  zB  ; ;  2   Đặc biệt: M trung điểm AB: M  x A  x B  x C yA  yB  yC z A  z B  z C  ; ;  3   14 G trọng tâm tam giác ABC: G  15 G trọng tâm tứ diện ABCD:  x  x B  x C  x D yA  yB  yC  y D z A  z B  z C  z D  G A ; ;  4      16 Véctơ đơn vị: i  (1;0;0); j  (0;1;0);k  (0;0;1) 17 Điểm trục tọa độ: M(x;0;0)  Ox; N(0; y;0)  Oy;K(0;0;z)  Oz 18 Điểm thuộc mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0)   Oxy  ; N(0; y; z)   Oyz  ; K(x;0;z)   Oxz  19 Diện tích tam giác ABC: SABC     AB, AC      20 Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB, AC  21 Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD      AB, AC  AD      22 Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C 'D ' : VABCD.A ' B ' C ' D '   AB, AD  AA ' 3) Bổ sung số kiến thức: 3.1)Trọng tâm,tâm tỉ cự   a) Định nghĩa 1: Cho hệ điểm A ,A , ,A n n   gọi trọng tâm hệ điểm Điểm G thỏa mãn :  GA  i1 i Định lí : (1) Trọng tâm hệ điểm tồn  n  (2) Nếu G trọng tâm hệ điểm  A ,A , ,A  OG   OA  O n   n i1 i b) Định nghĩa 2: Cho hệ điểm  A ,A , ,A  số  x ,x , ,x  có tổng n n     gọi tâm tỉ cự hệ điểm khác 0.Điểm G thỏa mãn : n x GA =0  i=1 i    A ,A , ,A n    i ứng với số  x ,x , ,x n    Định lí : (1) Tâm tỉ cự hệ điểm tồn (2) Nếu G tâm tỉ cự hệ điểm  A ,A , ,A  ứng với số n     x ,x , ,x n    n  x OA   i 1 i i OG  O n  x i 1 i 3.2) Định lí 1: Với hai vectơ      u,v ta ln có  a ) u v  u  v     b ) u.v  u v 3.3) Định lí 2: a) Ba điểm M,A,B thẳng hàng   O, tồn cặp số thực (x,y) thỏa mãn :    x + y = OM = xOA+ yOB b) Bốn điểm M,A,B,C đồng phẳng   O, tồn số thực (x,y,z) thỏa     mãn : x +y +z =1 OM = xOA + yOB+ zOC II.CÁC ỨNG DỤNG: 1) CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI : Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ phương , ( điều kiện điểm thẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk điểm đồng phẳng),… Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Điểm M cạnh BC cho BC = 3BM, điểm N cạnh AM cho AM = 4AN A Gọi P giao điểm AC BN Tính tỉ số AP:AC BI:BP P N B M C Lời giải :       Đặt BA  a;BM  b AP  xAC Dễ thấy         u  4BN  3a  b ;v  BP  (1 x)a  3xb Hai vectơ phương nên 1.(1-x)=3.3x hay x = 1/10 Tức AP:AC=1:10 Từ BI:BP = 5:6 Chú ý : tốn giải cách dựng hình áp dụng định lí Talets Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một điểm I chạy đoạn AM( khác với A), đường thẳng qua I cắt đoạn thẳng AB,AC N,P( khác A) Chứng minh : BA  CA  AM BN CP AI Lời giải : Đặt x = BA/BN; y = CA/CN; z = AM/AI (x,y,z > 0) Ta có       AB  AC  2AM  x.AN  y.AP  2z.AI     AI  x AN  y AP 2z 2z y x     x  y  2z( đpcm) 2z 2z Chú ý : tốn giải cách dựng hình áp dụng định lí Talets Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Mặt phẳng (P) cắt đoạn SA,SB,SC,SD,SO A’,B’, C’, D’, O’(khác S) Chứng minh : SA  SC  SB  SD SA' SC' SB' SD' Lời giải : Ta đặt x = SA/SA’; y = SB/SB’; z = SC/SC’; t = SD/SD’ Dễ thấy :      SA +SC = SB+SD (= 2SO)      xSA'+zSC'= ySB'+ tSD'     SA'= y SB'- z SC'+ t SD' x x x y z t  - + =1 (1) hay x +z = y+ t (ðpcm) x x x (Vì A’,,B’,C’,D’ đồng phẳng nên ta có (1)) Nhận xét : Dễ thấy SA  SC  SB  SD  4SO SA' SC' SB' SD' SO' Có thể c/m phương pháp hình học thơng thường BÀI TẬP : Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G trọng tâm tam giác ABC, mp(P) cắt đoạn SA,SB, SC, SG A’, B’, C’, G’.Chứng minh : a) SA  SB  SC  SG SA SB' SC'  SG'  b) SO  3OG với O trọng tâm tứ diện SABC Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Điểm C’ trung điểm SC Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD B’, D’ a) Chứng minh : SB  SD  SB' SD' V b) Chứng minh :  S.AB'C' D'  3 V S.ABCD Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’; M,N,P nằm cạnh A’B’, AB, CC’ cho MA'  NB  PC'  MB' NA PC Gọi Q = (MNP)  B’C’ Tính QC' B' C' Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G1,G2 hai tam giác A’BD CB’D’ đông thời AG1=G1G2=G2C’ b) Gọi G trọng tâm tam giác AB’C.Tính BD’/BG c) Gọi P,Q,R điểm đối xứng D’ qua A,B’,C.Chứng minh B trọng tâm tứ diện PQRD’ d) Dựng I,J DB’,AC cho IJ//BC’ Tính ID/IB’ 2) CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GĨC, CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG Thường áp dụng để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hay mặt phẳng,khoảng cách hai đường thẳng chéo Với dạng , học 10 sinh lớp 11 giải cách sử dụng tính chất dựng hình, học sinh lớp 12 dùng phương pháp tọa độ để giải Ở tơi giới thiệu ví dụ minh họa đơn giản để thầy cô em học sinh tham khảo Phương pháp chung thường dùng : (1) Chọn vectơ (không phương mp) vectơ (khơng đồng phẳng KG) có mối quan hệ đặc biệt với làm sở để biểu diễn vectơ khác qua chúng (2) Biểu diễn vectơ khác qua vectơ sở Dùng đk thẳng hàng, đồng phẳng hay vng góc để đưa kết Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M A’C cho MA’=3MC N trung điểm C’D a) Chứng minh : MN//B’D b) Khi hình hộp hình lập phương cạnh a Tính khoảng cách d(A,D’M) , d(A, (CMN)) d(BD,CD’) Lời giải hướng dẫn:       Đặt AB  a;AD  b;AA'  c a)Từ dễ thấy :         BD'  a  b  c ;4MN  a  b  c  MN / /BD' (đpcm) b) Ta có véctơ đơi vng góc độ dài vec tơ a   Dựng AH vng góc với D’M H đặt D' H  x.DM Ta tính          u  4.DM  3a  b  3c; 4.D'H  3xa  xb  3xc ;      v  4.AH  3xa  (4  x)b  (4  3x)c     u  v  u.v   x  16 19 2  d( A,D' M )  AH  a 48 15  19 Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vng góc với (AMN) I Ta có :           CI  xCM  yCM; AI  AC  CI Cho AI  CM; AI  CN  x,y  AI 11     Gọi PQ đoạn vuông góc chung BD CD’: BP  z.BD; CQ  t.CD' Cho PQ vng góc với BD CD’ ta tìm z,t Từ tính PQ BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có G,G’ trọng tâm hai tam giác ABC A’B’C’ Gọi I giao điểm AB’ A’B a) Chứng ming : GI//CG’ b) Cho biết tam giác ABC cạnh a,AA’ = a hình chiếu A’ (ABC) trung điểm BC b1) Tính góc BB’ mặt phẳng (ABC) b2) Tính d(A’B,C’G) Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M N điểm chia hai đoạn thẳng AD’ DB theo tỉ số k khác 0, Chứng minh : MN // (A’BC) 3) CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC M cạnh BC Chứng minh : OA.BC ≤ OB.AC + OC.AB Lời giải :     Đặt BO  x.BC (  x  1).Ta có OC  (1-x)BC        OA  xAC  (1 x )AB  OA  xAC  (1  x )AB Từ suy đpcm Ví dụ 2: Cho góc x,y,z có x+y+z=3600 1800> x,y,z>00 Chứng minh : cosx + cosy + cosz ≥ - Lời giải : Dựng góc AOB, BOC, COA có số đo x,y,z cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, OA=OB=OC=1 Ta có :    (OA  OB  OC)2         OA2  OB2  OC2  2(OA.OB  OB.OC  OA.OC)   cosx  cosy  cosz   12 Nhận xét : Với điểm O tam giác ABC ta ln có : cosAOB + cosBOC + cosCOA ≥ -3/2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A a) Tìm vị trí điểm M AC cho biểu thức P = 2MA2 + MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ b) Tìm vị trí điểm M cho Q= MA + MB + MC nhỏ Lời giải: a)Gọi G trung điểm BC I trung điểm AG Suy :     2.IA  IB  IC  Khi : P = 4.IM2 giá trị nhỏ IM nhỏ hay M hình chiếu I AC Ta tìm M chia đoạn CA theo tỉ số -3 b) Ta có :        MB  MB.AB  MB.AB  ( MA  AB ).AB  MA.AB  AB AB AB AB AB   MC  MA.AC  AC AC Do :    Q  AB  AC  [ 2MA  MA( AB  AC )] AB AC  Q  AB  AC  MA 2(1  cos )  AB  AC Đẳng thức xảy M trùng A Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đơi vng góc Tìm M để P= MA + MB + MC + MD nhỏ Lời giải : Tương tự Ví dụ :       MB  MA.AB  AB;MC  MA.AC  AC ; MD  MA.AD AB AC AD 13      P  AB  AC  AD  MA( AB  AC  AD )  3MA AB AC AD    AB  AC  AD  MAu  3MA   P  AB  AC  AD  3MA(1  cos ); ( MA,u)   )  P  AB  AC  AD Dấu đẳng thức xảy M trùng A Vậy M trùng A Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC có SA=a, SB=b, SC=c; Mặt phẳng (P) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC D, E, F Tìm giá trị nhỏ : Q=   SD2 SE SF Lời giải : Ta có :      GA  GB  GC  GD          SG  ( SA  SB  SC )  ( SA SD  SB SE  SC SF ) 4 SD SE SF Vì G,D,E,F đồng phẳng nên SA/SD + SB/SE + SC/SF = Áp BĐT Bunhiacopxki ta có : 42 = (SA/SD + SB/SE + SC/SF)2 ≤ (SA2 + SB2 + SC2)(1/SD2 + 1/SE2 + 1/SF2) Do : Q ≥ 16/(a2 + b2 + c2) Đẳng thức xảy (P)//(ABC) Ví dụ 6: Cho tứ diện A1A2A3A4 có trọng tâm G Các đường thẳng GAi (1=1,…,4) căt mặt đối diện Bi Chứng minh :  A B MA   a i 31 i i1 i i ( độ dài cạnh) với điểm M Lời giải :      4 Ta có : MA GA  MA GA  ( MG  GA ).GA  MA GA  GAi2  i i     i i i i i i i1 i1 i1 i1 Mà GAi = 3AiBi/4 Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta tính :  GA2   a i1 i i1 i Từ ta suy đpcm Đẳng thức xảy M trùng G 14 BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh : a) sin A  sin B  sin C  2 2 b) p2≥ 16 Rr – 5r2 c) MA+MB+MC  3R (với điểm M tam giác ABC đều.) Bài 2: Cho tứ diện A1B1C1D1, M điểm tùy ý tứ diện Chứng minh : MA  S i R i1 i Trong Si diện tích mặt đối diện với Ai; R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài 3: Cho tứ diện ABCD.Tìm M để P = MA + MB + MC + MD nhỏ Bài 4: Tìm tam giác ABC để tỉ số P R lớn Bài 5: Cho điểm A thuộc mặt cầu (O;R) Xét tứ diện ABCD nội tiếp (O;R) gọi G tâm tứ diện Tìm vị trí G cho AB2 + AC2+AD2BC2 – CD2 – DB2 đạt giá trị nhỏ Bài 6: Trong tất tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R = , tìm tứ diện có diện tích tồn phần lớn 4) CÁC BÀI TỐN VỀ BĐT ĐẠI SỐ Dấu hiệu dùng phương pháp vectơ: Chứa biểu thức có dạng độ dài vectơ tích vơ hướng hai vectơ Ví dụ 1: Chứng minh : x2  y2 z2  t  xy  zt Lời giải:       Xét hai vectơ u( x; y ) , v(z;t)  u v  u.v  ðpcm Ví dụ 2: Cho số dương x,y,z thỏa mãn : x + y + z ≤ Chứng minh : x2   y2   z   82 x2 y2 z2 15 Lời giải:    Xét vectơ : u( x; );v( y; );w( z; ) x  Ta có :    y  z  uvw  u  v  w  x2   y2   z   ( x  y  z )2  (   )2 x y z x2 y2 z2 Dễ thấy : 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x+y+z) Từ (x+y+z)2 + (1/x +1/y +1/z)2 ≥ (x+y+z)2 + 81/(x+y+z)2 Khi dễ dàng suy đpcm Nhận xét : Bài tốn giải phương pháp dùng BĐT Cơsi Ví dụ 3: Cho số thực a,b,c,d Chứng minh sáu số sau ac+bd, a2+b2+a-b, ac+bd+a-b, ac+bd+c-d, c2 + d2 +c – d, ac+bd+a+c-b-d+2 có số khơng âm Lời giải: Ta thấy : a2+b2+a-b = a(a+1) +b(b-1) ac+bd+a-b=a(c+1) + b(d-1) ac+bd+c-d = c(a+1) + d(b-1) c2 + d2 +c – d= c(c+1) +d(d-1) ac+bd+a+c-b-d+2=(a+1)(c+1) +(b-1)(d-1) Ta xét điểm sau mặt phẳng Oxy : A(a;b), B(c;d), C(a+1;b-1), D(c+1;d1) 1) Nếu có điểm trùng gốc O hiển nhiên toán chứng minh 2) Nếu điểm khơng trùng gốc O vectơ     OA(a;b);OB(c;d);OC(a 1;b 1);OD(c 1;d 1) có vectơ tạo với góc khơng tù  , tích vơ hướng hai vectơ khơng âm Mà tích vơ hướng hai vectơ vectơ có giá trị sáu giá trị nêu Do tốn chứng minh Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x  x 1  x  x 1  m(1) có nghiệm thực 16 Lời giải : Xét hàm f(x) = VT(1) Khi f(x) liên tục R lim f(x)  ; x f(x)  (x  )2  ( )2  (-x  )2  ( )2 2 2       Ta xét u(x  ; ); v( x  ; )  u  v  u  v  f(x)  x  R 2 2 Mà f(0) = nên minf(x) = Do (1) có nghiệm m ≥2 BÀI TẬP : Bài 1: Chứng minh : a  ab  b2  a  ac  c2  b2  bc  c2 a,b,c  R Bài 2: Cho a,b,c dương ab + bc +ca = abc Chứng minh : b2  2a  c2  2b2  a  2c2  ca ab bc Bài 3: Chứng minh : 4cos2xcos2 y  sin (x  y)  4sin 2xsin y  sin (x  y)  x,y  R E MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀO GIẢNG DẠY vài số liệu cụ thể giá trị lợi ích áp dụng sáng kiến: Kết sát hạch lớp 10C,10H trước áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS 10C 48 13% 77% 8% 2% 0% 10H 47 9% 50% 32% 9% 0% Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tiến hành kiểm tra, sát hạch lại, kết đạt khả quan Cụ thể sau: Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS 10C 48 45% 51% 4% 0% 0% 10H 47 30% 56% 14% 0% 0% PHẦN IV: THÔNG TIN BẢO MẬT: Khơng có thơng tin bảo mật 17 PHẦN VII:CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến áp dụng giảng dạy lớp 10c,10h,10l,tại trường THPT N LẠC.Ngồi sáng kiến áp dụng cho tất trường THPT nước PHẦN VIII: ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN Đà THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Sáng kiến đem lại hứng thú cho học sinh phần tốn véc tơ,đem lại niềm u thích phần hình học khó này.Do đem lại hiệu cao giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia ôn thi HSG PHẦN IX:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Qua chuyên đề này,tơi giúp cho học sinh tìm hiểu sâu ,chi tiết ứng dụng véc tơ giải tốn,đồng thời tơi phân loại chi tiết ứng dụng véc tơ giải loại toán cụ thể,học sinh hứng thú với phân loại này.Sáng kiến đem lại tích cực việc học toán dễ dàng tiếp thu phần kiến thức véc tơ PHẦN X:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN +Nhà trường trí ủng hộ cho việc triển khai đề tài +Tổ chuyên môn đánh giá cao áp dụng làm tư liệu dạy học PHẦN XI:DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số TT Tên tổ chức/cá nhân Lớp 10C Lớp 10H Lớp 10L Địa Trường THPT YÊN LẠC Trường THPT YÊN LẠC Trường THPT YÊN LẠC Phạm vi lĩnh vực áp dụng sáng kiến Mơn tốn THPT N LẠC Mơn tốn THPT N LẠC Mơn tốn THPT N LẠC N LẠC,ngày 12 tháng năm 2020 YÊN LẠC,ngày 12 tháng năm 2020 Hiệu trưởng Tác giả sáng kiến (kí tên, đóng dấu) (kí ,ghi rõ họ tên) Đường Thị Yến 18 ... ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Qua chuyên đề này,tôi giúp cho học sinh tìm hiểu sâu ,chi tiết ứng dụng véc tơ giải tốn,đồng thời tơi phân loại chi tiết ứng dụng véc tơ giải loại... hai véctơ a b , kÝ hiƯu a - b , lµ tỉng cđa vectơ a vectơ đối vectơ b , nghÜa lµ:     a - b = a + (- b ) PhÐp lÊy hiƯu cđa hai vectơ gọi phép trừ vectơ Để dựng vectơ a - b biết vectơ... vectơ a)Định nghĩa: Tổng hai vectơ a b véctơ xác định sau: Từ điểm tùy ý A mặt phẳng dựng vectơ AB = a    Tõ ®iĨm B dùng vect¬ BC = b     Khi véctơ AC gọi vectơ tổng hai vectơ