Áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI VĂN THIỆN ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI, 2009 Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI VĂN THIỆN ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 07 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS. LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2009 Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Người đã đặt nền móng cho bản luận văn và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này, cô luôn động viên tôi trong học tập và trong công tác nghiên cứu khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học và Khoa Vật Lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Bùi Văn Thiện LỜI CAM ĐOAN Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 4 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác. Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Bùi Văn Thiện MỤC LỤC Trang Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 5 Mở đầu 1 Nội dung 3 Chương 1: Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường. 3 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính. 3 1.2. Các toán tử sinh hủy Boson . 10 1.3. Xây dựng Thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử. 13 Kết luận chương 1 16 Chương 2: Các áp dụng Thống kê Bose – Einstein. 17 2.1. Khí Boson lý tưởng. 17 2.2. Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein. 18 2.2.1. Ứng dụng trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein giải thích các hiện tượng vật lý. 24 2.2.2. Trạng thái kết hợp. 27 2.3. Phương trình trạng thái. 28 Kết luận chương 2 31 Chương 3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 32 3.1. Lý thuyết q- số. 32 3.2. Thống kê Bose – Einstein biến dạng q. 36 3.3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 38 3.4. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q vào phương trình trạng thái. 44 Kết luận chương 3 57 Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 6 Kết luận chung 58 Danh mục các công trình đã được công bố 59 Tài liệu tham khảo 60 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Căn cứ vào số lượng tử spin, các hạt vi mô được chia thành hai loại: Các Boson có Spin nguyên và các Fermion có Spin bán nguyên. Điều khác Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 7 biệt giữa các Boson và Fermion là ở chỗ: Các Fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli, nghĩa là trong hệ nhiều Fermion đồng nhất không thể có quá một hạt ở trong cùng một trạng thái, hay nói cách khác mỗi trạng thái của hệ chỉ có thể bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một Fermion mà thôi. Còn đối với hệ nhiều Boson đồng nhất, mỗi trạng thái của hệ có thể bị chiếm bởi bao nhiêu Boson cũng được. Đầu thế kỉ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose – Einstein trên cơ sở đặc điểm của hệ Boson là số các hạt đồng nhất ở trong cùng một trạng thái có thể tùy ý. Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. Kể từ đó tiên đoán của Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy…và thu hút được rất nhiều nhà vật lý trên thế giới quan tâm. Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra được trạng thái ngưng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel. Phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học. Với sự hấp dẫn của vấn đề này cho nên tôi chọn đề tài “Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein”. Trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein thường xảy ra ở nhiệt độ thấp khi đó các hạt Boson đã bị biến dạng, vì vậy tôi muốn áp dụng quan điểm của dao động tử điều hòa biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ. 2. Mục đích nghiên cứu. - Xây dựng hàm phân bố Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng. Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 8 - Áp dụng hàm phân bố Bose – Einstein để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức nhiệt độ ngưng tụ phụ thuộc vào thông số biến dạng q. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Chương 1. Xây dựng thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử. Chương 2. Các áp dụng Thống kê Bose – Einstein. Chương 3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Các hạt có Spin nguyên – các hạt Boson. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp của vật lý lý thuyết. Phương pháp toán giải tích. Phương pháp của lý thuyết trường lượng tử. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài: Đề tài sau khi hoàn thành sẽ: - Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng. - Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein, tìm được biểu thức giải tích của nhiệt độ ngưng tụ phụ thuộc vào thông số biến dạng, góp phần định hướng cho thực nghiệm nghiên cứu thêm sự ảnh hưởng của thông số dạng q lên các đặc tính của các hạt Boson. NỘI DUNG Chương 1 Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 9 XÂY DỰNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính. Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f kx  dọc theo một đường thẳng nào đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]:   2 2 2 ˆ 2 2 x p m H x m    (1.1) Trong đó: ˆ ˆ x q x  là toán tử tọa độ. ˆ ˆ x d p p i dx     là toán tử xung lượng. Hệ thức giao hoán giữa ˆ p và ˆ q : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ , ] p q pq qp  ( ) d d i x x i dx dx      d d i x i x dx dx     ˆ ˆ [ , ] ( ) d d p q i x i x dx dx        i     ˆ ˆ [ , ] p q i    . (1.2) Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo ˆ p và ˆ q như sau:   2 2 2 ˆ 2 2 p m H q m    . (1.3) Ta đặt: ˆ ˆ ˆ ( ) 2 m p i a a      ˆ ˆ ˆ ( ) 2 q a a m      Bùi Văn Thiện Luận Văn Tốt Nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR 10 Khi đó ta biểu diễn ˆ H theo ˆ a và ˆ a  như sau:   2 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 p m m m H q i a a a a m m m                    2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ [( ) ( ) ] 2 2 a a a a          1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [( )( ) ( )( )] 2 2 a a a a a a a a              1 ˆ ˆ ˆ ˆ (2 2 ) 2 2 aa a a        ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 aa a a       . (1.4) Ta biểu diễn các toán ˆ a và ˆ a  ngược lại qua ˆ p và ˆ q : ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 2 m p p i a a a a ip m m i                ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 2 2 q m q a a a a q m m               Từ đó ta thu được: ˆ ˆ ˆ ( ) 2 m p a q i m      (1.5) ˆ ˆ ˆ ( ) 2 m p a q i m       . (1.6) Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆ a và ˆ a  thỏa mãn hệ thức giao hoán: ˆ ˆ [ , ] 1 a a   (1.7) Thật vậy: [...]... nghệ phục vụ đời sống thế kỉ XXI 2.2.2 Trạng thái kết hợp Về mặt lý thuyết để nghiên cứu tính chất của trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein người ta xây dựng hàm sóng mô tả trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein của vật chất gọi là trạng thái kết hợp [1], [2], [5] Không giống như trạng thái Fock trong biểu diễn số hạt, trong đó hạt thì xác định còn pha thì tùy ý Trạng thái kết hợp có pha dao động nhỏ nhưng... siêu chảy cho phép đi sâu nghiên cứu những quá trình xảy ra bên trong vật chất khi nó ở Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR Bùi Văn Thiện 32 Luận Văn Tốt Nghiệp trạng thái có năng lượng thấp nhất và có trật tự ngưng tụ Bose – Einstein trong khí loãng của các nguyên tử kiềm và vì những nghiên cứu cơ bản và các tính chất của ngưng tụ Để tạo được trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein cần phải chọn... toán cho các chương sau Xây dựng được hàm phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử, với hàm phân bố đã xây dựng được ta áp dụng vào nghiên cứu một số hiện tượng vật lý sẽ được trình bày trong chương 2 Chương 2 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR Bùi Văn Thiện 23 Luận Văn Tốt Nghiệp CÁC ÁP DỤNG THỐNG KÊ BOSE – EINSTEIN 2.1 Khí Boson lý tưởng Khí Boson lý tưởng... lượng  vào trạng thái | 0 Trạng thái tiếp theo | 2 ứng với năng lượng E1    Eo  2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái |1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái | 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là Eo thì có thể coi trạng thái | 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy | 0 được gọi là trạng thái chân không,... Học K11 - VLCR Bùi Văn Thiện 30 Luận Văn Tốt Nghiệp 2.2.1 Ứng dụng trạng thái ngưng tụ Bose – Einsten giải thích các hiện tượng vật lý Cho đến nay điều tiên đoán trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein đã được ứng dụng để giải thích nhiều hiện tượng vật lý [7], [10], [11] 2.2.1.1 Hiện tượng siêu dẫn Vào năm 1911 nhà vật lý người Hà Lan Kammerlingh Ones đã phát hiện ra điện trở suất của thủy ngân biến mất... trạng thái có năng lượng thấp nhất được xác định bởi công thức (2.13), nghĩa là các hạt đó nằm ở một pha khác mà người ta gọi là pha ngưng tụ Bose – Einstein đây là một trạng thái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã dự đoán có thể xảy ra Khi T=0K thì tất cả các hạt đều có năng lượng   0 Việc tính toán được nhiệt độ ngưng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt đó tất cả các chất đều ở trạng thái rắn hoặc trạng. .. (1.14) Hệ thức trên có ý nghĩa là: ˆ Véc tơ trạng thái a | n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng (n  1) ˆ ˆ Tương tự như vậy a 2 | n; a 3 | n …cũng là véc tơ trạng thái của ˆ toán tử N ứng với trị riêng (n  2), (n  3) … ˆ Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái a  | n , tác dụng lên véc tơ trạng thái ˆ này toán tử N , sử dụng công thức (1.11) ta có: ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Na... trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng thái khí Trong He24 lỏng ở nhiệt độ 2,8K người ta đã quan sát được một sự biến đổi trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem như là sự ngưng tụ Boson Ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ 2,8K Hêli lỏng gồm hai thành phần: Thành phần bình thường mà ta có thể xem như một chất khí Boson còn chưa ngưng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem như một chất khí Boson ngưng. ..  P' , Q'    i   2     - Trong trạng thái kết hợp, biểu thức về phương sai của tọa độ và xung lượng là:   ˆ  Q ' 2   ˆ    P ' 2   1 và 4 2 ˆ ˆ  Q   P  ' ' 2  1 16 Vậy ta thấy rằng trong trạng thái kết hợp thì hệ thức bất định Heisengberg đạt giá trị cực tiểu - Số hạt trung bình trong trạng thái kết hợp có giá trị kì vọng của toán tử số hạt là:  N   2 (2.14) - Phương...  ) ]2 [e  (   ) -1 ]2 ˆ   (   )  N   (   )  (   ) e e e -1  (   )  (   ) [e -1 ] [e -1 ] ˆ Vậy:  N   1 e  (   ) -1 1    e k T (1.34) -1 Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng  được gọi là phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson Kết luận chương 1: Trường ĐHSP Hà Nội 2 Lớp Cao Học K11 - VLCR Bùi Văn Thiện . 3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 32 3.1. Lý thuyết q- số. 32 3.2. Thống kê Bose – Einstein biến dạng q. 36 3.3. Áp dụng thống. 3.3. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein. 38 3.4. Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q vào phương trình trạng thái. 44 Kết luận. sẽ: - Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose – Einstein trong trường hợp biến dạng. - Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng để nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein,