Thống kê lượng tử và áp dụng thống kê Fermin - Dirac biến dạng q nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do

Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống kê lượng tử biến dạng –q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.. 2.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q b

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG ĐẠI PHƯƠNG

THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG THỐNG KÊ FERMI-DIRAC BIẾN DẠNG q NGHIÊN CỨU TÍNH

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã đặt nền móng và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành bài luận văn này Cô luôn động viên, khích lệ

để tôi vượt qua khó khăn, vươn lên trong cuộc sống đặc biệt trong học tập và công tác nghiên cứu khoa học Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý, Phòng Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2; Khoa Cơ Bản, Trường Sỹ Quan Tăng Thiết Giáp - Bộ Tư Lệnh Tăng Thiết Giáp; Phòng Quản Lý Học Viên, Đoàn 871 - Bộ Quốc Phòng đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành chương trình học và bài luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn

Hà nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không hề trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác

Hà nội, tháng 09 năm 2009

Tác giả

Dương Đại Phương

MỤC LỤC

1.1 Phân bố chính tắc Gibbs lượng tử

1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy

1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman

1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

Chương 2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống kê lượng tử biến dạng –q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương

pháp lý thuyết trường lượng tử

2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa

2.1.2 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

2.1.3 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

2.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng

phương pháp lý thuyết trường lượng tử

2.2.1 Lý thuyết về q-số

2.2.2 Dao động tử điều hòa biến dạng q, biến dạng

q của dao động Fermion

2.2.3 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein biến dạng q 2.2.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q

Chương 3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do

3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại

3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại 3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại Kết luận

Tài liệu tham khảo

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học phát triển cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, những ứng dụng của nó đã đạt được nhiều thành tựu vĩ đại trong mọi hoạt động đời sống xã hội Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển Newton ra đời đã trở thành môn khoa học cơ bản, thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Maxwell

và Faraday đã có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học kỹ thuật, thế kỷ

XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất người ta đã thấy rằng các quy luật được tìm thấy trong vật lý học cổ điển hơn nữa mà ở đây còn xuất hiện quy luật mới đó là quy luật thống kê Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý học hiện đại nghiên cứu các tính chất của hệ lượng tử bằng các phương pháp của vật lý lý thuyết

Trong vật lý lý thuyết cũng như trong vật lý chất rắn, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và một kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết chẳng hạn như phương pháp nhiễu loạn Tuy nhiên, nhiều hiện tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được bằng phương pháp này như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương pháp mới phù hợp đảm bảo được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng

Khoảng hai thập kỷ gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết, đặc biệt các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như: Thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn…Khi áp dụng đại số biến dạng vào vật lý thống kê, chúng ta rất thuận lợi trong nghiên cứu dao động tử điều hoà biến dạng, hơn nữa lý thuyết này còn rất thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến hệ các hạt đồng

“ Thống kê lượng tử và áp dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do” làm nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình

- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu độ cảm từ của khí điện tử tự

do

- So sánh kết quả tính toán lý thuyết thu được với kết quả thực nghiệm và rút ra kết luận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng

tử để xây dựng các phân bố thống kê lượng tử

- Áp dụng thống kê Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử

tự do trong kim loại

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng

- Các phân bố thống kê lượng tử

- Hệ khí Fermion và thống kê Fermi-Dirac

- Độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại

b phạm vi nghiên cứu

Khí điện tử tự do trong kim loại

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp vật lý lý thuyết

- Phương pháp toán lý

6 Nội dung

Chương 1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp Gibbs

1.1 Phân bố chính tắc Gibbs lượng tử

1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy

1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman

1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

Chương 2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống

kê lượng tử biến dạng –q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa

2.1.2 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

2.1.3 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

2.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

3.1.1 Khái niệm và các đại lượng đặc trưng cho vật liệu từ

3.1.2 Phân loại các vật liệu từ

3.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu

tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại

3.2.1 Khảo sát khí điện tử tự do trong kim loại

3.2.2 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại 3.3 Áp dụng phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac biến dạng q nghiên cứu tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại

7 Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài

- Xây dựng được lý thuyết q-số, lý thuyết biến dạng q của dao động Boson và Fermion cho hệ các hạt đồng nhất

- Xây dựng được hai định luật phân bố thống kê lượng tử: Einstein và Fermi-Dirac trong trường hợp có biến dạng

Bose Xác định được độ cảm từ của khí điện tử tự do trong kim loại trong trường hợp có biến dạng

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 XÂY DỰNG CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BẰNG

PHƯƠNG PHÁP GIBBS 1.1 Phân bố chính tắc gibbs lượng tử

Các hạt của thế giới vi mô ( hạt lượng tử ) như electron, photon tuân theo các định luật của cơ học lượng tử Những hệ được cấu thành bởi các hạt lượng tử như hệ các electron trong kim loại, hệ khí photon được gọi là hệ lượng tử

Đối với hệ đẳng nhiệt có các mức năng lượng hoàn toàn không suy biến thì phân bố chính tắc lượng tử là

Trong đó gk là độ suy biến

Nói chung, số hạt trong hệ không phải là bất biến cho nên thay thế cho phân

bố chính tắc lượng tử ta dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng:





  là thế nhiệt động lớn

µ là thế hóa học

1.2 Giá trị trung bình của số chứa đầy.

Do tính đồng nhất như nhau của các hạt vi mô và tính đối xứng của hàm sóng Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

Ek

0

l l l

l k

n n

n n

n n

n n

1.3 Phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman

Trong phân bố thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman các số chứa đầy có thể có trị số bất kỳ và có độ suy biến

exp

!

n l

Ta có

Ω = −θlnZ = −θln

0

exp exp l l l

1.4 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

Đối với hệ hạt boson, số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất

exp l l n



 =  (1.25) 1.5 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

Đối với hệ hạt fermion, theo nguyên lí pauli số hạt trung bình trên một mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1 (nl1) và G(n0, n1 ) = 1

Ta có tổng trạng thái

n l

Bằng phương pháp Gibbs ta đã xây dựng các phân bố thống kê lượng tử: Thống kê lượng tử Maxwell-Boltzman; Thống kê lượng tử Bose-Einstein; Thống kê lượng tử Fermi-Dirac

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ CÁC PHÂN

BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ BIẾN DẠNG q BẰNG PHƯƠNG PHÁP

LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 2.1 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

2.1.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = −kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng:



2

2

x p m

2

m x



Trong đó x q x là toán tử tọa độ và p x i d

dx

   là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa p và q

 ,

p q

  pq q p  d

i dx

Biểu diễn  theo a và a

Các toán tử a và a

có thể được biểu diễn ngược lại qua p và q như sau:

a n Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử  và sử dụng công thức (2.13)

Xét véc tơ trạng thái a n

ta tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử  và

Tương tự ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng a2 n a,3 n cũng là các véc tơ riêng của toán tử  ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)

Mặt khác theo định nghĩa cuả nmin:  nmin nmin nmin (2.21) Kết hợp hai phương trinh (2.20) và (2.21) ta đi đến kết luận sau:

được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng     2 1     0 2 

có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái

0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là 0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử, , n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử  có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên trạng thái n cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n – 1) và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử a

khi tác dụng lên trạng thái n cho ta một trạng thái tỉ lệ với (n + 1) và do đó được đoán nhận

là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử  sẽ là toán tử số hạt, toán tử a sẽ là toán tử hủy hạt, còn toán tử a

sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái n với năng lượng

   sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó chính là biểu diễn số hạt của dao động

tử điều hòa Trong cơ học tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  Khái niệm hạt đưa vào ở đây để diễn đạt, thực ra đó là các “giả hạt”

Như đã lập luận ở trên toán tử a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và toán tử a

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1

n

n n n

Vậy ta thiết lập được các công thức sau:

và μ, đó là:

 

 

0 0

Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào

Vì các toán tử sinh hạt thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.35) nên

các boson và đối với các boson toán tử số hạt  = a a   trong một trạng thái ν

có thể nhận bất cứ giá trị nguyên không âm nào phù hợp hoàn toàn với hiện tượng ngưng tụ bose-Einstein

Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a

, hủy Boson a và toán

    (2.41) Vậy ta có

  lên véc tơ trạng thái 

diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trưng bởi số lượng tử ν

b b     b    b      (2.44) Mặt khác tác dụng toán tử b b , 



  lên véc tơ trạng thái  ta lại có

0

Từ (2.44), (2.45) ta suy ra các hệ thức phản giao hoán sau đây đối với các toán

tử sinh hạt, hủy hạt fermion

Và đó là phản giao hoán tử của hai toán tử   ,

Từ các hệ thức phản giao hoán (2.52) ta có thể chứng minh được nguyên lý loại trừ pauli như sau:

Toán tử số hạt trong trạng thái ν là  b b 

Tóm lại, trong tự nhiên một loại hạt nào đó tuân theo phân bố thống kê Bose-Einstein hay Fermi-Dirac là phụ thuộc hoàn toàn vào chính bản thân bên trong của loại hạt đó Với các hạt sơ cấp, trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử trên cơ sở nguyên lí tương đối Einstein đã chứng minh được rằng các hạt có spin nguyên (như photon, π-mezon, k-mezon ) phải tuân theo thống kê Bose-Einstein và được gọi là các boson Các hạt boson đồng nhất có hàm sóng hoàn toàn đối xứng với phép hoán vị bất kỳ cặp hạt nào, có thể ở trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein, mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được Các toán tử sinh, hủy boson thỏa mãn các hệ thức giao hoán (2.35) Còn các hạt có spin bán nguyên (như điện tử, proton, neutron, neutrino ) phải tuân theo phân bố thống kê Fermi-Dirac và được gọi

là các hạt fermion Các hạt fermion đồng nhất có hàm sóng hoàn toàn phản đối xứng với phép hoán vị bất kỳ cặp hạt nào, tuân theo nguyên lý loại trừ pauli, các toán tử sinh, hủy fermion thỏa mãn hệ thức phản giao hoán (2.52) 2.1.2 Phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein

Để xác định phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F là:

ε : là năng lượng của một dao động tử

: là tổng trạng thái xác định tính chất nhiệt động của hệ và có dạng:

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

ε còn gọi là phân bố thống kê lượng tử Bose-Einstein cho hệ đồng nhất các hạt boson

2.1.3 Phân bố thống kê lượng tử Fermi-Dirac

* Chúng ta đi tính số hạt trung bình trên một mức năng lượng

Đối với các hạt fermion thì

Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất ε = 0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi

Đáng chú ý là phân bố của các điện tử tại các nhiệt độ thường gặp trên thực tế không sai khác bao nhiêu so với phân bố của chúng ở 00K, lý do là vì đối với kim loại thì tại các nhiệt độ thông thường bao giờ ta cũng có:

KT << εF Thật vậy, ta thường có εF = 1,5eV ÷ 15eV đối với các kim loại, còn KT = 0,03eV tại các nhiệt độ thông thường, do đó KT ~ εF chỉ khi