Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng và ứng dụng (LV00397)

Điều đó có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS TS Lưu Thị Kim Thanh cô đã tận tình hướng dẫn tôi về phương pháp nghiên cứu khoa học và nội dung của luận văn này Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với Cô

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này

luận văn thạc sĩ vật lí

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS lưu thị kim thanh

Hà Nội, 2010

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không hề trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác

đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất Khi đó người ta nhận thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển

Trong cơ học lượng tử cũng như lý thuyết trường lượng tử, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật

lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như

sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái

Điều đó có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn

mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ

được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại

số biến dạng

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống

kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử và đại số lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức dao động tử

điều hòa biến dạng và ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng

Xuất phát từ vấn đề nêu trên , tôi lựa chọn đề tài “ Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng và ứng dụng ” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu:

- Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng, tìm được hệ thức nhiệt dung CV phụ thuộc vào tham số biến dạng

- ứng dụng các phân bố thống kê lượng tử biến dạng xác định nhiệt dung mạng tinh thể biến dạng q, nhiệt dung của electron biến dạng q

3 Đối tượng nghiên cứu

Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

1.1 Hệ lượng tử và các tính chất của chúng

1.1.1 Hệ lượng tử

1.1.2 Tính chất 1.2 Các phân bố thống kê lượng tử

1.2.1 Phân bố chính tắc lượng tử 1.2.2 Phân bố chính tắc lớn lượng tử

1.2.2.1 Phân bố chính tắc lớn lượng tử 1.2.2.2 áp dụng phân bố chính tắc lớn lượng tử 1.2.2.2.1 Thống kê Bose- Einstein

1.2.2.2.2 Thống kê Fermi-Dirac 1.2.2.2.3 Thống kê Maxwell- Boltzmann 1.3 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

1.3.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

1.3.2 Các toán tử sinh, hủy Boson

1.3.3 Xây dựng thống kê Boson - Einstein bằng phương pháp lý

thuyết trường lượng tử

1.3.4 Phân bố thống kê lượng tử Fermi – Dirac

1.4 Kết luận chương 1

Chương 2: Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng

2.1 Dao động tử điều hòa biến dạng – q

2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng - q

2.1.2 Dao động Fermion biến dạng - q:

2.2 Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q

2.3 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q

2.4 Kết luận chương 2:

Chương 3: Một số ứng dụng của phân bố thống kê lượng tử

3.1 Nhiệt dung của mạng tinh thể khi áp dụng lý thuyết biến dạng q

3.1.1 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein 3.1.2 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể của Debye 3.1.3 Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm của hình thức luận dao

động tử điều hòa biến dạng - q

3.2 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng – q

- Xác định các phân bố thống kê lượng tử biến dạng

- áp dụng các thống kê lượng tử biến dạng nghiên cứu nhiệt dung của mạng tinh thể và của khí điện tử tự do trong kim loại

B NộI DUNG Chương 1 Xây dựng phân bố thống kê lượng tử bằng

phương pháp lý thuyết trường lượng tử

1.1 Hệ lượng tử và các tính chất của chúng

1.1.1 Hệ lượng tử

Hệ lượng tử là một hệ cấu thành bởi các hạt lượng tử

- Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử

- Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không giải thích được nếu dựa vào quan điểm cổ điển

1.1.2 Tính chất

- Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt

Do có đặc tính sóng và hạt nên một hạt vi mô bất kỳ không có toạ độ xác định tuyệt đối chính xác, nó bị “nhoè đi” trong không gian Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt đồng nhất tồn tại trong miền không gian nhất định thì

ta không thể phân biệt chúng đối với nhau, vì ta không theo dõi chuyển động

được của mỗi hạt Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượng tử

- Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính gián đoạn

Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượng vật lý, ta gán cho mỗi đại lượng vật lý một toán tử tương ứng nhất định Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý được biểu diễn bằng các toán tử và các trị số của chúng được xác định như là các trị riêng của các toán tử

- Để diễn tả các tính chất của các đối tượng vi mô, ngoài các tính chất

và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô một cách cổ điển như khối

lượng, điện tích ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới, thuần tuý

“lượng tử” Đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lý Pauli” 1.2 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp Gibbs

Để tìm được các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng ba phương pháp:

k K

k

E Z

lnZ Z

.exp

k

k k

k

E E

exp k k

i

kT W

mô cũng như tính đối xứng của các hàm sóng Do đó, các thống kê vừa tìm

được chỉ có thể áp dụng cho một số trường hợp đặc biệt Nếu ta chú ý đến toàn

bộ đặc tính đó, ta tìm ra hai loại thống kê lượng tử quan trọng:

i là các mức năng lượng của hạt có trị số từ 0 đến 

i

 là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ

Do số hạt trong hệ thay đổi nên tương tự như trong vật lý thống kê cổ

điển ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử

0 1

, 1

, exp

!

i i i

G n n

N



+ Vế phải của biểu thức (1.8) có thể coi là hàm của n i nên ta có thể

đoán nhận ý nghĩa của biểu thức (1.8) là xác suất các số chứa đầy (tức là xác

suất để có n 0 hạt nằm ở mức năng lượng 0, n 1 hạt nằm ở mức có năng lượng

1

 …)

Từ công thức này ta có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng là:

1 exp

.

Biểu thức (1.12) là thống kê Bose- Einstein

Trong đó, thế hoá học  được xác định từ điều kiện:

0

i i

0

1 exp 1

Nếu năng lượng k suy biến với độ suy biến g( k) thì:

k

lnZ ln

Biểu thức (14) là biểu thức thống kê Maxwell- Boltzmann

* Nhận xét: Số hạt trung bình trên một mức nào đó tỉ lệ với xác suất tìm một hạt trên mức đó

1.3 Xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

1.3.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử diều hòa một chiều:



2

2 2

Dễ dàng chứng minh được các toán tử a và a

thỏa mãn hệ thức giao hoán:

Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n

Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N như sau:

|

n N n n n n n n n n n

 

0

n N n n a a n n

C¸c trÞ riªng cña to¸n tö N lµ c¸c sè kh«ng ©m

XÐt c¸c vÐc t¬ tr¹ng th¸i thu ®­îc a n b»ng c¸ch t¸c dông to¸n tö a

lªn vÐc t¬ tr¹ng th¸i n T¸c dông lªn vÐc t¬ tr¹ng th¸i nµy to¸n tö N vµ sö dông c«ng thøc (1.24) ta cã:

Ta tiÕp tôc xÐt vÐc t¬ tr¹ng th¸i a n

, t¸c dông lªn vÐc t¬ tr¹ng th¸i nµy to¸n tö N, sö dông c«ng thøc (1.25) ta cã:

Tương tự a2 n ; a3 n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N

ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)

Kết luận 2:

Nếu n là một véc tơ riêng của toán N ứng với trị riêng n thì p

a n

cũng là một véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n – p p 1, 2,3 

Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N

thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3, cũng là trị riêng của toán tử

N Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ thì:

Mặt khác theo định nghĩa: N nmin nmin nmin 0 (1.32)

So sánh hai phương trình (1.31), (1.32) ta đi đến kết luận như sau:

Kết luận 3:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin có giá bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện a 0 0

Từ (*), (**) ta thấy:

1 là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1

 0

a là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng là 1

Vì vậy a 0 phải tỉ lệ với véc tơ riêng 1 của toán tử N ứng với trị riêng n = 1

n là véc tơ riêng của H ứng với trị riêng 1

2

n

E n  

  Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián

đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng 

E   có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái 2 ứng với năng lượng

E E   có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng

tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một

đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên

n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử a

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E n   sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao

 n 0n

n  a

§Ó cho c¸c vÐc t¬ lµ trùc giao vµ chuÈn hãa th×:

,

1,

1.3.2 C¸c to¸n tö sinh, hñy Boson

Chóng ta t×m ®­îc c¸c to¸n tö sinh h¹t, hñy h¹t:

Như vậy các trị riêng của các tích những toán tử aa 

và a a 

lần lượt bằng n +1 và n Do đó ma trận của các toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những ma trận chéo

 (aa)mn (n1)mn và (  )

aa nGiả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson a

, hủy Boson alà:

, hủy Boson avà toán tử số hạt có dạng:

ở trên ta đã chọn mốc tính năng lượng 0

2



Khi đó N n n, H N.

Với  là năng lượng của một dao động tử

Mặt khác ta lại có N n n n và điều kiện chuẩn:

 là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

là e     và số hạng dầu tiên ứng với n = 0 có giá trị bằng 1

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

 được gọi là phân bố thống kê Bose – Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson

Đây là biểu thức xác định số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng

 còn gọi là phân bố thống kê Fermi – Dirac cho hệ đồng nhất các hạt fermion

( )

1( )

Trong chương này chúng tôi đã trình bày hai phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử, đó là thống kê Bose- Einstein, thống kê Fermi-Dirac, thống kê Maxwell- Boltzmann Trên cơ sở việc xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

Trong chương 2 sử dụng lý thuyết q- số chúng tôi sẽ xây dựng các đại

số biến dạng q và mở rộng các thống kê lượng tử đã xây dựng ở chương 1

Chương 2

Các phân bố thống kê lượng tử biến dạng

2.1 Dao động tử biến dạng – q

2.1.1 Dao động tử Boson biến dạng - q

Dao động tử Boson biến dạng - q được định nghĩa theo toán tử sinh hạt

1 0 0

01

3

q q q

Từ các hệ thức trên ta chứng minh lại (2.1) như sau:

Tác dụng hai vế của (2.1)lên không gian véc tơ n ta được:

(Đó là điều phải chứng minh)

Các toán tử tọa độ q và toán tử xung lượng p được biểu diễn theo các

toán tử sinh, hủy q- hạt

Điều thú vị đối với việc áp dụng đại số lượng tử vào vật lý lần đầu tiên

được đưa vào năm 1989 bằng việc đưa vào dao động tử điều hòa biến dạng – q

2.2 Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q

Ta đi tìm thống kê Bose - Einstein, từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F ta có:

Khi q = 1 chúng ta lại thu được phân bố thống kê lượng tử Bose – Einstein thông thường

11

N

e  



2.3 Phân bố thống kê Fermi - Dirac biến dạng q

Chúng ta cũng xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F là:

       1

1

1

11

 

11

N

e  



2.4 Kết luận chương 2:

ở chương 2 chúng ta dùng phương pháp lý thuyết trường lượng tử biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa và dao động tử điều hòa biến dạng q, giới thiệu lý thuyết về q-số, dao động tử Boson và dao động tử Fermion xét cả trường hợp biến dạng q của hai dao động này

Xây dượng được phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử: Thống kê Bose – Einstein và thống kê Fermi – Dirac trong cả trường hợp biến dạng q

Chương 3 Một số ứng dụng của phân bố thống kê lượng tử 3.1 Nhiệt dung của mạng tinh thể

3.1.1 Nhiệt dung mạng tinh thể của Einstein

Nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển, năm

1907, Einstein đã đưa ra lý thuyết dựa trên quan điểm lượng tử Chuyển động của các nguyên tử trong mạng tinh thể là chuyển động của các dao động tử

điều hòa ba chiều Dao động tử lượng tử điều hòa một chiều với tần số  có phổ năng lượng gián đoạn được xác định theo công thức

( )

1,2

    

 Trong đó n : 0, 1, 2, 3

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn, cách

đều nhau Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng  , mức năng lượng thấp nhất

0

12

.

n n