Các phân bô thông kê lượng tử biến dạng và ứng dụng

21 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI LỜI CAM ĐOAN NGUYỄN ĐÌNH TUÂN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác CÁC PHÂN BỐtháng THỐNG Hà nội, nqày năm 2010 KÊ LƯỢNG TỬ Học viên BIẾN DẠNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyan ng^h: VÊt IỶchÊí r Án M sè: 60 44 07 Nguyễn Đình Tuấn LUẬN VĂN THẠC sĩ VẬT LÍ A MỞ ĐẨU Ng-êi h-íng dẺn khoa hãc: PGS.TS Lưu THỊ KIM THANH Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển xã hội loài người, Vật lý học trải qua HÀ NỘI, 2010thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều học cổ điển Niutơn trở thành môn khoa học , kỷ XIX lý thuyết điện từ trường Macxoen Faraday đời có nhiều ứng dụng đời sống khoa học , kỷ XX kỷ Vật lý học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất Khi người ta nhận thấy thống quy luật xảy giới vi mô với quy luật tìm thấy thống kê cổ điển Trong học lượng tử lý thuyết trường lượng tử, có sai khác lý thuyết tắc kết thực nghiệm, người ta thường dùng phương pháp gần để giải Tuy nhiên nhiều tượng vật lý lại không dễ dàng thấy phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn phá vỡ đối xứng tự phát, chuyển pha trạng thái Điều có đòi hỏi phải có phương pháp không nhiễu loạn mà bao gồm tất bậc khai triển lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ yếu tố phi tuyến lý thuyết phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp mô men, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc đại số biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề vật lý lý thuyết thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử đại số lượng tử biểu diễn nhiệt dung thuận lợi hình thức dao động tử điều hòa biến dạng ứng dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng Xuất phát từ vấn đề nêu , lựa chọn đề tài “ Các phân bô thông kê lượng tử biến dạng ứng dụng ” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Xây dựng phân bố thống kê lượng tử biến dạng, tìm hệ thức nhiệt dung Cyphụ thuộc vào tham số biến dạng Chương 1: Xây dựng phân bố thống kê lượnọ, tử phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Hệ lượng tử 1.1.2 Tính chất 1.2 Các phân bố thống kê lượng tử 1.2.1 Phân bố tắc lượng tử 1.2.2 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.1 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.2 Áp dụng phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.2.1.; Thống kê Bose- Einstein Chương 3: Một sô ứng dụng phân bô thông kê lượng tử 3.1 Nhiệt dung mạng tinh thể áp dụng lý thuyết biến dạng q 3.1.1 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể Einstein 3.1.2 Lý thuyết nhiệt dung mạng tinh thể Debye 3.1.3 Nhiệt dung chất rắn theo quan điểm hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng - q 3.2 Nhiệt dung khí điện tử tự kim loại áp dụng lý thuyết biến dạng - q 3.2.1 Cách tính gần đơn giản 3.2.2 Cách tính đầy đủ xác B NỘI DUNG CHƯƠNG XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ LƯỢNG TỬBANG PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Hệ lượng tủ Hệ lượng tử hệ cấu thành hạt lượng tử - Hạt lượng tử hạt tuân theo định luật học lượng tử - Cơ học lượng tử mô tả tính chất đặc tính riêng biệt hạt giới vi mô mà thông thường không giải thích dựa vào quan điểm cổ điển 1.1.2 Tính chất - Các hạt vi mô mang tính chất sóng lẫn tính chất hạt Do có đặc tính sóng hạt nên hạt vi mô toạ độ xác định tuyệt đối xác, bị “nhoè đi” không gian Khi có hai nhiều hai hạt đồng tồn miền không gian định ta phân biệt chúng nhau, ta không theo dõi chuyển động hạt Đó tính đồng hạt học lượng tử lượng, điện tích ta phải đưa vào thông số tính chất mới, “lượng tử” Đó “spin” hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên lý Pauli” 1.2 tuý Xây dựng phân bô thông kê lượng tử phương pháp Gibbs Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta dùng ba phương pháp: - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Phương pháp Gibbs - Phương pháp “ô” Boltzman Trong phương pháp “ô” Boltzman đời sớm nhất, phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm coi phương pháp (1.1) Biểu thức (1) phân bố tắc lượng tử nhiệt độ thống kê, ỡ = kT = ^|^"Z^-exp[8 d ẳ^=> Ả'=o Đặt z = ỊT expị-— I tổng trạng thái, ta \ự = -6inZ z ÕO Xét: (1.2) Hay: Biểu thức (2) phương trình Gipxơ - Hemhômxơ da z õa sr dE k \o\ k \ da exp IV - E k ÔE k / dtì \ _ f a/7 Theo học lượng tử ta có: , da da Khi đó: Nhận xét: Ta thấy cỏ ý nghĩa nhiệt độ tuyệt đối lị/ có ý nghĩa lượng tự -ĩ-jA = A (1.3) W k = exp E A W k = exp * Xét trường hợp đặc biệt: Hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác Tương tự vật lý thống kê cổ điển, từ phân bố tắc lượng tử ta suy phân bố Maxwell- Boltzmann lượng tử: exp w , =■ Trong đó: £ lượng hạt hệ Wị xác suất để hạt hệ nằm mức lượng £ - Trường hợp mức lượng £ bị suy biến, với độ suy biến ẹ(£ ) w t = g(e t ) Biểu thức (1.6) thống kê Maxwell- Boltzmann lượng tử 1.2.2 Phân bô tắc lớn lượng tử (1.6) E k = Ẻ nA 10 mô tính đối xứng hàm sóng Do đó, thống kê vừa tìm áp dụng cho số trường hợp đặc biệt Nếu ta ý đến toàn đặc tính đó, ta tìm hai loại thống kê lượng tử quan trọng: - Thống kê Bose- Einstein w, =— exp 1.2.2.2 áp dụ nạ phân hố tắc lớn lượng tử i=0 Trong đó: n số chứa đầy (số hạt có lượng £ ) i mức lượng hạt có trị số từ đến £ Trong đó: lượng n + pN hạt i=0 N = ị j n i =0 gjc_ riêng lẻ 00 hệ exp Khi đó: w i 11 i=0 (1.8) (n ữ , = exp< * Nhận xét: Từ công thức ta tìm số hạt trung bình nằm mức - Để tính số hạt trung bình n mức lượng s ta dùng thủ thuật toán học sau: Gắn cho đại lượng ụ số 1, nghĩa coi hệ ta xét có tập hợp hoá học //, Khi đến cuối phép tính toán, ta đặt tất ỊU XI Jk(/V/V ) = exp Z=1 /=0 Với >G(n ữ ,n r ) (1.10) Q = -ớlnZ ỔQ _ J_ ÔZ_ e kT e kT +1 58 _v(2 m) ữ kT e 3/2 +1 j/2 J £z£ +1 IK1^ ữ kT e +1 Với F(s) = e p (P = ị;P = ị) Năng lượng toàn phần khí điện tử tự nhiệt độ T là: 00 E = ịs.p(£)jl(£)d£ v.(2 m f } J O e kT +1 3/2 VẨ2 m) 1/2 £JJ_ Ẽ=a H >3/2 =H 3/2 , E-a.ỉ 1- = 59 a2S> Khi ta có: Ip=oị 00 _ a \ F M±A e\ eị dệ + F(ẹẹ+ỳ) eặ + tích phân ý; I P =-9ịF{ụ- 0ệ).dệ + gị -^ ~ 0 c -I- vùng nhiệt độ thấp:« ^ +4-^ + 0ệ \ dệ ’ c i- 00 tích phân ý ệ = QẸ+ u • 0 e ~ e ^ Khai triển hàm F(ju - OẸ), F(JLI + OẸ) theo X = Oị giới hạn gần bậc X .X F(p - OẸ) = F( X = £ = +00 => X = +CO ' kT + (g - q )í? *r - 68 X J,=-ị \{-kT.\nx).kT X X - q~' )x-' - I,=-kT\ 01 + (ợ - q ' )x - X tích phân không tồn < q < Vậy /21 = = ĩ = - v p.- (e kT -\).[2e kT kr + (q-q')e ] v _ -; J irp 22 -.ếte ẹ-JỊ_ ẹ-JỊ_ / = /(£->“)í-7-rf£ = /(£-iu): -00 ^ , kT -00 ef kT ^ e-ỉ‘ e-f‘ ~M e Ì£z^ĩ kT ds c *' + ( lthì thu phân bố thống kê Boson - Einstein, Fermi - Dirac quen thuộc 74 + Áp dụng phân bố thống kê lượng tử biến dạng q, nghiên cứu nhiệt dung mạng tinh thể nhiệt dung khí điện tử tự kim loại thu biểu thức giải tích nhiệt dung tương ứng Các kết thu cho thấy nhiệt dung bên cạnh phụ thuộc vào nhiệt độ phụ thuộc tham số biến dạng q để kết tính toán lý thuyết kết thực nghiệm Nhưng thời gian có hạn dự kiến tiếp tục công việc công trình nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo - PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh thầy cô tận tình giúp đỡ hoàn thành đề tài này./ TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đình Tuấn [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý thống kê, NxbĐHQG Hà Nội [2] Đào Trần Cao, Cơ sỏ vật lý chất rắn [3] Đỗ Trần Cát, Vật lý thống kê, Nxb KH KT Hà Nội [...]... hòa biến dạng q, giới thiệu lý thuyết về q-số, dao động tử Boson và dao động tử Fermion xét cả trường hợp biến dạng q của hai dao động này Xây dượng được phân bố thống kê lượng tử và các phân bố thống kê lượng tử biến dạng q bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử: Thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac trong cả trường hợp biến dạng q -p(s-ụ) \ + (q-q-')e f( ‘- l ' ) -e ìf( ‘- ll) {M}... toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên I n) cho một trạng thái tỉ lệ với \n +1) do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N sẽ là toán tử số hạt, a sẽ là toán tử hủy hạt, a sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái I n) với ) = ex u \n-\) ) = P n \n + \) 22 \«) = r.a » Để cho các véc tơ là trực giao và. .. thêm hai lượng tử năng lượng heo vào trạng thái |o) Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là £ 0thì có thể coi trạng thái |o) là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy |o) được gọi là trạng thái chân không, |l) là trạng thái chứa một lượng tử, 1«) là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng Toán tử a khi tác dụng lên... M ) 2/ỉ(s-ụ) /(*-/ /7 = 0 -pụ~ụ)n Khi q = 1 chúng ta lại thu được phân bố thống kê lượng tử Bose 1 Einstein thông thường q+q 2.3 -1 /7 = 0 /7=0 Phân bô thông kê Fermi - Dirac biến dạng q Chúng ta cũng xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình... gọi là phân bố thống kê Fermi - Dirac cho hệ đồng nhất các hạt fermion aa - gPíe-ự) ị 1.4 Kết luận chương 1: a a= Trong chương này chúng tôi đã trình bày hai phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử, đó là thống kê Bose- Einstein, thống kê FermiDirac, thống kê Maxwell- Boltzmann Trên cơ sở việc xây dựng các phân bố thống kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử N (2.3) ! )=V("+1)J"+1)... luôn bằng một lượng tử năng lượng heo (n5 21 1 + — \heo = — => AE Ị2 = E 2 — E { = heo Trạng thái |o) có năng lượng thấp nhất E 0 , trạng thái |l) có năng lượng E 0 + heo có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng heo vào trạng |o) thái Trạng thái |2) ứng với năng lượng +hco= E 0 +2hũ) có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng hù) vào trạng thái... hạt trên mức đó 1.3 Xây dựng các phân bô thông kê lượng tử bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử 1.3.1 Biểu diễn sô hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = - kx dọc theo một đường thẳng nào đó H = P^ + mỌ LĨ 2m 2 là toán tử tọa độ p = p = ih— là toán tử xung lương = pq — qp = —ih—X... = -v) _ e ~12 P{ £ -^) 1 {} = - e‘/,(“") -1 t p( £ -tì) -1 Biểu thức (2.24) chính là phân bố thống kê lượng tử Fermi - Dirac biến s s dạng - q, do đó ... thuyết trường lượng tử 1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 1.1.1 Hệ lượng tử 1.1.2 Tính chất 1.2 Các phân bố thống kê lượng tử 1.2.1 Phân bố tắc lượng tử 1.2.2 Phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.1 Phân bố... lượng tử 1.2.2.2 Áp dụng phân bố tắc lớn lượng tử 1.2.2.2.1.; Thống kê Bose- Einstein Chương 3: Một sô ứng dụng phân bô thông kê lượng tử 3.1 Nhiệt dung mạng tinh thể áp dụng lý thuyết biến dạng. .. thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử đại số lượng tử biểu diễn nhiệt dung thuận lợi hình thức dao động tử điều hòa biến dạng ứng dụng phân bố thống kê lượng tử biến