Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử

Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, nỗ lực nghiên cứu thân, nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, toàn thể cán bộ, giảng viên khoa vật lý Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô Ngày 02 tháng năm 2007 Sinh viên Dương Thị Thu Huyền Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Trang Phần mở đầu Lý chọn đề tài 2 Đối tượng nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phần nội dung Chương 1: Phương pháp ô Bômxơman 1.1 Nội dung phương pháp 1.2 áp dụng Chương 2: Phương pháp Gibbs 13 2.1 Nội dung phương pháp 13 2.2 áp dụng 13 Chương 3: Phương pháp lý thuyết trường lượng tử 20 3.1 Toán tử sinh hạt toán tử huỷ hạt 20 3.2 Giao hoán tử hay phản giao hoán tử 27 3.3 Thống kê Bôzơ - Anhstanh thống kê Fécmi-Đirác 31 Phần kết luận 34 Phụ lục 36 Tài liệu tham khảo 40 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phần mở đầu Lý chọn đề tài: Cùng với phát triển lịch sử loài người, Vật lý học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng: Thế kỷ XVIII học cổ điển Niutơn trở thành môn khoa học bản, kỷ XIX lý thuyết điện từ trường Măcxuen Faraday đời có nhiều ứng dụng đời sống khoa học, kỷ XX kỷ vật lý học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất Khi thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất người ta thấy quy luật tìm thấy không giống quy luật tìm thấy Vật lý cổ điển mà có xuất quy luật gọi quy luật thống kê Vật lý thống kê phận Vật lý đại, nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê Để tìm định luật phân bố thống kê lượng tử sử dụng ba phương pháp là: Phương pháp "ô" Bônxơman, phương pháp Gibbs phương pháp lý thuyết trường lượng tử Trong giáo trình "Nhiệt động lực học vật lý thống kê" Vũ Thanh Khiết trình bày hai phương pháp phương pháp "ô" Bônxơman phương pháp Gibbs, nhiên số phần trình bày vắn tắt Đồng thời phương pháp lý thuyết trường lượng tử phương pháp không áp dụng cho hệ hạt Bôzôn Fermion mà áp dụng cho hệ nhiều hạt Do đó, chọn đề tài "Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử, nhằm giúp bạn sinh viên có nhìn toàn diện, hệ thống phương pháp xây dựng thống kê lượng tử Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử Mục đích nghiên cứu Đi sâu nghiên cứu vấn đề Vật lý thống kê lượng tử xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Nhiệm vụ nghiên cứu Sử dụng phương pháp: Phương pháp ô Bônxơman, phương pháp Gibbs phương pháp lý thuyết trường lượng tử để tìm phân bố thống kê lượng tử Giả thuyết khoa học Nếu nắm phân bố thống kê lượng tử phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử sinh viên thuận lợi việc học Vật lý thống kê vấn đề Vật lý thống kê Phạm vi nghiên cứu Các phương pháp xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Phương pháp nghiên cứu Sử dụng thao tác tư tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá để nghiên cứu tài liệu có Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phần nội dung Chương 1: Phương pháp ô Bônxơman 1.1 Nội dung phương pháp Chia không gian pha làm "ô" tương ứng với giá trị khác lượng xét phân bố khác hạt hệ theo ô đó, từ tìm số trạng thái vi mô khả hữu hệ tương tích với điều kiện bên định tức tìm xác suất nhiệt động hệ, sau dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm Entrôpi hệ dựa vào điều kiện cực đại Entrôpi có cân nhiệt động ta tìm phân bố thống kê hệ 1.2 áp dụng 1.2.1 Thống kê Mắc xuen - Bônxơman 1.2.1.1 Đối tượng áp dụng: áp dụng hệ hạt không tương tác, hệ hạt coi khác lượng có phổ liên tục rời rạc 1.2.1.2 Hàm phân bố Xét hệ gồm N hạt đựng thể tích V có lượng toàn phần U Chia không gian pha làm m ô pha (m N) tương ứng với lượng khác 1, m (điều có nghĩa hạt hệ chuyển động có lượng tương ứng với trị số 1, m) Giả sử hạt phân bố tuỳ ý theo ô với số chứa đầy n1, n2 nm, ni số hạt chứa ô thứ i có lượng i (có nghĩa trạng thái hệ n1 hạt có lượng 1, n2 hạt có lượng 2) Các phân bố tuỳ ý khác biệt N hạt theo m ô tương ứng với trạng thái vi mô khác hệ Số tổng cộng trạng thái vi mô khác hệ (hay xác suất nhiệt động) tức số phương pháp khác phân bố N hạt theo m ô xác định biểu thức: Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp W= N! n1 ! n ! n m ! (1-1) [Xem phụ lục 1] Lấy lôba biểu thức (1-1): m lnW = lnN! - ln (ni!) i áp dụng công thức Stirling [xem phụ lục 2], ta được: m lnW = N lnN - n i ln ni (1-2) i Các số chứa đầy phải thoả mãn điều kiện bảo toàn số hạt tổng cộng lượng toàn phần hệ: m N= n i = const (1-3) i i = const (1-4) i m U= n i Lấy biến phân phương trình (1-2), (1-3), (1-4) theo số chứa đầy, coi ni lớn, bỏ qua đơn vị so với lnni ta có: m lnW = (NlnN - n i lnn1) i m =- (ni lnni) i m = - (ln ni ni + ni ln ni) i m =- (ln ni + 1) ni i m =- ln ni ni (1-5) i m N = ni = i m n i =0 (1-6) i Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp m m U = ni i = i i ni = (1-7) i Nhân (1-6), (1-7) với thừa số bất định , cộng với (1-5) ta được: m ln W = - (ln ni + + i) ni i Xác suất cực đại với điều kiện: m (ln ni + + i) ni = (1-8) i Bằng cách coi tất ni độc lập giả sử tất chúng không trừ nk, (1-8) trở thành: (ln nk + + k) nk = ln nk + + k = ln nk = - - k nk = exp {- - k } (1-9) Đẳng thức (1-9) cho ta số hạt nk có lược k xem hàm phân bố số hạt nk theo lượng k * Tìm , : Từ điều kiện (1-3) ta có: m N= n m i = exp (-) i exp {- i}: = const (1-10) i m Ký hiệu Z = Tổng trạng thái i Suy ra: N = exp {-} Z = ln Z N (1-11) Năng lượng hệ: Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp m U= m i ni = exp {-} i i exp {- l} (1-12) i Theo nguyên lý Bônxơman ta có: S lnWmax k (1-13) Thay (1-2) biểu thức ni tìm từ điều kiện cực trị xác suất, ta được: n ln Wmax N ln N exp . i lnexp . i i m N ln N ( . i ) exp . exp . i i m m i i N ln N exp . exp . i . i exp . exp . i N ln N .N .U (1-14) Từ (1-13), (1-14) được: dS N d U d dU k (1-15) Lấy vi phân (1-10) với N i không đổi áp dụng (1-12) ta được: d U d N Thay vào (1-15) được: dS dU k So sánh biểu thức với biểu thức vi phân nhiệt động entrôpi trường hợp trình cân đẳng áp: dS dQ dU T T Ta được: kT Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Vậy số hạt có lượng i bằng: n i exp exp . i N exp i = exp i z kT kT (1-16) Vì số tổng cộng N hạt hệ có ni hạt có lượng i nên suy xác suất Wi (i) tìm hạt có lượng i (xác suất để hạt nằm trạng thái với lượng i) bằng: Wi ( ) i exp i n kT với Z = i N Z exp kTi i (1-17) Công thức (1-17) phân bố Mắcxuen - Bônxơman lượng tử (công thức thống kê Mắcxuen - Bônxơman) 1.2.2 Thống kê Bôzơ - Anhstanh: 1.2.2.1 Đối tượng áp dụng: áp dụng cho hạt Bôzôn Các hạt Bôzôn có spin nguyên trạng thái hệ diễn tả hàm sóng đối xứng không tuân theo nguyên lý Paoli (số hạt mức lượng có trị số từ đến vô cùng) 1.2.2.2 Hàm phân bố: Xét hệ gồm N hạt Bôzôn Ta tách miền không gian pha có zi ô pha tìm số chuyển vị ni hạt theo ô phù hợp với tính chất hạt Bôzôn Bài toán quy phân bố ni yếu tố không phân biệt ô đồng thời ô số hạt không hạn chế Số phương pháp phân bố là: Wi (ni zi 1)! ni !( zi 1)! (1-18) (Xem phụ lục 1) Wi đặc trưng cho số trạng thái có ni zi cho trước Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Đối với nk zk khác, số lượng trạng thái có khác Toàn trạng thái vi mô có (tức xác suất nhiệt động hệ) là: W Wi i i i ( n i z i 1)! n i !(z i 1)! (1-19) Lấy lô ga (1-19): ( n z i 1)! ln W ln( Wi ) ln i i i n i !(z i 1)! ln[( n i z i 1)!] ln( n i !) ln( z i 1)!] i i (1-20) i Dùng công thức Stirling (xem phụ lục 2) số lớn ni zi ta được: ln W (ni zi ) ln(ni zi ) ni ln ni zi ln zi i i (1-21) i Lấy biến phân phương trình (1-21) theo số chứa đầy được: ln W [ln(ni zi ).ni (ni zi ). ln(ni zi )] (ln nini ni ln ni ) i i [ln(ni zi ) 1].ni (ln ni 1)ni i (1-22) i Nhân (1-6), (1-7) với thừa số bất định -, cộng với (1-22) ta được: n zi . i ].n i ln W [ln i i ni (1-23) Xác suất cực đại với điều kiện: ni zi i .n i ni ln i (1-24) Bằng cách coi tất biến phân trừ ni nên điều kiện (1-24) trở thành: n zi i ln i ni (1-25) Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp nhận giá trị nguyên không âm phù hợp hoàn toàn với tượng ngưng tụ bose - Anhstanh Kết luận: Các toán tử sinh, huỷ bozôn phải tuân theo hệ thức phản giao hoán (3-26) Còn Fermion, toán tử sinh, huỷ Fermion tuân theo hệ thức giao hoán (3-26) Để tìm hệ thức cho Fermion ta xuất phát từ đẳng thức tương tự (3-27, (3-28) ý trường hợp Fermion véctơ trạng thái hệ hai hạt đồng phải phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt > =- > (3 - 29) Vậy ta có: b b 0> = - b b 0> b b 0> = - b b 0> Hay: b b + b b = Ta nói toán tử sinh hạt Fermion phải thoả mãn hệ thức phản giao hoán sau: { b , b } = ( b b + b b ) = (3- 30) Khi = (3 - 30) trở thành: b b = ( b )2 = (3-31) Véc tơ trạng thái chứa hai hạt Fermion đồng trạng thái là: > = ( b )2 0> Theo hệ thức (3-31) ( b )2 = nên > = 0, điều hoàn toàn phù hợp với nguyên lý loại trừ paoli 28 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Bây ta giả thuyết tác dụng toán tử b b lên vecto trạng thái > diễn tả trạng thái chứa hạt Fermion đặc trưng số lượng tử b b > = b > = - b > = - > (3-32) Mặt khác tác dụng toán tử b b lên > ta lại có: b b > = b 0> = > (3 - 33) Từ (3-32), (3-33) ta suy hệ thức giao hoán sau toán tử sinh huỷ hạt Fermion: b b + b b = ( ) (3-34) Trong trường hợp = ta sử dụng (3-31), ta có: b b > = b ( b )2 0> = (3-35) b b > = b > = (3-36) b b 0> = b > = > (3-37) b b > = (3-38) Cộng vế phương trình (3-35) (3-38) ta được: ( b b + b b ) (0 > + > ) = > + > Vì nên suy ra: b b + b b = (3 - 39) Tổng hợp kết thu ta có hệ thức phản giao hoán sau hạt Fermion: { b , b } = (3 - 40) { b , b } = { b , b } = 29 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp B + B A , B } = A Trong ta định nghĩa: { A (3 - 41) Và gọi phản giao hoán tử hai toán tử Â, B Từ hệ thức phản giao hoán (3 - 40) ta chứng minh nguyên lý loại trừ paoli sau: = b b Toán tử số hạt trạng thái N Do đó: N = b b b b = b (1- b b ) b = b b - ( b )2 ( b )2 Nghĩa là: N = b b (3 - 42) =N (3 - 43) phải thoả mãn Từ suy trị riêng n toán tử N phương trình: n (n - 1) = (3 - 44) Do n 1, nghĩa trạng thái có nhiều hạt Fermion Tóm lại: Trong tự nhiên loại hạt tuân theo thống kê bôzơ Anhstanh hay thống kê Fécmi - Đirác phụ thuộc hoàn toàn vào thân bên loại hạt Với hạt sơ cấp, khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, sở nguyên lý tương đối Anhstanh người ta chứng minh hạt có spin nguyên (như phôton, - mezon, K - mezon) phải tuân theo thống kê bôzơ - anhstanh gọi bozôn Các hạt bôzôn đồng có hàm sóng hoàn toàn đối xứng với phép hoán vị cặp hạt nào, trạng thái ngưng tụ bôzơ - anhstanh, trạng thái hệ bozôn bị chiếm bôzôn Các toán tử sinh, huỷ bôzôn thoả mãn hệ thức giao hoán (3-26) 30 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Còn hạt có spin bán nguyên (như điện tử, proton, neutron, neutrino) phải tuân theo thống kê Fécmi - Đirác gọi Fermion Các hạt Fermion đồng có hàm sóng hoàn toàn phản đối xứng với phép hoán vị cặp hạt nào, tuân theo nguyên lý loại trừ paoli, toán tử sinh, huỷ Fermion thoả mãn hệ thức phản giao hoán (3 - 40) 3.3 Thống kê bozơ - anhstanh thống kê Fécmi - đirác Để xác định thống kê bôzơ - anhstanh thống kê Fécmi - Đirác ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình đại lượng vật lý F là: F Tr( e H F ) Z (3 - 45) Trong Z hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động hệ có dạng: Z = Tr (e-H) Với (3 - 46) , k số Boltzman, T nhiệt độ hệ, H kT Haminltonian hệ, vết lấy theo hệ đủ trạng thái ta chọn gốc tính lượng E0 = thì: n> = ..n hay H = ( - )N H lượng dao động tử Z = T r e H n e H n n Theo (3-13) có N n > = n n>, mở rộng ta có: f(N) n > = f(n) n> Sử dụng biểu thức ta có: 31 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Z = n e ( - ) N n n = n e ( ) n n n = e ( ) n n n n = e ( ) n = n = 1 e ( ) vào công thức (3-45) ta có: Thay toán tử F toán tử số dao động tử N H = â+ â = Tr( e N ) N Z ) Có Tr(e H N = n e H N n n n n e ( ) N N n n e ( ) n n n n e ( ) n n n n n e ( ) n n n = e ( ) 2e ( ).2 n.e ( ) n = e = e ( ) e ( ).2 e ( ) n ' ( ) (1 e ( ) e ( )( n 1) ' ' = e ( ) ( ) e 32 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp e ( ) = e ( ) : Thay kết vào biểu thức N e â â = e N ( ) ( ) + ( ) e 1 e = ( ) 1 e kT (3-49) Đây biểu thức tính số hạt trung bình mức lượng gọi phân bố thống kê bôzơ - anhstanh cho hệ đồng hạt bôzôn Đối với hạt Fermion Tr( e H N N = b b = Z Vì hạt Fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Paoli nên n 1, đó: Z Tr( e H ) e ( ) n e ( )0 e ( ).1 e ( ) n ) e ( ) n n e ( ) e ( ) Tr(e H N n b b) Tr( e => N H Z ) N e ( ) e ( ) e ( ) (3-50) Đây biểu thức xác định số hạt trung bình mức lượng gọi phân bố thống kê Fécmi- Đirác cho hệ đồng hạt Fermion 33 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phần kết luận Trong đề tài "Các phương pháp xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử" đưa ba phương pháp để xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Phương pháp ô Bôn xơ man, phương pháp Gibbs, phương pháp lý thuyết trường lượng tử Qua qúa trình tìm hiểu, nghiên cứu thấy phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Đối với phương pháp ô Bôn xơ man, việc phương pháp chia không gian pha làm ô ứng với giá trị lượng khác hợp lý với tính chất hệ lượng tử: đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô biến thiên lượng xác định Tuy nhiên, không gian pha không gian quy ước, không gian nhiều chiều, việc đưa không gian pha nhiều chiều vào vật lý thống kê làm cho lý thuyết hết nét cụ thể ta hình dung không gian nhiều chiều Đối với phương pháp Gibbs, coi phương pháp vật lý thống kê đại Cơ sở phương pháp thay việc khảo sát biến đổi hệ cho với thời gian việc khảo sát tập hợp nhiều hệ tương tự với hệ cho Việc áp dụng phương pháp Gibbs đơn giản, dễ hiểu Đối với phương pháp lý thuyết trường lượng tử, sử dụng phương pháp tìm hiểu dao động tử điều hoà biểu diễn số hạt Đây nội dung kiến thức ứng dụng nhiều vật lý chất rắn, vật lý hạt vật lý thống kê Khi sử dụng phương pháp ta hiểu rõ toán tử sinh, huỷ hạt, hạt Fermion hạt Bôzôn Đồng thời kiến thức tìm hiểu sử dụng phương pháp kiến thức tảng bước đầu để nghiên cứu sâu lý thuyết trường Với đề tài "Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử" đã: + Đề phương pháp để xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử 34 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp + Vận dụng phương pháp để xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử + Nêu ưu, nhược điểm phương pháp Với đề tài mong muốn đóng góp phần nhỏ vào việc học tập, nghiên cứu bạn sinh viên Tuy nhiên thời gian có hạn suy nghĩ chủ quan nghiên cứu đề tài, không tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo, góp ý thầy cô bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn cô Lưu Thị Kim Thanh thầy cô khoa tận tình giúp đỡ hoàn thành đề tài 35 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phụ lục Phụ lục 1: Biểu thức xác định số phương pháp khác phân bố N hạt theo m ô (số tổng cộng trạng thái vi mô khác hệ) Xét hệ gồm N hạt đựng thể tích V có lượng toàn phần U Ta chia không gian pha làm m ô pha tương ứng với lượng khác , m , hạt phân bố tuỳ ý theo ô với số chứa đầy n1, n2 nm Biểu thức xác định số phương pháp khác phân bố N hạt theo m ô là: W N! n1! n ! n m ! Chứng minh: Để tìm số trạng thái vi mô hệ ta xét số hoán vị N hạt Vì phân bố N hạt theo m ô ứng với trạng thái vi mô hệ hoán vị hai hạt ứng với thay đổi trạng thái hai hạt tức ứng với trạng thái vi mô khác hệ Đối với N hạt ta thực N! phép hoán vị Tuy nhiên số hoán vị có ý nghĩa nhỏ N! số hoán vị ta gặp loại hoán vị không cho ta trạng thái vi mô hệ, n1! hoán vị ô thứ nhất, n2! hoán vị ô thứ Vì ta tìm số hoán vị hạt ô, muốn ta đem số hoán vị tổng cộng N! chia cho số hoán vị bên ô tức n1! n2! n3! nm! Do ta tìm được: W N! n1! n ! n m ! (đpcm) 36 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phụ lục 2: Công thức Stirling Công thức Stirling công thức biểu diễn đại lượng n! hàm n n có trị số lớn Để tìm công thức stirling ta dùng phương pháp gần sau: Từ đẳng thức n! = n lấy lôga ta đẳng thức sau: n ln (n!) = ln (1 3n) = ln k k Khi k số lớn so với đơn vị, ta thay tổng số tích phân Khi lấy tích phân phần ta công thức Stirling n n ln (n!) = ln k k n n = ln k.dk k ln k dk 1 = n (ln n - 1) n ln n Phụ lục 3: Công thức xác định số phương pháp phân bố ni yếu tố không phân biệt ô, đồng thời ô số hạt không hạn chế Công thức tìm phép tính tổ hợp ta xét toán: tìm số phương pháp mà nhờ ni đối tượng không phân biệt xếp đặt zi ô có đánh số với ý đối tượng ô tuỳ ý Có thể chứng minh số phương pháp bằng: Wi ( n i z i 1)! n i !( z i 1)! Chứng minh: Ta kí hiệu tất hạt vòng tròn vách ngăn ô ta biểu diễn gạch thẳng Khi đó, phân bố vòng tròn gạch có dạng sau: oooooooo o ooooo Hiển nhiên chuỗi cần phải ô thí dụ từ ô thứ nhất, số phép hoán vị ô lại bẳng (zi - 1)! Toàn yếu tố xếp với ni + zi - Số hoán vị tổng cộng yếu tố (ni + zi - 1)! Tuy nhiên số có hoán vị hạt không phân biệt chuyển vị ô với Số hoán vị hoán vị ô lại tức (zi -1)! Đồng thời số hoán vị hạt n! Vì 37 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp hoán vị hạt ô với không tương ứng với trạng thái mới, để tìm hoán vị tương ứng với trạng thái vi mô khác ta cần phải đem số tổng cộng hoán vị (ni + zi -1)! chia cho ni! (zi - 1)! Như ta tìm được: Wi ( n i z i 1)! n i !( z i 1)! Phụ lục 4: Số phương pháp để phân phối ni đối tượng không phân biệt zi ô cách đặt vào ô đối tượng hay bỏ trống ô Số phương pháp là: Wi z i! n i !( z i n i )! Chứng minh: Đầu tiên ta tìm số phương pháp mà theo ni đối tượng khác phân bố theo zi ô đánh số cho ô có hạt, đồng thời ni zi Số phương pháp z i! ( z i n i )! Thật vậy, đối tượng thứ ta có zi khả phân phối đối tượng thứ hai sau xếp đặt đối tượng thứ ta có (zi -1) khả năng, đối tượng thứ ba ta có (zi -2) khả Đối với đối tượng cuối (zi - ni + 1) khả Như số phân phối tất ni đối tượng bằng: zi (zi - 1) (zi - 2) (zi - ni + 1) Nói khác đi: z i (z i 1)( z i 2) ( z i n i 1) (z i )! (z i n i )! ( z i n i )! Nếu ta thừa nhận tất ni đối tượng không khác biệt với ta cần loại trừ ni! hoán vị khác ni đối tượng ô chúng không đem lại trạng thái vi mô Vậy ta tìm công thức: Wi zi! n i !( z i n i )! (đpcm) 38 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phụ lục 5: G ( n , n ) 1 n ! n1! Chứng minh: Trong thống kê Mắc xuen - Bôn xơ man tất phép hoán vị toạ độ hạt (tức N!) cho trạng thái mới, trừ phép hoán vị toạ độ phương diện vật lý số hoán vị tổng cộng N! chia cho số hoán vị nhóm có lượng tức chia cho n0! n1! gk mà N! n ! n1! G ( n ,n ) gk N! n ! n1! (đpcm) 39 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp danh mục tài liệu tham khảo Bùi Thị Chi, khoá luận tốt nghiệp "Hình thức luận dao động tử điều hoà tuyến tính cho thống kê lượng tử", 2006 Lưu Thị Kim Thanh, giảng vật lý thống kê lý thuyết trường Vũ Thanh Khiết (NXB Đại học Quốc Gia), giáo trình nhiệt động lực học vật lý thống kê, 1996 40 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp giáo dục đào tạo trường đại học sư phạm Hà Nội II Khoa vật lý - khoá luận tốt nghiệp Đề tài: "các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử" ******************** Người hướng dẫn: T.S Lưu Thị Kim Thanh Sinh viên thực hiện: Dương Thị Thu Huyền Lớp: K29 B - Lý Xuân Hoà, tháng 5/2007 41 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp 42 [...]... mức năng lượng còn gọi là phân bố thống kê Fécmi- Đirác cho hệ đồng nhất của hạt Fermion 33 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Phần kết luận Trong đề tài "Các phương pháp xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử" tôi đã đưa ra ba phương pháp để xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử Phương pháp các ô của Bôn xơ man, phương pháp Gibbs, phương pháp lý thuyết trường lượng tử Qua... dụng phương pháp này cũng là những kiến thức nền tảng bước đầu để nghiên cứu sâu hơn về lý thuyết trường Với đề tài "Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử" về cơ bản đã: + Đề ra được các phương pháp để xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử 34 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp + Vận dụng các phương pháp để xây dựng được các định luật phân bố thống kê lượng tử + Nêu được... có hàm phân bố của thống kê Fécmi - Đirác f F ( ) 1 exp 1 kT (2-19b) Ta thấy rằng các hàm phân bố Mắcxuen - Bônxơman, Bôzơ - Anhstanh, Fécmi - Đirác tìm bằng phương pháp Gibbs trùng với các hàm phân bố tìm được bằng phương pháp các ô của bônxơman nếu đặt: 19 kT Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp Chương 3 phương pháp lý thuyết trường lượng tử 3.1 Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt:... thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 1, cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lượng tử nào Vì vậy, 0 gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử n là có các giá trị riêng nguyên không âm trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N cách nhau... đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử âm khi tác dụng lên n) cho một trạng thái tỷ lệ với (n - 1) và do đó được đoán nhận là toán tử huỷ lượng tử năng lượng Toán tử â+ khi tác dụng lên n) cho một trạng thái tỉ lệ với (n + 1) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh trưởng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử huỷ hạt và... lượng tử Qua qúa trình tìm hiểu, nghiên cứu tôi thấy mỗi phương pháp đều có những ưu, nhược điểm riêng Đối với phương pháp các ô của Bôn xơ man, việc phương pháp này chia không gian pha ra làm các ô ứng với các giá trị năng lượng khác nhau là hợp lý với tính chất của các hệ lượng tử: các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô chỉ có thể biến thiên từng lượng xác định Tuy nhiên, không gian pha chỉ là một không... nào, tuân theo nguyên lý loại trừ paoli, các toán tử sinh, huỷ Fermion thoả mãn các hệ thức phản giao hoán (3 - 40) 3.3 Thống kê bozơ - anhstanh và thống kê Fécmi - đirác Để xác định thống kê bôzơ - anhstanh và thống kê Fécmi - Đirác ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F là: F Tr( e H F ) Z (3 - 45) Trong đó Z là hàm phân bố, xác định tính chất nhiệt động của hệ và... với phương pháp lý thuyết trường lượng tử, khi sử dụng phương pháp này chúng ta được tìm hiểu về dao động tử điều hoà trong biểu diễn số hạt Đây là một nội dung kiến thức được ứng dụng nhiều trong vật lý chất rắn, vật lý hạt và vật lý thống kê Khi sử dụng phương pháp này ta hiểu rõ hơn về toán tử sinh, huỷ hạt, về các hạt Fermion và hạt Bôzôn Đồng thời những kiến thức chúng ta tìm hiểu khi sử dụng phương. .. dừng của dao động tử điều hoà có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0 + có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1 + = E0... ra đó là các lượng tử của dao động tử điều hoà hay một cách tổng quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt thoả mãn các hệ thức giao hoán (3-26) là Bozôn hay Fermion? Để trả lời, ta xây dựng vecto trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau và , đó là: > = â , â 0> (3 - 27) > = â â 0> (3 - 28) Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào Vì các toán tử sinh ... trường lượng tử để tìm phân bố thống kê lượng tử Giả thuyết khoa học Nếu nắm phân bố thống kê lượng tử phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử sinh viên thuận lợi việc học Vật lý thống kê. .. hệ thống phương pháp xây dựng thống kê lượng tử Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử Mục đích nghiên cứu Đi sâu nghiên cứu vấn đề Vật lý thống kê lượng tử xây. .. tài "Các phương pháp xây dựng phân bố thống kê lượng tử" đã: + Đề phương pháp để xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử 34 Dương Thị Thu Huyền Khoá luận tốt nghiệp + Vận dụng phương pháp