Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử

Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử chúng ta có thể sử dụng ba phương pháp đó là: Phương pháp các "ô" của Bônxơman, phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử.

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, của toàn thể các cán bộ, giảng viên trong khoa vật lý

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này của các thầy cô

Ngày 02 tháng 5 năm 2007

Sinh viên

Dương Thị Thu Huyền

Môc lôc

Trang

PhÇn më ®Çu

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng: Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển của Niutơn trở thành môn khoa học cơ bản, thế kỷ XIX lý thuyết điện từ trường của Măcxuen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong

đời sống và khoa học, thế kỷ XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất Khi thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất người ta thấy rằng các quy luật tìm thấy không còn giống các quy luật tìm thấy trong Vật lý cổ điển mà ở đây có xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê Vật lý thống kê là một bộ phận của Vật lý hiện đại, nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử chúng ta có thể sử dụng ba phương pháp đó là: Phương pháp các "ô" của Bônxơman, phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử Trong giáo trình "Nhiệt động lực học và vật lý thống kê" của Vũ Thanh Khiết đã trình bày hai phương pháp là phương pháp các "ô" của Bônxơman và phương pháp Gibbs, tuy nhiên một số phần trình bày còn vắn tắt Đồng thời phương pháp lý thuyết trường lượng tử là một phương pháp mới không chỉ áp dụng cho hệ các hạt Bôzôn và Fermion mà còn áp dụng

được cho hệ nhiều hạt Do đó, tôi chọn đề tài "Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử, nhằm giúp các bạn sinh viên có một cái nhìn toàn diện, hệ thống hơn về các phương pháp xây dựng các thống kê lượng tử

2 Đối tượng nghiên cứu

Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử

3 Mục đích nghiên cứu

Đi sâu nghiên cứu một vấn đề cơ bản của Vật lý thống kê lượng tử là xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp: Phương pháp các ô của Bônxơman, phương pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử để tìm ra các phân bố thống kê lượng tử

5 Giả thuyết khoa học

Nếu nắm được các phân bố thống kê lượng tử và các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử sinh viên sẽ thuận lợi hơn trong việc học Vật lý thống kê vì đây là một trong những vấn đề cơ bản của Vật lý thống kê

hệ, sau đó dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm được Entrôpi của hệ và dựa vào

điều kiện cực đại của Entrôpi khi có cân bằng nhiệt động ta tìm được phân bố thống kê của hệ

1.2 áp dụng

1.2.1 Thống kê Mắc xuen - Bônxơman

1.2.1.1 Đối tượng áp dụng:

áp dụng đối với hệ các hạt không tương tác, trong các hệ đó các hạt

được coi là khác nhau và năng lượng có thể có phổ liên tục cũng như rời rạc

1.2.1.2 Hàm phân bố

Xét hệ gồm N hạt đựng trong thể tích V có năng lượng toàn phần U Chia không gian pha ra làm m ô pha (m  N) tương ứng với các năng lượng khác nhau 1, 2 … m (điều đó có nghĩa là các hạt của hệ trong khi chuyển

động có thể có năng lượng tương ứng với một trong các trị số 1, 2 … m) Giả

sử các hạt được phân bố tuỳ ý theo các ô đó với các số chứa đầy nào đó n1,

n2… nm, trong đó ni là số hạt chứa trong ô thứ i có năng lượng i (có nghĩa là trong một trạng thái nào đó của hệ n1 hạt có năng lượng 1, n2 hạt có năng lượng 2…)

Các sự phân bố tuỳ ý khác biệt nhau của N hạt theo m ô là tương ứng với các trạng thái vi mô khác nhau của hệ Số tổng cộng các trạng thái vi mô khác nhau của hệ (hay xác suất nhiệt động) tức là số các phương pháp khác

1 n n m

n

N

(1-1)

[Xem phụ lục 1]

Lấy lôba biểu thức (1-1):

lnW = lnN! - 

 m

i

i.lnn

Lấy biến phân các phương trình (1-2), (1-3), (1-4) theo các số chứa đầy, coi rằng ni lớn, bỏ qua đơn vị so với lnni ta có:

lnW = (NlnN - 



m i i

n

1 lnn1)

n

1

 = 0 (1-6)

max NlnN exp ln exp

N

.exp.exp

exp.exp.Nln

N

.exp.exp)

.(

Nln

N

m

i

i i

1

Tõ (1-13), (1-14) ®­îc:

dU d

U d N k

dS

.

exp.exp

(1-16)

Vì trong số tổng cộng N hạt của hệ có ni hạt có năng lượng i nên suy ra xác suất Wi (i) tìm hạt có năng lượng i (xác suất để hạt nằm trên trạng thái với năng lượng i) bằng:

ZkTexpN

nW

i i

) (

1.2.2 Thống kê Bôzơ - Anhstanh:

1.2.2.1 Đối tượng áp dụng:

áp dụng cho các hạt Bôzôn Các hạt Bôzôn có spin nguyên trạng thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng và không tuân theo nguyên lý Paoli (số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất kỳ từ 0 đến vô cùng)

1.2.2.2 Hàm phân bố:

Xét hệ gồm N các hạt Bôzôn Ta tách ra một miền không gian pha có zi

ô pha và tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó phù hợp với tính chất của hạt Bôzôn Bài toán quy về sự phân bố ni yếu tố không phân biệt trong các

ô đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế Số phương pháp phân bố là:

)!

1 (

)!

1 (

i i i

z n

z n

(Xem phụ lục 1)

Wi đặc trưng cho số các trạng thái có thể có đối với các ni và zi đã cho trước

Đối với các nk và zk khác, số lượng các trạng thái có thể có sẽ khác Toàn bộ các trạng thái vi mô có thể có (tức xác suất nhiệt động của hệ) là:

)!

z(n

)!

zn(W

W

i i

i i i i i

i

)!

z(n

)!

zn(ln)Wln(

Wln

11

i i

i i

])!

zln(

)nln(

])!

zn[(

i i

i z n z n n z z n

i i

i i i i

i z n n z n z n n n n n

i i

i i

n]

.n

zn[lnW

i i

n.n

zn

i i

n

zn

i ) (

.exp

z

nf

i i

max

exp

explnz)(

nW

lnk

i

exp

expln

.zU.N

áp dụng hệ thức nhiệt động

TU

i

exp

zn

)(

1.2.3 Thống kê Fécmi - Đirắc:

1.2.3.1 Đối tượng áp dụng:

áp dụng cho hệ các hạt Fermion Các hạt này có spin bán nguyên, trạng thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng và tuân theo nguyên lý Paoli (số hạt trên một mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc 1)

1.2.3.2 Hàm phân bố:

Xét hệ gồm N các hạt Fermion Ta xét một miền thứ i của không gian pha có zi ô, ta sẽ phân phối ni hạt trong đó Để nguyên lý Paoli không bị vi phạm thì phải có zi  ni Bài toán được quy về việc tìm số các phương pháp mà theo đó ta có thể phân phối ni đối tượng không phân biệt trong zi ô bằng cách

đặt vào mỗi ô một đối tượng hay bỏ trống ô đó Số các phương pháp đó là:

)!

nz(n

!zW

i i i

i i



(Xem phụ lục 4)

Số toàn phần các phức hợp đối với toàn bộ không gian pha hay xác suất nhiệt động (tổng các trạng thái khả hữu của hệ) bằng:

i

)!

nz(n

!zW

i n z n z

i i

i z n n z n z n z

i

i n n n n z

Nhân các biến phân (1-6), (1-7) với các hệ số bất định -,  rồi cộng với (1-33) ta được:

i i

i i

i

n

nzlnW

Khi có cân bằng, entrôpi  = klnW là cực đại, ta tìm được điều kiện khi

(lnW) = 0, từ (1-34) điều kiện này trở thành:

i i

n.n

nz

i i

n

nzln

i i

expz

n)

Đây chính là phân bố Fécmi - Đirắc

Các hệ số  và  được tìm như trên:  tìm từ điều kiện chuẩn hoá,

k k k

l l

l l n

n N N

exp

!

) , ( 0 1

Ký hiệu

! ) , ( 0 1

) ,

) (

l l

n

n W

Từ (2-4) ta có nhận xét: Vì vế phải của (2-4) có thể coi là hàm của các

nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm trên mức 0, n1 hạt nằm trên mức 1… nghĩa là đó là xác suất của các số chứa

đầy, do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được các số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng (trung bình số chứa đầy):

n n

n n k

k n W

Ta có điều kiện chuẩn hoá:

1

W

) ( exp

0 ( , )

1 0

n n

l

l l

G n

exp

exp

0 1

1

0 , ) (

l l

G n

G

)(

nexp

Z

1 0

Tõ ®©y suy ra ®­îc:  = -lnZ (2-8)

Ta cã thÓ chøng minh ®­îc biÓu thøc trÞ trung b×nh cña sè chøa ®Çy:

k k

sÏ cã:

) , ( 0

1 0

0 1

.

) (

Z.Z

k

Z.exp

Z.Z

1 0

0 1

.

) (

exp

1

exp

n n

l

l l l

n n

1 0

0 1

.

) (

exp

n n

l

l l l

n n

) , ( 0

1 0

0 1

.

) (

exp

n n

l

l l

n n

áp dụng các công thức (2-7), (2-8) và (2-11) ta sẽ tìm được các công thức của các thống kê lượng tử

2.2.2 Thống kê Măcxuen - Bônxơman:

áp dụng cho hệ các hạt không tương tác Đối với các hệ này các số chứa đầy có thể có trị số bất kì từ 0 đến  (nl = 0  , l = 0  ) và độ suy biến

!

!

!

! 1 0 )

(

k E

n n n

N g

k  (xem phụ lục 5)

n n N

) (

exp

1 0 0

n Z

n n

l

l l l

)(

nexp

!n

)(

nexp

n n

1

1 1 1

0

0 0 0

1 0

exp

n

l l

l l

N

N N

g

o n n

exp

n n

l

l l l

n Z

l l

1 0

l

l l

l l

11

l l

l l

exp

expexp

VËy ta cã c«ng thøc cña thèng kª B«z¬ - Anhstanh:

)(

exp

n n

l

l l l

n Z







(2-16a)

l l

l

l l

1

exp

1

Trong đó thế hoá học được xác định từ điều kiện (2-17)

Vậy ta có hàm phân bố của thống kê Fécmi - Đirác

)(

Chương 3

phương pháp lý thuyết trường lượng tử

3.1 Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt:

Dao động từ điều hoà một chiều là một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = - kx dọc theo một

đường thẳng nào đó

Biểu thức của Hamiltoniar là:

2 2

2 2

2

1

2 dx kx

d m

d i

2

1 2 2 2

q p



Đặt:

1

2

12

12

12

i

)p.qq.p

(

i

)p.qiq.pi(

)q.ip()

q.ip()

q.ip()

q.ip(

(3-9)

Ta ®­a vµo mét to¸n tö míi: 

na.ann

n

nNn

* KÕt luËn 1: C¸c trÞ riªng cña to¸n tö N lµ c¸c sè kh«ng ©m XÐt vÐct¬ tr¹ng th¸i thu ®­îc b»ng c¸ch t¸c dông to¸n tö © lªn n ta ®­îc vÐct¬ tr¹ng th¸i © n T¸c dông lªn vect¬ tr¹ng th¸i nµy to¸n tö N vµ sö dông c«ng thøc (3-11) ta cã:

n th× víi p = 1, 2, 3…, ©P n… còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö N øng víi trÞ riªng n + p nÕu chóng kh¸c nhau

KÕt hîp kÕt luËn 1 vµ kÕt luËn 2 ta thÊy r»ng nÕu n lµ mét trÞ riªng cña to¸n tö N th× chuçi c¸c sè kh«ng ©m n - 1, n - 2, n - 3… còng lµ c¸c trÞ riªng cña to¸n tö N V× chuçi nµy gi¶m dÇn nªn ph¶i tån t¹i mét sè kh«ng ©m nhá nhÊt nmin

Xét vectơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin, rõ ràng là

â nmin = 0 (3-17)

Vì nếu â nmin  0 thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng

nmin - 1 < nmin, trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất

Từ (3-17) ta suy ra:

â+ â nmin = N nmin = 0 (3-18) Mặt khác theo định nghĩa của nmin:



N nmin = nmin nmin (3-19)

So sánh hai phương trình trên ta đi đến kết luận sau:

thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu là 0 Vectơ trạng thái

này thoả mãn điều kiện:

Khi đó â+ 0 tỉ lệ với vectơ riêng 1 của N ứng với trị riêng n = 1;

â+2 0 tỉ lệ với vectơ riêng 2 của N ứng với trị riêng n = 2…, â+n 0 tỉ lệ

với vectơ riêng n của N ứng với trị riêng n

Vì

2

12

1

ω

Nˆω

)aˆ.aˆ(

1

n là vectơ riêng của H ứng với trị riêng E n1ω

Vậy ta thấy rằng trạng thái dừng của dao động tử điều hoà có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng   Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0 Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng

E0 +   có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng

  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1 +   = E0+ 2   có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 1, cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái không chứa một lượng tử nào Vì vậy, 0 gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử… n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử Nˆ có các giá trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán

tử âm khi tác dụng lên n) cho một trạng thái tỷ lệ với (n - 1) và do đó được

đoán nhận là toán tử huỷ lượng tử năng lượng Toán tử â+ khi tác dụng lên n) cho một trạng thái tỉ lệ với (n + 1) và do đó được đoán nhận là toán tử sinh trưởng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử huỷ hạt và â+ sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái n) với năng lượng

En = n  

Sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hoà Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng   Khái niệm

"hạt" đưa vào ở đây để dễ diễn đạt Thực chất đó là các "giả hạt"

Cuối cùng chúng ta tính các hệ số tỷ lệ αn,β n, ૪ n trong các hệ thức:

â n  = αn (n - 1)

â+ n = n (n + 1) (3 - 21)

n૪n â+n 0

§Ó sao cho c¸c vÐc t¬ tr¹ng th¸i lµ trùc giao chuÈn ho¸

 n> =

!n

1 â+n  0>

3.2 giao hoán tử hay phản giao hoán tử

Theo trên ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt như sau:

[ â, â+ ] = 1 (3-25) [ â, â ] = [ â+, â+ ] = 0 Các hệ thức giao hoán này được mở rộng ra cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau:

[ â, â] = 

[ â, â] = [ â, â] = 0 (3 - 26)

Có một câu hỏi được đặt ra đó là các lượng tử của dao động tử điều hoà hay một cách tổng quát hơn, các hạt mà toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt thoả mãn các hệ thức giao hoán (3-26) là Bozôn hay Fermion? Để trả lời,

ta xây dựng vecto trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và ,

đó là:

  > = â, â 0> (3 - 27)

  > = â.â  0> (3 - 28) Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào Vì các toán

tử sinh hạt thoả mãn các hệ thức giao hoán (3-26) nên:

â â = â â

Do đó ta suy ra:  > =  >

Như vậy, do có các hệ thức giao hoán (3-26) nên vectơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng với phép hoán vị hai hạt Chúng là các

có thể nhận bất cứ giá trị nguyên không âm nào phù hợp hoàn toàn với hiện tượng ngưng tụ bose - Anhstanh

Kết luận: Các toán tử sinh, huỷ bozôn phải tuân theo các hệ thức phản giao hoán (3-26)

Còn đối với các Fermion, các toán tử sinh, huỷ Fermion không thể tuân theo các hệ thức giao hoán (3-26) Để tìm các hệ thức cho Fermion ta cũng xuất phát từ các đẳng thức tương tự (3-27, (3-28) nhưng chú ý rằng trong trường hợp các Fermion véctơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất phải là phản

đối xứng với phép hoán vị hai hạt

  > =-   > (3 - 29) Vậy ta có:

Bây giờ ta giả thuyết    và tác dụng toán tử bˆ bˆ lên vecto trạng thái  > diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt Fermion đặc trưng bởi số lượng tử 

 

Trong đó ta định nghĩa: { Aˆ,Bˆ } = Aˆ Bˆ + Bˆ Aˆ (3 - 41)

Và gọi đó là phản giao hoán tử của hai toán tử Â, Bˆ

Từ các hệ thức phản giao hoán (3 - 40) ta có thể chứng minh được nguyên lý loại trừ paoli như sau:

Toán tử số hạt trong trạng thái  là Nˆ  = bˆ bˆ

được rằng các hạt có spin nguyên (như phôton,  - mezon, K - mezon…) phải tuân theo thống kê bôzơ - anhstanh và được gọi là các bozôn Các hạt bôzôn

đồng nhất có hàm sóng hoàn toàn đối xứng với phép hoán vị bất kỳ cặp hạt nào, có thể ở trạng thái ngưng tụ bôzơ - anhstanh, mỗi trạng thái của hệ các bozôn có thể bị chiếm bởi bao nhiêu bôzôn cũng được Các toán tử sinh, huỷ