Áp dụng thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội 2 Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi - dirac biến dạng - q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại LUậN VĂN THạC Sĩ VậT Lý Hà Nội 2009 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội 2 Phạm thị toản áp dụng thống kê fermi - dirac biến dạng -q nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Chuyên ngành: Vật lý chất rắn Mã số: 60 44 07 Luận văn thạc sĩ vật lý Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Lu Thị Kim Thanh Hà Nội 2009 3 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, người đã tận tình hướng dẫn và truyền cho tôi nhiều kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Cô luôn động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong công tác nghiên cứu chuyên môn. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với cô. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và Khoa Vật lý đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện, đóng góp những ý kiến, kinh nghiệm quí báu giúp tôi hoàn thành luận văn này. Hà nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Toản 4 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không hề trùng lặp với những đề tài nghiên cứu khác. Hà Nội, tháng 09 năm 2009 Tác giả Phạm Thị Toản 5 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Nội dung Chương 1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. 1.1. Lý thuyết Drude. 1.2. Lý thuyết Lorentz. 1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. 2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà. 2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac. 2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng q. 3.1. Lý thuyết q - số. 3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng –q . 3.3. Dao động tử Fermion biến dạng –q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q. 3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q. Kết luận Các công trình đã công bố Tài liệu tham khảo Trang 3 4 7 8 8 8 9 12 13 22 29 38 38 39 42 45 55 56 57 6 Phụ lục 60 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, người ta thấy rằng các kết quả thực nghiệm không trùng với các tính toán lý thuyết. Có điều này là do trong tinh thể kim loại có thể có lẫn tạp chất, hoặc có sự sai hỏng mạng tinh thể do khuyết tật, lệch mạng… Mặt khác, các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với các mô hình lí tưởng, do đó gây ra sự sai khác giữa các kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được. Trong Cơ học lượng tử cũng như trong Vật lý chất rắn, khi có sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết. Tuy nhiên, nhiều hiện tượng Vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn, và vẫn giữ được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại số biến dạng. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lý lý thuyết, vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lý lý thuyết như Thống kê lượng tử, Quang học phi tuyến, Vật lý chất rắn… Trong lĩnh vực Vật lý chất rắn, tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến các hạt Boson. Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến dạng để 7 áp dụng nghiên cứu hệ các hạt Fermion, từ đó đi xây dựng hàm thống kê Fermi – Dirac biến dạng –q và áp dụng hàm thống kê này đi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 2. Mục đích nghiên cứu: - Xây dựng hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac trong trường hợp có biến dạng. - Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong trường hợp có biến dạng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: a) Đối tượng: - Hệ khí Fermion và thống kê Fermi – Dirac. - Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự do trong kim loại. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp Vật lý lý thuyết. - Phương pháp đại số biến dạng. - Phương pháp toán giải tích. 5. Nội dung: Chương 1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. 1.1. Lý thuyết Drude. 1.2. Lý thuyết Lorentz. 1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Chương 2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. 2.1. Hình thức luận dao động tử điều hoà. 2.2. Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac. 8 2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q. 3.1. Lý thuyết q - số. 3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng -q . 3.3. Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q. 3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài: Đề tài sau khi hoàn thành sẽ: - Xây dựng lý thuyết biến dạng -q của khí Fermion và thống kê Fermi –Dirac. - Xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại trong trường hợp có biến dạng. 9 NỘI DUNG Kim loại là một loại vật rắn có tính dẫn điện tốt, độ dẫn điện vào khoảng từ 10 6 đến 10 8 1 1 m    . Đó là vì trong kim loại có chứa rất nhiều electron có thể chuyển động tự do khắp tinh thể kim loại. Nếu mỗi nguyên tử cho một electron thì trong 1 cm 3 đã có khoảng 10 22 electron hoá trị, liên kết rất yếu với các lõi nguyên tử. Chúng có thể chuyển động tự do trong tinh thể trở thành các hạt tải điện, quyết định tính dẫn điện của kim loại, nên được gọi là các electron dẫn [4], [5], [10], [11]. Nếu coi một cách đơn giản rằng các điện tử tự do này không tương tác với nhau (nói chính xác hơn là coi rằng chúng chỉ tương tác với nhau theo một cách duy nhất là va chạm), thì khi đó các điện tử này tạo thành một chất khí (còn nếu coi các điện tử này có tương tác với nhau thì chúng tạo thành một chất lỏng). Tuỳ vào việc dùng hàm phân bố nào để xét khí điện tử tự do này mà ta sẽ có các lý thuyết khác nhau [2]: (1). Nếu coi các điện tử tự do đều cùng có một giá trị năng lượng  Khí cổ điển đơn giản nhất  Lý thuyết Drude. (2). Nếu dùng phân bố Maxwell - Boltzmann cổ điển  Khí cổ điển  Lý thuyết Lorentz. (3.) Nếu dùng phân bố Fermi – Dirac lượng tử  Khí lượng tử ( hay còn gọi là khí Fermi)  Lý thuyết Sommerfeld. Sau đây, ta sẽ dùng các lý thuyết này để nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Ngoài ra, tôi xin đề xuất thêm một phương án nữa đó là áp dụng phân bố Fermi – Dirac biến dạng –q để nghiên cứu các giá trị này. 10 Chương 1 LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI. Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng vào khoảng đầu thế kỉ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron hoá trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể. Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác. Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do [2], [13], [10]. 1.1. Lý thuyết Drude. Các giả thuyết chính của Drude bao gồm: - Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng. - Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau: 2 3 2 2 T mv kT    (với 3 T kT v m  ) (1.1) - Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là d v , tuy vậy: d T v v  (1.2) Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó thu thập được trước đó. 1.2. Lý thuyết Lorentz. [...]... 1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại (1.5) 12 Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do Khi đó năng lượng trung bình của các điện tử tự do trong kim loại bằng [2], [9], [8]: E  N  d  3 3 NkT  RT 2 2 (1.6) Ở đây N: là hằng số Avôgađrô k: là hằng số Boltzmann R: là hằng số khí, R  1,99 Kcall/độ Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do. .. kết quả không đúng về nhiệt dung Lý thuyết này đã không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết khác để đi nghiên cứu giá trị nhiệt dung này 14 Chương 2 LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI Lý thuyết cổ điển khi áp dụng để giải thích các tính chất của các hạt hoặc hệ hạt vi mô, mà điển hình là điện tử đã vấp phải rất nhiều... Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên) Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù hợp với thực nghiệm Kết luận: 13 Trong chương 1, ta đã sử dụng lý thuyết cổ điển để nghiên cứu về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, và thấy... với các kim loại, còn kT 0,03 eV tại các nhiệt độ thông thường, do đó kT T 105 K 2.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại 2.3.1 Cách tính gần đúng đơn giản  F chỉ khi 32 Nhiệt dung của khí điện tử tự do lượng tử tuân theo định luật: [2] el CV T Ta có thể rút ra định luật này từ nguyên lý loại trừ Pauli một cách đơn giản như sau: - Nguyên lý Pauli làm cho ngay cả tại 0K các điện tử cũng... electron tự do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi [1], [2], [7], [9], [10] Electron có khối lượng rất nhỏ ( me s 1031 kg), spin của electron bằng 1 (tính theo đơn vị hằng số Planck  ) Mật độ electron tự do trong kim 2 loại rất lớn (thông thường cỡ 1022 - 1024 /cm3 ) Khí electron tự do trong kim. .. Kcall/độ Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là: Cel  dE 3  R dT 2 (1.7) Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:  ion  3 NkT  3RT  Cion  d  ion  3R dT (1.8) (1.9) Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt dung của điện tử: CV  Cel  Cion  3 9 RR  R 2 2 (1.10)... đầu thế kỉ XX đã phải sáng tạo ra thuyết lượng tử [1], [6], [9], [12] Năm 1927, sử dụng các khái niệm Cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell – Boltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và Lorentz Hệ các hạt đồng nhất là... n   (2.21) 2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi – Dirac 2.2.1 Dao động tử Fermion Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, huỷ hạt ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Fermion b , b và toán tử số hạt N  b  b [1], [6], [7], [12] Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất k1 ,k2 kN ( x1 , x2 , xN ) có thể lựa chọn là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng k ( xi ) của từng hạt Fermion: k ,k k ( x1 , x2... tử riêng  biệt s   Khí điện tử tự do ở 0K gọi là khí điện tử suy biến hoàn toàn 2 b) Tại T  0K Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất  = 0 cũng có thể nhảy lên mức Fermi Ta đã biết  F  lim  , nhưng vì đối với kim. .. dàng thấy rằng các toán tử ˆ ˆ bk , bk tuân theo hệ thức phản giao hoán sau: bˆ , bˆ   bˆ , bˆ   0 bˆ , bˆ     l  l k k (2.34)  l l ,k k 2.2.2 Thống kê Fermi – Dirac Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử như sau [15] Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, ˆ tương ứng với toán tử F trên tập hợp chính tắc . Fermion, thống kê Fermi – Dirac. 8 2.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại. Chương 3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q. . q - số. 3.2. Dao động tử điều hoà biến dạng -q . 3.3. Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi – Dirac biến dạng -q. 3.4. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng. Fermion và thống kê Fermi – Dirac. - Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại b) Phạm vi nghiên cứu: Khí điện tử tự do trong kim loại. 4. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp Vật lý