Nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Việc nghiờn cứu tớnh chất từ và nhiệt dung của khớ điện tử tự do trong kim loại đó thu hỳt sự quan tõm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.. Trong

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và các thầy cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học và luận văn tốt nghiệp này

Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn

VÀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ

TỰ DO TRONG KIM LOẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

HÀ NỘI, 2011

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn này không trùng lặp với các đề tài khác

Tác giả

Đỗ Ngọc Thịnh

Nếu coi một cỏch đơn giản rằng cỏc điện tử tự do này khụng tương tỏc với nhau (núi chớnh xỏc hơn là coi rằng chỳng chỉ tương tỏc với nhau theo một cỏch duy nhất là va chạm), thỡ khi đú cỏc điện tử này tạo thành một chất khớ lý tưởng, cũn nếu coi cỏc điện tử này cú tương tỏc với nhau thỡ chỳng tạo thành một chất lỏng Việc nghiờn cứu tớnh chất từ và nhiệt dung của khớ điện tử tự do trong kim loại đó thu hỳt sự quan tõm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm

Tựy vào việc dựng hàm phõn bố nào để xột khớ điện tử tự do mà ta sẽ cú cỏc lý thuyết khỏc nhau [1], [2], [3]:

- Lý thuyết Drude, coi cỏc điện tử tự do cú cựng một giỏ trị năng lượng,

ta cú hệ khớ cổ điển đơn giản nhất

- Nếu dựng phõn bố Maxwell - Boltzmann cổ điển, hệ khớ điện tử tự do là

hệ khớ cổ điển, được khảo sỏt trong Lý thuyết Lorentz

- Lý thuyết Sommerfeld dựng phõn bố Fermi - Dirac lượng tử, hệ khớ điện tử tự do là hệ khớ Fermi lý tưởng

Các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đó vẫn

có những sai khác giữa kết quả lý thuyết và thực nghiệm thu được Khi đó người

ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Nhóm lượng tử mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là một phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac như thống kê para Bose, para - Fermi, thống

kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê mở rộng [7, 8,

9, 10] Cho đến nay cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số biến dạng

Trong quỏ trỡnh học tập, tụi đó nhận thức được việc nghiờn cứu tớnh chất

từ và nhiệt dung của khớ điện tử tự do trong kim loại là một việc cú ý nghĩa khoa học trong nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật và đời sống Vỡ vậy tôi đã chọn

đề tài “Nghiờn cứu tớnh chất từ và nhiệt dung của khớ điện tử tự do trong kim loại”

Mục đích của đề tài là nghiờn cứu một cỏch cú hệ thống, đầy đủ về cỏc thuyết nhiệt dung của khớ điện tử tự do trong kim loại cả cổ điển và lượng tử; Nghiờn cứu cỏc tớnh chất từ của khớ điện tử tự do Xây dựng phõn bố Fermi - Dirac biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử Áp dụng phõn bố Fermi - Dirac biến dạng -q để khảo sỏt hệ khớ điện tử tự do trong kim loại, tớnh nhiệt dung và độ cảm từ của khớ điện tử tự do; Sử dụng phần mềm toỏn học tớnh nhiệt dung đối với một số kim loại cụ thể, thụng qua việc biện luận tham số biến dạng q cho kết quả lý thuyết phự hợp tốt với kết quả thực nghiệm

Cỏc phương phỏp chớnh của đề tài là phương phỏp giải tớch toỏn học, phương phỏp lý thuyết trường lượng tử và cỏc phương phỏp nghiờn cứu của vật

lý chất rắn

Chương 1

LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO

TRONG KIM LOẠI

1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng vào khoảng đầu thế kỷ XX Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron hóa trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể Các electron dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác Khi chuyển động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do

1.1.1 Lý thuyết Drude

Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:

- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng

- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau:

mv T kT

2

3 2

- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động

có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là v d, tuy vậy:

chúng Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết

là yếu không đáng kể Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao gồm động năng, bỏ qua thế năng Các electron tự do này tuân theo định luật phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann

.

2 4 ) (

2

2

4 )

kT

m dv

kT m kT

m

3 2

8

3 2

E mv T kT

đ

2

3 2

1.1.3 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng với một điện tử tự do Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự do trong kim loại bằng

E N đ NkT RT

2

3 2

3

  (1.6)

Ở đây N: là hằng số Avôgađrô

ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:

C V C el C ion R R R

2

9 3 2

Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù hợp Lý thuyết này không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung

Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu

1.2 Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld

là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi - Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell - Botltzmann, nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và Lorentz

Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin được coi là các hạt đồng nhất Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa Thực

ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất

là bao nhiêu Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất

dù đã đánh dấu chúng Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt được các hạt đồng nhất

Theo thuyết lượng tử:

- Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,

- meson, K-meson thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị các hạt Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein

- Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron, proton, neutron, positron thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau) Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli Hàm sóng của hệ Fermion là đối xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac

1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng

2

2 ˆ 2

1 2

dx

d i

pˆx   là toán tử xung lượng

Thay toán tử tọa độ xˆ và toán tử xung lượng pˆ x bằng toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới q ˆˆ ,p,

dx

d m

i p p

x m q x

ˆ ˆ

i x m x m dx

d m

i p q

q

) ( ˆ

i dx

d x m m

i m m

2 2

ˆ

ˆ

p m dx

d dx

d m p

m

q x

H    (1.15) Đặt

a a

i p

a a q

ˆ ˆ 2 ˆ

ˆ ˆ 2 ˆ

 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2

ˆ ˆ ˆ 2

a

i

a a a a a a a a a

a

i

ˆ 2 ˆ ˆ

2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

2

2 2

2 2

1 ˆ ˆ

a a

ˆ 1 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ

2

H     (1.18) Đặt: Nˆ aˆ aˆ

Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ  ,aˆ

N

a

N

a a a a a a a a a N a a

N

a

N

ˆ ) ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

,

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

n a a n n n

n N n

n (1.21)

Vì     0

2

r d r n

 Kết luận 1: n 0 nghĩa là các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

 Kết luận 2: Nếu n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, thì

n

aˆ cũng là hàm riêng của toán tử Nˆứng với trị riêng (n-1),

aˆ2 n cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2),

aˆp n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p)

Và aˆ n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+1),

aˆ 2 n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+2),

.aˆP n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+p)

Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:

Nˆ n n n

Mà  Nˆ,aˆ  aˆ

n a n n

a n n n a n N a n

a

N

n N a n a n

a

N

N a a a

N

ˆ 1 ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

Vậy aˆ n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1)

Ta có:

 

2 2

2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ , ˆ

a a N a a N

a a a N

2 2

2

2

ˆ 2 ˆ

ˆ 1

ˆ ˆ 1 ˆ

Vậy aˆ2 n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2)

Chứng minh tương tự ta được aˆp n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p)

Đối với vector trạng thái aˆ n , ta cũng tác dụng lên vector trạng thái này toán tử Nˆvà sử dụng công thức (1.19) ta có:

n a n n a n n a n

a

N

n a n N a

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

Vậy aˆ  n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1)

Ta có:   2

ˆ ˆ ˆ ,

Trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n  0

Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình aˆ 0  0

Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không âm (n-1), (n-2), (n-3) cũng là trị riêng của toán tử Nˆ Chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để aˆnmin  0

Nếu aˆnmin  0 thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng nmin - 1< nmin, điều này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất

Vậy aˆnmin  0 hay aˆ 0  0

Trong trạng thái chân không này ta cũng có:

aˆ 0  0tỉ lệ với trị riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=1

aˆ2 0  0tỉ lệ với trị riêng 2 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=2

.aˆn 0  0tỉ lệ với trị riêng n của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n

H   (1.23) Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng

1 ˆ

1 1 1

Trạng thái 0 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0

Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1= E0+ , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 0

Trạng thái 2 ứng với mức năng lượng thấp nhất là E2= E1+ , có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng   vào trạng thái 1 , hay thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0

Nếu lấy gốc năng lượng là

2 0







E thì E n n 

Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào

1 là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng

n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng

Toán tử Nˆ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận

là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi Nˆlà toán tử ‘‘số hạt’’

Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó aˆ được đoán nhận là toán tử ‘‘hủy’’ lượng tử năng lượng, hay aˆ được gọi là toán tử

‘‘hủy’’ hạt

Toán tử 

aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n 1 , do đó 

aˆ được đoán nhận là toán tử ‘‘sinh’’ lượng tử năng lượng, hay 

aˆ gọi là toán tử ‘‘sinh’’ hạt

Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  

Cuối cùng, ta đi tính các hệ số n ˆ N n trong các hệ thức

0 ˆ

1 ˆ

1 ˆ

n

a n

n n

a

n n

a

n n n

m n  m,n (1.28)

Từ (1.21) và (1.28) ta có n N n

n n

n N n

n

n a

n

n a

n

n n

ˆ ˆ ˆ

1 ˆ

1 ˆ

1

n

n n

a a

n

n n n

a

n n

1 1 ˆ

1 ˆ

(1.30)

Yếu tố ma trận của aˆ ,aˆ  ,Nˆ trong n biểu diễn có thể tính nhờ các biểu thức sau:

n n

n n

n n

n n n n n

N

n

n n

n n n

a

n

n n

n n n

a

n

, ,

,

1 , ,

,

1 , ,

,

,

, ,

ˆ

1 1

1 ˆ

1 ˆ

0 0 0

0

0 2 0

0

0 0 1

0 0 0

0 2 0

0 0 1

0 0 0

ˆ

n a

0

0 0 2

0

0 0 0

k v v N

k

k

N x

x x

N

!

1 ,

( ) (

) ( ) (

) (

) (

! 1

) 2 1

2 1

2 1

2 2

2

1 1

1

N k k

k

N k k

k

N k k

k

x x

x

x x

x

x x

x

N

N N

bˆk ( 0 )  k(x) (1.33) Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  ( 0 ) ta được

v

k k v v k

! 2

1 ) 0 (

ˆ

ˆ

2

1 2 1 2

 ( ) ( ) ( ) ( )

! 2

1

1 2 2

k

! 3

1 ) 0 ( ˆ

ˆ

ˆ

3 2

1 2 31

1

2 3 1 3

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

2 1 3 1

3 2

1 2 3 3

1 2

3 2 1 3

2 1

3 2 1 3

2 1

x x x x

x x

x x x x

x x

k k k k

k k

k k k k

k k

k v v k

k

N b

Khi hoán vị k , i k j thì tổng (1.34) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu Ta có:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 )

2 1 , 2

k

k  ta thấy: bˆkbˆk bˆk bˆk  0

Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái

k2, ns hạt ở trạng thái ks Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt Fermion trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

( , , )      ˆ ˆ 2 ˆ  0

2 1 1 2

s n k n k n k

n n

 (1.37) Với: N = n1 +n2+ ns

k

k

b b

k n

l

k

b b

b b

ˆ ˆ

ˆ ˆ

k l n n

Suy ra:  k  l n k

k k n

     ˆ ˆ ˆ ( 0 ) ˆ

) ,

,

(

2 1 1 2

s n k n k n k k s

k n n n b b b b

( 1 )    ˆ ˆ 2 ˆ    ˆ ˆ ( 0 )

2 1 1 1 2

1



s s

k k

n k n k k n k n k n n n

b b

b b

2

s

k k

n k n k n k n k k n

n n

b b

b b

bˆk (n1,n2, 0k, n s) bˆk (n1,n2, 1k, n s)

  1k (n1,n2, , 0k, n s) (1.40) Với là hệ số cần xác định

Ta có thể viết: bˆk (n1,n2, n k, n s)   n k  (n1,n2, , 1 n k, n s) (1.41) Với  n k thỏa mãn điều kiện n k  0  0

Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:

v v

s k s

k k

v

s k s

k k

s k k

s k

n n

n n n n n n n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

n

b

n n n n b n n n

n

k k

k

) 1 ( ) ,

,

, ( ) ,

,

, ( )

1

(

) ,

,

, ( ,

) 1 ( 1 ,

, ( ) 1 ( 1

)

1

(

) ,

,

, ( ) ),

1 , (

,

(

ˆ

) ,

, , , ( ˆ ) ),

1 ( , ,

,

(

2 1 2

1

2 1 2

1

2 1 2

Vậy  n k = v k

n

k

) 1 (

,

, (

) ,

) 1 ( 1 ,

, ( ) 1 ( 1 ) 1 (

) 1 (

) ),

1 , (

, ( ˆ ) 1 (

2 1 2

2 1

2 1

s k k

s k k

v k v

s k k

k v

n n n n n

n n n

n n n

n n n

n b n

k k

Sử dụng các công thức (1.41),(1.42) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử bˆk,bˆk

tuân theo hệ thức phản giao hoán sau

   

k l k l

b b

b b b b

, ˆ , ˆ

0 ˆ , ˆ ˆ , ˆ

1.2.2.2 Thống kê Fermi - Dirac

Để xây dựng thống Fermi - Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử như sau

Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, tương ứng với toán tử Fˆ trên tập hợp chính tắc lớn:

F

ˆ ˆ exp

ˆ ˆ ˆ exp ˆ







Thì Hˆ n    n, hay Hˆ  Nˆ (với  là năng lượng của một lượng tử năng lượng)

b b N

ˆ ˆ exp

ˆ ˆ ˆ exp ˆ

ˆ ˆ

n N e

n

n N

1 0

1 0

ˆ

ˆ

.

        N

e Tr N H

e n

n

n n

N

1

1 0 1

ˆ

) ( ) (

) (

e N

Đây chính là công thức xác định số hạt trung bình trong một trạng thái lượng

tử, nên ta có thể viết

1

1 )

( )

) (

b) Tại T00K

Khi được cung cấp thêm năng lượng từ bên ngoài thì nhiệt độ của hệ sẽ tăng lên Một số electron ở gần mức Fermi bị kích thích nhảy lên các mức năng lượng nằm trên mức Fermi Đến nhiệt độ T0 nào đó, electron ở mức thấp nhất

1

1 )



kT F

- Khi   F ta có vùng nhạy cảm

88 , 0 ) ( 2

12 , 0 ) ( 2

2

1 ) (

f kT f

F F F

Có thể nói rằng, trong một vùng chuyển tiếp có độ rộng chỉ cỡ  2kT xác suất các mức năng lượng quanh F có bị chiếm giữ hay không đã thay đổi rất mạnh

Hình 1: Hàm phân bố Fermi - Dirac tại các nhiệt độ khác nhau

- Khi tăng nhiệt đô, không phải tất cả các điện tử đều có thể thay đổi năng lượng của mình bằng cách nhảy lên các mức năng lượng cao hơn, vì các mức này nói chung đều đã bị lấp đầy, chỉ có các điện tử nằm ở các mức năng lượng gần F mới có khả năng này

- Giả sử chỉ có các điện tử nằm trên các mức năng lượng trong vùng kT quanh mức Fermi F mới có khả năng thay đổi năng lượng của mình Khi

đó, số điện tử này được tính bằng kT.g(F)

- Mỗi một điện tử như vậy khi chuyển mức sẽ thu thập thêm năng lượng cỡ

kT Do đó ta có

  kT.kT.g( F)  kT 2.g( F)

- Từ đây tính ra:

F F

el V

kT Nk g

T k C



(

 (1.48) Chú ý rằng theo công thức này C V el ~T , và như vậy đã khác xa công thức tính

2

3 2

1.2.3.2 Nhiệt dung của Khí lý tưởng Fermi

Trong kim loại, các electron tự do có thể di chuyển dễ dàng trong khoảng không giữa các nút mạng Do đó, tập hợp các electron tự do này được coi là một

chất khí Các ion dương ở nút mạng sắp xếp tuần hoàn trong không gian gây ra hiệu ứng chắn, nên tương tác giữa các electron yếu đi nhiều, song các electron tự

do này vẫn có thể di chuyển dễ dàng trong khắp vật thể Nếu bỏ qua tương tác, tập hợp các electron tự do trong kim loại được coi là khí lý tưởng Fermi

Electron có khối lượng rất nhỏ (m e ~ 10  31kg), spin của electron

2

1



s (tính theo đơn vị hằng số Planck ) Mật độ electron tự do trong kim loại rất lớn (thông thường cỡ 1022 - 1024/cm3) Khí electron tự do trong kim loại tuân theo phân bố Fermi - Dirac Do đó số electron trung bình trong một trạng thái lượng

tử bằng:

1

1 )

( )

Thế hóa học  phụ thuộc vào nhiệt độ T Khi T0 thì   0  F.

Vì các electron lần lượt chiếm các mức năng lượng từ 0 đến 0 nên 0 phải phụ thuộc vào số electron

Tổng số điên tử tự do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:

( ) (   

).

( )

g(  ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng 

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái

1

1 ) 2 ( 4

2





e m

V N

2

2 / 3

1 2

) 2 (

kT

 (1.50)

Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T là:

1

1 2

4

2 )

( )

2

2 / 3

1 2

) 2 (

kT

 (1.51)

Đặt  

3 2

2 / 3

2

2

1

) (

1 (P P 

1

) (

Khi đó IP có dạng:

) (

) (

e

F d

1

) (

)

e

F d

e

F d

1

) (

)

e

F d

e

F d

.

)

0 (

1 1

x x

F F

x x

)

0 (

1 1

x x

F F

(

p d d

F

p p

Chú ý rằng: 





 0

2 12 1



dx e

1

1

1

) (

d e

d e

=

12

1 2

1

d e

d e

12

1 2

1 2 2

p

p p

+

12

1 2

1 2 2

p

p p

/ 5 2

/ 1 2 2 2 / 5

/ 1 2 2 2 / 3

2

/

1

8

5 1 5

2 2

3 6 5

2

8

1 3

2 2

1 6 3

/

3

2 / 3 0

2 / 3 0

5 2 3

V

N m

m V N

0 0

2 / 3 2 2 0 2 / 3 0 3 2

2 / 3

5

3

3 2 2

2 3 2

k T

T0 gọi là nhiệt độ suy biến Ở nhiệt độ T<<T0 khí điện tử gọi là khí suy biến Khi T=00K thì khí điện tử suy biến hoàn toàn Ở nhiệt độ T>>T0 ta có khí điện

tử không suy biến

Lưu ý đến điều kiện áp dụng thống kê cổ điển là

3

2 2

Điều này nghĩa là ở nhiệt độ phòng thí nghiệm (T=3000K<<T0), khí điện tử tự

do tuân theo phân bố Fermi - Dirac

2 2 0 3 2 2

2 2 0

2

2 2 2 / 3 2

/ 1 2 / 3 0

12 1

8 1

8

1 3

2 3

2 2 2

5

2 0

2 2 2 / 5 0

2

2 2 2

/ 5 2

/

3

8

5 1 12

1 5

2

8

5 1 5

4 4 2

0

2 2 0

2 0

2 2 2

0

2 2 0

192

25

12

5 1

8

5 1 24

5 1

2 0

2 2

12

5 1 5

3

12

5 1

2 0

2 2 0

2

2 12

5 5 3

T k N

Kết luận chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một cách đầy đủ các lý thuyết về nhiệt dung của khí điện tử rự do trong kim loại, chỉ ra những hạn chế của lý thuyết cổ điển và sự cần thiết phải nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử rự do trong kim loại theo lý thuyết lượng tử Đã nghiên cứu về toán tử sinh hạt, hủy hạt và toán tử số hạt của dao động tử Fermion, xây dựng được thống kê Fermi - Dirac bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử, và áp dụng để tính nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

Chương 2 NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI KHI

q q x

x x

q (2.1)

với q là một tham số, nếu x là một toán tử ta cũng có định nghĩa giống (2.1)

Chú ý rằng q- số là bất biến dưới phép biến đổi nghịch đảo 1

) (

e

e e

x

x x

) sin(

e

e e

x i x

m n

2 0

! 2 ) 1 ( )

(

cos

! 1 2

1 )

1 ( )

(

sin

! )

(

n

n n q

n

n n q

n

n n q

n

x x

n

x x

x n

a ax

e

2.2 Dao động tử điều hòa biến dạng -q

Việc áp dụng đại số lượng tử vào vật lý lần đầu tiên được dưa vào năm 1989 bằng việc đưa ra dao động tử điều hòa biến dạng -q

Dao động tử điều hòa biến dạng -q được định nghĩa theo toán tử sinh hạt aˆ, toán tử hủy hạt aˆvà toán tử số hạt Nˆ, thỏa mãn hệ thức giao hoán sau;

q a a

N

a a

N

ˆ ˆ

,

ˆ

ˆ ˆ

q q

n

n n

q (2.8)

Cơ sở của không gian Fock được xác định bởi sự tác dụng liên tiếp của toán

tử sinh aˆ lên trạng thái chân không đã bị hủy bởi toán tử aˆ:

0 ˆ

Ta đi xác định hệ số A:

aˆn 0  aˆ n1aˆ 0  aˆ n1 1q 1

n n n n

a a

a

q q

q q q

n q q n

q

)!

(

3 2 1

2 ˆ 2 1 1 ˆ ˆ

1 ˆ

n

a

n n

n

a

n n

n

N

q

q (2.10)

Từ (2.7), (2.8), (2.10) ta chứng minh lại (2.4) như sau

Tác dụng hai vế của (2.4) lên không gian vector n ta được:

n q q

n q

q

N

q qn n

n q n qn n n

n q n a a n

(

) 1

(

ˆ ˆ

Xét vế trái của phương trình trên ta có

) 1 ( 1 )

q q q q

q

q q qn

n

n n n

n q q

 n n n n  n

q q

q q

q q q

Vậy các toán tử sinh, hủy hạt aˆ  ,aˆ

thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.4)

Các toán tử tọa độ qˆ và toán tử xung lượng pˆ được diễn theo các toán tử sinh, hủy q- hạt giống như hệ thức (1.16)

) ˆ ˆ

2

ˆ

) ˆ 2

q

a a

ˆ

ˆ ˆ

H

q p

Hệ thức (3.13) cho chúng ta biết phổ năng lượng của q- dao động không cách

đều nhau mà được giãn rộng hơn và có thể viết được:

2

2 1

Với các giá trị nhỏ của tham số biến dạng  , có thể khai triển chuỗi Taylor

của q- số [n]q theo các số hạng bậc của 2

 Kết quả như sau:

15120 )

3 10 7 ( 360 ) ( 6

7 5 3 2

5 3 4

3 2

1 24

1 2

E n  (2.15)

2.3 Dao động tử Fermion biến dạng -q, thống kê Fermi -Dirac biến dạng -q

2.3.1 Dao động tử Fermion biến dạng -q

Dao động tử Fermion biến dạng -q được đặc trưng bởi toán tử sinh, hủy hạt là

q q

n

n n n

q (2.17)

Ta cũng có thể chứng minh (2.16) như sau:

Tác dụng hai vế của (2.16) lên không gian vector n ta có:

   

q q

n q

q

N

q n q n

n q n n q n n

n q n b b n

q q

q q

q

q q

n q

n

n n n

n n n

q q

n

n n

q q

1 (

(điều phải chứng minh)

Hệ các dao động tử Fermion đa mode, các toán tử hủy bˆ i và toán tử sinh 

j

bˆ

với i, j=1,2, k tuân theo hệ thức phản giao hoán:

    N

ij i j ij j

i

j ij j

i

b b

N

b b

N

ˆ ˆ

,

ˆ

ˆ ˆ

2.3.2 Thống kê Fermi - Dirac biến dạng -q

Để xây dựng thống kê Fermi Dirac cho các dao động tử Fermion biến dạng

-q, ta cũng xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của một đại lượng vật lý

F tương tự như trên

F

ˆ ˆ exp

ˆ ˆ ˆ exp ˆ

N

ˆ ˆ exp

ˆ ˆ ˆ exp ˆ

ˆ ˆ ( exp

0

ˆ ).

).

(

n

q n

n n e

).

(

n

q n

n

e   

) ( 2 ) ( 1

) (

) ( 1 )

( 2

) ( 1 1

) ( )

( 1

) ( 1 )

( 1

) ( )

( 1 1

) ( )

( 1 1

1 0

).

(

) (

1

) (

1

).

( 1

)

1 ).(

1 (

)

1 ( )

1 ( 1

1

1

1

1 1

)

( )

( 1

) 1 (

q q e

e q q e

e q q q

q

e q e

q

e q e

q q

q

e q e

q q

q

e q e

q q

q

q q

q q

e

n n

n n n

n

n

ˆ ( exp

n

N

n e

n N

H

) ( 0

) ( 0

) (

n e

n

n

n n

) ( 2 ) ( 1

) (

1 1

).

( 1 ˆ

q q e

1 ( ) 2 ( )

) ( 2 ) ( ) (

q q

e e

1 )

(

1 ˆ

) ( 1 )

( 2

) (

(

1 )

( )

) (

e f

n

2.4 Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại khi áp dụng lý thuyết biến dạng -q

Tương tự như xác định nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại ở phần

lý thuyết lượng tử ở trên, ta cũng đi xác định tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T, sau đó xác định nhiệt dụng của khí điện tử tự do khi có biến dạng -q [1], [6], [7]

Ta cũng có tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự

do ở nhiệt độ T được tính theo công thức sau:

(

) ( ) (

d n N

Với  (  ) là mật độ trạng thái, và 3 / 2 1 / 2

3

2 ( 2 ) 4

).

( )

g(  ) là bội suy biến của mỗi năng lượng 

Vì mỗi mức năng lượng  ứng với hai trạng thái

(

1 )

) (

e n

2 / 3

1 )

(

1 2

) 2 (

q q e

e m

V

N

kT kT

2 / 3

1 )

(

1 2

) 2 (

q q e

e V

m E

kT kT

kT

 (2.23) Đặt 2 3

2 / 3 2

) 2 (

1 )

q q e

e N

kT kT

1 )

q q e

e E

kT kT

(

1 lim

) ( lim

1 2

0 0

kT kT

kT T

T

e q q e

Như vậy ở nhiệt độ 0 tuyệt đối các điện tử tự do phân bố rất đặc biệt, mỗi trạng thái với năng lượng   0 đều chứa một điện tử, còn các trạng thái ứng với năng lượng   0 là các trạng thái bỏ trống Nếu kể đến spin của các điện tử thì ứng với mỗi mức năng lượng   0 có hai trạng thái lượng tử phân biệt

2 / 1

1 )

e N

kT kT

kT

Để ý đến (2.26) ta có:

0 0

2 / 1

2 2

2 / 3

2 / 3 0

1 )

e E

kT kT

kT

5 / 2 0

0 0

5

3 5

( 1

) (

1 ).





d f g d e

q q e

e g

I

kT kT

) ( )

( ).

I , trong đó  (  ) là hàm thỏa mãn điều kiện  ( 0 )  0

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được

).

( 0 ) ( ).

( )

d d

(

1 1 2

kT kT

kT

e q q e

e d

2

1 2

1 2

] 1 )

( [

] ) (

2 ).[

1 (

1 1 )

kT kT

kT

kT kT

kT

e q q e

e q q e

e kT e

q q e

2

1 ) ( ).

( ) (

( ) ( )

d

df d

d

df

Lưu ý tới tính chất của hàm

( ) ( )

d

df d

(

1 )

(

1 2

1

kT kT

kT

e q q e

e f

1 2

1 2

2

1 ) (

) (

2 ).

1 ( 1 1 ) (

1 ) ( )

(

kT kT

kT kT

kT

kT kT

kT

e q q e

e q q e

e

kT e

q q e

e kT

d d

q q e

e kT

I

kT kT

kT

1 )

(

) (

1 2

dx kT d

1 1 2

1 0

21

) (

1 ln

1 ) (

).

ln (

dx x x q q

x kT

I

x

dx x

q q x

x kT

kT x kT I

Ta thấy rằng, tích phân I là không tồn tại khi 0 q 1 Vậy I =0