Chuyên Đề Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng.DOC

Chúng ta đã biết hai bất đẵng thức BĐT có nhiều ứng dụng đó là BĐT Cô Sy và BĐT Bunyakovsky.Nội dung của hai BĐT này như sau: Bất đẵng thức Cô Sy : cho n số thực không âm a1 ,a 2 ,...,a

Chúng ta đã biết hai bất đẵng thức (BĐT) có nhiều ứng dụng đó là BĐT Cô

Sy và BĐT Bunyakovsky.Nội dung của hai BĐT này như sau:

Bất đẵng thức Cô Sy : cho n số thực không âm a1 ,a 2 , ,a n Khi đó:

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a1 = a 2 = = a n

Bất đẵng thức Bunyakovsky : cho hai bộ số thực (a1 ,a 2 , ,a n )và (b 1 ,b 2 , ,b n )

Khi đó : (a1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ≤ 2 2 2 2 2 2

Trong chương trình toán phổ thông ta đã biết một số kết quả sau :

 Với hai số dương x1 ,x 2 ta có :

1 1

a a

BĐT (4) được viết dưới dạng tường minh như sau :

i i

a b

1 1

a a

Xét một số bài toán điển hình sau :

Bài toán 1 : Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với :

Áp dụng bất đẵng thức Bunyakovsky cho hai bộ số:

2

Vậy Min P = 1 Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Như vậy từ việc áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ học sinh sẻ tìm ra được lời giải hợp lý hơn cho bài toán

Bài toán 2 : Cho x ; y z > 0 thoả mãn điều kiện :

Bài toán 3 : Cho x ; y ; z > 0 thoả nãm điều kiện : x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

S

Bài giải : Áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ ta có :

1 2 3

36 1

1 3 1

1 2

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c = 1.

Bài toán 5 : Cho x ; y ; z > 0 thoả mãn điều kiện xyz = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

4

( Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007)

Bài giải : Áp dụng BĐT Côsy ta có :

Bài giải: Nếu nhìn vào cấu tạo của BĐT thì ta không thể áp dụng BĐT

Svac-sơ một cách trực tiếp được Ta hãy sử dụng phương pháp đổi biến số : Đặt : 1 a,1 b,1 c

Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh được bất đẵng thức sau :

Bài toán 7 : Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều

Vận dụng bài toán 4 ta có thể giải bài toán sau đây:

Bài toán 8 : Cho các số thực dương x,y,z,t thoả mãn điều kiện xyzt = 1.

Chứng minh rằng :

6

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c

Bài toán 10 : Chứng minh rằng :

6 4 6 4 6 4 4 4 4

x y + y z +z x ≤ x + y + z

Với x,y,z là những số thực dương

Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :

2 3

ab ac ad bc bd cd P

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi a = b = c = d.

Bài toán 12 : Cho a,b,c,d > 0 và ab + bc + cd + da = 1 Chứng minh rằng :

Theo gt : ab + bc + cd + da = 1 ,và ( )2 ( 2 2 2 2)2

ab bc cd da+ + + ≤ a + + +b c d Nên : (a2 + + +b2 c2 d2) ≥ 1 (2).

P≥ .

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1

2

a b c d= = = = .

Bài toán 13 : (Áp dụng BĐT Svac-sơ để chứng minh BĐT Nasơbit).

Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng :

3 2

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c.

Bài toán 14 : Cho a 1 ,a 2 , ,a n > 0 Đặt

1

n i i

i i

i i

n

i i

(Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ năm 2007)

Bài giải: Biểu thức đã cho tương đương với :

Đạt được khi và chỉ khi : x = y = z = 1.

Bài toán 16 : Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng :

3 3 3

1 2

BĐT được chứng minh Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : x = y = z

Bài toán 17 : Cho a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện : ab + bc + ca = 1.

Tìm Min P với :

BĐT được chứng minh Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a1 =a2 = = a n

Bài toán 20 : Cho a,b,c,m,n > 0

MA1 =MB1 =MC1 ⇔ M là tâm đường tròn nội tiếp ABC.

Bài toán 23 : Cho ABC với ba cạnh có đọ dài là a,b,c thoả mãn điều kiện : 30ab + 4bc + 1975ca = 2010.abc.

a b c= = =

Tổng quát hoá bài toán trên ta được bài toán sau:

Bài toán 24 : Cho ABC với ba cạnh có đọ dài là a,b,c thoả mãn điều kiện:

xab+ybc+zca = tabc với x,y,z,t > 0 là những số thực cho trước.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Min Q = 4.t Đạt được khi và chỉ khi :

1 3

3

Bài toán 26 : Cho hai số thực dương thay đổi x,y thoả mãn điều kiện :

0 < x + y < a + b ( Với a,b là hai số cho trước ).

BĐT cuối đúng nên BĐT (*) đúng ,suy ra BĐT đã cho đúng (đpcm).

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c = d.

Bài toán 29 : Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh rằng:

Đẵng thức xãy ra khi nào?

Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có :

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c = d.

Bài toán 30 : Cho a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện :

Bài toán 31 : Cho ABC, có độ dài các cạnh là a,b,c, bán kính đường tròn

ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r đọ dài đường cao hạ từ các đỉnh

Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi : ABC là tam giác đều.

Bài toán 32 : Giải phương trình :

4 1

1) Chứng minh rằng : với mọi a,b,c > 0 ta có :

ab bc ca P

ab bc ca

+ +

+ + (đpcm).

Đẵng thức xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c hay ABC là tam giác đều 7) Cho a,b,c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c

9) Cho x ; y ; z > 0 thoả mãn điều kiện 1 2 3 6

24