B Chúng ta đã biết hai bất đẵng thức (BĐT) có nhiều ứng dụng đó là BĐT Cô Sy và BĐT Bunyakovsky.Nội dung của hai BĐT này như sau: Bất đẵng thức : cho n số thực không âm ! " !###! #Khi đó: 1 2 1 2 + + + ≥ Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $ " $####$ # Bất đẵng thức %&'(& : cho hai bộ số thực ( ! " !###! )và )* !* " !###!* +# Khi đó : ( * , " * " ,###, * + " ≤ 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) * * *+ + + + + + Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 * * * = = = ( * * " ###* ≠ -+. Ta hãy tìm hiểu thêm một BĐT cũng có nhiều ứng dụng trong giải toán đó là BĐT (. I- BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ : Trong chương trình toán phổ thông ta đã biết một số kết quả sau : Với hai số dương . !. " ta có : 1 2 1 2 1 1 4 . . . . + ≥ + (1) Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi . $. " . Với ba số dương . !. " !. / ta có : 1 2 3 1 2 3 1 1 1 9 . . . . . . + + ≥ + + (2) Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi . $. " $. / . Với số dương . !. " !###!. ta có : 2 1 2 1 2 1 1 1 . . . . . . + + + ≥ + + + (3) Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi . $. " $####. . Bất đẵng thức Svac-sơ: Cho hai dãy số ( ! " !###! + và (* !* " !###!* +, trong đó : * ≥ -, 1,2, , ∀ = . Khi đó : 2 2 1 1 1 ( ) * * = = = ≥ ∑ ∑ ∑ (4) Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 * * * = = = . %'0102343256758941:5(;< 1 B BĐT (4) được viết dưới dạng tường minh như sau : ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 * * * * * * + + + + + + ≥ + + + 2Áp dụng bất đẵng thức %&'(& cho hai bộ số : 1 * = và { } 1 * = ta có : ( ) 2 2 2 1 1 1 . . * * * * = = = ≤ ÷ ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ ∑ suy ra : 2 2 1 1 1 . * * = = = ≤ ÷ ∑ ∑ ∑ ⇒ 2 2 1 1 1 ( ) * * = = = ≥ ∑ ∑ ∑ Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 * * * = = = . II-ỨNG DỤNG BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ VÀO GIẢI TOÁN : Xét một số bài toán điển hình sau : %'= : Cho .!!> > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . > 1 . > >. > . = + + + + + %? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-so cho hai dãy { } ; ;. > và { } 2 2 2 2 ; 2 ; 2. > >. > .+ + + Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . > 1 . > >. > . = + + + + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 . > . > . > . > >. . > + + + + ≥ = = + + + + + + + Vậy Min P = 1. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 2 2 2 . 2 2 2 . > . > . > >. > . = = ⇔ = = + + + Bài toán được giải ngắn gọn.Tuy nhiên trong thực hành bất đẵng thức Svac-sơ không được áp dụng trực tiếp ,vì vậy học sinh có thể trình bày lời giải như sau (dựa vào cách chứng minh bất đẵng thưc Svac-so ). Áp dụng bất đẵng thức Bunyakovsky cho hai bộ số: %'0102343256758941:5(;< 2 B 2 2 2 ; ; 2 2 2 . > . > >. > . + + + và { } 2 2 2 2 ; 2 ; 2. > >. > .+ + + Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . 2 . 2 2 2 2 . > . > >. > . . > >. > . ÷ + + + + + ÷ + + + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 . > . > >. > . . > >. > . ≤ + + + + + + + ÷ + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 . > . > . > >. > . . > + + ⇔ + + ≥ = + + + + + Vậy Min P = 1 .Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi .$$># Như vậy từ việc áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ học sinh sẻ tìm ra được lời giải hợp lý hơn cho bài toán . %'=" : Cho .@>A- thoả mãn điều kiện : 1. . > > >. >.+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 6 6 6 3 3 3 3 3 3 . > 1 . > > . = + + + + + %? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ ta có : ( ) ( ) 2 3 3 3 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 . > . > . > 1 . > > . . > + + + + = + + ≥ = + + + + + Mặt khác ,theo bất đẵng thức CôSy thì : 3 3 2. . .+ ≥ ; 3 3 2 > > >+ ≥ ; 3 3 2> . >. >.+ ≥ Suy ra : 3 3 3 1. > . . > > >. >.+ + ≥ + + = . Vậy 3 3 3 1 2 2 . > 1 + + ≥ ≥ Min 1 2 1 = .Dấu bằng xãy ra : 3 1 1 3 . > . > . . > > >. >. = = ⇔ ⇔ = = = + + = %'=/ : Cho .@@>A- thoả nãm điều kiện .,,>$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 4 9 . > = + + . %'0102343256758941:5(;< 3 B %? : Áp dụng bất đẵng thức Svac-sơ ta có : ( ) 2 1 2 3 1 4 9 36 36 1 . > . > + + = + + ≥ = = + + Vậy Min S = 36. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 6 1 2 3 1 3 1 1 2 . . > . > > = = = ⇔ = + + = = Trong các bài toán chứng minh BĐT,tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất đôi khi cần phải biến đổi khéo léo để có thể áp dụng trực tiếp BĐT Svac-sơ. %'=B : Cho @*@A- thoả mãn điều kiện *$ . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 3 2 1 * * * = + + ≥ + + + (Đề dự bị IMO năm 1995 ). %? : Ta có : ( ) 2 2 3 1 1 1 1 1 * * * * = = + + + . Biến đổi tương tự ta được : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 * * = + + + + + Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : 2 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 * * 1 * * + + + + ÷ ≥ = = + + ÷ ≥ Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$$ . %'=C : Cho .@@>A- thoả mãn điều kiện .>$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : %'0102343256758941:5(;< 4 B ( ) ( ) ( ) 2 2 2 . 2 2 2 . > . > > . 1 > > > > . . . . + + + = + + + + + ( Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007) %? : Áp dụng BĐT Côsy ta có : 2 > >+ ≥ ; 2> . >.+ ≥ ; 2. .+ ≥ . ( ) 2 2 2 2 2 . 2 > > . > . . . . > + ≥ = ⇒ + ≥ = Hoàn toàn tương tự : ( ) 2 2 . > + ≥ và ( ) 2 2> . > >+ ≥ . Suy ra : 2 2 2 . 2 2 2 . . > > 1 > > > > . . . . ≥ + + + + + Đặt . .= ; * = ; > >= . Suy ra !*!A- và *$ Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 * 1 * * * * * * * ≥ + + ⇔ ≥ + + + + + + + + Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2. 2 3 3 * * * 1 1 * * * * + + + + ≥ ≥ = ⇒ ≥ + + + + Vậy Min P = 2 . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 1 1 1 1 . * . > * .> > = = = = = ⇔ ⇔ = = = = . %'=D : Cho x ; y ; z là các số thực dưong thoả mãn 1 1 1 4 . > + + = Chứng minh rằng : 1 1 1 1 2 2 2. > . > . > + + ≤ + + + + + + (Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2005 ) %?: Nếu nhìn vào cấu tạo của BĐT thì ta không thể áp dụng BĐT Svac-sơ một cách trực tiếp được .Ta hãy sử dụng phương pháp đổi biến số : Đặt : 1 1 1 , , * . > = = = khi đó ta có : ,*,$Bvà!*!A- . Suy ra : . 2 1 1 1 1 1 1 16 2 2 E . > * * * + + = + + = + + + + + ≥ n 1 2 2 16 * . > + + ⇔ ≤ + + (1) Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : %'0102343256758941:5(;< 5 B 1 2 2 16 * . > + + ≤ + + (2) và 1 2 2 16 * . > + + ≤ + + (3) Cộng các BĐT (1) (2) và (3) lại với nhau ta được : 1 1 1 2 2 2 2 2 2 16 16 16 * * * . > . > . > + + + + + + + + ≤ + + + + + + + + ( ) 4 4.4 1 16 16 * + + = = = . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 4 4 3 1 1 1 3 4 * * . > * + + = ⇔ = = = ⇔ = = = = = . Bằng phương pháp tương tự ta có thể chứng minh được bất đẵng thức sau : %'=F : Chứng minh rằng nếu !*! là các số thực dương thoả mãn điều kiện : *$*,*, thì : 1 1 1 3 2 3 2 3 3 2 16 * * * + + ≤ + + + + + + 96GHI : Vì a,b,c là các số thực dương nên từ giả thiết : 1 1 1 1* * * * * = + + ⇔ + + = . Đặt : 1 1 1 , ,. > * = = = Suy ra : .!!>A- và .,,>$ # Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 36 2 3 2 3 2 3 2 3 * . > . > . > . > + + + + = + + = + + ≥ = + + + + 1 2 3 2 3 36 . > * + + ⇒ ≤ + + (1) Chứng minh hoàn toàn tương tụ ta có : 1 2 3 2 3 36 . > * + + ≤ + + (2) và 1 3 2 3 2 36 . > * + + ≤ + + (3) Cộng các BĐT (1),(2),(3) ta được : ( ) 6 1 1 1 1 3 2 3 2 3 3 2 36 6 16 . > * * * + + + + ≤ = < + + + + + + (JK2+# Vận dụng bài toán 4 ta có thể giải bài toán sau đây: %'=L : Cho các số thực dương .!!>! thoả mãn điều kiện .>$ . Chứng minh rằng : %'0102343256758941:5(;< 6 B ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 1 1 4 3. > > .> > . > . . . > >. + + + ≥ + + + + + + + + %'=M : Cho !*! là các số thực dương . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 * * * * * + + ≥ + + + + + + + + + + + %? : Ta có : ( ) 1 1 4 2 3 2 2 2 2 * * * * + ≥ = + + + + + + + (1) Tương tự ta có : ( ) 1 1 4 2 3 2 2 2 2* * * * + ≥ = + + + + + + + (2) ( ) 1 1 4 2 3 2 2 2 2 * * * * + ≥ = + + + + + + + (3) Cộng các BĐT (1),(2),(3) lại với nhau ta được : 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 * * * * * + + ≥ + + + + + + + + + + + (đpcm). Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$ . %'= - : Chứng minh rằng : 6 4 6 4 6 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1. > . > > . . > + + ≤ + + + + + Với .!!> là những số thực dương . %? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( ) 2 2 4 4 6 4 6 4 6 4 1 1 1 1 4 . . . . . . . + + = + ≥ ≥ + + (1). Tương tự : 2 4 4 6 4 6 4 1 1 1 4 > > > + = + ≥ + (2). 2 4 4 6 4 6 4 1 1 1 4> > > . > . > . + = + ≥ + (3). Cộng các BĐT (1),(2),(3) lại với nhau ta được : 4 4 4 6 2 6 4 6 4 1 1 1 4 4 4 2 . > . > . > > . + + ≥ + + ÷ ÷ + + + hay 6 4 6 4 6 4 4 4 4 2 2 2 1 1 1. > . > > . . > + + ≤ + + + + + (đpcm). %'= : Chứng minh rằng với mọi a,b,c,d > 0 ta luôn có : %'0102343256758941:5(;< 7 B 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 * H 1 * H H H * * = + + + ≥ + + + + + + + + . (Đề dự bị IMO năm 1990). %? : Ta có : 2 3 2 3 2 3 2 3 * H 1 * H H H * * = + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 * H * H * *H * H * H *H H = + + + + + + + + + + + Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được : ( ) ( ) 2 4 * H 1 * H * *H H + + + ≥ + + + + + , Mặt khác: ( ) 2 0 *− ≥ ; ( ) 2 0 − ≥ ; ( ) 2 0 H− ≥ ; ( ) 2 0* − ≥ ; ( ) 2 0* H− ≥ ; ( ) 2 0 H− ≥ . Suy ra : ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 * H * H * *H H+ + + ≥ + + + + + ( ) 2 2 2 2 2 3 * H * H * *H H⇔ + + + ≥ + + + + + . Mặt khác : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * H * H * * * *H H+ + + ≥ + + + + + + + + + . Do đó : ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 * H * *H H 1 * H * *H H + + + + + + ÷ ≥ = + + + + + . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $*$$H. %'= " : Cho !*!!HA- và *,*,H,H$ .Chứng minh rằng : 3 3 3 3 * H 1 * H H H * * = + + + + + + + + + + + (Đề dự bị IMO năm 1991) %?: Ta có : 3 3 3 3 * H 1 * H H H * * = + + + + + + + + + + + 4 4 4 4 * H * H * *H * H * H *H H = + + + + + + + + + + + Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * H 1 * H * *H H + + + ≥ + + + + + Mặt khác : ( ) 2 2 2 2 2 3 * H * H * *H H+ + + ≥ + + + + + . (1) %'0102343256758941:5(;< 8 B Theo gt : *,*,H,H$ ,và ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * * H H * H+ + + ≤ + + + . Nên : ( ) 2 2 2 2 1 * H+ + + ≥ (2). Từ (1) và (2) ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 * H * H * *H H+ + + ≥ + + + + + . Vậy ( ) ( ) 2 1 3 2 3 * H * *H H 1 * H * *H H + + + + + ≥ = + + + + + hay 1 3 1 ≥ . Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 2 * H= = = = . %'= / : (Áp dụng BĐT Svac-sơ để chứng minh BĐT Nasơbit). Cho !*!A- .Chứng minh rằng : 3 2 * * * + + ≥ + + + %? : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : 2 2 2 * * * * * * * * + + = + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 * * * * * * * + + + + ≥ ≥ = + + + + .( Do ( ) ( ) 2 3 * * * + + ≥ + + ). Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : $*$# %'= B : Cho ! " !###! A Đặt 1 = = ∑ . Chứng minh rằng : a) 2 1 = − ≥ − ∑ ; b) ( ) 2 1 1 1 = ≥ − − ∑ ; c) 1 1 = ≥ − − ∑ ; c) 2 1 1 = ≥ − − ∑ ; %? : a) Ta có : 2 2 2 1 1 1 ( = = − − ≥ − ⇔ + ≥ − + = ÷ ∑ ∑ . Hay BĐT cần chứng minh tương đương với : 2 1 = ≥ ∑ Áp dụng BĐT Svac-sơ ta được : ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . = = + + ≥ = = ∑ ∑ .BĐT được chứng minh xong. b) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : %'0102343256758941:5(;< 9 B ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 = = + + + ≥ = = − − − − ∑ ∑ (đpcm). c) Ta có : 1 1 1 1 1 = = ≥ ⇔ + ≥ + ÷ − − − − ∑ ∑ 2 2 1 1 1 . 1 1 = = ⇔ ≥ ⇔ ≥ − − − − ∑ ∑ . Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . 1 = = + + + ≥ = = − − − − ∑ ∑ (đpcm). d) Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : 2 2 2 1 1 1 1 = = = ÷ ≥ = = − − − − ∑ ∑ ∑ (đpcm). %'= C : Cho .!!> là ba số thực dương thay đổi.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 1 2 2 . 1 . > > >. > . = + + + + + ÷ ÷ ÷ (Đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ năm 2007). %? Biểu thức đã cho tương đương với : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . > . > 1 .> .> .> = + + + + + Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 6 . > . > + + + + ≥ (1). Và ( ) 2 2 2 2 3 . > . > .> .> .> .> + + + + ≥ (2). Từ (1) và (2) suy ra : ( ) ( ) 2 2 6 3 . > . > 1 .> + + + + ≥ + Vì ( ) 3 27. > .>+ + ≥ (BĐT CôSy) ( ) 2 9 3 . > .> . > + + ⇒ ≥ + + Do đó ( ) ( ) ( ) 2 9 9 6 2 2 . > 1 . > . > + + ≥ + + + + + + %'0102343256758941:5(;< 10 [...]... dương Chứng minh rằng : a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b c a Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 22 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 23 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 24 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký ... 3 6 Bất đẵng thức được chứng minh Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : a=b=c Bài toán 28 : Cho a,b,c,d > 0.Chứng minh rằng : P= a b c d + + + ≥ 2 b+c c+d d +a a+b Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : a b c d a2 b2 c2 d2 P= + + + = + + + b + c c + d d + a a + b ab + ac bc + bd cd + ca da + db Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 17 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng. .. dụng BĐT Svac-sơ ta đựoc : 2 ( 1 + 1 + + 1) 1 2n 2 2.∑ ≥ = n 2n − 1 i =1 2 − ai 2n − ∑ ai 2 n i =1 BĐT (*) đúng nên BĐT cần chứng minh cũng đúng ta có đpcm Bài toán 19 : Cho n số thực dưong (a1,a2, ,an ) và ( ai ; ai ; ; ai hoán vị của (a1,a2, ,an ).Chứng minh rằng : 1 Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 12 2 n ) là một Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng... ≥ 3 ( ab + bc + ca ) và a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 4 ( ab + bc + ca ) − ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 3 ( ab + bc + ca ) 3 ( ab + bc + ca ) P≥ = 1 (đpcm) 3 ( ab + bc + ca ) 2 Mặt khác : Do đó Suy ra : Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 21 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng Đẵng thức xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c hay ABC là tam giác đều 7) Cho a,b,c > 0... khi và chỉ khi : Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 16 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng x= y=z= 1 ⇔a=b=c= 3 3 Bài toán 26 : Cho hai số thực dương thay đổi x,y thoả mãn điều kiện : 0 < x + y < a + b ( Với a,b là hai số cho trước ) Chứng minh rằng : ( a − x) x2 a2 + ≥ x + y ( a + b) − ( x + y ) a + b 2 Đẵng thức xãy ra khi nào? Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ. . .Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng CoSy ≥ 3 3 ( x + y + z) 2 6 Vậy Min P = 9 2 9 9 81 9 = 33 = 2( x + y + z) 2( x + y + z) 24 2 Đạt được khi và chỉ khi : x = y = z = 1 Bài toán 16 : Cho x,y,z là các số thực dương Chứng minh rằng : x4 y4 z4 1 + + ≥ x3 + y 3 + z 3 y+z z+x x+ y 2 ( ) (Đề thi tuyển sinh CĐ trường ĐH Bách Khoa Hà Nội năm 2006) Bài giải : BĐT cần chứng minh... 3 + z 3 2 3 ( 3 ) BĐT được chứng minh Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : x = y = z Bài toán 17 : Cho a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện : ab + bc + ca = 1 Tìm Min P với : Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 11 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng P= a8 (a 2 + b2 b8 + ) (b 2 2 + c2 + c8 ) (c 2 + c2a2 ) 2 + a2 ) 2 Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : ( a +b +c ) +... khi và chỉ khi : sin 2 2 x = 1 cos 2 x = 0 2 1 1 ⇔ 2 sin 2 x = ±1 sin x + 2 = cos x + sin x cos 2 x Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 20 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng ⇔ 2x = π π π + kπ ⇔ x = + k 2 4 2 , k ∈Z Đối chiếu với điều kiện ta suy ra nghiệm của phương trình là : x= π π +k , k ∈Z 4 2 III-MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TÂP : Vận dụng BĐT Svac-sơ. .. nội tiếp r đọ dài đường cao hạ từ các đỉnh là ha,hb,hc Chứng minh rằng : P= 2 ha hb2 hc2` 9r 2 + + ≥ bc ca ab R 2 Bài giải : Áp dụng BĐT Svac-sơ ta có : Mặt khác : h 2 h 2 h 2` ( h + h + h ) P= a + b + c ≥ a b c bc ca ab ab + bc + ca Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam 19 2 Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng S= 1 1 1 a+b+c 1 1 1 a.ha = b.hb = c.hc ⇒ + + =... 8040.Đạt được khi và chỉ khi : a=b=c= 2009 2010 Tổng quát hoá bài toán trên ta được bài toán sau: Bài toán 24 : Cho ABC với ba cạnh có đọ dài là a,b,c thoả mãn điều kiện: xab+ybc+zca = tabc với x,y,z,t > 0 là những số thực cho trước 15 Biên Soạn : Phạm Ngọc Nam Trường Trung Tiểu Học Pé Trus Ký Chuyên Đề: Bất Đẵng Thức Svac-Sơ Và Một Vài Ứng Dụng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x+ y x+z y+z . B Chúng ta đã biết hai bất đẵng thức (BĐT) có nhiều ứng dụng đó là BĐT Cô Sy và BĐT Bunyakovsky.Nội dung của hai BĐT này như sau: Bất đẵng thức : cho n số thực không âm . * * = = = ≥ ∑ ∑ ∑ Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi : 1 2 1 2 * * * = = = . II -ỨNG DỤNG BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ VÀO GIẢI TOÁN : Xét một số bài toán điển hình sau : %'=. khi và chỉ khi : 1 2 1 2 * * * = = = ( * * " ###* ≠ -+. Ta hãy tìm hiểu thêm một BĐT cũng có nhiều ứng dụng trong giải toán đó là BĐT (. I- BẤT ĐẴNG THỨC SVAC-SƠ