Công thức quy net và một vài ứng dụng

Igas Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 121—] TRƯỜNG ĐẠI HỘC sư PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Lâm Hữu Phước Tri thức vốn quý loài người Càng lên cao, vai trò công sức người thầy quan trọng CÔNG THỨC QUY NET , VÀ Luận văn hoàn tất nhờ tổng hợp nhiều kiến thức MỘT VÀI ỨNG DỤNG từ môn suốt khóa học, mà đó, nhờ quý thầy tận tình hướng dẫn em nắm bắt Nhân em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy giảng dạy em khóa học LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Đặc biệt, hướng dẫn tận tình thầy hướng dẫn luận văn giúp Xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Mỏ đầu Chương 1- KIẾN THỨC CHUAN BỊ 1.1 Phức đồng điều 1.2 1.3 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Một số mệnh đề thường dùng 1.1.3 Phép giải 10 Phức kì dị đồng điều kì dị 11 1.2.1 Các định nghĩa 11 1.2.2 Một số mệnh đề 12 Tích tenxơ môđun 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.4.2 Tích xoắn nhóm aben 17 Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG - ZILBER 2.1 19 Tích tenxơ phức 19 2.1.1 Định nghĩa 19 2.1.2 Một số mệnh đề 22 2.1.3 Áp dụng tích tenxơ phức để tính tích xoắn 26 2.2 Định lý Eilenberg - Zilber 29 2.2.1 Các model acyclic 29 2.2.2 Định lý Eilenberg - Zilber 36 Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 3.2 38 Công thức Qny net 38 3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ 39 3.1.2 Công thức Quy net 47 3.1.3 Trường hợp đặc biệt nhóm aben 51 Một vài ứng dụng công thức Quy net 55 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng 55 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor 56 3.2.2 Tính đồng điều kì dị không gian tích 62 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như ta biết, Đại số Đồng Điều phần Tôpô Đại số, chuyên ngành xuất từ việc đưa cấu trúc đại số vào để tìm hiểu sâu sắc không gian tôpô Trong đó, tri thức phức kì dị đóng vai trò quan trọng Việc tính đồng điều kì dị có ứng dụng cụ the Tôpô Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính sai đồng phôi đồng luân không gian Tôpô hay làm rõ kết đó, Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân tích tenxơ hai phức kì dị hai không gian tôpô phức kì dị không gian tôpô tích (định lý Eilengberg - Zilber), ta có đẳng cấu đồng Mục đích Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phạm trù phức, tích tenxơ phức, phức kì dị vấn đề có liên quan Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phức đồng điều 1.1.1 Các định nghĩa • Cho R vành tùy ý, phức dây chuyền K R môđun họ {Kn, dn} gồm R—mô đun Kn R—đồng cấu dn : Kn —> Kn_ cho theo tất số nguyên n, — oo < n < oo, dn o dn+i = Điều kiện sau tương đương với đòi hỏi Kerớn D Imôn+1 Như vậy, phức K dãy vô tận hai đầu: K đó, tích hai đồng cấu hên tiếp • Chu trình n chiều phức K phần tử môđun Cn(K) = • Nếu K K' phức biến đổi dây chuyền / : K —*■ K' họ đồng cấu môđun {/n : Kn —*■ K'n, n e Z } cho &nfn = ỉn- A với n f* = H n ( f ) : H n ( K ) — Hn{K') c + ỜKn+1 ^ f (c) + dK'n+1 cảm sinh từ / đồng cấu • Đồng luân dây chuyền s hai biến đổi dây chuyền /, g : K —*■ K' họ đồng cấu môđun {sn : Kn —y K'n+lì n G z}, ^n+l^n T sn—ịdn fn gn Khi đó, ta viết s : / ~ g • Ta nói biến đổi dây chuyền / : K —> K' tương đương dây chuyền tồn biến đổi dây chuyền h : K' —> K đồng luân s : hf ~ 1K: t : fh ~ 1^/ Hn(f) = Hn(g) : VneZ 10 f ~ g Hệ 1.2 Cho K, K' phức phạm trù nhóm aben, cấc Kn nhóm aben tự dn = : Kn —► Kn-\ Khi đó, có f : K —> K' biến đổi dây chuyền cho H n ( f ) đẳng cấu với n E z hai phức K K' tương đương đồng luân Mệnh đề 1.2 Nếu s : / ~ g : K —> K' sf: f ~ g' : K' —► K" đồng luân dây chuyền ánh xạ sau đồng luân dây chuyền: fs + s'g : /7 ~ g ' g : K —> K" Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp) Đối với d ẫ y khớp ngắn phức E:0 — — - (ỵ, biến đổi dây chuyền, dẫy khớp theo nghĩa khớp n), dẫy dài nhóm đồng điều sau khớp: ■ ■ ■ Hn+1(M)ĩm H n ( K ) - ĩ u đó, En : H n ( M ) Hn(L)- ĩ v Hn(M) H^(K) — > H n _ i ( K ) gọi đồng cấu nối xấc định sau: 1.1.3 Phép giải Định nghĩa 1.1 Một phép giải môđun c dãy khớp dạng: 11 (X,e) với nhóm đồng điều Hn(X) = n > H ( X ) — c Phép giải tự Xn tự do, phép giải xạ ảnh Xn xạ ảnh Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh) Nếu : c —> c' đồng cấu, £ : X —> c phức xạ ảnh c s' : X' —► c' phép giải c', tồn biến đổi dây chuyền f : X —> X', £r o fo = o £ hai biến đổi dây chuyền đồng luân 1.2 Phức kì dị đồng điều kì dị 0 Y ánh xạ liên tục S f : sx —> SY trở thành biến đổi dây chuyền, không sợ nhầm lẫn ta viết / : sx —*■ S Y • Trường hợp p điểm, ánh xạ liên tục : X —> p cảm sinh 53 phức tự L' biến đổi dây chuyền g : L' H(K' f*®9* ỵ,H(K)®H(L) Ĩ~H(K®L) —» L Ta có biểu đồ — ETor (H(K'),H(Ư)) Tor (/*,ỡ*) — £Tor Do cách chọn /, g, ta có ánh xạ cột hai bên biểu đồ đẳng cấu, dòng khớp nên theo bổ đề ngắn, cột đẳng cấu Từ đó, dòng dãy khớp chẻ nên dòng Ta có ví dụ trường hợp này: *— Q © Q 0^— Q Q Q Q -với dn xác định sau: — Nếu qi = q[.2k với k G N* (q[1 2k) = tồn í,s G z cho t.q[ + s.2k = 1, từ đó, ta Pitq[ + Pis2k = Pi Khi đó, 54 Trường hợp n lẻ — Nếu q2 lẻ, dn ^ = ío, —ì \Oi 02) \ 02/ — Nếu q2 = 2^, với k N* dn (—, — ) = (0, 0) V9l 02/ — Nếu q2 — q'2.2k, với k € N* (q'2, 2fc) = tồn t, s E z cho t.qr2 + s.2fc = 1, từ đó, ta p2tq'2 + p2s2k = p2 Khi đó, ta đặt d„ = (o,^) V9i 92/ V 92 / Từ đó, ta có đẳng cấu: 56 55 Theo định lý (3.3) dòng biểu đồ khớp Mặt khác, từ 3.2.1 Định hệ phổra dụng giả thiết vềlý/ vài ta tử suy cột công bênthức đẳng cấu Theo bổ đề ngắn, 3.2 Một ứng dụng Quy net 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor Mệnh đề 3.7 Cho A, B, c nhóm aben Khi đó, ta có: — Ext(ffn_i(K), G) — Hn(K, G) — Hom[Hn{K), G) — Tor{A, Tor{B, C)) 2Ẻ Tor(Tor(A, B), c) (3.8) Áp dụng định lý 3.2 cho trường hợp đặc biệt với phức L có Ả chiều thứ chiều lại (xem nhóm aben Ả phức tầm Trước ta hết, ta biết thường), có kết sau: tồn nhóm aben tự Ko, L0, Mo, nhóm tương ứng chúng Kị, Lị, Mị cho: Định lý 3.3 Nếu K phức nhóm aben không xoắn A — K0/Kị B =mỗi L0/Lị M0/Mị nhóm aben.A Khi đó, với chiều n có dẫy khớp chẻ F)Kc = thứ sau: (/ 1)* : Hn{K A) —► Hn{K' ® A) đẳng cấu với nhóm aben A n số trùng với số chiều hạng tử phức, dị 0 Hn(K)®A-^Hn(K®A) /*®1 (f® 1)* Hn(K') ®A^- Hn{K'(Si , dị, (Hn-ÚK^A) Tor(/,.l) Tor(/*,l) A —► Tor dị1 57 = đây: Đối với phức trên, ta dễ nhận thấyHn(K) điều sau A n = ( B Hn{L) = { ĩỉ / nếu 71 = 0 ĩ i / o Hn{M) = Đương nhiên phức K, L, M Í thỏa c nếun = 0 n / mãn yêu cầu định lý công thức Quy net phức nhóm aben Đầu tiên, ta áp dụng công 0-^[Ho(L) Hị(M)] © [Hị(L) H0{M)} ^Hị(L M) - -Tor (H0(L), Hị{L ® M) = Tor(B,C) Tương tự, ta có: H\{K ® L) = Tor(Ẩ, B) (3.11) 58 Bây giờ, ta xem xét cụ thể phức L © M K © L Ta có: L©M : .0-—L0©M0-^(L0© M i ) © ( L i © M ) © T : • • • 0-—i^o0To^2(Ko0Li) © (iLi © L0) dì K\ ® L\^ -o - - - đó, ta nhận thấy: với m © ỉ © Mi © Li Ỡ2 (m © /) = © / — © / = Do đó, Ỡ2 = 0, tương tự, dị = Từ đó, suy ra: H2(L®M) = H2(K®L) = 0 (3.12) 59 tương tự, ta có phức (K L) M sau: (K®L)®M : : (Ko © Lo) © Mo "Ỡ; [(K0 © Lo) © Mi] © [(K0 © Li) © Mo] © [{K1 © Lo) © Mữ)] "^2 [(ATo © Li) © Mi] © P© © Lo) © Mi] © [(ATi © Li) © Mo] (K"l © hl) © Mị Rõ ràng hạng tử chiều hai phức đẳng cấu Ta gọi fị đẳng cấu chiều thứ ỉ từ hạng tử phức K (L ® M) 60 i = j = 0: f(dKk (8> (/ (8) ra) + Ả; (8> (dLl + l (8) dMm)) f(dKk (8> (/ (8) ra) + Ả; (8) (dLỉ ra) + k (l dMm)) (dKk (8> /) + (Ả: dLỉ) ra+ • i = 0, j = : /Ỡ[Ẫ; (8) (Z (8> f(dKk ® (Z (8) ra) + k (8> (dLl m — ỉ (8) dMm)) f(dKk ® (Z 8) ra) + ® (dLl ra) — ỡ'[(/c ® (Z dMrrìj) ® Z) ỡ'/[/c (8> (Z (8) ra)] ® m] 61 • ỉfd[k = 1, 0j (Z = 00 :ra)] = f{dKk ụ ra) — k ® (dLl L ) (g) M tương đương đồng luân (chứng minh trên) nên ta có kết cần chứng minh □ 3.2.3 Tính đồng điều kì dị không gian tích Như nói đầu chương, ta tính đồng điều tích tenxơ hai phức kì dị tức ta tính đồng điều kì dị không gian tích Trong mục nêu lên ứng dụng công thức Quy net kết hợp với định lý Eilenberg - Zilber đe tính đồng điều kì dị không gian tích thông qua đồng điều kì dị không gian thành phần Mệnh đề 3.8 Cho hai không gian tô pô X, Y Khi đó, ta có đẳng cấu sau: Hn{X xY)^ Hq{Y)) © £ Tor ( H m ( X ) , H q ( Y ) ) 63 phức nhóm aben, ta có dãy khớp chẻ sau: 0^ i Hm{ E Y, Tor (Hm(X Nghĩa ta có đẳng cấu: m+q=n m+q=n— Hn{S{X) ® S{Y)) ^ ^(ffm(X)®ffs(y))0^Tor(ffm(X),.ffs(y)) □ Ví dụ 3.2 Từ (3.13) (3.14) ta suy điều phải chứng minh Tính đồng điều kì dị Hn(Sm X sq): với m, q Ỷ 0 k Ỷ n 7L k = n Hn{Sn) = Hn(Sn) ẹẺ z Do đó, với trường hợp n 7^ taHo(Sn) có: *Ẻ z © Ho(Sn) = z © = z Hỵ{Sn) = 0, với k ^ vầ k n Kết hợp điều mệnh đề 3.8 ta suy 00 Hn(Sm Ht(Sm) ® H t ( S m ) ® Hn-t(sq) = H ( S m ) ® Ho(Sq) ^Z®Z = Z 64 í=0 Tức là, trường hợp H n ( S m X sq) — z • Nếu 72 = đồng điều H n _ ị ( S q ) = t > nên • Nếu 72 = 772 = q ta có f2Ht(Sm)®Hn-t(Sq) ® ® [Hn{Sm)®Ho(Sq)} = ịHm(sm) ® zr0(s»)] = z©z =>> H n ( S m x S q ) = z © z • Nếu 72 = 772 + q ta có: [Hm(Sm) ® =z©z =* #n(Sm X 5,Ợ) = z © z • Các trường hợp lại 72 làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần 65 • Nếu n = đồng điều Hn-t(Sq) = t > nên ® Hn_t(Sq) = Ha(Sm) ® H0{Sq) = z®z = z t=0 Tức là, trường hợp Hn(Sm X 59) — z • Nếu n = m n = q í=0 z ® Hn-t(sq) = _ í=0 ®sz =* Hn{Sm X sq) = z © z • Tương tự trên, trường hợp lại n làm xuất hạng tử tổng trực tiếp mà hai hạng tử thành phần tích tenxơ khác không nên trường hợp lại n Hn(Sm X sq) = Từ ví dụ trên, ta áp dụng với trường hợp cụ thể với m = q = 66 Ta biết đường tròn mặt cầu [ 5*1 hình xuyến 7L n = V Do đó, theo hệ 1.2 lại 0n1 ta K suy đương dây : • • •ra - — 0AS'(*S'1) - — Z - ^ - Ztương - — - chuyền với s1) tương đương dây chuyền với phức: L : •••»—0'—z^JLz©z*-?-z©z[...]... t0)ì ty(t0ĩ to) = t0 ® tQ Khi đó, tyty(tơ® t0) = t0 ® t0ì tyty(t0, í0) = (í0, í0), vì vậy, lại theo hệ quả hệ quả 2.3 ~ id, ~ zd Cuối cùng, do tính tự nhiên của và ty nên Chương 3 CÔNG THỨC QUY NET (KỦNNETH) VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 Công thức Quy net Theo định lý Eilenberg - Zilber trong chương trước thì tích tenxơ của hai phức kì dị (SX) 0 {SY) tương đương dây chuyền với phức kì dị của không gian tích... chương này, ta tìm hiểu về công thức Quy nét, một lời giải cho bài toán tính đồng điều của tích tenxơ hai phức thông qua đồng điều của các phức thành phần Trước hết, ta 38 39 3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ Mệnh đề 3.1 Cho KR và RL là các phức dây chyền cấc R—môđun phải và trái Khi đó: (i) Nếu u và V là các chu trình của K và L thì u 0 V là chu trình của K®L (ii) Nếu u là biên trong K và V là chu trình của... tenxơ của hai đồng cấu / và g, kí hiệu: / 0 g là đồng cấu nhóm aben từ X (g> X' vào Y 0 Y' sao cho ta có: 14 được xác định một cách tương tự Các môđun dẹt phải, dẹt trái, để 1.3.2 .Một vài tính chất Mệnh đề 1.7 Cho zlũ ĩihoĩĩi abcn cap TTi vớỉ phan tu Sỉnh c Khỉ đó, với bất kỳ nhóm aben A ta luôn có: trong đó, mA = {ma|a G A} Định lý 1.3 Cho họ { X ị } i E Ị là họ R—môđun phải và { Y j } j e j là họ các... cấu xạ g : M' —> M sao cho M £ M-0 và H0Vg)v Ỷ 0 Khi đó, mọi phép biến đổi tự nhiên H0F\M —> H0V\M được cảm sinh bởi một phép biến đổi dẫy chuyền duy nhất (sai khác một TT[F, V] = [H0FịMo, HoVịM,] Áp dụng mệnh đề 2.5, với G = HƠF và w = H0V, ta có: phép biến đổi tự nhiên F[0F\M —► H0V\M có thể được mở rộng tới H0F —> Hav, từ đó, áp dụng mệnh đề 2.6 ta có điều phải chứng 36 2.3 Định lý Eilengberg — Zilber... môđun = 0 trên vành giao hoán R Khi đó, chúng ta có các đẳng cấu: X ® Y = Y ® X và {X (g> y) 0 M = X O (Y M) Định lý 1.5 Tổng trực tiếp một họ môđun A = ® A ị là môđun dẹt khi iei và chỉ khi mỗi môđun thành phần A ị là môđun dẹt Hệ quả 1.3 Mỗi môđun tự do là môđun dẹt 15 1.4 Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ 1.4.1 Định nghĩa 1.2 Cho Tích xoắn các môđun GR là R—môđun phải và RC là R—môđun... đổi dây chuyền như vậy được gọi là ánh xạ Eilenberg - Zilber và được ký hiệu là EZ Chứng minh Viết F ( X , Y ) = ( S X ) 0 ( S Y ) , F ' ( X , Y ) = S ( X X Y ) Cả F và F ' là tự do (theo ví dụ 2.2) F k có cơ sở trong {(Ap, Aq)}p+q=k và có cơ sở trong {(Afc, Afc)}, nghĩa là {(tp ■ ơ, ta xem (/x'p, v ) = OA và quan hệ bằng nhau trong Tor^ là quan hệ tuơng đuơng bé toàn hệ thức trên (01,02) 1—> 91 + 92 (ci,c2) I—> C1+C2 nhất bảo 16 2 Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R—môđun phải và R—môđun... chiều thứ 72, ta có tương ứng là đồng cấu chiếu và từ (*), ta suy ra k Pn■ = {pn}n là biến đổi dây chuyền /Y Xn~i® Yi'^2 * ® k/- A là cấc phép giải xạ ảnh của cấc R—môđun GR và RA Khi đó, £®1 \ X ®Y —*■ G Y cảm sinh một đẳng cấu đồng điều... k ) Thật vậy, với k < 0 và mọi n thì H n ( F k ) = 0 và H n ( M k ) = 0, nên đương nhiên H n ( F k ) — H n ( M k ) Tiếp theo, ta giả sử đẳng cấu trên luôn xảy ra với m < k và mọi n Khi đó, kết hợp với biểu đồ giao hoán trên, ta có bốn ánh xạ dọc hai bên là các đẳng cấu Áp dụng bổ đề về 5 đồng cấu, ta suy ra ánh xạ dọc ở giữa cũng là đẳng cấu ơ chiều thứ n, mọi chu trình và biên của X < s > y đều... là một hàm tử bất kỳ Nếu { w j £ W M j } j E j là một họ bất kỳ thì có duy nhất một phép biến đổi tự nhiên: 4> : F —> w sao cho ịrrij) = W j với mọi j £ J Ta xác định 4> như sau: £ /c bất kỳ Do F là tự do, nên ta có thể xác định $ x : F X — > wx thông qua các phần tử sinh (F ơ ) m j , với ơ : M j —> X Ta đặt 4>x ( ( F ơ ) m j ) = (W ơ ) w j 32 Hệ quả 2.2 Cho M c JC là một phạm trù con đầy đủ và ... - Zilber 36 Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 3.2 38 Công thức Qny net 38 3.1.1 Một vài mệnh đề bổ trợ 39 3.1.2 Công thức Quy net 47 3.1.3 Trường... theo hệ hệ 2.3 ~ id, ~ zd Cuối cùng, tính tự nhiên ty nên Chương CÔNG THỨC QUY NET (KỦNNETH) VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG 3.1 Công thức Quy net Theo định lý Eilenberg - Zilber chương trước tích tenxơ hai... thức Quy net 47 3.1.3 Trường hợp đặc biệt nhóm aben 51 Một vài ứng dụng công thức Quy net 55 3.2.1 Định lý hệ tử phổ dụng 55 3.2.2 Luật kết hợp hàm tử Tor 56 3.2.2 Tính