định lý tách và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2012. 1 MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4 1.1. Tập lồi…………………………………………………………… 4 1.1.1 Tổ hợp lồi…………….……………………… … … 4 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện…………………………… … 6 1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….… 11 1.2. Hàm lồi…………………………………………………….……. . 15 Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21 2.1. Định lý tách 1………………………………………………… … 21 2.2. Định lý tách 2………………………………………………… … 26 Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27 3.1. Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32 3.2. Hệ bất đẳng thức lồi………………………………………… … 36 3.3. Xấp xỉ tuyến tính của hàm lồi……………… …………………… 41 3.4. Sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi…………………………… …43 3.5. Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán véctơ…….…………46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 2 MỞ ĐẦU Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặt biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, các bài toán cân bằng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu,…Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau. Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và những ứng dụng quan trọng. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas). Chương 3: Trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ. 3 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ tận tình và sự cổ vũ hết sức to lớn trong suốt thời gian qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường. Bản luận văn được hoàn thành trong quá trình con gái của tác giả trào đời, được sự ủng hộ về mặt tinh thần từ hai mẹ con. Kết quả của luận văn chính là món quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ con. 4 Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản trong giải tích lồi cùng với những tính chất đặc trưng của nó như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi… 1.1. Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà chúng ta đã biết như không gian con, siêu phẳng, … đều là tập lồi. Khái niệm về tập lồi có một vai trò quan trọng trong giải tích lồi. Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi, tập a- phin, tập lồi đa diện, nón lồi. 1.1.1 Tổ hợp lồi. Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong n R là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) n x R  có dạng   | (1 ) , n x x a b         R R . Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a và b trong n R là tập hợp tất cả các điểm (véc tơ) n x R  có dạng   | (1 ) ,0 1 n x R x a b          . Định nghĩa 1.2 Một tập n C R  được gọi là một tập lồi nếu C chứa mọi đoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi   , , 0;1 (1 ) x y C x y C            . Ta nói véc tơ n x R  gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ 1 2 , , , m n x x x R  nếu 5 1 1 , 0 1,2, , , 1 m m i i i i i i x x i m             . Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập con của n R là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là C lồi khi và chỉ khi: 1 1 1 1 , , , 0: 1, , , k k k j k j j j j k N x x C x C                  . Chứng minh Điều kiện đủ: Suy ra từ định nghĩa tập lồi ứng với 2 k  . Điều kiện cần: Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm. Với 2 k  , điều kiện cần chứng minh suy ra ngay từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi. Giả sử mệnh đề đúng với 1 k  điểm, ta cần chứng minh mệnh đề đúng với k điểm. Thật vậy, nếu x là tổ hợp lồi của k điểm 1 , , k x x C  . Tức là 1 1 , 0, 1, , , =1. k k j j j j j j x x j k            Giả sử 0 k   , đặt: 1 1 k j j       . Khi đó, 0 1    và 1 1 1 1 k k j j k j k j k k j j x x x x x                 . Do 1 1 1 k j j       và 0 j    với mọi 1,2, , 1 j k   nên theo giả thiết quy nạp, điểm 1 1 : k j j j y x C        . Ta có k k x y x     . 6 Do 0, 0 k     và 1 1 k k j j         nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và k x đều thuộc C . Vậy x C  . Từ định nghĩa của tập lồi ta suy ra lớp các tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Decastes. Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2) Nếu , A B là các tập lồi trong n R , C là lồi trong m R , thì các tập sau là lồi:   : | , A B x x A x B     ,   : | , , , , A B x x a b a A b B R              ,     : | , : , m n A C x R x a c a A c C        . 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện. Trong giải tích cổ điển, ta đã làm quen với các không gian con, các siêu phẳng. Đó là các trường hợp riêng của tập a-phin (đa tạp a-phin) được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3 Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa mọi đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, tức là , , (1 ) x y C R x y C            . Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm cả tập  và n R ) đều là tập lồi. b) Mọi siêu phẳng trong n R đều là tập a-phin. Mệnh đề dưới đây cho ta thấy tập a-phin chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con. 7 Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3) Tập M   là tập a-phin khi và chỉ khi nó có dạng M L a   với L là một không gian con và a M  . Không gian con này được xác định duy nhất. Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin và a M  . Khi đó L M a   chứa 0 và là tập a-phin. Do đó, L là một không gian con. Vậy M L a   Điều kiện đủ: Nếu M L a   với a M  , L là một không gian con thì , , x y M R     , ta có:         1 1 x y a x a y a             . Do , x a y a L    và L là một không gian con nên       1 x a y a L        .   1 x y M       . Vậy M là tập a-phin. Không gian con L là duy nhất. Thật vậy, nếu M L a   và ' ' M L a   , trong đó , ' L L là những không gian con và , ' a a M  thì ' ' ' ( ') L M a L a a L a a         . Do ' a M a L    , nên ' a a L   . ' ( ') L L a a L      . Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với tập a-phin M . Định nghĩa 1.4. Thứ nguyên (hay chiều) của một tập a-phin M được định nghĩa bởi thứ 8 nguyên của không gian con song song với M và được ký hiệu là dim M . Điểm n a R  là tập a-phin có số chiều bằng 0 bởi vì không gian con song song với   M a  là   0 L  . Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4) Bất kỳ một tập a-phin n M R  có số chiều r đều có dạng   | n M x R Ax b    , (1.1) Trong đó: A là ma trận cấp , m m n b R   , và rankA n r   . Ngược lại, mọi tập hợp có dạng (1.1) với rankA n r   đều là tập a-phin có số chiều là r . Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M là tập a-phin có số chiều là r và M L a   với a M  . Vậy L M a   là không gian con có số chiều là r . Theo đại số tuyến tính không gian con r - chiều này có dạng   | 0 L x Ax   Trong đó, A là ma trận cấp m n  và rankA n r   . Từ M L a   suy ra         | 0 | | M x A x a x Ax Aa x Ax b        . Điều kiện đủ: Nếu M được cho bởi (1.1) với a M  , ta có Aa b  , do đó     | 0 M x A x a a L      , với   | 0 L x Ax   Do rankA n r   nên L là không gian con có số chiều r . Vậy dim M r  Định nghĩa 1.5 Siêu phẳng trong không gian n R là tập hợp các điểm có dạng [...]... được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết tối ưu hiện đại là định lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm là định lý Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm 2.1 Định lý tách 1 Định nghĩa 2.1 Cho C  , C  R n (không nhất thiết lồi) và y là véc tơ... bổ đề này thì C và điểm gốc tọa độ có thể tách mạnh, ví dụ bởi siêu phẳng t , x   2 Định lý 2.2 (Định lý tách 2) (xem [2], định lý 6.2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C  D   Giả sử có ít nhất một tập là com-pắc Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một siêu phẳng Chứng minh Giả sử C là tập Compact Ta chỉ ra tập C  D đóng 26 Thật vậy, giả sử z k  C  D và z k  z Ta... thể tách được Ví dụ 2.2 A và B là hai đường chéo của một hình chữ nhật trong mặt phẳng 2-chiều Rõ ràng A và B là hai tập lồi mà riA  riB   , chúng vẫn tách được bằng chính mặt phẳng nhưng chúng không tách đúng được Một hệ quả rất quan trọng của định lý tách là bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, được chứng minh từ năm 1892 dưới dạng một định lý hình học Bổ đề này rất trực quan, dễ áp dụng. .. được định nghĩa bởi d C  x  : min x  y yC 6 Hàm chuẩn Giả sử x   x1 , , x n  f  x  : x 1 : max xi i Hoặc 1 2 f  x  : x :  x12   xn  2 20 Chương 2 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một. .. và D nếu sup aT x    inf a T y, x  C , y  D yD xC Bổ đề 2.1 Cho C  R n là một tập lồi khác rỗng Giả sử x 0  C Khi đó tồn tại t  R n , t  0 thỏa mãn t, x  t, x0 Chứng minh Do x 0  riC , nên sự tồn tại siêu phẳng tách trong bổ đề được suy ra từ mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong R n sao cho C  D   Khi đó có một. .. tại của một véc tơ p sao cho Ap  0 và aT p  0 Chứng tỏ rằng (2.1) có nghiệm 31 CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ TÁCH 3.1 Điều kiện tối ưu Định nghĩa 3.1 Cho C  R n khác rỗng và f : R n  R Một điểm x*  C được gọi là điểm cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại một lân cận U của x* sao cho f  x*   f  x  x  U  C Điểm x*  C được gọi là điểm cực đại địa phương nếu nếu tồn tại một lân... Cho C  R n là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho 0  C Khi đó tồn tại một véc-tơ t  R n , t  0 và   0 sao cho t , x    0, x  C Chứng minh Do C đóng và 0  C , nên tồn tại quả cầu B tâm ở gốc, bán kính r  0 sao cho C  B   Áp dụng định lý tách 1 cho hai tập C và B , ta có t  R n \ 0 và   R , sao cho t, x    t , y x  C , y  B Bằng chuẩn hóa ta có thể xem t  1 và do đó khoảng... có thuộc một tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ phương trình đại số, hay vi tích phân, tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được giải quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công... khiển, lý thuyết toán tử… Hệ quả 2.1 (Bổ đề Farkas) (xem [2], hệ quả 6.1) Cho A là một ma trận thực cấp m  n và a  R n Khi đó trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm: Ax  0, a T x  0 với một x  R n , (2.1) AT y  a , y  0 với một y  R m (2.2) Một cách phát biểu tương đương dưới ngôn ngữ hình học là: 29 Nửa không gian  x | aT x  0 chứa nón  x | Ax  0 khi và chỉ... đó có một siêu phẳng tách C và D Chứng minh Do C và D là lồi, nên C  D cũng lồi Hơn nữa, 0   C  D  , vì C  D   Theo bổ đề 2.1 áp dụng với x 0  0 , tồn tại véc tơ t  R n , t  0 sao cho t , z  0 với mọi z  C  D Vì z  x  y , với x  C , y  D , nên ta có x  C , y  D t, x  t, y Lấy  : sup t , y , yD 25 khi đó siêu phẳng t , x   tách C và D 2.2 Định lý tách 2 Bổ đề 2.2 (xem . . 15 Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21 2.1. Định lý tách 1………………………………………………… … 21 2.2. Định lý tách 2………………………………………………… … 26 Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27 3.1. Điều. toán cân bằng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không, và nếu không. tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và những ứng dụng quan trọng. Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng