Khóa luận tốt nghiệp một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ  NGUYỄN THỊ HIỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI – 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG Chương I Phép tính vi phân hàm nhiều biến I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số .3 I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến .3 I.1.2 Một số hệ tọa độ .4 I.1.3 Giới hạn hàm nhiều biến số I.2 Biểu diễn hình học hàm số biến số I.3 Sự liên tục hàm số nhiều biến số .12 I.3.1 I.4 Tính chất 12 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số 13 I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 13 I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .14 I.5 Vi phân toàn phần .15 I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần 15 I.5.2 Vi phân cấp cao 16 I.6 Đạo hàm hàm số ẩn 17 I.6.1 Hàm ẩn biến 17 I.6.2 Hàm ẩn hai biến 18 I.7 Đạo hàm theo hướng 19 I.7.1 Định nghĩa 19 I.7.2 Cơng thức tính 20 I.7.3 Gradien .21 I.8 Công thức Taylo với hàm số biến số .22 I.9 Cực trị hàm số nhiều biến số 23 I.9.1 Định nghĩa điều kiện cần cực trị .23 I.9.2 Điều kiện đủ cực trị .24 I.10 Cực trị có điều kiện .25 I.10.1 Định nghĩa điều kiện cần 25 I.10.2 Điều kiện đủ 26 Chương II Một số ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến .28 II.1 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần .28 II.2 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện 32 II.2.1 Cực trị .33 II.2.2 Cực trị có điều kiện 41 II.2.2.1 Giá trị lớn nhỏ hàm số hai biến số miền đóng bị chặn 41 II.2.2.2 Cực trị có điều kiện hàm số hai biến số 45 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người tận tình hướng dẫn bảo em suốt trình học tập nghiên cứu đề tài khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tổ mơn Vật Lý Lí thuyết Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội giúp đỡ tạo điều kiện cho em q trình hồn thành đề tài khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh Song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên khơng tránh khỏi thiếu sót định mà thân chưa thấy Em mong góp ý q Thầy, Cơ giáo bạn sinh viên để khóa luận hồn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thơng tin trích dẫn khóa luận ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỉ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Sự đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt ngành Giải tích hàm giúp cho tốn thực tế sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải nhanh gọn xác Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân phần Giải tích Phép tính vi phân hàm số nhiều biến lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wihelm Leibniz Ngày với phát triển khoa học, cơng nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế sống nghiên cứu khoa học Đặc biệt phép tính vi phân hàm số nhiều biến sở quan trọng học tập nghiên cứu vật lý Engels viết: “Chỉ có phép tính vi phân đem lại cho khoa học tự nhiên khả miêu tả tốn học khơng trạng thái mà trình” Xuất phát từ nhận thức mong muốn tìm hiểu rõ vấn đề này, em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tổng hợp lại kiến thức phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ tìm ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức thân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng: - Phép tính vi phân hàm số nhiều biến - Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến  Phạm vi: Hàm số nhiều biến Nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm số nhiều biến đưa số tốn phép tính vi phân hàm số nhiều biến  Nghiên cứu ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến để tìm cực trị, tính gần Phƣơng pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu lí luận  Phương pháp tổng kết kinh nghiệm  Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần: Chương I Phép tính vi phân hàm số nhiều biến I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến I.2 Biểu diễn hình học hàm số hai biến số I.3 Sự liên tục hàm số nhiều biến số I.4 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số I.5 Vi phân toàn phần I.6 Đạo hàm hàm số ẩn I.7 Đạo hàm theo hướng I.8 Công thức Taylor với hàm số hai biến I.9 Cực trị hàm số nhiều biến số I.10 Cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến số Chương II Một số ứng phép tính vi phân hàm số nhiều biến số II.1 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần II.2 Ứng dụng phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện NỘI DUNG Chƣơng I Phép tính vi phân hàm nhiều biến I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến  Xét không gian Euclid 𝑛 chiều 𝑅𝑛(𝑛 > 1) Gọi phần tử 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 𝑛 số thực (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛); 𝐷 tập hợp 𝑅𝑛  Khi ánh xạ: ƒ: 𝐷 → 𝑅 xác định bởi: 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷 → 𝑢 = ƒ(𝑥) = ƒ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅 (1.1) gọi hàm số 𝑛 biến số xác định 𝐷; 𝐷 gọi miền xác định hàm số ƒ: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 gọi biến số độc lập Nếu xem 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 tọa độ điểm 𝑀 ∈ 𝑅𝑛 hệ tọa độ viết 𝑢 = ƒ(𝑀) 𝑅 (𝑥1, ƒ(𝑥1)) ƒ(𝑥1) 𝑥1 a Với 𝑛 = 𝑅 𝑅 (𝑥1, 𝑥2, (ƒ(𝑥1, 𝑥2)) ƒ(𝑥1, 𝑥2) 𝑅 𝑥1 (𝑥1, 𝑥2) 𝑥2 𝑅 b Với 𝑛 = Hình 1.1 Hình 1.1: Hình vẽ hàm ƒ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) không gian 𝑅𝑛+1 chiều I.1.2 Một số hệ tọa độ  Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vng góc với đôi 𝑥 𝑂𝑥, 𝑂 , 𝑂 , mà chọn ba vector đơn vị → → , → i j , 𝑘 cho độ dài ba vector đơn vị Vị trí điểm M khơng gian hồn tồn xác định ta biết thành phần toạ độ (𝑎, 𝑏, 𝑐) ⃗𝑂⃗⃗⃗𝑀⃗→ = 𝑎ı→ + 𝑏𝑗→ + 𝑐𝑘⃗→ 𝑧 𝑐 𝑀(𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑘⃗→ 𝑂 𝑖→ 𝑗→ 𝑥 𝑏 𝑦 𝑎 Hình 1.2  Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực hệ tọa độ hai chiều điểm M mặt phẳng biểu diễn hai thành phần: + Khoảng cách từ điểm tới điểm gốc 𝑂 (gốc cực) gọi bán kính + Góc tạo đường thẳng 𝑂𝑀 với hướng gốc cho trước (trục cực) 𝑀 𝑟 𝜑 𝑂 Hình  Hệ tọa độ trụ: Cho hệ tọa độ Descartes vng góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ trụ điểm 𝑀 không gian ba (𝑟, 𝜑, 𝑧) xác định sau:  𝑟 ≥ khoảng cách từ gốc tọa độ 𝑂 đến hình chiếu vng góc 𝑀′ 𝑀 xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦  ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 góc (𝑂𝑥, 𝑂⃗ ⃗⃗⃗ 𝑀⃗ ⃗→′ )  𝑧 độ cao điểm 𝑀 Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vng góc biểu thức sau: 𝑥 = 𝑟 𝑠i𝑛 𝜑 {𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑧=𝑧 𝑥 = 𝑂𝐴 = 𝑂𝑀′ 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑦 = 𝑂𝐵 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 M 𝑧 = 𝑀𝑀′ = 𝑧 𝑂 𝐴 𝐵 𝑟 𝜑 𝑀′ Hình 1.4  Hệ tọa độ cầu: Cho hệ tọa độ Descartes vng góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ cầu điểm không gian ba số (𝑟, , 𝜑) xác định sau: