Chương 5 phép tính vi phân hàm số nhiều biến

CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Hàm số nhiều biến Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến Cực trị hàm nhiều biến Bài HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I II • Hàm số nhiều biến • Một số hàm nhiều biến kinh tế I Hàm số nhiều biến Khái niệm hàm số hai biến: ◼ ◼ Một hàm số f xác định miền D  R2 quy tắc đặt tương ứng điểm M(x;y)D với số thực w f: Ký hiệu: D ⎯⎯→ R (x; y) ◼ w = f(x; y) = f(M) Tập D gọi miền xác định f Khái niệm hàm số n biến: f: D ⎯⎯→ R (x1 ; x ; x n ) w = f(x1 ; ; x n ) = f(M) II Một số hàm số kinh tế Hàm sản xuất: ● Gọi Q sản lượng sản xuất loại hàng hóa Q phụ thuộc yếu tố sản xuất: L số đơn vị lao động dùng để sản xuất hàng hóa đó; K số đơn vị vốn (hay tư bản) dùng để sản xuất hàng hóa đó; Ta có hàm sản xuất: Q = f(K; L) ● Gọi wL , wK giá thuê đơn vị lao động đơn vị vốn thị trường cạnh tranh ta có: Hàm chi phí sản xuất: TC = wK.K + wL.L + C0 Hàm lợi nhuận:  = p.f(K,L) – wK.K – wL.L – C0 3.1.3 II Một số hàm số kinh tế Hàm chi phí kết hợp: Một sở sản xuất loại sản phẩm với sản lượng Q1,Q2 Ta có hàm chi phí kết hợp: TC = TC(Q1,Q2) Khi hàm lợi nhuận thiết lập cho trường hợp: ❑ TH1: Sản xuất cạnh tranh (Cho giá sản phẩm loại p1, p2) Hàm lợi nhuận là: π = (p1Q1 + p2Q2) - TC(Q1,Q2) ❑ TH2: Sản xuất độc quyền (Cho hàm cầu loại sản phẩm Q1=D1( p1) Q2= D2(p2) ) Hàm lợi nhuận là: π = D1−1 (Q1 )Q1 + D2−1 (Q2 )Q2 − TC(Q1 ,Q ) 3.1.3 II Một số hàm số kinh tế Hàm lợi ích: Trước hết ta gọi: ● X(x1 ,x2 ) túi hàng, bao gồm x1 đơn vị hàng hóa thứ x2 đơn vị hàng hóa thứ hai ● U mức độ lợi ích người tiêu dùng mua túi hàng Khi hàm lợi ích: U = U(x1,x2) ● Hàm lợi ích thường có dạng Cobb-Douglas U = ax1αx2β; a, α, β > Bài ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ỨNG DỤNG I II III • Đạo hàm riêng vi phân cấp • Đạo hàm riêng vi phân cấp cao • Sử dụng đạo hàm riêng kinh tế I Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến Khái niệm đạo hàm hàm hai biến số: Hàm số w = f(x,y) xác định miền D  R2 ◼ Đạo hàm riêng f theo biến x điểm (x0;y0)D: f(x + x; y ) − f(x ; y ) x → x f 'x (x ; y ) = lim ◼ Đạo hàm riêng f theo biến y điểm (x;y)D : Chú ý: ◼ ◼ f(x ; y + y) − f(x ; y ) f 'y (x ; y ) = lim y → y Các quy tắc tính đạo hàm riêng tương tự quy tắc tính đạo hàm hàm số biến coi biến lại số Ta sử dụng ký hiệu: f 'x = f f ; f 'y = x y I.Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến Khái niệm vi phân ◼ Nếu hàm số w = f(x,y) xác định DR2 có đạo hàm riêng liên tục điểm (x0;y0)D giá trị: df(x0;y0) = f’x(x0;y0).x + f’y(x0;y0).y với x, y cho trước đủ nhỏ, gọi vi phân toàn phần f điểm (x0;y0) ◼ Nếu hàm số w = f(x,y) xác định DRn có đạo hàm riêng liên tục điểm (x;y)D biểu thức: df = f’x.dx + f’y.dy gọi biểu thức vi phân toàn phần f miền D 3.3.5 hàm riêng vàphân vi phân II ĐạoĐạo hàm riêng vi cấpcấp caocao Đạo hàm riêng cấp cao Hàm hai biến w = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai sau: f ''xx f ''xy  f = (f 'x )'x = x 2  f = (f 'x )'y = xy f ''yx 2f = (f 'y )'x =  y x f ''yy 2f = (f 'y )'y = y 10 Cực trị có điều kiện hàm số hai biến a Bài tốn Tìm cực trị hàm số: w = f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b b Phương pháp nhân tử Lagrange ◼ Lập hàm Lagrange: L = f(x,y) + [b – g(x,y)] ◼ Tìm điểm dừng hàm Lagrange: Giải hệ: ◼ L'x =  ' L y =  M0 (x , y ,  ) ' L  = : Điểm dừng hàm Lagrange Điều kiện đủ: Tại điểm dừng lập ma trận Hass  g1 g2    H =  g1 L11 L12  , g L L 22  21   g1 = g'x (x , y ) g2 = g'y (x , y )  '' L12 = L"xy (M0 )  L11 = L xx (M0 )  " " L = L (M ) L = L yx 22 yy (M0 )  21 Nếu det(H)>0 w=f(x,y) với điều kiện g(x,y)=b đạt cực đại (x0;y0) Nếu det(H)