chương 1 biến cố và xác suất của biến cố

Chương BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ    Bài Phép thử biến cố Bài Một số định nghĩa xác suất Bài Các cơng thức tính xác suất NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP     Chỉnh hợp Chỉnh hợp lặp Hoán vị Tổ hợp NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP  Chỉnh hợp:  Chỉnh hợp chập k n phần tử cho nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho (k ≤ n)  Ví dụ 1: Cho tập hợp gồm chữ số 1, 2, …, Hỏi tạo nên số có chữ số khác từ chữ số đó?  Số chỉnh hợp chập k n: n! A  (n  k)! k n NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP  Chỉnh hợp lặp:  Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử cho nhóm có thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử cho phần tử có mặt 1, 2, …, k lần  Ví dụ 2: Cho tập hợp gồm chữ số 1, 2, …, Hỏi tạo nên số có chữ số từ chữ số  Số chỉnh hợp lặp chập k n: A n k n k NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP    Hoán vị: Mỗi cách sếp phần tử tập hợp gồm n phần tử khác gọi hoán vị n phần tử Ví dụ 3: Một bàn có chỗ ngồi Có cách xếp sinh viên vào bàn đó? Số hốn vị n phần tử: Pn  n! NHẮC LẠI CÁC CÁCH KẾT HỢP    Tổ hợp: Tổ hợp chập k n phần tử cho nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho (k ≤ n) Ví dụ 4: Một nhóm sinh viên gồm nữ, nam Hỏi có cách chọn sinh viên? Có cách chọn sinh viên nữ sinh viên nam? Số tổ hợp chập k n: n! C  k!(n  k)! k n BÀI PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ   Định nghĩa phép thử biến cố Mối quan hệ biến cố phép thử ĐỊNH NGHĨA PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ   Phép thử việc thực nhóm điều kiện xác định để quan sát tượng Một phép thử có nhiều kết cục khác Các kết cục gọi biến cố ĐỊNH NGHĨA PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ  Các loại biến cố:  Biến cố chắn: biến cố định xảy sau phép thử, ký hiệu U  Biến cố khơng thể có: biến cố định không xảy sau phép thử, ký hiệu V  Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy sau phép thử, ký hiệu A, B, C… hay A1, A2,… MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 10         Quan hệ kéo theo Quan hệ tương đương Tổng (hợp) biến cố Tích (giao) biến cố Quan hệ xung khắc Quan hệ đối lập Hiệu hai biến cố Hệ đầy đủ biến cố CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TÍCH CÁC BIẾN CỐ 34   Ví dụ 4: Một người quên chữ số cuối số điện thoại cần gọi nên chọn ngẫu nhiên chữ số để bấm Tính xác suất để người đến lần thứ chọn số Ví dụ 5: Một công ty tuyển nhân viên vào làm cách tổ chức vòng thi Vòng chọn 88% thí sinh, vịng chọn 65% thí sinh đỗ vịng 1, vịng chọn 75% thí sinh đỗ vịng Giả sử khả thí sinh a) Tính xác suất cho thí sinh dự thi nhận vào cơng ty b) Nếu thí sinh dự thi bị loại, hỏi khả thí sinh bị loại vịng bao nhiêu? CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 35  Với A, B biến cố bất kỳ, ta có: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)  Với A1 , A2 , A3 biến cố bất kỳ, ta có: P(A1  A  A3 )  P(A1 )  P(A )  P(A )  P(A A )  P(A A )   P(A A )  P(A A A ) CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 36  Với n biến cố bất kỳ, ta có:  n  n P   Ai    P(Ai )   P(Ai A j )   P(A i A jA k )   ( 1) n 1 P(A1A A n ) i j i  j k  i 1  i 1  Chú ý:  Nếu A1 , A2 , , An biến cố xung khắc đơi thì: P(A1  A2   An )  P(A1 )  P(A2 )   P(An ) đưa từ cơng thức tính xác suất tổng biến cố thành tính xác suất tích biến cố:  Ta    P(A1  A   A n )   P A1  A   A n   P A1.A A n  CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 37  Ví dụ 6: Một máy gồm phận hoạt động độc lập nhau, xác suất phận 1, 2, bị hỏng tương ứng 0,13; 0,15; 0,17 Tính xác suất: a) Có phận bị hỏng b) Có phận khơng bị hỏng  Ví dụ 7: Có người, người bắn viên đạn, khả bắn trúng bia người thứ nhất, thứ 2, thứ 0,8; 0,9; 0,7 a) Tính xác suất có người bắn trúng bia b) Nếu có người bắn trúng bia, hỏi khả người thứ bao nhiêu? CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 38  Ví dụ 8: Một máy gồm phận hoạt động độc lập Xác suất phân bị hỏng 0,15; phận bị hỏng 0,2 Máy không hoạt động cần có phận bị hỏng Người ta quan sát thấy máy khơng hoạt động được, tính xác suất:  Bộ phận bị hỏng  Có phận bị hỏng CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 39  Ví dụ 9: Có hộp sản phẩm: Hộp có sản phẩm loại I, sản phẩm loại II, sản phẩm loại III; hộp có sản phẩm loại I, sản phẩm loại II, sản phẩm loại III Từ hộp lấy sản phẩm Tính xác suất: a) Hai sản phẩm lấy loại b) Hai sản phẩm lấy khác loại c) Biết sản phẩm lấy có sản phẩm loại I, hỏi khả sản phẩm hộp bao nhiêu? CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 40  Ví dụ 10: Có hộp sản phẩm: Hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu; hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Từ hộp lấy sản phẩm Tính xác suất: a) Các sản phẩm lấy không loại b) Trong sản phẩm lấy có sản phẩm tốt c) Nếu sản phẩm lấy khơng loại, tính xác suất để sản phẩm có sản phẩm xấu CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 41  Ví dụ 11: Một sinh viên thi môn với xác suất đỗ môn thứ 0,7; đỗ môn thứ 0,8; đỗ môn 0,6 Tính xác suất sinh viên đó: a) Chỉ đỗ mơn b) Khơng đỗ mơn  Ví dụ 12: Khả gặp rủi ro đầu tư vào dự án I, II tương ứng 10%; 8% gặp rủi ro đồng thời đầu tư vào dự án 5% Nếu đầu tư vào dự án Tính xác suất: a) Ít dự án gặp rủi ro b) Chỉ dự án I gặp rủi ro c) Khơng có dự án gặp rủi ro CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG CÁC BIẾN CỐ 42  Ví dụ 13: Người ta dự định đầu tư vào dự án A B Xác suất dự án A gặp rủi ro 0,07; dự án B gặp rủi ro 0,08; dự án A gặp rủi ro 0,05 Tính xác suất để người đầu tư vào dự án thì: a) Khơng có dự án gặp rủi ro b) Có dự án gặp rủi ro c) Nếu có dự án gặp rủi ro, hỏi khả dự án B bao nhiêu? CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 43  Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử A1 , A2 , , An hệ đầy đủ biến cố B biến cố xảy phép thử với biến cố Khi đó: n P(B)   P(A i )P(B / A i ) i 1  Công thức Bayes: Với giả thiết trên, thêm điều kiện biến cố B xảy ra, ta có: P(Ai )P(B / Ai ) P(Ai / B)  P(B) i  1, n CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 44   Ví dụ 14: Hai máy chế tạo loại sản phẩm, khả chế tạo phẩm máy 0,9; máy 0,8 Chọn máy cho máy chế tạo sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm chế tạo phẩm b) Nếu sản phẩm chế tạo phẩm, tính xác suất để sản phẩm máy chế tạo Ví dụ 15: Có lơ hàng: lơ có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu, lơ có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên lô hàng từ lơ lấy sản phẩm a) Tính xác suất sản phẩm lấy sản phẩm tốt b) Nếu sản phẩm lấy sản phẩm tốt, hỏi khả chúng sản phẩm lơ bao nhiêu? CƠNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CƠNG THỨC BAYES 45   Ví dụ 16: Cho lơ hàng Ví dụ 15 Do sơ suất, người ta đánh rơi sản phẩm từ lơ sang lơ Sau từ lơ người ta lấy sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt, tính xác suất sản phẩm lô bị rơi sang lô sản phẩm tốt Ví dụ 17: Cho lơ hàng Ví dụ 15 Từ lơ lấy sản phẩm, lô lấy sản phẩm từ sản phẩm thu chọn ngẫu nhiên sản phẩm a) Tính xác suất để sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt b) Giả sử sản phẩm lấy sau sản phẩm tốt Khả sản phẩm lơ bao nhiêu? CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CƠNG THỨC BAYES 46   Ví dụ 18: Người ta vận chuyển thùng sách có 10 tốn lý Trong q trình vận chuyển bị thất lạc sách Nơi nhận lấy sách từ thùng thấy lý Hỏi khả sách bị rơi sách tốn bao nhiêu? Ví dụ 19: Một kho hàng chứa sản phẩm nhà máy 1, 2, với tỷ lệ tương ứng 40%, 25% 35% Biết tỷ lệ phế phẩm nhà máy 1, 2, 1%; 1,5%; 2% a) Tính xác suất lấy phế phẩm kho hàng b) Giả sử sản phẩm lấy từ kho hàng phế phẩm, hỏi khả sản phẩm nhà máy lớn nhất? CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES 47   Ví dụ 20: Một lơ hạt giống có 40% hạt giống loại 60% hạt giống loại Tỷ lệ không nảy mầm hạt giống loại 1, 5% 6% a) Tính tỷ lệ hạt không nảy mầm lô hạt giống b) Trong số hạt giống khơng nảy mầm lơ đó, hạt giống loại chiếm %? Ví dụ 21: Tỷ lệ người có thu nhập cao vùng A 22% Trong số người có thu nhập cao vùng đó, tỷ lệ người có tiền gửi tiết kiệm 86%, số người khơng có thu nhập cao vùng đó, tỷ lệ 17% Hỏi số người có tiền gửi tiết kiệm vùng đó, số người khơng có thu nhập cao chiếm %? CÔNG THỨC XÁC XUẤT ĐẦY ĐỦ, CƠNG THỨC BAYES 48  Ví dụ 22: Ở nhà máy giày, tỷ lệ đôi giày sản xuất ca sáng, chiều, tối 50%, 40% 10% Tỷ lệ đôi giày bị lỗi đôi giày sản xuất ca sáng, chiều, tối 3%, 5%, 8% Kiểm tra ngẫu nhiên đôi giày a) Tính xác suất đơi giày kiểm tra bị lỗi b) Nếu biết đôi giày kiểm tra khơng bị lỗi khả sản xuất ca cao nhất? ... GIỮA CÁC BIẾN CỐ 15  Hiệu hai biến cố: Hiệu hai biến cố A B biến cố xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy sau phép thử 2 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 16  Hệ đầy đủ biến cố: n biến cố đươc gọi... tính xác suất tích biến cố Cơng thức tính xác suất tổng biến cố Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 27  Định nghĩa: Xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xảy... Ngược lại, ta nói biến cố A phụ thuộc biến cố B 1 XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN 30  Các biến cố độc lập đôi: n biến cố gọi độc lập đôi hai biến cố n biến cố độc lập với  Các biến cố độc lập toàn (độc