XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ XÁC SUẤT & THỐNG KÊ PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH

XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ XÁC SUẤT & THỐNG KÊ PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Thời lượng: 45 tiết lớp, ≥ 90 tiết tự học - PHẦN XÁC SUẤT ỨNG DỤNG Chương Xác suất Biến cố Chương Biến vectơ ngẫu nhiên Chương Quy luật phân phối xác suất thường gặp PHẦN THỐNG KÊ SUY DIỄN Chương Ước lượng tham số Chương Kiểm định giả thuyết tham số TÀI LIỆU HỌC TẬP Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Lê Khánh Luận, Nguyễn Thanh Sơn – Xác suất & Thống kê – ĐH Kinh Tế TpHCM TÀI LIỆU HỌC TẬP Website: tailieuplk.webnode.vn - Slide tóm tắt học lớp - Các bảng tra phân vị xác suất - Bài tập đề nghị, giới thiệu sách giáo trình Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ XÁC SUẤT ỨNG DỤNG Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Bài XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng tất nhiên Hiện tượng Hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.2 Phép thử Biến cố a) Phép thử (test): Quan sát, thí nghiệm,… Khơng thể dự đoán chắn kết xảy Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.2 Phép thử Biến cố b) Biến cố (events) Khi thực phép thử, ta liệt kê tất kết xảy  Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử đó, ký hiệu  Mỗi phần tử gọi biến cố sơ cấp  Mỗi tập A gọi biến cố Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.2 Phép thử Biến cố b) Biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử • Tập hợp tất điểm số: {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu • Các biến cố sơ cấp phần tử: , 0, ,…, 21 10 • Các biến cố tập : A {4; 4, 5; ; 10}, B {0; 0, 5; ; 3, 5} ,… Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.2 Phép thử Biến cố b) Biến cố (events) VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử • Các biến cố A, B phát biểu lại là:  A : “sinh viên thi đạt môn XSTK”;  B : “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.2 Phép thử Biến cố b) Biến cố (events) • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn, ký hiệu Biến cố xảy gọi biến cố rỗng, ký hiệu VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người • Biến cố “chọn nam” chắn • Biến cố “chọn người nữ” rỗng Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương Nếu A xảy B xảy ra, ta nói A kéo theo B, ký hiệu A B Nếu A kéo theo B B kéo theo A, ta nói A B tương đương, ký hiệu Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố a) Quan hệ tương đương VD Cho trước hộp hộp có quà Ông X mở hộp Gọi: Ai : “hộp mở lần thứ i có quà” (i 1,2, ); B : “Ơng X mở hộp có q”; C : “Ơng X mở hộp có q”; D : “Ơng X mở hộp có quà” Khi đó, ta có: Ai B , B C , C B B D Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố b) Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A xảy hay B xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra), ký hiệu A B hay A B • Tích hai biến cố A B biến cố, biến cố xảy A B xảy phép thử, ký hiệu A B hay AB Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố b) Tổng tích hai biến cố VD Một người thợ săn bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Khi đó, ta có: A A1 A2 B A1 A2 Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố b) Tổng tích hai biến cố VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; Ki : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); A : “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử là: {K1K2 ; N1K2 ; K1N ; N1N } Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố b) Tổng tích hai biến cố Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: K1K2, N1K2, K1N 2, N1N Biến cố A sơ cấp A N1K2 K1N Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố c) Biến cố đối lập A A Không xảy ra, ngược lại Xảy Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố c) Biến cố đối lập VD Từ lô hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi Ai : “chọn i phẩm”, i 9;10;11;12 Khơng gian mẫu là: A9 A10 A11 A12 Biến cố đối lập A10 là: A10 \ A10 A9 Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo A11 A12 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố d) Hai biến cố xung khắc Trong phép thử, A B không xảy ta nói A B xung khắc với VD Hai sinh viên A B thi môn XSTK Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ có sinh viên thi đỗ” Khi đó,A B xung khắc; B C khơng xung khắc Chú ý A B xung khắc không đối lập Bài Biến cố ngẫu nhiên 1.3 Quan hệ biến cố e) Hai biến cố độc lập Trong phép thử, hai biến cố gọi độc lập có xảy hay không không ảnh hưởng đến khả xảy ngược lại Chú ý Nếu A B độc lập với cặp biến cố: A B , A B , A B độc lập với Bài Xác suất Biến cố 2.1 Khái niệm xác suất Quan sát biến cố phép thử, khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Ký hiệu xác suất biến cố A P(A) Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Xác suất Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét phép thử với không gian mẫu { 1; ; n } biến cố A Nếu tất biến cố sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố A định nghĩa P (A) Số trường hợp A xảy Số trường hợp xảy nA n Bài Xác suất Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển VD Một công ty cần tuyển nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Bài Xác suất Biến cố 2.2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển VD Từ hộp chứa 86 sản phẩm tốt 14 phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 25 sản phẩm Tính xác suất chọn được: 1) 25 sản phẩm tốt; 2) 20 sản phẩm tốt Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Xác suất Biến cố 2.3 Định nghĩa xác suất dạng thống kê Nếu thực phép thử n lần (đủ lớn), ta thấy có k lần biến cố A xuất xác suất biến cố A theo nghĩa thống kê P (A) k n Ví dụ • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) Bài Xác suất Biến cố 2.3 Định nghĩa xác suất dạng thống kê • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 Bài Xác suất Biến cố 2.4 Tính chất xác suất 1) P(A) 1, biến cố A 2) P( ) 3) P( ) 4) Nếu A B P(A) Nguyễn Hồng Tuấn sưu tầm soạn thảo P(B ) XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.1 Xác suất biến cố tổng • Nếu A B hai biến cố tùy ý P(A B) P(A) P(B) P(A B) • Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A • Nếu họ {Ai } (i P A1 A2 B) P(A) P(B) 1, , n ) xung khắc đơi An =P(A1 )+P(A2 )+ +P(An ) Bài Công thức tính xác suất 3.1 Xác suất biến cố tổng VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có 13 nhà đầu tư vàng, 17 nhà đầu tư chứng khoán 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng hay chứng khoán? Bài Xác suất Biến cố 3.1 Xác suất biến cố tổng VD 1’ Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng, tính xác suất để người khơng mắc bệnh? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 10 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.1 Xác suất biến cố tổng VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất lấy viên phấn màu đỏ Bài Cơng thức tính xác suất 3.2 Xác suất biến cố có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố ngẫu nhiên A B Xác suất biến cố A sau biến cố B xảy gọi xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B, ký hiệu cơng thức tính là: P AB P (A B ) P (B ) Bài Cơng thức tính xác suất 3.2 Xác suất biến cố có điều kiện VD Từ hộp chứa bi đỏ bi xanh người ta bốc ngẫu nhiên bi Gọi A : “bốc bi đỏ”; B : “bốc bi xanh” Hãy tính P(A | B ), P(B | A) ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 11 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.2 Xác suất biến cố có điều kiện Nhận xét Khi tính P(A | B) với điều kiện B xảy ra, nghĩa ta hạn chế không gian mẫu xuống B hạn chế A xuống cịn A B Tính chất 1) P A B 1, A ; C P A B 2) A 3) P A B P C B ; P AB Bài Cơng thức tính xác suất 3.3 Xác suất biến cố tích • Nếu A B hai biến cố độc lập P(A B) P(A)P(B) • Nếu A B hai biến cố khơng độc lập P(A B) P(B)P A B • Nếu n biến cố Ai (i P A1A2 An P(A)P B A 1, , n ) phụ thuộc P A1 P A2 A1 P An A1 An Bài Cơng thức tính xác suất 3.3 Xác suất biến cố tích VD Một người có bóng đèn có bóng bị hỏng Người thử ngẫu nhiên bóng đèn (khơng hồn lại) chọn bóng tốt Tính xác suất để người thử đến lần thứ Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 12 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.3 Xác suất biến cố tích VD Một sinh viên học hệ niên chế thi lại lần lần thi thứ bị rớt (2 lần thi độc lập) Biết xác suất để sinh viên thi đỗ lần lần tương ứng 60%, 80% Tính xác suất sinh viên thi đỗ? Bài Công thức tính xác suất 3.3 Xác suất biến cố tích VD 5’ Xác suất sinh viên học qua môn Tư tưởng HCM lần học 0,75 Tính xác suất sinh viên học qua môn không lần học Bài Cơng thức tính xác suất VD Có hai người A B đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu công ty với xác suất mua tương ứng 0,8 0,7 Biết có người mua được, xác suất để người A mua cổ phiếu là: 19 40 12 10 A ; B ; C ; D 47 47 19 19 Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 13 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất VD Ông A bắn viên đạn vào mục tiêu mục tiêu bị phá hủy bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng mục tiêu 0,8 Nếu viên thứ trúng mục tiêu xác suất viên thứ hai trúng 0,7 Nếu viên thứ không trúng xác suất viên thứ hai trúng mục tiêu 0,3 Biết ơng A bắn trúng, tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy ? Bài Cơng thức tính xác suất VD Trong dịp tết, ông A đem bán mai lớn mai nhỏ Xác suất bán mai lớn 0,9 Nếu bán mai lớn xác suất bán mai nhỏ 0,7 Nếu mai lớn khơng bán xác suất bán mai nhỏ 0,2 Biết ông A bán mai, xác suất để ơng A bán hai mai là: A 0,6342; B 0,6848; C 0,4796; D 0,8791 Bài Công thức tính xác suất VD Hai người A B chơi trò chơi sau: Cả hai luân phiên lấy lần viên bi từ hộp đựng bi trắng bi đen (bi lấy không trả lại hộp) Người lấy bi trắng trước thắng người A lấy trước Tính xác suất người A thắng ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 14 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes a) Hệ biến cố đầy đủ Trong phép thử, hệ gồm n biến cố A1, A2, …, An gọi hệ biến cố đầy đủ có biến cố họ xảy Tính chất: i) Các biến cố hệ đôi xung khắc ii ) A1 A2 An Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Công thức xác suất đầy đủ Bayes a) Hệ biến cố đầy đủ VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Ai : “hạt lúa bốc bao thứ i ”, i 1, Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } đầy đủ Chú ý Trong phép thử, hệ {A; A} đầy đủ với A tùy ý Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Công thức xác suất đầy đủ Bayes b) Công thức xác suất đầy đủ Xét hệ n biến cố {Ai } (i 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử, ta có P (B ) P (A1 )P B A1 P (An )P B An n i P (Ai )P B Ai Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 15 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Công thức tính xác suất 3.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes VD 10 Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn kích cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng 1%, 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2% Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên bóng đèn từ cửa hàng Tính xác suất để người mua bóng đèn tốt ? Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Công thức xác suất đầy đủ Bayes VD 11 Chuồng thỏ I có thỏ trắng thỏ đen, chuồng II có thỏ trắng thỏ đen Ngẫu nhiên có thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II, sau có thỏ chạy từ chuồng II Tính xác suất để thỏ chạy từ chuồng II thỏ trắng ? Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Công thức xác suất đầy đủ Bayes VD 12 Có kho bia chất lượng chứa thùng giống (24 lon/thùng) gồm loại: loại I để lẫn thùng lon hạn sử dụng loại II để lẫn thùng lon hạn Biết số thùng bia loại I 1,5 lần số thùng bia loại II Chọn ngẫu nhiên thùng kho từ thùng lấy 10 lon Tính xác suất chọn phải lon bia hạn sử dụng ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 16 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Công thức xác suất đầy đủ Bayes c) Công thức xác suất Bayes Xét hệ n biến cố {Ai } (i 1,2, , n ) đầy đủ B biến cố phép thử Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy sau B xảy P Ai B P (Ai )P B Ai P (B ) Nhà Toán học người Anh Thomas Bayes (1702 – 1761) Bài Cơng thức tính xác suất 3.4 Cơng thức xác suất đầy đủ Bayes VD 13 Xét tiếp VD 10 Giả sử khách hàng chọn mua bóng đèn tốt Tính xác suất để người mua bóng đèn màu vàng ? Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 17 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất VD 14 Có 20 thùng hàng giống gồm loại: thùng loại I, thùng loại II thùng loại III Mỗi thùng hàng có 10 sản phẩm số sản phẩm tốt tương ứng cho loại 8, Chọn ngẫu nhiên thùng hàng từ thùng lấy sản phẩm 1) Tính xác suất có sản phẩm lấy tốt 2) Tính xác suất có sản phẩm lấy tốt thùng hàng loại II 3) Giả sử có sản phẩm lấy tốt, tính xác suất sản phẩm thùng hàng loại II Bài Cơng thức tính xác suất VD 15 Nhà máy X có phân xưởng A , B , C tương ứng sản xuất 20%, 30% 50% tổng sản phẩm nhà máy Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy X sản xuất 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm hỏng 2) Tính xác suất sản phẩm hỏng phân xưởng A sản xuất 3) Biết sản phẩm chọn hỏng, tính xác suất sản phẩm phân xưởng A sản xuất Bài Cơng thức tính xác suất VD 16 Tỉ lệ ôtô tải, ôtô xe máy qua đường X có trạm bơm dầu : : 13 Xác suất để ôtô tải, ôtô xe máy qua đường vào bơm dầu 0,1; 0,2 0,15 Biết có xe qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để ơtơ ? 11 10 A ; B ; C ; D 57 57 57 57 Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 18 XÁC SUẤT ỨNG DỤNG CHƯƠNG XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Cơng thức tính xác suất 3.5 Công thức xác suất Bernoulli: Xét phép thử, biến cố A có xác suất P(A) = p Thực phép thử n lần, xác suất có k lần xuất biến cố A là: P (A, n, k ) C nk pk (1 p)n k Bài Cơng thức tính xác suất 3.5 Cơng thức xác suất Bernoulli: VD Nhà Tèo nuôi 10 gà mái Xác suất gà mái đẻ trứng ngày 0,75 Tính xác suất Tèo thu trứng ngày VD Xác suất gặp kẹt xe đường Lọ Nồi học từ nhà đến trường lần 25% Trong 10 lần học, tính xác suất Lọ Nồi gặp kẹt xe lần Nguyễn Hoàng Tuấn sưu tầm soạn thảo 19 ... Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử • Tập hợp tất điểm số: {0; 0, 5; 1; 1, 5; ; 9, 5; 10} mà sinh viên đạt khơng gian mẫu • Các biến cố sơ cấp phần tử: , 0, ,…, 21 10 ... hệ tương đương VD Cho trước hộp hộp có quà Ông X mở hộp Gọi: Ai : “hộp mở lần thứ i có quà” (i 1,2 , ); B : “Ơng X mở hộp có q”; C : “Ơng X mở hộp có q”; D : “Ơng X mở hộp có quà” Khi đó, ta có:... thợ săn bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết” Khi đó, ta có: A A1 A2 B A1 A2 Bài Biến