Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê phần 2

Chương IV MẪU THỐNG K Ê VÀ c LƯỢNG THAM s ố §4.1 M Ẫ U T H Ố N G KÊ VÀ P H Â N PHÔÌ THỤC N G H IỆM 4.1.1 T óm tắt lý thuyết N h iệ m vụ thống kê toán phâìì liclì s ấ ìiệii (gồm ihu thập xử lý) n h ằm thu nhận thông tin chân thực đại lượng rút kết luận hợp lý có giá trị khoa học thực tiễn G iáo trình giới hạn việc giới thiệu sô phương phấp xử lý số liệu Khái niệm sở củ a thống kê toán tập mẫ u, gọi tắt mẫu; tập đối tượng chất chọn cách ngẫu nhiên T ậ p lìân gọi tập bao gồm đối tượng chất đó, nơi m tiến h n h việc chọn mẫu DiiiiíỊ lượng niẫii số lượng đối tượng có tập mẫu Mẫu gọi k h ô n g hoàn lại đối tượng c h ọ n không bị Iiá lai trước chọn đối tượng c ó hoàn lại k h ô n s làm n h T h ô n g thường mẫu gọi bé dung lượng kh ô n g vượt 23 - 30 phần tử Tập m ẫu xét giáo trình tập số - giá tri m ộl biến ngẫu nhiên X phép thử khác Sau độc c ho 102 đơn eiản ta giả sử c h ú n g thu thập mộl cácli lập; đ ó mặt lý thuyết coi m ẫu mộl tập biến ngẫu nhiên độc lập có m ột phân phối (điổu phép chứng m in h tính chất thống kê đặc írưng mâu để ihấy lính hợp lý cùa việc sử dụng chúng lý ihuyếl thực hành) Còn troiiíi tập lính toán, m ẫ u đơn giản dãy số thực ta thường gặp toán nói chung Khi nghiên cứu inẫii có dung lượng //, kh ố n g loại irừ khả nãng giá trị xuất nhiều lần mảu Bằng việc gộp giá trị lại ta biểu diễn m ẫu b ã n s sau đây: ỉỉ // //, tthỉ X, -V; ■\'l n^ số lần xuất giá trị V, ( / = 1, , vô’ giá trị lương ứng //j + Ả) Các ỈỈ2 + + riị /ỉ^ = /? Đồ ý tất /í, 1, ta có giá trị m ẫu khác Irường hợp k - ỉỉ (dung lượng mẫu) Tỷ số tần số dung lượng mẫu gọi tán s uất {i = 1, 2, , k) Có siá trị tương ứng ký hiệu Ihể chứng lỏ dễ dàng: Ì 'V , = Ẻ i=i i=i n n n Bảng số sau thiết lập mối quan hệ tương hỗ giưa giá trị mẫu tần suất c chúng: X ( 1) ^'2 cho c h ú n g ta tranh hán chất xác suất c biến ngẫu nhiên X cảm sinh mẫu; bảng s ố h a y gọi pliâìỉ p h ố i íỉìực lìịỊlìiệni (hoặc phân p h ố i m ẫ u) củ a biến X Nó có dạng giống bảng phân phối xác suất b iến ngẫu nhiên rời rạc (xcm mục 2.1) Đôi irong bảng (1.1) giá trị 103 mẫu cho kh ô n g phải b ằ n g số, m m ột k h o ả n g trục số; sau tính toán, th ô n g thường ta thay k h o ả n g số giá trị nằm khoảng (như tru n g bình c khoảng) Ngoài bảng (1.1) người ta xây d ự n g h m p h n p h ố i x ác suất thực nghi ệm biến ngẫu n h iên c ả m sinh mẫu; cách tìm hàm n h giống cách làm m ục 2.2 b ằ n g c c h coi ( 1.1) m ột bảng phân phối xác suất M’, xác suất N h việc xác định h m phân phối thực n g h iệ m c h ín h trình tìm tần suất tích luỹ (và kh i đ ó bảng (1.1) số liệu phải theo thứ tự tăn g d ầ n c ủ a giá trị) Bây xác định c c đ ặ c t r n g m ẫ u c bản: * Trưng bình mẫu A" = —V /7 ,x , «tí x=— ' ( 2) » /=1 * P h n g s a i mẫii = -Y n,{x^-xf ” ,=1 s2 (a - x ) " (1.3) « ,=1 Phươn g sai m ầ n hi ệu chỉnh ụ -x Ỵ (1.4) Dễ thấy / - * H m p h â n p h ố i mẫu: G iả s t r o n g (1 ) k h i < X < < Xị X < X , , h t a c ó F„U) = k h i /=^1 k h i (1.5) 104 < X < ^ /,+ 1, X > X k• ( / / = , , , k - ) Ngoài xác định đặc trưng mâu khác trung vị mẫu, m ô-m en m ẫ u Việc tính theo (1.2) - (1.4) xét mục 4.3 T rong thống kê m ỏ tả, để biểu diẻn quy luật phán phối xác suất người ta dùng phương pháp đổ thị, chẳng hạn: * Đư ờn g gấp k húc p h â n p h ố i đường nối điểm (X|, M’|), (^ , Wj), (x^., vvj; điểm (.V/, «/), * T ổ chức đ hệ toạ độ X ị^ ( a', giả sử chúng cách v); trục hoành toạ độ h = ~ A', ^ 2, X j, Ta dựng hình (hoặc M',) chiều rộng Ìì với chữ nhật có chiều cao điểm đáy //[...]... Xác định bảng phân phối thực n g h i ệ m và đ ư ờ ng gấp k h ú c phân phối tương ứng 5 Người ta chọn ra 65 lô h à n g của 2 tháng liên tiếp của cùng mộl nhà m áy đem đi thử nghiệm , số lượng các phế phẩm là; 0 1 1 3 0 1 0 0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 3 1 2 2 4 2 1 1 1 0 2 0 0 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 0 1 1 2 1 2 2 2 0 1 0 1 1 0 2 2 1 1 2 1 1 0 0 và 1 2 2 1 2 3 1 0 2 4 0 0 2 3 4 4 1 41 6 2 2 0 4 2 2 2 2 1 1 2. .. phương sai 124 Bài 2 Đo độ dài của một loại trục xe, ta có bảng kết quả sau đây (cột 1 và cột 2) : Số lượng giá trị Nhóm í/,77, dfn^ h 1 8 ,4 -1 8 ,6 1 18,5 -3 -3 9 1 8 ,6 -1 8 ,8 6 18,7 -2 -1 2 24 18,8 - 19,0 22 18,9 -1 -2 2 22 19,0 - 19 ,2 41 19,1 0 0 0 1 9 ,2 -1 9 ,4 19 19,3 1 19 19 19,4 - 19,6 7 19,5 2 14 28 19,6 - 19,8 4 19,7 3 12 36 z 100 8 138 Hãy ước lượng độ dài trung bình và phương sai Giải: Ta... (22 ); còn áp lực lên loại vật liệu đó sau khi xây dựníz c ó luật J “ (9) Tìm xác suất dể vật liộu đó chịu được áp lực đã biết Giải\ Trên thực tế ta phải tìm xác suất để cirờiig độ chịu lực Để cúa vậl liệu phái bé hơn áp lực đã biết, tức là tìm p xh f ’ sẽ có phân phối F (9 ,2 2 ) xem (2. 5) Tra ý tỷ số ^22 / 2 2 bảng phân phối F với a - 0,05, giao điểm của hàng «1 = 9 và 79 côt = 22 cho ta kết quả 2, 34... 2, 34 ^ ~ í P [F > 2 ,3 4 -> )^ p ^ =p >1 yX ịl j Điều đó có nghĩa là / 9 /9 / ả /2 2 ^ 22 = l \ F > 2 ,3 4 ), 9 ^ Suy ra x á c suất > 1 p 0,05; X 22 từ đó \ á c suất cần tìm là 1 — 0,03 = 0,95 4 .2. 3 lìài tậ p 1 N ăng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên chuẩn X ~o ) ( í / , ơ ‘ ) với a = 50 tạlììíi và ơ = 3,5 Tim xác suất để khi gặt ngầu nhiên một thửa ruộng ở \'ùna dó thì năng suất lúa sẽ: a) K... B ài 2 Cho À’ là biến ngẫu n h iê n ~ (9) Tìm xác suất để X k h ô n g vượt q u á giá trị 2, 7 Giải: Ta phải tìm p { x < 2 , 1 ) Theo bảng phân phối (xem phụ lục A) ở giao điểm của hàng n = 9 với cột a = 0,975 ta có giá trị 2, 7; điều đó có nghĩa là: P{T > 2 , 7 ) = 0,9 7 5 T ừ đó xác suất cần tìm là 0, 025 Bài 3- T ìm xác suất đ ể b iế n n g ẫ u n h iên T - í (17) có giá trị; a) k h ô n g bé hơn 2, 11;... 1 41 6 2 2 0 4 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2 3 2 5 3 3 0 1 1 3 2 2 3 2 2 2 2 2 1 6 4 0 4 1 2 2 1 10 12 Xây dựng các đường gấp khúc p h â n phối tương ứng \'à c h o biết chấl lượng của hai bộ lỗ h à n g của hai tháng đó có giống nhau không? tại sao? 6 Số liệu sau đây là sô' k ỹ s ư đ ế n thực tập tại m ộ t h ã n g trong vòng nửa n ă m tại các xí n g h i ệ p k h á c nhau: 1 12 59 70 79 73 79 45 71 67 61 69 61... xếp lại dãy số liệu 126 2, 6 2 2,75 2, 76 2, 86 3,05 3, 12 3,37 3,49 T ừ đó trung vị mẫu sẽ là giá trị nằm ở vỊ trí (8 + l ) / 2 = 4,5; vậy có thể coi nó bằng trung bình của các giá trị thứ 4 và thứ 5 và bằng (2, 86 + 3,05) /2 = 2, 96 c) D o c á c giá trị m ẫu khá c nhau nên k h ô n g có ước lượng m ẫu c ủ a m ốt B ài 5* Người ta tiến hành m ột dãy phép thử độc lập nhằm xác định xác suất xuất hiện một sự... 8 10,1 10 ,2 129 4 Đ o chiều cao 100 sinh viên củ a m ột trường đại học thì thu được kết quả sau đây: C h iề u cao 1 52 156 156 160 160 164 164 168 168 1 72 1 72 174 Số sinh viên 15 16 25 27 10 7 T im k ỳ vọ n g và phương sai m ẫu 5 Sô liệu đo điện trở c ủ a 2 0 tụ đ i ệ n n h ư sau: 4,45 4,45 4,40 4, 42 4,45 4 ,3 8 4,4 2 4,36 4,35 4,40 4,4 2 4 ,4 4 4,36 4, 42 4 ,4 4 4,3 8 4,3 9 4,40 4, 42 4,45 Xác định trung... không vượt quá lO^r 2 Ngưòi ta kicin ira chất iượng 1000 sán phám và biết rằng xác suất để sán phám đạt yêu cáu là 0, 92 Hãy lìm với xác suất 119 0,954 xem số sản phẩm đạt yêu cầu nằm trong khoảng n à o (chọn khoảng đối xứng với tâm đối xứng là 92 0 sản phẩm)? 3 Tim xác suất để biến ngẫu nhiên X ~ r (15) nhận giá trị: a) không bé hơn 2, 6; b) nằm giữa - 2 , 6 và 2, 6; c) nằm giữa 0 và 2, 6 4 Lần thử nghiệm... lại; để ý lá là các phần c h ữ số c ủ a phần th ậ p phân (hàng chục và h à n g trăm, tức là chí số phần trăm và phần vạn của số đo tương ứng; c h ẳ n g h ạ n ứng với cây 2, 7 ta có các sỏ' liệu gốc là 2, 728 ; 2, 700 và 2 ,7 3 8 ) H ã y xác định b ả n g phân phối thực n g h iệ m ứng với sơ đ ổ c â y - lá này 4 Q u a n sát m ột biến n g ẫ u n h i ê n 25 lần ta có bộ s ố liệu: 2 5 7 Ỉ 2 3 7 6 3 9 4 10 8 5