Ebook Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê

[r]

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ

HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

C h u o n íi I

SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ C y u : P H É P T Í N H X Á C S U Ắ T

§1, S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ C Á C P H É P T O Á N T R Ê N S ự K I Ệ N 1.1.1 T ó m tãl lý t h u y ế t^ V

1 S k i ệ n k h i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a

S i í k i ệ n n íịủ n nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể

hiổii hiên t ợ n s dó xảy hoục k h ô n g thè’ Káy có m ột diều kiện xác dịnli Ta ký hiệu c ác sư kiện bằiig chữ' iii hoa A B, c

Trong lớp kiện nụẫu nhiên có hai kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, kiẹn liíc xáy ta có sư kiện lất yêu (kv hiệu U) kliông xảy ta có kiện h ấ i k h ả (kv hiệu \ ').

N s i la x c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c c s ự k i ệ n n h sau:

* Tổng: lổní> c u a hai kiện m ột kiện chí việc xảy mộl Irong hai kiện trẽn, ký hiệu A + B.

Tí cl r licli c ủ a h a i s ự k i ệ n l m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a

đ ồng thòi cá hai kiện, ký hiệu AB.

Đối lập: hai kiện A Ẵ dirợc gọi dơi lập ln chí xảy ircMig hai kiện Từ dó dẻ

+ = ( / = \ '

* X u n g khắc: hai kiện /\ \ ầ B đ ợ c gọi xiíiìịỉ k h ắ c c h ú n g k h ô n g đ n g thời xảy tức A B = V,

* Kéo theo: kiện /4 kéo iheo kiện B. ký hiệu ,4 ^ B

nếu xảy /4 xảy B.

* Tương đương: hai kiện /i B gọi Itíơiìí; cíicơììg,

ký hiệu /A = B, B B => A

Đ ể ý hai phép toán tổng lích có m ột số tính chất c ủ a phép cộng phép nhân:

(a) A + 13 = B + A\ A B = BA:

ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { Á B ) C = A{BC)\

(c) A{B + C) = A B + AC.

Ngồi dễ dàng chứng minh: /l + A = /l; /lA = /l;

Ẩ + = ; A U = /ì;

A + l/ = /i; /11-' =

M ộ t k i ê n kêt trực tiê p c ủ a m ột điều kiện xác định k h ô n g thể phân c h ia t h n h c c kiện k h c gọi s ự kiện s cấp. T rong nhiều tập ta cần xác định số lượng kiện đ ồng khả nàng, dẫn đến cần sử d ụng đến kê't

2 Giải tích kết hợp

* Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử mộl n h ó m có thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử Đ ó mộl nhóm g m k phần tử khác dược xếp theo th ứ lự nhấl dịnh s ỏ c h in h hợp ký hiệu

= /;(/; - -Ắ' + l )

từ lì p h ầ n tứ cho N h vậv đ â y m ột n h ó m g m k phần tử g i ố n g n h a u \'à x ế p iheo th tự Số c h ín h hợp lặp ký hiệu

* I l o n v ị ; h o ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t l m ộ t n h ó m g m lì p h ầ n

tử âv đ ợ c xếp t h e o m ộl th ứ tự Số h o n vị n h ký h iệu c h ín h số c h ín h hợp ta có

p „ = n \

* Tổ hợp: t ổ hợp c h ập Ấ: từ /; phần tử nhóm g m k

phần tử khác lấy từ n phần từ c h o (không phân biệt thứ tự) Sô tổ hợp c h ậ p k từ II ký hiệu

^ _ ^ ^

" ì ĩ { n - k ) ĩ k ' ■

1.1.2 Các giải mẫu

Bài Khi n o c ó đ ẳ n g thức A + B = A I

Giíii: Đ ẳng thức A + B = A sẽ B kéo theo A (hay việc xảv B kéo theo xảy /l)

Bài Cho sơ đổ m n g điện hình 1.], gồm bóng đèn Việc m ạn g diện (sự kiện A) chí xảy cháy bóng đèn (ký hiệu kiện Aị. /l,, Aị). Hãy bicLi diễn A

theo Aị, I - 1, 2,

Giải'. Sự kiện A xả y xảy trường hợp:

a) Cả ba b ó n g đểu c háy; b) C h y h a i b ó n g v 3;

c ) C h y h a i b ó n g v H ì n h '1.1

T đ ó ta c ó : /\ = /^I /4 , / l3 + .4 / \ + /Vị /13,4

Có thể d ùng tính chất việc mắc s o n s song nối tiếp bóng đê’ có mội biểu diẻn khác sau:

A = Ụ\ị + /li ),4 ,

Bài Sự kiện /4 - có nliất m ột tro n g sản ph ẩm p h ố phẩm ; B - s ố p h ế p h ẩ m k h n g h n Các kiện sau gì: a) Ã ; b) ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘?

Giải: a) Dễ thấy A - k h ô n g có p h ế phẩm hay cá sản phẩm tốt; b) B - có p h ế p h ẩ m khơng có p h ế phẩm; hay D - có nhiều phê p h m (hoặc có nhấl phẩm); c) A B - có đ úng p h ế phẩm; d) Á B = V (khơng xãy ra)

Bài Có 10 viên bi dược đ n h số từ đến 10, có viên đỏ viên xanh Rút hú họa viên bi hỏi kiện sơ cấp kiện nào?

Giải: Nếu ta quan tâm đến s ố thứ tư viên bi, có 10 kiện sơ cấp ý c húng đ ồng khả Còn nêu chi quan lâm đên m àu bi, chí có kiện sơ cấp chúng k h ô n g đồng khả

Bài Có cách xếp q u v c n sách lên giá?

Giải: Dỗ thấy cách xếp hoán vị cúa phần lử từ sị cách xếp = 5! = 120

Bài Có số điện thoại cúa tổng đài nòi bỏ gồm số cổ c hữ số?

Giải: Có thể nói n g ay r ằ n g t ổ n g đài gổrn 10000 = 9999 sô (do sô 0 0 th n g k h ô n g d ù n g ) Đ ó c ũ n g c h ín h số c c hợp lặp c h ậ p lừ 10 p h ầ n tử ( g ó m ,2 9) Irù di ì

B ài Một Iiíỉày học m ón số m n học Hỏi có bao nliiêu cách xc'p lliịi khóa biếu ng y ?

Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V m n ngày Việc xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli việc chọn mơn sỏ' C 'ó đé ý đến thứ lự \'à k h n g có lặp Từ số cách

A ĩ = = 210

Bài Có cách rút quân từ 52 con?

Giải: Số c c h rút b ằn g số lổ hợp c h ậ p lừ 32 phần tử 52!

= - - = - - = 22100 !49!

B i 9* C ó m ấ y c c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h c n h a u vào n

hộp?

Giúi: Mỗi q u ả c ầu xếp vào II h ộ p k h c nhau, nên có thè coi s ố c c h xếp /■ q u ả c ầu vào lì liộp n h s ố c c h c h ọ n r h ộ p (có thể lặp lại có t h ứ tư) từ tâp lì h p , vây có Ă' = lì’

1.1.3 Bài t ậ p

1 Cho sản p h m A kiện có n h ấ t m ột p h ế phẩm B - c ả dều tốl, C c kiện sau có n g h ĩa gì: a) /4 + B: b) AB?

2. Chứng m in h c ô n g thức Đ M oóc-găng: A + B = A B

3 Chứ ng m in h ;

a) AB - (,4 + B)(a + ÌỉỊ ã + b) .

b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A «

4 Gọi A, i = , , kiện chí việc bắn trúng xạ thú thứ /' (mỗi người bắn phái), Hãy biểu diễn kiện:

a) Có đ ú n g người bắn trúng b) Có người bắn trúng

5 G i e o m ột xúc sắc c â n đối đ n g chất gọi /4, k iệ n xuất m ặ t i c h ấ m (/ = , , 6) Các kiện sau c ó ý n g h ĩa gì:

ã) A Ị + A j + b ) A| + + /4<ị

6 T ì m k i ệ n X từ đ ẳ n g th ứ c X + A + X + Á = B.

I M ộ t m ô n có 15 người C ó b a o nhiêu cách lập hội đ n g gồm người?

8 M ộ t lô h n g có 100 sản p h ẩ m C ó cách chọn sản p h ẩ m để đ e m kiểm tra?

9 C ó b a o n h iê u số điện thoại c ó c h ữ số khác m ột tổng đài nội có c ác chữ số c ó c h ữ số?

10 Có b a o n h iêu số tự n h i ê n có c h ữ số?

I I M ộ t giải b ó n g đá g m 12 độ i, đội phải đá với đội k h c trậ n sân nhà sân k h c h H ỏi phải tổ chức bao n h iê u trận đ ấ u ?

12 M ộ t lô h n g có ìì sản p h ẩ m t r o n g đ ó có m p h ế phẩm C ó b a o n h i ê u c c h c h ọ n r a / s ả n p h ẩ m t r o n g có k p h ế p h ẩ m ?

13* Có b a o n h iê u c c h x ế p ngư i n » ỗ i quanh bàn tròn c h o người đ ịn h trướ c đ ợ c cạnli nhau? Cũng câu hỏi n h n h n g thay bàn trò n b ằ n g bàn dài

i4* C ó b a o n h iê u số điện Ihoại g m chữ số có đ úng mộl cặp c h ữ s ố trù n g ?

§1.2 C Á C Đ Ị N H N G H Ĩ A X Á C SU ẤT

1.2.1 T ó m tắt lý thuyết

G i s tổng s ố II kết c ụ c đ n g n ă n g c ủ a m ột phép thử (tức thực m ột đ iề u kiện xác đ ịnh) có đ ú n g m

kết c ụ c th u ậ n lợi c h o việc xuất h iệ n A, theo đ ịn h n g h ĩ a cổ điển, xác suất xuất /4 là;

p(.4) = - II

Đ ỏ i người la sử d ụ n g khái n iệ m tần suất xuất h iệ n /4, ti số số M thử n g h i ệ m c ó xuất ,4 với t ổ n g s ố N

các t h nghiệm Đ â y định n g h ĩ a Ihòng kê xác suất có thê' d ù n g tỉ số M / N n h m ột xấp xi xác suất

N g o i cịn có đ ịn h n g h ĩ a khác xác suất n h định n g h ĩ a theo hình học, theo tiên đ ề

C h ú ý lính xác suất c ó th ể d ù n g tính c h ấ t sau: ■ > P (a) >

■ F (ơ ) = ; F (v) =

■ N ế u A B = V (xung khắc) tlù P ( A + /ỉ) = ^ (b ).

p ( : ) = l - p ( / l )

■ Nếu A = > B F (a ) < P (b ). 1.2.2 C c giải m ầu

B ài Tim xác suât xêp n g â u nhiên sá c h g m lập lên giá sách nc) x ế p đ ú n g tlìứ tự

Giải: Sô c c h xếp s c h t ậ p c h í n h sỏ h o n vị c ủ a p h ầ n tử P;, = 5! = 120 Đ ể s c h xế p đ ú n g t h ứ tự c ó

cách (từ trái qua pliái n g c lại) Từ xác sl cần tìm / = 1/60

Bài Có m ánh bìa đánh số từ đến C họn hií họa liên tiếp m ánh xếp thành số có chữ số Tìm xác suất dể số số chẵn

Guh: Do ta chọn liên tiếp m ảnh khơng hồn lại có đc ý đên thứ tự nên sơ cácli chọn sõ sơ hợp chập từ 5:

/1^ = 5,4.3 = 60

Để có sơ chẩn số lây cuối c ù n g phải chẵn, tức hoạc Úng với số ta có số c c h lấv số trước 4.3 =12 Từ s ố cách chọn số chẩn theo yêu cầu 12.2 = 24,

24

Vậy xác suất cần tìm — = 0.4 60

Bài Gieo đ m g thời hai xúc sắc cân đối d n g chấl Tìrn xác suất:

a) T ổ n g số c h ấ m xuất h i ệ n b ằ n g

b) H iệu số c h ấ m xuất h i ệ n có trị tiivệt đối

Giải: Ký hiệu ni lì số c h ấm xuất XLÌC sắc tương ứng kết p h ép thử cặp số {lìui) vói

1 < i n j ì < { m n e ỉ \ ) Số cặp số vâv 6.6 = 36 =- ■ a) Các kêl cục thuận lợi c h o tổng số chấm (1,4) (2.3), (3,2) (4.1) Từ xác suất cần tìm 4/36 = 1/y,

b) Các kết cục lliLiận lợi (1.4), (2,5), (3,6), (4,1) (5.2) (6.3) T đổ xác suáì cần lìm 6/36 = 1/6

Bài T rong liổp bi có viơn đo viên Irắng ciin<: kícli cỡ, Rúl hú họa \'iên bi T ín h xác suất cỉc troiig dó có:

h) II nhâ't I viên đó; c) Viên th ứ màu dó

Giải:

Nèu ta q u an tâm đêii thứ tự hai viên bi, sô c ách rứt hai viêa bi = 10.9 = 90

a) Sô c c h thuận lợi đê rút bi đỏ trường hợp 6.5 = 30 T xác suất cần lìm 30/90 = 1/3 Có thể d ù n g khái niệm lổ h ợ p đ ể tính xác suất: tổng số cách rút bi kh ô n g để ý đến thứ tự làC|'(,, số c ác h thuận lợi rút bi đỏ l Q j , từ tìm kết q n h trơn

b) C ách tính trực tiếp phải dùns, lại kết Ta dễ dàng tính xác suất xảy kiện đối lập “khơng có bi đ ỏ ” hay “cả hai b-i t r ắ n g ” Cị / C|",) = / Từ xác suất cần tìm

■ 2/15 = 13/15

c) Gọi A kiện bi thứ hai m àu đỏ Số cách th u ậ n lợi cho

A bao gồm: 6.5 c ách trường hợp viên đầu c ũ n g đỏ 4.6 cácli đối \'ới tnrờiig hợp viên đầu Irắng Từ xác suất:

/^(.4) = ( + ) / = /

Chú ý theo c ác h k h ô n g q u a n tâm đến thứ tự việc dơn giản hơn: A lương đương với kiên viên dầu đỏ xác suãt để rút \-iẽn bi dó dề lính 6/10 = 3/5

Bài T im xác suất đê’ xếp ngẫu nhiên người q u a n h chióc bàn trịn gliẽ lliì người clịnh irirớc ngồi c ạn h

(/uìi: Dỗ thấy lổng sỏ cách xếp imiiời sõ h o n vị cúa bàng = f ) ’.==ì20. Do vai Irị người n h nên

k h ii” tínli tổng qi la có tlic bãl clầLi lính từ người

lùu) ch ẳn g hạn (ừ Irong liai người dịnh Irước Người ih ứ

Irong hai người có cách xếp để ngồi cạnh người ngvrời thứ hai chí cịn cách xếp; cịn người cịn lại có tất 3! cách xếp, T ó m lại số cách xếp thuận lợi cho kiện 5.2.3! = 60; từ xác suất cần lìm 60/120 = 1/2

B ài T r o n g m ột buổi liên hoan có c ặ p n a m nữ, có c ặp vợ c h ổ n g Chọn hú họa người 'D m xấc suất để đó:

a) Có đ ú n g n a m ; b) Cả đ ề u nữ;

c) K h ô n g c ó c ặ p vợ c h n g

Giải: T ổ n g s ố k ế t cục củ a p h é p th c h ọ n hú h ọ a r a người

c h í n h là c , \ = 220

a) Đ ể c h ọ n đ úng nam (có n g h ĩ a người cịn lại nữ) có c ' .C^ = 90 cách T xác sưâì cần lìm 90/220 = 9/22

b) T n g tự s ố c c h c h ọ n n ữ c l = 20 xác suất cần tìm 1/11

c) Việc lìm trực tiếp số c c h thuận lợi c h o A kiện khơng có cặ p vợ c h n g n o số người k h phức tạp Ta tính xác suất củ a Ả k i ệ n có c ặp vợ c h ổ n g , có niiưừi nên c h ín h kiện có đ ú n g c ậ p vợ chồng Cặp vợ c hồng có c c h chọn, cịn người th ứ có 10 c ác h chọn số 10 người c ò n lại, từ đó:

P{a ) = l - f(ã ) = - / 220 - 19 / 22

Giài: K ý hiệu sô' xếp N = l/ + h, Irong

0 < a h < Ta thấv N chia hết cho 18 phải c h ẵ n {h c h ẵn ) chia hết cho {a + I) chia hết cho 9) Dề thấy tống s ố c c h ch ọ n m ả n h bìa xc'p th àn h m ộl số 10.9 = 90 Số c c h chọn thuận iợi c h o số N c h ia hết c h o 18 (đó s ố 18, 36, 54, 72 90) T xác suất c ầ n tìm 5/90 = 1/18

Bài M ộ t lô h n g có II sản phẩm với m p h ế p h ẩ m T ìm xác suất để c h ọ n hú họa k sản phẩm có đ ú n g / p h ế phẩm

Giải: Số cách c h ọ n n g ẫ u nhiên k sản p h ẩ m từ II .

Số cách c h ọ n thuận lợi c h o kiện cần tìm xác suất c h ín h tích số c ách c h ọ n / p h ế p h ấm từ ÌÌI với số c c h c h ọ n k - I phẩm từ 11 - m sản p h ẩ m tốt X ác suất c ầ n tìm dẽ d n g tính

băng; ■

c . ^ lì

Bài X ế p n g ẫ u n h i ê n 10 k h c h tàu lên toa tàu hỏa Hãy tlm c ác xác suất;

a) T o a đ ầ u có k h c h ;

b) T o a đầu có k h c h toa th ứ hai có k h c h ;

c) M ộ t toa có k h c h toa k hác c ó k h c h (toa cịn lại lất nhiên có k h c h tro n g trường hợp b c)

Giài: Mỗi kliách c ó k h ả n ã n g k h c n h a u l ê n c c to a tàu, 10 người c ó 3"' c c h lên tàu k h c n h a u ( c h í n h A|o)

a) Đ ể toa dầu có k h ch có C|',) h xếp; sau k h ch CỊII lại có 2’ cácỉi xếp lẽn liai íoa CỊII lại T số c c h xếp Ihuận lợi C | „ ' xác suất cần tìm là:

r - ’ ’ 10—

i

5120/19683

b) Để loa dđu cổ khách có Cj^j cách xếp, sau để loa hai có k h c h có C j cách để toa ba có khách lại c ị

Xác SLt cần lìm sc là:

r l 1()A, 7.^.3c - '

Ị () 1400/19683

c) Dễ Ihấy s ố c c h ihuận lợi cho trường hợp sơ cách thuận lợi cho trường hợp (b) nhân \'ới số hoán \'Ị (là 3.2.1 = 6) T xác suất cần tìm là:

3 = 0 /6

Bài 10 Một lớp học có 30 sinh viên có giỏi, 10 kliá 10 trung bình, Chọn hú họa người, tìm xác suất:

a) Cá học sinh yếu; b) Có m ột học sinh ỉiiỏi

Giải: Số c c h c h ọ n người t r o n g số 30 người dễ thấv

c ị , = 4060

a) Đổ cá yếu có nghĩa phải chọn người Irong số học sinh yếu Số cách chọn CỊ = 10 xác suất cần tìm là: - - - = 1/406

b) íính x c suất kiện đ(5i lập: khơng có học sinh giỏi số ngirời ch ọ n ngẫu nhiên sỏ cách th u ậ n lợi chínli số n h ó m g m phần tứ lừ 25 phầii tứ (sô học sinh không pluii học sinh giỏi 25) T dẻ dàng thấy xác suất cần lìm là;

r ^ - 11 s

Bài I I Ciiia thành hai phần hăiiii 10 viên bi, có bi đõ bi xanh Tìm xác sLiaì dê phần đ ề u c ù n g số bi

đ ò v hi x a n h

Giới: Sơ cách cliia ihành phán có sị bi n h n h a u số cách chọn ? vièn bi từ 10 dí) Để phần có số viên bi dị \'à xanli giơng phần có cách chia th u ận lợi T

c c

dó xác suấí cần tìm là: = ] 0/21 r -10

B i 12 T ìm xác suấl xếp ngẫu n h i ê n k q u ả c ầ u o // hộp (k < //) tro n g k hộp xác định trước h ộ p a đ ú n g

lìiộí q u ả c ầ a

(ìiár. Tron« lập cần v\ác định rõ khái n iệ m “ xếp ngẫu nhiên" Ta xét hai trường hợp :

a) Các q u cầu phân biệt rõ r n g c h o h o n vị hai q u ở hai h ộ p k h c sỗ cho la hai cácỉi x ế p k h c n h a u (đây íhịnR kê B n -x -m a n ) N h \’Ạy l ổ n g k ết c ụ c đ ổ n g nãim (mỗi cáu có lliế xếp vào bất c ứ hộp k h ỏ n g phụ t h u ộ c vào cácli xcp íỊLiá cầu k h c - x e m m ụ c

1.!) Số kết cục ihuạn lọi đế xép k c ầu vào ỉì h ộ p xác định trước kl xác sưấl L ẩ n lìm sc

ỉứ

h) \V'LI quà cấu khong phân biệt, íức h o n vị cầu ỏ' hai hộp khác kIk^iu’ íao cách xếp m ới ihì viêc tìm ,lống sị kếl cục phức íap Ta biếu diễn !ì h ộ p kh o án g giũa ỉì + \'ach ^'òn phần lừ b ằ n g c hấm

{lìiỉìlỉ ỉ 2). T r o n g tiirờnu \u1\^ n 10 k - 8;

Hỉnh

C í k h biểu d i ễ n cho thấv vạch đứng n^oài c ù n g k h ô n g di c h u y ể n lại n ] vạch đứ n g k c h ấ m xếp tùy ý N ế u ta đổ i chỗ c h ấ m cho n h au tương ứng tính k h n g p h â n biệt phần tử la k h ô n g nhận cách xếp m ới C ũ n g ta h o n vị xạch đứng N hư ng m ỗ i lần đổ i c h ỗ vạch đ ứ n g với c h ấm ta ihii mộl c ách x ế p m i Vì tổng sỏ kết c ụ c đ ổ n g k h ả n ă n g là;

{ k + n - [ ) \

tức b ằ n g sô h o n vị Ấ: + /; - phần tử {k c h ấ m !1 - vạch) c h ia c h o sỏ hoán vị củ a k c h ấ m sỏ hoán vị c ủ a /í I vạch đứng

Số kết cụ c th u ận lợi dể xếp k q u ả cầu vào n hộp định trước 1, việc hốn vị cầu khơng sinh cách xếp 'ĩ xác suất c ần tìm là:

Ả-!(»- l)! (ả- + / ; - ) ! ■

T r o n g lý t h u y ế t xác suất c c h xếp m ục d ùng t r o n g t h ố n g kê Bô“de “ A n h - x - ta n h T ổ n g số kèt cục đồng k h ả n ă n g có ĩhể tính d ù n g khái niệiTi số tổ hợp lặp c h ậ p k lừ n p h ầ n tử Irong giải lích kếl hợp

B ài 13 Đ n g dây c áp n g ầ m nòi tổng đài với Irạrn dài k m T í n h xác suất cú a kiện dây cáp bị đứl lại nơi cách t ổ n g đ i k h ô n g 80()m

Từ đỏ

1000

Bạn dọc thử tìm xác suất cúa kiện với giả thiết cách xa tổ n g đài khả dây c p hị đứt lớn (tírc tỉ lệ thuận với kh o ả n g cách từ điểm đúl tới tống đài)

Bài 14 Cho mộl đoạn th ẳn g bẻ gẫy ngẫu n h iên th àn h đoạn T im xác suất để đoạn tạo t h n h m ộ t tam giác

Gidi: N h 13 ta dùng định nghĩa theo hình học Coi đoạn thầng đoạn Irục số từ đến a. Ký hiệu ,r tọa độ điểm chia thứ \'à y toạ độ điểm chia thứ hai dễ thấy 0 < X < y

< a v b a đ o n s ẽ c ó c c đ ộ d i t n g ứ n g X , V - X v a - y

Đ ạt tương ứng cách chia với đ i ể m hệ toạ độ Đ ề M(x, y). m iền đồng khả iưưng ứng ta m giác A O B

(xem hình 1.3) Ta cần tìm m iề n th u ậ n lợi cho k i ệ n đẩu yêu cầu M u ố n tạo mơt tam giác tổng hai c n h phải lớn cạnh lại:

A- + (>■

.V + { a

x ) > a - V n ê n V >

-'

>’) > V - X nê n \’ < ,v + a

2

y - X + (t/ - v ) > A' nê II V <

a

r rniền th u ận lợi cần tim tam uiác CD E Do d i ệ a tích

• " r Hình 1.3

tam giác bãn« 1/4 d iệ n

lích tam g iác Á O B nên xac suàt c ầ n tìm = /

1.2.3 Bài tập

1 Lấy ngẫu nhiên chữ từ chữ T O A N TIN xếp thành lừ Tini xác suất để thu từ TAN

2 T ro n g 10 sản p h ẩ m có p h ế phẩm Tìm xác suất để sản phẩm c h ọ n ngẫu nhiên có:

a) Một p h ế phấm;

b) m ộ t p h ế phẩm; c) K h n g có p h ế phẩm

3 C họn ngẫu n h iên số điện thoại g m c h ữ số c ủ a tổnc đài nội Tìm c c xác suất;

a) Cả chũ sô đ ề u k h c a h a u ; b) Có đ ú n g c h ữ s ố trù n g

4 Một k h o số g m vành quanh trục, m ỗi vành gồm 10 số (từ đến 9) K h o inở m ỗi vành đặl đ ú n g vị trí xác định Irước T ìm xác suất để m ỡ dược khoá

5 Giả sử biết l n q 20 vé có vé trúng thưởn« Một người m u a vé Tim xác suất trúng thưỏng người

6 G ieo d n g thời đ n g tiền cân dối đ chất T im xác suấl để xuất đ ú n g hai mật sấp

T G iả sứ có 10 k h ch hàng vào cửa h àn g có q u ầy , người chi tới quầy Tìm xác suất:

a) Có ngư i đ ế n q u ầ y s ố 1;

b) Có người đ ế n m ột q u ầ y nà o đó;

c) Cỏ người đ ế n q u ầ y I người đến q u ầ y

8 Một h ộ p có bi trắng bi đỏ Rút hú họa lần lượí bi Tiin xác suất:

a) Có m ột bi trắ n g ;

9*, Trong rạp c ó n chỗ ngồi tất vé bán hết G iả sử khán giả n g i hoàn toàn ngẫu nhiên Tim xác suất để khơng có khán giả ngồi chỗ ghi vé mình.

10’, Tim xác suất để rút hú họa u từ c ỗ bài tú lơ khơ 52 chúng có giá trị khác (chẳng hạn nếu có át c ó t ).

11 Bài toán Ba-nắc: Một nhà toán học c ó túi bao diêm, bao có n que Mỗi cần diêm rút hú họa một bao Tìm xác suất cho nhà tốn học lần đầu rút phải bao rỗng (đã hết diêm ) bao cịn lại k que { k = , , /ỉ).

12 Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì viết tên 6 người nhận Tính xác suất:

a) Cả thư đ ú n g địa chí; b) Lá thư thứ địa chí;

c) Chỉ có m ộ t t h đ ú n g địa chí;

d) Chỉ Ihư thứ địa chì.

13 X ác định x c suất để phương trình y + l a x + b = có nghiệm thực, c c hệ số a h ch ọn đồn g khả từ hình vu ơn g a < 1, b < ì

14 Hai người hẹn gặp trước cửa nhà hát từ 10 g iờ đến 10 30 với quy định người đến trước chờ người vịng 10 phút, khơng gặp bỏ Tính xác suất để họ gặp được nhau, biết m ỗi người tới điểm hẹn vào thời điểm bất kỳ khoảng thời gian trên.

15 Bài tốn Buy-phơng; Trên mặt phẳng kẻ sẩn đường thẳng song song cách khoảng c ó độ dài 2a g ie o ngẫu nhiên ch iếc kim dài 21 ụ < a). Tính xác suất để ch iếc kim cắt đường thẳng đó.

§ 1.3 CƠNG THỨC N H Â N V À CỘNG XÁC SUẤT 1.3.1 T ó m tát lý thuyết

1.Ta bắt đầu khái niệm xác suất cố điều kiện, ký hiệu là

p { a b ) hiểu xác suất xuất kiện A biết đã

xuất kiện B (ngoài điều kiện gốc) N ó i chung

p ( a \ b ) : a P { a ) Xác suất có điều kiện có tính chất xác

suất bình thường.

Sự kiện A gọi độc lập với B p [a b)= P{a ). Chú ý là độc lập có tính tương hỗ dược định nghĩa thơng qua xác suất.

2 Công thức nhân xác suất:

p {a b ) - p {a)p (b \a ) = p{a )p (a I /i).

Có thể mở rộng dễ dàng cho trường hợp tích nhiều kiện. Dễ thấy hệ đơn giản: A B độc lập thì

p{a b) = p{a )p {b )

3 C ông thức cộng xác suất:

p {a + b ) = p ( / l ) + p {b ) - p {a b ).

Ta c ũ n g c ó thể m rộng n g thức ch o trường hợp tổng nhiều

sự kiện N ế u A B xung k h ắ c ta c ó h ệ q u ả

P{a + b ) = p{a ) +p {d).

4 Khi nghiên cứu dãy phép thử độc lập cho trong phép thử kiện ^ X.UÍÚ với xác suất /;,

người ta hay q u a n tâm đến xác suất để A xuất đ ú n g Ả lần, ký

Đ ể ý n g thức có nhiều cách m rộng khác nhau.

1.3.2 Các giải mẫu

Bài M ột tổ c ó nam nữ C họn liên tiếp hai người Tim xác suất để

a) Cả hai nữ;

b) Có nam, nữ.

Giởi: Đặt Aị là kiện ch ọ n nữ lần /, Bị kiện

chọn nam lần /, = ,2

a) Gọi A kiện chọn nữ, đễ thấy A = A ị A2 ta có

p ( / l ) = />{A, A , ) = />(/1, )/>(/!, I /1,) = ị I = i / o /

b) G ọi B kiện ch ọn nam , m ộ t nữ C ó thể chứng

tỏ B = A ị B2 + B ^ A t D o s ố hạng tổ n g xung khắc;

P{b ) = F(A, , ) + P{Bị A , ) ^ P { A , )p (b. I A, ) + P{B, )p {a ^ I ) _ 4 _ 4

~ l ' 6 ' ~ ‘

Bài Có hộp bút: hộp I có bút đỏ 10 xanh; hộp II có 8 đỏ xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bút, tìm xác suất để có bút xanh, bút đỏ.

Giải: Ta gọi Aị kiện chọn bút đ ỏ từ hộp thứ B;

là kiện chọn bút xanh từ hộp thứ i (/ = 1, 2) Theo đầu bài để rút hú họa bút c ó xanh đỏ ta có trường hợp: Hoặc chọn bút xanh từ hộp I, bút đỏ từ hộp II, ngược lại, từ xác suất cần tìm:

P{A,B, + p{a,B )+ P{a.B, )=P{A, )p(fí2)+ ^^(^2 )P{B^)

A A ^ - 1

1 '1 2 ' ~

(để ý A, đ ộc lập với Bj j ^ i, Aị = B ị , A2 = B-, ).

Bài Một phòng điều trị có bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu vòng bệnh nhân tương ứng là 0,7; 0,8 0,9 Tim xác suất cho vòng giờ;

a) Có hai bệnh nhân cần cấp cứu;

b) Có bệnh nhân kh ịng cần cấp cứu.

Giải: Đặt Aị kiện bệnh nhân thứ / cần cấp cứu ta có

P{A, ) = 0,7; P{A^ ) = 0,8; P{A, ) = ,9

a) Gọi A kiện có bệnh nhân cần cấp cứu, dễ thấy có thể xảy trường hợp khác và

Á — Aị + Aị At + Áị /4^.

Do tính xung khấc củ a s ố hạng tính độc lập Aị (và A ị ) nên:

P ( a ) = p ị ^ ị A i Aị + j+ p A\A-ịA^ )

= P{A, )p{A^ ) p ự , y p { A , ) f ( ã ;)p {A, ) + p ( Ã )p{A, )

= 0,7.0,8.0,1 + 0,7.0,2.0,9 + 0,3.0,8.0,9 = 0,398.

b) Gọi B kiện có bệnh nhân không cần cấp cứu, dễ thấy ổ kiện khơng có bệnh nhân khơng cần cấp cứu tức là tất cần cấp cứu Rõ ràng việc tính p {b ^ dễ dàng hơn nhiều so với việc tính P { È ) , từ đó:

/ ^ ( ổ ) =1- f ( ổ ) = 1- /^(/11/12^ 3)

Bài Biêì xác suất để học sinh thi dạt yêu cầu lần ihi thứ i /7,, {i - 2) Tìm xác suất để học sinh đạt u cầu

trong kỳ thi biết mồi học sinh phép thi tối đa lần

Giải: Gọi A, kiện học sinh đó thi đạt lần thi thứ ị,

còn A ~ thi dạt yêu cầu cứa kỳ thi Dễ d n g thây A = Aị + A^A-,.

D ù n g c ô n g thức cộ n g nhân xác suất có để ý đ ế n tính

độc lập xung khắc, ta có:

P { A ) = f'(A, + Ạ /\2 )= F(A, ) + p [ Ã ị A j)

P { A , ) ^ p {Ã^F{A.) p , ^ { \ p , ) p ,

-Bài Mộ! lò hàng gồm 100 sản phẩm, trong có phế

phẩm Ló hàng đươc chấp n h ậ n nêu ch ọ n hú họa 50 sàn phẩm đế kiểm tra sỗ p h ế p h ẩ m k h ô n g Tim xác suất đ ể lô hàng c h ấ p nhận

Giài\ Gọi A sư kiên ló hàng chấp nhận, Aị - số

50 sàn phẩm chọn có i phế phẩm (/ = 0, 1), từ /4 = /4(1 + y4|.

Do A,i 4| xung k h ắ c nên:

c'50100

B ài M ộ t ngư i viết /ỉ t h cho lì người bạ n A n h ta bỏ

mỗi thư vào phong bì viết hú họa địa đó của /7 người bạn lên phon" bì (các địa chí chí đề lần và khác nhau), Tim xác suất cho có thư với

địa trơn phong bì

Giải: Gọi A, kiện Ihư thứ i đ úng địa chí (í = , , /;) xác suất phái tìm là:

p

D o A, không xung khắc nên ta phải dùng công thức cộng xác suất tổng quát Ta có: P { A ị ) = — =

n n !

/1 , ) = /■(A,)/>(/!, I/ , ) = - / / - /7!

p (a,a ,a , ) ^ f (a ,)p (a^ | a H a , I /1 ) =

/?!

P{ A,A , /!„) = I>(A,)p(a , I/ , p (a „ IA , A , A„_,) = 1

/71

Á p dụng c ô n g thức:

Vỉ-1 / i<j

ỵ p ( A ^ A ị A , ) - + { - \ Ỵ - ' l Ì A , A , A „ ) i< j<k

nl / / ! lỉl Iil

2! 3! ni

1

N ếu II khá lớn xác suất cần tìm « -e

Bài Chọn hú họa quân cờ tướng từ cờ gồm 32 quân Gọi A là kiện rút quân tướng, B là kiện rút quân cờ đen Hỏi A B có độc lập khơng?

Giải: Chú ý c tướng có 32 quân gồm 16 đen 16 trắng,

p {a ) = />(/}) = ^ =

^ 32 16 ^ ^ 32

Mặt khác kiện rút tướiig đen A B

P{AB) = — = P{a )p {b) nên A B sư kiên đôc lâp.

32

Bài Xác suất để thiết bị bị trục trặc ngày làm việc a = 0,01 Tim xác suất để vòng ngày máy

làm việc tốt

Giải: Ta coi thiết bị làm việc ngày độc lập so với

ngày khác, xác suất để làin tốt ngày sẽ

bằng tích c ủ a xác suất làm việc tốt n g ày , từ đ ó xác suất c ần tìm là:

(l - ) ' ^ = (l - , ) ' ’ sí - a = 0,95 (do a r ấ t bé)

Bài Một thiết bị có 10 chi tiết với độ tin cậy (xác suất làm việc tốl khoảng thời gian đó) m ỗi chi tiết là 0,9 Tim xác suất để khoảng thời gian ấy;

a) Có đ ú n g m ộ t chi tiết làm việc tốt;

b) Có hai chi tiết làm v iệ c tốt.

Giải-. D ù n g c ô n g thức B é c - n u - l i với lĩ = ỈO, p = 0,9 a) X c su ấ t c ầ n tìm là: /^,„(l) = c , ' „ , ' , r ’ = , \ b) X ác suất cần tìm là:

1 - (p,,, (o) + /^,0 (l)) = 1 - 0,1 - c ; , ,9 '.0,1'^ = 1 - ,91.1 o v

Bài 10 G ieo lần đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác

suất xuất hiện;

a) Đ ú n g lần mặt sấp; b) H a i l ầ n m ặ t sấp;

c) íl n h ấ t m ộ t lầ n m ặt sấp

Giải: X ác suất để xuất mặt sấp (hoặc mặt ngửa) bằng 1/2

32 b) p , ự ) = c

/

16

c ) Ta tính qua kiện đ ối lập khơng c ó xuất mặt sấp tức lần mặt ngửa, từ xác suất cần tìm bằng (chú ý 0! = theo quy ước)

0

I - Q

v

1 31

32 32

B i 11 Tỷ lệ p h ế phẩm lô hàng 1% Hỏi cỡ mẫu cần c h ọ n (chọn có hồn lại) cho với xác suất > ,9 mẫu c ó phế phẩm?

Giải\ G iả sử mẫu chọn c ó kích cỡ /ỉ viêc chọn I

sản phẩm c ó hoàn lại m ột phép thử B éc-n u-li độc lập với p -0 ,-0 X c suất để mẫu c ó p hế phẩm là:

= - , 9 ' ' Theo đầu yêu cầu

1 - 0,99" > ,95 » 0,05 > 0,99" => In 0,05 > ìì In 0,99 In 0,05

n > > In0,99

B i 12 Một bác sĩ chữa bệnh c ó xác suất chữa khỏi 0,8. C ó người nói người đến chữa có chắn người khỏi bệnh, người khác lại c h o 10 người đến chữa có chắc chắn người khỏi bệnh Đ iều không?

Giải: Cả hai người khẳng định sai X c suất xảy la

p^(4) = c ^ , ^ , ' = , Còn xác suất x ả y trường hợp thứ hai

F,o(8) = C ,V 0,8^ 0,2- * ,3 1.3.3 Bài tập

1 Cho biết xác suất P{A), P(B). P(AB). H ãy tìm các xác su ấ t pÍa b ) P\ B A

\ / V /

2 Chứng minh A B độc lập cặp kiện sau độc lập: a) A B : h ) A 5; c) A \'ÌL B

3 M ộ t cậu bé có 20 viên bi có 12 đỏ x a n h M ộ t

hôm cậu thấy viên bi Tim xác suất để rút hú hoạ ra một viên ta thu viên bi đỏ.

4 Có xạ thủ độc lập bắn vào bia với xác suất trúng đích người tương ứng 0,7; 0,6 0,9 Tìm xác suất:

a) Có m ột người bắn trúng;

b) Có n h iề u n h ấ t hai người bắn trúng

5 X ác suất để lập kỷ lục quốc gia lần nhảy ca o thứ ị cửa vận đ ộ n g viên p. Tìm xác suất để vận động viên đó iập kỷ iục quốc gia thi chí cho phép m ỗi người

được n h ả y lần

6 Một cầu thủ ném bóng vào rổ trúng rổ thì thơi Tun xác suất để cầu thủ dừng ném lần ném thứ 4, biết

rằng xác suất ném t r ú n g lần ném 0,4

7 Cần phải c h ọ n số từ bảng số ngẫu n h i ê n c h o

với xác suất khơng bé 0,9 ta có số chẵn.

Trong thời gian có dịch, 100 người bị dịch vùng dân cư c ó 10 người phải cấp cứu Xác suất gặp người phải cấp cứu dịch vùng 0,08 Tim tỷ lệ mắc bệnh dịch vùng

dân c

9 * X ếp ngẫu nhiên n sách vào k ngăn k éo { n > k \ Tim xác suất để ngăn kéo có sách.

10 Khi quay số điện thoại bạn quên s ố cuối Giả sử quay s ố cách ngẫu nhiên, tìm xác suất để ch o bạn quay đúng s ố máy mà quay lần.

11 Một gia đình có Tim xác suất cho số đó (giả sử xác suất sinh trai 1/2):

a) Có hai trai;

b) K hôn g trai.

12 Tín hiệu phát lần với xác suất thu mỗi

lần 0,4

a) T im xác suất nơi thu n h ậ n tín hiệu đó;

b) N ếu m uốn xác suất thu tín hiệu k h n g bé 0,95 phải phát bao n h iêu lần?

13 Một mạng điện gồm bóng m ắc nối tiếp với xác suất ch y bóng bóng p. Tim xác suất để m ạng điện không làm việc (giả sử dây tốt đầu vào có

điện) C ũ n g câu hỏi cho m n g điện gồm b óng mắc

song song.

14° X ác suất để xạ thủ bắn trúng mục tiêu lần bắn bằng 0,4 Xác định xác suất mục tiêu bị diệt sau lần bắn độc

1.4 C Ô N G THÚC XÁC SUẤT Đ Ầ Y đ ủ v B A Y -É T

1.4.1 T ó m tát lý thuyết

1 Đ ầu tiên ta đưa vào khái niệm n h ó m đ ầ y đĩì kiện. N hóm kiện Aị. Ẩ,, A „ ị i ì > 1) gọi nhóm đầy đủ thoả mãn:

A ị A ị = V; \ / ì ^ j (xung khắc từng đôi),

A ị + Aj + + Aii = u

N h óm đầy đủ bé có hai kiện, chẳng hạn nhóm A A 2. N ếu ta c ó nhóm đầy đủ kiện, với sự kiện H bất kỳ;

P(H) = ị p ( A , ) p { H | A , ) , i -1

Biểư thứ c trên có tên gọi cơng thức xác s u ấ t đ ầ y dù.

3 Với diều kiện trên, xác suất để xuất sau xuất hiện H tính theo cỏiìg thức Bay-éỉ:

Ỳ p {aM h \a,)

/=1

N g i ta th n g gọi P{Af_ h ) x c s u ấ t h ận n g h i ệ m , c ò n

là x c s uấ t tiên Iiíịlìiệm c ủ a /4^ C h ú ý Aị^ m ộ t th n h viên c ủ a n h ó m đầy đủ giả thiết

1.4.2 C c giải m ẫ u

Bài M í xí n g h iệp có p h â n x n g với tỷ lệ p h ế p h ẩ m tương ứng 1% 2% Biết r ằ n g p h â n xưởng I sản xuất % , phân xưởng II - % sản phẩm

a) Tim xác suất đ ể lừ kho x í ngh iệp chọn ngẫu nhiên được 1 phế phẩm.

b) Giả sử lấy phê phẩm, tìm xác suất để phân xưởng I sản xuất ra.

Giái: G ọi Aị /I2 kiện lấy sản phẩm phân

xưởng I II tương ứng, rõ ràng ta c ó m ột nhóm đầy đủ Gọi H ià kiện lấy p h ế phẩm.

a) Theo c ô n g thức xác suất đầy đủ

P { H ) = P{A, ) p { h \ A , ) + F ( a , ) p ( h ị A, ) = , % + , % = 1,6%

Đ ó cũ n g ch ín h tỷ lệ phế phẩm chung x í nghiệp.

b) Sự kiện cần tính xác suất Aị với điều kiện xảy ra H T h eo c ô n g thức Bay-ét:

p ( a /1) 0,4% 1

/=1

B ài Có hộp bi giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II - 10 bi trắng 10 bi đen; hộp III - bi đen C họn hú họa ra hộp từ rút hú họa viên bi trắng Tim xác suất viên bi hộp I.

Gidi: N h óm đầy đủ gồm kiện Aị, / = I, 2, 3, ký hiệu cho

việc chọn hộp thứ / tương ứng D ễ thấy P{Aị) = P{A2)

-P{A^) = 1/3 Gọi H kiện rút bi trắng ta có

p { h A ])= I (xác suất để rút đượG bi trắng từ hộp I);

p {h \ A ) = \ / - , p [h /1 3) = T h e o c ô n g thức Bay-ét:

1.-

p (a A h) =

-^ ^ 1 1

Bài Một trạ m chí phát hai loại tín h i ệ u A B với xác

suất lương ứng ,8 ,1 Do có nhiễu đường truyền

nên 1/6 tín hiệu A bị m éo thu n h tín h iệ u B, c ò n 1/8 tín hiệu B bị m é o th n h lín hiệu A.

a) T ìm xác suất th u tín hiệu /4

b) G iả sử th u đ ợ c tín hiệu ,4, lìm x ác suất đ ể thu đ ú n g tín hiệu lúc phát

Giải: a) Gọi Hịị kiện tín hiệu A B tương ứng

được phát, ta có P { H = 0,84; F{Hỵ) - 0,16; c h ú n g tạo nên nhóm đầy đủ Gọi ln A kiện thu tín hiệu A. T h e o điều kiện đầu

T h e o c ô n g thức xác suất đ ầ y đủ

F ( N ) = P { H , )p{a \ H , ) + pỌỉ, )p {a \ H, )

= - + 0.16.~ = 0,72

6 8

b) X c suất c ầ n t ìm c h ín h p(h ^ a ), t h e o B ay-ét:

^ ^ , 0,84

p { ỉ ỉ , a )~- 6

0.72 36

Bài M ộ t d â y c h u y ề n g m p h ậ n nối tiếp, với xác suất iàm việc tốt t r o n g m ột k h o ả n g tliời g i a n n o đ ó c ủ a m ỗi p h ậ n tương ứng P ị p-,. thời đ i ể m k h o ả n g thời gian người ta Ihấy dây chuyền h ỏ n g (giả sử việc h ỏng xáy chi phận k h ô n g làm việc) H ã y tìm xác suất để chi có phận thứ không làm việc

Giái\ Do phận mắc nối tiếp cần phận

dừng dây c h u y ề n hỏng Có thề’ xảy khả khác n h au : A,|- cá hai phạn lốt; A|- hộ phận I hỏng, phận II tốt; phận II hỏng cịn phận tơì /1,- hai phận hỏn g Dễ thấy: / ^ ( , ) = ; P { A ị ) = { \ - p ị ) p :

) = /^1 (l - P: )■ ) = (l - P\ X' - P2) Sự kiện dây c h u y ề n h ỏ n g ký h iệ u H, có;

p(h /lo)=0;P(// A^) = p(h Aj) = p[h A )= \

T h e o c ô n g thức Bay-ét:

p (a , h ) = - P l ) P

( l - p , ) p + P | ( - / , ) + ( - / | X - P ) _ - Pi ) p i

Bài Cặp sinh đôi gọi thật m ột trứ n g sinh trường hợp giới tính N ếu cặp trứng khác sinh xác suất để cặp c ù n g giới tính 1/2 N ếu biết m ột cặp trẻ sinh đơi có giới tính thí c h ú n g cặp sinh đôi thật bao nhiêu, biết xác suất đê cặp sinh đôi c ù n g trứng sinh p (trên tổng s ố tre sinh đôi)?

Giái: Gọi Aị- kiện cặp sinh đôi thật (cùng trứng sinh ra) thl A t = A| kiệii đối lập (do trứng sinh ra)

F{A^) ^ p\ PiA,) = ì - p

Gọi /7 k i ệ n c ặ p sinh dơi có c ù n g giới tíiih, de ihấy

2 ' T theo Bay-ét;

f (a , / / ) =

B i 6* Tại m ột p h ò n g k h m c h u y ê n k h o a , tỷ lệ người đ ế n k h m c ó b ệ n h 0,8 Người ta áp d ụ n g phương p h p c h ẩ n d o n m i th ấ y khẳ ng dịnh có b ệ n h đ ú n g trê n 10 trư n g hợp; c ò n k h ẳ n g đ ịn h k h n g b ệ n h đ ú n g t r ê n 10 trư n g hợp H ã y tìm xác suáì;

a) C h ẩ n đ o n có bệnh; b) C h ẩ n đ o n

Giải: G ọ i B kiện người k h m có b ệ n h B - ngư i k h m k h ô n g m ắ c b ệ n h \’l\ P{B) — O.Ị>\ p {b )= 0,2. G ọ i A

k iện c h ẩ n đ o n có bệnh, A k iệ n c h ẩ n đ o n k h ô n s b ệ n h T h e o ra:

f {d I /\) = 0.9; p(b I ã ) = 0.3 = I ^ )

a) Do A Ã tạo nên n h ó m đ ầ y đ ù n ê n theo c ô n g thứ c x c suất đ ầ y đù

P{b ) = P {a )p (b \a )+ P ụ ) p ( B |Ã) Thay số để ý /^(ã)= - F{a ) la có

0.8 = /^(a).0,9 + (l - P { Á ) ) ữ 3

^ f-(/\) = 0.75

b) G ọi / / kiện c h ẩ n đ o n d ứ n g A A t o n ê n n h ó m đ ầ y đủ nên:

Mà

P { h ) = P { a ) p ( h I ẩ ) + / ^ ( ; ) p ( / / | Ă )

p { h I a ) = Ia ) : p ( h \ ã ) = p ( ổ Iã ) ^ P{h ) = 0,75.0,9 + 0,25.0,5 = 0,8 1.4.3 Bài tập

1 M ộ t p h â n x n g có m áy tự động: m áy I sản xuất 25%, m y II - % m y III - % sản phẩm Tỷ lộ p h ế phẩm tương ứng c ủ a c c m y 0,1% ; 0,2 % 0,3% C họn ngầu n h iên sản p h ẩ m c ủ a p h â n xưởng, tìm xác suất:

a) N ó p h ế p h ẩ m ;

b) P h ế p h ẩ m đ ó d o m y t h ứ sản xuất

2 m ộ t v ù n g c ứ 100 ngư i có 30 ngư i hút t h u ố c Biết r ằ n g tỷ lệ n g i bị v i ê m h ọ n g t ro n g s ố người hút t h u ố c là % , c ò n t r o n g s ố n g i k h ô n g hút 30% K h m n g ẫ u n h iên m ộ t n g i t h ấ y a n h ta v i ê m h ọng; tìm xác suất ngư i h ú t t h u ố c N ế u n g i k h n g bị viêm h ọ n g xác suất để đ ó n g i h ú t t h u ố c b ằ n g b a o n h iêu ?

3 C ó lơ g m 10 sản phấm, m ỗi lị có phế p h ẩ m L ấ y m ột sản p h ẩ m từ lô thứ bỏ vào lơ thứ hai, sau từ lơ n y lấy m ộ t sản phẩm Tính xác suất đê’ sán phẩm lấy p h ế phấm

4 N ế u thời tiết tốt x ác su ấ t để m y b a y hạ c n h an toàn P ị T r o n g t r n g h ợ p thời tiết xấu, m y bay hạ c n h lự đ ộng n h t h i ế t bị d i ề u k h i ể n với x c suất làm việc tốt p. N ế u Ihiêt

bị hoạt đ ộ n g tốt, x c suất hạ cánh an tồn nêu nó

k h ô n g h o t đ ộ n g x ác su ấ t h c n h an to àn c ú a m y ba y /?2- T ì m x c su ấ t đ ế m y b a y h c n h an tồn biết r àn g có

5 M ột c ô n g nhân làm ỏ' thành phố trở n h c ó hai cách; h o ặ c theo đường ngầm di qua cầu Biết r ằ n g ô n g ta lối đ n g n g ầm 1/3 trường hợp; lại lối cầu Nếu lối đườ ng ngầm 75% trường hựp ô n g ta n h trước giờ; c ò n lối cầu chí có 70% trường hợp (n h n g lối cẩu thíc h hơn) Tìm xác suất để n a nhân đ ó lối c ầu biết ô n g ta nhà sau

6 Ba xạ thủ bắn người phát với xác suất trúng đích m ỗi người tương ứng 0,7; 0,8 0,9 Người báo bia thơng báo có hai viên trúng; tìm xác suất để anh th ứ đ ã bắn trúng

7* Tại m ộ t b ệ n h viện tỷ lệ m ắ c b ệ n h A 15% Đ ể c h ẩ n đ o n x ác đ ị n h người ta làm p h ả n ứng m i ễ n d ị c h , n ế u k h ô n g bị b ệ n h ihì p h ả n ứng dươ ng tín h chí có 10% M ặ t k h c biết r ằ n g p h ả n ứng dươ ng tính xác suất bị b ệ n h 0,5

a) T ìm xác suất phản ứng dương tính n h ó m có bệnh b) T ì m x c suất c h ẩn đ o n

8* Hai người thợ m ay loại áo với xác suất đ ể m a y sản p h ẩm có chất lượng cao tương ứng 0,8 0,9 Biết có m ột người m ay áo có sản phẩm c h ất lượng cao T im xác suất để người m ay áo nũa có o chất lượng cao

ChưoTig II

B I Ế N N G Ấ U N H I Ê N V À L U Ậ T P H Â N P H Ố l X Á C S U Ấ T

§2.1 B IẾ N N G Ẫ U N H IÊ N RỜI RẠC, LUẬT NHỊ THÚC VÀ P O A - X Ô N G

2.1.1 T ó m tát lý th uyết

1 C ó thể coi hiếiì Iigẫii ìilìiéiì biến s ố n h ậ n giá trị m ta k h n g thể xác đ ịn h trước Biến n g ẫ u n h iên gọi rời rực tập c c giá trị c ủ a hữu h n vơ hạn đếm T r o n g trườ ng h ợ p tập giá trị lấp kín m ột đ o n trục số thực, ta có biến n g ẫ u nhiên liên íực.

N h đ ể x c đ ị n h m ộ t biến ngẫu n h i ê n , đ â y biến sỏ' rời rạc, việc chí biết tập giá Irị c ủ a n ó ià c h a đ ủ Ta phải biế t l i i ậ l plìáiì p h ổ i x c SIÍCÍI, n ó x c đ ị n h m ố i q u a n hệ g iữ a c ác oiá trị c ó thể c ủ a biến Iigẫu n h i ê n với c c x c suất tư n g ứng Đ ể x ác đ ị n h luật phân phối c ủ a b i ế n n g ẫ u n h i ê n rời rạc, la phải tìm đ ợ c b n g phán phôi xác suất:

■V, A7 x„

p. Pl Pi p„

I rong đ ó nêu ta k ý hiệu biến n s ả u n h i ê n X, c c giá trị c ủ a n ó V, ( / = 1, , ) thì:

(trong trường hợp tập giá írị vơ hạn đếm đưọ’c ta thay n - co)

Đ ể Ý c ó ihể biểu diỗn quy luật phân phối đồ thị với Irục hồnh giá Irị X cịn trục t u n s xác suất iương ứng - la có inộí dỉíỜỊìg pììcììì phổi gấp khúc.

2 Luật p h â n phối xác suất củ a biơìi n g ẫ u n h i ê n rời r ạc X

hay g ặ p hiật ỉỉlỉị ĩlìức - kv hiệu X p), t ro n g đ ó X

biểu thị số lần xuất h iện k iệ n ;4 Irong dãy // p h é p t h độc lập B e c - n u - l i (xác suất đế xuất A t r o n g m ỗi p h é p th p). N h ắ c lại

/^(x = v) = c , ( ^ - = : , l „ , / ) C h ẳ n g h n n ế u n = 12; p = ,4 Ihì;

p [ x = ) = /^,2(5) = C f , , \ , ^ « 0.22703

Ta có Ihể xác đ ị n h xác suất tích luỹ

P ( X < x ) = Ỵ ^ P ( X = x,).

N h ví dụ trên:

< ố ) = Ỳ , ~ 1.

,v = {)

K hi n lớn p bé, việc tìm xác suất t ợ n g ứng xét rnục 2.4 sau

Ta có t h ể đ ị n h n g h ĩa Ỉ L i ậ l P oa- xơỉ ì ^ c ủ a b iế n n g ẫ u

n h iê n X. kv h iệu X ) i?i th a m S(5, giốHR n h n p

c ủ a phân phối nhị thức):

/>(,Y = v ) = Ẩ ' v = , l ,

A - !

Chú ý p k h bé n lớn c ò n g th ứ c Bec-nu-li c ó g iá ti ị gán vói c n ” ihức P o a - x ô n g với Ằ - np . L uậ t P o a

x n g có ứng d ụ n g r ộ n g rãi t ro n g lý t h u y ế t p h ụ c vụ đ m đ ô n g N goài r a n g i ta c ũ n g sử d ụ n g n h i ề u lu ậ t p h â n phối rời lạc k h c n ữ a n h luật h ìn h học, luật siêu h ì n h , lu ậ t nhị thức â m

2.1.2 C c giải m ẫ u

Bài Mộl xạ th ủ có viên đạn yêu cầu bắn viên trúng dừng bắn Tìm bảng phân phối xác suất số đạn đ ã bắn, biết r ằ n g xác suất bắn trúng lần bắ n 0,6

Giải-. Gọi X s ố đ n dùng, dễ thấy X c ó giá trị 1, N ế u gọi /4, k iệ n viên thứ i trúng (/ = l, 2, 3), ta có

p { x = [) = P { A ị ) , p { x = ) = p { Ị \ A ) p { x = 3) = p {Ã^ ẩ T

(lưu ý t ro n g t r n g h ợ p X = viên th ứ có th ể t r ú n g h o ặ c

1

p, 0,6 0,24 0,16

Có thể biểu d i ễ n luật b ằ n g đ thị ( x e m h ì n h 2.1)

Pi

0.6

2 X,

Hình 2.1

Bài T m ột lô gồm 100 sản p h ẩm , Irong có 10 p h ế p hẩm , người ta c h ọ n hú họa sản p h ẩ m để k iể m Ira chất lượng L ập b ản g p h â n phối xác suất c ủ a s ố p h ế p h ẩ m Irong sỏ' sản pliẩm chọn

1100

Với độ xác cỡ 0,001; ta có bảng sau:

0 1 3

A 0,583 0,340 0,070 0,007 0,000 0,0 0

Cần ý p { x = ) = p { x = 5) = khơng có n gh ĩa là khơng thể xảy kiện có phế phẩm lơ hàng, ở đây kiện khó xảy thực tế xác suất của chúng bé.

B i Tiến hành xét n gh iệm độc lập ch o đến c ó kết quả dương tính Gọi X ià số xét nghiệm tiến, hành biết rằng x c suất dương tính c ủ a m ỗi xét nghiệm là 0 ,5 Tìm:

a) Báng phân phối xác suất của X;

b) Đ ổ thị p h â n phối;

c) Số xét n g h iệm có xác suất lớn nhất

Giải: a) G i trị cúa X sẽ 1, 2, 3, Dỗ t h ấ y

p { x = i) = g ' 'p vói p - 0.5 vầ q = i - p - 0.5; từ đó;

1

-.V /7

p, 1/2 \ p j 1/2^

b) Đ thị p h n pliối p ị

h ìn h 2.2

c) Sỏ xét n a h i ẽ m có k h Qr n ã a g xuấi h iện lóìì nhâì (số c h ắ c c h ắ n n h ấ t)

[Ị7

Hình 2

Bài Một kỹ sư kiểm tra chất lượng theo quy trình sau:

từ m ỗ i lô h àn g lớn lấy hú họa 15 sản p h ẩm đem kiểm (ra,

tất tốt lơ hàng chấp nhận, ngược lại lô hàng được trả lại để kiểm tra toàn Biết tv lệ phẩm của hàng hố 0,95; tìm xác suất để lô hàng không chấp nhận.

Giải: Gọi A kiện lô hàng không chấp nhận Do lơ

hàng lớn nên coi 15 sản phẩm chọn dãy 15 phép thử độc lập ta chọn p - ,9 gọi X s ố lần xuất hiện sản phẩm tốt X~Jíỹ(l5; ,9 ) và

PịA) = - p ( ã ) = ì- P ( X = ỉ 5)= - c , '1(0,95)'^(o,05)° « 0,5367

Có thể làm cách khác; chọn p = 0,05 gọi X số lần xuất hiện

sản phẩm tồi 0,05) và

P ị A ) = - p ( x = o ) - - C ; ’5(0,05)'’(0,95)'" * 0.5367.

Có thể thấy quy trình kiểm tra không tin cậy lắm.

Bài Một máy tiện tự động có xác sản xuất sản phẩm đạt yêu cầu 0,9 Xác định xác suất để sản phẩm chọn ngẫu nhiên máy tiện có sản phẩm đạt yêu cầu.

Giải: Gọi X số sản phẩm đạt yêu cầu số sản phẩm

chọn cho 0,9) Từ đó:

p { x =3) = C^.0,9^0,12 = 0,0729

B i M ột lơ hàng có 1% p h ế phẩm Tun xác suất để

chọn 50 sản phẩm từ lò hàng ta có:

a) Tất sản p h ẩ m tốt; b) Có p h ế phẩm

Q írO '(1.3

a ) p ( x = o) = ^ 0,607

^ 0!

A c ^-í),5

b ) p i x = l) = - ^ 0,303

1 !

B i 7* Tiến hành dãy phép thử Bec-nu-li (trong mỗi phép thừ kiện A xuất với xác suất p). Gọi X l biến ngẫu nh.ên chí số lần khơng xuất /l trước lần xuất hiện A. Xác định luật phân phối X. Hãy mở rộng cho trường hợp X

là iố lần không xuất A trước có lần xuất thứ r A

(/■= , , .)

Giái: Nếu X số lần khơng có /4 trước lần xuất A đầu

tiéa, ta thấy có X + phép thử Bec-nu-li X có c c g iá trị 0, 1,

2 , Luật phân phối xác suất X c ó Ihê biểu diễn bằng: p { X = x) = p { x ) = p { l ~ p Ỵ x = 0.1

Đ ó luật phân phối hình học thường ký hiệu

là ~ Ap

)-T r o n g trường hợp X l số lần khơng có /4 trước xuất /\ lần th ứ /■(/■= , ) ta có phân pliối nhị thức âm kv hicu X- cy / í ổ ' ( r, /->) Dẽ ihấy miền aiá trị X c ó ihể 0, 1,

và đ ể X c ó giá trị .V ta phải tiến hàiih .V + /■ phép thử, 110112, phép thừ cuối có /4 XLIŨÌ lần thứ r. Còn r - lần xuất hiệi! trước cúa /4 với V lần khỏỉig xuất A có thổ ùaọc “ xếp” n g ẫ u nh iên (k h ô n g c h ú ý đến thứ lự) X + /- - Ịiíiép ihừ T đó:

p { x ,v) ^ p(.v) = c , ' , p' (l - p Ỵ X = 0,1,2 Đ â y ví dụ phân phổi nhị thức âm trư n g hợp tổng quát, rõ ràng /• = ta có phân phối hìnli h ọ c n h trường hợp riêng

Bài Tiến hành 1000 phép thử Bec-nu-li với xác suất thành công phép thử ,0 Tim xác suất để s ố lần thành công dãy phép thử Irên không nhiều 9.

Giải: V iệ c tính theo c n g thức Bec-iiu-li phức tạp Ta

lại dùng c ô n g thức xấp xí theo luật Poa-xơng À = np =

1000.0,006 = 6

Ố.

và so sánh với giá trị tính theo luật nhị thức thấy

k h c h í n h xác (g iá trị đ ú n g ,9 )

2.1.3 Bài tập

1 Một xạ thủ bắn viêrv đạn vào bia với xác suất bắn trúng của lần bắn 0,6 Tim bảng phân phối xác suất s ố viên đạn i úng bia.

2 G ieo đồng thời hai xúc sắc Gọi và X2 tương ứng là

số chấm xuất xúc sắc thứ thứ hai Tim bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên sau:

a) y , = X, + X2 b) = X - X, c) r , = mcư (X,,x,).

3 Một ,cơ quan có xe tô với xác suất bị hỏng ngày làm việc xe tương ứng 0,01; 0,005 0,001 Tìm bảng phân phối xác suất số xe hịng ngày dựng đồ thị

phân phối c ủ a

4 Có hai cầu thủ ném b óng vào rổ c ho đến

bóng trúng rổ dừng ném Biêl xác suất ném trúng ciui

mỗi người t n g ứng P2 lần ném Tini kiậl phân phối xác suất của;

b) Số lần ném cấu thủ thứ hai; c) Sô lần ném hai cầu thủ.

5 Một công nhân phải trông máy M ỗi máy làm việc c ó thể dừng lại nhiều lần tổng thời gian dừng với giá thiết việc dừng m áy dồng khả nãng thời điểm dừng. Xác định xác suất để thời điểm có:

a) m áy làm việc; b) m áy làm việc.

6 Cho bảng phân phối xác suất sau m ột biến ngẫu nhiên X

0 1 2 3 4 5 6 7

p, 0 a 2a 2ơ 3a 2a^ la^+a

a) X ác định a; b) Tính p { x > 5) p { x < 3); c) Tìm giá trị bé nhất k sao cho p { x < k)> /

7 Một thiết bị gồm 100 chi tiết với độ tin cậy chi tiết 0,98 Tim xác suất để thời điểm (giả sử việc hỏng chi tiết độc lập với nhau):

a) Có chi tiết hỏng;

b) Có khơng chi tiết hỏng.

8 N gư òi ta chuyển 10000 chai rượu và o k h o với xác suất c h a i bị vỡ c h u y ể n 0,0005 Ì ì r n xác suất để sau c huyển

c ó chai bị vỡ.

9* Đi trên m ột đ o ạn đường núi trung bình gặp 60

ổ gà Tim xác suất để 30 giây không gặp ổ gà nào. 10 Một vùng dân cư có tỷ lệ người niăc bệnh sốt rét 3%.

C ầ n c h ọ n b a o nhiêu người để với x ác suất 9% số

đó c ó người mắc bệnh sốt rét.

§ 2 B IẾ N N G Ẫ U N H IÊ N LIÊN T Ụ C V À H ÀM P H Â N PHỐI X Á C SU ẤT

2.2.1 Tóm tát lý thuyết

1 Đ ể xác định luật phân phối xác suất m ộ t b iến ngẫu nhiên liên tục (và rời rạc nữa) người ta đưa v o khái n iệ m hàm p h n p h ố i x c s uất c ú a X.

F{x) = P { X < x) ;x ^ R Hàm c ó tính chất sau:

• < F (a) <

■ F{x) kh ông g i ả m , tức A', < X, F(.V|)< F { x j ) Các hệ quả: p { a < X < /? )= F{cc) với X biến liên tụ c ,

p ị ^ x = Xq)= với X b iến liên tục.

- f ( - o o ) = ; F ( + o o ) = l

2 N g i ta c ũ n g đưa r a k h i n i ệ m h m m ậ t đ ộ x c siiấr (còn g ọ i hàm phân phối x c suất vi phân, khác với F{x) hàm phân phối xác suất tích phân)

f { x ) = F'{x).

Hàm mật độ chi dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục Các tính chất của hàm này:

■ /(.'-)>

+C0

- Ị f { x ) d x = l

- c o

p

Hệ q u ả c ủ a t í n h chất n y p { a < x < ) = f { x ) dx a

F{x) =

0.5

FM

2.2.2 C c giải inẩu

Bài Xác định hàm phân phối xác suất biến ngẫu

n h iên À''trong của mục 2.1

Giâi: T heo định nghĩa hàm phân phối ta có ngay

0, X < 1,

0,6, \<x <2

0.84, < X < 3,

1, X > 3.

Đ thị hàm F{x) c ó dạng

bậc thang (x em hình ). X

Hình

B ài Hàm phân phối biến ngẫu nhiên liên tục có dạng:

0, JC < ,

F{x) =

1 A' > n.

Hãy x c định hàm mật đ ộ X vẽ đồ thị F{x) và/(.v).

Giải-. T h eo định n g h ĩa hàm mật độ la có

Đ thị của F{x) f{x) vẽ hình 2.4

Bài 3, Cho hàm mật độ biến ngẫi! nhiên X c ó dạng

/ ụ ) =<0 A' ể a ,b

c X G a, b

a) Xác định sỗ c {a, h cho). b) Tìm hàm phân phối F(.v).

Giải:

a) Theo tinh chất hàm mật độ;

^ ' V

f { x ) d x cdx = cịp - a) = l => r — -—

■ h - a

- c c tí

b) Hàm phân ph(5i tương ứng xác định theo tính chẫt của hàm mật độ

0, X < a,

, v - a F{x) =

b ~ a

1.

a < x < b, X > b.

Có thể xem đồ thị c ú a /(.v ) F(x) hình D o mật độ phân phối xác suất toàn đoạn [a, h] nên phân phối gọi phân phối [a, /?] ký luẽu Qí ia. />J •

b - a

fịx)

Bài C ho h m p h ân pliối c ù a bièn n g ẫu nhiên X có d n g

/ ' ' ( \ ) = a + / ; a r c t g v ( - 03 < .V < +ot) Tìm í/, h hàm mật đ ộ / ( v )

Giải: D ù n s líiih chất hàm phán phối ta có:

l í \ { b ĩ ĩ

lim [ a + I) c i r c l í Ị x ) =

ha>

a - = 0

a -h 0 h/r

7

1 1 „ I 1 .

suy ii = “ ; b - ~ v i \ r (.V j = + — arclg.v

2 7T 2 7Ĩ

Việc tìm hàm mật độ khơng có khó;

/ ( ) = r ( , v ) =

7ĩ\ \ + A'

CÓ ĩhể xcm đồ ihị c ủ a hàm írẽn h ìn h 2.6

Bài Biến n g ẫ u n h iên X c ó hàm m ậl độ sau .V <

— v >l

H ã y x c d ị n h :

a) Hệ số /4;

b) lỉàiTi phân phối /-'(.v);

c) P{2 < x < 3) - xác suất X rơi vào klioảns (2,3);

d) Xác suất đ ể tro n g phép thử độc lập biến X đcu k h ô n g lấy giá trị k h o n g (2,3)

Giải: a) V iệc xác định A dựa vào tính chất

4 - X '

f ( x ) d x = = Ị Ta có = - ^ d \ - = - lim

I •

/ 4 , \

///;/ .4 V 1 ì => /\ - ỉ

b) Từ tính c h ất c ủ a hàm mật độ

ío. p{^) = ị f i ỉ ) dt = '

—co

.v - 1

A' < 1,

x > \

ĐỒ thị c ủ a c ác h m trê n vẽ t ro n g lìình 2.7

= /1,

c) P ( < x < ) = F ( ) - F ( ) = - - - = Ì

d) X ác suất đ ể X k h ô n g rơi vào k h o ả n g (2,3) (k h ô n g lấy giá trị k h o ả n g đ ó ) m ột phép th b ằ n g - — = —, vây để

6 6

trong bốn p h ép t h

6 0,48

2.2.3 Bài t ậ p

2 Biến na;ẫu n h iên X gọi luân theo luật p h ân phối mũ, ký hiệu lằ X ) h m m ậ t độ có d n g

0,

ac

X <

A' > ( l t h a m S ố )

F{x) =

H ã y x ác đ ịn h : a) Hộ số í/;

b) Màm p h ân phối X; c) p { o < x < ) .

3 Biến n g ẫ u n h iê n X có h m m ậ t độ / ( x ) = a e ” '" H ã y xác định: a) hệ s ố a\ b) P{X >0)

4 H m p h â n phối R ê - l e có d n g : A - > 0, X < Q

X ác đ ịn h : a) H m m ật độ tư n g ứng;

b) Xác suất để biến n g ẫ u nhiên tương ứng rơi vào k h o ả n g (0 ỉììl).

5 T ì m h m phân phối c ủ a b i ế n n g ẫ u n h iê n X l u â n t h eo luật P o a - x ô n g )

6 Tiin hàm phân phối biến ngẫu nhiên X tuân theo luật

nhị thức X Tính p { m < X < Ii)

0 X < 0, X >

a) X ác đ ịn h A để /'(.v) trở th n h hàm mật độ c ủ a biến ngẫu n h iê n X n o

7 C h o h m số f(x)

b) Tìm h m phân phối F(.v)

8 Cho biến n a ẫ u n h iê n X có h m p h â n phối F(.v) t ă n g thực

sự liên tục Tìm hàm phân phối F(X)

9 Một lổ học sinh có 10 n a m nữ C họn hú họa nhóm người Lập bảng phân phối xác SLiâì c ủ a số n ữ

nhóm người đó,

10 Chứng m inh hàm / (.v) = — — '-T 'Tiột liàin mật độ xác

X + Ĩ

suất cùa biến ngẫu nhiên T ì m xác suất để b iế n ngẫu n h iê n đ ó n h ậ n giá trị tro n g k h o ả n g >T,+oo)

§2.3 C Á C SỐ Đ Ặ C TRLING C Ủ A B I Ế N N G Ẫ U n h i ê n

2.3.1 Tóm tắt lý thuyết

1 Số dặc trưng quan trọ n g c ủ a biến ngẫu nhiên X l k ỳ V0I1Í>

của định nghĩa rièng rẽ c h o trường h ọ p biến rời rạc liên tục ký hiệu / ĩ X h a y E(X)

EX = {X b i ế n rời rạc) (3 l )

E X ~ xf{A')dx (A^là b i ế n licn t ục) (3.2)

- y.

Ý n g h ĩ a c ú a k ỳ v ọ n g : đ ó Irị t r u n g b ì n h CIUI b i ế n nííẫu n h iè n Vì nhiều ngưịi ta gọi lu n trị Iruiig binh ký hiệu MX. Các tính chất kỳ vọng:

■ E(c') = c (c ià h ằ n g số)

■ E{X + n = E X + E Y

■ N ếu X, Y độc lập E{ XY) = EX EY.

2 Số đặc trưng thứ hai hay dùng cúa biến X gọi là

phiíơnị’ sui, ký hiệu v x hay V(X) định nghĩa

V x = E{X - EXỷ.

Phương sai Ằ đ ậ c trưng c h o đ ộ phân tán cúa biến X quanh trị

trung bình cúa Biên X dao động (tán xạ) nhiều nếu

phươníỉ sai càii2 lớn T í n h V X th e o công thức định nghĩa:

v x = ^ ( v , - E X Ỵ P ị { X biến rời rạc) (3.3)

/=1

v x = "ị(.v - E x f f { x ) d x {X biến liên tục) (3.4)

-cr

Chú ý EX tính theo c n s thức tương ứng Nhiều khi người ta cịn tính phương sai llie o cồn^ thức sau:

v x = EịX-) - ( E X ) \ (3.5)

Các tính chất c ú a p hươ ng sai:

- V(r) = 0.

■ V(cX) = C-Vx.

■ Nếu X, Y độc lập V { X + Y) = V X + V Y

T r o n g n h i ề u tính t o n n g i ta đưa vào khái n i ệ m d ộ l ệcl ĩ

clìitẩiì (hay ílộ lệch cỊiiủn phươììg) sau:

a = y j v x

Đ ể ý cá phương sai đ ộ lệch chuẩn số khơng âm (nói c dương)

3 Một khái niệm quan trọng mỏ-men. Ta ký hiệu V'i là m ô-m en gốc cấp k cúa X. định nghĩa sau; \\ = E { X ‘')

'a = Ỳ - ^ ' i P i 17 = í,vV (-vK ''.

/ = _qT,

(3.6)

Đ ể ý E X = V,

M ô -m en trung tâm cấp Ả, ký hiệu của biến X được định nghĩa = E{ X - E X Ỵ Dễ kiểm tra //| = ; / / = v x Có thể biểu diễn m ơ-m en trung tâm theo m ô-m en gốc:

Mi ^ ^ - v ,

/■h = V3 - V | V - v ^ ,

/ / = 'V4 “ 4V|V3 +6V | V2 - v /

4 N gồi người ta cịn quan tâm đến nhiều đặc s ố khác nữa Ta giới thiệu số đặc trưng khác:

* M ố t biến ngẫu nhiên X (hay ký hiệu ModX) giá trị

tại biến X có xác suất lớn (trường hợp rời rạc) có

mật độ xác suất lớn (trường hợp liên tục).

* Trưng vị biến ngẫu nhiên X (hay ký hiệu MedX) là

giá trị m cho P ( X < m) = P{X > m). Đ ể ý phân phối xác suất c ó mốt đối xứng mốt, trung vị kỳ vọng đcu trùng nhau.

2.3.2 Các giải mẫu

Bài Tim kỳ vọng số chấm xuất g ieo con xúc sắc.

Giải: Dễ thấy, gọi X số chấm xuất hiện, X có các

giá trị n g u y ê n từ đến với xác suất 1/6 T theo định

nghĩa (3.1)

£ X = l - + - + + - = 3,5

Bài T h e o t h ố n g kê việc m ộ t người M ỹ 25 tuổi sống ihêm t rê n m ột n ă m có xác suất ,9 ; c ị n xác suất để người c h ế t t r o n g v ò n g m ột n ă m tới 0,008 Một chương trình bảo h i ể m đề n g h ị người b ả o h iể m sinh m n g cho năm với sô' tiền chi trả 1000 la, c ị n tiền đ ó n g 10 la Hỏi lợi n h u ậ n c ù a c ô n g ty b a o n h i ê u ?

Gicíi: Rõ ràng lợi nhuận biến ngẫu nhiên X với giá trị + 10 đô la (nếu người bảo h iể m không chết) - 9 đô la (nếu người đ ó chết) Bảng phân phối xác suất tương ứng:

+ 10 - 9

p(x) 0,992 0,008

T E X = 0 9 + ,0 = Ta t h ấ y lợi nhuận tru n g bình m ột sơ d n g c ô n g ty b ả o h i ể m có th ể làm ăn có lãi

Bài Biến ngẫu nhiên X c ó bảng phân phối xác suất

- +

p, 0,2 0,3 0,5

H ã y t í n h EX, EX \ vx.

Giải'. Theo công thức (3.1), (3.5), (3.6) EX= -1.0,2 + 0.0,3 + 1.0,5 = 0,3

E{X-) = (-1 )'.0 ,2 + 0 \ 0,3 + l-.0,5 = 0,7 (EX)\ v x = E(X-) {EXỷ = 0,7 - 0,09 = 0,61

Đ ể ý la tính v x theo cơng thức (3.3) việc tính

sẽ khó khăn nhiều

Bài T ìm k ỳ v ọ n g p h n g sai c ủ a biến ngẫu n h iên x~

(có phân phối đều [a,h]).

Gidi: Biến ngciu n h iê n X có h m m ậ t độ

.V =

1

« X G a , b ■ b - a

0 -V ^ a , b

Từ theo (3.2)

+ C O h

E X = í \ / ( Ạ = i—^ c / x

-•* ị h - a

-cr a 2 { b - a )

a + h

Rõ ràng kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối [a, h] chính trị trung bình đoạn Đ ể tính vx, ta c ó thể dùng (3.4) (3.5) Chẳng hạn theo (3.4)

+CC

\ x - E X ) - f { x y x = X

-co b - a

dx

i b - a )

a + b

A ' - Ạ b - ^ f

12

Bài Tìm kỳ v ọn g phương sai cửa biến ngẫu nh iên X c ó phân phối nhị thức X ~ J ị n , p).

G i ả i - T a c ó P{X = k) = C ^ , p ^ { \ - p Ỵ - ^ , Ả = 0,l, ,/7. T heo (3 ) với í / = l — P'.

£ X = X * C ,

k=0 k=\

= n p Ỳ r C l p ' ^ ~ \ r ^ = ! i p Ỳ

A=l" Ả=1

= = i ’p { p + il)”'^ = n p

Tlieo (3.5) VX=E{X-) " {EXỷ. Ta tính £ { x = ) = t A - = c , í / < r ‘ =

K = \ k.-\ "

n p Y ^ k C ^ , : l p ^ ' ' q k = \

/

= //p

U=1 A=1

A~l „ í - l , , ( / / - l ) ~ { / - - l )

Tốnỉi t h ứ t r o n g ngoặc đơn là kỳ vọng biến x ~ í ^ { n ~ 1, /;) t ổ n g t h ứ hai {p + ợ)" ' = I Từ

E{ X' ) = np{n - 1)/? + np

và v x = //^/r ~ np' + np - i r p ' = Itpi ì - p) = npq.

Có thể việc b i ế n đổi làm người đọc hoảng Ta làm Iheo c c h k h c R õ ràng X sơ' lần xuất kiện A

trong dãy I I phép thử độc lập Bec-nu-li giống nhau, ta gọi Xị số lần xuất h i ệ n /4 phép th thứ / { / = , , , lì) dễ thấy X = Xị + x, + + x„ (chú ý Xị độc lập với nhau) Mặt khác X/

biến n g ẫ u n h i ê n c ó b ả n g phân phối xác suất;

-V,

p, í/ p

và dể dàiig tính đnọc EX, = 0.q+\.p = p. V X , = e (

Từ d ù n g tín h châì kỳ vọng phương sai

E X = E

Í J L ^ J L

ỵ x , = ỵ v x ^ =

\i='\ ) /=1

npq.

f(x ) =

Bài Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ, ký hiệu X ~ ^ ị Ă ), Ẩ tham số (xem tập mục 2.2), hàm mật độ xác suất có dạng:

0, X < 0,

x >

Hãy xác định EXvị. KX(tham sơ' Ằ rõ ràng > 0). Giải: T h eo (3 ), (3.4)

4.^

1

+x +:c

EX = íxf(x)đx = /I fx e “'^^dx = —,

■ /)

+ 30 +0C

v x = J ( x - E X f f ( x ) d x = /l j ( x - / i ỵ e - ^ ' d x

-cc õ /l2 ■

(Dùng côn g thức tích phân phần) D ễ dàng tính độ

lệch chuấn = i / Ã .

Nếu ký hiệu T biến ngẫu nhiên liên tục biểu diễn thời gian hoạt động khơng hỏng hóc phần tử v / l - tần suất hỏng hóc (số hỏng hóc trung bình đơn vị thời gian) thì

X ~ ^ Ị Ã ). Hàm phân phối xác suất của T là

""•'xác định xác suất để phần tử bị hỏng trong khoảng thời gian t. Trong ứng dụng người ta gọi hàm dưới đây lìàm tin cậy Rự) R{i) = e'^'[, t > Đ ó xác suấl để phần tử hoạt động tốt khoảng thời gian từ dến t.

f(x) =

X

ọ

l a

■x’ /2a'

X < 0,

X >

T ìm M c d M o d c ủ a X (í/ > 0)

1

Giải: Đặt m = M e d X ta có F{m) = - . Với F{x) hàm phân

phối X. V iệ c tìm hàm phân phối khơng khó khăn vì

0, X < 0,

V

/^(•v)= Ịf{t)d> F ( x ) =

T: - e

-x^/2a^ X >

Từ 1-í ^ v-/2i;- = J _ _ s u y r a m = .

N ếu đặt nì = MocỉX ta phải có / '( /» ) = , tức là •) *>

-//r /2ơ“

8* X c suấl bắn t rú n g đích cú a m ột k h ẩu sú n g p. Tiến hành bắn liên tiếp điềư kiện không đổi ch o đến khi

c ó k phát súng irú n g đích thơi bắn Tiiĩi kỳ vọng củ a số lần

bắn cần thiếl.

Giải\ Gọi X l ầ số lần bắn c ần thiết X nhận giá trị X n g u y ê n trước có Ả - l lần bắn trúng lần thứ A' bắn trúng Đ ể ý số k - lần tuỳ ý ( k hơng phân biệt th ứ tự Irong s ố v lần) Vì lần cuối (thứ v) phái trúng

nên

p { x = ,v) =

Đ ể V V < k ihì F{X = -v) = theo điều kiện đầu Từ

đó theo cơng thirc (3.1)

EX = ỵx C ị: Ịp ‘c r ‘ ‘ tp‘ ỵ^-cUr'

A=Ả ,V = Ẳ

Ta đổi biến X - k - i hay A' = k + i và

kp'' k

Í

E x = k p ‘^ ỵ c t , q ‘

i=0 0 - ^ / r - ik + \

Bài C h o h m m ậ t độ c ủ a m ộ t b i ế n n g ẫ u n h i ê n X n h sau 0 , A- < ,

a x - , < A < , a(2 - x)~, 1 < A' < 2,

0, X > 2.

Xác định hệ số ơ, sau tính mơ-men gốc mơ-men trung tâm lới cấp 4.

G i ả i : T h e o tín h chất kỳ vọn g , đ ể tìm hệ số a ta phải giải /(^■) =

a

Đầu tiên ta tìm mơ-men gốc:

2 0

2.-'

V4 =

-3

2

3 \

X ^dx + — 2 J Vx{2 - dx - ì ,

X^^CỈX + — A'^ (2 - x)“ clx = 1,1,

^

x^dx + — f x ’ (2 - ,v)“ dx = 1,3,

2 Ỉ l

x^^dx + —2_J íx'* (2V - ,v)" dx = 72

Các m ô - m e n t r u n g tâm:

//, = 0; / / , = V2 - vỊ = 1,1 - = 0,1

/ / = V3 - 3V| + \ ’i'’ =

1

/ ' = I4 -4 V |1 ', + v p s - v ^ =

35 2.3.3 Bài t ậ p

1 C h o biến n g ẫ u nhiên rời rạc có bảng p h â n phối x c suất

1

p, 0,1 0,4 0,2 0,2 0,1

H ã y tìm m ô - m e n gốc tru n g târn đến c ấ p

2 C h o hàm m ật độ xác suất b iế n n g ẫ u n h i ê n X f { x ) = Ăe~^' X c đ ị n h h ằ n g s ố Ẫ , lìm kỳ v ọ n g p h n g sai X.

3 C h o hàm m ậ t đ ộ m ột biến ngẫu n h iê n X

0, X < 2,

f { x ) = a( x - 2X4 - x), < X < 4, 0, A- >

X ác định a, sau đ ó lìm kỳ vọng, m ốt Irung vị c ủ a X.

4 T ìm kỳ v ọ n g p h n g sai biến n g ẫ u n h i ê n X t u â n t h eo luật p h â n p h ố i P o a - x ô n g x ~ ^ x à ).

5 G ie o đ n g thời xúc sắc Tini kv v ọng phươníi sai tổng số c hấm xuất

cùa biến ngẫu nhiên X số đạn c ần b ắ n , biết r ằ n g xác suất trúng đích củ a m ỗi lần bắn p.

7 Cho hàm mật độ X f { x ) = c

2<J-f(x)

b

a X

Hình

ơ y í l T T

(phân phối c h u án với hai tham sô' ư ơ ' ). T im kỳ vọng phương sai củ a X.

8 Cho đồ thị hàm mật độ m ột biến ngẫu nhiên X nửa đường elíp bán trục a h

(xem hình 2.8) Cho biết í/, xác định h EX, V^Xvà hàm phân phối tương ứng

9 M ộ t ôtô phơ có đèn tín hiệu g iao thơng hoạt đ ộng độc lập Thời gian tín hiệu xanh 1,5 phút, vàng 0,3 phút đỏ 1,2 phút Tìm kỳ vọng, phương sai dộ lệch c h u ẩn số lần dừng đèn tín hiệu giao thơng cúa xc ơlỏ dó

10 Cho biến ngẫu nhiên X m ột h ằ n a số a. T im số đặc trưnq sau đây; a) kỳ vọng; b) phương sai; c) độ lệch chuẩn; d) m ô -m e n gốc cấp 2; e) trưng vị củ a hai biến Y = X + a z = a X

iheo số đặc trưng tương ứng biến X.

11 Hai đài vô tuyến liên lạc với Cứ giây m ột lần đài

12 H m p h â n phối c ủ a b iế n n g ẫu n h i ê n liê n tụ c c ó d n g f(x) = A + Barctg X

2 a) X c đ ị n h A D.

b) T ìm kỳ v ọ n g p hươ ng sai c ủ a X.

c) T im g i trị c ủ a /77 c h o P{X>m) - 1/4

13 Người ta làm xét nghiệm m áu cho 5000 người để tìm ký sinh trù n g sốt rét địa phương có tỷ lệ m ắc b ệ n h t h eo thống kê 10% C ó c c h làm:

a) X é t n g h i ệ m người m ộ t,

b) Lấy m áu 10 người trộn lẫn để làm m ột xét nghiệm N ếu kết q u ả âm tính khơng có số 10 người m ắc bệnh Nếu kết q u ả dươ ng tính chứng tỏ có m ột người m ắc bệnh ta phải làm thêm 10 xét n g h iệm lẻ để phát bệnh Hỏi làm c c h lợi hcíii?

14* C h o h m m ật độ c ủ a m ộ t biến n g ẫ u n h iê n X

M =

V

V

m\ 0

X > 0,

X <

T ì m kỳ v ọ n g p h n g sai c ủ a X.

15* T ìm kỳ v ọ n g p h n g sai củ a số sản p h ẩ m đ ợ c sàn xuất r a hai lần sửa chữa c ủ a m ột m y x c suấl làm p h ế phẩm p m y sửa c h ù a sau làm m p h ế phẩm

16 Cho h m m ậ t độ sau đây;

1 - V < A* < a.

a) Chung t ỏ / ( x ) thoả mãn tính chất m ộ t hàm mật độ b) T í n h kỳ v ọ n g phư ng sai

c) T í n h t ru n g vị mốt

2.4 LUẬT C H U Ẩ N - CÁC Đ ỊN H LÝ GIỚI H ẠN

2.4.1 T óm tất lý thuyết

i Biến n g ẫ u n h i ê n X đ ợ c g ọ i t u â n t h e o l uật chiíẩn (gọi tắt c h u ẩ n ) , k ý h i ệ u X ~ o / { a , ~). n ế u h m m ậ t đ ộ xác suấỉ c ủ a có d n g

f ( x ) -

V2.

e (4.1)

trong a = E X c ị n Ơ = - Ị v x N a i ta c ò n gọi luật c h u ẩ n luật G a o - x C h ú ý h m / ( x ) đối x ứ n g có d n g h ì n h c h u ô n g Liiậ! c h u n đ ặ c t r n g c h o n h i ề u b i ế n n a ẫ u n h i ê n liên lục thực tẽ, t h ế có ứng d ụ n g r ộ n g rãi

H m số sau đây:

ệ{x) =

\ -

n

dì

có tên gọi h m Lap-ì a-xơ, ích lợi để tính tốn liên q u a n clên biến ngẫu n h iên chuẩn Do h m lẻ ^(.v) = - ệ { x ) nên báng số ệ ị x ) chi c ần thiết lập c h o c c A > T h e o tính chất hàm mật độ, người ta chứna, lỏ r ằ n g nế u X ~ ' / { a , ' )

p(a < \ < p ) - ệ - ộ a - (4.2)

X c suất để độ lệch tuyệt đối cùa biến ngẫu nhiên X ơ ■) khỏi trị trung bình bc số f > ià

(4.3) T r n g h ợ p ta có m ột d ã y n phép th B ec-nu-li đ ộ c lậ p với xác su ấ t x u ấ t k iện n o đ ó phép th p, xác s u ấ t đ ể tần suâì xuất h i ệ n s ự kiện ( c h ẳ n g hạn mỊu, m số lần x u ấ t h i ệ n kiện đ ó ) l ệ c h k h ỏ i p

< s ) = 2ộ [ o - )

/ ( / 1— \

m

p < s ^ ệ p q

V n )

q = I - p

2 T a c ũ n g biết xác suất p cúa dãy phép th Bec-nu-li bé, việc tính tốn xác suất khó khăn, m ụ c 2.1 ta có m ộ t c ác h tính xấp xí d ù n g luật Poa-xơng ta tính xấp xí b n g luật chuẩn, Irường hợp /; lớn

N ế u X ~ J ^ { i ụ p ) m I I lứn việc tính xác suất

p { x = k ) = Pi,{k) sc vơ c ù n g k h ó khăn, T h e o định lý L a p - l a - x đ ịa p h n g , p„{k) có th ể x ấ p xỉ

P Á t )

t r o n g đ ó ọ{ẫ) =

-Ịĩĩpci

,v k - Iip

^ n p q

Đ ế ý (p{x) gọi Ììàm s ổ G a o - x ơ cho giá Irị b n g p h ụ lụ c A, c h í n h !à h m inật đ ộ cúa biến ngẫu n h iên o/CO, 1) m ơt hàm chẩn

T i ế p ỉ h e o n ế u ta m u ố n t í n h p{k^ < x < k ^ ) , t h e o đ ị n h lý M o a - v - r - L a p - l a xơ:

p , ( k , k , ) ^ ệ ụ , y ệ ( x - , )

với X, = ~ = l l E - \ c ò n h m ệ { x ^ đ ã biết t r o n g (4.2) C h ú ý tra b ả n g ệ { x ) A > c ó t h ể đ ặ t ậ { x ) = 0,5

C u ố i c ù n g ta ý đ ế n đ ị n h Iv giới h n t r u n g tâm r ất q u a n t r ọ n g t r o n g ứng d ụ n g v o t h ố n g k ê sa u này: N ế u X, đ ộ c lập

/I

c ó c ù n g kỳ v ọ n g a v p h n g sai ' c ó phân /-I

p h ố i t i ệ m c ậ n tới L-/{nu, I I ơ ■) k h i /7 —> co

2.4.2 C c giái m ẫ u

B i N gư ời ta tiệ n m ộ t loạt c h i tiết c ó độ dài q u y đ ị n h a - 20 c m G iả sử đ ộ dài ch i tiết t u â n I h e o luật p h â n phối c h u ẩ n t>/(20 cm ;0 ,2 ^) (độ l ệ c h c h u ẩ n = , c m ) T ín h xác suất để độ dài c ủ a c h i tiếl sản x u ấ t l ệ c h k h ỏ i q u y đ ịn h k h ô n q u

ff = ,3 cm ( d u n g sai)

G i i : K ý h i ệ u X đ ộ d i c h i tiế l v ta c ó X ơ ■) với

a = 20 ơ ~ = (0,2)" Bài t o n y ê u c ầ u t í n h p { x - a < e )

T h e o c ô n g thức (4.3)

= 2.í/5(l,5) ~ 2.0,4332 = 0,8664 G iá trị , 6 có ý nghĩa xác suấl đ ể m y sản xuất p h ẩ m (độ lệch bé d u n g sai) hay tỷ lệ c h ín h phẩm lô hàng đ a n g xét

/ \

B i Một th iế t bị đ o k h n g c ó sai s ố h ệ t h ố n g C ò n sai số n g ẫ u n h i ê n t h i ế t bị t u â n t h e o luật c h u ẩ n T ì m sai s ố q u â n p h n g c ủ a thiết bị s a o c h o với x ác suất 0,8 sai s ố k h õ n g vượt r a giới h n ± , đơn vị đo

Giải: Gọi X sai s ố c ủ a thiết bị đo d o sai số n g ẫ u nhiên nên E X - ( n ế u sai s ố hệ t h ố n g t h ì £ X ) M ặ t khác sai s ố q u â n phương c ủ a thiết bị c h ín h độ lệ c h c h u ẩ n c ủ a sai số T theo đầu X ~ / { a , ơ ") t ro n g ơ ẩn số cần tìm T h e o c n g thức (4.3)

^ , ^

p ế x < ,2 ) = 2^

cr 0,8

T đ ó ệ = ,

0 ,

1,28 => ơ 0,2 = 0,156 đ n vị đo

ơ 1,28

B i Cho b iến n g ẫ u n h i ê n X H ã y tìm xác suất p ( j x - a | < )

Giải'. Á p d ụ n g c ô n g t h ứ c ( ) / o \

p i \ x - a < ) = ệ — = ( ^ ( ) « 0,9973

\ < y )

Chú ý xác suất n y g ầ n n ê n n ế u X c ó phân phối ch u ẩn tro n g thực t ế có th ể coi r ằ n g c ác giá trị c ủ a X p h â n phối iiong k h o ả n g (í7-3ỡ-,t/ + 3cr) Đ ó q u y tắc ba s ig - m a hay 'ỉịing ứng dụng

B i Sai số c ủ a m ộ t p h é p đ o k h o ả n g c c h đ ế n m ột địa diem biến ngẫu nhiên c h u ẩ n với sai số hệ t h ố n g 50 m lệch vổ phía g iảm kh o ản g cách v đ ộ l ệ c h q u â n p hươ ng sai số 100 m Tính;

a) X ác suất đ ể sai số m ắc phải trị tuyệt đối k h ô n g vượt 150 m

b) X ác suất sa o c h o độ lệch xa đo k h ô n g vượt k h o ả n g c c h thật

Giải: G ọ i X sai s ố đ o m ắc phải, sai số h ệ t h ố n g c h í n h kỳ v ọng c ủ a X LI - E X - - 50

a) T h e o y ê u c ầ u b ài t o án dựa vào (4.2) F ( j X Ị < ) = p ( - Ơ < X < )

I 100 J l 100 )

ệ{2) + (í(l) = 0,4772 + 0.3413 = 0,8185

> k • V

b) X c s u ấ t c ầ n t ìm

p { - i < x < ữ ) = ệ + 50^

lOQ ệ

CO+ 50^

100

^ + oo) + ^ 0,5)

Chú ý r ằ n a V > l a l u ô n c ó ệ { x ) = - từ dó

p ( - 03< X < 0) « 0,5 + o a 15 = 0.6915

Bài M ộ t c ầ u t h ủ ném bóng 0 lần vào rổ với xác suất ném trúng rố c ủ a m ỗ i lần ném 0,8 T im xác suất để c ầ u thủ ném trúng 300 lần

Gicíi: R õ r n g c ó th ể d ù n g c ô n g thức Bec-nu-Ii

Tuy n h iên việc tín h t o n phức tạp Ta d ù n g đ ịn h lý giới hạn L a p -l a -x địa phư ng

A ,k,(300)

/ 0 - 0 ^ / ^ ^

với „ ) = (p - p = = - = —=— = (p{- 2.5) ^ ^ l 0 Ẵ Ẩ ) 2

T đ ó xác suất c ầ n lìm /^4,11,(3 0) 5: 0.0023

B i Xác suâì bắn trúng đícli xạ thủ 0,8 Tiiĩi xác suâì đổ 100 lần bắn:

a) X thủ b ắ n t rú n g k h ù n g 75 lần k h ô n g n h iều 90 lần;

b) K h n g h n 73 lần b ắ n trúng

Giúi: DÙ112 đ ịn h lý M o a-v rơ - L áp-la-xơ

K i^i ^ -^2) = Á ^ ' ) - ''ỚI ■

a) /^,„„(75;90) = ^ (a s) - ^ ( v, ) ,vớì

7 - 0 , - 0

,V| = —= = = = - L ; V = _ = ,5 VlOO.0.8.0.2 VlOO.0,8.0,2

Từ (75.90) = ^ (2 ,5 ) + ^ (1.2 5) ^ 0.8882

b ) T n g t ự t a c ó : ( 0 ) = ízí(5 ) + ^ ( , ) ^ ,8

l ỉ i M ộ t n ữ c ô n g n h n dứ n g m y xe sọ'i g m 800 õng sợi xác suất đứt sợi c ủ a m ỗi ố n g v ò n g g iờ 0,005 Tìm xúc suáì c ủ a k i ệ n Irong \ ’ị n g i c ó ốno sợi bị đứt

Gicii: Rõ r àn g số ố n g sợi bị đứl t ro n g vịní’ hiến ngảu n h iên X ~ í ỹ ( 0 ;( ),0 ), n h n g k h ó để lín h Irực tiếp, c!áy p = , 0 bé k h ỏ n a nên d ùng x ấ p xí L a p -l a -x m nên dùnti xấp xí t h eo P o a - x ỏ n g (xcm m ục 2,1) với Iham số

i = n p = 0 0 Í S = 4.

/ ^ o o ( ) - ^ ‘ý ' =

4!

Bài Khi sản xuất loại bi, người t a kiổm tra chất lượng sau: nêu viên bi khơng lọt qua lỗ có đườno kính dị lọt qua lỗ có đường kính coi viên bi đạt yêu cầu

{dị<cỈ2). Nêu không thoả m ãn điều kiện bi

phê phẩm Biêt đường k ín h viên bi biến ngẫu n h iê n có phân phối chuẩn với kỳ vọng d I +

d-2 độ lệch c h u ẩ n Tim tỷ lê p h ế phẩm c ủ a viêc sản xuất

4

Giải: G ọi D đ n g k í n h bi, rõ r n g b i ế n n g ẫ u nhiên d, + d2

2

ỏ2 - d ,

\2

Tỷ lộ phê p h ẩ m cầ n t ìm ký

hiệu p , b ằ n g t h e o (4.2)

p = \ - p{cỉị < D < ^ )

^ d , - E D ^

=

=

-ệ

ộ

ơ d') — dị

2 ơ - ệ D y \ (J ~ ệ D J

~ d 2 a cỉ'f cl Ị

2 ơD J - l - ỹ ỉ ( ) - 0,0456

Bài C h o độ m ấ p m ô bề m ặt c ủ a m ột loại ch i tiết b i ế n ngẫu n h iê n X - c / ị a , ~ ) , Chi liết đ ợ c coi đạt yêu c ầ u n ế u b < x < ( \ x> c chi tiết c ầ n p h ả i xử lý th ê m H ã y tìm :

b) Màm p h â n phối xác suất c ù a dộ m ấp m ô chi liết cần xử lý t h ê m

Gicỉi: a) Đ ố i với độ mấp inò ciia chi tiết đạt yêu cầu, ký hiệu ta lu n c ó /?<x „<r; hàm phân phối xác suất Ả^„, ký hiệu F,('V), chí khác h ằ n g số đ o ạn (/;,(’);

< h b ằ n g > c Trẽn đ o n Ợ),c) tv lệ t h u ận với phân phối biến ngẫu nhiên X ban đầu

F , ( x ) = P(X^, < x )

= k p(b < X < x) (Ả hệ số tỷ lệ, A < c)

k ệ - ệ

\ J

Đ ể hàm liên tục ta phải có /■•;,{*)=0 _ ,

f„ (r)= l <x y

T ó m lại h m p h â n phối cần tìm có dạng:

a

- ệ h - a ơ

'0

( x - a ^ ' h - a ^

ệ - ệ

K cr ^ cr J ' r - ^ /^ h - aị \1

ệ - - ệ

1

l ỡ- j K (y )

k h i x < h.

khi b < x < L\

khi A' > c.

b) N ê u ký h iệ u F,,(a) h m p h ân phối biến n g ẫ u n h iên

Xi, chí đ ộ m ấ p m ô c ú a chi tiết cần xứ lý bổ x u n g (Xi, > r ) ta có lư n g tự n h

F , X x ) = P ( X , < x ) = k P { c < X < x )

k ệ c - d

\

o-Đ ể Fi,{\) h m liên tục ta phái có Fi,{c) = 0, na oài F , , ( + a ) =

í \

c - ư

T ó m lại F ị j { x ) = ệ

í \ í

x - a - ệ

\ c - a

V c r y

2 V cr

k h i X < c

khi V > c.

2.4.3 Bài tập

1 T r ọ n lư ợ n g c ù a m ộ t t o a t u m ộ t b iế n n g ẫ u n h i è n có trị t r u n g b ì n h b ằ n g / đ ộ l ệ c h c h u ẩ n a = , l Tìm xác suất đê t r ọ n g lư ợ ng loa tàu k h ô n g vượt q u 70/ lón 60/, biết r ằ n g tuân iheo luậl c h u ẩn

2 Đ ộ dài chi liết m ột m v tự đ ộ n g sản xuất m ột biến n g ẫ u n h i ê n c ó phân phối c h u ẩ n với tru n g h ìn h b ằn g 40cnì \’à độ lècli c h u ẩ n ơ ~ OAcni. Cần b ả o đ ả m đ ể độ lệch cú a độ dài chi tiết so với t ru n g bình b ằ n g b a o n h iê u với xác suất 0,8?

3 lY o n g m ột dây c h u y ền c ô n a n g h ệ sản xuất hàng loạ) lỷ lệ p h ế p h ẩ m 4% Cần phải c h ọ n b a o n h iêu sản phẩm đ ể có !hc k h ẳ n g đ ị n h với xác suất 9 % r ằ n g tv lệ p h ế phám số sản p h ẩ m cliọn lệch so với 4% trị tuyộl dối k h ô n e

là 1/365 Tínlì xác suất để c ó học sinh sin h vào n g ày tháng giêng

5 Ta có m ộl lơ h n g 100 chi tiếl với tỷ lệ p h ế phám biết trước từ sán xuất 5% T í n h xác suất đổ lơ h n g có dứng phê phẩm

6 C h iề u c ao c ủ a m ộ t n a m giới tr n g t h n h m ột v ù n g dâ n c h iế n n g ẫ u n h i é n X c ó p h n phối c h u ẩ n với t r u n g bình bằn g 160(7?; ơ = 6cnì. M ộ t ngư i bị coi lùn n ế u chiề u c a o n h ó h n 154(77;

a) T ìm tv lệ nam giới lùn v ù n g đó;

b) Tính xác suất để c h ọ n ngẫu nhiên naười có I nmrừi k h ô n2 bị lùn

7 N ã n s suất lúa m ột đ ịa p h n g hiến n g ẫ u n h i ê n có phán phôi c h u ẩ n \'ới kỳ v ọ n g 45 lạỉlìci \'à cr = tạ!ha. Tìm xác suất để gặl ngẫu n h iên r u ộ n g có ru ộ n g có năno suất sai lệch so với tru n g b ìn h k h n g q u íạ! hu.

8 Cho /; biến n a ẫ u n h iê n x, đ ộ c lập c ù n g tuân Iheo luật c h u ẩn _ _ Ị »

\ i kỳ vọnti băng a p h n g sai b ằ n a ơ ~ Gọi X = —V x , ''/=1

b i ê ì r ằ n g A " c ũ n g t u â n t h e o l u ậ t c h u ấ n T ì m x c s u ấ t

x - a < c \'ó'i í: >

9 K iể m tra chất lượim 1000 chi tiết với lý lệ c h ín h phẩm 0.9 Hãv tìm với xác suất b n g , 4 xem sô sán p h ấ m dạt liêu c huẩn nãm Irong k h o ả n g

§2.5 LUẬT SỐ LỚN 2.5.1 T ó m t t lý t h u y ế t

1 B ấ t d ẳ n g t h ứ c T r ê- h - s é p N ếu biến n g ầ u n h i ê n .V c ó

p h n g sai h ữ u h n với m ọi £ > O c h o trước v x

p ị ị X - E X \ > £ ) < ^ (5.1)

2 L u ậ t s ố lớn d n g T r ê - b - s é p N g i ta nói r ằ n g d ã y c c b i ế n n g ẫ u n h i ê n hội tụ t h eo xác suất tới a n ế u với n đủ l n ta l u n c ó

p(|x„-a|<e)>l-íỹ.

với í > bé tu ỳ ý ổ nói c h u n g phụ thuộc vào 11 s K hi đ ó ta ký hiệu X „ —^ ơ.

B ây g iờ c ó th ể phát biểu luật số lớn dạng T r ê - b - s é p n h sau: N ế u d ã y c c b i ế n n g ẫ u n h iê n có p h n g sai bị c h ặ n n đủ lớn t r u n g bình c ộ n g c ủ a giá Irị c ủ a d ã y hội tụ Iheo x ác suâì t ru n g b ìn h c ộ n g c ủ a k ỳ v ọng tư n g ứng, tức là:

< £ > i - ổ (5.2)

V / = I / = /

v x

T r o n g đ ẳ n g th ứ c t r ê n lấy < ( ' < L u ậ t s ố lớn n y

Ì Ì S

là c s c h o tất c c ứng d ụ n g thực t ế lý t h u y ế t x c su ì, n hất t r o n g t h n g k ê tốn

c ác p h é p th Bec-nii-Ii X sô lần xuất k iện A {P{A) = p t ro n g m ỗi phép thử) aiả sử X = m. ÌI

khá lớn

p

/

m \

p < e

V ỉĩ )

> ] ~ ổ

( ỏ có t h ể lấy t r o n g 0 < ổ < , với í/ = - p). ne

2.5.2 C c giải m ẫ u

Bài Viêt lại b ấ t đ ẳ n g thức T r ê - b - s é p cho tr n g h ợ p

6' = k ơ , tro n g đ ó a đ ộ lệch c h u ẩn cù a X. T ìm k đ ể X lấy giá trị k h o n g t E X - k ơ đến E X + k ơ c ó xác su ấ t k h ô n g bé 0.9; k h ô n g bé h n 0,99

G i ả i : T ( ) t h a y e = k , [ a ~ = v x ) :

k ò k~

hoặc tương đ n g

(5.3)

2 ■ (5.4)

Từ dể

P{ EX - k < X < E X + k ) < 0,9

=> k ~ > l O hay A>3,162

Tương tự để x c s u ấ t n y < 0,99 , ta phái có - - - < 0,99, Ả.'

^ Ả “ > 100 hay Ả' > 10

C hú ý đ n h giá th eo bất đ ẳn g thức T r ê - b - s é p đ án h giá thơ N ế u ta biêì phân phối xác suất c ủ a X có đ n h giá c h ín h xác h n (x em 2)

B i C h o biến X tuân Iheo luật c h u ẩ n X ~ t ( , CT") Tìm xác suấl đ ể X lấy g iá trị k h o ả n g [a - k a a + k ) , k = 1, 2, So s n h c h ú n g với đánh giá thô c ủ a bất đ ẳ n g thức Trê-bư-sép

Giíii: N ế u X ~ f { a , ~ ) việc t ín h xác suất để

X e (ơ - Ẩ;cr,ơ + Ảcr) k h n g khó T h e o (4.2) (4.3)

tro n g ^ ( x ) h m Láp-la-xơ Kết q u ả với Ả’ = cho b ả n g Đ ể đ n h giá cận c ú a c c xác suất trườ ng h ợ p k h ô n g biết phân phối xác suất t h e o bất d ẳ n g thức l ’ré- b - s é p (5.1) ta d ù n g bất đ ẳ n a ihức (5.4) K ết q u ả tính cho t ro n g bảng:

X thuộc khoảng Đ ánh giá Iheo Trê-bư-sép

X ác suấl thực

x~c> /(a.ơ' )

(í/ - a , a + ơ") 0,00 0,68

(í/ - 2 , + ) 0,75 0,93

{ci - , a + ) 0,89 0,997

Gicii-. Á p d ụ n g lu ật sô lớn d n g T i ê - b - s é p , với /; = 250 ,

vx = , c = 0,3 ( x e m (5.2) với ơ = vx / /;£■“ ).

p

2?iíK) I 25(1(1 2500 Ể r

< ,3 >

2500.0.09

0,96

B i C h o xác suất xuất kiện p h ép th 0,3 T i m xác suất để 10000 phép thử độc lập tần suất xuất kiện lệc h khòi giá trị 0,3 mặt trị tuyệt đối k h ô n g q u 0.01

Giúi: Á p d ụ n g luật số lớn d n g B e c -n u - li, với I I = 10000,

s = 0.01, p = 0,3 (Ị = 0.7 (x e m (5.3) với cr = p q !n s ~ )

p

/

ììì \

- p <0.01

Vìl J

> - 0 J

10000.0.0001

= ,

2.5.3 Bài t ậ p

1 G i e o 1000 lần đồii2 tiền cân đối đ ồng chất Đ n h giá

xác suất đổ tần suất xuàì mật sấp lệch khỏi 0,5 m ặt trị tuyệt đối k h ô n g q u 0,1 Tìm kh o ả n g d a o đ ộng cùa số lần xuất h iện mặt sấp tương ứna

2 X ác suất để xuất kiện phép th b ằ n g 1/4 T ì m xác suất đè số lần xuất kiện dãy 0 p h é p t h độc lập nằm hai giá trị 150 250

3 C ó hai h ộ p bi, h ộ p có 10 viên bi đ n h s ố t đ ế n 10 P h é p t h việc c h ọ n liú họa từ m ỗi h ộ p m ộ t v iê n bi ta q u a n tâ m đ ế n X - tổiig c u a hai số trê n viên bi T i ế n h n h 100 p h é p lliử (có h o n lại bi sau m ỗi p h é p thử) T ì m

xác s u ấ t đ ể t ổ n g s ố (.V, giá trị lổng hai s ố trê n viên ; = l

bi p h é p t h t h ứ /) n ằ m t ro n g k h o n g (8 0 , 1400)

4 X c suất đ ể c ó lỗ h ống m ột vật đúc 0,2 Tìm xác suất đ ể từ 1000 vật đúc độ lệch c ủ a s ố vật đúc tốt (k h ô n g có lỗ h ổ n g ) so với 0 k h ô n g vượt q u 5%

Chương III

B I Ế N N ( Ỉ Ẩ I ) N H I È N N H I Ề U C H l Ể U

§ B I Ế N N G Ẫ U N H I Ê N N H l Ể U C H l Ề U R Ờ I R Ạ C 3.1.1 T ó m t ắ t lý t h u y ế t

1 Tập hợp /; biến ngẫu nhiên, xếp thành vec tơ, gọi

véc to' /ìgaii lìliiên hay hiến Iii^chí nlìiên II cliicii. Đ ể c h o đ n giản trona chương ta chí xét biến ngẫu nhiên chiều (lì = 2)

Biên ngẫu n h i ê n gọi rời rạc c c t h n h p h ầ n biên rời rạc (tương tự với khái n i ệ m liên tục) M u ố n biếl luật phân phối xác suất biến n g ẫ u n h i ê n c h i ể u (X,

Y) ta phái xác đ ị n h b án g phân phối sau đây:

} 'n

P\„ P2n

■V

Vl V2

-V;

■Vl P\\ P\2

Ằ2 P2\ P22

■V/;, Pm Pml plììll

(.\ I <.V2< <A„, ; V < V < < V „ , lì n i có th ể b ằ n g + oo ), t r o n g

dó P ĩ j = P{X = -V,, Y = V,) = F (.V ,, y ị ) gọi x c su ấ t đ n g

thời ( x c suất xá}’ đ ổ n g thời hai k iện X = -V,, Y = \j). Đ ể ý rằng;

P ( X = v, ) = X p ( ^ = v,.]' = v , ) = X í ’„ = p ( ' - ) (11»

./ /

> Ỷ = = ■'■rl' = v , ) = X / ’., = (1-2)

Z / > / , = Z ' ' ( > Í = ' , ) = Z ' ’( i ' = ' ■ , ) = I

ờ' ' /

G i ố n g n h trường hợp chiều, ta c ó thể xác định h m p h â n p h ố i x c suất d ng ĩlìời:

F ụ - , y ) = P { X < x Y < y )

Hàm phân phối c ảm sinh plìáiì p h ố i hiên Fị (.v) = p [ x < X , Y < +oo) = li m F { x , v )

F^ ( v ) = p { x < +0 0, y < v ) = l i m F{.\\ v )

Đ ể ý l F ( A ',-co) = F { ~ g o, v ) = F { - c o- c o) = ; F ( + co.-f-co) =

2 T a đưa vào khái niệm xác suất c ó điều kiện:

p ( x \ y ) = p { x = x\Y = y ^ = ^ ^ ^ ,

(1.3) p(y|.,v)=/^(r = v|X = , v ) = ^ ^ ^

Pi {^ )

T ố n g quát xét hàm phân phối x ác suất có điều kiện:

p(y, < Y < y )

(1.4)

I la i b i ế n n g ẫ u n h i ê n X, Y gọi đ ộ c lập clú F { x , y ) = Fị{.\)F2 {y) (hoặc p { x \ y j ) = p ^ { A ) = F{X = x , ) với m ọi / j.

Bài C h o biến ngẫu n h iê n hai c h i ề u (X, Y) có luật phân phối đ n g thời n h sau:

2 X'

0 ,2 0,16 }S 0,08 I ,1 ; 0,20 T ìm luật p h ân phối c ú a biến X Y.

Giíìi\ T h e o c n g thức (1.1) ta có

/;, (a-, ) = P { X = X,) = 0,18 + 0,08 = 0,26 Tương tự / ; , ( x2) = 0,38 ; ( ^3) = 0,36

L u ậ t p h â n phối c ủ a b i ế n X c ó d n g

■A A A ^

p, 0,26 0,38 ,

B ằ n g c c h d ù n g ( ) ta có luật p h â n p h ố i c ủ a Y

>’/ Vl ,V2 P/ ,5 ,4

C h ú ý P | ( x , ) t ổ n g cột, c ò n P'>(.Vị) tổng h n g tương ứng bảng gốc

Bài C ho b ả n g phân phối c ủ a biến n g ẫ u n h iê n (X, K)

-V/

1

1

0,15 ' ,2 0 ,1 0,35 ' 0,05 0,15

a) X c đ ị n h h m p h â n phối đ n g thừi cú a (X, Y).

b) Hai biến X Y có độc lập khơng? c ) T í n h P ( x = l | y = ) = / ; ( l | )

Giíii: a) T đ ị n h n g h ĩ a h m p h â n phối đ n g thời

F ( x j ’ ) = P { X < x , Y < j ' ) t a có F(.\', y) c h o b i b ả n g

V/

.V < 1 < X < 2< A-< 3<.v

.V <1 0 0

1 < \ ’ < 0,15 0,35 0,45

2< V 0,5 0,75

b) C h ẳ n g h n = 0,15; t r o n g kh i P ị { l ) p2Ì l ) =

0,5.0 ,4 = ,2 ^ p { ỉ , ì ), n ê n X y k h ô n g độc lập

c) D ù n g (1.2) (1.3) ta có p(\ 12) = ■ Chú

ý 7X1,2) c h í n h p ( x = l , y = 2) = /)| 2 = ,

B i 3- Các m o a y - phân xưở ng phân loại theo biến: X - âộ lệc h c ủ a đường kính írong so với kích thước chuẩn K - độ v a n (inỗi biến có n hóm ứng với giá trị cho b ản g sau) L uật p h â n phối đ ồng thời c ủ a (X Y) biết sau:

V 0,01 0,02 0,03

0,04 , 0,01 : 0,02 , ' 0.04

0 , 0,03 ,2 0,15 0.06

0 , 0,04 ,1 0,08 ; 0,08

Ị

T ìm c c xác suấl f [x = V, Y = ) h m phân phối c ó đ i ề u kiện f {-\\Y = )

Giải: Dễ d n g xác định phân phối biên củ a X Y.

-V, 0,01 0,02 0,03 ,0

p, 0,10 0.40 0.30 ,2

0,02 0,04 0,06 0,08

p, 0,11 0,48 0,30 0,11

0,04

0,13; T theo c n g Ihức (1.3) ta có;

p(0,01 ) = = ,0 1 r = , ) =

/ ^ ( , )

^ /7 2(0.0 6) 0,30

, (o |o, ) = ' Í > ^ ^ ;

^ ’ P2(0'06) 0,30

, ( , | ) = 'ĩ< ^ ^ = ^ ' X ^ ’ /^2(0 6) 0.30

Dỗ d n g k i c m tra 0,13 + 0,33 + ,2 + , = Đ ể tlm h m p h â n phối có điều kiện f{.\ 0,06) ta d ù n g ( ), từ đó:

/■'(-V 0,06)

0 khi V < 0, 01

0 , 3 khi 0,0 < V < , 2 0 , 6 khi 0 , < V < , 3 0 , 6 khi 0 < V < , 4

1 khi V > ,

B i Ta c ó hai hộp, hộp có viên bi:

- H ộ p I c ó I bi m a n g số 1, bi - số bi - số 3; - H ộ p II c ó bi m an g số 1, bi - số bi - s ố

G ọ i X Y t n g ứng số h iệ u c ủ a viên bi tương ứng c h ọ n n g ẫ u n h i ê n từ hai h ộ p bi (mỗi h ộ p c h ọ n bi) X â v dựng b ả n g p h n p h ố i c ủ a c ặ p b i ế n (X, Y) k i ể m tra lại X Y hai b iến đ ộ c lập

Giải: T ổ n g số c c h rút viên bi từ hai hộp 6.6 = 36 ( đ ổ n g k h ả n ă n g ) , số c ách lút cặp (1,1) 1.2 = 2; c ặp (1,2) 1.3 = í cặp (1,3) 1; cặp (2,1) 2.2 = 4; cặp (2.2) 2.3 = 6; c ặp (2,3) 2.1 = 2; cặp (3,1) 3.2 = 6; cặp (3.2) 3.3 = cuối c ặp (3,3) 3.1 = T có bảng ph ân phối c ầ n tìm:

Đ ể k i ể m t r a tín h độc lập, ta x â y dự n g p h ân phối ( b iê n ) củ a

X Y t h e o ( ) h o ặ c trực tiế p từ đ i ề u kiện toán:

1 2

Pi 1/6 1/3 1/2

y.i

Pj 1/3 1/2 1/6

/ ; ( , ) = / = p , (iV ( ) =

6

3.1.3 Bài t ậ p

1 N g i ta tiến hành thí n g h i ệ m với x ác suất t h n h c ô n g c ủ a m ỗ i th í n g h i ệ m 0,6 T ìm luật phân p h ố i c ủ a c ặ p b i ế n {X,

y) với X l s ố thí n g h iệ m ih àn h c n g , c ị n Y số thất bại Luật p h ân phối c ủ a c ặp b i ế n (X F) c h o b ả n g :

V/

Xi

' 10 20 30

1

20 ■ Ẩ ; 2/1 i 3 Ã

40 í 2 Ã

60 ! /1 Ị Ẩ

/t /L I Z- /L

60 j

X c đ ị n h Ẫ phân phối c ủ a từ n g b i ế n X v Y.

r - y • 'ĩ I _ Ạ ^ _ I _ ?• _ _ 1_ A ^ X ^ ’ - 1 ‘

3 G iả s ứ luật phàn phối đ n g thời c ủ a c ặ p b i ế n (X, Y) c h o b n a :

20 30

0 ,1 ; 0,08 : ,1 0 ,1 : , ,2 0 ,1 I 0,08

ÍBạn có n h ậ n xét q u a n hệ c c cộ t h o ặ c c c h n g tư ng ứng? C h ứ n g lỏ hai b iên X v Y đ ộ c lập T í n h c h ấ t m ói q u a n hệ trèn co đ u n g với m ọi h m p h â n phôi c ủ a b i ế n c h i é u đ ộ c lập k h ô n " ?

4 Luật phân phối đồng thời cú a số lỗi vẽ m àu X s ố lỗi đúc cứa IdỊii sản phẩm nhựa mộl c ô n g ty cho bảng:

1

0,10 0

1

0,06 0,05 0,05

Ị

0,02

0.04

0.01

3

0,01 0.01

0.00

Hai biến X V có đ ộ c lập k h ô n g ? T ìm xác suất để tổng sị lỗi vẽ m u lỗi đúc vượi q u N ếu ta biết sản phẩm có lỗi vẽ m u xác suất đ ể k h n g có lỗi đúc b a o nhiêu?

5 Cho luật phân phối củ a c ặp biến {X, Y) sau:

2

0,1 0,1

0,2 0,5 0,1

Tim luật phân phối xác suất c ủ a hàm X + Y \'ầ X Y

6 Một xí nghiệp c ó d â y c h u y ề n sản xuất loại sản phẩm với tỷ lệ tương ứng 2:1 Theo ihống kê khứ người ta biết gọi X s ố lỗi bề mặt sản phẩm dây chuyền thứ X c ó luật phân phối sau:

0

X,

p, 0,45 0,20 0,15 0,10 0,1(

Số lôi bề mật sản phẩm dây cliuyền thứ hai có luật Dhân phối:

0

p, 0,65 0,13 0,15 0,05

§3.2 BIẾN NGÂU NHIÊN NHIÊU C H IÊ U LIÊN TỤ C 3.2.1 T ó m t t lý tluiyốt

1 ÌAiật phân phối xác suất cúa mộl biến ngẫu nhiên chiều

{X Y) liên tục xác định n h lìàni lìiậr độ xác suất đồng thời Ịịx.y). Mở r ộng trường họp chiều, thấy xác suất

để điểm n g ẫ u nhiên {X, Y) rơi vào miền ứ ) tính bằng;

/ ( x e ứ ) ] = f f,/'(x y)cỉxcỉy ( 1)

ừ)

Đ ể ý f { x v) > 0; / ' ( V , y)clxcly = (lấy toàn mặt phẳng)

M I’

N ếu ta x c đ ị n h hàm p h â n phối đ n g thời F(x, v) g i ố n g n h m ụ c 3.1, dễ thấy

(2.2) / ( v ) = ^

dxcy

\ y

và iương đ n g với f{ii,v)cliidv = F { x , y ) - X -X

2 T n g tự công thức (1.4), định nghĩa hàm phân plìổi có điều kiện f [ x y ị , y i) - p{x < X Vị < Y < V2) sau:

,v

f{ằ- ị V , ,

/(// v)clndv

1 ỉàm niât đ c ó điều kiên /|(.v v) = ~ - ^ ^ nêu /'t(v) ? ^ /ii v )

Dưới dạng lích phân / i {x y) = (2.3)

f { x y ) j x

—oc / i G ’ ->■)=

/ C ' ‘ >’k v - c c

Đ ố i với hai biến X, Y đ ộ c lập ta l u n có:

F {x, y ) = F, (,v)F2(.v) h o ặ c f { x , y ) = / | { x ) f , ( y )

3.2.2 C c giải m ẫ u

Bài 1, Biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có hàm mật độ thời

' 1 J J ^ ' ’

a[x + V ) X + V < /■

0

T ìm hệ s ố a.

Giải: H ệ số a đ ợ c x c đ ị n h từ p h n g trình /(•^' v) =

a f ( x ~ + y - ) d x c l ỵ = ỉ. Ọ)

trong S ) hình trị n + y ^ < r “ Đ ổi biến sang hệ toạ độ

^ r V

cực a ủ(p q M q = =í> a = —

0 0

Bài H àm p h â n phôi c ủ a b iế n n g ẫ u nhiên chiề u (X, Y) có dạng:

F{x y ) V > 0, y > 0;

Giưi: Theo cịng thức (2.2) Irươc liên tìm

dh

0

Từ / ( a , v) =

*’ í '

c r e -X- \

khi ,v > V > 0; ,v < V <

khi V > 0,,v > 0; V < y <

cxõy [0

Đ ể tìm h m / ’(.v v) ta d ù n g c ô n g thứ c (2.3) Đ ầ u tiên tính

f-> = '/(■' • )’K '' = 'í' ' ' í/-v, V > , y >

- X

- \'

c ' V > , y <

C u ố i c ù n g nêu V > =í> /(.V v) = /(.v v )

- V

khi A > , A < Dễ thấy d o / ( v y) k h ô n g phụ thuộc V (cù n g với m iề n xác định) nên hai b iế n X Y độc lập

Bài C h o hai biến ngẫu n h iên X, Y độc lập c ù n g có phàn phối đề u [a, h]. X ác định h m phân phối z = X + K

Giủi\ T a đ ã biết X /,| f{x) = k h o ả n g [a,

1

h\ b ằn g h ằn g sô lập nên dỗ thấy:

h - u

trong k h o ả n g Do hai biến X, Y độc

1

khi (.V \’) e ứX

f{^- v ) = ỉ\ ụ)f2 (> ’) = ì <■/)’'

0 (x, v) Ể ứ )

Irong đ ó .(/) h ì n h v u n g (xem h ìn h 3,1) X ét điểm n g ẫ u n h i ê n (X, Y) mặt p h ả n g ,vOv với m iền biến thiê n c ủ a h ì n h v u n g

A B C D T h e o định n g h ĩa h m phân phối:

F ( z ) = P ( Z < z )

f { x y ) í l x d y ^

(/) { t - a Ỵ

dxdv. ừ)

trong ổ ó ữ ) ^ phần hình v u n g nằm đường thảng z = -V + y

T Fiạ) =

-ữ ) , T hình 3.1 ta có:

^ Srj) t r o n g diện tích cùa miền

nếu z < u F ( - ) = ;

nếu 2 a < z < a + b F {z ) ( i z M

2{h - a)'

(vị trí h ì n h vẽ)

( i b - Y

nếư a + h < z <2 bF { z) =^ ỉ (vi tn' đường thẳnỉỉ trên)

2{b - a f

nếu z > h F {z) = ỉ .

Có thể dễ dàng tìm hàm mật độ, d ùng cơng thức (2.2)

l ìà i Cho biến chiều (X, Y) có mặl dộ xác suất hàng bàng 0,5 hình vng với đính có loạ độ (1,0), (0,1) ( , ) , (0,- I ) H ãy lìm:

b) C ác h m rnật dộ có điều k iệ n /| (x y) /^(v v); c) X Y có độc lập k h n g ?

Giải: a) T a có n g a v h m mật đ ộ đ n g thời:

/(•v.v)

(.V, v) ứ )

c.

/

V'

1

\ (,v, v) Ể (/) t ro n g đ ó - h ìn h v u ô n g

( x e m h ì n h 3.2) X ác đ ị n h p h n g t r ì n h c ạn h h ìn h v u ô n g A B C D :

AB: X + y =

B C : y - X =

CD: v + v = - l

DA: y ~x = - l

+ y.

T t h eo c n g thức / i ( x ) = / ( x , v)í/.v, ta có ngay; /ỉ X

D

Hình

l-.v

2

c/y - - X < X < K

.v-l

1 + A

í/v = + X - < ,v < 0,

khi , V < - hoăc X >

Tương tự / 2(3’) =

1 - y V

<

0

b) T h e o c ô n g thức (2.3) V <

1

2(1- v)

0

khi -V < -

khi V > - \'

T n g tự A‘ < I

khi I v| < I

khi V > 1 ,v

c) Hai b i ế n X Y phụ t h u ộ c vào

3.2.3 Bài tập

1 Cho hàm mật đ ộ đồng thời véc tơ ngẫu nhiên (X, K): /(.V, v ) = í/(-v + ,V“ ) < X, y <

a) X c đ ị n h h ằ n g s ố a.

b) T im c c h m m ậ t đ ộ b i ê n c ú a X v Y.

c) X Y có đ ộ c lậ p k h n g ?

d ) T im hàm mật độ có điều kiện ,v biết ràng Y e [0,4;0,6 Biết m ộ t h m m ật độ đ n g thời

/(.V, y ) = r.vv < A < ; < V < 5. a) X c đ ị n h h ằ n g sô c.

b) T ì m c ác h m m ậ t đ ộ biên

c) Tim hàm mật độ có điều kiện Y biết rẳng 0.5 < X < 1,5 H m m ậ t đ ộ đ n g th i c ủ a c ập biến (À', K) có dạng;

a) T i m hệ s ố a.

b) X V c ó đ ộ c lập k h ô n s ?

4 T ìin h m mật độ biên mật độ c ó đ iề u k i ệ n c ủ a c ặp biến (X V ) có m ật độ xác định giái c ủ a m ụ c 3.2

5 C h o hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập tu â n t h e o luật chuAn c / ( ^ ) T ìm hàm mật độ phân phối c ủ a b iế n n g ẫ u n h iê n X - + y

6 C h o cặp (X, y) có phán phối đểu m ặ t trò n t â m o b án kính r

a) X c đ ị n h h m p h â n phối toạ đ ộ X v Y.

b) T ì m h m m ậ t độ c ó điều kiện / 2(3’ A')

7 C h o h m m ậ t độ đ n g thời cặp b i ế n {X, Y)

f { x , y ) = ae

+ v v + v '

a) X c đ ị n h h ằ n g số a.

b) T i m c c h m m ật độ có điều kiện

8 Hai m y tự đ ộ n g làm việc độc lập, xác suất đ e m áy sản xuâì sản p h ẩ m tốt tương ứng Pị p^. G iá s m ỗi m áy làm sản p h ẩ m gọi X, Y tương ứng sò' sản pháni tốt máy H ã y lìm hàm phân phối xác suất đ n g thời c ủ a cụp (X K)

§ 3.3 C Á C Đ Ậ C SỐ C Ủ A BIẾN N G Ẫ U n h i ê n N H I Ề U CH IỀU LUẬT CH U Ẩ N HAI C H l Ề U 3.3.1 Tóm tát !ý thuyết

1 Hệ t h ố n g c ác đặc số ta quan tâm c c kỳ v ọng cúa thành p h ầ n biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Đối với c ác biến liên tục ta có ( b iế n chiều):

E X - 'a/i {x)dx = r ì ĩ ỵ ; E Y = 'a / - ,(,v)í/.v = n ì y . (3.1)

-cc —ClC

C ò n đố i với b iến rời rạc ~ •

' /' i i

T hực c ó thể định nghĩa m ô - m e n g ố c bậc k + / củ a biến hai

c h iề u n h tìĨỊ^i = e {x ^ Y ’ ) v c c w ^ v /77) c h í c c trư ng hợp riêng / = 0, m = /?? = 0, / = M ô-inen trung tâm c ấp

k + / c ủ a biến chiều (X.K) đ ị n h n g h ĩ a là; I^A./ =

Trong trường hợp riêng, chẳng h n Ả' = 2; / = ta có phương sai c ủ a biến X\ ^ “ ' ' ' h)"

tương tự Vy = e ỊY - niy )■

Đ ặ c số thứ quan tâm c ũ n g m ộl trường hợp riêng hi ệp phương sai c ủ a (X,K), ký hiệu cov{X,Y)

r m < X y ) = £ p - / ? ; , X ỉ ' - ' » ỵ ) ]

(l-M.,)-Hiệp phương sai độ đo quan hệ hai biến ngẫu nhiên X

Y. N ê u X v Y tỷ lệ thuận, ta có hiệp p h n g sai dương, ngược lại X Y tỷ lệ n ghịch âm T r o n g nhiều trường hợp người ta q u a n tâm n h iều đến hiệp phương sai q u y chuẩn Dạng n h m a n g tên lìệ s ố tương q u a n X Y xác đ ịn h sau:

W ĩ '

N ếu X, Y độc lập, la có r o r ( X , F ) = tương ứng P x Y =

Ngược lại nói c h u n g khơng

T rong trường hợp biến ngẫu nhiên II chiều, người ta tập hợp

c c hiệp phương sai, hệ số tương quan, vào m a trận tương ứng gọi m a trận hiệp phương sai m a trận tương quan C h ẳ n g h n ta xét m ột hệ thống lì biến ngẫu n h iên (X|, X,, , x„) thì m a trận hiệp phư ng sai, ký hiệu r với phần lử Ỵiị {i,j = , , định nghĩa sau:

M a trận tư ng q u a n c ó t h n h p h ầ n đ n g c h é o đ ề u b ằ n g

2 Phân phối (X, Y) gọi chuẩn, hà m mật độ có dạng:

e

(x-nix f )(y-nh;)

a ị ơ ị

iTTƠy^ơyỶÌ p

-(3.2) niỵ, niy kỳ vọng thành phần; ơ ỵ ,(Tj độ lệch c h u ẩ n tương ứng; p = /7 y J hệ số tương quan

Nếu /9 = ta có / ( x , v) = / | ( \ - ) / , ( v) / Ị ( y) /-)(>’) c c m ật độ biến ngẫu nhiên có phân phối c h u ẩ n c4 '{ìnỵ , c r ị ) ơs \ i n y , c r f ) T X y trở thành độc lập (nếu k h n g có giả thiết c hn nói c h u n g không độc lập, x e m bên trên)

3.3.2 Các giải m ầu

Bài G i ả sử ta có p h ân phối xác suất đ ổ n g thời th e o b ả n g ( x e m giải m ụ c 3.1)

0

2

0 ,15 ,35

0,20 0.10 ,0 0.15 T í n h h ệ s ố t n g q u a n X v Y.

Gi ải : Cáí p h â n p h ố i biên c ú a X Y tìm đưọc

1 2

J, ,5 0 , 0,23

V,

p, 0.5

từ k>' v ọ n g c u a c h ú n g nix - 1.0.50 + 2.0,25 + 3.0,25 = 1.75;

I7ìy = 1.0,45 -f 5 = 1,35; = và = 0.25 Bâv tci tính E (XV)

E { X Y) = z z ^ i y j P u = ■ -0.15 + 1.2.0,20 + + 1.3.0,10 + 2.1.0.05 + 2.3.0,13 = 2.65 ĩ ĩ i ệ p p h n g sai

cov{X, Y) = £'[(x - V) =

E { X Y ) - m ỵ m Y = - 5 = -0 ,0 Hệ s ố t n g q u a n

, , £ ^ „ z M É Ì L _ L S ( )

Bài H àm m ật độ đ ồng thời cúa (X, Y) {X Y toạ đ ộ biên đ ộ d a o đ ộ n g thùng xe ô tô chuyổn đ ộ n g ) là;

— sin(,v + v) (.V, v) e ứ )

khi (.V, v) Ể iZ>

7X

tro n g ,íZ) m i ề n i ( x , v ) ■ ^ V < — < V <

2 2

n

> X c đ ị n h hệ sỏ' t n g q u a n c ủ a X, Y.

Giải: Đ ầ u tiên ta tìm m X ni y T h e o c ô n g thứ c ( ) ta có:

m x =

2

+cy;^ X

x f | ( x ) d x = x f ( x , y ) j x d y —oc —cr

/2 ^ n:/2

x s in ( x + v)dxdy = — x ( s i n x + r o s x ) d x = — ,

:) ^ '

rìiy ( tín h đ ố i xứng ciia X v K) T i ế p tục tín h p h n g sai:

, Ttn.ĩĩH

ơ \ = £ ( x ' ) - ( /ĩx )" = — + v)dx(Jy - m ị

0 (I

ơ ỹ — ỵ —ơ ỵ ỵ —

_ 7T + ^ Ĩ ~ 2

16

7T- + 8;r - 32

H iệ p p h n g sai đ ợ c tín h n h sau;

J K l l n l l

cov{X, Y ) = E { X Y) - n ỉ ỵ n ì y = — AT sin{x + y ) d x dy -n

0 16

_ - \ - n 16

rr,- íy;v(X,K) ; r - - ; r ^

T ta có: p ^ - = -— - = —-— — « - cr^CTy ;r + / T -

B i C h o h m m ậ t độ đ n g thời c ủ a biến (X, Y)

Jv-l)-/'(.V }') = ac ^ -a) X c đ ị n h a.

b) X Y c ó độc lập k h ô n g ?

c) T í n h x c su ấ t xảy đ n g thời X < - , Y > 4.

+ o: -fX

Gi ởi : a) D ù n g c n g thức / (.V v)r/,ví/v = 1; ta có - y — ' X

a

+ cr ( y - l ) “

clx e (ịy - [

-r

+x A

D ù n g t í c h p h â n - l e - P o a - x ô n g - d x - - Ị ĨtĨ , la có

(.v+3)~

^ dx

- X

^ í/y

X

đổi biến lí

^ +r //“

^ ] = ị e ' chi = l ^ ĩ n

2 -Cf.Ì

đổi biến // = V -

•ỉ y u

e /T

T đ ó I o^ Ị Ĩk ■'J2 n = A a n = Suy a =

b) C ó Ihể b i ể u diên

/ ( v v ) =

An

s V 't

í' - = / l ( v ) / ( v )

-2 ^ ^ - Ị Ĩk

trong /'i (.v) (v) hàm mật độ biên X \'à Y (chú ý chúng biến có phân phối chuấn chiều) Vậy X v Y độc lập

c) D o X Y d ộ c lập n ê n P ( x < - Y > 4) = p ( x < - ) p ( Y > 4)

Do X ~ o f ( -3 4); Y - ( , 1) n ê n t a có n g a y

/^(X < - ) = : p { Y > ) = i \ + ệ -

V

0,9 từ x ác suất c ầ n tìm b ằ n g 0,5.0.99865 ^ 0,5

B i Biên độ d a o đ ộ n g n g ẫ u n h i ê n c ủ a t h n h t u t h u ỷ biến n g ẫ u n h iê n luân t h e o luật p h â n phối Rê-le;

c ơ

ơ ~ phương sai góc n g h i ê n g T ìm xác suất để b i ê n độ d a o đ ộ n g bé trung bình; lớn h n t ru n g b ì n h c ủ a

Gi ải: Trước hêt la tìm EX, t ro n g X b iê n đ ộ d a o đ ộ n g Irong đầu bài:

e la d x = VĩI n

0

Mặl k h c c ó thể tín h h m p h â n phối c ủ a X k h dể;

) = c ( x > )

Từ đó;

p{x < niỵ ) = p x < Ơ ^ I T ĨVĩ = F Vĩi n -F(o)

ĩỉ

= ^ , 4

và su y p[x > /77;c) = - p{x < m ỵ ) = 0,456 3.3.3 Bài t ậ p

1 Tính hiệp p h n g sai hệ số tương q u a n cặp (X F), biết luật p h â n phối đ n g thời cho:

ly, - - 2

- 0,00 0,25 ,0 0 ,0

- ,0 0,00 ,0 0,25

1 ' 0,25 0,00 0,00 0,00

2 : 0,00

i

0,00 0,25 ,0

2 C h o c ặp {X, Y) c ó h m m ậ t độ đ n g thời;

7 , ^ — « •

ĩr[x^ + y ^ + l )

Xác đ ịn h kỳ v ọ n g t h n h p h ần h i ệ p p h n g sai

3 Xác đ ị n h m a trậ n p h n g sai c ủ a c ặ p b iế n (X, Y) biết ràng h m p h â n p h ố i đ n g thời có dạng:

F ( x , y ) = sinx siny, < x < — , < y < ~ ;

n ế u X >

7T

trong biểu thức thav sinx = (hoặc sinỵ = ) ; Ằ < 0

hoặc V < F(ă, ỵ) =

4 Các toạ độ (X, F) m ột điểm n g ẫ u nhiên mặt phẳng theo luật p h â n phối chuẩn

/(•^% y) =

1

í \ y:

-

4-2tĩ ab

a h

T im xác suất để đ iể m nằm elíp có c ác b n trục ka

và k h trù n g với trục toạ độ O x Oy.

5, Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X, Y có c ù n g phân phối c h u ẩ n với E X = E Y - 0 phương sai X ác đ ị n h xác suất kiện.:

a) X > Y b) |A^| > Y c) X > |y d) X < e) Đ n g thời X < y <

Chương IV

MẪU THỐNG K Ê V À ư c LƯỢNG THAM s ố

§4.1 M Ẫ U T H Ố N G KÊ VÀ P H Â N PH ƠÌ THỤC N G H IỆ M

4.1.1 T ó m tắt lý thuyết

1 N h i ệ m vụ thống kê toán phâìì liclì s ấ ìiệii (gồm ihu thập xử lý) n h ằ m thu n h ậ n thông tin c h ân thực đại lượng n o rút kết luận hợp lý c ó giá trị khoa học thực tiễn G iá o trình giới hạn tro n g việc giới thiệu sô phương p h ấ p x lý số liệu

Khái niệm c sở c ủ a thống kê toán t ập m ẫ u, gọi tắt mẫu; tập đối tượng chất c h ọ n cách ngẫu nhiên T ậ p lìân gọi tập bao g m m ọi đối tượng c h ất đó, nơi m ch ú n g ta tiến h n h việc c h ọ n mẫu DiiiiíỊ lượng niẫii số lượng đối tượng c ó tro n g tập mẫu Mẫu gọi k h n g hồn lại đối tư ợ ng c h ọ n kh ô n g bị Iiá lai trước c h ọ n đối tượng c ó h o n lại k h ô n s làm n h T h ô n g thường m ẫu gọi bé n ế u d u n g lượng k h n g vượt q u 23 - 30 phần tử

m âu để ihấy lính hợp lý cùa việc sử dụng c h ú n g lý ihuyếl thực hành) Cịn troiiíi tập lính tốn, m ẫ u đ n giản dãy số thực n h ta thường gặp tốn nói c

2 Khi n g h iê n cứu inẫii có dung lượng //, k h ố n g loại irừ khả n ãn g m ột giá trị xuất nhiều lần m ảu Bằng việc g ộ p giá trị lại ta biểu diễn m ẫ u b ằn g b ã n s sau đây:

■\'l -V; X,

// ỉỉ 1 2 n ^

trong / / , s ố lần xuất giá trị V, ( / = 1, 2, Ả) C c riị

chính t t h ỉ vơ’ c ủ a giá trị lương ứng //j + ỈỈ2 + + /ỉ^ = /?

Đồ ý tất /í, 1, ta có giá trị m ẫ u k h c Irường hợp k - ỉỉ (dung lượng mẫu)

Tỷ số tần số dung lượng mẫu gọi tán s uấ t củ a siá trị tương ứng ký hiệu {i = 1, 2, , k) Có

Ihể c h ứ n g lỏ dễ dàng:

Ì ' V , = Ẻ

i=i i=i n n n

Bảng số sau thiết lập mối q u an hệ tương hỗ giưa g iá trị mẫu tần suất c ủ a chúng:

(1.1)

X

^'2

và cho c h ú n g ta tranh há n chất xác suất c ủ a biến ngẫu nhiên X c ảm sinh mẫu; bảng s ố n y h a y gọi pliâìỉ p h ố i íỉìực lìịỊlìiệni (hoặc phân p h ố i m ẫ u ) c ủ a biến X.

N ó có d n g g iố n g bảng phân phối xác suất c ủ a b i ế n n g ẫu nhiên rời rạc ( x c m mục 2.1) Đôi irong bảng (1.1) c ác g iá trị

mẫu cho k h ô n g phải b ằ n g số, m b ằn g m ộ t k h o ả n g trê n trục số; sau tính tốn, t h ô n g th n g ta thay k h o ả n g số giá trị n ằ m kh o ả n g ( n h t r u n g bình c ủ a khoản g )

Ngồi b ả n g (1.1) người ta xâ y d ự n g h m p h n p h ố i x c suất thực ng h i ệm c ủ a biến n g ẫu n h i ê n c ả m sinh m ẫu; c c h tìm m ột hàm n h giống c c h l m tro n g m ụ c 2.2 b ằ n g c c h coi ( 1.1) n h m ộ t b ả n g phân phối x ác suất M’, xác suất N h việc xác định h m p h â n p h ố i thực n g h i ệ m c h í n h q trình tìm tần suất tích luỹ (và k h i đ ó b ả n g (1.1) số liệu phải theo thứ tự tă n g d ầ n c ủ a giá trị)

Bây c ó th ể x ác đ ị n h c c đ ặ c t r n g m ẫ u c bản:

* Tr ưng bình m ẫu

A" = —V / , x , x = — ( 2)

« t í ' » /=1

* P h n g s a i mẫii

= - Y n , { x ^ - x f s2 (a. - x ) " (1.3)

” ,=1 « ,=1

Ph n g s m ầ n h i ệu c h ỉ n h

hoặc ụ - x Ỵ (1 )

Dễ thấy

/ -

* H m p h â n p h ố i mẫu: G i ả s t r o n g ( 1 ) < X2 < .< Xị.

0 k h i X < X , ,

t a c ó

F„ U ) = h

/=^1

k h i < X < ^ / , + 1, ( / / = , , , k - ) k h i X > X k •

Ngồi xác định đặc trưng mâu khác trung vị mẫu, m ô - m e n m ẫ u Việc tính theo (1.2) - (1.4) xét m ục 4.3

3 T r o n g thống kê m ỏ tả, để biểu diẻn quy luật phán phối xác suất người ta d ùng phương p h áp đổ thị, chẳng hạn:

* Đư ờn g g ấ p k hú c p h â n p h ố i đường nối điểm (X|, M’|), (^2, Wj), (x^., vvj; đ i ể m (.V/, «/), //<)

* T ổ chức đ ồ hệ toạ đ ộ (a', v); trục hoành toạ độ X j , ^2,

Xị^ giả sử c h ú n g c c h h = ~ A', Ta dựng hình

c h ữ nhật có c h iề u c ao (hoặc M',) chiều rộng Ìì với đ iểm đ y X ị

4.1.2 C c giải m ẫu

B i Khi đo độ dài 30 chi tiết chọn ngẫu nhiên củ a loại sản p h ẩ m , người ta thu s ố liệu sau đây:

39 41 40 43 41 40 44 42 41 43 41 42 39 40 42 43 41 41 42 39 42 42 41 42 40 41 43 41 39 40

X â y dựng; a) Bảng phân phối thực n g h iệ m h m phân phối m ẫ u tương ứng; b) Đ n g c o n g g ấ p k h ú c phân phối c ủ a độ dài

chi tiết đo

Gi ải : S ố liệu đ ã c h o c ầ n t ậ p h ợ p lại vào bảng s ố sau đây:

X 39 40 41 42 43 44

n

a) B ả n g p h â n p h ố i thực n g h i ệ m củ a số liệu gốc là:

X 39 40 41 42 43 44

7 ?

w

15 10 30 15 30

Từ b ả n g số b ằn g c c h tìm c ác tầ n s u ấ t tíc h luỹ ( x e m c n g thức (1.5) )ta có h m p h â n phối m ẫu :

0

15

khi X < 39

khi 39 < A- < 40,

khi < x < ,

khi 41 < X < 42,

khi A < x < 43,

khi 43 < X < 44,

khi A' > 4

10

3 5

30

N ế u b i ể u d iễn đồ thị đ â y m ộ t h m b ậ c thang

b) Đ n g gấp k h ú c p h ân phối c h o hình 4.1: trục tu n g ta c h ọ n đ n vị r t ị - tầ n s ố c ủ a g iá trị A', tương ứng

B i Đ o đ ộ lệch k íc h th c s ả n p h ẩ m so với c h u ẩ n ta b ộ s ố liệu sau:

Hình 4.1

0 , ,1 0 ,1 , ,0 0,15 0,12 0,07 0,17 0,16 , ,0 0,17 ,0 ,0 ,0 0,11 0,15 0,15 0,17 ,0 ,0 ,0 0,11 0,05 0,08 0,10 0,06 ,0 0,09 ,0 ,0 ,0 , 0,17 ,0 0,09 0,12 0,07 0,10 , 0,11 0,09 , , ,1 0,08 0,10 0,11 0,09 ,0 ,1 ,1 0 , 0 ,1 0,02 0,07 0,06 ,1 0,10 X c đ ị n h b ả n g p h â n p h ố i thực n g h i ệ m x â y dự n g tổ chức đồ tư n g ứng

Giải: Đ ộ lệ c h b é n h ấ t ,0 c ò n lớn nhấ t 0,17; ta c h i a m ẫ u t h n h k h o ả n g với độ dài 0,02 B ả n g p h â n phối thự c n g h i ệ m c ó d n g {n - 100):

X

0,0 - ,0 - , - ,0 - 0,10- 0,02- 0,1 - 0,16-0 ,0,16-0 ,0 ,0 ,1 0,12 0,14 0,1 0,18 0,08 0,13 , 0,13 0,19 0,08 ,1 0,13 T ố c h ứ c đ độ l ệ c h c h o h ì n h 4.2

0,20

0,10

(')

0,02 0,06 0,10 0,14 0,18 X

Hình

B i C h o số liệu g m 79 giá trị n h salu:

43 52 53 54 45 54 59 54 48 40 56 53 59 42 43

49 51 51 44 57 51 - 50 42 51 56 57 50 50 51

55 50 53 48 46 47 51 51 57 52 48 5Í 50 47 53

57 55 50 50 49 52 48 51 60 48 53 62 51 49 61

42 50 51 60 51 50 57 55 49 53 56 49 46 55 56

47 50 47 54

X ây d ự n g b ả n g p h â n phối x c su ấ t thự c n g h i ệ m

Giải: Kết q u ả cho b ả n g sau đây: Cột n h ó m số liệu, cột tần s ố tần s ố tích luỹ, cột vẵ tần suất tần suất tích luỹ

N h ó m T ầ n số T ầ n s ố

tíc h luỹ T ầ n suất

T ầ n s u ấ t t c h l u ỹ (% )

40 - < 44 6 7,59 ,5

44 - < 48 15 11,39 ,9

48 - < 52 31 46 39,2 4 5 , 3

5 - < 56 17 63 21,52 ,

56 - < 60 12 75 15,19 ,

60 - < 64 79 5,06 0 ,0

Đ ể ý cột cho ta hình ả nh xấp xi híiĩi p h â n phối mẫu Cách xây dựng bảng p h â n phối thực nghiệm cưới d n g cột thường phổ biến tài liệu củ a M ỹ - Anh

3.39 ,3 3,38 3,41 3,42 3,40 3,41 3,39 3,44 3,43 3,38 ,4 ,3 3,41 3,40 3,41 3,38 3.42 3,43 3,39 3.40 3,41 3.46 3,39 3,37 3,42 3,41 3,40 3,38 3,41 M ô tá d ã y s ố liệu biểu đồ c h ấm , sau xác định bảng p h â n p h ố i thự c n g h iệ m

Giải-. Biểu đồ c h ấ m xây dựng n h sau tương ứng với b i ể u đ b ả n g phân phối thực n g h i ệ m

• • 1— • • • - 1— • • • - -• • • • • • • • • •• • •

3,37 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 ■ -i -13,45 ,3,46 X ,3 3,38 3,39 3,40 3,41 3,42 3,43 3,44 3,46

] 1 1 1 1

15 15 6 30 10 15 30 30

Đ ể ý tổ chức đồ biểu đổ chấm , cịn có nhiều cách m tả s ố liệu khác, c hẳng hạn sơ đồ kiểu c ây - lá, kỉểu hình trịn v v M ụ c đích c h u n g tạo đồ thị để trực giác xác d in h dê d n g tần suất lớn nhó khác ứng với giá trị tương ứng

Bài C ho m ộ t b ản g phân phối thực n g h i ê m n h sau:

1 3 4

0,4 0.1 0,3 0,2

l 'ìi n h m phân p h ố i m ẫ u vẽ đồ thị

Giải: T h e o c n g thức (1.5) ta có:

f , , w =

1 ^

'0

n n , =

-n

khi -

X < , 0,4 <A < , 0,5 < X < 3,

0,8 < a- < ,

1 a' >

biểu diễn

trên hình 4.3

05

4.1.3 Bài t ậ p

1 lĩ_ • A

4 X

1 C ho số liệu sau đây: Hình

-1,54 1,71 -0,59 -1,08 -1,18 -0,08 0,46 0,46 0,82 0,80 0,69 -1,41 -0,87 -0,27 0,08 -0,81 1,47 0,11 1,60 -0,42 0,98 0,90 -0,48 -0,48 0,25 -0,62 -0,81 -0,36 1,45 -0,13 0,78 1,33 0,03 -1,32 -0,09 0,17 0,47 -0,45 0,34 -0,72 -0,47 0,93 0,89 0,35 0,22 -1,92 0,20 -0,34 -1,05 2,18 -0,60 -0,91 -0,23 -1,50 0,47 0,41 -0,77 0,70 1,10 -1,31

0,79 -0,39 -1,16 -0,50 -0,60 -2,51 -0,73 -1,24 1,35 0,32 -0,21 0,29 0,07 - 1,00 0,28 1,56 0,43 1,41 0,04 0,05

Xác định b ản g phân phối thực nghiệm , sau tìm đường gấp khúc phân phối tương ứng

2 Sau đ â y giá c ủ a m ộ t loại bất đ ộ n g sản m ột huyện:

180 165 151 148 145 121 110 110 105 100

100 100 100 98 95 95 90 90 90 85

84 83 82 80 80 75 72 72 68 65

61 61 60 60 60 58 57 56 55 55

54 54 53 52 51 50 50 50 50 50

50 49 46 45 45 41 41 , 40 38

38 36 35 35

Xác định b ả n g p h ân phối thực n g h iệm (lấy độ dài b ằ n g 30 giá trị 30), sau vẽ tổ chức đồ đường gấp khúc phân phối tần suất tích luỹ

3 T m ộ t s ố liệ u đ ộ dài, n g i ta xây dự n g sơ đồ d n g “ c â y l ” n h sau:

2,0 II 49 , 39, 73, 30, 40, 23, 46, 94, 88, 65, 03, 20, 39, 65 , II 65, 23, 54, 63, 68, 12, 92, 19, 71, ,1 , 13, 80,9 , 94 2,2 |Ị 87, 74, 11, 25, 03, 02, 42, 97, 22, 54, 95, 89, 71, 75, ,4 2,311 , , 4 , , ,

2.4 II 43, 24, 60, 26, 55, ,0 2.5 II 09, ,4 , ,0 , 11 2.6 II , , 2 , 9 , 64, 15,49 2.7 II ,0 , 38

2.8 II 29, 96, 60, 73, 14, 64 2.9 , 1 , , , ,

T rong sơ đồ n y c ây c h í n h b ộ s ố trướ c dấu , c ò n số c òn lại; để ý c c p h ầ n c h ữ s ố c ủ a phần t h ậ p p h â n (hàng c h ụ c h n g trăm , tức c h í s ố p h ầ n trăm p h ầ n vạn số đo tương ứng; c h ẳ n g h n ứ n g với c â y 2,7 ta c ó c ác sỏ' liệu gốc ,728; ,7 0 , ) H ã y x c định b ả n g p h ân phối thực n g h i ệ m ứng với s đ ổ c â y -

4 Q u a n sát m ột biến n g ẫ u n h i ê n 25 lần ta có s ố liệu:

2 Ỉ 10

2 8 10

3

Xác đ ị n h b ả n g p h â n phối th ự c n g h i ệ m v đ n g gấp k h ú c p h â n phối tương ứng

5 Người ta chọn 65 lô h n g c ủ a th n g liên tiếp c ủ a c ù n g mộl nhà m áy đem thử n g h iệ m , s ố lư ợ n g p h ế p h ẩ m là;

0 1 0 1 1 0 2 1 0 1 2 1 1

1 2 2 1 2 1 1 0

và

1 2 0 4 1 2 2 2 1 3 1

1 2 2 2 4 2 1

Xây dựng đường gấp k h ú c p h â n phối tương ứng \'à c h o biết chấl lượng hai lỗ h n g c ủ a h a i th án g có g iống không? sao?

59 70 79 73 79 45 71 67 61 69 61 59 73 71 67 69 61 59 75 71 67 61 59 85 90 87 44 46 85 54 76 77 68 77 79 51 59 67 54 57 75 69 66 60 74 64 74 66 86 75 59 71 72 76 69 59 61 64 71 72

Hãy x c đ ị n h b ả n g p h â n phối thực n g h iệ m Sau vẽ đườ ng g ấ p k h ú c p h â n p h ố i tổ c h ứ c đồ ( c h ọ n độ dài k h o ả n g cách b ằ n g 10)

7 Đ i ể m s ố c ủ a sin h viên m ộ t lớp ( đ iể m tối đa 100); 42 48 4 34 45 77 81 80 80 83 79 77 76 75 81

81 75 80 32 39 48 77 33 57 27 46 49 76 74 77 85 79 42 32 46 49 56 45 39 53 32 50 44 53 47 38 46 48 42 33 39 39 40 33 72 83 82 75 76 85

X ác đ ị n h b ả n g p h â n p h ố i thự c n g h i ệ m đ n g gấp k h ú c phân phối C h o n h ậ n xét s i n h v iê n lớp đ ó dựa vào đồ thị xác định

8 C h o b ả n g p h â n p h ố i thự c n g h i ệ m có dạng:

Mhóm g i trị T ầ n su ấ t ( % ) X c đ ịn h h m p h ân

2 đ ế n - tư n g ứng

- , đ ế n - , 13 - , đ ế n - , 16 - 0,5 đ ế n 0,0 15

0,0 đ ế n 0,5 25

0,5 đ ế n 1,0 14

vẽ đồ thị.

1,0 đến 1,5 1,5 đ ế n ,0

9 T r ọ n g lư ợ n g c ủ a c ác sản p h ẩ m c ủ a m ột lô h n g là:

99,8 99,3 99,7 99,5 99,5 100,1 100.0 100,5 100.1 99,2 99.7 99,3 99,8 99,9 99,8 99,9 100.4 100,2 100.2 100,1 98,5 97,9 98,7 99,2 98,2 100,9 101,1 102,2 97,0 98.7 99.1 100,5 100,7101.1 99.6 100,2 100.3 9 ,8 99.2 X ác định b ả n g p h n phối thực nghiêm đường gấp k h ú c phân phối Sau tìm h m phân phối m ẫu đồ thị cùa

§ , C Á C P H Â N PHỐI H A Y D Ù N G T R O N G T H ố N G K Ê

4.2.1 Tóm tắt lý thuyết

1 Pliáìì p h ố i ciìitẩiì. chương II ta đ ã làm q u e n với biến ngẫu nhiên có p h ân phối c h u ẩn ký h iệu X ~ưi \ a , ơ ’) với a = £X, ơ ■ = vx. Đ â y phân phối l ất th n g gặp thực t ế điều k iệ n c ủ a tập sau

N ế u Y ~ ị \ , ỉ ) ta nói rằn g b i ế n n g ẫ u n h iên Y có p h â n phơi

c h u ẩ n rút g ọ n ( h a y c h u ẩ n - 1) Có i h ể c h ứ n g tỏ r ằ n g n ế u X ơ ' ) thì:

Phép biên đổi A" - a

ơ

được gọi phép riìl gọn (hay q u y c h u ẩ n ih e o nghĩa đưa inột b iế n ngẫu n h iê n vé d n g có kỳ v ọ n g p h n g sai 1)

Bàv n ế u ta có lì b iến n g ẫ u n h i ê i i đ ộ c lập , V | , .V ,, , A „ có

c ù n g pliân phối c h u ẩ n C>r(a,cr“), c h ứ n g m i n h r ằ n g V = —(.V| + AS + + x„) c ũ n g có phân phối c h u ẩ n ư i

lĩ

ơ a.

lỉ

có nghia phương sai bé fi lần p h n g sai c ủ a c c biến t h n h phần Ta có thổ rút gọn X n h Irên;

ơ ưi (

o a). (2.1)

Đ ế ý tổ hợp l u y ế n lính cửa b i ế n n g ẫu n h i ê n c h u ẩ n tiế p lục biến ngẫu n h i ê n c h u ẩ n

2, Flìúiỉ phổi klìi bìỉilì phiíơng, N ếu ta có ìì biến n g ẫu n h i ê n V, độc lập có cùno phân phối chuẩn ơi (0, 1) biến sau:

n

/

(2.2)

sc có phân phơi b ì n h p h n g vứi n bậc tự k ý h iệu n h sau X ~ ỵ~ (n). V iệc lín h l o n xác suất liên q u a n đ ế n p h â n phoi x~ i u) dược liến h n h b ằ n g b ả n g sị (xcni phụ lục A ) Có ihể tổng quát hoá kết q u (2.2) nhu' sau; N ếu ta c ó ìì b i ê n đ ộ c láp V,, V, _ V,, có p h â n phối c h u ẩ n (t, ~ c' ( ‘(í/,, ,’ )) thì:

.V

ơ ơ:

I J

X (n)

N g i ta tìm kết q u ả sau có ích k h i c h ứ n g m in h q u y tắc t h ố n g kê: t a c ó n b i ế n n g ẫ u n h i ê n V, (/■ =

1, , , n) c ó c ù n g p h â n p h ố i c h u ẩ n n h n g k h ô n g b i ế t k ỳ v ọ n g

Xị ~ i ' t h ì :

- L x ( x , - x f (2.3)

^ i=ì

với X t r u n g b ì n h c ộ n g c ủ a c c b i ế n X,

3 P h â n p h ố i Stin-đơn {plìân p h ố i t). Tỷ số biến ngẫu n h iê n z ~ơi'^{0, 1) VÃVÃ?, tro n g X ~ (ii) m ột biến n g ẫ u n h iê n có phân phối Stiu-đơn với n bậc tự do, ký hiệu:

- = ~

G iố n g n h phân phối c huẩn - 1, p h ân phối r đối xứng qua gốc

(tức c ó trung bình 0) Khi n bé phân phối t có đường

cong m ật độ “m ậ p ” đườ ng m ật độ tyí "(0,1), n k h lớn gần với chuẩn rút gọn, h a y gọi tiệm cận chuẩn T rong thực t ế n > 30 đ ã c ó ihể coi phân phối / c h u ẩ n rúl g ọ n n h

Tổng quát ta có n biến ngẫu nhiên độc lập X có

p h â n p h ố i c h u ẩ n n h n g k h ô n g b iế t p h n g sa i, th ì:

/ ( « - ! ) (2.4)

í

t r o n g đ ó s~ x ác định t h e o c ò n g thức (1.4)

Ằ//; ị .

— - /• \n.m).

Y/m ’

Đ ờng cong mật độ phân phối F , giống n h với phân phối ! k h ô n g đối xứng chi khác với giá trị dương C ũng giống n h phân phối /, việc tính tốn với biến ngẫu nhiên có phân phối F phải n h tới b ả n g số (xem phụ lục A)

Một kết sau ta hay dùng: N ếu ta có X|,

Vị, }-2, ■■■,}'><, l c c b i ế n n g ẫ u n h i ê n đ ộ c l ậ p , c ó p h â n p h ố i c h u ẩ n

( c c c ó c ù n g p h â n p h ố i c h u ẩ n , c c V, c ũ n g v ậ y ) ; k h i đ ó n ế u t a

xác định sf theo cô n g thức giống n h (1.4),

sr

F { n ị - ], IÌ2 - l )

^'2 (2.5)

Chú ý bảng số xây dựng cho giá trị Sị > s ỉ 4.2.2 C c giải m ẫ u

Bài Cho biến ngẫu nhiên X c ó phân phối (4, 1) Tim xác suất p[x > + (ký hiệu biến có phân phối với b ậ c tự do)

Giải: Ta tìm c c h biến đổi b iể u thức X > + d n g c ó p h â n phối xác đ ị n h (ở đ ẳ y ’g biến n g ẫ u n h i ê n có phân

p h ố i ỵ - với bậc tự do) Đ ể làm điều ta b iế n đổ i bất đẳng th ứ c trẽn:

X - 4

A ( X -4) > ^ / = dễ thấy z ~ ol ( , l )

— > ^ Keo m e o .

} 1

Từ xác suất c ầ n tìm có d n g

P{T > 3),

với T = Z / ^ ỵ l / ~ / (9) D ù n g b ả n g số chi tiết h o ặ c p h ầ n m ề m

m áy tín h tư ng ứng lìm p {r > ) = 0,0075

B i C h o À’ biến n g ẫ u n h i ê n ~ (9) T ìm xác suất đ ể X k h n g vượt q u giá trị 2,7

Giải: Ta phải tìm p { x <2,1 ) Theo bảng phân phối

(xem phụ lục A) giao điểm củ a h n g n = 9 với cột a = ,975 ta có giá trị 2,7; điều có n g h ĩa là: P{T >2 ,7 ) = ,9 T xác

suất c ần tìm 0,025

B i 3- T ìm x c suất đ ể b i ế n n g ẫ u n h i ê n T - í (1 ) c ó giá trị; a) k h ô n g bé 2,11; b) k h ô n g bé - 2,11

Giài\ a) T a phải tìm P{T > , 1) T b ả n g p h â n p h ố i /, lìm giao đ i ể m c ủ a h n g /7 = 17 với cột a = ,0 ta có giá trị 2,11; x c suất c ầ n tìm , / = 0,025 ( x e m phụ lục A)

b) Do tínli đối xúiig phân phối t, P ( í> - 2,11) = - 0,025 = 0,975 (và P{T>-2A 1)) Chú ý rằiig /'{7’| > ,1 1) = 0,05 theo báng Stiu-đơn (tìm/(17; 0,05)-2,11)

dựníz c ó luật J “ (9) Tìm xác suất dể vật liộu chịu áp lực biết

Giải\ T rên thực t ế ta phải tìm xác suất để cirờiig độ chịu lực cúa vậl liệu phái bé áp lực biết, tức tìm p

x h

. Để

ý tỷ số f ’ có phân phối F ( ,2 ) xem (2.5) Tra ^22 / 2

bảng p h â n phối F với a - 0,05, giao điểm hàng «1 =

7

côt = 22 cho ta kết 2,34 ^ ~ Điều có nghĩa

P [F > 2,3 ) ^ p

Suy x c suất

í -> ^ >1 = p

y X ị l j

/ / ^ 22

/ ả / 2 ^

= l \ F > 2,3 4),

p

X 2 2

> 0,05;

từ \ c suất cần tìm — 0,03 = 0,95 4.2.3 lìài t ậ p

1 N ă n g suất lúa m ột vùng biến ngẫu nhiên c h u ẩn X

~o ) ( í / , ‘ ) với a = 50 tạlììíi ơ = 3,5 Tim xác suất để gặt ngầu n h iên m ột ruộng \'ùna dó n ăn g suất lúa sẽ:

a) K h ô n g vượt q u 40 tạ/ììíi:

h) Sai lệch so với nãnp, sú truim bình c h u n a khơng vượt q lO^r

2 Ngưòi ta kicin ira chất iượng 1000 sán phám biết xác suất để sán phám đạt yêu cáu 0,92 Hãy lìm với xác suất

0 ,9 xem s ố sản phẩm đạt yêu cầu nằm k h o ả n g n o (chọn k h o ả n g đối xứng với tâm đối xứng sản phẩm )?

3 Tim xác suất để biến ngẫu nhiên X ~ r (15) nhận giá trị: a) k h ô n g bé 2,6; b) nằm - , 2,6; c) nằm 2,6

4 Lần thử n g h iệ m kết m ột đại lượng tuân theo l u ậ t / “ (4), lần thứ hai - tuân theo l u ậ t / " ( ) Tìm xác suất đ ể đại lượng lần th nghiệm th ứ hai lớn g ấ p lần đại lượng lần th ứ

5 Cường độ chịu lực loại vật liệu biến n g ẫ u nhiên tuân theo luật bình phương X ~ / “ (9) (với cường đ ộ trung bình 9) Tim xác suất để loại vật liệu chịu áp lực k h ô n g q u 19

6 Cho X|, Xị, , X, F|, ^2, , r , , biến n g ẫ u nhiên

độc lập có phân phối ch u ẩn với kỳ vọng 0, n h n g Xị có phương sai - y, có phương sai — Tính

3

í 5 11 >

p

i = l i = l

2

i

V 1=1 1=1 y

7 C h o X ~ j ' ( ) , Y ~ / " ( ) X độc lập với Y. T im xác suất

â ể z = x + Y lớn g iá trị 16

8 Cho X ~ ưí \ A ) T im xác suất đ ể hai p h é p th độc lập có kết x > 5,8

9 Cho x ~ ưí ' (3,1), Y ~ ơi'\4,2). T im x ác suất để m ột quan sát c ủ a X có giá trị lớn m ột quan sát Y.

10 Cho phương sai biến ngẫu n h iê n 25 G iả sử c h ọ n m ột m ẫu có d u n g lượng /ỉ = 16 c ủ a biến tìm P{s >

§ UỒC LUỢNG ĐIỂM 4.3.1 T ó m t t lý t h u y ế t

1 Cho mẫu X | , v,, , ,v„ có liên hệ với tham số khơng biết 6 tốn đặt xác định dựa thơng tin mẫu Đây toán ước ỉượuị> tham sổ. Tất nhiên 6 thông tin m ẫu thường chưa đủ nên việc xác định 6

x ấ p xỉ ( g ầ n đ ú n g ) C ó t h ể c o i m ộ t h m g i trị ê { Xị , x„)

một ước lượng ô N h từ sau ta ký hiệu ước lượng tham số 6 ị (tham sơ' có đội mũ)

Uơc lượng, xác định số, sau gọi ì(ớc hrợng điểm. Phụ thuộc vào tiêu chuẩn (hay ng u y ê n lý thống kê) khác m ta có ước lượng khác c ùng tham số

* uiýc lượng X,) gọi khơng chệch, ta có £'ớ = ( h a y / ? ( - ) = - ước lượng có lệch trung bình 0) Nếu khơng t h ế ta có ước lượng chệch

* ư&c lượng Ớ ( X | , , ,Y„) gọi v ữ n g , n lớn vơ hạn Ơ hội tụ ỡ theo xác suất (xem mục 2.4)

* c lượng ,v„) gọi hiệu qitả, ước lượng k h ô n g c h ệ c h có phương sai bé

* Uơc lượng ớ(.v, x„) gọi Ììợp ì ỷ ììiìất, làm cực đại hàm hợp lý (hàm hợp lý tích hàm mật độ

V, và hàm có phụ ihuộc vào tham sỏ cần ước l ợ n g )

2 Có nhiều tham số lất quan tâm phải tìm ước lượng c ủ a

* Ucíc lượng kỳ vọng củ a biến n g ẫu nhiên X cảm sinh m ẫu thường ý M ộ t Irong nhũìig ước iượng n h trung bình m ẫ u (xem cơng thức (1.2)) c ó n h iều tính chất thống kê đẹp đẽ, c h ẳ n g hạn vừa k h ô n g c h ệ c h , vừa vững đ n g thời c ó thể hiệu q u ả C ông thức (1.2) dễ d ù n g , dễ tính nhiều trường hợp đ n giản nữa; c h ẳ n g hạn .V, cách n h au m ột k h o ả n g li, tần số xuất X ị tương ứng l ì ị , với m ột x„ c h ọ n k h tuỳ ý, ta c ó thể

c ng minh:

(3.1)

với d: = X : — X . N h c h ọ n x,| h ợ p lý, thay tính tổng

^ r i i X i , t h n g g m tổng tích thập phân, ta đưa tính tổng I tĩịdị tổng tích nguyên

* P h n g sai củ a biến X c ũ n g m ột t h a m s ố cần phải ước lượng, c h ẳ n g hạn d ùng (1.3) (1.4) G iố n g n h c n g thức (3.1) chứng m in h m ột c ô n g thức tương đ n g n h sau:

/r^

n - l i = ì

-í ^ \i=ì

n

(3.2)

h o ặ c

5’- = - x ( - " ' < ' w •

,=1 « ,=l

» « /=1

* N g o i đạc trưng mẫu khác cung đáng q u a n tâm như: m ô - m e n m ẫu, trung vị m ẫu , tần suất m ẫ u

3 Có thể tổng kết tính chất ước lượng đ iểm quan trọng tro n g bảng số sau đây, với V| .Vị, , v„ tập m ẫu c ảm sinh biến n g ẫu nhiên X có E X = a vx = ơ ^ (riêng xác suất: m số lần xuất kiện n phép thử)

l l i a m số

ư c lượng E ồ

VỒ Tính chất

Kỳ vọng

a = EX

1 »

» /=i

a

n n

Không chệch vững

Phirơng sai

= v x

1

n -

ơ~

l ( n - 3 '

/^4 ,

11 \ » - y - mô-men trung lâm cấp

Khơng chệch vững

Xác ỉìl

p Á ^ - p ) K hông chệch

suấl p /7 n vững

4.3.2 C c giải m ẫ u

B ài Cho m ẫu A'|, A'2, , A'„ c ả m s in h m ột biến ngẫu nhiên

X ~ ưf H ãy tìm ước lượng h ợ p lý hai tham số a

và ơ ^

Giải: H m mật độ chuẩn, ký hiệu l / ( x a , c r "), biết chương II H m hợp lý, ký hiệu L ( x ị , , x „ , a , a ^ ) , có dạng:

» / L = n / (

/ =

X :,a ,a 2tĩ ■nll

r T I ^ / ỉ

m L = - — ỉn 7Ĩ - ~ ỉn ơ

2 2

Chú ý điểm cực đại IriL c u n g c h í n h đ i ể m cực đại L,

^ ^ ^ T , Ổ ìỉi Ị_/ í

nên ta có thê giải hệ —- — = (z = 1,2)

dỡ; V w

Hệ phương trình hợp lý là: ổ l n L

õa

ổ l n L

= r ẳ f c - « ) = , ỡ- /=1

2cr -^Ị

n

= 0.

Rút ơ từ phương trình đầu t h ay vào p h n g trình thứ hai, ta tìm nghiệm m ột c c h d ễ d n g (chú ý hệ có n g h i ệ m d u y đ i ể m cực đại c ủ a hàm hợp lý):

a

i=\

Bài Đ o độ dài loại trục xe, ta có bảng kết sau đây (cột cột 2):

Nhóm Số lượng

giá trị

h

í/,77, dfn^

1 ,4 - ,6 1 18,5 - 3 - 3 9

1 ,6 - ,8 6 18,7 - 2 - 2 24

18,8 - 19,0 22 18,9 -1 - 2 22

19,0 - 19,2 41 19,1 0 0 0

1 ,2 - ,4 19 19,3 1 19 19

19,4 - 19,6 7 19,5 2 14 28

19,6 - 19,8 4 19,7 3 12 36

z 100 8 138

Hãy ước lượng độ dài trung bình phương sai.

Giải: Ta c h ọ n g iá trị g i ữ a k h o ả n g làm đại diện cho khoảng Bây dùng (3.1) (3.2) để tìm ước lượng khơng chệch cho kỳ vọng phương sai với x„ chọn = 19,1 lì = 0,2. Các g iá trị X, xếp v o cột th ứ 3, dị xếp vào cột thứ 4; tích í/,/7, dỊriị n ằ m cột cột T ổ n g cột 2, c h ín h d ung lượng m ẫ u n = 100, tổng cột cột d ù n g để tính X vầL s^ :

x = + ! i y „ dị = ,1 + - ^ = 19,116;

" ' ' 100

h n -

(z )‘

n

0 , r j 3 _ 64

99 100 0.0555.

B i Đ ể xác định độ xác ch iếc cân tạ khơng có sai số hệ thống, người ta tiến hành lần cân độc lập (cùng m ột vật), kết sau:

9 ,1 9 ,8 9 ,0 9 ,4 9 ,2 (kg)

X ác định ước lượng không ch ệch phương sai số đo hai trường hợp: a) biết khối lượng vật cân 95; b) khối lượng vật cân.

Giải: a) Khi biết trị trung bình lý thuyết a = 95 ước

lượng khơng ch ệch phưofng sai tính theo g thức (bạn đọc c ó thể chứng m inh)

« /=1 J /=1

b) N ếu a, ta phải ước lượng theo cịng thức (1 )

Từ ước lư ợng k h ôn g ch ệch phương sai là;

= Ì Ẻ ( ^ - « ) " = ,

tỉ i /=1 ^ ,=1

B i Đ o lượng huyết tương người mạnh khoẻ ta có: 2,7 ,8 3,37 2,76 2,62 3,49 3,05 3,12 Ợít)

X ác địn h cá c đặc trưng mẫu: a) trung bình; b ) trung vị; c) m ốt.

Giải: a) « = v iệc tìm trung bình mẫu kh ơn g có

I

gì k h ó khăn: X = = 3,001 ;=1

1 _ \ T - x ^ _ _ _ • s : , s

2 ,6 2,75 ,7 2,86 3,05 3,12 3,37 ,4

T tru n g vị m ẫu giá trị nằm vỊ trí (8 + l ) / = 4,5; coi trung bình g iá trị thứ th ứ (2 ,8 + 3,05)/2 = 2,96

c) D o c c giá trị m ẫu k h c n h a u n ê n k h n g c ó ước lư ợ ng m ẫ u c ủ a m ố t

B i 5* Người ta tiến hành m ột dãy phép thử đ ộ c lậ p nh ằm xác đ ị n h xác suất xuất kiện Khi tiến h n h 100 phép th k i ệ n xuất 35 lần, tần suất xuất h i ệ n c ó thể coi giá trị g ầ n đ ú n g củ a xác suất cần tìm Tim xác suất để độ sai phạm phải k h ô n g vượt 10% tần suất

Giải: T a b iết tần suất xuất m ộ t kiện , ký hiệu Ị y, m ộ t biến n g ẫu nhiên có phân phối gần c h u ẩn (trong thực

t ế n ế u tip v /7(J - p), \' i p l x c s u ấ t x u ấ t h i ệ n s ự k i ệ n t r o n g

m ộ t phép thử, lớn coi r ằn g p c ó p h ân phối c huẩn) T h a m số phân phối c h u ẩ n là:

E p = p va V p = p q

n q = ì - p

T r o n g b i t o n n y c ó th ể c o i (do Aỉ = 100 k h lớn)

np ^ n p = 35; nq ^ /ỉ(l - p) = 65.

Phân phối c huẩn áp dụng, từ với ệ {x) h m Láp-la-xơ:

p { p - p < c ) = ệ s ơ ip)

trong <t{p ) = p . Trong g thức p - p chính độ

sai khơng thể vượt q 10% tần suất; tức không vượt quá: e = 0,1.0,35 = ,0

m ặt khác độ lệc h chuẩn mẫu: 0,35.0,65

100 0 ,0

D ù n g bảng L p -la -x (x em phụ lụ c A ) ta có; l ộ

Ẳ p )

2(ỉỉ(0,735) = ,5

Đ iều có nghĩa với độ tin cậy 53,76% khẳng định rằng tần suất xuất kiện lệch khỏi xác suất tương ứng không 10% tần suất.

B ài Tìm trung bình mẫu phương sai mẫu s ố liệu sau đây:

' 13,8 13,9 14 14,1 14,2

X:

rì: 1

Giải: D ù n g c ô n g thức ( ) ta tính dễ dàng X . Tuy

nhiên làm cách khác sau: chọn nào dê thấy:

- ^ ^

^ z “ -^0 + ^ )

« /=1 « /=l

ị ^ _

= =-^0 + ^ - ' ^ -

« ,=I

X - 14 - , - , 0,1 0,2

'h

I s

T X - l = - ^ ^ / í , ( x , - ) = ,0 , 2^ /=I

^ X = A-„ + x - = 14 + 0,02 = 14,02 T ư n g t ự c h ứ n g minh:

S ^ - = ~ ỵ (.V , - x f = { x - A „ ) ' - ( x - A-„ Ỵ,

n = \ I 5

5 - = — ^ / , (a-, - ) - - ( , ) - = - 0 /1=1

= 0,0176

4.3.3 Bài t ậ p

1 C h o .V, {;' = , , c h ọ n từ t ậ p c ó p h n phối c h u ẩ n H ã y c ng m i n h rằng:

- ẳ (

» M ,=1

là ước lượng không chệch c ủ a giá trị phương sai thật ơ " { a

-kỳ vọng thật, X - trung bình mẫu)

2 T im ước lượng hợp lý tham số Ẳ biến ngẫu nhiên có phân phc)i Poa-xơng X ~ ỷ ^ { À ) dựa tập mẫu Ấ2

,v„ X

3 X c định trung bình m ẫu, phương sai m ẫu đ ộ lệch c h u ẩn m ẫ u sô' liệu sau;

9,8 9,9 10 10,1 10,2

.V,

II 8

4 Đ o chiều cao 100 sinh viên c ủ a m ột trường đại học thu kết q u ả sau đây:

C h i ề u c ao 152 - 156

156 - 160

160 - 164

164 - 168

168 - 172

172 - 174

Số s in h viên 15 16 25 27 10

T im k ỳ v ọ n g p hươ ng sai m ẫu

5 Sô liệu đo điện trở c ủ a tụ đ i ệ n n h sau:

4 ,4 ,4 ,4 4,42 ,4 , , 4,36 4,35 ,4 , 4 , 4 4,36 4,42 , 4 ,3 , 4,40 4,42 4,45

X ác đ ị n h trung bình m ẫu p h n g sai m ẫu s ố liệu đo điện trở tìm h m phân phối mẫu

6 T h e o kết m ột đ iề u tra d luận tập g m 000 người thấy 2/3 số hỏi c ó ý k iế n chống lại việc chi phí q u â n q u cao phủ Pháp H ã y xác định phương p h p h ợ p lý ước lượng c ủ a tỷ lệ người dâ n P háp c hong chi ph í q u â n cao

7 Đ i ề u tra 1600 g ia đ ì n h c ó c o n t h u k ế t quả:

X, ( s ố c o n trai) 0 1 2 3 4

//, ( s ố g ia đ ình) 111 3 5 428 118 Xác đ ị n h ước lượng kỳ v ọng phương sai

8 N g i ta đo k h o ả n g c c h 0 l ầ n b ằ n g m ộ t thiết bị đ o th u đươc:

Đ ộ dài 950-960 960-970 - 980-990 99 -1000

1000-1010 1010-1020 1020-1030 1030-1040 1040-1050

60 55 20 10

H ãy xác định kỳ v ọng m ẫu phương sai m ẫu hiệu chỉnh; vẽ đ n g gấp khúc phân phối m ẫu

9 T ìm ước lượng c ủ a trung vị mốt hai số liệu sau:

a) 10 11

b) 3 10 14 13 14

10 Đ ể xác đ ị n h ước lư ợ ng t r o n g t rư n g h ợ p số liệu có p h â n phối (thực c ó p h n g sai) k h c n h a u , người ta d ù n g c c c ô n g Ihức:

t s , “ p ,

/ = ỉ ĩ=l

với ẹ, = l/o - ỉ (/■ = 1, 2, , n). Á p d ụ n g đ ể t ìm đườ ng k ín h trung b ì n h c ủ a m ột loại t r ụ c đ n h giá đ ộ c h í n h xác c ủ a dựa trê n s ố liệu đo đ ợ c b ằ n g c c h k h c n h a u với phương sai tư ng ứng :

c r f = 1, 6; 0-2 = ; c r | = , ; 0-4 =

Đ n g kính đ o đ ợ c t h e o c c h là: A-, = ; a'2 = ; x , = ; .V4 =

11 Cho số liệu đ o c ủ a c ù n g m ột đại lượng thiết bị đo k h n g có sai số hệ thống;

369 378 315 385 401 372 383

H ãy x c đ ị n h ước lượng k h ô n g c h ệ c h c ủ a phư ng sai sai sô' tro n g c ác t rư n g hợp; a) biêì s ố đo thực b ằ n g 375; b) k h ỏ n g biếl s ố đo thực

12 M ộ t lơ h n g có /; sản p h ẩm (/; lớn) Người ta c h ọ n n g ẫ u n h i ê n m s ả n p h ẩ m , đ n h dấ u c h ú n g , sau đ ó trả lại v o lô h àn g C u ố i c ù n g c h ọ n n g ẫ u n h iên k sản p h ẩ m t h ấ y có / s ả n p h ẩ m đ ợ c đ n h dấu {k bé I I n h iều lần) H ã y x ác đ ị n h ước l ợ n g h ợ p lý n h ấ t c ủ a th a m số n s ố lượng sản p h ẩ m c ủ a lô hàng

13 T h e o dõi thời gian h o àn thành m ột sản phẩm c ủ a hai n h ó m c n g n h â n ta c ó kết quả:

- N h ó m

■V, (th i g i a n ) 43 4 50 55 60 63

//, ( s ố n g i) 2 5 15 20 3 3

- N h ó m

X ị ( th i g i a n ) 45 49 53 n , ( s ố n g i) 2 41 6

T í n h t r u n g b ì n h m ẫ u p h n g sai m ẫ u h iệu c h ỉn h h a i s ố liệ u trê n b n c ó n h ậ n xét k ết q u ả ấy?

§ 4.4 K H O Ả N G TIN CẬY 4.4.1 Tóm tắt lý thuyết

1 c lượng đ i ể m , dù tốt, có m ột hạn c h ế c c h o ta đ ú n g m ột g i trị m ột tập hợp vô hạn ( k h ô n g đ ế m

mình C h o nên thực tiễn biết ưcýc lư ợ ng đ i ể m chư a đủ Đ ể có thêm t h n g tin, người ta khai thác th ê m luật phân phối <ác suất v đ a r a khái niệm ước ÌIÍỴĨIIÍỊ khoảng.

ơ đáy ước lượng khoảng, hay klìoảiìg tin cậv, cho m ộ t th a m s ố ỡ với đ ộ tin cậ y cho trước ỵ = \ - a xác định hai giá trị cận ớ, 0,. K h o ả n g (ớ|, Ớ2) gọi

k h o ả n g tin cậ y \ - a (hoặc f ) n ế u p e ( | ế?2 ) = ỉ - ữ ■

ơ ỵ = ] - a gọi cỉộ tin cậ y (hoặc đ ộ c h ắc c hắn, độ tin t n g , .) cịn hiệu Oị-Ơ, gọi độ dài k h o ả n g tin c ậy cho

2 T a x e m x é t đ ầ u tiên ư c li / iì g k ì ì o ả ì i g CÌÌO k ỳ v ọ n q :

* N ế u p h n g sai biết tập nềii t u â n t h e o luật c h u ẩ n , người ta c h ứ n g m i n h k h o ả n g tin c ậ y ] - a c ủ a ơ = E X c ó

d n g :

x + e. ơ

n ^ i ì j

t r o n g giá trị tìm từ b ản g hàm L p - I a - x o ’ ỉhco q u y 1 — cc

ệ { Ị , ) = - D ễ t h ấ y độ dài k h o ả n g tin c ậ y lỷ lệ thuậi! - ri p h n g sai đ ộ tin cậy, n h n g lỷ !ệ n g h ị c h \ ó i d u n g ỉu ■ u; m ẫ u ; biết hai t ro n g ba đại lượng đ ó ia dẻ d n g lìiiỊ a đại lượng th ứ ba Đ ể ý ràng;

p X ~ O ị ^ < X + 0

iì

1 - /

k h n g có n g h ĩ a giá trị thật c ủ a a lúc cũ n g n ằ n tro n g k h o ả n g tin c ậ y \ - a , m xảy việc a nằm k h o ả n g đ ă c h o với xác suất a (xác suất sai lầm chọn kho ả n g đó) T h ô n g th n g đ ộ tin c ậy I ~ a c h ọ n theo yêu cấu trước k h lớn: 0.9; 0,95; 0,99; , 9

* N ế u g i ả th iế t c h u ẩ n v ẫ n c ò n giữ, n h n g phương sai k h ô n g b iế t, thi ta p h ả i t h a y n ó b ằ n g ước lượng k h ô n g c h ệ c h K h i đ ó k h o ả n g tin c ậ y - a

V VH

(4.2)

t ro n g đ ó .y^- p h n g sai m ẫ u hiệu c h ín h , cịn tra từ bảng Stiu- đ n ỡị, = / ( « - ! ; « ) '^ o p h â n phối t, c ũ n g phân phối c h u ẩn , ỉà đ đ i xứng, k h o ả n g tin c ậy c ũ n g thường xây dựng đối xứ n g q u a ước lượng m ẫu C ó thể tìm k h o ả n g tin cậy k h ô n g đối xứng phụ t h u ộ c vào yêu c ầu c ủ a người dùng N goà i tra b ản g đ ể ý rằng: T ~ t{n - 1) p {t < / ( / - ,«■)) = ỉ - « hay

p{t > / ( « - , « ) ) = o r Vì dù b ản g x â y dựng kiểu nào,

biết c n g thứ c tín h ta c ó thể tìm c c h tra bảng tươr.g ứng * N ế u d u n g lượng m ẫ u k h lớn, trườíig h ợ p t h a y ơ b ằ n g i' k h o ả n g tin c ậy - a xấp xỉ x ây d ự n g g iố n g n h (4.1) (tất n h iên ơ coi « i); tức n ó có d ạng:

x + (9.

n

* N ế u lì k h lớn p k h ô n g q u Iihỏ; tìm ước lư ợ n g k h o ả n g ! - a c h o xác suất x u ấ t k iệ n n o đ ó ( k iể u Bcc- n u - li c h ẳ n g hạn):

p ( l - p )

ỉì : /3 + e, p

/? (4.3)

với đ ợ c tìm từ ệ{ỡị,) l - a , f) tần suất m ẫ u C c trư n g h ợ p k h c , x e m t h ê m t r o n g c c tài liệu th a m k h ả o

3 Bây ta tìm ước lượng k h o ả n g c h o phương sai G i ả sử ta c ó m ẫ u A '|, X2, c h ọ n từ tập có phân phối ch u ẩn ơ i'\ a , ^ ) ,

ta có hai trường hợp:

* N ế u a biết, kh o ản g tin cậ y I - a c ủ a phương sai c ó d n g

cx

t r o i i g đ ó | = / /ỉ, - ^

V 2y

(4.4)

ỈU “

V ;

tra từ bảng phân phối X l

* N ế u k h ô n g biế t kỳ vọng, ta th ay t h ế n ó b ằ n g ước lư ợ n g

X k h o ả n g tin c ậ y - a c ủ a phư ng sai có dạng:

_ị=Ị

ỚT ' ớ,

(/ ỉ - l ).V“ {lì - l)i'^ ^ ớ, ,

(4.5)

tro n g đ ó ớ, = J /? - 1, - a \ Ô = X - H - a tra từ b ả n g phân phối ỵ " C h ú ý r ằ a g người ta c h ọ n c ậ n d i k h o ả n g tin c ậ y trê n b ằ n g giá trị

4.4.2 Các giải mẫu

B i Đ o sức b ề n c h ịu lực c ủ a m ộ t loại ống c ô n g n g h i ệ p người ta t h u đ ợ c b ộ s ố liệu sau

4 0 0 0 0 0 0 125 0 3375

(đo ống) T kinh n ghiệm nghề n g h iệp người ta c ũ n g biết sức bền có phân phối c huẩn với độ lệch chuẩn ơ = 300 H ãy xây dựng k h o ả n g tin cậy 95% cho sức bén trung b ì n h c ủ a loại ống

Giải: T r c hết ta tín h tru n g b ìn h m ẫu c ủ a sức b ề n c h ị u lực ký h i ệ u X :

1 ^

- 8 , /-I

T h e o ( ), đ â y ta đa có <T - 300, k hố ntì tin c ậ y c ầ n lìm có dạn g :

x - ớ ơ

\

trong đ ó ệ{OỊ^) = -— — - — - ^ T h e o b ả n g phụ lụ c A

ta có ớ/, = 1,96 , k h o ả n g tin Cí\y c ầ n tìm

5 8 , - , , — , 5288,8 + 1,96.— ì = ( , ; , )

B i T im khoảng tin cậ y 95% cho kỳ vọng số liệu trên, g iả sử không b iết phương sai.

G iải: D o phương sai chưa biết, ta ước lượng bằng

phương sai mẫu hiệu chỉnh:

i-2 -5288,89)^ = (655,28)^

8 /=1

N go i phương sai nên tra bảng phải dùng phân phối Stiu-đơn : = /( S ; 0,05) dóng hàng có giá trị cột c ó giá trị 0,0 5, ta tìm được

6f, = 2,3 w 2,31 Từ theo (4 ) khoảng tin cậy 95% có dạng:

^5288,89-2,31.^^?^; 5288,89 + 2,31.^^^^

V

-= (4785,2 ; 5792,6).

Có n h ậ n xét giá trị đ ộ lệc h chuẩn m ẫu hiệu c h ỉn h lẫn giá trị b ả n g đ ề u lớn s ố liệu tương ứng 1, n ê n kho ản g

tin c ậ y có độ dài lớn chừng mực đó có thể nói “xấu” hơn.

B i Đ ộ d y c ủ a b ả n k i m loại giả sử t u ân t h eo luật c h u ẩ n Đ o 10 bả n k im loại đ ó t a thu số liệu sau:

4,1 3,9 4,7 4,4 , 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0

H ãy x c định: a) kho ản g tin c ậy % cho độ dày trung b ìn h trên; b) k h o ả n g tin cậy 5% cho p hươ ng sai độ dày

G iả i: Trước hết ta phải tính ước lượng X cho kỳ

vọng phương sai độ dày xét;

x = — (4,1 + 3,9 + + 5,0) = 4,29;

10

.2

9 (4,1 - 4,29)^ + (3,9 - 4,29 f + + (5 , - 4,29)- h o ặ c d ù n g c ô n g thức

» 0,1367 ^ s = 0.37 a) T h e o (4.2) k h o ả n g tin c ậ y % c ó d n g (đ ể ý

ớ;, = / (9,0,1) = 1,833)

_ 37 _ 37 , - 3 ^ ; 4,29 + 1,833 ’

V ĩ õ a/ĨÕ

(4,076; 4,504)

(0,064; 0,45 )

b) Đ ể tìm k h o ả n g tin c ậy % c h o phương sai, ta phải tìm

các giá trị ;ịf^(9,0,975) ^^(9,0,025) Tra bảng phân phối

c h ú n g 2,7 19,02 T th e o c n g thức (4.5) ta c ó k h o ả n g tin cậy cần tìm là;

' 1,23 1,23 , ’ , ,

B i Tại m ột v ùng rừng n g u y ê n sinh, người ta đ e o vòng cho 1000 chim Sau m ột thời g ian bắt lại 0 t h c ó 40 c ó đeo vòng T h ước lượng s ố c h im t ro n g v ùng rừng đ ó với độ tin c ậ y 9 %

Giải: N ếu ước lượng xác suất bắt chim đe o v ò n g p

thì xác định g ầ n đ ú n g tổ n g s ố chim T r ê n tập m ẫ u 0 c h im ta có tần suất m ẫu c ủ a c h im đ e o vòn g / 0 = 0,2 T h e o c ô n g thức (4.3)

0,2 - , < p < 0,2 + 2,575

200

0,1271 < p < 0,2729

0,2.0,8

200

T t ổ n g s ố c h im c ủ a v ù n g rừng n ằ m tro n g k h o ả n g sau

' 1000 1000 V .

— —— ; — hay « ( 4 ; 7880) 0,2729 0,1271 J

B ài Trước b ầ u cử tổng thống người ta vấn ngẫu n h i ê n 1800 c tri t h ấ y có 1180 người ủng hộ m ột ứng cử viên A Với độ tin c ậy % hỏi ứng viên thu tối thiểu bao n h iê u p h ần trăm s ố ph iếu bầu?

Giải: Số phần t r ă m phiếu bầu c h ín h c ận k h o ả n g tin c ậy % c ủ a xác suất bầu cho ứng cử viên A Theo c ô n g thức (4.3) với p = 1 /1 0 « 0,6556; ^(l,9 ) = 0,4 ; số p h ần trăm cần tìm (/; = 1800)

p - , J ® Ĩ ~ 63 ,3 %

n

B ài Biết tỷ lệ n ả y m ầ m c ủ a m ột loại hạt g i ố n g 0,9 V i đ ộ tin c ậ y , , n ế u ta m u ố n dộ dài k h o ả n g tin c ậ y c ủ a tỷ lệ n ả y m ầ m k h ô n g v ợ t q u ,0 c ầ n phải g i e o b a o n h iêu h t?

Giải: T h e o đ ầ u b i ta c ó p = 0,9; ỉ - a = ,9 s u y r a d o ^ ( l ,96) = 0,473 n ê n ỠỊ, t r o n g c ô n g thức ( ) 1,96

M ặ t k h c đ ộ d ài k h o ả n g tin c ậ y c h ín h 26.

n

2.1,96. 0,9.0,1

V < ,0

n

G iải bất phương trình theo n, ta có ngh iệm n > 34 57

B i N gư ời ta đo đại lượng không đổi 25 lần bằng dụng cụ đo khơng c ó sai sơ' hệ thống sai s ố đo trung bình bằng 0 G iả sử sai số tuân 'theo luật phân phối chuẩn m ô-m en gốc cấp mẫu tính 0,5.

a) X ác định k h o ản g tin cậ y 95% ch o phương sai củ a sai số đo.

b) T ính xác suất đ ể sai số đo kh ôn g vượt ,5

Giải: a) G ọi X sai số phép đo theo đầu X

trong đ ó là phương sai sai số K hoảng tin cậy 95% cùa phương sai tính theo n g thức (4.4);

nm2 nm2

; r '( ; ,0 ) ’ (2 ;0 ,9 )

với nĩ2 m ô -m en g ố c cấp mẫu = —' ỵ ^ x Ị = 0,5 theo đầu bài.

còn ;ịf^(25; ,0 ) ỵ ^ { ; 0,975) c ó thể tìm tra bảng phân ph ối vớ i bậc tự 25: cá c g iá trị ,6 6 và ,1 Từ đ ó k h oản g tin cậy cần tìm là:

2 5.0 ,5 25.0,5 : ,6 ’ 13,120

^ (0 ,3 ; ,9 ).

b ) C ó t h ể c o i s a i s ố đ o c ó p h n g s a i x ấ p x í b ằ n g 1

— V ( a ; - O ) = nĩ2 = ,5 Từ theo phân phối chuẩn chương ,=|

p { x < 0,5) = 0,5 + ệ 0.5

V o l

0,5 + ^ ( , 7 ) « 0,5 + 0.26 = 0,76

B i T h e o kết q u ả số liệu xác đ ị n h ước lư ợ n g m ẫ u h i ệ u c h í n h c ủ a phương sai Tìm xác suất đ ể g i trị thật c ủ a p h n g sai nằm k h o ả n g ( ,7 1 ; , )

G iải: T h e o d n g công th ứ c(4 ), la có k h o ả n g tin c ậ y với xác s u ấ t tin c ậ y - a

^ {ỉ2 -ì)s~ {lì-ỉ)s~

/ T ^ ( , « i ) ' ^ , « 2) /

trong đ ó .V" phư ng sai mẫu hiệu b ằ n g 9, - = 4; c ịn , ị = 1, 2, tính n h sau: X ~ ỵ~{rì) p(x > ^^(/?,«.))= ữị Từ xác suất để phương sai rơi vào k h o ả n g tin c ậy \ - a

p ( ; ỉ f ^ (4, a ) < ^ < / ^ 4, « i ) ) = l - « | - ( - « ) = « ■

Bây g i ta t ì m c ác cận c ủ a X; Do {n - l)i'^ = 36 nê n / ( « j ) = / , 1 ^ , 7 ;

( ^ ^ J = / 50,6329 « 0,711

Sử d ụ n g b ả n g p h â n phối ỵ - ta c ó (2 | = , ; « = , x ác

suất c ầ n tìm a-, - ị = 0,94 Đ â y m ột ví dụ vể k h o ả n g tin c ậy % c ủ a p h n g sai mà c ận k h ô n g tín h c h í n h x c t h e o (4 ) ( đ ể V r ằ n g t r o n g (4.5) ta ln có « + « = 1)

4.4.3 Bài tập

1 Sản lượng ngày phân xưởng ià biến ngẫu nhiên tuân theo luật chuẩn Kết thống kê 10 ngày cho ta s ố liệu:

23 27 26 21 28 25 30 26 23 26

H ã y x c đ ị n h c c k h o ả n g tin c ậ y % c h o sản lượng trung b ì n h n g y c h o p h n g sai t n g ứng

2 M ộ t th iế t bị đo k h n g có sa i s ố hệ thống, sai s ố n g ẫ u n h i ê n t u â n t h e o luật c h u ẩ n với đ ộ lệch c h u ẩ n ơ = 20 N g i ta yêu c ầ u đ ể độ l ệ c h t u y ệ t đ ố i c ủ a ước lượng s ố đo so với g iá trị th ậ t k h ô n g vượt q u 10 H ã y xác định xem x c suất để th ự c h i ệ n đ ợ c việc t r o n g c c t rư n g hợp: a) sỏ lần đo n - 5; b) ìì = 10; c) n - 25

3 Đ n g k í n h trụ c inột sản p h ẩ m tu â n th e o luật chuẩn Đ o đ c trụ c c h ọ n n g ẫ u n h i è n , ta c ó kết q u ả cụ thể n h sau: 7,1; 6,6 ; 9,7; 10,6; 7,5; 9,1 T ì m ước iư ợ ng k h ô n g c h ệ c h cúa p h n g sai sau đ ó xác đ ị n h k h o ả n g tin c ậ y 95 % cho p hươ ng sai

4 T r ê n t ậ p m ẫ u g m 100 s ố liệu người ta tín h = 0,1; V = 0,0 X c đ ị n h k h o ả n g tin c ậ y 9 % c ho g iá trị t r u n g b ì n h thật

5 T r ê n tập m ẫ u g m 16 s ố liệu người ta tính x = ,2 ; - , T ìm k h o ả n g lin c ậ y % c ho phư ng sai Có th ể coi r ằ n g tậ p m ẫ u c h ọ n từ m ộ t tập có p hươ ng sai ơ-^ = 10 đ ợ c k h ô n g sa o ?

6 C â n t h 100 q u ả trứ n g ta c ó b ộ số' liệu sau:

K h ố i lư ợ n g 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Số q u ả 15 28 30

b) Trứng có khối lượng 34 coi loại T ìm ước lượng khơng chệch cho tỷ iệ Irứng loại k h o ả n g tin cậy 5% c ú a tỷ lệ

7 Sai sơ' đo mộl ỉoại dụn g cụ đo có phân phối c h u ẩ n với đ ộ lệch c h u ẩ n 20 Cần phải liến hành bao n h iêu p h é p đo đ ộc lập để sai số phạm phải k h ô n g vượt 15 với độ tin cậy 0,9?

8 Đ ể xấc đ ịn h định mức thời gian gia c ô n g m ột chi tiết m y người ta tiến h àn h thử n g h iệ m gia công 25 chi tiết; kết q u ả tập m ẫ u thu được: thời gian trung bình X = 20 với đ ộ lệch c h u ẩ n m ẫ u hiệu s = , Với độ tin cậy % h ã y xác đ ịn h thời gian gia n g trung bình tối đa loại chi tiế t (giả sử thời gian tuân theo luật chuẩn)

9 K iểm tra ngẫu nhiên 500 sản phẩm c ủ a m ột n h m y th có 360 sản phẩm loại A H ã y ước lượng tỷ lệ s ả n p h ẩ m loại A tối thiểu nhà m áy với độ tin cậy 95%

10 Người ta bắt 1500 thú, đánh dấu thả Sau đ ó m ột thời g ia n bắt lại 200 thấy có 40 bị đ n h dấu H ã y ước lượng số thú có thực t ế với độ tin cậy 90 %

11 Đ ể ước lượng xác suất mắc bệnh A với độ tin c ậ y % sai s ố k h ô n g vượt q u 2% c ần khám b a o nhiêu a g i, biết rằn g tỷ lê m ắ c bệnh thực n g h iệm 0,8?

12 Một kỹ sư nghiên cứu chiều cao m ột loại c â y với giả thiết có p h ân phối chuẩn Trên tập mẫu với /; = 10 a n h ta tính ilược chiều c ao trung bình 13,78 kh o ả n g tin c ậ y % írung bình (13,063; 14,497) K hông may số tài liệu bị thất lạc, vản n h số liệu sau: 12,2; 15; 13; 13,5; !2,S; 15,2; 12,0 15,2 Hói có ihể xác định lại sô' liệu bị đưọc khônỉi?

13 Người ta iheo dõi 100 sinh viên để xác định số tự học nhà, kết tính n h sau; X = 4,01 với độ lệch c h u ẩn mẫu hiệu = 3,54 H ã y xác định k h o ả n g tin cậy 5% cho số tự học trung bình c ủ a sinh viên, u c lượng tv lệ sinh viên không tự học nhà

14 N g h i ê n cứu điểm t r u n g b ìn h m n tiếníì A n h c ủ a 50 sinh viên ta có kết X = 65 với í = 10 T ìm k h o ả n g tin c ậy 5% c h o đ i ể m số t ru n g b ì n h Ihực N ế u k h o ả n g tin cậy c ó độ dài b ằ n g độ tin c ậy c ủ a b ằ n g b a o n h i ê u ?

15 Đ ể biết tỷ lệ p n h trẻ có n h ấ t m ộ t p h n g tiện n g h e n h ì n đại, người ta đ iều tra 100 n h trỏ chọn n g ẫ u n h iê n t h ấ y có nhà trẻ có n h ấ t m ộ t p h n g tiện

a) X c đ ịn h k h o ả n g tin c ậ y % c h o p.

C h n g V

K IỂ M Đ ỊN H G IẢ T H U Y Ế T T H Ô N G KÊ (T E S T )

§ GIẢ T H U Y Ế T T H Ố N G K Ê VÀ Q U Y TẮC K I Ể M đ ị n h 5.1.1- Tóm tát lý thuyết

1 Cho m ẫu A'| chọn từ m ột tập chưa biết phân phối có phân phối F {ả\ ớ) với tham số ỡ chư a biết

Người ta nêu nhiều nhận xét giả đ ịn h khác yếu tố chưa biết; nhĩrng giả thuyết thường gọi

giả thuyết thống kê (thí dụ: p h n phối chưa biết c h u ẩn , th a m số chưa biết số cho t rư c , )

T ro n g trường hợp có tham số chưa biết, n ế u giả th u y ết nói việc th am sô nhận m ộ t giá trị cụ thể ớ,| ta có giả thuyết đơn; cịn k h c ta có m ột giả th u y ết phức T h ô n g thường k iểm tra m ột giả thuyết đơn đơn giản

G iả thuyết đ a k i ể m định gọi giả th u yế t gốc,

ký hiệu //(); ihường giả thuyết đơn N bữ ng giả ihuyết khác với gốc gọi dố i thuyết (có thể đơn y phức), ký hiệu / / ) Đ ể ý tro n g số tài liệu người ta c ò n d ù n g thuật n g ữ giả thiết đối thiết

2 Đ ế kiểm đ ịn h m ộ t giả t h u y ế t / Y ị , xem đ ú n g hay sai dựa thông tin m ẫ u người ta phải xây dựng tiêu

chuẩn; để đơn giản sau nà y m ột t h ố n g kê /c = Ẫr(x|

n N ta th n h c ô n g việc c h ia m iề n giá trị cùa K

th n h hai phần: m iề n bác bỏ Hị, ; m iên c h ấ p n h ậ n Hq ; quy tắc k i ể m đ ịn h giản dị:

nếu K tính trê n tập m ẫ u th u ộ c m i ề n ta bác bỏ //(), n gượ c lại ta c h ấ p n h ậ n //q M iền bác bỏ thường gọi

m iện tới hạn c ủ a tiêu c h u ẩ n K

K h i k iểm đ ị n h g iả t h u y ế t / /q ta c ó thể m ắ c hai loại sai lầm sau đây:

- Sai lầm loại 1: b c bỏ m ộ t giả t h u y ế t đ ú n g ; - Sai lầm loại 2: c h ấ p n h ậ n g iả t h u y ế t sai

N ê u Hq đ ú n g Ẩ^(x|, ,x„) thường có p h â n phối xác suất xác

đ ịn h gọi a x ác suất phạm sai lầm loại

a = P { K , „ & B ^ \ H ị ^ ă ú n g ) ( l I )

tro n g c h í n h giá trị c ủ a K tính trê n m ẫ u cụ thể Tương t ự n ế u ký hiệu p x ác suất p h m sai lầ m loại

P = (1.2)

N g i ta đ ị n h n g h ĩ a - yỡ lực lìtợng c ủ a tiêu c h u ẩ n K

xác suất xảy sai lầm loại cho trước n h n g có xác suất xảy sai lầm loại cực tiểu Các giá trị a thường c h ọ n 0,05; 0,01; 0,001 gọi mức ỷ nghĩa c ủ a t o n kiểm định giả thuyết (hay c ủ a tiêu c h u ẩ n kiểm đ ịn h tương ứng)

3 T rong thực h n h người ta thường c h ọ n m iề n tới hạn tiêu c h u ẩn K , tức , phụ ihuộc vào đối th u y ết H ị th e o

quy tắc n h sau:

* N ếu / / | đối x ứ n g (thí dụ H ị \ ^ ỚQ với giả th u y ế t gốc Hq'.0 = ớ(,) ta c h ọ n m iề n đối xứng T a c h ọ n giá

trị K^ / 2 ''à ^ i - a/2 (xem hình 5.1), dựa vào h m phân

phối K Hq đ ú n g :

K > K a/ 2 a

K < K .ữ a

~2

Hình 5.1

Hình

Khi miền +

N ế u Hị bất đối x ứ n g lệc h trái (thí dụ Hị : < 6q ta c h ọ n

m iền tới hạn lệch bên trái (xem hình 5.2) D ự a vào hàm phân phối c ủ a K //() đúng, ta xác đ ịn h g iá trị Ẩ^|_„

sao c h o P ( K < K | j,|H„đúng = a ) m iền tới hạn c ó d n g

Hỉnh

* Tương tự nêu / / | bất đối xứng lệch phải ta c h ọ n B

lệch bên phải tương ứng (xem hình 5.3) Dựa vào phân phối K //q đún g , ta chọn cho P ( k > K |H„đúng = a )

M iền bác bỏ //() theo tiêu chuẩn K (/^^^, + 00)

5.1.2 Các giải m ẫu

Bai 1, Theo bô đê N â y - m a n — Piếc-sơn: “Giả sử SG có p h ân phối /o ( x ) giả th u y ết //q phân phối /ị(x ) đối thuyêt / / j ; cho < ứr < c ho tồ n lại m ột vSố k để

P Ì f Ả ^ ) > K f Á A ^ ữ ) = o^ ={9G:./,(9S)>ấ:„/o(9G)} tiêu c h u ân m n h mức cc cho to án kiểm định giả thuyết đơn //q đối thuyết đơn Hy

A p dụng vào toán; T tập hợp có phân phối ch u ẩn

c \ , ) lấy m ẫu với n = x = 2,35 D ùng quy tắc m ạn h đê kiêm định giả thuyêí H ( ) : - với đối thuyết //j : (9 = với mức a = 0,05

Giài: Theo bổ đề m iền tới hạn có d n g

5 ^ - {ss = (xj / | ( s ) > /|j(9G)},

từ /o ( x ) / | (a') phân phối chuẩn phương

1 % ^

2tĩơ

\ /

nên suy (ớ, l n k „

và a =

c r " l n k „ + " ( f - , ) a.’ = (>í| r , X - = A,

n(ớ| - , , )

trong /1() xác định lừ p { x > /1(J / y ) = a , X = “ (v, + + Vụ), xác định dựa vào giả thiết phân phối chuẩn:

= 05 Tra bảng hàm Láp-la-xơ, ta có

^ ^ ^ = ^ Ạ, = - i ^ + = 5.74

5

M ẫu cho có X = 2,35 < 5.74 ĨG e (miền chấp nhận //(,) nên có sở đê c hấp n h ậ n //(, : =

Bài Xét m ột m ẫu ngẫu nhiên gồm 25 giá trị từ tập có phân phối chuẩn với ơ = Xét giả thuyết gốc

H „ : E X = 800Q với đối thuyết /7| : E X - 0 Tính xác suất xảy sai lầm loại ta ch ọ n ngưỡng /í(, (xem 1) tương ứng là; a) 7900; b) 7950

Giải: N ếu giả thuyết //(, đ ú n g x ~ c>( (8000,2500) phương sai cùa X " / ' / ỉ = ( ) ^ / = 2500 = 50^ Còn //, đ úng A" ~ ưi (7 900,2500) Ta dựng hàm mật độ tương ứng hình 5.4

a) Rõ ràng quy tắc để bác bỏ //() (với đối thuyết f / | ) l : ổ „ = {íX; = (a-,, ,a , ) : ^ < , }

ở la ch ọ n y4() = 7900 nên xác suất p h m sai lầm loại là; a = P ( e B j H „ đ ú n g )

sẽ m iền có gạch chéo hình 5.4

Từ đó, X ~ cyf'(8000,2500), nên: 0,05

/ «0

/ M \ \

7900 8000

Hình 5.4 £)ặ( ——8000 _ 2; ta c ó z ~ ưí ỊO, 1) khi Hrị đúng, nên

50

« = p(z < -2) = p(z > 2) = 0,5 - ệ{2) « 0,5 - 0,4772 = 0,0228 Chú ý xác suất xảy sai lầm loại t r o n g trường hợp lớn, 0,5

b) T rong trường hợp c h ọ n /4(1 = 795 , đ ó h o n h độ giao đ iểm củ a hai hàm m ật độ x ác suất để xảy hai loại sai lầm Bây ta tính:

p ( x < H „ ) = p X - 0 < - 0 H,

50 50

= p(z<-l)=0,5-ííỉ(l)

« , - , = 0,1587

Qua Ihí du để ý cho trước o r , ta tính z ơ, c h o / ’( Z > Z ^ ) = ũr với z ~ c y K ( , l ) ngưcfiig / | | = ữ | , - Z „

Bài C ho gicí thuyết gốc /y„ đối thuyết giống Cần phải c họn m ột m ẫ u có dung lượng chọn ngưỡng /4(, t h ế để = 0,03 p = 0,075 ?

Giải'. Do tập n ề n có phân phối với cr = , nên

n ế u đ ú n g v n ế u c ỡ m ẫ u c h ọ n b ằ n g /7 t h ì t r u n g b ì n h m ẫ u

X 0' \

X ~ ưV

n a

với í / ị , - 0 , ngược lại / | đ ú n g

N

với ŨỊ = 7900

Từ ta c u n g đ ã biết a = 0,05 ta phải c h ọ n

~ ~~r^ ^ ^ 3a)

■sjrỉ

với tra từ b ả n g Láp-la-xơ cho ậ { z ^ ) = , - a = Ậ

Tương tự muốn c ho f3 - 0,075 ta phải chọn

ơ

/4q - ữ | (1.3b)

n ,

với Zp tra n h ộ { z ữ , ~ f3 ^ ữ Ậ Từ hai c ỏ n g thức ( L a ) (1.3b) ta tìm (vớiz^ = 1,645 \ Zp = 1,44)

^ [^a +^/7 í ( a o - a , ) ’

N hư phải c h ọ n m ẫ u có lì = 60 Thay giá trị nà y vào (1.3a) ( ỉ b ) ta c ó tương ứng /4(1 = 7946,68

5.1.3 Bài t ậ p

1 Cho tập có phân phối chuẩn íyi '(a, CT') tham số chưa biết Ta kiểm định giả thuyết /7() : cr = cr^ với đối thuyết

//, : cr = <T,, ( cr, > cr,, biết) Cho thống kê:

^(T /=1

với X, giá trị c ủ a tập m ẫu với d u n g lượng cịn X trung bình m ẫu Q u y tắc k i ể m định có m iề n tới hạn

e„ = l(A- (1.4)

trong đ ó xác đ ị n h từ p ( z > z „ ) = a , với z biến ngẫu n h iên c ó p h â n phối , r với ìì - bậc tự

Á p d ụ n g c ho toán với giả thuyết gốc //() ; ơ = 0.02 với đối t h u y ế t Hị : = 0,08 T ập m ẫ u g m 25 giá trị chọn từ tập c ó p h â n phối chuẩn

a) N ế u n g ỡ n g = 33,2 xác suất phạm sai lầm loại bằn g b a o n h iêu ?

b) N ế u phương sai m ẫu hiệu c h ín h 0,024; k iểm định theo tiêu c h u ẩ n (1.4) với m ức ý n g h ĩa a = 0,05

2 M ộ t loại b ó n g đèn có tuổi thọ tuân theo luật c h u ẩn ~ cyf '(a, CT“ ), với = 150 C h o giả th u y ết /-/|) : cr = 3600 với đối thuyết /7| : = 3500 a = 0,1

a) N ế u m u ố n p - 0,05 xác suất phạm sai lầm loại hai) ihì cần địi hỏi tập m ẫ u có d ung lượng b ằ n g bao nhiêu?

5.2 C Á C T E S T M Ộ T M Ẫ U 5.2.1 Tóm tát lý thuyết

1 Bài tốn quan trọng test vâ kị' vọng c ủ a p h â n phối c huẩn Cho m ẫu X|, X2, X„ lấy từ tập nề n ~ cyf '(a,cr“ ) T a phải k iểm đ ị n h giả thuyết hỈQ '.a = a(^ với đối thuyết H) ( h o ặc

ơ <ƠỊ^ hay a > ơq) với m ứ ca

Q u y tắc 1. N ế u cr- = ơ ị biết ta c ó quy tắc n h sau:

x - a ,

Bước 1: Tính =

ơ,

Bước 2: Tra bảng L áp -la -x ^(ớ/,) = - a

2

Bước 3: Kết luận : ta c h ấ p nhận nêu > ớ/, ta bác bỏ //„ Còn tro n g trường hợp Hị : < ứ(j (hoặc a > a ^ ị )

Bước 2: Tra bảng = 0,5 - a

Bước 3: M iề n bác bỏ ( - 00,-ớ/,) (trường hợp / / | : a >

thì m iề n bác bỏ /y„ (ớ/,,+oo)), tức < -ớ/, ( h o ặc > 6ị^ ) ta bác bỏ Hịy

Qiiv tắc 2. N ế u ơ ' chưa biết, ta thay cr“ b ằn g ước lượng k h ô n g c h ệc h .V*:

x - a ,

Bước i : Tính 0,„ =

Bước 2: Tra bảng Stiu-đơn ớ/, = /(/; - l , a )

Bước 3: N ếu 0,„ < ớ/, ta chấp nhận //,„ ngược lại ta bác bỏ (Trong trường hợp với đối thuyết a < ơịị a > Qq-.

Bước 2: Tra bảng ớ/, = t{ii - l,2ct)

Bước 3: M iền bác bỏ ( - c o , - ^ ) (ớ;,,+oo)phụ thuộc vào đối thuyết Hị tưcmg ứng

Clúi ý: cỡ m ẫu lớn, thay tra bảng Stiu-đơn ta tra bảng Láp-la-xơ; chí giảm nhẹ giả thiết tính chuẩn phân phối

2 Hệ trực tiếp toán tesl về tỷ lệ. Trong nhiều vấn đề thực tiễn ta cần kiểm định giả thuyết tỷ lệ p số phần tử có tính chất xác định (xác suất p) tập Tức với mức a ta phải làm test //{J \ p = Pq với đối tlĩuvết

H ị ' p * Pq (h o ặ c p < p „ p > p „ ): N ế u c ỡ m ẫu đ ủ lớ n

{n > oo) dùng quy tắc sau:

m ^ - P o

Q u y tắc 3. Bước 1: Tính ớ,„ = ^ /2 í/(, = \ - Pq, m

v

là số lần xuất số phần tử ta quan tâm mẫu có dung lượng /ỉ; hay p = — tần suất mẫu

lì

Bước 2: Tra bảng Láp-la-xơ ệ{ỡi, ) = - —

C h ú ý I: Đại lượng có phân phối tiệm cận chuẩn ơi'XO,ỉ)

nên q u y tắc xấp xỉ

C h ú ý 2: Nếu ta so sánh hai tỷ lệ, tức kiểm định

Hị Ị P ị = P; với đối thuyết / / | : /?| 5Ế ( Pi < P2 Pi > p , );

/77, + /77t

khi đ ó ta xác định p = /2, +

—; với m I «2 số phần tử q u a n

tâm t r o n g c ác m ẫu tương ứng có c ỡ m ẫu /ỉ| «2; sau tính

C Ỡ m âu g iá n = —

»1 + ÌI2

T h ố n g k ê bước tính sau: m, m ,

- v n ; với q = l - ^ v p ỹ

Các bước sau làm theo c ách th ô n g thường n h

3 C uối c ù n g ta xét toán lest vê' p h n g sai phàn phối chuẩn Bài toán đặt với mức a , dự a tập m ẫu lấy từ tập c ó phân phối c \ a ,ơ ~ ) , k iể m định giả thuyết:

//(, :ơ ~ =ƠQ với đối thuyết Hị :ơ~ ^ ƠQ (hoặc cr- > ctq )

Q / I V tắc 4. Bước 1: Tính 0,11 = i - xỴ = ~

<^0 /=I

Bước 2: T bảng : ớ, = z /? - 1, -a

Ỡ = x n - 1,

a

"2

(hoặc ớ/, = / " ( / - , « ) )

Bước 3: N ế u ớ| <ớ,„ <ỚT ta chấp n h ậ n / / ( |( h o ặ c <ớ,, ta c h ấ p n h ận //„), n g ợ c lại bác bỏ //„

C h ú ý so sánh với m ục 4.4, c h n g trước để thấy

m iền chấp nhận //(I với mức a khoảng tin cậy tương ứng

với đ ộ tin c ậ y \ - a K h o ả n g tin c ậy đ ó th n g chứa giá trị ỠQ

tro n g c ác giả t h u y ế t //,„ ta c h ấp n h ậ n //,„ nhiên có th ể k h n g n h vậy, độ tin cậy ] - ứr c h ứ chưa

5.2.2 C ác giải m ẫu

B i K iểm tra đ ộ dài X c ủ a 16 chi tiết c ù n g loại với giả thiết X ~ ư í ị a , ỉ ) T r u n g bình m ẫu c c độ dài X = 10,1 Với m ứcor = 0,05 kiểm định giả thiết //(, ; E X = 10,5

Giải: D o k h ô n g nhắc tới đối thuyết t ro n g đầu bài, ta nên c h ọ n Hị : E X 5*10,5 đ â y phương sai đ ã biết nê n ta áp dụng q u v tắc 1;

+ T r a bảng L p - l a - x ệ{ỡi,) = = 0,475 => ỡ,, = 1,96 + D o - 1,6 < 1,96, giả thuyêì //,) c h ấ p n h ậ n

B i K ết q u ả đ o chiều cao c ủ a 24 trẻ e m tuổi c h o b ả n g số liệu (cm):

Chiều ca o chuẩn c ủ a trẻ em tuổi vùng đ ó 86,5 cm H ỏi với

a = 0,01 có k h c biệt đ n g kè ch iề u c a o n h ó m trẻ so với c huẩn hay kh ô n g ?

Giải: Chú ý c ó th ể coi kết đo n h m ẫu c h ọ n từ tập có phân phối c h u ẩ n (đó c ũ n g ý n g h ĩ a ứng d ụ n g c ủ a p h â n p h ố r c h u ẩ n hay g ặ p thực tế) Do p h n g sai c h a b iết, đ ây ta d ùng q u y tắc 2; giả t h u y ế t //(, : = 86,5 với

Hị : a ^ S , 5 « = 0,01

+ Trước hết ta tính X = 84,1 c m ; i' = 3,11;

ũ _ ^ ~ , /— , - , ^ TO,

ỡ,n = = — ^ r f ^ V ^ - ,8

i’ 3,11

+ T bảng Stiu-đơn ớ/, = r ( ; , l ) = 2,807

+ Dễ thấy - 3,81 > 2,807, ta khơng có sở để c hấp n h ậ n giả thuyết /y„ nhóm trẻ có chiều cao lệch đ n g kể so với chuẩn

Bài Độ bền c ủ a m ột loại dây thép sản x u ấ t theo c ô n g n g h ệ cũ 150 Sau cải tiến kỹ thuật người ta lấy m ẫu g m 100 sợi d â y thép để thử độ b ề n thấy độ bền trung b ìn h 185 í = 25 Với a = 0,05 hỏi c n g n g h ệ có tốt c ố n g n g h ệ cũ h a y khơng?

Giải: !ì - 100 lớn nên k h ô n g cầ n giả thiết c h u ẩ n độ bền c ủ a loại dây thép Rõ ràng đ ể so sá nh hai c ô n g nghệ sản xuất ta chi so sánh độ bền t ru n g b ìn h phương pháp sau với 150 kỳ VỌIIẸ, đ ộ bền t h e o p h n g pháp cũ, từ / / q I c / ^ I S O Do yêu cầu đ ầ u bài, ta c h ọ n

/ / | : í / > I ; a = 0,05: n = 100 Đ ể k i ể m đ ị n h /7(1 ta d ù n ^ quy tắc có đê ý đến n Rhá lớn

+ Tính e,„ = ^ỉ— ^ ì = ^ V ĩ õ õ «14.

i- 25

+ M ật k h c tra b ả n g L p -la -x (do n k h lớn)

ệ{e„ ) = 0,5 - a = 0,45 ớ/, = 1,645.

+ Do 14 > 1,645 nên k h ô n g có sở đ ề chấp nhận //(, cho r ằ n g việc cải tiến kỹ thuật có hiệu

Bài G i m đ ố c m ột công ty tu y ê n b ố 90% đ ộng c công ty đạt c h u ẩ n q u ố c gia M ột h ã n g độc lập kiểm tra 200 đ ộng c c n g ty t h ấ y có 168 đạt yêu cầu Với mức a = 0,05 la kết luận tu y ê n b ố trên?

Giải: T ần suất c ủ a số đ ộ n g đạt yê u cầu 168/200 = 84% thấp làm c h ú n g ta nghi ngờ Gọi p xác suất gặp m ột đ ộng c đạt tiêu c h u ẩ n q u ố c gia c ô n g ty nọ, ta kiểm đ ị n h giả thuyết / / ( , : / ? = 0,9 với đối thuyết / / , : / ? < 0,9, {a = 0.05) D ùng quy tắc 3:

T ín h ^ - ,8

V0,9.0,l

+ Do đối t h u y ế t k h ô n g đối lập, để ý đ ế n q u y tắc ta có

ệ{ới, ) = 0,5 - a - 0,45 ỡ,, = 1,645

+ Vì - 2,83 < - 1,645 ta k h n g có c sở để chấp n h ậ n /y,, T h ậm c h í a = ,0 giả thuyết /-/„ chư a thể chấp nhận (do xác suất đ ể ớ,II bé - 2,83 c ò n b ằ n g 0,00233)

kể chất lượng c ô n g tác bảo hộ lao động hay k h ô n g hai phân xưởng trên?

Giải: Ta phải k i ể m định giả thuyết s ự b ằ n g n h a u củ a hai tỷ lệ tai n n lao đ ộ n g {a - 0,05)

ỉ^o -P\ = P i ''ới Trước tiên dễ t h ấ y

_ 20 _ 120 _ 140

ò, = = 0,1; , = = 0,15; p = — — = 0,14;

" 0 ^ 800 1000

«iAỉ2 200.800

n = — = — :— —— = 16U

« ị + « 200 + 800 T đó:

+ Tính e,„ = - ^ = £ L V ĩ ^ ~ -1,82. Vo,14.0,86

+ / / | giả th u y ế t đối lập với //(, nên ệ{ới,)= — — = 0,45

0 , = 1,96

+ Do 1,82 < 1,96 c h ấ p n h ận //„ Đ iề u đ ó có nghĩa k h n g có sở c h o có khác biệt đ n g k ể chất lượng c ô n g tác b ả o hộ lao đ ộ n g hai phân xưởng

Bài Chủ h ã n g sản xuất cho biết độ l ệ c h c h u ẩ n sai số đo (dung sai) củ a thiết bị đơn vị Người ta k i ể m tra 19 thiết bị đo thấy 5“ = 33 Với a = 0,05 có kết luận ý kiến c ủ a chủ hãng trên?

Giải: G iả t h u y ế t gốc //() : = CT(^ = 25; ta chọn đối thuyết Hi' ^ > 25 (hoặc Hi' ^ T h e o q u y tắc 4:

+ T í n h e tìl =- yfĨ6Õ ^ 23,76 25

+ N ế u c h ọ n H ị - ^ > 5 ớ,, = ;ịf^(l8;0,05) = 28,9 cịn n ế u c h ọ n / / | : 25 ta phải tra h a i lần bảng

ế?, = ^ - ( l ; , ) = 8,2 6»2 = / H l ; , ) = 31,5

+ K ế t luân: hai trườ ng h ợ p giả thuyết c h ấ p n h ậ n (2 ,7 < 28,9 8,2 < 23,76 < 31,5)

Bài Đ ể n g h iê n cứu ả n h h n g m ột loại t h u ố c ngủ, người ta c h o 10 b ệ n h n h ân u ố n g thuốc; lần khác họ c ũ n g cho u ố n g n h n g thuốc giả (placebo) K ết thí nghiệm n h sau:

Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số gi ngủ

có thuốc 6,1 7,0 8,2 7,6 6,5 8,4 6,9 6,7 7,4 5,8 thuốc giả 5,2 7,9 3,9 4,7 5,3 5,4 4,2 6,1 3,8 6,3 G i ả sử r ằ n g số g iờ n g ủ b ệ n h nhân có q u y luật c h u ẩ n , với m ứ c a = 0,05 có k ế t luận ả n h hưởng c ủ a loại t h u ố c ngủ trên?

Giải: D o hai m ẫu làm trên c ù n g m ột loại đối tượng, nên

ta thiết lập m ộ t biến ngẫu n h iê n X hiệu số ngủ c ủ a đối tượng tương ứng Rõ ràng X m ới tiếp tục có p h â n phối c h u ẩ n tư ng ứng với m ẫu

0,9 - , 4,3 2,9 1,2 30, 2,7 0,6 3,6 - , T a k i ể m đ ị n h giả thuyết /y,) : E X = a = 0 với đối t h u y ế t

+ T r c h ế t t í n h X = 1.78; V = i , 7 ; lừ đ ó

L77

+ ĐỔ tìm ớ„ ta c ó = /(9;2.0,05) = /(9;0,l) = 1,833

+ M iề n bác bỏ g iả thuyêt //,, (l,833; + co) 3,18 n ằ m m iền nên //,, bị bác bỏ Đ iều có nghĩa c ó c sở để tin loại th u ố c n g ủ có tác dụng

Bài Người ta thủ độ c hịu lực 35 chốt k h o thấy độ lệch c h u ẩn m ẫ u 3,5 p a o (1 p a o k h o ả n g g a m ). Có thể cho bảo đ ả m người sản xuất; độ lệch c h u ẩ n thật p a o , đ ú n g k h ô n g ?

Giải: T ro n g trư n g hợp /Y„:cr = với đối t h u y ết /7| : > D o n - 35 coi lớn; ta nên sử d ụ n g s ự k i ệ n sau (xem tài liệu tham khảo):

.2 ^

,v CÓ phân phối tiệ m cận c h u ẩ n ưị ơ ơ0

2/í

Từ để kiểm đ ị n h //„ ta sử d ụ n g quy tắc giống n h q u y tắc Cho a = 0.05

ơ 0

VtÕ ^ 1,39 3,0

+ Tra bảng với 0,5 - u,03 - 0,45 ^ 0^ = 1,645

+ Do m ién bác b ó lí,) là - ( l , ; + o o ) = 1,39^ b nên khổng có c sở đ ể bác bỏ bảo đ ả m củ a nhà sản xuất 5.2.3 Bài tập

1 M ột k h c h hàng m uốn m u a loại sơn k h ô n h a n h nhiều n h í t 17 phút sau sơn H ã n g sơn A bảo đảm sản phẩm họ, ngồi tính chất tốt khác, khơ sau 15 phút (trung bình) N ế u độ lệch c h u ẩ n củ a thời gian khô 1,75 a ch ọ n 0,1; xác định d u n g lượng m ẫ u cho lơ hàng m ẫu với thời gian k h trung b ìn h 17 phút bị bác bỏ với xác suất 95% N ếu lấy m ẫ u X = 16 ta định th ế loại sơn đó?

2 T h e o q u ả n g cáo s ố ốc-tan loại xăng cao cấp 90,5 Người ta thử n g h iệ m 23 m ẫu xăng chọn ngẫu nhiên thấy số ốc-tan trung bình X = 89 với s = 3. Bạn kết luận thơng tin quảng c áo đó? T h e o bạn có nê n ch ọ n thêm m ẫu hay không?

3 M ộ t h ã n g phần m ề m tu y ên b ố cung cấp cài đặt sản p h ẩm c h o k h ch h n g th n h p h ố c h ậm sau 30 phút tính từ lúc n h ận gọi đặt hàng Chọn m ộ t m ẫu gồm 28 k h c h h àn g thấy thời gian c u n g cấp trung bình X = 34,5 phúl với v = 2,3 Có thể c h ấ p n h ậ n tuyên b ố hãng hay kh n g

{a - 0,1)?

4 N h sản xuất đ in h tán c h o đường kính đ in h c ủ a n g ta có ơ = 0,01 C h ọ n m ột m ẫ u g m 10 đinh tán ta xác đ ịn h í = 0,018 Bạn nói ý kiến c ủ a nhà sản xuâ't? T h e o bạn d u n g lượng m ẫu đủ đ ể Qiiyết định cíĩưa?

Khối lượng (kg) 0,95 (3,97 0,99 1,01 1,03 1,05

Số gói 31 40 15

Với mức a = ,05, kết luận nghi n g

6 Tỷ lệ người mắc bệnh A địa phương 5% Trong m ột lần kiểm tra sức k h o ẻ ngẫu nhiên 300 người thấy có 24 người m ắc b ện h A. Với a = 0,05 c h o tỷ lệ người bị b ệ m h A có xu hướng tăng lên kh ô n g ?

7 Đ ị n h mức thời gian để sản xuất loại sản p h ẩm 45 phút Sau cải tiến c ô n g nghệ, người ta sản xuất thử 100 sản p h ẩ m thu X = 42,5 với = 1.2 Với mức a - 0,05 cho c ô n g n g h ệ giảm bớl thời gian sản xuất m ộ t sản phẩm không?

8 T ỷ lệ bệnh nhàn chữa khỏi bệnh điều trị thuốc A 80% Người ta đưa vào loại thuốc m ới để chữa b ệ n h c h o 1100 người có người khỏi bệnh Có thể cho th u ố c hiệu k h ô n g với mức a = 0,01?

9 Đ ể xác đ ị n h độ béo củ a m ột loại pho- mát, người ta chọn ngẫu nhiên 10 m iếng, m iếng lại chia đô i m ột nửa gửi cho phịng thí n ghiệm A, nửa cịn lại cho phịng thí n g h iệ m

B Kết q u ả xét n g h iệ m cho b ả n g (%)

Sô thứ tự 1(

40 39 40,2 38,2 39,7 37,7 41,1 36,5 40,7 / B 41,9 39 40,7 39,3 39,2 38,7 41,3 38,5 39,8 38.^ G iả sử sô' đo tuân theo luật phân phối chuẩn Gọi X hiệu số c ác độ béo tương ứng tác h theo hai p h ò n g th

n g h i ệ m , xác đ ị n h k h o ả n g tin cậy 9% cho EX. Có cho c c kết xét n g h iệm hai phịng thí nghiệm khác c b ả n hay k h ô n g ?

10 T rong m ột thùng rác chuyên để đựng chai cũ người ta c h ọ n ngẫu nhiên 300 chai thấy có 83 chai màu trắng Với mức

a - 0,05 c h o tỷ lệ chai màu trắng 25% k h ô n g ? Xác đ ịn h kho ản g tin c ậy 95% cho tỷ lệ chai có màu trắng

11 T h e o p h n g pháp ni thứ ta có 12 gà bị chết tro n g m ột đ n 0 Người ta nuôi đàn đối chứng 100 theo phư ng pháp Ihứ hai có bị chết Với

a = 0,05 kết luận r ằ n g việc ni theo phương pháp thứ hai c ó tỷ lệ gà bị chết thấp không?

12 C h ọ n n g ẫ u nhiên 47 vòng bi loại thấy độ lệch c h u ẩ n trung bình i' = 0,003 T h e o quảng c áo độ lệch chuẩn thực k h ô n g vượt q u ,0025 V ậy ta kết luận ( « = , )

§ C Á C T E S T HAI M Ẫ U 5.3.1 Tóm tắt lý thuyết

1 Bài tốn có tên gọi so sáiili i kỳ VỌIOỈ. Giả sử ta có hai m ẫu .V,, ,V2, XI, V,, >'2, V1,^ lừ hai lập có

ph ân phối c h u ẩ n với phương sai giống Vấn đề đặt với m ức a c h o trước ta phải kiểm định giả thuyết /7(, ; Uị = CI2 với

đối thuì / / | : í/) 5*Í/T(tương tự mục 5.2 chọn đối t h u y ế t / / , íỉị > í/t «1 < ƠT, với kỳ vọng X

«1 - 2 với quay vể với toán so sánh kỳ v ọ n g với

hằng s ố (xem mục 5.2) d ù n g q u y tắc sau;

Qiiy tắc I

X ~ Ỹ

Bước I : T ính ớ,,, ('3.1)

Ịh

(/ỉ| - ì ị s Ị + { ì ì 2 - l)v2

Iiị + / ; , -

Irong , sỊ phương sai mẫu hiệu củ a m ẫ u tương ứng

Bước 2: Tra bảng Stiu-đơn ổ,, = t{ìiị + IÌ2 - ; a )

Bước 3; N ế u <ỡf^ ta chấp nhận //(,; tro n g trư n g h ợ p ngược lại bác bỏ

C h ú ỷ 1: N đối thuyết kh ô n g đối xứ n g x e m b c quy tắc m ụ c 5.2.

C h ú ý 2; N ế u /ỉ, k h lón ( > i ) thay tra b ả n g S tiu -đ n , ta tra bảng Láp-la-xơ; /7, đủ lớn (> lo o ) Ih ậ m c h í k h n g c ầ n có giả thiết c h u ẩ n tính xấp xỉ m ẫ u s ố c ủ a ( ) b ằ n g

I /7, + Vọ //?ọ

Chíi ý 3: Bài tốn so sánh hai tỷ lệ nhắc đ ế n p h ầ n c ủ a m ục 5.2 Bài toán so sán h hai m ẫu tạo thành c c c ập s ố liệ u c ũ n g

C h ú ỷ 4; Bài toán so sánh nhiều kỳ vọng c h ín h việc p h â n tích phương sai phức tạp ta không nhắc đến

C h ú ý 5: T rong thực t ế đỏi người la giảm n h ẹ g i ả thiết n h bỏ q u a kiện c ù n g phương sai, biết hai p h n g

sai thật m ẫ u s ố c ủ a (3.1) se bước tra b ả n g L p - l a - x (dùng phân phối c huẩn)

2 X é t t o n so sánh hai phương sai hai m ẵu A'|,

X2, X, , v v p Va , - - Yn, l â y t các t ậ p n ề n c ó phân phối c h u ẩ n

c hư a biết t h a m số V i mức a cho trước kiểm định giả th u y ết Hq \ { = ị với đối thuyết / / | \ ị > a ; (trong ơ|^

ơ ỉ c c p h n g sai tương ứng)

Oiiy tắc G i ả sử (nếu k h ô n g ta đổ i th ứ tự mẫu) .V?

Bước 1: T í n h e = ' ,2 ■

S2

Bước 2; T r a b ả n g Phi-sơ - 1;«)

Bước 3: N ế u < ỡf, ta chấp nhận Hị„ ngược lại ta bác bỏ 5.3.2 C c b i giải m ẫ u

B ài N g h i ê n c ứ u trọ n g lượng trẻ sơ sinh c ủ a hai n hóm với m ẹ n g h i ệ n t h u ố c v k h ô n g hút thuốc lá, ta có k ế t q u ả (kg)

K hông hút thuốc 3,99 3,79 3,60 3,73 3,21 3,60 4,08 3,61 N ghiện thuốc 3,18 2,84 2,90 3,27 3,85 3,52 3,23 2,76

K hông hút thuốc 3,83 3,31 4,13 3,26 3,54 3,51 2,71 Nghiện thuốc 3,60 3,75 3,59 3,63 2,38 2,34

k h ô n g n g h i ệ n thuốc không? Xác đ ịn h k h o ả n g tin cậy % c h o hiệu s ố trọ n g lượng trung bình hai n hóm trẻ

Giải: Việc xác định đ ặ c trưng m ẫ u c ủ a hai n h ó m trẻ trên;

/ , = ; X | = 3,5933;ì-, = ,3 7 ;

u , = 14; X2 = 3,2029; i’2 = 0,4927

Với giả thiết đầu bài, sử dụng quy tắc với //q : ô1 = ô ã

3 , 3 - , 2 + T í n h ớ,„ =Ỉ U

14.0,3707^ + ,4

2,42

15 14 /

15 + -

+ đ y đối t h u y ế t //, ; ữ, > «2; tra b ả n g Stiu-đơn

= / ( ; , 05) = 1,703

+ Vì 2,42 > 1,703 nên giả thuyết //„ bị b c bỏ C ó c sở đ ể c h o r ằ n g trẻ sơ sinh c ủ a nhóm m ẹ k h ô n g hút t h u ố c n ặ n g

Đ ể tìm khoảng tin cậy 95% cho Ơ Ị - Ú 2 ta dùng công thức

(4.2) c ủ a m ụ c 4.4 T rong cơng thức 0^ = / ( ; , ) « 2,05; c ò n a / V n c h ín h m ẫ u s ố (3.1); X = X| - X ọ T k h o ả n g tin c ậ y cần tìm là:

(0,3904 - 2,05.0,1612; 0,3904 + 2,05.0,16 ) = (0,06;0,72)

Bài Một n h kinh doanh vòng bi tu y ê n bố r ằ n g s ả n p h ẩ m m ới d o ông ta bán c ó độ ma sál thấp s ả n p h ẩ m cũ Đ ể k i ể m tra điều người ta đ e m xcl n s h i ệ m 36 v òng bi cũ 25 v ò n g bi niới c ù n g điều kiện Ihì thấv độ ma sát trung b ìn h X.Q =

'^niới = 4 N g o i oiá sử ta biết = = Với

a = 0,05 ta kết l u ậ n thê nà o vể ý kiến nhà kinh d o a n h trên, g iả sử rằn g c c đ ộ m a sát có p h â n phối chuẩn?

G iải: Đ ể trả lời c â u hỏi ta đặt X|, X2 tương ứng đ ộ m a sát c ủ a hai n h ó m vịng bi cũ Ta phải kiểm định / / o : ữ , =úT2 với đối thuyết Với đối thuyết / / ,

d ù n g q u y tắc có đ ể ý đến ý 5; + T í n h e =- p l L ^X , - X j - 8

6 144 2,56 36 25

+ T r a b ả n g L p - l a - x ệ{6i^) = 0,5 - a = 0,45 => Bị, = 1,645 + M iề n b ác bỏ g i ả thuyết = ( - c o - ,6 ) g i trị - , € ổQ, N h v ậ y ta bác bỏ giả t h u y ế t f/ị, với độ tin c ậy % thừ a n h ậ n ý kiến c ủ a nhà k in h d o a n h

B i H c ô n g ty c h ế tạo th u ố c sú n g c hào hàng Đ ầ u tiên c h ú n g ta m u ố n k i ể m tra xem sản p h ẩ m họ có c ù n g c h ất lượng h a y k h ô n g M ộ t tiêu người ta hay q u a n t â m tốc độ x u ấ t p h t c ủ a đ n sú n g phát hoả

ở m ỗ i c ô n g ty c h ọ n 10 m ẫ u th n g h iệ m kết q u ả thu m ẫ u c ủ a c ô n g ty 1: X, = 1210; = 550; m ẫ u th ứ hai = 1175; s ị = 3600 Có thể kết luận chất lượng sản p h ẩ m g i ố n g n h a u c ủ a hai c n g ty hay kh ô n g (với m ứ c

a = , ) ?

+ T í n h = - 1

9 5 + 9.3600 í 1 + 18

K42

10 10,

+ T r a b ả n g StÌLi-đơn ớ;, = r ( l ; , ) = 2,J01

+ D o |l,42 < 2,101, giả thuyết /Y|, c h ấ p n h ậ n Đ ể ý dây ta k h ô n g có giả thiết phân phối c h u ẩn c ú a tập T rong thực lê nhĩrng số liệu hàng loạt c ù n g c h ất giả thiết c h u ẩ n m ặ c n h iên thừa nhận T a c ũ n g k h n g có giả thiết c ù n g phương sai Nó thừa n h ậ n d ễ d n g b ằ n g q uv tắc 2; H^, : CT|- = ơ ị với đối thuyết / / | ; ơ Ị > (T|“

+ T í n h ỡỉn 3600

2500 1.41

+ T r a b ả n g P h i-s ớ,, = F ( ;9 ; ,0 ) = 3,18

+ Vì 1,41 < 3,18 nên giả thuyết b ằ n g n h a u c ủ a hai phương sai c h ấ p n h ậ n (với độ tin cậy 5% )

B i N gư ời ta n g h i ê n cứu nãng suất lúa m ì v ù n g với hai c h ế đ ộ c an h tác k h c nhau, vùng thứ n h ấ t có th a r u ộ n g c h ọ n với n ă n g suất bình q u â n Xị =2A,6 tạlha Sị = , ; \'ùng t h ứ hai c ó 16 với n ăn g suất b ì n h q u â n

^ = 2 Ẵ tạHia v s ị = 0,16 Với = 0,05 hỏi c ó sai k h c

đ n g k ể c ác n ă n g suất trung bình c ác đ ộ tán x t ru n g bình c ú a n ă n g suất hai vùng hay k h ô n g ? Giải lại toán d u n g lượng m ẫ u c ó thay đổi /2, = 40; /?2 = 70 n h n g c ác đặc

irưng m ẫ u k h ô n g t h a y đổi

Giải: Bài yêu cầu so sánh hai kỳ vọng, hai p h n g sai c ủ a suất hai v ùng, la làm lần lượt:

Đ ể so s n h hai phưcfng sai, ta phải kiểm định giả thuyết

^ ■ “ ^ 2 đ ố i th u y êt chọn Hị : Ị > ơị (hoặc

Hị -.ơỊ ) T h e o đ ầ u ta có:

«, = ; = 0,24; «2 = 16; = 0,16; a = 0,05

G iả sử c c n ă n g suất c ó phân phối c h u ẩn m k h ô n g sợ vô lý Á p d ụ n g q u y tắc 2:

u ũ _ _ 0,24 , _

+ T í n h ớ,„ = : ^ = ^ = 15.

s ị 0,16

+ T r a b ả n g P h i-s = F(8;15 ;0,05) = 2,64

+ D o 1,5 < ,6 giả th u y ết H„ c h ấ p n h ậ n tức hai p h n g sai k h n g c ó k h c đ án g kể

Đ ể so s n h hai kỳ vọng, ta k i ể m đ ịn h giả thuyết

H q : Uị = Ũ2 với đối th u y ết H ị : ữ| a-,. Á p d ụ n g q u v tắc 1:

+ T í n h =

i («, - «1 + «2 ~ + (/?2 -24,6 - 25,8

1 1

V«1 n

'8.0,24 + 15.0,16

V

1 J_

9 "^16

- ,6

/ + -

+ T r a b ả n g Stiu-đơn = /(23;0,05) = 2,07

Bây ta giải q u y ết trường hợp = ; « = Đ ể so

sán h hai phưcmg sai, ta kiểm đ ịn h Hq : CT|^ = ơ ị với đối th u y ết

T I _

H ị -.ơ; > ơ-| :

+ T r a b ả n g P hi-sơ ớ/, = F ( ; ; , ) » 1,57

+ V ì 1,5 < 1,57 g iả thuyết H , I c h ấ p n h ậ n được,

1,5 k h gần với ngưỡng đô i sai s ố tín h t o n làm c h ú n g ta kết luận sai T r o n g trường h ợ p n h vậy, n g o i thực tiễn thông thường người ta ch ọ n th ê m c c m ẫu k h c để k i ể m định thêm, tìm cách thay đổi q u y tắc k i ể m đ ị n h m ột quy tắc khác để yên tâm Đ ể so s n h hai kỳ v ọ n g ta k i ể m định //q : ữ| = a-, với đối thuyết đố i lập;

+ D o m ẫu có d u n g lượng lớn, ta d ùng kết q u ả g ầ n đ ú n g (x e m c h ú ý 2) ớin X, - _ - ,

4 ~ 10,24 ^ 0,16 «2 V 40 70

13,19

+ C ũ n g m ẫ u có d u n g lượng lớn, tra b ả n g L p - l a - x ^ = 0,475 , = 1,96

+ Vì - , > 1,96 việc bác bỏ giả thuyết //() giống c ủ a suất trung bình k h ô n g gây tranh cãi gi lớn

Bài K iểm tra chất lượng c ủ a hai lô sản p h ẩ m , người ta th ấ y lơ thứ có 50 p h ế phẩm trê n tổ n g s ố 0 sản

p h ẩ m , cịn lơ t h ứ hai tỷ lộ 60 p h ế p h ẩ m /4 0 Với mức ý n g h ĩ a a = 0,05 ta c ó thể k ế t luận hai lơ sản phẩm trên?

Giải: G ọi Pị P2 tỷ lệ lý th u y ết c ủ a p h ế phẩm (xác suất gặp phê p h ẩ m ) t ro n g hai lô h n g tương ứng; ta kiểm đ ịn h giả t h u y ế t Hq : - P-, với đối t h u y ế t Hị : Pị ^ P t Ì u = 0,05 ) Có thể sử d ụ n g ý c ủ a q u y tắc m ụ c 5.2):

+ D ễ d n g tìm = ^ ^ = 0,1; Pn = - ^ = 0,15;

p

50 + 60 500 + 400

Pi - P i

500 ‘ " 400 0 ,12;

ri| + n , - , 000

11 = - ,

V M l - p ) V0,12.0,88 ^

+ T r a b ả n g L p - l a - x (do m ẫ u có d u n g lượng lớn) = 0,475 = > ^ = 1,96

+ T - 2,276 > 1,96 ta k h ô n g có c sở để c h ấ p nhận //„ Chú ý m ẫ u lófn ta xấp xỉ cơng thức sau:

P , - P _ , - ,

am

ì n n

0 , 0^15.0,85

- ,

500 400

V rõ r n g //(, c n g bị bác bỏ C ó n g h ĩ a c h ấ t lượng ch ú n g k h ô n g đ n g Bây ta t h k i ể m đ ị n h //„ với đối lliuyết

ệ{6i^) = 0,5 - a = 0.45 =>ớ,, = 1,645

+ M iề n bác bỏ giả th u y ết //„ - ( - c o , - l , ) - , € nên có c sở để c h ấ p nhận giả th u y ế t H,: tỷ lệ phê phẩm c ủ a lô hàng t h ứ b é đ n g kể so với lô h n g thứ hai 5.3.3 Bài t ậ p

1 Hai hãng c hào hàng m uốn bán nguyên liệu thô thép để sản xuất dây điện Đ iều nhà sản xuất dâ y điện q u a n tâm độ dẻo nguyên liệu T kho hãng chào h àn g người ta chọn ngẫu nhiên 14 thấy; X| = 46 X , = 53 (độ dẻo

Irunii bình cúa m ẫu tương ứng) Đ ộ lệch c h u ẩn đại ỉượng quan tâm biếtCT| = = Với mức a = 0,01 hỏi có khác biệt đáng kể hai độ dẻo cúa n g u y ê n liệu thỏ trên?

2 Đ ộ linh khiết c ủ a m ột chất xúc tác q u a n trọ n g nghiên cứu khoa học Người ta t h n ghiệm hai p h n g p h p khác nhau: phương p h p (hữu cơ) làm 34 m ẫ u b ằ n g phương pháp II (tổng hợp) làm 22 m ẫu Kếl thu n h sau (lượng chất bẩn trôn đơn vị c hất)

2,0 2,0 1,8 0,9 1,7 1,6 1,7 1,5 1,9 2,0 1.8 1,6 1.8 1,7 1,6 1,7 2,1 1,5 1,7 2,0 1.8 1,7 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,4 1,5 1,7 1,6 2,0 1,9 2,1 Phương pháp

I

Phương pháp 11

1,5 1,4 1,5 1,6 1,1 1,7 1,4 1,7 1,4 1,4 1,7 1,1 1.5 1,2 2,0 1,6 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 1,0

Mỏi có khác n h a u đ n g kể lượng c h ất b ẩ n c ủ a hai phương pháp hay k h ô n g ?

3 N gười ta làm test 15 sinh viên để tìm hiểu hiệu quả v iệc giảng dạy vấn đề theo phương pháp Trước

khi h ọ c phương pháp sinh viên ch o làm kiểm tra (kết tính điểm số với điểm tối đa 100); sau khi h ọc, sinh viên làm kiểm tra thứ hai Kết điểm của từng h ọc sinh ch o bảng sau:

Số thứ tự Trước học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

54 79 91 75 68 43 33 85 22 56 73 63 29 75 87 Sau học 6 85 83 88 93 40 78 91 4 82 59 81 64 83 81 V i m ức a = ,0 bạn có nhận xét khác hai dãy đ iểm s ố trên? Có thể coi v iệc học theo phương pháp m ới c ó hiệu hay khơng?

4 C ó hai m áy tiện sản xuất m ột loại sản phẩm Từ các lô sản phẩm m ỗi máy ta chọn 10 sản phẩm kết đo (độ dài) mẫu sau:

Mẫu 1 4 ,3 49,88 49,91 49,33 49,77 49,81 50,52 5 ,1 49 ,7 50,50

Mẫu 4 ,6 49,7 50,12 48,99 49,67 49,09 50,30

5 ,1 50,44 49,72

H ỏi c ó khác đáng kể độ dài trung bình; các độ tán xạ trung bình độ dài hai m áy hay không (ch ọn

a = ,0 ) ?

§ 5.4 T E S T V Ề LUẬT P H Â N PH Ố l 5.4.1 tóm tát lý thuyết

1 P h ng p h p n g h iê n c ứ u tro n g p h ầ n n y th ng k h ô n g đ ò i

hỏi giả thiết hàm phân phối xác suất với tham số đã

biết; người ta hay gọi phân tích th ố n g kê p h i t h a m số. Bài tốn đặt là: dựa vào mẫu m ột biến ngẫu nhiên để rút kết luận phân phối biến ngẫu nhiên với

mức a hay k h ô n g Cụ th ể ta k iể m đ ịn h g iả th u y ế t “X có phân phối F„” , F(| đ ã b iết n h iề u trư ng h ợ p ta ký hiệu f(| hàm phân phối xác suất; đối thuyết / / | chính giả thuyết đối lập với Hịy

ở m ục ta n g h iê n cứu F„ p h â n phối liên tục đ ã cho

Tuy nhiên phụ thuộc vào /• tham số chưa biết khi tính tốn ta sõ thay tham số ước lượng của chúng (thơng thường ước lượng hợp lý nhất) Số liệu quan sát thường xếp vào khoảng liên tiếp sau

Mẫu X,) (X„X2) (a^,

«2 .

với H | + /Ỉ2 + = n dung lượng mẫu l ĩ ị là số lượng mẫu

rơi vào khoảng thứ i (jr, 1, X,) Các khoảng chọn ch o Iii > c ó độ dài tuỳ ý (sau ta thường chia cách đều)

và số lượng khoảng khơng q nhiều < / c < T u y nhiên có n goại lệ với khoảng mút trường hợp đó, chẳng hạn /ỉ| lÌỊ. bé G iá trị dùng dể ước lượng tham sơ chưa biết nói chọn các khoảng tương ứng ; dùng khoảng để tính xác suất lý

thuyết P i //() hai giá trị mút Xq đặt bằng ~co Xị - + C O

Q u y tắc Pi êc- xơn :

k Bước 1: Tính e,„ =

/=1

, {llị - n p ; )• n p ;

trong P ị là xác suất

p{x,_ị < x < X ị ) hay p, = p[x e (x /_ |, A',)

Bước 2: Tra bảng tìm 6ị, = x ~ { k - ì - 1;«).

Bước 3: N ếu 6ị, ta chấp nhận giả thuyết //,„ ngược lại bác bỏ nó.

2 Khi //(( phân phối F„ rời rạc (và tính cả trưcíng hợp liên tục theo cách này) ta làm sau: quv tắc vẫn giữ ngun, việc tính Pị khơng cịn giống bộ số liệu có dạng

Mẫu A'2

"i >h «2 >h

Khi //(, đúng, P ị sẽ tính p ( X = X||H(, ).

N ếu phân phối //() liên tục theo lý thuyết rõ ràng là xác suất 0, nhiên ta xấp xỉ xác suất rơi vào khoảng thứ / có chứa X ị và có độ dài tương ứng Rõ ràng xác

suất ước lượng xấp xỉ — f/|| đúng; việc tính toán dựa n

vào quy tắc chấp nhận tất nhiên gần đúng.

5.4.2 C c giải m ẫ u

B i Đ o độ n h ạy kênh tru y ền hình củ a 50 m áy thu hình ta có kết q u ả sau:

K ho ản g (//V) Số lượng m áy Iiị K hoảng ",

75-125 375-423

125-175 0L. 425-475

175-225 475-525

225-275 525-575

275-325 575-625

325-375 625-675

Với a - 0,05 h ã y kiểm định giả th u y ết độ nhạy cảm củ a kênh tru y ề n h ình tu â n theo luật phân phối chuẩn

Gi ải: Đ ể kiểm định giả thuyết trước hết ta cần ước lượng hai th am số phân phối chuẩn ơ (ở k - 12; /ì = 50)

X = — (l 00.1 + 150.1 + + 600.2) = 346; 50

N hư ta phải k iểm định X ~ c/í (3 ; 124,4 “ ) với mức

a = 0,05 D ùng q u y tắc Piêc-xơn p - "Pi )■

+ Tính ff,„ = ỵ

i=ì np^

Do có n h iều /7, < 5, ta săp xếp lại m ầu sau

<225 225-275 273-325 325-375 375-425 425-475 >475

n. 8

N h số kh o ản g cò n k = 1 với các «, có th ay đổi chút Bây g iờ ta tính P ị , / = , , , D o X có phân phối chuẩn

c4 (346; 124,4 //(I đ úng nên:

Pi = ệ

X; - 346 124,4

/

J

A-,_1 - 346 124,4

trong đ ó ( x , , , X,) l k h o ản g th ứ / ( đ ể ý Xg = - o o ; a '7 = )• D ùng b ản g L p -la -x ta tính

p , = 0,1660 P = , m 3 /7^ = 0,1482 = 0,1585

= 0,1447 p , = 0,1151 />7 = 0,1492

K hi 2,22

/=1

+ T bảng ta có - - 1;0,05):= 7,815

+ D o 2,22 < 7,815; giả th u y ết p h â n phối c h u ẩn chấp n h ậ n

Bài 2 Q u a n sát m ột đối tượng có 10 Irạng thái tất 96 lần thu kết quả:

T rạng thái i 10

Số lần Ih 13 10 10 14 12 11

Với « = ,0 , coi vai trị trạn g thái hay k h ô n g ?

ngẫu n h iên th ứ tự c ủ a trạ n g thái X phải tu ân th e o luật phân phối rời rạc với P i = i - 1,2, 10

Bài to n đưa k iể m đ ịn h giả th u y ết //(,: “X có phân phối đ ề u ” với a = 0,01

- («, - Y 10

+ T ín h = X i=l

= 9,84

n p

-+ T bảng ta đượ c ớ/, = J ^ ( l - l ; , l ) = 21,666

+ D o 9,84 < ,6 6 ; g iả th u y ế t //,) chấp nhận được; c ó c sở để tin rằn g vai trò c ủ a c ác trạ n g thái n h

Bài Q u an sát m ộ t đối tư ợng 100 ngày, gọi X l số lần xuất h iệ n đối tư ợ n g tro n g m ộ t n g ày , ta có:

Số lần/ngày 10

Số ngày 12 19 29 21 0

Với a = 0,01 k iể m đ ịn h g iả th u y ết //(,: “X có p h ân p hối nhị thức ^ ( ; ,3 )”

Giải: Đ ầu tiê n ta sắ p x ế p lại m ẫu; giá trị cu ố i c ù n g xuất lần n ê n ta g h é p ln vào giá trị thứ Sau d ù n g phân phối nhị thức í3’(10; ,3 ) để tính xác suất tương ứng ta có kết

Pi

0 ,

I 12 J 1

2 19 0,2335

3 0,2668

4 21 0,2001

5 ,

6 -1 10 W

+ T ín h e,„ = ịỳ li- IE lL ^ 8,72 ,=1

+ T b ả n g ta c ó ớh ( ? - ; , l ) = 16,812

+ D o ,7 < ,8 cho rằn g b ộ số liệu cảm sinh b iến n g ẫ u n h iê n tu â n th e o luật nhị thức ,í?*(10; 0,3)

B ài Đ ể k iể m tra chất lượng c ô n g v iệc 200 công nhân, người ta c h ọ n n g ẫ u n h iê n 1000 sản phẩm c ủ a rnỗi người đem th n g h iệ m đ ể tìm s ố p h ế phẩm Kết k iể m tra sau;

Số p h ế phẩm 1000 sản phẩm 0 Số lượng c ô n g nhân 109 65 22 V ới m ức a - 0,01 có th ể coi phân phối c ủ a lượng p h ế phẩm tuân theo luật P o a -x ô n g h a y kh ô n g ?

Giải: N ếu g ọ i X số p h ế phẩm củ a m ột công nhân la phải k iểm tra g iả th u y ế t X /l tham số chưa bict N ó có th ể ước lư ợ n g b ằ n g trung bình m ẫu

^ - Ề (O-109 + 1.65 + 2.22 + 3.3 + l) = — = ,6 ]

Bài toán đưa vể k iểm định “X c ó phân phối í^^(0,61)” với m ức

a = Ta thiết lập bảng tính tốn sau:

n, 'V, Hi

0,61^'

p, = , npi (riị - n p i ) ^

npị

0 109 0,5434 108,68 0,001

1 65 65 0,3315 6 ,3 0,0

2 22 44 0,1011 ,2 ,1

3-4 13 0,0233 ,6 ,0

X 0 122

199,86 =^200

0 ,2 7

+ T a có: ớ,„ = , 7

+ T b ản g có ớ/, = / “ ( - - l ; , l ) = ,2

+ Vì ,2 7 < ,2 ; phân phối P o a-x ô n g c ó th ể co i th íc h hợp đ ể m ô p h ỏ n g q u y luật phân phối X.

B ài M ột m y lự động làm sản phẩm m ộ t loại trụ c có đườ ng k ín h .X', q u a n sát 200 trục n h sau: (/!■ số trụ c

c ó đ n g k ín h A,)

.V 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3

6 26 25 30 26 21 24 20

Có thể c h ấp n h ận g iả thuyết phân phối c h u ẩ n c ủ a đ ng k ính sản phẩm củ a m áv tự đ ộng với mức a = 0,05 k h ô n g ?

Giải: G ọi X đườ ng kính trục sản xuất ta phải k iểm định giả th u y ết /y„: “X có phân phối c h u n ” với c c th a m số a,

ơ~ đ ề u chưa biết T a ước lượng chúng tro n g b ả n g sau:

X = ^ , + 1,1 « 1,26,

200 200

5 = 0,490

1 3 - 162 200

2 >

0 ,2 ,

h

Đ ể tín h p- ta c ó c ô n g thức xấp xỉ Pị - - ẹ

s V

X ị - x

s ,

<p{u) =

y Ị l n

p-x , - X 11: = A', - X

s ) np; - npi

{ r ỉ ị - n p ị f npi

0,3 6 -0,96 -1,96 4,8 1,2 1,2 ,3

0,5 9 -0,76 -1,55 9,80 -0,8 -0,8 ,0

0,7 26 -0,56 -1,14 17,0 9,0 9,0 ,7

0,9 25 -0,36 -0,73 24,9 0,1 0,1 0,005

1,1 30 -0,16 -0,33 30,8 -0,8 -0,8 0 ,0 3

1,3 26 0,04 0,08 32,5 -6,5 -6,5 1,30

1,5 21 0,24 0,49 28,9 -7,9 -7,9 2 6

1,7 24 0 ,4 4 0,90 , 2,3 2,3 ,2

1,9 20 0,64 1,31 31,8 6,2 6,2 2,78

2,1 0 ,8 4 , 7,5 0,5 0,5 0,03

2,3 1 ,0 4 2,12 3,4 1,6 1,6 0 ,7 6

+ T ổ n g cộ t c u ố i c ủ a bảng ch o ta « 12,425 + T b ả n g ta c ó ớị, = - - ;0,05)= 15,507

+ V ì 12,425 < 15,507 c h ấp nhận g iả th u y ế t p h â n p hối c h u ẩn với m ức q u y tắc a = 0,05

5.4.3 B ài t ậ p

1 M ộ t h ãn g b ả o h iể m n g h iên cứu tần số tai nạn g ia tro n g gia đ ìn h có từ h a i trở lên M ột m ẫu g m 0 g ia đ ìn h c h ọ n kết q u ả n g h iên cứu cho b ản g sau;

Số tai nạn A ' ,

Số g ia đình / í , 25 54 59 36 18

T h e o bạn sô' liệu phù hợp với phân phối xác suất nào? K iểm đ ịn h đ iề u n h ậ n xét c ủ a bạn với mức a - 0,05

2 C ũ n g câu h ỏ i n h cho số liệu sau số lượng sốc c ủ a m ộ t b ộ p h ậ n ch u y ển đ ộ n g v òng m ột g iờ (sau m ột giai đ o n q u a n sát 126 giờ):

Số lượng sốc X, 0 1 2 3 >4

Số g iờ /7, 44 49 24

3 T b ộ sản p h ẩ m m ộ t loại m áy tiện người ta chọn 0 ch iếc B án k ín h c ủ a sản phẩm đo đạc cho bảng: Bán k ính X ^ 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4.4 4,6 4,8 5,0

S ỏ'lư ợ ng/;, 18 86 62 14

V ới = 0,01 c ó th ể co i rằn g bán kính sản phẩm m y tiện tu ân th e o lu ật p h â n p hối ch u ẩn kh ô n g ?

4 K h i q u a n sát 0 số liệu củ a m ột thiết bị đo g m số có m ộ t c h ữ số th ậ p p h â n , ta q u a n tâm đến c h ữ số th ập phân (từ đ ế n 9) K ế t q u ả q u a n sát n h sau:

C hư số X 0 l 4 7 8

Số lượng/?, 35 16 15 17 17 19 11 16 30 24 Số liệu n ỷ c ó tu â n theo luật phân phối h a y k h ô n g ( a = , )?

K hoảng số A', Số lượng A/,

0 - , 110 0,5 - 0,6 119

0,1 - 0,2 100 0,6 - 0,7 95

0 ,2 - 0,3 124 , - , 84

0,3 - 0.4 98 0,8 - 0,9 76

0 ,4 - 0,5 93 , - 1,0 101

Với a - 0,005 hỏi kết có phù hợp với p h ân p hối [0,1] hay k h ô n g ?

6 N gười ta tiến hành bắn th 100 loạt vào 100 b ia, m ỗ i loạt 10 viên vào bia Bảng số liệu quan sát n h sau

Sổ đan trúng 10

Số bia 20 22 25 16

H ỏi số đ n bắn trúne; bia có tuân th eo luật nhị thức hay k h ô n g ( a = 0.05 , tham sô' p ước lượng tầ n su ất)?

7 N g h iê n cứu 1000 đối tượng, ta có số liệu:

5 - 5 - 25 - 35 35 4,^; 45 - 55 55 - 65 63 - 75

45 197 308 212 198 22 18

Có th ể ch o rằn g số liệu cảm sinh m ột b iế n n g ẫu nhiên c h u ẩ n hay k h ô n g ( a = 0.05 )?

8 Cho số liệu độ cao giống hai th n g tuổi

Đ ộ cao x, 5 1 11 13 15 17 19 21

Sô' lượng n, 11 26 27 32 25 22 24 20 13

Với a = 0,01 kiểm định giả thuyết p h ân p hối c h u ẩ n củ a đô cao

C h n g V I

HỔI Q U Y

§ P H Ụ T H U Ộ C T U N G Q U A N 6.1.1 T óm tắt lý thuyết

1 T a đ ã biết từ lý th u y ế t x ác su ấ t đ ể đ o phần phụ th u ộ c c ủ a hai b iến n g ẫu n h iê n , tá p h ải d ù n g k h i niệm hệ số tư n g q u an X é t toán th ố n g k ê c ó m ẫu c ặ p (a'|, (^2, Vt)

(x„, y„) H ệ s ố tương q ua n m ẫ u đư ợ c tín h th e o c ô n g thức

ẳ ( x , - x X y , - Y ) i=l

ẳ ( x , - x r Ì ( y , - Y ) ^

i=I i=l

(1-1)

tro n g đ ó X Y các tru n g b ìn h m ẫ u của b iến tương ứng

Có thể chứng tỏ -1 < /■ < 1; = ±1 đ iể m (x,, V,), / = 1,

và Y tu â n th eo lu ật ch u ẩn hai biến trở nên đ ộ c lậ p (tất nh iên p h ải c ó điều k iệ n P ỵ ỵ = )

T h ô n g thường tính trực tiếp b ằn g c ô n g thức (1 ) k h phức tạp N gư ời ta d ù n g c ô n g thứ c sau:

E = z -y/ = ’

= - n X Ỹ ;

z = H - ( z f A = ;

ỵi yi -ỹỴ=ỵyỉ -(ỉ :y, f/ n = ỵyf-nỸ^.

2 Đ ể k iể m đ ịn h giả th u y ết r ằ n g p ỵ ỵ = ; ta có m ộ t q u y tắc đơn g iả n sau:

+ T ín h ỡ.ỉn n - 2

ĩ - ^ '

+ T r a b ản g S tiu -đ n = t { n - 2: a )

+ N ế u 0I„\<ỠI, ta ch ấp n h ậ n g iả th u y ết Hị^ \ P x Y = 0 (với

đ ối th u y ế t / / | : p x Y ^ ) ; ngược lại ta b ác b ỏ //(, V n ế u có th êm g iả th iết c h u ẩ n củ a X, Y; ta có th ể k ết lu ậ n hai b iế n đ ó độc lập hay k h n g dự a m ẫu đ ã cho

6.1.2 C ác giải m ẫu

B ài C ho b ộ m ẫ u cặp n h sau

12,0 16,5 15,2 11,7 18,3 10,9 14,4 16,0

y; 2,75 3,37 2,86 2,62 2,72 3,49 3,12 3,05

G iả sử c h ìnẹ đượ c c h ọ n từ tập có phân phối ch u ẩn Với m ức

a = ,0 kiểm đ ịn h tín h độc lập củ a hai biến X Y c ảm sinh tập m ẫ u

Giải: T rư c hết ta phải tín h hệ số tương q u an m ẫu {lì = 8) = + ,5 + + 16,0 = 115;

y , - 2,75 + 3,37 + + 3,05 = 24,02;

- 1701.24; = ,7 ; ^ X i Y i = 345,008: ^ ( x , A ^ y , - Ỹ ) = , 0 - 1 / = - ,2 ;

y { x - x ) ‘ = - 1 ^ / = ; y (y ị - Ỹ f = 72,798 - 24.02 ’ / = 0,6780;

- ,

r -0,0489

/4 ,1 X )/i7

T a ị-hải kiếm đ ụ ih “X Y độc Ịập” N h giả ihiết c h u ẩn toán dư a kiểm đ ịn h //() ; p ỵ y = T a có;

+ T ín h ớ,„ = r / -

1- / .2

6

1 - /-2

-0,1 i 99 + T b ả n g S tiu-đơ n = r(6 ;0 ,0 )= 2,447

+ Do - 199| < 2.447; giả thuyết chấp nhận được; tức lù coi hai biến X Y độc lập

l ìà i N g i ta đo chiều dài vật đúc khn thấy c h ú n g lệch k h ỏ i qui đ ịn h n h sau (ký hiệu X ị V, độ lệch iư n g

ứng);

X ác đ ịn h b ả n g tươHR quan lính hệ số tương q u a n m âu

Giải: Bảng tương quan có dạng:

0,4-0,6 0,6-0,8 0,8-l,0 1,0-1,2 1,2-1,4 /2,

( -0,7; -0,42) — — — —

(- 0,42;- 0,14) 1 —

(-0,14; 0,14) — — — — 1

(0,14; 0,42) — — — 2

(0,42; 0,70) 1 - - — — 2

1 1 2 11

T a có /7 11;

2 ].v = 0,5.1 + , + , + 1,1.2 + 1,3,5 = 11,7;

2 ] V = -0,56.1 - , + o a + , + 0,56.2 = ,8 ;

' ỵ ^ x Ị = 0,5 ^1 + , l l + 0 \ 2 + U - 2 + 1,3'-5 = 13,72;

^ = 0,56- + 0,282.3 + o l + ,2 ^ + 0,562.2 = 1,4896; ^ ,v,.y, = -0,56.0,5.1 - 0,28.0,7.1 - 0,56.0,9.1 - 0,28.0,9.1

+ ,2 1 -0 ,2 ,3 + 0.1,3.1 + 0,28.1.3.2 + 0,56.1,3.1 = ,4 ;

- y ) = - 1 ,7 ,8 /1 = - , ;

= 13,72 - 1 ,7 ^ /11 = 1,2754; (_v, - f )- = 1,4896 - 0,84- /11 = 1,4254

- ,

T -0 ,3

^1,27 54.1,4254

B ài T rên 100 ru ộ n g , m ỗi có d iệ n tíc h ,3 ha,

người ta b ó n nhữ ng lượiig phán khác (x,) tiế n h n h th eo dõi năníi suất ngô (v/) Kết q u ả q u an sát cho b ả n g

^ i< ợ iig phân

X ị

Năng suất

1 2 3 4 5 r -

14 10 8 — — — 18

15 — 12 7 — — 19

16 — — 28 6 — 34

17 — — — 8 9 17

18 — — — 12 12

n. 10 20 35 14 21 100

T ín h h ệ số tương q u a n m ẫu

Giải: « = 100

Y ^ X ị - + 20.2 + 35.3 + 14.4 + 21.5 = 316;

5 ] y = + 15.19 + 16.34 + + 18.12 = 1586:

Y ^ x f - I l l + l + l + l l + \ = 1154;

Y ^ y Ị = ^ + ^ + ^ + 2.1 + 182.12 = 25308;

Y ^ x ^ i = 1.1 + 2.14.8 + 2.15.12 + 3.15.7 + 3.16.28

+ 4.16.6 + 4.17.8 + 5.17.9 + 5.18.12 = 5156; (x, - x \ y i - f ) = 5 - / 0 = 144,24;

' = 1 - / 0 = 155,44;

- Ỹ f = - / 0 = 154,04

144,24

T /* = 0,9321

V l5 ,4 ,0

1 Cholượng nước m ưa hai địa phương q u a n sát íhời đ iểm khác

6.1.3 Bài tập

87 47 74 86 38 15 41 79

.V, 86 56 84 72 47 17 43 19 88

H ãy xác định hệ s ố tư ơng q u a n mẫu

2 Q u a n sát hai b iến n g ẫ u nhiên X y đ n g thời ờ n h ữ n g thời đ iể m khác n h a u ta có

14360 11350 14140 11540

13860 11400 ỉ 4240 ■ 11450

13650 11400 14250 11465

14400 11560 14630 11640

13900 11500 14080 11450

14350 11450 14350 11500

14210 11400 14020 11400

X ây dựng bảng tương quan tính số tương q u a n m ẫu

T ính hệ số tương q u a n mẫu củ a số liệu

§ HỒI Ọ U Y T U Y Ế N T ÍN H 6.2.1 T ó rn í ắ t lý th u y ế t

I M hình hồi qiiv dơn Iitỵếiì línìi dễ xâv d ự n g có nhiều tính ch ất th ố n g kê rấl tỏt; hav d ù n g đ c m ỏ tả q u an hệ hai biến ngẫu nhién dựa thông tin m ẫu chúng

G iả sử tíỉ có quan sát (.V|, V|), ( Aị , (-V„, v„) củ a m ộí cặp b iế n (X, K) Đ ường hồi quy tu y ến línli Ihực n g h iệ m ỉà

' • - - x + h (2.1)

trong ã /; tìrn theo phươ ng p h áp b ình phươíiíỉ bé c ó c ô n g thức tính n h sau:

â = - ( a )

.-t\2 /=1

tro n g X Y ký hiệu trung bìnlì m ảu cửa m ãư íirưng ứng,

h = Ỹ - X (2.2b)

Từ đ ó ta có th ể viết lại n g thức tính â c h o g ọ n qu a tham số m ẫu biết sau

-a = r ,

tro n g đ ó /■ hệ số tương quan m ẫu; Sỵ c ác độ lệch

ch u ẩn m ẫu (h o ặc độ lệch chuai m ẫu hiệu ch ín h ) C ác ước lư ợ n g

2 Đ ể đánh g iá m ột m hình hồi quy tuyến tính tốt hay k h n g người ta dựa vào nhiều tiêu chuẩn khác Trước hết, ta phải có j /• Ị gần ( n h ta đ ã nhắc đến m ục 6.1) T h ứ hai, phư ng sai sai số m hình, tính đây, phải bé C ô n g thức để tính phương sai sai số m hình trên;

">

ở

1 1-2 (2.3)

3 T a xác đ ịnh k h o ả n g tin cậy - a hệ số a v b; cũ n g kiểm định giả thuyết thống kê liên quan đến c h ú n g Đ ể làm điều để ý

E ( ã ) a , 4 ) = b , v(ả) = v{b}=

2 ^ {a) - x ) f ì ^ { x , - x )

tro n g f7" g iá trị phươ ng sai sai số lý thuyết ước lượng b ằ n g (2.3)

C h ẳn g hạn ta m u ố n tìm khoảng tin cậy - a ch o hệ số tư ơng q u a n tuyến tính ứ,

à - t { n - ; a ) , - -— ;ã + t { n - ; a ) - i ^ = ^ = ^

V Z ( A - , - x ) ^

t y y l * - ? * ã ' ằ ô _

2 y T n g tự cho to án kiểm định giả thuyết ước lượng k h o ả n g khác Đ ể ý giả thiết phân phối chuẩn củ a sai sơ' m hình m ặc n h iên coi có việc ước lư ợng kiểm đ ịn h m ới đạt độ ch ín h xác c ần thiết

6.2.2 C c giải m ẫ u

B ài 1, Số liệu th ố n g kê n h ằm n g h iê n u q u an hệ tổng sản p h ẩ m n ô n g n g h iệ p với tổ n g g iá trị tài sả n c ố định X, củ a 10 n ô n g trại (tín h trê n 100 ha) n h sau

11,3 12,9 13,6 16,8 18,8 22,0 22,2 23,7 26,6 27,5 V/ 13,2 15,6 17,2 18,8 20,2 23,9 22,4 23,0 24,4 24,6 X ác đ ịn h đ n g h i q u y tu y ến tín h m ẫ u (c ủ a J theo x). Sau đ ó tìm p h n g sai sai s ố thực n g h iệ m k h o ả n g tin cậy 95% ch o hệ số góc c ủ a đ n g h i q u y

Giải: T a th iế t lậ p b ản g tín h đ â y (n = 10)

T h e o b ả n g trê n từ c ộ t ta có 19,54;

T cột d ù n g (2 )

1 ^ Y = —y y ,1 ^ ' ' = 20,33;

4 V = ơXị + b yi - ỳi

11,3 13,2 149,16 127,69 14,751 -1,551 2,4056

12,9 15,6 20124 166,41 15,823 -0,223 0,0497

13,6 17,2 233,92 184,96 16,292 0,908 0,8245

16,8 18,8 315,84 282,24 18,436 0,364 0,1325

18,8 20,2 379,76 353,44 J7 0,424 J

22,0 23,9 525,80 484,00 21,920 1,980 3,9204

22,2 22,4 497,28 492,84 22,054 0,346 0,1197

23,7 23,0 545,10 561,69 23,059 -0,059 0,0035

26.6 24,4 649,04 707,56 25,002 -0,602 0,3624

27,5 24,6 676,50 756,25 25,605 -1,005 1,0100

Ỷ { x - x Ị y , - Y ) ^ _ v v

/=1

1 ,6 -1 ,4 ,3

0,6728; 1 ,0 - ,4 ^

b = Ỹ - ã X = 20,33 - 0,6728.19,54 = 7,1835 V ậy đườ ng h i q u y tu y ế n tín h m ẫu có dạng (xem (2 ))

J = 0,67jt: + ,1

D ùng ã » 0,67 = 7,18 để tính ba cột 5, tro n g b ả n g lính, ta có cuối c ù n g

i \2

CT =

10-2 = U 26

Đ ể xác đ ịn h k h o ả n g tin c ậy 95% cho hệ số a, ta c ầ n tín h T = 1,061 = 54,6776 Từ k h o ản g tin c ậ y %

ơ

cần tìm (/(8 ;0 ,0 ) = ,3 ) /

â - 2,306 ơ ơ

Ì Ĩ J ^ X )

= ( ,6 ;0 ,7 )

B ài Q uan sát 40 lần cặp biến (X, Y) ta có số liệu sau

V, \ 0-0,2

0,2-0,4 0,4-0,6 0,6-0,8 0,8-1,0 1,0-1,2

10-15 — — — —

15-20 — — _ _ —

20-25 — - — —

25-30 — — 4 — —

30-35 — — 4 6 — 10

35-40 — — — 6 4 10

4 14 12 40

X ác đ ịn h đư n g hồi q u y tu y ến tính m ẫu

Giải: Đ ố i với b iế n X ta c h ọ n giá trị A'o = 0,7; /;, = 0,2 b iến

, ,, _ 0,7

a V ': — - —

-g i ả V,

!h 0,2 ( x e m m ụ c 4.3); cò n Y c h ọ n V,|

V -

= 27,5; hj = Uị = — — — ^ Bảng s ố trở th àn h

- - -1

- ~ — —

- — — — —

- — — — — —

0 — — — — —

1 — — — 4 6 — 10

2 — — — — 6 4 10

n. 4 14 12 40

N h th ay làm việc với V, k h ô n g n g u y ê n , h o ặc q u lớn, ta tín h tốn với V A-; - ; đề u

/ / ị / Ỉ

là số n g u y ê n k h bé Đ ể ý rằn g sau tín h tốn với Uị v \’

ta có th ể tìm lại k ế t q u ả đ ố i với X ị , th eo công thức

X = v / | + JC();

_ /,202

- /Zj ị,, ;

r = 1/ /Í2 + yo ;

st = h ỉ s ĩ.2^11

V = — 2 ] v,/z,, = — ( - - 2.4 - 1.2 + 14 + 1.12 + 2.4) = - , ; 40

1

40

y , , , , = — ( - - - ] + 0.4 + 1.10 + 2.10) = - ,1 ; ^ ' 40

^ ^ v f = — (9.4 + 4.4 + 1.2 + 0.14 + 1.12 + 4.4) = 2,05;

40 40

/ r = — =- i - ( + 4.8 + 1.2 + 0.4 + 1.10 + 4.10) = 3,45; ^ /í, = (9.4 + 6.2 + 4.2 + 1.2 + 1.6 + 2.6 + 4.4) = 92 Từ cô n g thứ c (2.2) thấy

T a tính

từ

a = / 5,

trong r

n u - ( ũ ) v -(v )^ - 0 ,1 ,0

4 ^ ( ,4 - 0,0225)(2,05 - 0,0 ) 91,7

40.1,85.1,43 0,86

X = vhị + = -0 ,0 ,2 + 0,7 = 0,69;

Ỹ = nh2 + ya = - , 5 + 27,5 = ,7 ;

s ị = 1.43.//, = ,2 ;

S Ỉ = 1,85./ỉ2 = ,2

a = , - ^ ^ « 27,8147; 0,286

b = Y - ầ x ~ - l , 5 S

Đ n g hồi q u y tu y ế n tính thực n g h iệ m là: y = 27,8 Lv - 7.56 6.2,3 Bài tập

1 T h e o kết th n g h iệm đ ộ b ề n củ a loại d â y đ iệ n có đ n g k ín h k h ác n h au người ta c ó b ả n g số liệu sau

Đ ng kính dây X ị 0,6 2,2 2,45 2,6

Lực tối đa >>, 500 560 690 760 850

X c đ ịn h đ n g hồi quy tu y ế n tín h m ẫ u y th eo X B ạn có n h ậ n x ét m ối phụ thuộc ?

2 Số liệu n g h iên cứu n h iệ t độ c ủ a m ột lò xi m ă n g (y,) k h ố i lư ợ n g m ộ t ch ất h o học (Xị) có ảnh hưởng lớn đ ế n p h ả n ứng h o h ọ c c ủ a lò ch o bảng sau;

26 29 36 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68

y i 78,5 74,3 104,3 87,6 95,9 109,2 102,7 72,5 93,1 115,9 83,8 1 3 109,4

X c đ ịn h đ n g hồi quy tu y ế n tín h th ự c n g h iệm c ủ a V th e o X T im k h o ả n g Ún cậy 95% ch o c ác h ệ số hồi quy củ a đ n g hồi

q u y tu y ế n tính

3 T ro n g m ộ t n g h iê n cứu tai n n g iao thông, n g i ta th ố n g k ê g iá trị th iệt hại ( V i ) tố c đ ộ va ch ạm c ủ a phư ng tiệ n đ ã q u y c h u ẩ n (x,):

1 11 16 12 17 13 18

4 14 19 10 15

y, 50 73 106 147 58 81 118

m h ình tu y ến tín h có ý kiến đổ cải tiế n m hìn h ?

4 Người ta n g h iê n cứu số lượng p rõ -tê-in ch ứ a hạt lúa m ì suất lú a 10 r u ộ n g c ù n g k íc h thước kết q u ả đo đạc n h sau:

Năng suất X , 9,9 10,2 11,0 11,6 11,8 12,5 12,8 13,5 14,3 14,4 Tỷ lệ prô-

tê-in y, 10,7 10,8 12,1 12,5 12,2 12,8 12,4 11,8 11,8 12,6

đó củ a X theo >- B ạn có n h ậ n xét hai đư n g h i q u y đó?

5 Số liệu đo đạc thực n g h iệ m suất m ù a m n g (y,) lượng m ưa tro n g n ă m (x,) c h o bảng số:

y-5-15 15-25 25-35 35-45 ^\5-55 55-65 65-75 75-85 85-95 ĩĩy

1,5-4,3 — - - - - — — —'

4 - ,5 1 - - - — — — —

7,5-10,5 - — ỉ - — — — — —

10,5-13,5 — - - - _ — — 4’

13 5-16,3 - - — -

16.5-19,5 — — - - -

19,5-22,5 — — - 2 15

22,5-25,5 — — — 11

n 10 50

sơ m hình Bạn có nhận xét đề x u ất cải tiế n m h ìn h đó?