Ngày 17 tháng 2 năm 2014.. Bài toán: Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết hoặc chưa biết luật phân phối xác suất và chưa biết tham số θ của X. Hãy ước lượng tham số θ bằng phương pháp mẫu..[r]
(1)Chương 6:
ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Yahoo: nguyenphuong1504
(2)Bài tốn: Cho biến ngẫu nhiên X biết chưa biết luật phân phối xác suất chưa biết tham sốθcủa X Hãy ước lượng tham sốθbằng phương pháp mẫu
Đây toán thống kê
Vìθlà số nên ta dùng số để ước lượngθ Ước lượng gọi ước lượng điểm
(3)1 Ước lượng điểm
Các tiêu chuẩn ước lượng
Các phương pháp ước lượng điểm
2 Ước lượng khoảng
Khoảng tin cậy trung bình tổng thể Trường hợp 1: n≥30, σ2biết
Trường hợp 2: n≥30, σ2chưa biết
Trường hợp 3: n<30, σ2biết, X có phân phối chuẩn
Trường hợp 4: n<30, σ2chưa biết, X có phân phối chuẩn
Các tiêu toán khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy tỷ lệ tổng thể
Các tiêu toán khoảng tin cậy đối xứng Khoảng tin cậy phương sai tổng thể
(4)Ước lượng điểm
Bài toán: Giả sử cần ước lượng tham sốθcủa biến ngẫu nhiên X Từ X, ta lập mẫu ngẫu nhiên có kích cỡ n:(X1,X2, ,Xn)
Ta chọn hàmθˆ=f(X1,X2, ,Xn)để ước lượng cho tham sốθ Khi đó, θˆ gọi hàm ước lượng choθ
Ta thường chọn, hàm ước lượng: Chọnθˆ=X= 1n
n
P
i=1
Xi để ước lượng cho trung bình tổng thểµ Chọnθˆ=S2=n1−1
n
P
i=1
(Xi−X)2 để ước lượng cho phương sai tổng thểσ2. Chọnθˆ=Fn= 1n
n
P
i=1
Xi để ước lượng cho tỉ lệ tổng thể p
(5)Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng
Có vơ số cách chọn hàm ước lượng, có vơ số ước lượng tham sốθ cho trước Vì vậy, cần đưa tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng ước lượng Từ đó, chọn hàm ước lượng tốt
a) Ước lượng không chệch: Định nghĩa
Thống kêθˆ gọi ước lượng không chệch tham sốθnếu E( ˆθ) =θ Ngược lại, E( ˆθ),θthìθˆđược gọi ước lượng chệch θ
Ý nghĩa
- Ước lượng khơng chệch ước lượng có sai số trung bình (vì E( ˆθ)−θ=0 )
(6)Ước lượng điểm Các tiêu chuẩn ước lượng
b) Ước lượng hiệu quả: Định nghĩa
Thống kêθˆđược gọi ước lượng hiệu tham sốθnếu ước lượng khơng chệch có phương sai bé ước lượng không chệch củaθ c) Ước lượng vững:
Định nghĩa
Thống kêθˆ gọi ước lượng vững tham sốθ ˆ
θ(X1,X2, ,Xn) P
−→θ Định lý
Nếuθˆlà ước lượng không chệch củaθvà lim
n→∞Var( ˆθ) =0
ˆ
θlà ước lượng vững choθ
(7)Ước lượng điểm Các phương pháp ước lượng điểm
a) Sử dụng đặc trưng mẫu:
F,X,S2là ước lượng không chệch, vững cho p, µ, σ2.
bS2 ước lượng chệch, vững choσ2
Nếu X∼N(µ, σ2)thì X ước lượng hiệu choµ, X∼B(1,p)thì F ước lượng hiệu cho p
b) Phương pháp ước lượng hợp lí tối đa
Nguyên lí hợp lí tối đa: Tìm giá trịθ hàm quan sát(x1,x2, ,xn)sao cho xác suất thu quan sát lớn
Giả sử X có hàm mật độ xác suất f(x)từ mẫu(x1,x2, ,xn)lập hàm hợp lí: L(x1,x2, ,xn, θ) =Qn
i=1f(xi, θ)
Giá trị hàm hợp lí xác suất (hay mật độ xác suất) điểm (x1,x2, ,xn)
(8)Ước lượng khoảng
Cho xác suất 1−α, từ mẫu ngẫu nhiên(X1,X2, ,Xn), tìm thống kêθ1ˆ , ˆ
θ2 cho P( ˆθ1< θ <θ2) =ˆ 1−α
Khi đó,
1−α: độ tin cậy ước lượng ( ˆθ1,θ2)ˆ : khoảng tin cậy ước lượng
ˆ
θ2−θ1ˆ =2: độ dài ước lượng;được gọi độ xác ước
lượng
Với mẫu cụ thể(x1,x2, ,xn),θ1ˆ nhận giá trịθ1 vàθ2ˆ nhận giá trịθ2, đó(θ1, θ2)được gọi ước lượng khoảng củaθ
(9)Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy trung bình tổng thể
Bài tốn: Giả sử tổng thể có E(X) =µchưa biết Với độ tin cậy 1−α, tìm
khoảng tin cậy choµ
Nhắc lại phân phối trung bình mẫu: Trường hợp 1: n≥30, σ2biết: G= ( ¯X−µ)
√
n
σ 'N(0,1) Trường hợp 2: n≥30, σ2chưa biết: G= ( ¯X−µ)
√
n
S 'N(0,1) Trường hợp 3: n<30, σ2biết, X có phân phối chuẩn:
G=( ¯X
−µ)√n
σ ∼N(0,1)
Trường hợp 4: n<30, σ2chưa biết, X có phân phối chuẩn: G=( ¯X
−µ)√n
(10)Ước lượng khoảng Khoảng tin cậy trung bình tổng thể
Trường hợp 1: n ≥ 30, σ2 biết
Khoảng tin cậy đối xứng
x−zα/2√σn,x+zα/2√σn
Khoảng tin cậy bên phải
x−zα√σ
n,+∞
Khoảng tin cậy bên trái
−∞,x+zα√σ
n