Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê phần 1

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI C hu oníi I SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ C yu: P H É P TÍN H XÁC SUẮT §1, S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ CÁC PHÉP T OÁN TRÊN S ự K I Ệ N 1.1.1 T ó m tãl lý yết ^ th u V S k i ệ n k h i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a S i í k i ệ n níịủn nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể hiổii hiên tư ợ n s dó xảy hoục kh ô n g thè’ Káy có diều kiện xác dịnli Ta ký hiệu sư kiện bằiig chữ' iii hoa A B, c Trong lớp kiện nụẫu nhiên có hai kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, kiẹn liíc xáy ta có sư kiện lất yêu (kv hiệu U) kliông xảy ta có kiện h ấ i kh ả (kv hiệu \ ') N s i la x c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c c s ự k i ệ n n h sau: * Tổng: lổní> cua hai kiện kiện chí việc xảy mộl Irong hai kiện trẽn, ký hiệu A + B Tíclr licli c ủ a h a i s ự k i ệ n m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a đồng thòi cá hai kiện, ký hiệu AB Đối lập: hai kiện A Ẵ dirợc gọi dôi lập chí xảy ircMig hai kiện Từ dó dẻ + =(/ 4.4 = \ ' * X ung khắc: hai kiện /\ \ ầ B gọi xiíiìịỉ k h ắ c chúng k h ô n g đ n g thời xảy tức A B = V, * Kéo theo: kiện /4 kéo iheo kiện B ký hiệu ,4 ^ xảy /4 xảy B B * Tương đương: hai kiện /i B gọi Itíơiìí; cíicơììg, ký hiệu /A = B, B B => A Đ ể ý hai phép toán tổng lích có số tính chất củ a phép cộng phép nhân: (a) A + 13 = B + A\ A B = BA: ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { ÁB ) C = A{BC)\ (c) A{B + C) = A B + AC Ngoài dễ dàng chứng minh: /l + A = /l; /lA = /l; Ẩ + = ơ; AU = /ì; A + l/ = /i; /11-' = M ột k iên kêt trực tiêp c ủ a m ột điều kiện xác định kh ô n g thể phân chia th àn h c c kiện k hác gọi s ự kiện sơ cấp Trong nhiều tập ta cần xác định số lượng kiện đồng khả nàng, dẫn đến cần sử dụng đến kê't Giải tích kết hợp * Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử mộl nhóm có thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử Đó mộl nhóm gồm k phần tử khác dược xếp theo thứ lự nhấl dịnh sỏ chinh hợp ký hiệu = /;(/; - -Ắ' + l ) * Chính hợp lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử mội nhóm có thứ tự gồm k phần tử m ỗi phần tử có ihể lặp lại lấy từ lì phần tứ cho N h vậv n h ó m gồm k phần tử g iống \'à xếp iheo thử tự Số hợp lặp ký hiệu * Iloán v ị ; h o ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t l m ộ t n h ó m tử âv xếp th eo mộl thứ tự ký hiệu g m lì p h ầ n Số hoán vị n h c h ín h số c hính hợp ta có p„=n\ * Tổ hợp: t ổ hợp chập Ấ: từ /; phần tử nhóm gồm k phần tử khác lấy từ n phần từ cho (không phân biệt thứ tự) Sô tổ hợp ch ập k từ II ký hiệu ^ _ ^ ^ " ìĩ{n -k)ĩ k' ■ 1.1.2 Các giải mẫu Bài Khi có đ ẳ n g thức A + Giíii: Đẳng thức A + B = A B = AI B kéo theo A (hay việc xảv B kéo theo xảy /l) Bài Cho sơ đổ m ạng điện hình 1.], gồm bóng đèn Việc m ạng diện (sự kiện A) chí xảy cháy bóng đèn (ký hiệu kiện Aị /l,, Aị) Hãy bicLi diễn A theo Aị, I - 1, 2, Giải' Sự kiện A xảy xảy trường hợp: a) Cả ba bó n g đểu cháy; b) C h y h a i b ó n g 3; c) C h y h a i b ó n g v H ì n h '1.1 T đ ó ta có: /\ = /^I /4 , / l + / \ + /Vị /1 ,4 Có thể dùng tính chất việc mắc s o n s song nối tiếp bóng đê’ có mội biểu diẻn khác sau: A = Ụ\ ị + /li ),4 , Bài Sự kiện /4 - có nliất sản phẩm phố phẩm; B - số p h ế p h ẩ m kh ô n g Các kiện sau gì: a) Ã ; b) ; c) A Ĩ Ì : d) Ã B ‘? Giải: a) Dễ thấy A - p h ế phẩm hay cá sản phẩm tốt; b) B - có phế phẩm p h ế phẩm; hay D - có nhiều phê phám (hoặc có nhấl phẩm); c) A B - có phế phẩm; d) Á B = V (không xãy ra) Bài Có 10 viên bi dược đánh số từ đến 10, có viên đỏ viên xanh Rút hú họa viên bi hỏi kiện sơ cấp kiện nào? Giải: Nếu ta quan tâm đến số thứ tư viên bi, có 10 kiện sơ cấp ý chúng đồng khả Còn nêu chi quan lâm đên màu bi, chí có kiện sơ cấp chúng không đồng khả Bài Có cách xếp q u v c n sách lên giá? Giải: Dỗ thấy cách xếp hoán vị cúa phần lử từ sò cách xếp = 5! = 120 Bài Có số điện thoại cúa tổng đài nòi bỏ gồm số cổ chữ số? Giải: Có thể nói tổng đài gổrn 10000 = 9999 sô (do sô 0000 thường không dù n g ) Đ ó cũn g số hợp lặp c h ậ p lừ 10 phần tử ( g ó m ,2 9) Irù di ì - = 9999 ) Bài Một Iiíỉày học số m ôn học Hỏi có bao nliiêu cách xc'p lliòi khóa biếu ngày? Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V m ôn ngày Việc xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli việc chọn môn sỏ' C 'ó đé ý đến thứ lự \'à lặp Từ số cách Aĩ = = 210 Bài Có cách rút quân từ 52 con? Giải: Số h rút số lổ hợp ch ập lừ 32 phần tử 52! = - - = - - = 22100 !49! B i 9* C ó m ấ y c c h x ế p /■ q u ả c ầ u k h c n h a u vào n hộp? Giúi: Mỗi q u ả cầu xếp vào II h ộ p c nhau, nên có thè coi số cách xếp /■ cầu vào lì liộp n h số cách chọn r hộ p (có thể lặp lại có thứ tư) từ tâp lì hôp, vây có Ă' = lì’ 1.1.3 Bài tậ p Cho sản phám A kiện có p h ế phẩm B - dều tốl, Các kiện sau có nghĩa gì: a) /4 + B: b) AB? Chứng m inh công thức Đ M oóc-găng: A + B = A B Chứng m inh; a) AB - (,4 + B)( a + Ìỉ Ị ã + b ) b) Ă B + y\B + Ấ /7 = A « Gọi A, i = , , kiện chí việc bắn trúng xạ thú thứ /' (mỗi người bắn phái), Hãy biểu diễn kiện: Ọ §3.2 BIẾN NGÂU NHIÊN NHIÊU C H IÊ U LIÊN TỤC 3.2.1 T ó m t t lý tluiyốt ÌAiật phân phối xác suất cúa mộl biến ngẫu nhiên chiều {X Y) liên tục xác định nhờ lìàni lìiậr độ xác suất đồng thời Ịịx.y) Mở rộng trường họp chiều, thấy xác suất để điểm n g ẫu nhiên {X, Y) rơi vào miền ứ ) tính bằng; /4 (x e ứ )] = f f,/'(x y)cỉxcỉy ừ) Để ý f { x v) > 0; ( 1) y)clxcly = 1(lấy toàn mặt phẳng) / '( V , M I’ N ếu ta x ác địn h hàm phân phối đ n g thời F(x, v) giống m ục 3.1, dễ thấy /( v ) = ^ ( 2 ) dxcy \ y f{ii,v)cliidv = F{ x , y ) iương đ n g với - X -X Tương tự công thức (1.4), định nghĩa hàm phân plìổi có điều kiện f [ x y ị,y i )- p{x ’k v -cc Đ ối với hai biến X, Y độc lập ta có: F { x , y ) = F, (,v)F2 (.v) h o ặ c f { x , y ) = / | { x ) f , ( y ) 3.2.2 C c giải m ẫ u Bài 1, Biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) có hàm mật độ thời /(•^' v) = ' a[x + V ) JJ ^ ' ’ X + V < /■ Tìm hệ số a Giải: Hệ số a đ ợ c xác đ ị n h từ p h n g trình a f ( x ~ + y - ) d x c l ỵ = ỉ Ọ) S ) hình tròn cực a ^r V + y ^ < r “ Đổi biến sang hệ toạ độ ủ(p q M q = =í> a = — Bài Hàm phân phôi c ủ a biến ngẫu nhiên chiều (X, Y) có dạng: F{x.y) V > 0, y > 0; X < y < Tìm h m mật độ f { x , y ) h m m ật độ có điều k iệ n / ( a |y) 88 Giưi: Theo còng thức (2.2) Irươc liên tìm ,v > V > 0; dh Từ / ( a , v) = ,v < V < c *’r í' e cxõy [0 -X- \ V > 0,,v > 0; V < y < Đ ể tìm hàm / ’(.v v) ta d ù n g cô n g thức (2.3) Đ ầ u tiên tính f-> = 'í' ' ' í/-v, '/(■' • )’K '' = - X V > , y > 0 c - \'' V > , C uối cù n g nêu V > y < -.V /(.v.v) =í> /(.V v) = A > , A < Dễ thấy d o / ( v y) k h ô n g phụ thuộc V (cùng với m iền xác định) nên hai biến X Y độc lập Bài C ho hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập có phàn phối [a, h] Xác định hàm phân phối Giủi\ T a đ ã biết X h\ sô z = X + K /,| f{x) = k h o ả n g [a, khoảng Do hai biến X, Y độc h-u lập nên dỗ thấy: f{^- v ) = ỉ\ ụ)f2 (> ’) = ì (.V \’) e ứX c) Hai b iến X Y phụ th u ộ c vào 3.2.3 Bài tập Cho hàm mật đ ộ đồng thời véc tơ ngẫu nhiên (X, K): /(.V, v) = í/(-v + ,V“ ) < X, y < a) X ác đ ịn h h ằ n g s ố a b) T im h m m ật đ ộ b iên cúa X v Y c) X Y có đ ộ c lập k h ô n g ? d)T im hàm mật độ có điều kiện ,v biết ràng Y e [0,4;0,6 Biết m ột h àm m ật độ đ n g thời /(.V, y ) = r.vv < A < ; < V < a) X ác địn h h ằ n g sô c b) T ìm h m m ật đ ộ biên c) Tim hàm mật độ có điều kiện Y biết rẳng 0.5 < X < 1,5 H m m ật độ đ n g thời cập biến (À', K) có dạng; /(->- .v) 92 ac V > 0; V > a) T im hệ số a b) X V c ó độc lập k h ô n s? Tìin h m mật độ biên mật độ c ó điều k iệ n c ủ a cặp biến (X V) có mật độ xác định giái m ụ c 3.2 C h o hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập tuân th eo luật chuAn c / ( ^ ) Tìm hàm mật độ phân phối c biến n g ẫ u nhiên X- + y C h o cặp (X, y) có phán phối đểu m ặt tròn tâm o bán kính r a) X ác đ ịn h h m phân phối toạ độ X Y b) T ìm h m m ật độ có điều kiện / (3 ’ A') C h o hàm m ậ t độ đồ n g thời cặp b iế n {X, Y) + v v + v ' f { x , y ) = ae a) X c đ ịn h h ằ n g số a b) T im c c h m mật độ có điều kiện Hai m áy tự động làm việc độc lập, xác suất đe m áy sản xuâì sản phẩm tốt tương ứng Pị p^ G iá sử m ỗi m áy làm sản phẩm gọi X, Y tương ứng sò' sản pháni tốt máy H ã y lìm hàm phân phối xác suất đ n g thời cụp (X K) § 3.3 C Á C ĐẬ C SỐ CỦ A BIẾN N G Ẫ U n h iê n N H IỀ U CHIỀU LUẬT CHUẨN HAI C H lỀ U 3.3.1 Tóm tát !ý thuyết Hệ th ống đặc số ta quan tâm cá c kỳ vọng cúa thành phần biến ngẫu nhiên nhiều chiều 93 Đối với biến EX - liên tục ta có (biến chiều): 'a/i {x)dx = rìĩỵ ; EY -cc 'a/ - , (,v)í/.v= n ì y = (3.1) —ClC Còn biến rời rạc ~ ' /' • i i Thực định nghĩa m ô -m e n gốc bậc k + / biến hai c h iề u n h tìĨỊ^i = e { x ^ Y ’ ) v c c w ^ v /77) c h í c c trư ng hợp riêng / = 0, m = /?? = 0, / = M ô-inen trung tâm cấp k + / biến chiều (X.K) đ ịn h n g h ĩa là; I^A./ = Trong trường hợp riêng, chẳng hạn Ả' = 2; / = ta có phương sai biến X\ ^ “ ' ' ' h )" Vy = e ỊY - niy )■ tương tự Đ ặc số thứ quan tâm c ũ n g m ộl trường hợp riêng hi ệp phương sai (X,K), ký hiệu r m < X y )= £ p -/? ;,X ỉ'-'» ỵ )] cov {X,Y) (l-M.,)- Hiệp phương sai độ đo quan hệ hai biến ngẫu nhiên X Y N X v Y tỷ lệ thuận, ta có hiệp phương sai dương, ngược lại X Y tỷ lệ nghịch âm T ro n g nhiều trường hợp người ta quan tâm nhiều đến hiệp phương sai q u y chuẩn Dạng n h m an g tên lìệ s ố tương q u a n X Y xác định sau: W Có thể chứng minh 94 ĩ ' - 1< < Nếu X, Y độc lập, la có r o r ( X , F ) = tương ứng P x Y = Ngược lại nói chung không Trong trường hợp biến ngẫu nhiên II chiều, người ta tập hợp hiệp phương sai, hệ số tương quan, vào m a trận tương ứng gọi m a trận hiệp phương sai ma trận tương quan C hẳng hạn ta xét hệ thống lì biến ngẫu nhiên (X|, X,, , x„) m a trận hiệp phương sai, ký hiệu lử Ỵiị {i,j = , , r với phần định nghĩa sau: M a trận tương q u a n có th n h phần đư n g c h é o b ằ n g Phân phối (X, Y) gọi chuẩn, hàm mật độ có dạng: (x-nix e aị f )(y-nh;) ơị iTTƠy^ơ-yỶÌ - p (3.2) niỵ, niy kỳ vọng thành phần; ỵ ,(Tj độ lệch ch u ẩn tương ứng; p = /7 y J hệ số tương quan Nếu /9 = ta có / ( x , v) = / | ( \ - ) / , ( v) / Ị( y) /-)(>’) mật độ biến ngẫu nhiên có phân phối ch u ẩn c4 '{ìnỵ , c r ị ) ơs \ i n y , c r f ) Từ X y trở thành độc lập (nếu giả thiết chuán nói chung không độc lập, xem bên trên) 3.3.2 Các giải mầu Bài G iả sử ta có phân phối xác suất đổ n g thời theo bảng (x e m giải m ụ c 3.1) 95 1 0,15 0,20 0.10 0,35 0,05 0.15 T ín h hệ số tư n g q u a n X v Y Giải: Cáí p h â n phối biên c ú a X Y tìm đưọc J, 0,50 ,2 0,23 V, p, 0.45 0.55 từ k>' vọng cua chúng nix - 1.0.50 + 2.0,25 + 3.0,25 = 1.75; I7ìy = 1.0,45 -f 2.0.55 = 1,35; = 0.6 = 0.25 Bâv tci tính E (XV) E{XY) = z z ^ i y j P u = 1■1-0.15 + 1.2.0,20 + + 1.3.0,10 + 2.1.0.05 + 2.3.0,13 = 2.65 ĩ ĩi ệ p p h n g sai cov{X, Y ) = £'[(x - V) = E { X Y ) - m ỵ m Y = - 5 = -0,0625 Hệ số tư ng q u a n , , £ ^ „ z M É ÌL _ L S ()5 ^Vx.Vy ■^Ú.69X)25 96 Bài H àm mật độ đồng thời cúa (X, Y) {X Y toạ độ biên độ d a o độ n g thùng xe ô tô chuyổn đ ộ n g ) là; —sin(,v + v) (.V, v) e ứ ) (.V, v) Ể iZ> ,íZ) m iề n i (x , v ) 7X ■0 ^ V < — < V < n > X c đ ịn h hệ sỏ' tư n g q u a n c ủ a X, Y Giải: Đ ầ u tiên ta tìm m X ni T heo c ô n g thức (3 ) ta có: y +cy;^ X mx = x f|(x )d x = x f ( x ,y )jx d y —oc —cr ^ n:/2 xsin (x + v)dxdy = — x ( s i n x + r o s x ) d x = — , :) ^0 ' /2 rìiy ( tính đối xứng ciia X v K) T iế p tục tính p h n g sai: Ttn.ĩĩH \ = £ ( x ' ) - (/ĩx)" = — , _ + v)dx(Jy - m ị (I 7T + ^7Ĩ ~32 16 ỹ — ỵ —ơ ỵ ỵ — 7T- + 8;r - 32 H iệp ph n g sai tính n h sau; J cov{X, Y ) = E { X Y ) - nỉỵ nìy = Kllnll AT sin{x + y ) dx dy — 0 n - 16 97 _ - \6- n 16 rr, íy; v(X,K) ;r-1 -;r^ Từ ta có: p ^ - = -— - = —-— — « -0 cr^CTy ;r + / T - B i C h o h m m ật độ đ n g thời củ a biến (X, Y) Jv-l)^ - /'(.V }') = ac a) X c đ ị n h a b) X Y c ó độc lập k h ô n g ? c) T í n h x ác suất xảy đ n g thời X < - , Y > + o: -fX Gi ởi: a) D ù n g c ô n g thức / - y + cr clx a v)r/,ví/v = 1; ta có (.V — 'X (y -l)“ e (ịy - [ -r +x A - dx - - Ị Ĩ tĨ , la có Dùng tích phân -le-P o a-x ô n g (.v+3)~ ^ dx ^ đổi biến lí ^ -X +r //“ ] = ị e ' chi = l ^ ĩ n Ì -Cf •ỉ y ^ í/y đổi biến // = V- u e X T đ ó I o ^ Ị Ĩ k ■'J2 n = A a n = Suy a = 4/t b) C ó Ihể b iểu diên 98 /T /(.v.v)= V't s An 2^7^ -ỊĨk í' - = /l(- v )/2 ( v )- (v) hàm mật độ biên X \'à Y (chú ý /'i (.v) chúng biến có phân phối chuấn chiều) Vậy X v Y độc lập c) D o X Y dộc lập n ên P ( x < - Y > ) = p ( x < - ) p ( Y > ) Do X ~ o f (-3 4); Y - ( 1, 1) n ê n t a có n g a y /^(X < - ) = : 4-1 p { Y > ) = i\5 + ệ V 0,99865 từ xác suất c ần tìm b ằ n g 0,5.0.99865 ^ 0,5 B i Biên độ dao đ ộ n g n g ẫ u n h iê n c ủ a th n h tàu th u ỷ biến ngẫu nhiên luân th eo luật phân phối Rê-le; c ơ ~ phương sai góc ng h iên g T ìm xác suất để b iên độ dao độ n g bé trung bình; lớn trung bình Giải: Trước hêt la tìm EX, X biên độ d a o đ ộ n g Irong đầu bài: e la dx = In Vĩ Mặl c tính h m phân phối c ủ a X k h dể; ) = c (x>0) 99 Từ đó; p{x < niỵ ) = p Ơ Vĩ ^ IT Ĩ x< in Vĩ =F -F(o) ĩỉ = suy ^0,544 p[x > /77;c) = - p{x < m ỵ ) = 0,456 3.3.3 Bài tậ p Tính hiệp phương sai hệ số tương quan cặp (X F), biết luật phân phối đồng thời cho: -4 -2 - 0,00 0,25 0,00 0,00 -1 0,00 0,00 0,00 0,25 ly, ' 0,25 0,00 0,00 0,00 : 0,00 0,00 0,25 0,00 i Cho cặp {X, Y) có h m m ật độ đ n g thời; , ĩr[x^ ^ — «• + y ^ + l ) Xác định kỳ vọng th àn h phần h iệp phươ ng sai Xác định m a trận p h n g sai củ a c ặ p biến (X, Y) biết ràng h m phân phối đ n g thời có dạng: F ( x ,y ) = sinx siny, 7T n 100 ế u X > y > 7T 0 Y b) |A^| > Y c) X > |y d) X < e) Đ ồng thời X < y < 101 [...]... tốt Giải- D ù n g c ô n g thức B é c -n u -li với lĩ = ỈO, p = 0,9 a) X ác suất c ần tìm là: /^,„(l) = c , '„ 0 , 9 ' 0 , r ’ = 0 , 9 1 0 \ b) Xác suất cần tìm là: 1 - (p,,, (o) + /^,0 (l)) = 1 - 0 ,1 - c ; , 0 ,9 ' 0 , 1' ^ = 1 - 0 ,9 1. 1 o v Bài 10 G ieo 5 lần một đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất xuất hiện; a) Đ ú n g 1 lần mặt sấp; b) H ai lầ n m ặt sấp; c) íl n h ấ t m ộ t lần mặt sấp 27 Giải: ... < a) Tính xác suất để chiếc kim cắt một đường thẳng nào đó 21 § 1. 3 CÔNG THỨC N H Â N V À CỘNG XÁC SUẤT 1. 3 .1 T óm tát lý thuyết 1. Ta bắt đầu bằng khái niệm xác suất cố điều kiện, ký hiệu là p { a b ) và được hiểu là xác suất xuất hiện sự kiện A biết rằng đã xuất hiện sự kiện B (ngoài bộ điều kiện gốc) N ói chung p ( a \ b ) : a P { a ) Xác suất có điều kiện có các tính chất như xác suất bình thường... 11 Một gia đình có 4 con Tim xác suất sao cho trong số đó (giả sử xác suất sinh con trai là 1/ 2): a) Có hai con trai; b) K hông quá một con trai 12 Tín hiệu được phát 4 lần với xác suất thu được của mỗi lần là 0,4 a) T im xác suất nơi thu nhận được tín hiệu đó; b) N ếu m uốn xác suất thu được tín hiệu không bé hơn 0,95 thì phải phát bao nhiêu lần? 13 Một mạng điện gồm 3 bóng mắc nối tiếp nhau với xác. .. độc lập so với ngày khác, như vậy xác suất để nó làin được tốt trong 5 ngày sẽ bằng tích củ a xác suất làm việc tốt trong từng ngày, từ đó xác suất cần tìm là: (l - ơ ) ' ^ = (l - 0 , 0 1 ) ' ’ sí 1 - 5 a = 0,95 (do a rất bé) Bài 9 Một thiết bị có 10 chi tiết với độ tin cậy (xác suất làm việc tốl trong một khoảng thời gian nào đó) của m ỗi chi tiết là 0,9 Tim xác suất để trong khoảng thời gian ấy;... - - - = 1/ 406 b) íính xác suất của sự kiện đ(5i lập: không có học sinh giỏi trong số 3 ngirời được chọn ngẫu nhiên đó sỏ cách thuận lợi chínli là số n h ó m gồm 3 phần tứ lừ 25 phầii tứ (sô học sinh không pluii là học sinh giỏi là 25) Từ đó dẻ dàng thấy xác suất cần lìm là; r^- 11 s 1 - - ^ = 88/203 16 Bài I I Ciiia thành hai phần hăiiii nhau 10 viên bi, trong đó có 4 bi đõ và 6 bi xanh Tìm xác sLiaì... người khác lại cho rằng trong 10 người đến chữa có chắc chắn 8 người khỏi bệnh Đ iều đó đúng không? Giải: Cả hai người khẳng định đều sai X ác suất xảy la trường hợp thứ nhất là 28 p^(4) = c ^ 0 ,8 ^ 0 ,2 ' = 0 ,4 0 9 6 Còn xác suất xảy ra trường hợp thứ hai F,o(8) = C,V 0,8^0,2- * 0 ,3 0 1 8 1. 3.3 Bài tập 1 Cho biết các xác suất P{A), P(B) và P(AB) H ãy tìm các xác suất p Í\a b /) và P\B A/ V 2... 1 2 '1 2 P{ a B, )=P{A, )p(fí2)+ ^^(^2)P{B ^) A 1 ^ -1 1 1 2 '1 2 ~ 1 8 23 (để ý là A, độc lập với Bj j ^ i, và Aị = B ị , A 2 = B-, ) Bài 3 Một phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7; 0,8 và 0,9 Tim các xác suất sao cho trong vòng một giờ; a) Có hai bệnh nhân cần cấp cứu; b) Có ít nhất một bệnh nhân khòng cần cấp cứu Giải: ... sao cho trong mỗi phép thử sự kiện ^ X.UÍÚ hiện với xác suất bằng /;, người ta hay q u a n tâm đến xác suất để A xuất hiện đúng Ả lần, ký hiệu là p„{k) Xác suất đó được tính theo ró/;ẹ thửc Béc-nii-li: 22 Đ ể ý rằng công thức này có nhiều cách m ở rộng khác nhau 1. 3.2 Các bài giải mẫu Bài 1 Một tổ có 4 nam và 3 nữ Chọn liên tiếp ra hai người Tim xác suất để a) Cả hai là nữ; b) Có một nam, một nữ Giởi:... sấp 27 Giải: X ác suất để xuất hiện mặt sấp (hoặc mặt ngửa) bằng 1/ 2 / b) p , ự ) = c 32 16 c) Ta tính qua sự kiện đối lập là không có xuất hiện mặt sấp tức là cả 5 lần đều mặt ngửa, từ đó xác suất cần tìm bằng (chú ý 0! = 1 theo quy ước) I-Q 0 v2 1 31 32 32 B à i 11 Tỷ lệ p h ế phẩm của một lô hàng là 1% Hỏi cỡ mẫu cần ch ọ n ra là bao nhiêu (chọn có hoàn lại) sao cho với xác suất > 0,9 5 trong... ừ đó rniền thuận lợi cần tim là tam uiác CDE Do d iệ a tích • " r tam giác này bãn« 1/ 4 diện lích tam giác Á O B nên xac suàt cần tìm là Hình 1. 3 = 1 /4 19 1. 2.3 Bài tập 1 Lấy ngẫu nhiên ra 3 chữ cái từ 7 chữ TO A N TIN và xếp thành một lừ Tini xác suất để thu được từ TAN 2 Trong 10 sản phẩm có 2 p h ế phẩm Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm chọn được ngẫu nhiên có: a) Một phế phấm; b) ít nhất m ột p