Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê phần 1

Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có sư kiện lất yêu kv hiệu là U và nếu kliông bao giờ xảy ra

T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ

HƯỚNG DẨN GIẢI

BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

1 S ư k i ệ n là k h á i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a

S i í k i ệ n n íịủ n nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ể

hiổii như là một hiên t ư ợ n s nào dó có thể xảy ra hoục k h ô n g thè’ Káy ra khi có m ột bộ diều kiện xác dịnli Ta sẽ ký hiệu c ác

sư kiện bằiig các chữ' cái iii hoa A B, c

Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: với mộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta có

sư kiện lất yêu (kv hiệu là U) và nếu kliông bao giờ xảy ra ta có

sự kiện h ấ i k h ả (kv hiệu là \ ').

N s ư ừ i la x á c d ị n h q u a n h ệ uiĩi'a c á c s ự k i ệ n n h ư sau:

* Tổng: lổní> c u a hai sự kiện là m ột sự kiện chí việc xảy ra

ít nhất mộl Irong hai sự kiện trẽn, ký hiệu là A + B.

Tí cl r licli c ủ a h a i s ự k i ệ n l à m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r a

đ ồng thòi cá hai sự kiện, ký hiệu là AB.

Đối lập: hai sự kiện A và Ẵ dirợc gọi là dôi lập nếu luôn

chí xảy ra một ircMig hai sự kiện ấy Từ dó dẻ

+ 4 = ( / 4 4 = \ '

* X u n g khắc: hai sự kiện /\ \ ầ B đ ư ợ c gọi là xiíiìịỉ k h ắ c nếu

c h ú n g k h ô n g đ ồ n g thời xảy ra tức là A B = V,

* Kéo theo: sự kiện /4 kéo iheo sự kiện B ký hiệu là ,4 ^ B nếu xảy ra /4 thì xảy ra B.

* Tương đương: hai sự kiện /i và B được gọi là Itíơiìí; cíicơììg,

ký hiệu là /A = B, nếu B và B => A

Đ ể ý là hai phép toán tổng và lích có m ột số tính chất c ủ a các phép cộng và phép nhân:

là s ự kiện s ơ cấp T rong nhiều bài tập ta cần xác định số lượng

các sự kiện đ ồng khả nàng, dẫn đến cần sử d ụng đến các kê't quá dưới đây

2 Giải tích kết hợp

* Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử là mộl n h ó m có thứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử đó Đ ó chính là mộl nhóm g ồ m k phần tử khác nhau dược xếp theo một th ứ lự

nhấl dịnh s ỏ các c h in h hợp như vậy ký hiệu là

= /;(/; - -Ắ' + l )

* C h ín h h ợ p lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử là mội nhóm có thứ tự g ồ m k phần tử và m ỗ i p h ầ n tử có ihể lặp lại lấy

6

từ lì p h ầ n tứ đã cho N h ư vậv đ â y là m ột n h ó m g ồ m k phần tử

có thể g i ố n g n h a u \'à được x ế p iheo th ử tự Số c h ín h hợp lặp như vậy ký hiệu là

* I l o á n v ị ; h o á ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t ử l à m ộ t n h ó m g ồ m lì p h ầ n

tử âv đ ư ợ c sắp xếp t h e o m ộl th ứ tự nào đó Số các h o á n vị n h ưvậy ký h iệu là c h ín h là số các c h ín h hợp và ta có

p „ = n \

* Tổ hợp: t ổ hợp c h ập Ấ: từ /; phần tử là một nhóm g ồ m k phần tử khác nhau được lấy từ n phần từ đã c h o (không phân biệt thứ tự) Sô các tổ hợp c h ậ p k từ II ký hiệu là

Bài 2 Cho sơ đổ m ạ n g điện trên hình 1.], gồm 3 bóng đèn

Việc m ạn g mất diện (sự kiện A) chí có thể xảy ra do cháy các bóng đèn (ký hiệu là các sự kiện Aị /l,, và Aị) Hãy bicLi diễn A theo các Aị, I - 1, 2, 3.

Giải' Sự kiện A xảy ra khi

xảy ra một trong 3 trường hợp:

a) Cả ba b ó n g đểu c háy;

b) C h á y h a i b ó n g 1 v à 3;

c ) C h á y h a i b ó n g 2 v à 3 H ì n h '1.1

Giải: a) Dễ thấy A - k h ô n g có p h ế phẩm hay cá 4 sản phẩm

đều tốt; b) B - hoặc có một p h ế p h ẩ m hoặc không có p h ế phẩm; hay D - có nhiều nhất một phê p h á m (hoặc có ít nhấl 3 chính phẩm); c) A B - có đ úng 1 p h ế phẩm; d) Á B = V (không xãy ra).

Bài 4 Có 10 viên bi dược đ á n h số từ 1 đến 10, trong đó có 6 viên đỏ và 4 viên xanh Rút hú họa ra một viên bi hỏi sự kiện sơ cấp ở đây là sự kiện nào?

Giải: Nếu ta quan tâm đến s ố thứ tư của viên bi, thì có 10 sự

kiện sơ cấp và chú ý là c húng đ ồng khả năng Còn nêu chi quan lâm đên m àu bi, thì ở đây chí có 2 sự kiện sơ cấp và chúng k h ô n g đồng khả năng

Bài 5 Có bao nhiêu cách xếp 5 q u v c n sách lên giá?

Giải: Dỗ thấy một cách xếp là hoán vị cúa 5 phần lử từ đó sò

cách xếp là = 5! = 120

Bài 6 Có bao nhiêu số điện thoại cúa một tổng đài nòi bỏ gồm các số cổ 4 c hữ số?

Giải: Có thể nói n g ay r ằ n g t ổ n g đài gổrn 10000 1 = 9999

sô (do sô 0 0 0 0 th ư ờ n g k h ô n g d ù n g ) Đ ó c ũ n g c h ín h là số c á c chính hợp lặp c h ậ p 4 lừ 10 p h ầ n tử ( g ó m 0 1 ,2 9) Irù di ì

- 1 = 9 9 9 9)

8

B ài 7 Một Iiíỉày học 3 m ón trong số 7 m ô n học Hỏi có bao nliiêu cách xc'p lliòi khóa biếu trong một ng à y ?

Gidi: Già sứ có thc chọn lùy V các m ô n trong ngày đó Việc xép thời khóa bicu Irong ngày ấv chínli là việc chọn ra 3 môn trong sỏ' 7 món C 'ó đé ý đến thứ lự \'à k h ô n g có lặp Từ đó số cách

Giúi: Mỗi q u ả c ầu có thể xếp vào II h ộ p k h á c nhau, nên có

thè coi s ố c á c h xếp /■ q u ả c ầu vào lì liộp n h ư s ố c á c h c h ọ n ra r

h ộ p (có thể lặp lại và có t h ứ tư) từ tâp lì h ô p , vây có Ă' = lì’

4 Gọi A, i = 1 , 2 , 3 là các sự kiện chí việc bắn trúng của xạ

thú thứ /' (mỗi người bắn một phái), Hãy biểu diễn các sự kiện:

a) Có đ ú n g 1 người bắn trúng.

b) Có ít nhất 1 người bắn trúng

5 G i e o m ột con xúc sắc c â n đối đ ồ n g chất và gọi là /4, là sự

k iệ n xuất hiện m ặ t i c h ấ m (/ = 1 , 2 , 6) Các sự kiện sau c ó ý

8 M ộ t lô h à n g có 100 sản p h ẩ m C ó bao nhiêu cách chọn ra

5 sản p h ẩ m để đ e m đi kiểm tra?

9 C ó b a o n h iê u số điện thoại c ó các c h ữ số khác nhau ở m ột tổng đài nội bộ có c ác chữ số chỉ c ó 4 c h ữ số?

10 Có b a o n h iêu số tự n h i ê n có 5 c h ữ số?

I I M ộ t giải b ó n g đá g ồ m 12 độ i, mỗi đội phải đá với đội

k h á c 2 trậ n trên sân nhà và sân k h á c h H ỏi phải tổ chức bao

i4* C ó b a o n h iê u số điện Ihoại g ồ m 4 chữ số có đ úng mộl cặp c h ữ s ố trù n g ?

15* C ó 6 người vào thang m á y lên tầng cúa rnột toà nhà có 4 tầng lầu Có b a o nhiêu c á c h lên t ầ n g sao c h o tầng 4 có 2 người, tầng 3 có m ột người?

10

§1.2 C Á C Đ Ị N H N G H Ĩ A X Á C SU ẤT

1.2.1 T ó m tắt lý thuyết

G i á s ử trong tổng s ố II kết c ụ c đ ồ n g khá n ă n g c ủ a m ột phép thử (tức là khi thực hiện m ột bộ đ iề u kiện xác đ ịnh) có đ ú n g m

kết c ụ c th u ậ n lợi c h o việc xuất h iệ n A, khi đó theo đ ịn h n g h ĩ a cổ điển, xác suất xuất hiện /4 sẽ là;

p(.4) = -

II

Đ ỏ i khi người la sử d ụ n g khái n iệ m tần suất xuất h iệ n /4, đó

là ti số giữa số M các thử n g h i ệ m c ó xuất hiện ,4 với t ổ n g s ố N

các t h ử nghiệm Đ â y là định n g h ĩ a Ihòng kê của xác suất và có

thê' d ù n g tỉ số M / N n h ư là m ột xấp xi của xác suất.

N g o à i ra còn có các đ ịn h n g h ĩ a khác của xác suất n h ư các định n g h ĩ a theo hình học, theo tiên đ ề

C h ú ý là khi lính xác suất c ó th ể d ù n g những tính c h ấ t sau:

1.2.2 C á c bài giải m ầu

B ài 1 Tim xác suât khi xêp n g â u nhiên một bộ sá c h g ồ m 5 lập lên giá sách thì nc) được x ế p đ ú n g tlìứ tự

Giải: Sô c á c h xếp bộ s á c h 5 tậ p c h ín h là sỏ h o á n vị c ủ a 5

p h ầ n tử P;, = 5! = 120 Đ ể bộ s á c h được xế p đ ú n g t h ứ tự c ó 2

cách (từ trái qua pliái hoặc n g ư ơ c lại) Từ đó xác suãl cần tìm

là 2 / 1 2 0 = 1/60

Bài 2 Có 5 m ánh bìa được đánh số từ 1 đến 5 C họn hií họa liên tiếp ra 3 m ánh và xếp thành một số có 3 chữ số Tìm xác suất dể số đó là số chẵn

Guh: Do ta chọn liên tiếp 3 m ảnh không hoàn lại và có đc ý

đên thứ tự nên sô cácli được chọn sõ chính là sô các chính hợp chập 3 từ 5:

60Bài 3 Gieo đ ồ m g thời hai con xúc sắc cân đối d ồ n g chấl Tìrn các xác suất:

a) T ổ n g số c h ấ m xuất h i ệ n b ằ n g 5

b) H iệu số c h ấ m xuất h i ệ n có trị tiivệt đối bằng 3

Giải: Ký hiệu ni lì là số c h ấm xuất hiện trên các con XLÌC sắc

tương ứng thì kết quả của p h ép thử chính là cặp số {lìui) vói

Bài 4 T rong liổp bi có 6 viôn đo và 4 viên Irắng ciin<: kícli

cỡ, Rúl hú họa ra 2 \'iên bi T ín h xác suất cỉc troiig dó có:

a) 2 viên đỏ;

12

c) Gọi A là sự kiện bi thứ hai m àu đỏ Số cách th u ậ n lợi cho

A bao gồm: 6.5 cách đối với trường hợp viên đầu c ũ n g đỏ và 4.6

cácli đối \'ới tnrờiig hợp viên đầu Irắng Từ đó xác suất: /^(.4) = ( 3 0 + 2 4 ) / 9 0 = 3 / 5

Chú ý nếu theo c ác h k h ô n g q u a n tâm đến thứ tự thì mọi việc

dơn giản hơn: A sẽ lương đương với sự kiên viên dầu là đỏ và xác

suãt để rút được một \-iẽn bi dó rất dề lính là 6/10 = 3/5

Bài 5 T im xác suất đê’ khi xếp ngẫu nhiên 5 người q u a n h 1 chióc bàn tròn 5 gliẽ lliì 2 người clịnh irirớc được ngồi c ạn h nhau

(/uìi: Dỗ thấy lổng sỏ cách xếp 5 imiiời là sõ các h o án vị cúa

3 và bàng = f ) ’.==ì20 Do vai Irò của 3 người n h ư nhau nên

k h ô ii” mất tínli tổng quái la có tlic bãl clầLi lính từ bất kỳ người lùu) ch ẳn g hạn (ừ một Irong liai người dịnh Irước Người ih ứ nhất

Irong hai người đó chỉ có 3 cách xếp và để được ngồi cạnh người đó ngvrời thứ hai chí còn 2 cách xếp; còn đối với 3 người còn lại có tất

cả 3! cách xếp, T ó m lại số cách xếp thuận lợi cho sự kiện bài ra sẽ

là 5.2.3! = 60; từ đó xác suất cần lìm là 60/120 = 1/2

B ài 6 T r o n g m ột buổi liên hoan có 6 c ặ p n a m nữ, trong đó

có 3 c ặp là vợ c h ổ n g Chọn hú họa ra 3 người 'D m xấc suất để trong đó:

P{ a ) = l - f ( ã ) = 1 - 3 1 0 / 220 - 19 / 22.

l ì à i 7 Có 10 m ả n h bìa được đ á n h số từ 0 đến 9 Lấy hú họa

ra 2 inảnh bìa và x ế p thành rnộl số có 2 c h ữ số; tìm xác suâì để

số đó chia hết c h o 18

14

Giài: K ý hiệu sô' xếp được là N = lOí/ + h, Irong đó

0 < a h < 9 Ta thấv N chia hết cho 18 thì phải c h ẵ n {h c h ẵn ) và

chia hết cho 9 {a + I) chia hết cho 9) Dề thấy tống s ố c á c h ch ọ n

Số cách c h ọ n thuận lợi c h o sự kiện cần tìm xác suất c h ín h là tích

của số c ách c h ọ n / p h ế p h ấm từ ÌÌI với số c á c h c h ọ n k - I chính

b) T o a đầu có 3 k h á c h và toa th ứ hai có 4 k h á c h ;

c) M ộ t toa có 3 k h á c h và một toa k hác c ó 4 k h á c h (toa còn lại lất nhiên có 3 k h á c h tro n g trường hợp b và c)

Giài: Mỗi kliách c ó 3 k h ả n ãn g k h á c n h a u l ê n c á c to a tàu,

vậy 10 người sẽ c ó 3"' c á c h lên tàu k h á c n h a u ( c h í n h là A|o)

a) Đ ể toa dầu có 3 k h á ch sẽ có C|',) các h xếp; sau đó 7 k h á ch CÒII lại sẽ có 2’ cácỉi xếp lẽn liai íoa CÒII lại T ừ đó số c á c h xếp Ihuận lợi sẽ là C | „ 2 ' và xác suất cần tìm là:

r - ’ 2 ’ 10—

i 0

5120/19683

b) Để loa dđu cổ 3 khách sẽ có Cj^j cách xếp, sau đó để loahai có 4 k h á c h có C j cách và để toa ba có 3 khách còn lại là c ị

3 = 2 8 0 0 /6 5 6 1.

Bài 10 Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có 5 giỏi, 10 kliá

và 10 trung bình, Chọn hú họa ra 3 người, hãy tìm các xác suất:

a) Cá 3 đều là học sinh yếu;

b) Có ít nhất m ột học sinh ỉiiỏi

Giải: Số c á c h c h ọ n ra 3 người tro n g số 30 người dễ thấv là

c ị , = 4060.

a) Đổ cá 3 đều yếu có nghĩa là phải chọn được 3 người Irong

số 5 học sinh yếu Số cách chọn đó là CỊ = 10 và xác suất cần

tìm sẽ là: - - - = 1/406

b) íính x á c suất của sự kiện đ(5i lập: không có học sinh giỏi trong số 3 ngirời được ch ọ n ngẫu nhiên đó sỏ cách th u ậ n lợi chínli là số n h ó m g ồ m 3 phần tứ lừ 25 phầii tứ (sô học sinh không pluii là học sinh giỏi là 25) T ừ đó dẻ dàng thấy xác suất cần lìm là;

1 - - ^ = 88/203

16

Bài I I Ciiia thành hai phần hăiiii nhau 10 viên bi, trong đó

có 4 bi đõ và 6 bi xanh Tìm xác sLiaì dê mỗi phần đ ề u c ù n g số bi

(ìiár Tron« bài lập này cần v\ác định rõ khái n iệm “ xếp ngẫu

nhiên" Ta xét hai trường hợp :

a) Các q u á cầu được phân biệt rõ r à n g sao c h o sự h o á n vị

hai q u á ở hai h ộ p k h á c nhau sỗ cho la hai cácỉi x ế p k h á c n h a u

(đây là íhònR kê B ô n -x ơ -m a n ) N h ư \’Ạy l ổ n g các k ết c ụ c đ ổ n g khá nãim là (mỗi quả cáu có lliế được xếp vào bất c ứ hộp nào

k h ỏ n g phụ t h u ộ c vào cácli xcp íỊLiá cầu k h á c - x e m bài 9 m ụ c

1.!) Số kết cục ihuạn lọi đế xép k quả c ầu vào ỉì h ộ p xác định

Hỉnh 1 2

C í k h biểu d i ễ n này cho thấv 2 vạch đứng n^oài c ù n g k h ô n g

được di c h u y ể n còn lại n ] vạch đứ n g và k c h ấ m được sắp

xếp tùy ý N ế u ta đổ i chỗ các c h ấ m cho n h au tương ứng thì do tính k h ô n g p h â n biệt của các phần tử la k h ô n g nhận được cách xếp m ới C ũ n g như vậy nếu ta h o á n vị các xạch đứng N hư ng nếu m ỗ i lần đổ i c h ỗ vạch đ ứ n g với c h ấm ta sẽ ihii được mộl

c ách x ế p m ớ i Vì vậy tổng sỏ kết c ụ c đ ổ n g k h ả n ă n g sẽ là;

{ k + n - [ ) \

tức b ằ n g sô h o á n vị của Ấ: + /; - 1 phần tử {k c h ấ m và !1 - 1

vạch) c h ia c h o sỏ hoán vị củ a k c h ấ m và sỏ hoán vị c ủ a /í I vạch đứng

Số kết cụ c th u ận lợi dể xếp k q u ả cầu vào n hộp định trước

bằng 1, vì việc hoán vị quả cầu không sinh ra cách xếp mới 'ĩ ừ

lặp c h ậ p k lừ n p h ầ n tử Irong giải lích kếl hợp.

B ài 13 Đ ư ờ n g dây c áp n g ầ m nòi một tổng đài với một Irạrn dài 1 k m T í n h xác suất cú a sự kiện dây cáp bị đứl lại nơi cách t ổ n g đ à i k h ô n g dưới 80()m

(ridì: R õ rà n g nếu dây c á p đ ồ n g c h ất thì k h ả n ă n g nu bị dứl

tại m ộl đ i ế m bâì kỳ là như n h a u và lập các kết cục đổiig khá năng cổ i h ể b i ể u llìị hằng đ o ạ n nòì tố n g dài với trạm, Các kết

cục i h u ậ n lợi c h o sự kiện A - c h ỗ đứt c á c h lổng đài k h ô n g

dưới 8 0 0 m - đ ư ơ c biểu thi bởi đ o a n có đồ dài 200m

18

Từ đỏ

1000

Bạn dọc thử tìm xác suất cúa sự kiện trên với giả thiết là càng cách xa tổ n g đài khả năng dây c á p hị đứt càng lớn (tírc là tỉ lệ thuận với kh o ả n g cách từ điểm đúl tới tống đài)

Bài 14 Cho mộl đoạn th ẳn g và bẻ gẫy ngẫu n h iên th àn h 3 đoạn T im xác suất để 3 đoạn đó tạo t h à n h được m ộ t tam giác

Gidi: N h ư bài 13 ta dùng định nghĩa theo hình học Coi đoạn

thầng là một đoạn trên Irục số từ 0 đến a Ký hiệu ,r là tọa độ điểm chia thứ nhất \'à y là toạ độ điểm chia thứ hai thì dễ thấy 0 < X < y

< a v à b a đ o ạ n s ẽ c ó c á c đ ộ d à i t ư ơ n g ứ n g X , V - X v à a - y.

Đ ạt tương ứng mỗi cách chia với 1 đ i ể m trong hệ toạ độ Đ ề

các M(x, y) m iền đồng khả năng iưưng ứng sẽ là ta m giác A O B

(xem hình 1.3) Ta cần tìm m iề n th u ậ n lợi cho sự k i ệ n đẩu bài yêu cầu M u ố n tạo ra môt tam giác thì tổng hai c ạ n h phải lớn hơn cạnh còn lại:

tam giác này bãn« 1/4 d iệ n

lích tam g iác Á O B nên xac suàt c ầ n tìm là = 1 / 4

T G iả sứ có 10 k h á ch hàng vào một cửa h àn g có 3 q u ầy , mỗi

người chi tới một quầy Tìm các xác suất:

9*, Trong rạp c ó n chỗ ngồi và tất cả vé đã được bán hết G iả

sử các khán giả n g ồ i hoàn toàn ngẫu nhiên Tim xác suất để không có khán giả nào ngồi đúng chỗ ghi trên vé của mình.

10’, Tim xác suất để khi rút hú họa ra u con bài từ một c ỗ bài

tú lơ khơ 52 con thì chúng có giá trị khác nhau (chẳng hạn nếu

có át thì chỉ c ó một con á t ).

diêm, mỗi bao có n que Mỗi khi cần diêm anh ta rút hú họa một bao Tìm xác suất sao cho khi nhà toán học lần đầu rút phải bao rỗng (đã hết diêm ) thì trong bao kia còn lại k que { k = 1 , 2 , /ỉ).

12 Bỏ ngẫu nhiên 6 lá thư vào 6 phong bì đã viết tên của 6 người nhận Tính các xác suất:

14 Hai người hẹn gặp nhau trước cửa nhà hát từ 10 g iờ đến

10 giờ 30 với quy định người đến trước chờ người kia trong vòng

10 phút, nếu không gặp thì bỏ đi Tính xác suất để họ gặp được

nhau, biết rằng m ỗi người có thể tới điểm hẹn vào một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian trên.

15 Bài toán Buy-phông; Trên mặt phẳng đã kẻ sẩn các đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng c ó độ dài 2a g ie o ngẫu nhiên một ch iếc kim dài 21 ụ < a). Tính xác suất để ch iếc kim cắt một đường thẳng nào đó.

§ 1.3 CÔNG THỨC N H Â N V À CỘNG XÁC SUẤT

1.3.1 T ó m tát lý thuyết

1.Ta bắt đầu bằng khái niệm xác suất cố điều kiện, ký hiệu là

p { a b ) và được hiểu là xác suất xuất hiện sự kiện A biết rằng đã

p ( a \ b ) : a P { a ) Xác suất có điều kiện có các tính chất như xác suất bình thường.

Sự kiện A được gọi là độc lập với B nếu p [ a b )= P{ a ). Chú ý

là độc lập có tính tương hỗ và dược định nghĩa thông qua xác suất.

p { a b ) - p { a ) p ( b \ a ) = p { a ) p ( a I /i).

Có thể mở rộng dễ dàng cho trường hợp tích của nhiều sự kiện

Dễ thấy một hệ quả đơn giản: nếu A và B độc lập thì

4 Khi nghiên cứu một dãy các phép thử độc lập sao cho

người ta hay q u a n tâm đến xác suất để A xuất hiện đ ú n g Ả lần, ký

hiệu là p„{k). Xác suất đó được tính theo ró/;ẹ thửc Béc-nii-li:

22

Đ ể ý rằng cô n g thức này có nhiều cách m ở rộng khác nhau.

1.3.2 Các bài giải mẫu

Bài 1 M ột tổ c ó 4 nam và 3 nữ C họn liên tiếp ra hai người Tim xác suất để

Giải: Ta gọi Aị là sự kiện chọn được bút đ ỏ từ hộp thứ 7 và B;

là sự kiện chọn được bút xanh từ hộp thứ i (/ = 1, 2) Theo đầu bài để khi rút hú họa ra 2 bút c ó 1 xanh và 1 đỏ ta có 2 trường hợp: Hoặc chọn bút xanh từ hộp I, bút đỏ từ hộp II, hoặc ngược lại, từ đó xác suất cần tìm:

P{A,B, + p{a,B )+ P{a.B, )=P{A, )p(fí2)+ ^^(^2 )P{B ^)

1 2 '1 2 1 2 ' 1 2 ~ 1 8

(để ý là A, đ ộc lập với Bj j ^ i, và Aị = B ị , A 2 = B-, ).

Bài 3 Một phòng điều trị có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng

là 0,7; 0,8 và 0,9 Tim các xác suất sao cho trong vòng một giờ;

a) Có hai bệnh nhân cần cấp cứu;

b) Có ít nhất một bệnh nhân kh òng cần cấp cứu.

Giải: Đặt Aị là sự kiện bệnh nhân thứ / cần cấp cứu và ta đã có

P{A, ) = 0,7; P{A^ ) = 0,8; P{A, ) = 0 ,9

thể xảy ra 3 trường hợp khác nhau và

dễ thấy ổ là sự kiện không có bệnh nhân không cần cấp cứu tức

là tất cả đều cần cấp cứu Rõ ràng việc tính p { b ^ dễ dàng hơn nhiều so với việc tính P { È ) , từ đó:

/ ^ ( ổ ) =1- f ( ổ ) = 1- /^(/11/12^ 3)

= 1 - 0 ,7 0 ,8 0 ,9 = 0,496.

24

Bài 4 Biêì xác suất để một học sinh thi dạt yêu cầu ở lần ihi thứ i là /7,, {i - 1 2) Tìm xác suất để học sinh đó đạt yêu cầu

trong kỳ thi biết rằng mồi học sinh được phép thi tối đa 2 lần

Giải: Gọi A, là sự kiện học sinh đó thi đạt ở lần thi thứ ị,

còn A ~ thi dạt yêu cầu cứa kỳ thi Dễ d à n g thây A = Aị + A^A-,.

phẩm Ló hàng đươc chấp n h ậ n nêu ch ọ n hú họa ra 50 sàn phẩm

đế kiểm tra thì sỗ p h ế p h ẩ m k h ô n g quá 1 Tim xác suất đ ể lô hàng được c h ấ p nhận

Giài\ Gọi A là sư kiên ló hàng được chấp nhận, Aị - trong số

50 sàn phẩm chọn ra có i phế phẩm (/ = 0, 1), từ đó /4 = /4(1 + y4|

Do A,i và 4| xung k h ắ c nên:

c'50100

B ài 6 M ộ t ngư ờ i viết /ỉ bức t h ư cho lì người bạ n A n h ta bỏ

mỗi lá thư vào một phong bì rồi viết hú họa một địa chỉ nào đó của /7 người bạn lên phon" bì đó (các địa chí chí đề một lần và khác nhau), Tim xác suất sao cho có ít nhất một bức thư đúng với

địa chỉ trôn phong bì

Giải: Gọi A, là sự kiện bức Ihư thứ i đ úng địa chí (í = 1 , 2 ,

/;) khi đó xác suất phái tìm là:

D o các A, không xung khắc nên ta phải dùng công thức cộng

Bài 7 Chọn hú họa ra một quân cờ tướng từ một bộ cờ gồm

32 quân Gọi A là sự kiện rút được quân tướng, còn B là sự kiện rút được quân cờ đen Hỏi A và B có độc lập không?

Giải: Chú ý bộ c ờ tướng có 32 quân gồm 16 đen và 16 trắng, trong đó có 2 tướng (đen và trắng) D ễ thấy:

^6

p { a ) = />(/}) = 1 ^ = 1

Mặt khác sự kiện rút được một con tướiig đen là A B và

P{AB) = — = P{ a ) p { b ) nên A và B là các sư kiên đôc lâp.

a) Có đ ú n g m ộ t chi tiết làm việc tốt;

b) Có ít nhất hai chi tiết làm v iệ c tốt.

Giải- D ù n g c ô n g thức B é c -n u - li với lĩ = ỈO, p = 0,9.

a) X á c su ấ t c ầ n tìm là: /^,„(l) = c , ' „ 0 , 9 ' 0 , r ’ = 0 , 9 1 0 \

b) X ác suất cần tìm là:

1 - (p,,, (o) + /^,0 (l)) = 1 - 0,1 - c ; , 0 ,9 '.0,1'^ = 1 - 0 ,91.1 o v

Bài 10 G ieo 5 lần một đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác

suất xuất hiện;

a) Đ ú n g 1 lần mặt sấp;

b) H a i l ầ n m ặ t sấp;

c) íl n h ấ t m ộ t lầ n m ặt sấp

Giải: X ác suất để xuất hiện mặt sấp (hoặc mặt ngửa) bằng

1/2

32 b) p , ự ) = c

/

16

sấp tức là cả 5 lần đều mặt ngửa, từ đó xác suất cần tìm bằng (chú ý 0! = 1 theo quy ước)

1 - 0,99" > 0 ,95 » 0,05 > 0,99" => In 0,05 > ìì In 0,99

In 0,05

n > > 2 9 6

In0,99

B à i 12 Một bác sĩ chữa bệnh c ó xác suất chữa khỏi là 0,8

C ó người nói rằng cứ 5 người đến chữa thì có chắc chắn 4 người khỏi bệnh, người khác lại c h o rằng trong 10 người đến chữa có chắc chắn 8 người khỏi bệnh Đ iều đó đúng không?

Giải: Cả hai người khẳng định đều sai X á c suất xảy la trường hợp thứ nhất là

28

p^(4) = c ^ 0 , 8 ^ 0 , 2 ' = 0 , 4 0 9 6 Còn xác suất x ả y ra trường hợp thứ hai

F,o(8) = C ,V 0,8^ 0,2- * 0 ,3 0 1 8 1.3.3 Bài tập

1 Cho biết các xác suất P{A), P(B). và P(AB). H ãy tìm các xác s u ấ t p Í a b ) và P\ B A

2 Chứng minh rằng nếu A và B độc lập thì các cặp sự kiện sau cũng độc lập: a) A và B : h ) A và 5; c) A \'ÌL B

3 M ộ t cậu bé có 20 viên bi trong đó có 12 đỏ và 8 x a n h M ộ t

hôm cậu thấy mất một viên bi Tim xác suất để nếu rút hú hoạ ra một viên ta thu được viên bi đỏ.

4 Có 3 xạ thủ độc lập bắn vào một bia với xác suất trúng đích của từng người tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,9 Tìm xác suất: a) Có đúng m ột người bắn trúng;

b) Có n h iề u n h ấ t hai người bắn trúng

5 X ác suất để lập kỷ lục quốc gia trong lần nhảy ca o thứ ị

cửa một vận đ ộ n g viên là p. Tìm xác suất để vận động viên đó iập kỷ iục quốc gia trong một cuộc thi chí cho phép m ỗi người

được n h ả y 3 lần

6 Một cầu thủ ném bóng vào rổ cho đến khi nào trúng rổ thì thôi Tun xác suất để cầu thủ đó dừng ném ở lần ném thứ 4, biết

rằng xác suất ném t r ú n g ở mỗi lần ném là 0,4

7 Cần phải c h ọ n bao nhiêu số từ bảng số ngẫu n h i ê n sao c h o

với xác suất không bé hơn 0,9 ta có ít nhất một số chẵn.

Trong thời gian có dịch, cứ 100 người bị dịch ở vùng dân

cư c ó 10 người phải đi cấp cứu Xác suất gặp một người phải cấp cứu vì dịch ở vùng đó là 0,08 Tim tỷ lệ mắc bệnh dịch của vùng

dân c ư trên

9 * X ếp ngẫu nhiên n quyển sách vào k ngăn k éo { n > k \

Tim xác suất để ngăn kéo nào cũng có sách.

10 Khi quay một số điện thoại bạn quên mất s ố cuối Giả sử quay s ố đó một cách ngẫu nhiên, tìm xác suất để ch o bạn quay đúng s ố máy mà không phải quay quá 3 lần.

11 Một gia đình có 4 con Tim xác suất sao cho trong số đó (giả sử xác suất sinh con trai là 1/2):

a) Có hai con trai;

b) K hôn g quá một con trai.

12 Tín hiệu được phát 4 lần với xác suất thu được của mỗi

lần là 0,4

a) T im xác suất nơi thu n h ậ n được tín hiệu đó;

b) N ếu m uốn xác suất thu được tín hiệu k h ô n g bé hơn 0,95 thì phải phát bao n h iêu lần?

13 Một mạng điện gồm 3 bóng m ắc nối tiếp nhau với xác

m ạng điện không làm việc (giả sử dây tốt và đầu vào luôn có

điện) C ũ n g câu hỏi như vậy cho m ạ n g điện gồm 3 b óng mắc

song song.

14° X ác suất để một xạ thủ bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn bằng 0,4 Xác định xác suất mục tiêu bị diệt sau 3 lần bắn độc lập, biết rằng xác suất mục tiêu bị diệt khi trúng 1, 2 và 3 phát đạn tương ứng là 0,2; 0,5 và 0,8.

30

1.4 C Ô N G THÚC XÁC SUẤT Đ Ầ Y đ ủ v à B A Y -É T

1.4.1 T ó m tát lý thuyết

1 Đ ầu tiên ta đưa vào khái niệm n h ó m đ ầ y đĩì các sự kiện

N hóm các sự kiện Aị. Ẩ,, A „ ị i ì > 1) được gọi là một nhóm đầy đủ nếu nó thoả mãn:

A ị A ị = V; \ / ì ^ j (xung khắc từng đôi),

A ị + Aj + + Aii = u

N h óm đầy đủ bé nhất có hai sự kiện, chẳng hạn nhóm A và A

2. N ếu ta c ó một nhóm đầy đủ các sự kiện, thì với một sự kiện H bất kỳ;

P(H) = ị p ( A , ) p { H | A , ) ,

i -1

Biểư th ứ c trên có tên gọi là công thức xác s u ấ t đ ầ y dù.

hiện H được tính theo cỏiìg thức Bay-éỉ:

Ỳ p { a M h \ a ,)

/=1

N g ư ờ i ta th ư ờ n g gọi P{Af_ h ) là x á c s u ấ t h ận n g h i ệ m , c ò n

là x á c s uấ t tiên Iiíịlìiệm c ủ a /4^ C h ú ý là Aị^ là m ộ t

th à n h viên c ủ a n h ó m đầy đủ giả thiết

1.4.2 C á c bài giải m ẫ u

Bài 1 M ô í xí n g h iệp có 2 p h â n x ư ở n g với các tỷ lệ p h ế

p h ẩ m tương ứng là 1% và 2% Biết r ằ n g p h â n xưởng I sản xuất

4 0 % , còn phân xưởng II - 6 0 % sản phẩm

a) Tim xác suất đ ể lừ kho x í ngh iệp chọn ngẫu nhiên được

H ià sự kiện lấy ra được 1 p h ế phẩm.

a) Theo c ô n g thức xác suất đầy đủ

P { H ) = P{A, ) p { h \ A , ) + F ( a , ) p ( h ị A, )

= 0 , 4 1 % + 0 , 6 2 % = 1,6%

Đ ó cũ n g ch ín h là tỷ lệ phế phẩm chung của x í nghiệp.

b) Sự kiện cần tính xác suất là Aị với điều kiện đã xảy ra

H T h eo c ô n g thức Bay-ét:

/=1

B ài 2 Có 3 hộp bi giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II

- 10 bi trắng và 10 bi đen; còn hộp III - 2 0 bi đen C họ n hú họa

ra một hộp và từ đó rút hú họa ra được viên bi trắng Tim xác suất đó là viên bi của hộp I.

Gidi: N h óm đầy đủ gồm 3 sự kiện Aị, / = I, 2, 3, ký hiệu cho việc chọn ra các hộp thứ / tương ứng D ễ thấy P{Aị) = P{A 2 ) - P{A^) = 1/3 Gọi H là sự kiện rút được bi trắng và ta có

p { h A ])= I (xác suất để rút đượG bi trắng từ hộp I);

Bài 3 Một trạ m chí phát hai loại tín h i ệ u A và B với xác

suất lương ứng 0 ,8 4 và 0 ,1 6 Do có nhiễu trên đường truyền

nên 1/6 tín hiệu A bị m éo và được thu n h ư là tín h iệ u B, c ò n

1/8 tín hiệu B bị m é o th à n h lín hiệu A.

a) T ìm xác suất th u được tín hiệu /4

b) G iả sử th u đ ư ợ c tín hiệu ,4, lìm x ác suất đ ể thu được

đ ú n g tín hiệu lúc phát

Giải: a) Gọi và H ịị là sự kiện tín hiệu A và B tương ứng đã được phát, ta có P { H = 0,84; F{Hỵ) - 0,16; và c h ú n g tạo nên nhóm đầy đủ Gọi luôn A là sự kiện thu được tín hiệu A T h e o

điều kiện đầu bài

Bài 4 M ộ t d â y c h u y ề n g ồ m 2 bộ p h ậ n n ối tiếp, với xác

suất iàm việc tốt t r o n g m ột k h o ả n g tliời g i a n n à o đ ó c ủ a m ỗi

bộ p h ậ n tương ứng là P ị và p-, ở một thời đ i ể m trong k h o ả n g

thời gian trên người ta Ihấy dây chuyền h ỏ n g (giả sử việc h ỏng xáy ra chi do các bộ phận k h ô n g làm việc) H ã y tìm xác suất để chi có bộ phận thứ nhất không làm việc

Giái\ Do các bộ phận mắc nối tiếp nên chi cần một bộ phận

dừng là dây c h u y ề n hỏng Có thề’ xảy ra 4 khả năng khác n h au :A,|- cá hai bộ phạn lốt; A|- hộ phận I hỏng, bộ phận II tốt; bộ phận II hỏng còn bộ phận 1 tôì và /1,- cả hai bộ phận hỏn g Dễ thấy: / ^ ( ạ , ) = ; P { A ị ) = { \ - p ị ) p :

Bài 5 Cặp sinh đôi được gọi là thật nếu do cùng m ột trứ n g sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính N ếu cặp đó do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất để cặp c ù n g giới tính là 1/2 N ếu biết m ột cặp trẻ sinh đôi có cùng giới tính thí c h ú n g là cặp sinh đôi thật là bao nhiêu, biết rằng xác suất đê

cặp sinh đôi do c ù n g một trứng sinh ra bằng p (trên tổng s ố tre

sinh đôi)?

Giái: Gọi Aị- sự kiện cặp sinh đôi thật (cùng do một trứng

sinh ra) thl A t = A| là sự kiệii đối lập (do 2 trứng sinh ra)

f ( a , / / ) =

B à i 6* Tại m ột p h ò n g k h á m c h u y ê n k h o a , tỷ lệ người đ ế n

k h á m c ó b ệ n h là 0,8 Người ta áp d ụ n g phương p h á p c h ẩ n

d o á n m ớ i thì th ấ y nếu khẳ ng dịnh có b ệ n h thì đ ú n g 9 trê n 10 trư ờ n g hợp; c ò n nếu k h ẳ n g đ ịn h k h ô n g b ệ n h thì đ ú n g 5 t r ê n 10 trư ờ n g hợp H ã y tìm các xác suáì;

3 C ó 2 lô g ồ m 10 và 8 sản phấm, trong đó m ỗi lò có 1 phế

p h ẩ m L ấ y ra m ột sản p h ẩ m từ lô thứ nhất bỏ vào lô thứ hai, sau

đó từ lô n à y lấy ra m ộ t sản phẩm Tính xác suất đê’ sán phẩm lấy

ra là p h ế phấm

4 N ế u thời tiết tốt x ác su ấ t để m á y b a y hạ c á n h an toàn là

P ị T r o n g t r ư ờ n g h ợ p thời tiết xấu, m á y bay sẽ hạ c á n h lự đ ộng

n h ờ t h i ế t bị d i ề u k h i ể n với x á c suất làm việc tốt là p. N ế u Ihiêt

bị hoạt đ ộ n g tốt, x á c suất hạ cánh an toàn cũng là nêu nó

k h ô n g h o ạ t đ ộ n g thì x ác su ấ t h ạ c á n h an to àn c ú a m á y ba y là /?2- T ì m x á c su ấ t đ ế m á y b a y h ạ c á n h an toàn nếu biết r àn g có

k % t r ư ờ n g h ợ p h ạ c á n h khi thời tiết xấu

36

5 M ột c ô n g nhân đi làm ỏ' thành phố khi trở về n h à c ó hai cách; h o ặ c đi theo đường ngầm hoặc di qua cầu Biết r ằ n g ô n g ta

đi lối đ ư ờ n g n g ầm trong 1/3 các trường hợp; còn lại đi lối cầu Nếu đi lối đườ ng ngầm 75% trường hựp ô n g ta về n h à trước 6 giờ; c ò n nếu đi lối cầu thì chí có 70% trường hợp (n h ư n g đi lối cẩu thíc h hơn) Tìm xác suất để cô n a nhân đ ó đã đi lối c ầu biết rằng ô n g ta về nhà sau 6 giờ

6 Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một phát với xác suất trúng đích của m ỗi người tương ứng 0,7; 0,8 và 0,9 Người báo bia thông báo có hai viên trúng; tìm xác suất để anh th ứ nhất đ ã bắn trúng.7* Tại m ộ t b ệ n h viện tỷ lệ m ắ c b ệ n h A là 15% Đ ể c h ẩ n

1 C ó thể coi hiếiì Iigẫii ìilìiéiì là biến s ố n h ậ n các giá trị nào

đó m à ta k h ô n g thể xác đ ịn h trước Biến n g ẫ u n h iên sẽ được gọi

là rời rực nếu tập c á c giá trị c ủ a nó là hữu h ạ n hoặc vô hạn đếm

được T r o n g trườ ng h ợ p tập giá trị này lấp kín m ột đ o ạ n trên trục

số thực, ta có biến n g ẫ u nhiên liên íực.

N h ư vậy đ ể x á c đ ị n h m ộ t biến ngẫu n h i ê n , ở đ â y là biến sỏ' rời rạc, việc chí biết tập các giá Irị c ủ a n ó ià c h ư a đ ủ Ta còn phải biế t được l i i ậ l plìáiì p h ổ i x á c SIÍCÍI, n ó x á c đ ị n h m ố i q u a n

hệ g iữ a c ác oiá trị c ó thể c ủ a biến Iigẫu n h i ê n với c á c x á c suất

tư ư n g ứng Đ ể x ác đ ị n h luật phân phối c ủ a b i ế n n g ẫ u n h i ê n rời rạc, la phải tìm đ ư ợ c b á n g phán phôi xác suất:

(trong trường hợp tập giá írị là vô hạn đếm đưọ’c ta thay n - co)

Đ ể Ý rằng c ó ihể biểu diỗn quy luật phân phối này bằng đồ thị với Irục hoành là các giá Irị của X còn trục t u n s là các xác suất

iương ứng - la sẽ có inộí dỉíỜỊìg pììcììì phổi gấp khúc.

2 Luật p h â n phối xác suất củ a biôìi n g ẫ u n h i ê n rời r ạc X hay g ặ p là hiật ỉỉlỉị ĩlìức - kv hiệu là X p), tro n g đ ó X

biểu thị số lần xuất h iện sự k iệ n ;4 nào đó Irong dãy // p h é p t h ử độc lập B e c - n u - l i (xác suất đế xuất hiện A t r o n g m ỗi p h é p th ử

Ta có t h ể đ ị n h n g h ĩa Ỉ L i ậ l P oa- xôỉ ì ^ c ủ a một b iế n n g ẫ u

n h iê n X kv h iệu X ) i?i là th a m S(5, giốHR n h ư n và p

c ủ a phân phối nhị thức):

/>(,Y = v ) = Ẩ ' v = 0 , l , 2

A - !

Chú ý khi p k h á bé và n khá lớn c ò n g th ứ c Bec-nu-li c ó g iá

ti ị gán vói c ô n ” ihức P o a x ô n g ở trên với Ằ np L uậ t P o a