BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người BÀI 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Mục tiêu - Phân biệt biến ngẫu nhiên, giá trị có biến ngãu nhiên xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị miền giá trị có nó, - Nắm vững định nghĩa, ý nghĩa, tính chất cơng thức tính giá trị tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên (kỳ vọng toán, phương sai độ lệch tiêu chuẩn) Nội dung I ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN I.1 Định nghĩa Biến ngẫu nhiên đại lượng (hay biến sè) mà kết phép thử nhận giá trị có với xác suất tương ứng xác định Các biến ngẫu nhiên ký hiệu : X, Y, Z X1, X2, , Xn Các giá trị có biến ngẫu nhiên X ký hiệu là: x1, x2, ,xi, ,xn Việc X nhận giá trị (X = x1), (X = x2), (X = xi) ,(X = xn) hoàn toàn ngẫu nhiên nên thực chất chúng biến cố ngẫu nhiên Thí dụ: Gọi X “ số trai 100 đứa trẻ sinh nhà hộ sinh” Khi X 1biến ngẫu nhiên với giá trị có 0, 1, , 100 I.2 Phân loại biến ngẫu nhiên Có loại biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục I.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc giá trị có lập nên tập hợp hữu hạn đếm được, hay Biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên mà ta liệt kê tất giá trị có Thí dụ : ( Biến ngẫu nhiên rời rạc đếm ) Gọi X số khách hàng vào mua hàng cửa hàng khoảng thời gian T Khi X biến ngẫu nhiên rời rạc đếm với giá trị có 0, 1, 2, I.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục: Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy (lấp kín) khoảng trục số Đối với biến ngẫu nhiên liên tục ta liệt kê tất giá trị có Thí dụ : Bắn viên đạn vào bia Gọi X khoảng cách từ điểm chạm viên đạn tới tâm bia X biến ngẫu nhiên liên tục ta khơng thể liệt kê tất giá trị có II QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN II.1 Định nghĩa Bất kỳ hình thức thể cho phép biểu diễn mối quan hệ giá trị có biến ngẫu nhiên xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị tương ứng gọi quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Người ta thường dùng dạng thức để thể quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, là: - Bảng phân phối xác suất - Hàm phân phối xác suất - Hàm mật độ xác suất Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người II.2 Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho biến ngẫu nhiên rời rạc) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có x1, x2, ,xn với xác suất tương ứng P1, P2, ,Pn Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X có dạng: Chú ý: X x1 x2 xn P P1 P2 Pn Để tạo nên bảng phân phối xác suất, xác suất Pi phải thoả mãn điều kiện sau:  Pi  với i n P 1 i 1 Thí dụ 1: i Trong hộp có đựng phế phẩm phẩm Lẫy ngẫu nhiên sản phẩm Xây dựng quy luật phân phối xác suất số phẩm lấy Giải Gọi X "số phẩm lấy ra"  X biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị có 0, 1, xác suất tương ứng P0 , P1 , P2    Ta tìm Pi i  0,2 sau: * P0  P( X  0)  Xác suất thống kê toán học – Bài C 42  C10 15 Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người C 41C61 * P1  P( X  1)   15 C10 * P2  P( X  2)  C602  C10 15 Vậy quy luật phân phối xác suất X là: X P 15 15 15 II.3 Hàm phân phối xác suất II.3.1 Định nghĩa: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), xác suất để X nhận giá trị nhỏ x, với x số thực Nghĩa là: F ( x)  P( X  x) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc thì: F ( x)   Pi xi  x Thí dụ: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,2 0,5 0,3 Hãy xây dựng hàm phân phối xác suất X Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Giải Vậy hàm phân phối xác suất X là: F(X) = Chú ý : với x  0,2 với  x  0,7 với  x  với x  + Đồ thị hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc có dạng bậc thang với số điểm gián đoạn số giá trị có X + Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối xác suất liên tục khả vi điểm X Do đồ thị đường cong liên tục II.3.2 Các tính chất hàm phân phối xác suất Tính chất 1: Hàm phân phối xác suất nhận giá trị khoảng [ ; ], tức  F ( X )  Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất hàm không giảm, tức với x2 > x1 F ( X )  F ( X ) Hệ Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng [a,b) hiệu số hàm phân phối xác suất đầu mót cđa khoảng  P(a  x  b)  F (b)  F (a) Hệ Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị ln 0, tức là: P( X  x)  Hệ Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục ta có đẳng thức sau: Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b  Pa  X  b Tính chất 3: Ta có biểu thức giới hạn sau: F ()  0; F ()  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người F(x) = với x  b II.3 Ý nghĩa hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất phản ánh mức độ tập trung xác suất phía bên trái cđa số thực x II Hàm mật độ xác suất ( dùng cho biến ngẫu nhiên liên tục) II.4.1 Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X đạo hàm bậc hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên đó, ký hiÖu f(x) f ( x)  F ' ( x) II.4.2 Các tính chất hàm mật độ xác suất Tính chất 1: Tính chất 2: f ( x)  với x b P(a  X ,  b)   f ( x)dx a P(a  X  b)  S aABb Về mặt hình ảnh hình học: f(x) Tính chất 3: Tính chất : A B a b x x F ( x)   f ( x)dx     f ( x)dx  Chú ý: Để hàm f(x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X phải thoả mãn điều kiện: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người f ( x)  với x a  b   f ( x)dx  Thí dụ 1: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có dạng F (x)  ax với x  với  x  với x  a Tìm hệ số a, b Tìm hàm mật độ xác suất f(x), c Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị (0,25 ; 0,75) Giải a Tìm hệ số a Vì F(x) hàm liên tục nên x =  ax   a  b Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục: f (x)  2ax với x  với  x  với x  c P(0,25  X  0,75)  F (0,75)  F (0,25)  (0,75)  (0,25)  P(0,25  X  0,75)  0,5 Thí dụ 2: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau:    acosx với x   ,   2 f (x)  Xác suất thống kê toán học – Bài    với x ,   2 Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người a Tìm hệ số a b Tìm F(x) c Tìm P(0  X   4) Giải a Theo tính chất hàm mật độ xác suất :    f ( x)dx     VT *   2 a cos xdx  a sin x  (*) 2        a sin  sin( )   2a 2    2a   a  b Để tìm hàm phân phối xác suất ta sử dụng tính chất : x F ( x)   f ( x)dx  Vậy: F (x)  (sin x  1) c P (0  X   với x   với   với x  x     )  F ( )  F (0) = 4 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người III CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN III.1 Kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên III.1.1 Định nghĩa: Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có x1, x2, ,xn với xác suất tương ứng P1, P2, , Pn Kỳ vọng toán biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu E(X) tổng tích giá trị có ngẫu nhiên với xác suất tương ứng n E ( X )   xi Pi i 1 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f(x) E(X) xác định biểu thức:  E ( X )   x f ( x)dx  Thí dụ 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất : X P 0,2 0,5 0,3 Tìm kú vọng tốn Giải Vì X biến ngẫu nhiên rời rạc nên : n E ( X )   xi Pi  2.0,2  4.0,5  5.0,3 i 1  E ( X )  3,9 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Thí dụ 2: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất sau: với x  x2 1 f (x)  với  x  với x  Tìm E(X) Giải Vì X biến ngẫu nhiên liên tục nên  E ( X )   x f ( x)dx     x f ( x)dx   x f ( x)dx   x f ( x)dx    x 1 x2 1 dx  1,1 III.1.2 Các tính chất kỳ vọng tốn Tính chất 1: E(C) = C với C = const, với C số Tính chất 2: E(CX) = C.E(X) với C = const, với C số Tính chất 3: E(X+Y) = E(X)+E(Y) Hệ quả: Tính chất 4: Hệ quả: n n i 1 i 1 E ( X i )   E ( X i ) E(X.Y) = E(X).E(Y) X Y biến ngẫu nhiên độc lập n n i 1 i 1 E ( X i )   E ( X i ) X, i độc lập III.1.3 Bản chất ý nghĩa kỳ vọng tốn Giả sử biến ngẫu nhiên X có giá trị có x1, x2, ,xk Trung bình số học biến ngẫu nhiên X n phép thử : Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 10 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người III.2.3 ý nghĩa phương sai Phương sai trung bình số học bình phương sai lệch giá trị có biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình giá trị Do vËy phản ánh mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung tâm kú vọng toán III.3 Độ lệch tiêu chuẩn Độ lệch tiêu chuẩn biến ngẫu nhiên X ký hiệu  X , bậc hai phương sai V(X)  X  V (X ) IV MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG IV.1 Quy luật không - một: A(P) IV.1.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có với xác suất tương ứng xác định công thức (3.1) gọi phân phối theo quy luật Không Một với tham sè P ký hiệu A(P) ( A - viÕt t¾t cđa tõ Alternative) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ~ A( P) : X P (1- P) P IV.1.2 Các tham số đặc trưng quy luật A(P) * Kỳ vọng toán: E( X )  0.(1  P)  1.P  P * Phương sai : hay E ( X )  P V ( X )  2.(1  P)  12.P  P  P(1  P) hay V ( X )  P(1  P) * Độ lệch tiêu chuẩn:  ( X )  P(1  P) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 13 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người IV.2 Quy luật nhị thức: Bi(n,p) Giả sử ta có lược đồ Bernoulli: + Tiến hành n phép thử độc lập + Trong phép thử có khả biến cố A xuất biến cố A xuất + Xác suất xuất biến cố A phép thử P Do xác suất xuất biến cố A phép thử (1 – P) Gọi X "số lần xuất biến cố A n phép thử độc lập nói trên" X biến ngẫu nhiên rời rạc với giá trị có 0, 1, , n Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị có nói tính cơng thức Bernoulli: Px  P( X  x)  Cnx P x (1  P) n x  với x  0, n (3.2)  IV 2.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có 0, 1, , n với xác suất tương ứng tính cơng thức (3.2) gọi phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n p, ký hiệu là: Bi(n, p) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ~ Bi(n, p) X P Cn0 P (1  P) n0 Cn1 P1 (1  P) n1 n Cnn P n (1  P) nn Chú ý: Đơi tốn địi hỏi phải t×m xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật nhị thức nhận giá trị khoảng [ x, x+h ] với h số nguyên dương, đó: P( x  X  x  h)  Px  Px1   Px h Xác suất thống kê toán học – Bài (3.3) Trang 14 Trung tâm Đào tạo E-Learning Ở đây: Pi Cơ hội học tập cho người (i  x, x  h) xác định (3.2) IV.2.2 Các tham số đặc trưng Người ta chứng minh rằng: Nếu X ~ Bi(n, p) th× * Kỳ vọng tốn: E ( X )  nP * Phương sai : V ( X )  nP(1  P)  x  nP(1  P) * Độ lệch tiêu chuẩn: * Mốt: Mốt biến ngẫu nhiên X, ký hiệu x0 giá trị tương ứng với xác suất lớn dãy phân phối Thí dụ: Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất : X P 0,1 0,5 0,4 Khi mốt x0 = Chú ý: Nếu X ~ Bi(n, p) ( np  p   x0  np  p ) (3.4) Thí dụ: Một phân xưởng có máy hoạt động độc lập Xác suất để ca máy bị hỏng 0,1 a Tìm xác suất để ca có khơng q máy hỏng b Tìm số máy hỏng trung bình Giải * Nếu coi hoạt động máy phép thử ta có phép thử độc lập ( n = ) Do gọi X "số máy hỏng ca" X biến ngẫu nhiên rời rạc, X ~ Bi(n, p) với tham số n = p = 0,1 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 15 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người a Xác suất ca có khơng q máy hỏng: P(0  X  2)  P0  P1  P2  C50 (0,1) (0,9)  C51 (0,1)1 (0,9)  C52 (0,1) (0,9)  P(0  X  2)  0,9914 b Số máy hỏng trung bình ca kỳ vọng tốn E(X): E( X )  np  5.0,1  0,5 máy IV Quy luật Poisson – P(λ) Quy luật Poisson đượcc coi trường hợp riêng quy luật nhị thức Người ta chứng minh n  ; p  np   không đổi Công thức Bernoulli hội tụ công thức Poisson sau đây: Px  e  x (3.5) x! với x = 0, 1, 2, ; e = 2,71828 IV.3.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị có 0, 1, 2, với xác suất tương ứng tính công thức (3.5) gọi phân phối theo quy luật Poisson với tham số λ ký hiệu P(λ) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ~ P(λ) có dạng sau : X P e  0 0! Xác suất thống kê toán học – Bài e  1 1! x e  x x! Trang 16 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người IV.3.2 Các tham số đặc trưng quy luật Poisson Nếu X ~ P(λ) thì: + Kỳ vọng toán: E(X) = λ + Phương sai: V(X) = λ + Độ lệch tiêu chuẩn:  X   + Mốt: ( λ -1 ≤ x0 ≤ λ) Thí dụ: Xác suất để vận chuyển chai rượu bị vỡ 0,001 Người ta vận chuyển 2000 chai rượu đến cửa hàng a Tìm số chai vỡ trung bình vận chuyển b Tìm số chai vỡ có khả nhiều vận chuyển Giải Bài tốn thoả mãn lược đồ Bernoulli Vì n = 2000 lớn p = 0,001 nhỏ np = 2000.0,001 = khơng đổi Do đó, gọi X "số chai rượu bị vỡ vận chuyển" X biến ngẫu nhiên rời rạc tuân theo quy luật Poisson a Số chai vỡ trung bình kỳ vọng tốn X Ta có : E(X) = λ = chai b Số chai vỡ có khả xảy nhiều mốt (λ -1 ≤ x0 ≤ λ) (1 ≤ x0 ≤ 2) Vậy x0 =1 x0 = IV.4 Quy luật phân phối chuẩn - N ( ,  ) Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 17 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người IV 4.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị khoảng  , gọi phân phối theo quy luật chuẩn với tham số  &  , σ > 0, hàm mật độ xác suất có dạng : f ( x)   2  e ( x )2 2 (3.7) ký hiệu N ( ,  ) Đồ thị hàm mật độ xác suất f(x) biến ngẫu nhiên X ~ N ( ,  ) có dạng: f(x)  2  2 e x  Điểm cực đại:   ,   Điểm uốn :     ,     2        μ +δ     ;     ,   2 e    2 e  * Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ~ N ( ,  ) có dạng:  F ( x)   f ( x)dx     2    e ( x )2 2 dx (3.8) IV.4.2 Các tham số đặc trưng quy luật chuẩn Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 18 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Vì X biến ngẫu nhiên liên tục nên: E ( X )   x f ( x)dx V ( X )   x f ( x)dx  E ( X )     Người ta chứng minh rằng: * Kỳ vọng toán: E (X )   * Phương sai: V (X )   * Độ lệch tiêu chuẩn:  X  V (X )   Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ N ( ,  ) với E (X )   V ( X )   Xét biến ngẫu nhiên : U X     IV.4 Phân phối chuẩn hóa N(0,1) Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên U nhận giá trị khoảng  , gọi tuân theo quy luật phân phối chuẩn hoá hàm mật độ xác suất có dạng :  (U )  2 e  U2 (3.9) ký hiệu N (0,1) * Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên U có dạng: (u )  2  u e   U2 du (3.10) * Đồ thị  (u ) (u ) có dạng sau: Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 19 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người φ(U) Ф(U) 2 U U -1 Do hàm  (u ) đối xứng qua gốc toạ độ nên : P(  U  u)  P(  U  0)  P(0  U  u)    hay: u   (u )du 0  (u )du    (u ) (u )   (u )  2  u e  u2 du gọi tích phân Laplace * Hàm  (u ) có tính chất : + Là hàm lẻ :  (u)   (u) + Giá trị  (u ) tính sẵn bảng ( Bảng phụ lục ) Thí dụ:  (1,96)  0,4750  (0,32)  0,1255  (3)  0,49865 Người ta chứng minh rằng: E(U )  V (U )  IV 4.4 Giá trị tới hạn chuẩn Giá trị tới hạn chuẩn mức  , ký hiệu u , giá trị biến ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn hoá thoả mãn điều kiện : Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 20 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người P(U  u )   hay:  P(U  u )  (u )    (u )du   u Điều có nghĩa : cho trước  ta tính u ngược lại Giá trị u tương ứng với mức  tính sẵn bảng φ(u) P(U  u )   P(U  u1 )   P(u1  U  u ) u1 u1  u Tính chất giá trị tới hạn chuẩn: Thí dụ: u u u0,025 = 1,96 u0,05 = 1,645 u0,975 = - u0,025 = - 1,96 u0,95 = - u0,05 = - 1,645 IV 4.5 Cơng thức tính xác suất để biến ngẫu nhiên X ~ N ( ,  ) nhận giá trị khoảng ( a , b ) Giả sử X ~ N ( ,  ) : P ( a  X  b)   ( b  )  0 ( a  ) (3.11) Thí dụ: Kích thước chi tiết máy máy sản xuất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với   cm   0,81 cm Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có kích thước từ 4cm đến 7cm Giải Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 21 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Gọi X kích thước chi tiết  X ~ N ( ,  ) với   ;   0,81 Vậy theo (3.11): P (  X  7)   ( 75 45 )  0 ( ) 0,81 0,81   (2,46)   (1,23) = 0,8838 IV.4.6 Xác suất sai lệch biến ngẫu nhiên X kỳ vọng toán P( X     )  P(  X     )  P(    X     ) Theo (3.11) ta có:   P( X     )  2     Thí dụ: (3.12) Các vòng bi máy tự động sản xuất coi đạt tiêu chuẩn đường kính sai lệch so với đường kính thiết kế không 0,7 mm Biết sai lệch biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với   ;   0,4 mm Tìm tỷ lệ vịng bi đạt tiêu chuẩn máy Giải Tỷ lệ vịng bi đạt tiêu chuẩn xác suất để lấy ngẫu nhiên vòng bi vòng bi đạt tiêu chuẩn Gọi X sai lệch đường kính vịng bi sản xuất so với đường kính thiết kế  X ~ N ( ,  ) với   ;   0,4 Theo cơng thức (3.12) ta có: P( X     )  P X   0,7  0,7   2    2 1,75  0,4   2.0,4599  0,9198 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 22 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Vậy tỷ lệ vịng bi đạt tiêu chuẩn máy là: 91,98% IV 4.7 Quy tắc “ Ba xích ma” Nếu công thức (3.12) ta thay   3 tức lần độ lệch tiêu chuẩn thì: P( X    3 )  2 3  2.0,49865  0,9973 P(  3  X    3 )  0,9973 hay: IV.5 Quy luật bình phương -  (n) IV.5.1 Định nghĩa Nếu Xi với i = 1, 2, , n biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy n luật phân phối chuẩn hóa N (0,1) biến ngẫu nhiên    X i2 tuân theo quy luật i 1 phân phối xác suất gọi quy luật “ Khi bình phương” với n bậc tự ký hiệu  (n) IV.5.2 Các tham số đặc trưng: Người ta chứng minh rằng: Nếu  ~  (n) thì: * Kỳ vọng toán X: E(  )  n * Phương sai X: V (  )  2n IV.5.3 Giá trị tới hạn Khi bình phương Giá trị tới hạn “Khi bình phương” mức  , ký hiệu  2 (n) giá trị biến ngẫu nhiên  tuân theo quy luật “ Khi bình phương với n bậc tự do” thoả mãn điều kiện :   P   2 (n)   Nếu cho ta  ta tìm giá trị tới hạn  2 (n) nhờ bảng phụ lục có Chẳng hạn:  02,025 (24)  39,36 Xác suất thống kê toán học – Bài  02,99 20  8,26 Trang 23 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người Chú ý: Với bậc tự nhau,  bé  2 (n) lớn Chẳng hạn:  02,95 (15)  7,261 ;  02,05 (15)  25,00 Khi số bậc tự n tăng lên lớn  (n) ~ N ( ,  ) IV.6 Quy luật phân phối Student – T (n ) IV.6.1 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên T gọi tuân theo quy luật phân phối Student với n bậc tự ký hiệu T (n ) , hàm mật độ xác suất có dạng: n n    2   t   f n (t )  1    n  1.n  1  n  1 (3.14) với    t    (x) gọi hàm Gama Đồ thị hàm f n (t ) f n (t )  t t(n ) t1(n) t(n ) IV.6.2 Các tham số đặc trưng t1(n) Người ta chứng minh rằng: Nếu biến ngẫu nhiên T ~ T ( n) thì: * Kỳ vọng tốn: E(T )  Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 24 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người n n2 V (T )  * Phương sai: IV.6.3 Giá trị tới hạn Student Giá trị tới hạn Student mức  , ký hiệu t(n ) , giá trị biến ngẫu nhiên T phân phối theo quy luật Student với n bậc tự thoả mãn điều kiện :   P T  t( n )    t f (t ).dt   Giá trị tới hạn Student có tính chất : t1(n)  t( n ) Nếu cho  tìm giá trị t(n ) nhờ bảng tính sẵn giá trị (xem phụ lục) Thí dụ: ) ( 20) ( 20) t 0( 20 , 05  1,725  t 0,95  t 0, 05  1,725 ; ) (15) (15) t 0(15 , 01  2,602  t 0,99  t 0, 01  2,602 Chú ý: Khi số bậc tự n tăng lên phân phối Student hội tụ nhanh phân phối chuẩn hố Do đó, n > 30 dùng phân phối chuẩn hố thay cho phân phối Student Chẳng hạn: ) t 0(100 , 025  U 0, 025  1,96 ) t 0( 45 , 025  U 0, 025  1,96 IV.7 Quy luật Fisher-Snedecor - f(n1, n2) IV.7.1 Định nghĩa Trong thực tế quy luật Fisher- Snedecor thường định nghĩa theo hình thành sau: Giả sử  12  22 biến ngẫu nhiên độc lập phân phối theo quy luật  với số bậc tự tương ứng n1 n2 Khi biến ngẫu nhiên : Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 25 Trung tâm Đào tạo E-Learning  12 F  2 Cơ hội học tập cho người n1 n2 gọi phân phối theo quy luật Fisher – Snedecor với n1 n2 bậc tự IV.7 Các tham số đặc trưng Người ta chứng minh rằng: F ~ F(n1 , n2) thì: * E( F )  n2 n2  2 * V (F )   2n2 n1  n2  2  n1 n2  2 n2  4 IV.7.3 Giá trị tới hạn Fisher – Snedecor Giá trị tới hạn Fisher – Snedecor mức α, kí hiệu f  (n1 , n2 ) , giá trị biến ngẫu nhiên F phân phối theo quy luật Fisher – Snedecor với n1 n2 bậc tự thoả mãn điều kiện : PF  f  n1 , n2    Giá trị tới hạn f  n1 , n1  có tính chất : f1 n1 , n2   f  n2 , n1  Thí dụ: Với mức  = 0,05 Với  = 0,95, ta có: (3.16) f 0,05 (6,10)  3,22 ; f 0,05 (3,16)  3,24 f 0,95 (10;6)  1   0,31 f 0,05 (6;10) 3,22 TÓM LƯỢC Có hình thức thường sử dụng để mơ tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên: (a) bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc, (b) hàm phân Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 26 Trung tâm Đào tạo E-Learning Cơ hội học tập cho người phối xác suất F(x) dùng cho loại biến ngẫu nhiên (c) hàm mật độ xác suất f(x) biến ngẫu nhiên liên tục Các tượng đặc trưng biến ngẫu nhiên rời rạc thường tuân theo quy luật Không - Một, Nhị thức Poisson Còn tượng biểu thị biến ngẫu nhiên liên tục thường có quy luật phân phối chuẩn, Khi bình phương, Student Fisher- Snedecor Dựa vào quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên tìm giá trị tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên (kỳ vọng toán, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn), đồng thời nhờ công thức xác suất quy luật phân phối tính thuận lợi xác suất để biến ngẫu nhiên tương ứng nhận giá trị cụ thể nhận giá trị khoảng Giá trị tới hạn (định nghĩa, tính chất, bảng giá trị tính sẵn) quy luật phân phối liên tục cơng cụ hữu ích khơng thể thiếu việc giải toán suy luận thống kê (ước lượng kiểm định giả thiết) chương giáo trình Chúc Anh/ Chị học tập tốt! TÀI LIỆU THAM KHẢO TỐNG ĐÌNH QUỲ: Giáo trình xác suất thống kê.NXB Giáo dục, 1999 NGUYỄN CAO VĂN, TRẦN THÁI NINH: Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội 2002 NGUYỄN THẾ HỆ: Lý thuyết xác suất thống kê toán, Viện Đại Học Mở Hà Nội 2011 NGUYỄN VĂN HỘ: Xác suất thống kê toán , Viện Đại Học Mở Hà Nội, 2001 Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 27 ... ứng gọi quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Người ta thường dùng dạng thức để thể quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, là: - Bảng phân phối xác suất - Hàm phân phối xác suất -... LƯỢC Có hình thức thường sử dụng để mơ tả quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên: (a) bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc, (b) hàm phân Xác suất thống kê toán học – Bài Trang 26... biến ngẫu nhiên liên tục thường có quy luật phân phối chuẩn, Khi bình phương, Student Fisher- Snedecor Dựa vào quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên tìm giá trị tham số đặc trưng biến ngẫu